TÀI LIỆU TOÁN: QUY TẮC ĐẠO HÀM

Tiết 1,2,3: QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
I/ Mục tiêu:
1/ Về kiến thức: Giúp học sinh
- Hiểu cách chứng minh các quy tắc tính đạo hàm của tổng, tích các hàm số.
- Nắm được định nghĩa về hàm số hợp , định lý về công thức tính đạo hàm của hàm số hợp từ đó
rút ra công thức tính đạo hàm của hàm số hợp y= u
n
(x) và y =
)(xu
.
- Nhớ hai bảng tóm tắc về đạo hàm của một số hàm số thường gặp và quy tắc tính đạo hàm của
tổng, hiệu, tích, thương , hàm hợp.
2/ Kỷ năng:
- Giúp học sinh vận dụng thành thạo các quy tắc tính đạo hàm và hai công thức tính đạo hàm của
hàm số hợp
y= u
n
(x) và y =
)(xu
.
3/ Về tư duy, thái độ:
- Rèn luyện được các kỹ năng tư duy logic và các đức tính cẩn thận , chính xác.
II/ Chuẩn bị:
1/ Giáo viên: Bảng phụ và giáo án.
2/ Học sinh: Kiến thức cũ
III/ Phương pháp dạy & học:
Đàm thoại, nêu vấn đề đan xen hoạt động nhóm.
IV/ Tiến trình dạy học:
Tiết 1:
1/ ổn định lớp:
2/ Kiểm tra: Nhắc lại công thức (c)

’
= ?; (x)
’
= ? ; (x
n
)
’
= ? ; (
x
)
’
= ? ;
áp dụng tính đạo hàm hàm số y = x
5
; y =
x
.
3/ Bài mới:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung – Trình chiếu
H Đ1: Hình thành công thức
tính đạo hàm của tổng ( hiệu)
hai hàm số
- Trong tiết trước ta đã xây dựng
được công thjức tính đạo hàm của
các hàm số đơn giản như từ định
nghĩa ta tính được đạo hàm hàm
số y = x
5
và y =
x

. Liệu đối
với hàm số y = x
5
+
x
ta có thể
tính
được không ? Bây giờ chúng ta
cùng đi tìm công thức?
+ Nếu đặt u(x) = x
5
, v(x) =
x

thì hàm số trở thành :
y = u(x) + v(x)
- Nhắc lại các bước tính đạo hàm
bằng định nghĩa
- Hướng dẫn học sinh thực hiện
1/ Đạo hàm của tổng hay
hiệu hai hàm số:
(u + v)
’
= u
’
+ v
’
.
(u – v)
’

= u
’
– v
’

Mở rộng:
( u + v + + w)
’
= u
’
+ v
’
+ +
w
’+
Ví dụ: Tính đạo hàm của các
hàm số sau:
từng bước
H1: Cho x số gia
∆
x ta có số gia
∆
y = ?
+Yêu cầu học sinh thực hiện từng
bước tiếp theo như tính
x
y
x
∆
∆

>−∆
lim
0
+ Kết luận lại công thức tính y
’
=
u
’
(x) + v
’
(x).
H2: Tương tự như cách xây dựng
như trên ta có thể rút ra công
thức tính đạo hàm cho hai hàm số
:
y = u(x) - v(x) không ? Công
thức như thế nào ?
+ GV tổng kết lại hai công thức
và ghi lại hai công thức thu gọn
trên
bảng
- Cho HS rút ra công thức tính
đạo hàm mở rộng.
- GV ghi kết quả lên bảng.
- Cho HS hoạt động nhóm thực
hiện H1 ở SGK.
+ Chia làm 4 nhóm (2 nhóm làm
câu a, 2 nhóm làm câu b)
HĐ2: Giới thiệu đạo hàm của
tích hai hàm số :

- Giới thiệu định lí 2 về công thức
tính đạo hàm của tích hai hàm số .
- H dẫn HS chứng minh
- Đặt f(x) = u(x).v(x)
+ Cho HS tính số gia
∆
y
+ Hdẫn tính được:
∆
y =
vuxuvxvu
∆∆+∆+∆
.)(.)(.
- Nghe, hiểu và thực hiện
nhiệm vụ
- Trả lời câu hỏi
- Ghi nhận hai công thức
- Đọc định lý ở sgk
+ Tính
y
∆
.
+ Tính
x
y
x
∆
∆
>−∆
lim

0
+ Kết luận
a/ y = x
5
-
x
+3
b/ y = x +
x
- 4.
2/ Đạo hàm của tích hai hàm
số :
(u.v)
’
= u
’
v + v
’
u.
(ku)
’
= ku
’

