SKKN HAY: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ

MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Một số phơng pháp giải BàI TOáN
CựC TRị TRONG ĐạI Số ở trờng thcs
A - lời nói đầu
C
ác bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em
học sinh ở bậc học này. ở cấp 3 (THPT), để giải quyết các bài toán về cực trị đại số, tìm
giá trị cực đại, cực tiểu, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biẻu thức đại số, ngời ta thờng
phải dùng đến công cụ cao cấp của toán học: đạo hàm của hàm số.
ở cấp THCS, vì không có (hay nói chính xác hơn là không đợc phép dùng ) công
cụ cao cấp của toán học nói trên, nên ngời ta phải bằng các cách giải thông minh nhất,
tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ kiến thức toán học ở cấp THCS để
giải quyết bài toán loại này. Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS góp phần không
nhỏ vào việc rèn luỵên trí thông minh cho học sinh ở cấp học này.
Để giải các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS, học sinh phải biến đổi đồng nhất
các biểu thức đại số, phải biến đổi và sử dụng khá nhiều các dạng hằng đẳng thức đáng
nhớ từ dạng đơn giản đến dạng phức tạp. Bởi thế, có thể nói, các bài toán cực trị đại số ở
cấp THCS tạo ra các khả năng giúp học sinh có điều kiện để "rèn luyện kỹ năng biến đổi
đồng nhất " các biểu thức đại số.
Các bài toán về cực trị đại số ở cấp THCS còn có sự liên quan mật thiết đến các kiến
thức chứng minh bất đẳng thức, phép giải phơng trình và hệ phơng trình, trong chừng
mực nào đó đến giới hạn tuy còn ẩn tàng và nhiều lỉnh vực khác về tập hợp, về kiến
thức hàm số và đồ thị, v.v
Về mặt t tởng các bài toán cực trị đại số giúp học sinh thêm gần gũi với kiến thức
thực tế của đời sống xã hội, rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những
công việc đạt đợc hiệu quả cao nhất, tốt nhất.
Tóm lại, các bài toán cực trị đại số ở cấp THCS là các bài toán tổng hợp các kiến
thức và kỹ năng tính toán, kỹ năng t duy ở cấp học này, nó rất cần thiết cho việc bồi d-
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
1
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S

ỡng học sinh giỏi toán ở cấp THCS và cũng là tài liệu tự bồi dỡng của đội ngũ giáo viên
ở cấp THCS .
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong Đại số còn gọi là bài toán cực trị
Đại số. Các em không thờng gặp bài toán dạng này trong các sách giáo khoa môn Toán,
bởi chúng là các bài toán khó. Các bài toán cực trị thờng yêu cầu các em vận dụng nhiều
kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả năng
phán đoán. Nó lại thờng có nhiều con đờng đi đến đích bằng cách vận dụng nhiều kiến
thức khác nhau. Trong đó có những cách giải ngắn gọn hợp lí. Viêc giải toán cực trị giúp
học sinh có thói quen đi tìm phơng án tối u khi giải quyết các công việc trong đời sống,
kỷ thuật.
Trong phần trình bày tôi giới thiệu môt số phơng pháp thờng dùng khi giải bài toán
cực trị và một số bài bài tập áp dụng các kiến thức đó. Tôi hy vọng với phần trình bày
này sẽ giúp các em bớt khó khăn, tiến tới tự mình giải đợc các bài toán dạng này và khi
đó chắc chắn các em sẽ thấy là những bài toán thú vị.
B - Nội dung nghiên cứu
I- Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một
biểu thức
1. Định nghĩa giá trị lớn nhất
Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, kí
hiệu : M = maxf(x), nếu hai điều kiện sau đợc thoã mãn :
- Với mọi x thuộc D thì f(x) M, với M là hằng số .
- Tồn tại x
0
thuộc D sao cho f(x
0
) = M.
2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất
Cho biểu thức f(x) xác định trên D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, kí hiệu :
m = minf(x), nếu hai điều kiện sau đợc thoã mãn :
- Với mọi x thuộc D thì f(x) m, với m là hằng số.

- Tồn tại x
0
thuộc D sao cho f(x
0
) = m.
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
2
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Ta cũng định nghĩa giá trị lớn nhất của biểu thức f(x,y, ); giá trị nhỏ nhất của biểu
thức f(x,y, ) bằng cách tơng tự.
II. Các phơng pháp
Ph ơng pháp 1 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của
một biểu thức đại số bằng cách đa về dạng A(x)

0 ( hoặc A(x)

0 )
a) Cơ sở lí luận
- Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không dơng thì số 0 có giá trị
lớn nhất.
- Trong tập hợp các số ( nguyên, hửu tỉ, thực ) không âm thì số 0 có giá trị
nhỏ nhất.
Từ đó, có thể suy ra rằng trong tập hợp M ={A(x) A(x)

0 } thì A(x) đạt giá
trị nhỏ nhất khi A(x) = 0, và trong tập hợp N = {B(x) B(x)

0 } thì B(x) đạt giá trị lớn
nhất khi B(x) = 0 .
b) Các thí dụ

Thí dụ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A(x) = 2x
2
- 8x + 1, trong đó x là biến số lấy các giá
trị thực bất kì.
Giải : A(x) = 2x
2
- 8x + 1 = 2x
2
- 2.4x + 1 = 2( x
2
- 2.2x + 4 - 4 ) + 1
= 2 ( x - 2 )
2
- 7
Với mọi gí trị của x, ( x-2)
2


