SKKN toán 8: Giải pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử và ứng dụng của nó

Sáng kiến kinh nghiệm:
Giải pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức
thành nhân tử và ứng dụng của nó
Phần thứ nhất
Đặt vấn đề
1.1. Lý do chọn sáng kiến.
Trong trường THCS việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề
thường xuyên, liên tục và cực kỳ quan trọng. Để chất lượng học sinh ngày
càng được nâng cao yêu cầu người giáo viên phải có một phương pháp
giảng dạy phù hợp và hệ thống bài tập đa dạng, phong phú đối với mọi đối
tượng học sinh.
Qua thời gian dạy lớp 8, tôi thấy khi giảng dạy Chương I phép nhân
và phép chia các đa thức, và phân tích đa thức thành nhân tử học sinh
thường làm sai đáp số….đối với học sinh lớp 8 đều cần phải thực hiện
thành thạo phép nhân chia đa thức và biến đổi đa thức thành nhân tử. Chính
vì vậy người giáo viên khi dạy học sinh học toán phải cung cấp cho các em
một cách hệ thống các phương pháp thực hiện nhanh các phép toán nhân
chia đơn thức đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử vì nó là công cụ
giải toán rất hữu hiệu, giải quyết hầu hết các dạng toán trong chương I môn
Đại số lớp 8.
Các vấn đề trong sáng kiến đều được lựa chọn để mọi đối tượng học
sinh đều có thể tiếp thu được. Ngoài ra trong sáng kiến một số vấn đề khó
được diễn đạt một cách đơn giản, dễ hiểu, các lời giải, trình bày ngắn gọn
để vừa tăng lượng thông tin trong khuôn khổ có hạn của sáng kiến, vừa
dành lại phần độc lập nghiên cứu cho học sinh, đồng thời nêu bật những
khâu mấu chốt của lời giải.
Xuất phát từ yêu cầu và mong ước trên, tôi đã chọn sáng kiến: “ Giải
pháp thực hiện phép nhân, chia đa thức và phân tích đa thức thành
nhân tử và ứng dụng của nó”.
1
1.2. Mục đích của sáng kiến:

- Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương pháp
thực hiện phép nhân, phép chia các đa thức và phân tích đa thức thành nhân
tử, nhằm giúp học sinh có khả năng vận dung tốt dạng toán này.
- Học sinh có khả năng thực hiện thành thạo các phép tính nhân chia
các đa thức.
- Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức.
- Phát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinh.
- Thấy được vai trò của việc thực hiện các phép tính nhân, chia các
đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử trong giải toán để từ đó giáo dục ý
thức học tập của học sinh.
1.3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu:
Với sáng kiến này tôi đã thực hiện trong nhiều năm qua. Bản thân đã
nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về thực hiện các phép tính
nhân, chia các đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử. Cụ thể là các tài
liệu rất thiết thực đối với học sinh THCS:
- Sách giáo khoa lớp 7, 8.
- Sách giáo viên lớp 7, 8.
- Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho học
sinh, giáo viên.
2
Phần thứ hai
Nội dung
2.1. Phép nhân và phép chia các đa thức
2.1.1. Nhân đơn thức với đa thức:
Khi thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức mà đơn thức mang
dấu âm học sinh khi thực hiện thường lúng túng và thực hiện sai kết quả
Ví dụ:
( )
3 2
1

2 . 5
2
x x x
 
− + −
 ÷
 
Để học sinh thực hiện được nhanh và chính xác kết quả của bài toán
trước khi dạy bài này cho học ôn tập lại phép nhân đơn thức với đơn thức
đã học ở lớp 7
Gọi 3 học sinh: Học sinh 1 thực hiện phép tính
( ) ( )
3 2 5
2 . 2x x x
− = −
Học sinh 2 thực hiện phép tính
( ) ( )
3 4
2 .5 10x x x
− = −
Học sinh 3 thực hiện phép tính
( ) ( )
3 3
1
2 .
2
x x
 
− − =
 ÷

 
.
Yêu cầu học sinh lên bảng điền vào chỗ trống , kết quả khi điền giáo
viên đưa cho học sinh phấn màu để làm nổi bật kết quả nhận được qua đó
rút ra kết luận kết quả của phép nhân đơn thức
( )
3
2x
−
và đa thức
2
1
5
2
x x
 