Chứng minh. (sgk)
4/ Cũng cố: - Nhắc lại công thức tính đạo hàm của tổng , hiệu, tích
- Làm các bài tập:
1/ Tính y
’
(3) biết y = x

3
– 2x + 1.
2/ Tính y’(1) biết y = 2x
5
– 2x + 3
Tiết 2:
IV/ Tiến trình dạy học:
1/ ổn định lớp:
2/ Kiểm tra: - Nêu công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích.
- áp dụng tính đạo hàm của hàm số y =
x
- x
5
+
100
1
3/ Bài mới:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung – Trình chiếu
* Định hướng cho HS thực
hiện ví dụ
ở ví dụ a, b ta có thể nhân
vào thành tổng và áp dụng
công thức tính đạo hàm của
tổng để tính (đã luyện tập ở
tiết trước ) .Ngoài ra Ta có
thể dùng công thức tính đạo
hàm của tích để tính .
=> Yêu cầu HS trình bày lời
giải hai câu a, b.
- Câu c: ta đặt u =

)1(
+
xx
;
v = 4 – x
2

=> Yêu cầu HS áp dụng
công thức để tính
* Giáo viên trình bày bài
giải.
- Từ ví dụ trên dẫn dắt HS đi
đến công thức (u.v. w)
’

HĐ3: Tiếp cận công thức
đạo hàm của một thương :
Cho hàm số y =
34
2
−
x
x
H1: Hàm số có dạng thương
của hai hàm số nào ?
H2: Hàm số trở thành y =
)(
)(
xv
xu

. Tìm công thức tính
đạo hàm của nó?
ở ví dụ trên ta không thể áp
dụng công thức đạo hàm của
tổng, hiệu, tích => Công
thức đạo hàm của thương
'






v
u
Yêu cầu HS áp dụng công
thức để thực hiện ví dụ trên.
Tính được:
a/ y
’
= (x)
’
.(x
2
+ 1) + (x
2
+ 1).x
=
= 3x
2

+ 1.
b/ y
’
= (2x
2
)
’
(
)1
−
x
+(
x
- 1)
’
2x
2
= = 5x
x
.
c/ áp dụng được:
y
’
= [
)1(
+
xx
]
’
.(4 – x

2
) +
(4 – x
2
).(x+1).
x
=
Ghi chép bài giải
u = 2x ; v = 4x - 3
Theo dõi để tiếp thu kiến thức.
- Trình bày được:
a/ y
’
=
2
''
)34(
2.)34()34.()2(
−
−+−
x
xxxx
=
2
)34(
6
−
−
x
b/ y

’
=
22
''
11 )1(
xx
xx
−
=
−
c/ y
’
=
22
'22'
)52(
1.)52()52.()1(
+
+−+
x
xx
=
22
)52(
4
+
−
x
x
Ví dụ: Tính đạo hàm của

các hàm số sau:
a/ y = x(x
2
+1).
b/ y = 2x
2
(
)1
−
x
. (x>0)
c/ y =
)4)(1(
2
xxx
−+
.
(x>0)
Công thức:(u.v. w)
’
=
u’.v.w+ u.v’.w+u.v. w
’
3/ Đạo hàm của thương
hai hàm số:
)0(

2
''
'

≠
−
=






v
v
uvvu
v
u
Ví dụ: Tính đạo hàm của
các hàm số sau:
a/ y =
34
2
−
x
x
b/ y =
x
1
.
c/ y =
52
1
2

+
x
Hệ quả:
)0(
11
2
'
≠
−
=






x
x
x
.
)0(
1
2
'
'
≠
−
=







u
u
u
u
Từ đó đưa đến Hệ quả
?
1
'
=






x
?
1
'
=







u
Hoạt động nhóm: Chia lớp
thành 6 nhóm để thảo luận
+ Gọi đại diện 3 nhóm trình
bày lời giải .
+ Gọi đại diện 3 nhóm còn
lại để nhận xét và bổ sung
( nếu cần thiết).
2
'
11
x
x
−
=






.
2
'
'
1
u
u
u
−

=






- Thực hiện yêu cầu
Ví dụ: Tính đạo hàm của
các hàm số sau:(bảng phụ)
a/ y =
x
xx 235
24
+−
b/ y =
1
12
2
+
+−
x
xx
c/ y = (x+5)
2
.
4/ Cũng cố: - Nhắc lại công thức đạo hàm của tích, thương và hệ quả .
- Làm bài tập nhanh: tính đạo hàm của các hàm số sau:
a/ y =
mx

x
x
−+
5
1
5
( m: hằng số)
b/ y =
2
)1(
2
+
x
.
c/ y = (x +2)
2
(2- x).
Tiết 3:
Hoạt động của Giáo viên Hoạt động của Học sinh Nội dung- Trình chiếu
Nêu vấn đề: Cho hai hàm số: u
= u(x) = x
2
+ 3x +1 và y = f(u)
= u
3