0 nên ta có A(x) = 2( x - 2)
2
- 7

-7
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng -7, khi đó x = 2
Đáp số : A(x)
(nhỏ nhất)
= -7, với x = 2.
Thí dụ 2 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M(x) = -5x

2
- 4x + 1, trong đó x là biến số lấy giá trị
thực bất kì .
Giải: Ta có : M(x) = -5x
2
- 4x + 1 = -5( x
2
+
5
4
x ) +1
= -5( x
2
+ 2.
5
2
x +
25
4
-
25
4
) + 1
= -5( x +
5
2
)
2
+
5

9
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
3
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Ta thấy ( x+
5
2
)
2


0, với mọi giá trị x nên -5(x +
5
2
)
2


0.
Từ đó suy ra rằng M(x) = -5( x +
5
2
)
2
+
5
9

5
9
Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) =
5
9
, lúc đó x =
5
2
.
Đáp số : M(x)
(lớn nhất )
=
5
9
, khi x =
5
2
.
Ph ơng pháp 2 - Phơng pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu
thức đại số bằng cách đa về dạng
2
)(
k
xA


0 ( hoặc
2
)(
k

xA

0 ).
Thí dụ 3 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số sau: A(x) =
x
xx
3
1615
2
++
, với x thuộc miền số
thực dơng.
Giải : Ta có : A(x) =
x
xx
3
1615
2
++
=
x
xxx
3
23168
2
++
=
x
xx

3
23)4(
2
+
Vì x > 0, nên ta có : A(x) =
3
23
3
)4(
2
+

x
x
Với
x
> 0, thì ( x - 4 )
2
0, do đó A(x) =
3
23
3
)4(
2
+

x
x

3

23

Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) =
3
23
, lúc đó x = 4.
Đáp số : A(x)
(nhỏ nhất )
=
3
23
với x = 4.
Thí dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số M(x) =
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
với

x

R.
Giải:
Ta có:
M(x) =
32

1063
2
2
++
++
xx
xx
=
2)1(
1
3
32
1
3
32
1)32(3
32
1963
222
2
2
2
++
+=
++
+=
++
+++
=
++

+++
xxxxx
xx
xx
xx
(vì x
2
+ 2x + 3 = ( x + 1 )
2
+ 2 > 0)
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
4
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Mặt khác, vì ( x + 1 )
2
0,

x

R nên ( x+1 )
2
+ 2 2,

x

R, và do đó
2
1
2)1(
1

2

++x
.
Từ đó ta có M(x) = 3 +
=+
++
2
1
3
2)1(
1
2
x
3
2
1
Vậy M(x) đạt giá trị lớn nhất khi M(x) = 3
2
1
, lúc đó (x+1)
2
= 0, hay x=-1.
Đáp số : M(x)
(lớn nhất )
= 3
2
1
, với x=-1.
Thí dụ 5.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : F(x,y) =
22
1)(
2442
222
+++
++
xyyx
xyyxy
, với

x,y

R.
Giải : Ta có F(x) =
22
1)(
2442
222
+++
++
xyyx
xyyxy
=
2
1
)2)(1(
1
2)2(
1

224
4
224
242
+
=
++
+
=
+++
++
xxy
y
xxy
xyyxy
( vì
y
4
+ 1 0,

y

R )
Mặt khác x
2
0,

x

R nên x

2
+ 2 2,

x

R do đó F(x,y) =
2
1
2
1
2

+x
.
Vậy F(x,y) đạt giá trị lớn nhất khi F(x,y) =
2
1
, lúc đó x = 0.
Đáp số : F(x,y)
( lớn nhất )
=
2
1
; với x = 0,

y

R.
Ph ơng pháp 3 - Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng cách
áp dụng bất đẳng thức Côsi.

a) Cơ sở lí luận :
Bất đẳng thức Côsi đợc viết dới các dạng khác nhau dới đây ( chỉ áp dụng với các số
không âm ).
1. Dới dạng căn thức :
1)
ba
ba
.
2

+
2)
3

3
cba
cba

++
3) Một cách tổng quát:
n
n
n
aaaa
n
aaaa


321
321

++++
2. Dới dạng luỹ thừa :
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
5
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
1)
ba
ba
.
2
2







+
2)
cba
cba

3
3

++
3)
n
n
n
aaaa
n
aaaa


321
321







++++
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất
Chứng minh rằng nếu hai đại lợng dơng x và y có tích luôn luôn không đổi thì tổng
của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi giá trị của chúng bằng nhau.
Giải .
Từ bài toán trên, ta phải chứng minh rằng với x > 0, y > 0, và xy = k
2
(không đổi) thì

x + y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y.
Thật vậy
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dơng ta có :
xy
yx







+
2
2
hay ( x+y)
2


4xy
hay x+y

4
xy

Theo giả thiết : Ta có xy = k
2
(không đổi), nên ta có :
x + y
kk 2.2

2
=
(*)
Vậy tổng M = x + y lấy giá trị nhỏ nhất khi x + y = 2k.
Theo bất đẳng thức Côsi, x + y = 2k = 2
xy
khi và chỉ khi x = y. Vậy x + y = 2k khi và
chỉ khi x = y.
Tóm lại :
Bài toán tìm giá trị lớn nhất
Chứng minh rằng, nếu hai đại lợng dơng có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá
trị lớn nhất khi và chỉ khi giá trị của chúng bằng nhau.
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
Với x > 0, y > 0 và xy = k
2
(không đổi ), thì x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y
6
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Giải : (áp dụng bất đẳng thức Côsi và chứng minh tơng tự ở trên)
Tóm lại
Với x > 0, y > 0 và x + y = k
2
(không đổi ) thì xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y
Chúng ta sẽ sử dụng kết quả của hai bài toán trên để giải các bài toán về cực trị đại số.
Thí dụ 6
Tìm giá tri nhỏ nhất của biểu thức đại số sau: A(x) =
x
x 28
2
+