+ −
 ÷
 
được kết quả là phần phép nối kết quả của 3 học sinh vừa thực
hiện là
5 4 3
2 10x x x
− − +
Từ kết quả trên gọi 1 học sinh đưa ra quy tắc nhân đơn thức với đa
thức nhằm giúp học sinh khắc sâu quy trình khi thực hiện nhân đơn thức
với đa thức.
2.1.2. Nhân đa thức với đa thức.
3
Sau khi học sinh đã thực hiện thành thạo phép nhân đơn thức học sinh có

thể dễ dàng thực hiện phép nhân đa thức với đa thức.
Ví dụ:
( )
2
1
2 . 6 5
2
x x x
 
− − +
 ÷
 
.
Gọi 2 học sinh : Học sinh 1 thực hiện phép tính
2
1
. 6 5
2
x x x
 
− +
 ÷
 
Học sinh 2 thực hiện phép tính
2
1
2. 6 5
2
x x
 

− − +
 ÷
 
Kết quả của học sinh 1là :
3 2
1
6 5
2
x x x
− +
Kết quả của học sinh 2 là: -12x
2
+ 10x - 1.
GV ghép nối 2 kết quả trên được :
3 2
1
6 5
2
x x x
− +
-12x
2
+ 10x - 1.
Yêu càu học sinh thu gọn các hạng tử đồng dạng sau khi thu gọn GV kết
luận đó chính là kết quả phép nhân đa thức
( )
2x
−
với đa thức
2

1
6 5
2
x x
 
− +
 ÷
 
2.2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức thành nhân tử ( hay thừa số) là biến đổi thành tíc của
những đa thức bậc nhỏ hơn.
Ví dụ: x
3
+ y
3
= ( x + y) (x
2
+ xy + y
2
)
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phương pháp.
2.2.1.Phương pháp 1 : Đặt nhân tử chung ( thừa số).
* Các ví dụ: phân tích đa thức thành nhân tử.
a. 12x
2
y – 18y
3
.

b. 3x

2
( y -2z) - 15x(y – 2z)
2
.
Giải
a. Các hạng tử có nhân tử chung là 6y, do đó:
12x
2
y – 18y
3
= 6y.2x
2
– 6y.3y
2
= 6y( 2x
2
-3y
2
).
b. Cacs hạng tử có nhân tử chung là: 3x( y- 2z).
Do đó ta có: 3x
2
( y -2z) - 15x(y – 2z)
2
= 3x(y-2z) [x- 5(y-2z) ].
4
= 3(y – 2zx- 5y +10z).
* Chú ý: Nhiều khi cần đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
Chẳng hạn đa thức: 2x
2

( 3y –z) + ( z- 3y)( x + y).
Có thể viết: 2x
2
( 3y –z) - (3y - z)( x + y) và xuất hiện nhân tử chung là (3y –z).
2.2.2.Phương pháp 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
* Các ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a. 4x
2
-12x +9. c. 16x
2
– 9( x +y)
2
.
b. 27 –27x +9x
2
–x
3
. d. 1 – 27x
3
y
6
.
Giải
a. 4x
2
-12x +9 = ( 2x)
2
– 2.2x.3 + 3
2
= ( 2x – 3)

2
.
b. 27 –27x +9x
2
–x
3
= 3
3
– 3.3
2
.x +3.3.x
2
– x
3
= ( 3 – x)
3
.
c. 16x
2
– 9( x +y)
2
= ( 4x)
2
- [ 3( x+y) ]
2
= ( x-3y)( 7x +y).
d. 1 – 27x
3
y
6

= 1
3
– (3xy
2
)
3
= ( 1- 3xy
2
)(1+ 3xy
2
+ 9x
2
y
4
).
* Chú ý. Đôi khi phải đổi dấu mới áp dụng được hằng đẳng thức,
chẳng hạn:
-x
4
y
2
– 8x
2
y – 16 = -( x
4
y
2
+ 8x
2
y +16) = - ( x