- Thay biến u bởi u(x) vào f(u)
- Hàm số y(x) = (x
2
+3x +1)

3
được gọi là hàm hợp của hàm
số f qua biến trung gian u
- Nêu định nghĩa và cho HS
đọc lại vài lần.
HĐ4:
1/ Cho f(u) =
u
; u(x) = x – 1
- Tìm hàm hợp y = f[u(x) ] = ?
- Tìm tập xác định
Hàm số y = f(u) = f[u(x) ]
= (x
3
+ 3x + 1)
3

-Thực hiện và trả lời.
4/ Đạo hàm của hàm số hợp:
1/ Khái niệm của hàm số
hợp:
Cho hai hàm số u = u(x) và y =
f(u) . thay u bởi u(x) vào hàm
số f(u) được y = f[u(x) ] gọi là
hàm số hợp của hàm số f qua
biến trung gian u
VD:
f(u) =
u
u(x) = x – 1 => f[u(x) ] =

1
−
x
2/ Cho y = sin(2x +3) có miền
xác định R là hàm hợp. Tìm
hàm u(x) và f(u)
- Đặt vấn đề : Tính đạo hàm
của hàm số y = (x
3
+ 3x + 1)
3
(hàm số hợp)
- Để giải bài toán ta thừa nhận
định lý sau
- Trình bày định lý.
- Từ hàm số y = (x
3
+ 3x + 1)
3
chỉ ra hàm số u(x) và f(u) .
- Tính u
’
(x) và f
’
(u)
- Vận dụng công thức tính
=
'
x
y

f
’
[u(x) ]
- Cho u = u(x) và f(u) = u
n
có
hàm số hợp là y = f[u(x) ] =
[u(x) ]
n

- Tính y
’
(x)
- Hdẫn HS
HĐ5: Hình thành công thức:
Cho hàm số y =
)(xu
là hàm
hợp của hàm số f và hàm trung
gian u= u(x) . Tìm hàm số f.
- Giả sử u(x) có đạo hàm trên J
(u(x) > 0 ; x
∈
J ) . Tìm đạo
hàm của hàm số y =
)(xu
- Gợi ý :
+ Đạo hàm của u = u(x) là
u
’

(x).
+ Đạo hàm của y = f(u) là
x2
1
- Tính đạo hàm của hàm số
sau:
y =
73
24
+−
xx
Trả lời:
u(x) = x
3
+ 3x +1 ; f (u) = u
3

u
’
(x) = 2x + 3; f
’
(u) = 3u
2

y
’
(x) = 3(x
3
+ 3x + 1)
2

.(2x +
3)
Tính:
. u
’
= u
’
(x) ; y
’
= f
’
(u) = f
’
[u(x)
]
. f
’
(x) = n.u
n-1
. u
’
(x)
= n. [u(x) ]
n-1
.u
’
(x)
. y = f[u] =
u
y

’
(x) = f
’
(u).u
’
(x)=
)(.
2
1
'
xu
u
=
)(.
)(2
1
'
xu
xu
- Thực hiện và trình bày
2/ Cách tính đạo hàm của
hàm số hợp:
Nếu u = u(x) có đạo hàm tại x
là u
’
(x) và hàm số y = f(u) có
đạo hàm tại u là f
’
(u) thì: y
’

(x)
= f
’
(u) .u
’
(x)
y = u
n
(x) => y
’
= [u
n
(x) ]
’

= n.u
’
(x).u
n-
1
(x)
( )
0;
2
'
'
>=
u
u
u

u
VD:
(
)
( )
u
u
uxx
2
73
'
'
'
24
==+−
=
732
64
24
3
+−
−
xx
xx
Bảng đạo hàm: SGK
4/ Cũng cố: Hệ thống lại bảng đạo hàm
5/ Dặn d ò: Nắm vững lý thuyết và làm bài tập 19,20 trong sgk.
MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
( Chương IV: Giới hạn)
dành cho chương trình nâng cao