, với x > 0.
Giải : Ta có : A(x) =
x
x 28
2
+
= 8x +
x
2
Ta thấy 8x và
x
2
là hai đại lợng lấy giá trị dơng không đổi, nhng tích của chúng 8x.
x
2
=
16 luôn luôn không thay đổi.
Vậy A(x) = 8x +
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 8x =
x
2
hay 8x
2
= 2
Từ đây, ta tính đợc x
2
=
4

1
, suy ra x =
2
1
hoặc x =
2
1

. Kết hợp với điều kiện x > 0, ta
chỉ lấy giá trị x =
2
1
.
Với x =
2
1
; A(x)
( nhỏ nhất )
= 8.
2
1
+
2
1
1
= 4 + 4 = 8.
Đáp số : A(x)
( nhỏ nhất )
= 8; với x =
2

1
.
Thí dụ 7:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số B(x) =16x
3
- x
6
, với x thuộc tập hợp số thực d-
ơng.
Giải:
Trớc hết ta phải tìm cách biến đổi để áp dụng đợc các bài toán áp dụng bất đẳng thức
Côsi.
Từ B(x) = 16x
3
- x
6
, ta có : B(x) = x
3
(16 -x
3
). Rõ ràng x
3
> 0; còn 16 - x
3
> 0
khi 16 > x
3
hay x <
3
16

(*)
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
7
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Đến đây ta nhận thấy rằng x
3
và 16 - x
3
là hai đại lợng biến đổi nhng tổng của chúng x
3
+
(16-x
3
) = 16 luôn luôn không thay đổi, vậy tích của chúng B(x) = x
3
(16-x
3
) đạt giá trị lớn
nhất khi và chỉ khi x
3
= 16 - x
3
. Từ đây ta có : 2x
3
= 16 hay x
3
= 8. Ta tính đợc
x = 2. Giá trị x = 2 thoả mãn điều kiện (*).
Vậy B(x) đạt giá trị lớn nhất tại giá trị x = 2.
B(x)

( lớn nhất )
= 16 . 2
3
-2
6
=(16-2
3
).2
3
= 8 . 8 = 64.
Đáp số: B(x)
( lớn nhất )
= 64, với x = 2
Ph ơng pháp 4 - Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.
Thí dụ 8. Với giá trị nào của x thì biểu thức
P(x) =
52
3568056164
2
234
++
++++
xx
xxxx
, đạt giá trị nhỏ nhất.
G iải
Đây là một bài toán rất khó giải đối với học sinh. Bởi vì trong bài toán còn ẩn tàng cả
phép giải phơng trình, xét các dấu hiệu có thể áp dụng đợc bất đảng thức Côsi hay
không, ngoài ra việc biến đổi đồng nhất để rút gọn đợc biểu thức không phải không có
khó khăn

1)Trớc hết ta biến đổi biểu thức về dạng để có thể áp dụng đợc các bài toán về bất đẳng
thức Côsi.
Bằng cách biến đổi đồng nhất, ta cũng có thể biến đổi tử thức thành tích các nhân tử và
sau đó rút gọn. Cách này khá dài dòng và gặp không ít khó khăn
Để đơn giản hơn, ta dùng phơng pháp chia đa thức cho đa thức
4x
4
+ 16x
3
+ 56x
2
+ 80x + 356
4x
4
+ 8x
3
+ 20x
2
Kết quả ta đợc :
P(x) = 4x
2
+ 8x + 20 +
52
256
2
++ xx
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
8
x
2

+ 2x +5
4x
2
+ 8x + 20
0 + 8x
3
+ 36x
2
+ 80x +356
8x
3
+ 16x
2
+ 40x
0 + 20x
2
+ 40x + 356
20x
2
+ 40x + 100
0 + 0 + 256
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Vì x
2
+ 2x + 5 = x
2
+ 2x + 1 + 4 = (x+1)
2
+ 4

> 0

(*),

nên P(x) luôn luôn xác đinh với
mọi giá trị x.
2) Đặt ẩn phụ để đa về xét biểu thúc có dạng đơn giản hơn
Từ P(x) = 4x
2
+ 8x + 20 +
52
256
2
++ xx
, ta có : P(x) = 4 ( x
2
+ 2x + 5 ) +
52
256
2
++ xx
Đặt y = x
2
+ 2x + 5, ta có :
P(x) = 4y +
y
256
, và y = x
2
+ 2x + 5 > 0 với mọi x.