2
y + 4)
2
.
2.2.3.Phương pháp 3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử .
* Dạng tam thức bậc hai.
V í d ụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x
2
– 6x + 8.
Giải
Đa thức trên không có thừa số chung, cũng không có dạng của một hằng
đẳng thức đáng nhớ và cùng không thể nhóm hạng tử. Ta biến đổi đa thức
ấy thành đa thức có nhiều hạng tử hơn bằng cách tách một hạng tử thành 2
hay nhiều hạng tử.
Cách 1. x
2
– 6x + 8 = x
2
– 2x - 4x
2
+ 8.
= x( x - 2) - 4( x-2)
= ( x - 2)( x - 4).
Cách 2. x
2
– 6x + 8 = x
2
– 6x + 9 - 1
= ( x - 3)
2

- 1.
5
= ( x - 2)( x - 4).
Cách 3. x
2
– 6x + 8 = x
2
– 4x + 4 - 2x +4.
= ( x - 2)
2
– 2( x - 2 ).
= ( x - 2) ( x - 4).
Cách 4 . x
2
– 6x + 8 = x
2
–4 - 6x + 12.
= ( x - 2)( x + 2) – 6( x - 2).
= ( x - 2) ( x-4).
Cách 5 . x
2
– 6x + 8 = x
2
–16 - 6x + 24.
= ( x - 4)( x+ 4) – 6( x - 4).
= ( x - 2) ( x- 4).
Cách 6 . x
2
– 6x + 8 = 3x
2

- 6x + 2x
2
+ 8.
= 3x( x - 2) – 2( x - 2)( x + 2) .
= ( x - 2) ( x- 4).
Nhận xét: Trong các cách giải trên, cách 1 là đơn giản nhất và dễ làm
nhất. Ở đây ta đã tách số hạng bậc nhất -6x thành 2 số hạng -2x và -4x.
Trong đa thức x
2
– 2x - 4x
2
+ 8 bằng hệ số của các số hạng là: 1; -2; -4; 8
các hệ số thứ hai và thứ tư đều gấp -2 lần hệ số liền trước nó, nhờ đó xuất
hiện nhân tử chung ( x – 2).
Một cách tổng quát để phân tích đa thức bậc hai ax
2
+ bx + c thành nhân
tử và tách hạng tử bx thành b
1
x + b
2
x sao cho
1
2
b c
a b
=
, tức là b
1
.b

2
= a.c.
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: tìm tích a.c
Bước 2: phân tích ac thành tích của hai thừa số, hai thừa số này cùng dấu
nhau (vì tích của chúng bằng 8) và cùng âm ( vì tổng của chúng bằng -6).
Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 9x
2
+ 6x - 8.
Giải
cách 1. tách hạng tử thứ hai.
9x
2
+ 6x – 8 = 9x
2
- 6x + 12x - 8.
= 3x( 3x – 2) + 4( 3x – 2).
6
= ( 3x – 2)( 3x + 4)
Chú ý: hệ số 6 được tách thành -6 và 12 vì tích của ac = 9.(-8) = 72.
Cách 2. Tách hạng tử thứ ba.
9x
2
+ 6x – 8 = 9x
2
+ 6x + 1 - 9.
= ( 3x + 1)
2
– 3
3

.
= ( 3x – 2)( 3x + 4)
Nhận xét. Qua 2 ví dụ trên ta thấy việc tách một hạng tử thành nhiều
hạng tử khác nhau thường nhằm mục đích:
- Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ, nhờ đó mà xuất hiện nhâ tử chung
( cách 1).
- Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương ( cách 2).
Chú ý:
a. Đa thức dạng ax
2
+ bxy + cy
2
khi phân tích cách làm tương tự đa thức
bậc hai một biến.
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x
2
– 7xy + 3y
2
.
Giải
Cách 1: 4x
2
– 7xy + 3y
2
= 4x
2
– 4xy – 3xy + 3y
2

= 4x(x - y)- 3y(x - y)

= ( x - y)(4x-3y)
Cách 2: 4x
2
– 7xy + 3y
2
= 4x
2
– 8xy + xy + 4y
2
– y
2

= 4(( x- y)
2
+ y(x - y)
= ( x - y)(4x - 3y)
b. Đa thức bậc hai ax
2
+ bx + c không phân tích thành tích các nhân tử
trong phạm vi số hữu tỷ, nếu theo cách 1 khi phân tích a.c ra tích 2 thừa số
nguyên bằng mọi cách không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc theo
cách hai sau khi đưa ra đa thức bậc hai về dạng a(x
2
– k) thì k không phải là
bình phương của một số hữu tỷ.
Chẳng hạn đa thức x
2
+ 4x + 6 có tích a.c = 6 = 1.6= 2.3 , nhưng
không có hai thừa số nào có tổng bằng 4.
7