Hình thức trắc nghiệm hoàn toàn
NB TH VDBT VDBC TCỘNG
Dãy số có giới hạn 1LC 1LC
Dãy số có giới hạn hữu hạn 1LC 1LC 1ĐK 1LC 3LC+1ĐK
Dãy số có giới hạn vô cực 1LC 1LC 1LC 3LC
Định nghĩa và một số định
lý
1LC 1LC 2LC
Giới hạn một bên 1LC 1LC 2LC
Qui tắc tìm giới hạn vô cực 1LC 2GĐ 1LC 2LC+2GĐ
Các dạng vô định 2LC 2LC 1LC 5LC
Hàm số liên tục 1LC 1LC+1ĐS 1LC 3LC+1ĐS
Tổng cộng 7LC 6LC+2GĐ+1ĐS 6LC+1ĐK 2LC
Tổng điểm 2.8 3.6 2.8 0.8
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT (45 Phút)
1/ Lim ( -2n
3
+ 3n + 5) bằng :
A/ +
∞
. B/ -
∞
. C/ -2. D/ 2.
2/ Lim
12
13
−
+
n
n

bằng:
A/ +
∞
. B/ -
∞
. C/
2
3
. D/ 0
3/ Lim ( 5 +
n
n
3
)1(
−
) bằng :
A/ 5. B/ 0. C/
3
16
. D/+
∞
.
4/ Lim x( 1 -
x
1
) bằng:
A/ 0. B/ 1. C/ -1. D/ 2.
5/ Lim
)2)(1(
1

++
nn
bằng :
A/ 0. B/ 1. C/
2
1
. D/+
∞
.
6/ Lim
13
35
2
2
−
+−
n
nn
bằng:
A/
3
1
. B/ 0. C/ -1. D/+
∞
.
7/ Lim
n
n
31
12

2
−
+
bằng:
A/ 2. B/
2
. C/
3
2
. D/ -
3
2
.
8/ Lim
nn
n
23
3.2
+
bằng:
A/ 6. B/ 4. C/ 2. d/ 1.
9/ Điền vào chổ trống để được mệnh đề đúng:
Tổng của cấp số nhân: 1,
3
1
,
2
3
1
, ,

n
3
1
, bằng
10/
23
2
1
2
xx
xx
Lim
x
+
−−
−>−
bằng:
A/ 0. B/ 1. C/ 3. D/ -3.
11/
1
23
2
1
−
−+
+
>−
x
xx
Lim

x
bằng:
A/ -
2
5
. B/ -
8
5
. C/
8
7
−
. D/
2
7
−
.
12/
3
3
3
−
−
−
>−
x
x
Lim
x
bằng:

A/ 1. B/ -1. C/ +
∞
. D/ -
∞
.
13/
2
2
2
2
−
−+
−
>−
x
xx
Lim
x
bằng:
A/ 1. B/ 0. C/ +
∞
. D/ -
∞
.
14/ Nối các câu sau:
A/
2
12
2
−

+
+
>−
x
x
Lim
x
a/ -
∞
B/
2
12
2
−
+
−
>−
x
x
Lim
x
b/ +
∞
c/ 1.
d/ -1.
15/
1232
2
+−
+ ∞>−

xxLim
x
bằng:
A/
2
. B/ -
2
. C/ +
∞
. D/ -
∞
.
16/
37
2
2
−+
−
>−
x
x
Lim
x
bằng:
A/ 6. B/ -6. C/ -
3
2
. D/ -1.
17/
)56(

2
xxxLim
x
+++
− ∞>−
bằng:
A/+
∞
. B/ -
∞
. C/ -3. D/ 3.
18/
2
3
1
1
)1(
x
x
xLim
x
−
+
−>−
bằng:
A/+
∞
. B/ -
∞
. C/ 1. D/ 0.

19/
xx
x
Lim
x
2
8
2
3
2
−
−
+
>−
bằng:
A/+
∞
. B/ -
∞
. C/ 1. D/ 4.
20/
35
132
25
3
+−
++
− ∞>−
xx
xx

xLim
x
bằng:
A/+
∞
. B/ -
∞
. C/ 1. D/ 4.
21/ Khoanh tròn chữ Đ hoặc chữ S nếu mệnh đề sau đây tương ứng đúng hoặc sai : Đ S
x
2
- 3x + 2
Hàm số f(x) = x – 1 nếu x
≠
1
1 n ếu x = 1 ; li ên t ục t ại x = 1
22/ Hàm số nào sau đây liên tục tại mọi điểm x
∈
R
A/ y = x
3
+ 5x
2
– 1. B/ y =
1
23
2
2
+
+−

x
xx
. C/ y = sinx. D/ Tất cả đều đúng.
23/ Hàm số y =
2
1 x
−
là:
A/ Liên tục/ (-1;1). B/ Liên tục/[-1;1]. C/ Liên tục trên R. D/ Gián đoạn tại x = 1.
24/ Tìm a để hàm số sau liên tục tại điểm x = 2
x
2
– 6x +5
f(x) = x
2
– x nếu x
≠
1
a + 5x nếu x = 1
A/ -9. B/ -5. C/ -1, D/ 1.
Hết.
Đáp án & biểu điểm: Mỗi câu đúng cho 0,4 đ. Riêng câu 14 đúng cho 0,8 đ
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D A C A A D C 3/2 D C B
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
D A->b
B->a
C B C D A D B D B A