4y và
y
256
là các đại lợng luôn lấy giá trị dơng và có tích bằng 1024 ( không đổi ). Vậy
tổng 4y +
y
256
đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi 4y =
y
256
.
Từ đây ta đợc y
2
= 64.
Giải phơng trình y
2
= 64, ta đợc y = 8 hoặc y = -8.
Từ trên , vì y > 0 nên ta chỉ lấy giá trị y = 8.
Với y = x
2
+ 2x + 5 = 8, giải phơng trình bậc hai này ta đợc x = -3 , x = 1.
Vậy P(x) lấy giá trị nhỏ nhất khi x = -3 hoặc x = 1 ( ứng với y = 8 ), ta tính đợc :
P(x) = 4.8 +
8
256
= 64.
Đáp số : P(x) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 64 khi x = -3 hay x = 1.
Thí dụ 9 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số sau :
Q(x) = ( x
2

- 2x + 2 ) ( 4x - 2x
2
+ 2 ), với

x

R .
Giải: Nhận xét về các hệ số của ẩn x, ta thấy rằng 4x - 2x
2
= 2 ( 2x - x
2
) = -2( x
2
- 2x).
Do đó đặt x
2
- 2x + 2 = y thì ta có : 4x - 2x
2
+ 2 = -2( x
2
- 2x + 2) + 6 = -2y + 6
Vậy Q(x) = ( x
2
- 2x + 2 ) ( 4x - 2x
2
+ 2 ) = y ( 6 - 2y )
Ta liên tởng đến vấn đề tích 2 số lớn nhất khi tổng của chúng không đổi. ở đây y và
6 - 2y thoả mãn điều kiện trên vì thế để tìm giá trị lớn nhất của Q(x) ta chuyển sang tìm
giá trị lớn nhất của biểu thức P(x) = 2.Q(x)
Ta có P(x) = 2.Q(x) = 2.y( 6 - 2y)

Ta thấy y = x
2
- 2x + 2 = ( x - 1 )
2
+ 1 > 0, 6 - 2y > 0 khi 6 > 2y hay y < 3
Ta lại có 2y + ( 6 - 2y ) = 6 không đổi .
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
9
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Vậy P(x) = 2.Q(x) đạt giá trị lớn nhất khi 2y = 6 - 2y, lúc đó y =
2
3
( thoả mãn ĐK ).
Vậy P(x)
Lớn nhất
= 2.
2
3
( 6 - 2.
2
3
) = 3.3 = 9.
Q(x)
Lớn nhất
=
2
9
= 4,5.
Lúc đó y =
2

3
, hay x
2
- 2x + 2 =
2
3
. Giải phơng trình bậc hai ta đợc : x = 1
2
2
.
Đáp số : Q(x)
Lớn nhất
= 4,5 ; với x = 1
2
2
.
Ph ơng pháp 5 - Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các biểu thức chứa nhiều đại lợng.
Thí dụ 10 .
Tìm giá trị của m và p sao cho : A = m
2
- 4mp + 5p
2
+ 10m - 22p + 28 đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải : Ta có A = ( m
2
- 4mp + 4p
2
) + ( p
2

- 2p + 1 ) + 27 + 10m - 20p
= ( m - 2p )
2
+ ( p - 1 )
2
+ 27 + 10( m - 2p )
Đặt X = m - 2p, ta có :
A = X
2
+ 10X + ( p - 1 )
2
+ 27 = ( X + 5 )
2
+ ( p - 1 )
2
+ 2.
Đến đây, ta thấy rằng ( X + 5 )
2
0,

m, p

R; ( p -1 )
2
0 ,

p

R, do đó A đạt giá
trị nhỏ nhất khi X + 5 = 0 và p - 1 = 0.

Lúc đó ,



=
=
1
5
p
X
, hay



=
=
1
52
p
pm




=
=
1
3
p
m

.
Vậy A
( Nhỏ nhất )
= 2 ; với p = 1; m = -3.
Thí dụ 11. Với giá trị nào của x và y, biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất ?
F(x,y) = x
2
+ 26y
2
- 10xy + 14x - 76y + 59.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải: Ta có F(x,y) = x
2
+ 26y
2
- 10xy + 14x - 76y + 59 = ( x
2
- 10xy + 25y
2
) + ( y
2
- 6y
+ 9 ) + ( 14x - 70y ) + 50 = ( x - 5y )
2
+ ( y - 3 )
2
+ 14( x - 5y ) + 50.
Đặt Z = x - 5y, ta có :
F(x,y) = Z
2

+ ( y - 3 )
2
+ 14Z + 50 = ( Z + 7 )
2
+ ( y - 3 )
2
+ 1.
Vì ( Z + 7 )
2
0 và ( y - 3 )
2
0 với mọi giá trị x, y nên F(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất khi
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
10
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
( Z + 7 )
2
= 0 và ( y - 3 )
2
= 0. Từ đó suy ra Z = -7, y = 3 hay



=
=
3
75
y
yx

=
=
3
8
y
x
Đáp số : F(x,y)
nhỏ nhất
= 1, với x = 8, y = 3.
Ph ơng pháp 6- Phơng pháp giải các bài toán cực trị đại số có hệ ràng buộc ( thoả mãn
một hệ các điều kiện nào đó ).
Thí dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P(x,y) = 6x + 4y thoả mản điều kiện :





>
>
=
0
0
216
y
x
xy
Giải: Vấn đề quan trọng và then chốt là ta phải tìm ra từ biểu thức đã cho P(x,y) = 6x +