Còn theo cách hai thì: x
2
+ 4x + 6 = x
2
+ 4x + 4 + 2 = ( x+2)
2
– (-2); -2
không là bình phường của số hữu tỷ nào. Vậy đa thức x
2
+ 4x + 6 không
phân tích thành tích được.
2.3. Đa thức bậc ba trở lên.
Để tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ ta
thường dùng cách tìm nghiệm của đa thức.
2.3.1. Nhắc lại một số kiến thức về nghiệm của đa thức.
* Định nghĩa nghiệm của đa thức.
Số a được gọi là nghiệm của đa thức f(x) = 0, như vậy nếu đa thức f(x) có
nghiệm x = 0 thì nó chứa thừa số x-a.
Khi xét nghiệm của đa thức ta cần nhớ các định lý sau:
* Định lí 1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì là một nghiệm
của đa thức .
* Định lí 2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng
tổng các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức .
* Định lí 3: nếu đa thức f(x) với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên thì
nghiệm nguyên đó sẽ là ước của hệ số tự do.
Chú ý: để nhanh chióng loại trừ các nghiệm của hệ số tự do, không là
nghiệm của đa thức có thể dùng nhận xét sau:
a là nghiệm nguyên của đa thức f(x) và f(1), f(-1) khác 0 thì
(1)
1

f
a
−
và
( 1)
1
f
a
−
+
đều là số nguyên.
Ví dụ : f(x) = 4x
3
- 13x
2
+ 9x – 18.
Có các ước của 18 là:
1; 6; 9; 18
± ± ± ±

2; 3
± ±

f(1) = -18. f(1) = -44. Hiển nhiên
1
±
không là nghiệm của f(x) .
Ta thấy
18 18 18 18
; ; ;

( 3 1) 6 1 9 1 18 1
− − − −
− − ± − ± − ± −
không nguyên nên
3; 9; 18
− ± ±
không là
nghiệm của f(x) ;
44
(2 1)
−
+
không nguyên nên 2 không phải là nghiệm của f(x).
Chỉ còn -2 và 3 kiểm tra thấy 3 là nghiệm của f(x).
8
* Định lí 4: Đa thức f(x) với các hệ số nguyên nếu có nghiệm hữu tỷ x=p/q
thì p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất .
2.3.2.Các ví dụ.
Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x
3
– 5x
2
+ 8x – 4.
Ta thấy đa thức đã cho có tổng các hệ số là 1 -5 + 8 – 4 = 0, nên là 1
nghiệm của đa thức . Đa thức đã cho chứa thừa số là x-1; ta tách các hạng
tử như sau:
x
3
– 5x
2

+8x – 4 = x
3
– x
2
+ 4x + 4x – 4
= x
2
(x-1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) .
= (x-1)(x
2
– 4x + 4) = (x -1)(x-2)
2
.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x
3
- 5x
2
+3x +9.
Ta thấy các hệ số của đa thức 1+ 3 = -5 +9, nên đa thức đã cho có
nghiệm là -1, đa thức chứa thừa số x+1.
Ta tách như sau: x
3
– 5x
2
+ 3x +9 = x
3
– 6x + x – 6x + 9x + 9.
= x
2

(x + 1) - 6x(x +1) + 9(x + 1).
= (x + 1)(x-3)
2
.
Ví dụ 3: f(x) = x
3
–x
2
– 4
Lần lượt kiểm tra với x =
1; 2; 4
± ± ±
.
Ta thấy f(2) = 0, đa thức có nghiệ là x = 2, do đó chứa thừa số x – 2.
Ta có: x
3
– x
2
– 4 = x
3
– 2x
2
+ x
2
– 2x + 2x – 4
= x
2
(x - 2) + x(x – 2) + 2(x – 2)
= (x – 2)(x
2

