HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG QUAN HỆ SONG SONG
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.09 MB, 25 trang )
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 1
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G
T
T
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
&
&
M
M
Ặ
Ặ
T
T
P
P
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
T
T
R
R
O
O
N
N
G
G
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
.
.
…
…
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
…
…
§
§
1
1
.
.
Đ
Đ
Ạ
Ạ
I
I
C
C
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
V
V
Ề
Ề
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G
T
T
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
&
&
M
M
Ặ
Ặ
T
T
P
P
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
.
.
1) CÁC KHÁI NIỆM:
Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước trong chậu, … cho ta một phần của mặt phẳng trong không gian.
Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng chữ cái để đặt tên mặt phẳng đó
chẳng hạn (P), (Q), (), (), …
Điểm A thuộc mặt phẳng (P) hay mặt phẳng (P) chứa điểm A, ta ghi A(P) hoặc (P)A.
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) hay mặt phẳng (P) chứa d, ta ghi d(P) hoặc (P)d.
d
p
p
A
2) CÁC TÍNH CHẤT:
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước.
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều
thuộc mặt phẳng đó.
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì
chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm
chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm
chung ấy, đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai
mặt phẳng.
Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
3) CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG:
Qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định mặt phẳng (ABC).
Qua một đường thẳng d và một điểm M không thuộc đường thẳng d xác định mặt phẳng (d, M).
Qua hai đường thẳng song song d, d xác định mặt phẳng (d, d).
Qua hai đường thẳng cắt nhau a, b xác định mặt phẳng (a, b).
4) HÌNH CHÓP & TỨ DIỆN:
a) Hình chóp, tứ diện:
Hình chóp I.EFGH có đỉnh là I, mặt (EFGH) là
mặt đáy, IE, IF, IG, IH là các cạnh bên, mặt bên là
các tam giác IEF, IFG, IGH, IHE. Nếu đáy
của hình chóp là tam giác, tứ giác, … thì gọi là
hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, …
Tứ điện ABCD là hình tạo bởi 4 mặt (ABC),
(ACD), (ABD), (BCD).
b) Hình chóp đều:
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác
đều và các cạnh bên bằng nhau. Hình chóp đó được gọi là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác
đều …
Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau.
7
7
d
d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
Ký hiệu d = (P)
(Q)
Q
p
A
F
G
I
E
H
B
D
C
A
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 2
Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp
trùng với tâm của đáy.
Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên (mặt bên) tạo với
mặt đáy các góc bằng nhau.
Tứ diện đều là tứ diện có 4 mặt là 4 tam giác đều.
5) CÁC DẠNG TOÁN:
a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: Tìm hai điểm chung, giao tuyến là đường thẳng đi qua hai
điểm chung ấy.
1
Vd
Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: (SAB) và (SBC);
(SAC) và (SBD)
Giải: Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) có S là điểm chung thứ nhất và
B là điểm chung thứ hai. Vậy (SAB) (SBC) = SB.
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = BD AC
maø
BD SBD O SBD
O BD
O AC
AC SAC O SAC
(SAC) (SBD) =
SO.
b) Tìm giao điểm của đường thẳng a với mặt phẳng (): Tìm
đường thẳng b trong mặt phẳng () cắt đường thẳng a đã cho.
2
Vd
Cho hình chóp S.ABCD đáy là tứ giác lồi. Gọi M là một
điểm phân biệt nằm trên đoạn SD. Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mặt phẳng (SAC).
Giải:
Gọi O = AC BD
maø
BD SBD O SBD
O BD
O AC
AC SAC O SAC
(SBD) (SAC) = SO. Trong mp(SBD) gọi I = SO BM
maø SO
I SAC
I SO
SAC
I BM
I BM
I = BM (SAC)
c) Chứng minh ba điểm thẳng hàng hoặc ba đường thẳng đồng quy: Ba điểm ấy cùng thuộc hai mặt
phẳng phân biệt.
3
Vd
Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB và BC, gọi H AD sao cho DH=
1
3
DA
và G CD sao cho DG =
1
3
DC. Chứng minh ba đường thẳng BD, FG, EH đồng quy.
Giải: Theo giả thiết
1
3
DH DG
DA DC
HG // AC và HG =
1
3
AC mà EF // AC và EF =
1
2
AC HG //
EF và HG =
2
3
EF EF và HG đồng phẳng. Để chứng
minh ba đường thẳng BD, FG, EH đồng quy ta chứng
minh B, D, I thẳng hàng.
Gọi I = FG EH
maø
FG BCD I BCD
I FG
I EH
EH ABD I ABD
, mặt khác
B BCD
B ABD
và
D BCD
D ABD
B, D, I cùng nằm trên
đường thẳng chung của hai mặt (BCD) và (ABD) B, D, I thẳng hàng BD, FG, EH đồng quy.
d) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng: Là đa giác thu được khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng.
Phương pháp là tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp.
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 3
4
Vd
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E lần lượt là ba
điểm lấy trên đoạn AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng (MNE).