4y ta làm xuất hiện đợc các yếu tố ràng buộc đã cho.
Từ P(x, y) = 6x + 4y, với x > 0, y > 0 nên 6x > 0, 4y > 0 và do đó
[ ]
)4).(6.(4)46(),(
2
2
yxyxyxP +=
( áp dụng bất đẳng thức Côsi )
Từ đó
[ ]
96.4.6.4),(
2
xyxyyxP =
Đến đây ta làm xuất hiện tích xy.
Theo giả thiết ( ràng buộc ), ta có xy = 216, suy ra P(x,y) đạt giá trị nhỏ nhất là:
P(x,y) =
216.96
= 144
Đáp số : P(x,y)
nhỏ nhất
= 144.
Thí dụ 13 . Tìm giá trị của x, y, z để biểu thức sau : F(x,y,z) = 2x + 3y - 4z đạt giá trị nhỏ
nhất. Biết rằng x, y, z thoả mãn hệ ràng buộc sau đây :

=+
=++
0
0
0
4343
632
z
y
x
zyx
zyx
Giải: Từ điều kiện



=+
=++
4343
632
zyx
zyx
, trớc hết ta tính x, y theo z, ta đợc

=
=
(**)23
(*)34
zy
zx
Để x 0 thì 4 - 3z 0, suy ra z
3
4

Để y 0 thì 3z - 2 0, suy ra z
3
2

GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
11
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Để x 0 và y 0, phải có điều kiện :
3
2
z
3
4
(***)
Thay các giá trị của x,y từ (*) và (**) vào biểu thức đã cho ta đợc F(x,y,z) = 2(4 -3z) +
3(3z - 2) - 4z = 2 - z.
Nh vậy F(x,y,z) chỉ còn phụ thuộc vào giá trị của z . F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất khi z đạt
giá trị lớn nhất. Nhng từ ràng buộc, z chỉ có thể lấy các giá trị trong khoảng xác định
3

2

z
3
4
mà thôi .
Từ đó suy ra : F(x,y,z) đạt giá trị nhỏ nhất với hệ ràng buộc đã cho khi z =
3
4
.
Từ đó ta tính đợc x = 4 - 3z = 4 - 3.
3
4
= 0; y = 3z - 2 = 3.
3
4
- 2 = 2
Và F(x,y,z)
nhỏ nhất
= 2 -
3
4
=
3
2
.
Đáp số : F(x,y,z)
nhỏ nhất
=
3

2
; với x = 0, y = 2, z =
3
4
.
Thí dụ 14 . Cho biểu thức đại số sau : P = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
; với x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x

5
là các đại lợng lấy giá trị không âm.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của P, biết rằng : x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= 1.
Giải: Từ

P = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x

5
, và vì x
1
x
4
+ x
2
x
5
0, ta có :
P = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
x
1
x
2

+ x
2
x
3
+ ( x
1
x
4
+ x
2
x
5
) + x
3
x
4
+ x
4
x
5
Biến tổng thành tích ta đợc :
P x
2
(x
1
+ x
3
+ x
5
) + x

4
(x
1
+ x
3
+ x
5
) hay P (x
2
+ x
4
) (x
1
+ x
3
+ x
5
)
Đến đây ta nhận thấy rằng :
Do giả thiết các x
i
( i = 1,2, ,5) 0 nên các tổng (x
1
+ x
3
+ x
5
) và tổng (x
2
+ x

4
) là đại
lợng không âm.
Đặt U = x
1
+ x
3
+ x
5
; V = x
2
+ x
4
Ta có : U 0, V 0 và U + V = 1
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
VU
VU
.
2

+
hay
VU
VU
.
2
2

+
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
12
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S

( )( )
42531
2
54321
2
xxxxx
xxxxx
+++






++++
(1)
Ta lại có : (x
2
+ x
4
) (x

1
+ x
3
+ x
5
) = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
1
x
4
+ x
2
x
5
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
Suy ra (x

1
+ x
3
+ x
5
)(x
2
+ x
4
) x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
54433221
2
54321

x x x x x x xx
2
+++






++++ xxxxx
Theo giả thiết, ta có x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= 1, nên ta có

4
1
x
1
x
2
+ x
2

x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
.
P = x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ x
3
x
4
+ x
4
x
5
đạt giá trị lớn nhất bằng
4
1

khi và chỉ khi
( )( )





=+=++
+++=+++
2
1
x x x x x x xx
42531
4253154433221
xxxxx
xxxxx
Từ trên ta suy ra x
1
= x
2
= x
5
= 0, x
3
= x
4
=
2
1
Đáp số : P

( lớn nhất )
=
4
1
, với x
1
= x
2
= x
5
= 0 và x
3
= x
4
=
2
1
.
Ph ơng pháp 7 - Giải các bài toán cực trị đại số bằng phơng pháp sử dụng bất đẳng thức
Bunhiacôpski.
1. Bất đẳng thức Bunhiacốpski
a) Viết dới dạng luỹ thừa :
( ax + by )
2
( a
2
+ b
2
) ( x
2

+ y
2
)
Dấu bằng xẩy ra khi
b
y
a
x
=

( ax + by + cz )
2
( a
2
+ b
2
+ c
2
) ( x
2
+ y
2
+ z
2
)
Dấu bằng xẩy ra khi
c
z
b
y

a
x
==
.
Tổng quát ta có :
( a
1
b
1
+ a
2
b
2
++ a
n
b
n
)
2
( a
1
2
+ a
2
2
++ a
n
2
)( b
1

2
+ b
2
2
++ b
n
2
)
Dấu bằng xẩy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
.
b) Viết dới dạng căn thức:
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
13
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
ax + by
) y x( ) b a (
2222