+ x + 2).
Ví dụ 4: 2x
3
–x
2
+5x +3.
Ta thấy
1; 3
± ±
không là nghiệm của đa thức , xét các số hữu tỷ dạng p/q
với p là Ư
(2)
và q là Ư
(3)
gồm
1 3
;
2 2
± ±
. Ta có
1
2
−
là nghiệm của đa thức nên
chứa thừa số 2x + 1.
Vậy: 2x
3
– x
2
+5x +3 = 2x

3
+ x
2
– 2x
2
+ 6x – x + 3
= x
2
(2x + 1) – x(2x + 1) + 3(2x + 1)
= (2x + 1)(x
2
– x + 3).
2.3.3. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
9
* Thêm và bớt cùng một số hạng để xuất hiên hằng đẳng thức.
Ví dụ: 4x
4
+ 81
Ta thấy đa thức đã cho là tổng của 2 bình phương (2x
2
)
2
+ 9
2
tương ứng với
hai số hạng A
2
+ B
2

của hằng đẳng thức A
2
+2AB + B
2
còn thiếu 2AB, cần
thêm bớt 2.2x
2
.9 để làm xuất hiện hằng đẳng thức.
Ta có : 4x
4
+ 81 = (2x
2
)
2
+ 2.2x
2
.9 + 9
2
– 2.2x
2
.9
= (2x
2
+ 9)
2
– (6x)
2
= (2x
2
– 6x + 9)(2x

2
+ 6x + 9).
Chú ý: Số hạng thêm bớt phải có dạng bình phương thì mới làm tiếp bài
được.
* Thêm bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện thừa số chung.
Ví dụ: x
4

+ 4 = x
4

+ 4x
2
+ 4 -4x
2

= (x
2
+2)
2
– (2x)
2
= (x
2
+ 2 +2x)(x
2
+ 2 – 2x)
2.3.4. Phương pháp đổi biến.
Thực hiện đỏi biến của đa thức đã cho được đa thức mới bậc nhỏ hơn
và đơn giản hơn.

* Các ví dụ.
Ví dụ 1: ( x
2

+x)
2
+ 4x
2
+ 4x – 12
Ta thấy nếu đặt (x
2
+ x) = y thì đa thức có dạng y
2
+ 4y -12.
Ta có: y
2
+ 4y – 12 = y
2

+ 6y – 2y – 12
= y(y + 6) – 2(y + 6)
= (y+ 6)(y – 2).
Tương đương với: (x
2
+ x +6)(x
2
+ x – 2) = (x
2
+ x +6)(x + 2)(x – 1).
Ví dụ 2: (x +2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 .

Ta có: (x +2)(x+3)(x+4)(x+5) – 24 = [ (x +2)( x+5) ] [ (x+3)(x+4) ]– 24
= (x
2

+ 7x +10)(x
2
+ 7x + 12) – 24 (*)
Đặt x
2
+ 7x + 11 = y, thì (*) bằng; (y-1)(y+1) – 24 = y
2
– 25 = (y-5)
(y+5)
Tương đương với (x
2
+ 7x +16)(x
2
+7x +6) = (x+1)(x+6)(x
2
+ 7x +16).
10
2.3.5. Phương pháp hệ số bất định
Ví dụ:
x
4
– 6x
3
+ 4x
2
+ 14x + 3

Các hệ số -1;1; -3; 3 không phải là nghiệm của đa thức trên nên đa thức
không có nghiệm hữu tỷ.
Như vậy đa thức trên khi phân tích sẽ có dạng: (x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d).
Phép nhân này cho kết quả: x
4
+ (a+c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta được:
a +c = -6
ac + b + d = 4
ad + bc = 14
bd = 3
Xét db =3 với b,d thuộc Z,
{ }
1; 3b
∈ ± ±
; với b =-3 thì d = -1.
Khi đó a+ c =-6 ac = 8 -a –3c = 14
Suy ra: a =-2; c= -4,
vậy đa thức được phân tích thành: (x
2
- 2x - 3)(x
2

- 4x - 1).
Chú ý: Khi biết kết quả ta có thể trình bày lời giải trên bằng cách tách
hạng tử :
x
4
– 6x
3
+ 4x
2
+14x +3 = x
4
-2x
3
– 3x
2
– 4x
3
+ 8x
2
+ 12x – x
2
+ 2x + 3
= x
2
(x
2
-2x – 3) – 4x(x
2
– 2x – 3) – (x
2