++
Dấu bằng xẩy ra khi
b
y
a
x
=
ax + by + cz
)z y x( ) c b a (
222222
++++
Dấu bằng xẩy ra khi
c
z
b
y
a
x
==
.
* Tổng quát ta có :
a
1
b
1
+ a
2
b
2
++ a

n
b
n

) b b b )( a a a (
n
n
2
2
1
2
n
n
2
2
1
2
++++++
Dấu bằng xẩy ra khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2

1
1
.
2. Các thí dụ
Thí dụ15
Tìm các giá trị của x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất :
P = x
2
+ y
2
+ z
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Biết rằng x + y + z = 1995.
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho các bộ số 1, 1, 1 và x, y, z ta có :
( x.1 + y.1 + z.1 )
2
( 1
2
+ 1
2
+ 1
2
)( x
2
+ y
2
+ z
2
)

hay ( x + y + z )
2
3 . ( x
2
+ y
2
+ z
2
)
Từ đó ta có : P = x
2
+ y
2
+ z
2

( )
3
2
zyx ++
Theo giả thiết : x + y + z = 1995, nên ta có P = x
2
+ y
2
+ z
2

3
1995
2

với
Rzyx ,,
.
P đạt giá trị nhỏ nhất khi dấu đẳng thức xẩy ra, tức P =
3
1995
2
chỉ khi
111
z
y
x
==

( hay x = y = z ).
Từ



=++
==
1995zyx
z y x
ta tính đợc x = y = z =
3
1995
= 665.
Đáp số : P
( nhỏ nhất )
=

3
1995
2
, với x = y = z = 665.
Thí dụ 16
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
14
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Cho biểu thức Q(x,y,z) =
zyx 542 ++
, trong đó x, y, z là các đại lợng
thoả mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 169.
Tìm các giá trị của x, y, z để sao cho Q(x,y,z) đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Giải
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho các bộ số 2, 4,
5
và x, y, z ta có :
( ) ( )
( )
222
2
22
2
542542 zyxzyx ++

++++
,
hay Q
2
(x,y,z) = ( 2x + 4y +
5
z )
2

( )
( )
222
2
22
542 zyx ++






++
.
Theo giả thiết ta có : x

2
+ y
2
+ z
2
= 169, với
Rzyx ,,
, do đó ta có :
Q
2
(x,y,z) 25.169 và lúc đó
5
42
z
y
x
==
(*).
Từ (*) ta có z =
2
5x
, y =
2
4x
= 2x thay vào phơng trình x
2
+ y
2
+ z
2

= 169, ta có :
x
2
+ ( 2x )
2
+ (
2
5x
)
2
= 169
x
2
+ 4x
2
+
4
5
2
x
= 169
25x
2
= 4.169 x
2
=
25
169.4
x =
5

26
.
* Với x =
5
26
, y =
5
52
, z =
5
513
* Với x = -
5
26
, y = -
5
52
, z = -
5
513
.
Q(x,y,z)
( lớn nhất )
=
169.25
= 5.13 = 65.
Đáp số : Q(x,y,z)
( lớn nhất )
= 65 ứng với các bộ số ( x =
5

26
; y =
5
52
; z =
5
513
).
Ph ơng pháp 8 - Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị.
Thí dụ17 : Tìm giá trị lớn nhất của A = x
2
( 3 - x ), với x 0 .
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
15
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Giải : a) Xét 0 x 3. Ta có : A = 4.
2
.
2
xx
( 3 - x ).
áp dụng bất đằng thức Côsi cho 3 số không âm
2
,
2
xx
, 3 - x ta đợc

2
.

2
xx
( 3 - x )
1
3
3
22
3
=


















++ x
xx
.

Do đó A 4.1 = 4 (1)
b)Xét x > 3, khi đó A < 0 (2)
So sánh (1) và (2) ta đi đến kết luận : MaxA = 4






=
0
3
2
x
x
x
x = 2.
Thí dụ18 : Tìm giá trị lớn nhất của B = x
2
1 x
.
Giải : a) Xét -1 x 0 thì B 0 (1)
b) Xét 0 < x 1 thì B = x
2
1 x

2
1
2
)1(

22
=
+ xx
Do đó Max B =
2
1




>
=
0
1
22
x
xx
x =
2
2
Ph ơng pháp 9 : Phơng pháp áp dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai.
Chúng ta biết rằng điều kiện cần và đủ để phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a 0)
có nghiệm là = b
2
- 4ac 0 hoặc
,
= b
,2

- ac ( với b = 2b
,
); điều kiện này đợc sử dụng
để giải khá nhiều dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN)
của một biểu thức. Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Thí dụ 19. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q =
1
22
2
2
+
+
xx
xx
.
Giải: Do x
2
- x + 1 > 0 với mọi x nên Q xác định với mọi x. Giả sử tồn tại x để Q đạt
GTLN và GTNN, khi đó phơng trình Q.( x
2
- x + 1) = x
2
- 2x + 2
(Q - 1) x
2
+ (2 - Q) x + Q - 2 = 0 (*) phải có nghiệm đối với ẩn x.
Nếu Q = 1 thì (*) x = 1.
Nếu Q 1 thì (*) là một phơng trình bậc hai đối với ẩn x, có nghiệm
x
0

GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
16
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
(2 - Q)
2
- 4(Q - 1)(Q - 2) 0 (Q - 2)(-3Q + 2) 0
3
2
Q 2.
Vì
3
2
< 1 < 2 suy ra : Q đạt GTLN là 2 x = 0 ( thay vào (*) );
Q đạt GTNN là
3
2
x = 2.
Nhận xét : Ví dụ 1 có thể mở rộng cho biểu thức tổng quát có dạng
Q(x) =
22
2
2
11
2
1
cxbxa
cxbxa
++
++
với b

2
2
- 4a
2
c
2
< 0.
Thí dụ 20 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q =
7
12
2
2
++
++
yx
yx
.
Giải: Ta có Q xác định với mọi x, y.
Ta tìm Q để tồn tại x, y thỏa mãn Q =
7
12
2
2
++
++
yx
yx
hay Q.x
2
- x + Q.y

2
+ 7Q - 2y - 1 = 0
(*)
Với Q = 0 thì (*) trở thành x + 2y + 1 = 0 hiển nhiên tồn tại x và y, chẳng hạn x = 0,
y =-
2
1
.
Với Q 0 thì tồn tại x, y thỏa mãn (*) tồn tại y thỏa mãn :
4Q
2
y
2
- 8Qy + 28Q
2
- 4Q -1 0

2
,
4Q
y

0
y
,

0 28Q
2
- 4Q - 5 0 -
14

5
Q
2
1
.
Với x = 1, y = 2 thì Q =
2
1
nên Q đạt GTLN là
2
1
.
Với x =
5
7
, y =
15
14
thì Q = -
14
5
nên Q đạt GTNN là -
14
5
.
Ph ơng pháp 10 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
a) Cơ sở lý luận : Khi tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) hay giá trị lớn nhất (GTLN) của
biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chúng ta thờng xét các trờng hợp để khử dấu giá
trị tuyệt đối để vẽ đồ thị hoặc sử dụng các bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối nh :
ba +

ba +

ba +
, sau đó xét khả năng trở thành đẳng thức. Vấn đề này đề cập đến một
phơng pháp tìm GTNN, GTLN khá hiệu quả cho một lớp bài toán.
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
17
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Giả sử tồn tại m là GTNN của hàm số f(x) trên miền D khi đó f(x)

m với mọi x

D
Với môt số


D thì m sẽ đat tại các giá trị x thoả mãn điều kiện f(x)

f(

). Từ đó xác
định đợc x

K, trong đó K

D đợc gọi là phạm vi tìm kiếm .
Để tìm giá trị m của hàm số f(x) trên miền D, khi đó ta chỉ cần tìm giá trị m trên miền
K(tơng tự đối với GTLN). Nếu chọn đợc số

khác

mà f(

) < f(

) thì ta sẽ xác định
đợc phạm vi tìm kiếm hẹp hơn.
Phơng pháp này cần có kĩ năng giải bất phơng trình để tìm đợc K. Công việc trên đợc ví
giống nh ta đi tìm chiếc chìa khoá bị đánh rơi, nếu ta chắc chắn nó bị rơi trong nhà thì
không lẽ ta lại tìm nó ở ngoài đờng?
b) Một số thí dụ:
Thí dụ 21. Tìm GTNN của hàm số : y = f(x) =
1+x
+
12 x
Giải: Hàm số y = f(x) có tập xác định là R
Cách 1. Vì f(
2
1
) =
2
3
nên ta chỉ cần tìm x thoả mãn f(x)


2
3
, suy ra :

1+x


2
3
;
12 x


2
3
Giải hệ phơng trình trên, ta nhận đợc phạm vi tìm kiếm K =







2
1
;
4
1
Chỉ cần xét x

K, ta có x + 1 > 0; 1 - 2x

0 suy ra f(x) = 2 - x

2
3

Đẳng thức xảy ra

x =

2
1
K
Vậy GTNN của f(x) là
2
3

Cách 2. Ta có
2
1
12 xx
, suy ra
f(x) =
( )






+++++
2
1

1
2
1
1121 xxxxxx
=
2
3
Mặt khác, f(
2
1
) =
2
3
nên GTNN f(x) là
2
3
Bình lụân : Mặc dù cách 2 đơn giản hơn cách 1 nhng không phát huy đợc cho các
bài toán dới đây.
Thí dụ 22. Tìm GTNN của các hàm số sau :
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
18
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
a) y = f(x) =
x
x
2
1 +
;
b) y = g(x) = 3
x

x
2
1 +
;
c) y = h(x) = 2
x
x
x
1
1

++
;
Giải. 1, Lời giải cho cả câu a) và câu b)
Vì f(1) = 2 = g(1) nên ta chỉ cần tìm x thoả mãn :

1x
2;
2
2

x




=

31
1
1
31
x
x
x
x
;
Do f(-1) > 2 và g(-1) > 2 nên ta chỉ cần xét x thuộc miền K =
[ ]
3;1
, ta có
f(x) = (x - 1) +
x
2
= x +
x
2
- 1 2
2
- 1.
Đẳng thức xẩy ra

x =
2

K.
Vậy GTNN của f(x) là 2
2
- 1
g(x) = 3(x - 1) +
x
2
=






+
x
x
1
2
+ x - 3 2.2 + 1 - 3 = 2.
Đẳng thức xẩy ra

x = 1

K.
Vậy GTNN của g(x) là 2.
2) câu c)
Vì h(-1) = 2 nên ta chỉ cần tìm x thỏa mãn h(x) 2 suy ra 2

1+x
2;
x
x 1
2,
Giải hệ hai bất phơng trình này ta thu đợc miền K =
[ ]
1;2
. Với x