-2x – 3)
= (x
2
- 2x - 3)(x
2
- 4x - 1).
2.3.6. Phương pháp xét giá trị tuyệt đối.
Trong phương pháp này trước hết ta xác định các thừa số chứa biến của
đa thức rồi gán cho các biến giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại.
Ví dụ:
P = x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y).
Nếu thay x = y thì P = y
2
(y – z) + y
2
(z – y).
Như vậy P chứa thừa số x-y. Do vai trò của x, y, z như nhau trong P nên P
chứa x-y thì cũng chứa y-z và z-x.
Vậy dạng của P là k(x – y)(y – z)(z – x).
11
Ta thấy k phải là hằng số vì có bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z còn
tích (x-y)(y-z)(z-x) cũng có bậc 3 đối với các biến x, y, z.
Ta có x
2

(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) . đúng với
mọi x,y,z.
Nên ta gán cho các biễn x, y, z các giá trị riêng x =1, y =0, z =-1.
Ta có: 1.1 +0 +1.1 = k.1.1.(-2) suy ra k = - 1.
Phần thứ ba
Kết luận chung và kiến nghị
3.1. Kết luận chung
Trên đây là những suy nghĩ và việc làm của tôi đã thực hiện ở lớp 8,9 đã
có những kết quả đáng kể với học sinh .
Cuối năm học các em đã quen với loại toán “phép nhân, phép chia các đa
thức và phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”, đã nắm được các
dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trình bày đầy đủ
khoa học, lời giải chặt chẽ rõ ràng, cá em bình tĩnh tự tin và cảm thấy thích
thú khi giải loại toán này .
Do điều kiện và năng lực bản thân tôi còn hạn chế, các tài liệu tham khảo
chưa đầy đủ nên chắc chắn còn những điầu chưa chuẩn, những lời giải chưa
phải là hay và ngắn gọn nhất. Nhưng tôi mong sáng kiến này ít nhiều cũng giúp
học sinh hiểu kỹ hơn về loại toán giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy ở trường phổ
thông, nhất những bài học rút ra từ nhiều năm dự giờ thăm lớp của các
đồng nghiệp, đồng chí cùng trường cũng như trường bạn. Cùng với sự giúp
đỡ nhiệt tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn trường
THCS Tuân Lộ. Tôi đã hoàn thành sáng kiến “ giải pháp thực hiện phép
nhân, phép chia đa thức và phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
cho học sinh lớp 8, lớp 9 trường THCS.
Tôi xin chân thành cảm ơn các đồng chí trong ban giám hiệu nhà trường,

cảm ơn các đồng chí trong tổ chuyên môn trường THCS Tuân Lộ đã giúp
12
hoàn thành sáng kiến này. Tôi rất mong được sự chỉ bảo của các đồng chí
chuyên môn phòng giáo dục và đào tạo, ý kiến đóng góp của các đồng chí
để vốn kinh nghiệm giảng dạy của tôi được phong phú hơn.
3.2. Kiến nghị
- Đề nghị hội đồng tuyển sinh huyện cần quan tâm hơn đến chất lượng
tuyển sinh đầu vào.
- Đề nghị phòng giáo dục và đào tao mở các chuyên đề để chúng tôi có
điều kiện trao đổi và học hỏi thêm.
- Đề nghị hội phụ huynh học sinh cần quan tâm hơn nữa đến việc học
tập của con em mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tuân Lộ, ngày 20 tháng 04 năm 2012
Người viết sáng kiến
Lê Thị Xuân Hồng.
Nhận xét đánh giá của Hội đồng khoa học nhà trường
Nhận xét đánh giá của Hội đồng khoa học
Phòng giáo dục và đào tạo huyện Tân Lạc
13
MỤC LỤC
NỘI DUNG TRANG
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Tài liệu tham khảo
Phần thứ nhất: Đặt vấn đề 1
1.1. Lý do chọn sáng kiến. 1
1.2. Mục đích của sáng kiến. 1
1.3. Phương pháp nghiên cứu chủ yếu. 2
Phần thứ hai: Nội dung 3

2.1. Phép nhân và chia các đa thức . 3
2.2. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. 4
2.3. Đa thức bậc ba trở lên 7
Phần thứ ba: Kết luận chung và kiến nghị 12
3.1.Kết luận chung
3.2.Kiến nghị.

14