K ta có .
h(x) = -2(x + 1) +
x
x 1
= -






+
x
x
1
- x - 1 2 - (-1) -1 = 2.
Đẳng thức xẩy ra

x = -1

K.
Vậy GTNN của h(x) là 2.
III . Bài tập áp dụng
1. Cho biểu thức M(x) = x
2
- 10x + 40 . Với giá trị nào của x thì M(x) đạt giá
trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
19
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
2. Cho biểu thức Q(x) =
544
3
2
+ xx
. Với giá trị nào của x thì Q(x) đạt giá
trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.
3. Cho biểu thức A(x) =
12
1
2
2
++
++
xx
xx
, với x -1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A(x) và giá trị tơng ứng của x.
4. Cho biểu thức F(x) =
126

146
2
2
+
+
xx
xx
.
Tìm giá trị của x để F(x) đạt giá trị lớn nhất.
5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) với A(x) =
4
2
1 x
x
+
6. Tìm giá trị nhỏ nhất của y, biết rằng y =
( )( )
x
xx 82 ++
, với x > 0.
7. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đây đạt giá trị lớn nhất :
A(x) =
( )
2
1995+x
x
, với x > 0.
8. Tìm giá trị cuả x để hàm số y =
( )
12

92)32(
2
22
++
++++
xx
xxxx
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P(x, y) =
yx
11
+
Biết rằng x > 0, y > 0 và x + y = 100
10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M (x, y, z) = xyz
Với hệ ràng buộc sau đây :







>
>
>
=++
0
0

0
300
z
y
x
zxyzxy
11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
B (x,y) = x
2
+ 26 y
2
- 10xy + 14x - 76y + 59
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
20
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
12. Cho hệ phơng trình :












=+
=+

0
0
0
215
5123
z
y
x
yz
zx
Tìm các giá trị của x, y, z để biểu thức A( x, y, z) = x + y + z
đạt giá trị lớn nhất.
13. Cho biểu thức F(x,y,z,t) = 2x + y + z + t.
Hãy tìm giá trị lớn nhất của F(x, y, z, t) biết rằng:






=+
=+
=+
15
60
507
ty
zx
yx
và x, y, z, t là các số không âm

14. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau :
F (x) = x ( x +1 )( x + 2 )( x + 3 )
15. Tìm giá trị của các đại lợng x, y để sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất :
Q(x,y) = x
3
+ y
3
+xy. Biết rằng : x + y = 1.

16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P( x, y, z) =
z
z
y
y
x
x +
+
+ 1
.
1
.
1
Biết rằng x, y, z thoã mãn điều kiện sau :

>
>
>
=++
0
0
0
1
z
y
x
zyx
17. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A ( x ) =
x
x 1995
4
+
, với x > 0
18. Tìm giá trị của x, y, z để sao cho biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất :
F ( x, y, z ) = x
4
+ y
4
+ z
4
Biết rằng x, y, z thoã mãn phơng trình sau : xy + yz + zx = 1
19. cho biểu thức M = x
2

+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
, với x, y, z, t là các số nguyên âm.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tơng ứng của x, y, z, t.
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
21
MT S PHNG PHP GII BI TON CC TR TRONG I S
Biết rằng :





=++
=+
10143
21
222
222
zyx
tyx
20. Cho hàm số :
y =
1
2
+x

+
42
2
x
+
2
321 x
Tìm khoảng xác định của hàm số y. Tính giá trị lớn nhất của hàm số trong
khoảng xác định đó và các giá trị tơng ứng của x .
21. Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau :
a) y =
12121 ++++ xxx
;
b) y =
x
x
x
3
1
22
2

++
;
22. Cho phơng trình bậc hai ẩn số x và y :
x
2
+ 3y
2
+ 2xy - 10x - 14y + 18 = 0.

Hãy tìm các nghiệm số của phơng trình để sao cho biểu thức A = x + y
a) Đạt giá trị lớn nhất ?
b) Đạt giá trị nhỏ nhất ?
c- Kết luận chung
Trong phần trình bày trên tôi đã cố gắng su tầm, phân dạng các bài toán cực trị Đại số
theo các kiến thức thờng dùng khi giải. Tuy nhiên một bài toán cực trị thờng có nhiều
cách giải trong đó có nhiều cách giải ngắn gọn hợp lí đôi khi có cả những phơng án độc
đáo và sáng tạo.
Tôi đã áp dụng đề tài này trong một thời gian tơng đối dài để bồi dỡng học sinh khá, giỏi
tôi thấy lúc đầu học sinh còn mơ hồ về bài toán dạng này nhng sau khi học thì học sinh
đã tích cực học và đạt hiệu quả tơng đối cao. ở trên tôi chỉ trình bày cách giải cho một
bài toán; chắc chắn còn rất nhiều phơng pháp, cách giải bài toán hay và khó tôi cha su
tầm, tìm tòi đợc.
Tôi hy vọng sau khi đọc bạn đọc có ý kiến góp ý, bổ sung để phần trình bày của tôi
hoàn chỉnh hơn, để nó có ích hơn trong quá trình dạy học nhất là trong quá trình bồi d-
ỡng học sinh giỏi.
Xin trân trọng cảm ơn!
GV: Vừ Quang Nht THCS Thy Mai Hng Sn H Tnh
22
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ

GV: Võ Quang Nhật – THCS Thủy Mai – Hương Sưn – Hà Tĩnh
23