Giải: Đường thẳng MN cắt BD tại I, cắt BC tại K, cắt AB tại H.
Trong mặt phẳng (SBD), IE cắt SB tại Q. Trong mặt phẳng (SBC),
KQ cắt SC tại P. Trong mặt phẳng (SAB), QH cắt SA tại R.
Vậy ngũ giác MNPQR là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
(MNE)
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.
1) Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (
) chứa BCD. Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các
cạnh AB, AC.
a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).
b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).
Hướng dẫn:
a)
E ABC
E AB
F AC
F ABC
EF (ABC)
b) I = EF BC
I DEF
I EF
I BC
I BCD
I là điểm chung của
hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).
2) Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (
). Chứng minh M là điểm chung của (
) với
một mặt phẳng bất kỳ chứa d.
Hướng dẫn: M = d (
)
M d
M
,
Gọi
d M
M là điểm chung của (
) với
.
3) Cho ba đường thẳng
1
d
,
2
d
,
3
d
không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng
minh ba đường thẳng trên đồng quy.
Hướng dẫn:
1
d
(
),
2
d
,
3
d
. Gọi I =
1
d
2
d
, ta
chứng minh I
3
d
.
Thật vậy: Ta có (
) (
1
d
,
2
d
),
(
2
d
,
3
d
),
(
1
d
,
3
d
).
I =
1
d
2
d
mà
2
d
I
mà
(
2
d
,
3
d
) I
3
d
.
4) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi
, , ,
A B C D
G G G G
lần lượt là trọng tâm của các tam giác
BCD, CDA, ABD, ABC. Chứng minh , , ,
A B C D
AG BG CG DG
đồng quy.
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 4
Hướng dẫn: Gọi L là trung
điểm CD,
B
G
AL,
A
G
BL.
Ta có
1
3
B A
LG LG
LA LB
A B
G G
// AB
3
A B A B
AG BG AB
GG GG G G
. Gọi
K là trung điểm BC,
D
G
AK,
A
G
DK. Ta có
1
3
D A
KG KG
KA KD
D A
G G
//
AD. Gọi
1
G
=
A
AG
D
DG
1
3
A D A D
AG DG AD
GG GG G G
1
G
G
Tương tự , , ,
A B C D
AG BG CG DG
đồng quy tại G
5) Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (
) có hai cạnh AB và CD không song song. Gọi S là điểm
nằm ngoài mặt phẳng (
) và M là trung điểm đoạn SC.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy.
Hướng dẫn:
Trong mp(ABCD), gọi E = AB CD
E MAB
E AB
E CD
E SCD
ME = (MAB) (SCD)
Trong mg(SCD), gọi N = ME SD
1
N ME
N SD
N ME mà ME (MAB) N (MAB) (2). Từ (1) và (2)
N = SD (MAB)
Trong mp(BEM), gọi I = BN AM
I BN
I AM
Mà BN (SBD), AM (SAC), SO = (SBD) (SAC) I SO
6) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn
BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD)
Hướng dẫn:
Trong mp(BCD), gọi E = NP CD
1
E NP
E CD
mà
2
E NP
E MNP
NP MNP
.
Từ (1) và (2) E = CD (MNP)
(MNP) (ACD) = ME
7) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm lấy trên hai đoạn AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC)
và (DMN)
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 5
Hướng dẫn:
IAD I(KAD) I(IBC)(KAD)
KBC K(IBC) K(IBC)(KAD) IK=(IBC)(KAD)
Trong mp(ABD) gọi J = DM BI
J DMN
J DM
J BI
J IBC
. Trong mp(ACD) gọi H = CI DN
H IBC
H CI
H DN
H DMN
JH = (IBC) (DMN)
8) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P
không trùng với trung điểm của AD.
a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP với đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(PMN) và (BCD).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (PMN).
Hướng dẫn:
a) Ta có E = MP BD
E PMN
E MP
E BD
E BCD
EN = (PMN) (BCD)
b) Trong mp(BCD) gọi Q = EN BC
Q PMN
Q EN
Q BC PMN
Q BC
Q BC
.
9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua
A và không song song với các cạnh của hình bình hành , d cắt đoạn BC tại E. Gọi C là một điểm nằm
trên cạnh SC.
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng CD và mặt phẳng (CAE)
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CAE)
Hướng dẫn:
a) Trong mp(ABCD) gọi M = AE CD
'
M C AE
M AE
M CD
M CD
'
M CD C AE
b) Trong mp(SCD) gọi F = MC SD
'
F C AE
F SCD
CF = (CAE) (ACD)
thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CAE) là tứ giác AECF
10) Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là điểm thuộc miền trong của SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC)
d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mp(SCD) và (ABM).
e) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ABM)
Hướng dẫn:
a) Trong mp(SCD) gọi N = SM CD
N SBM
N SM
N CD
N CD
N = CD (SBM); (SBN) (SBM).
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 6
b) Trong mp(ABCD) gọi O = AC BN
O SAC
O AC
O BN
O SBN
SO = (SAC) (SBN)
c) Trong mp(SBN) gọi I = BM SO, SO (SAC) I = BM
(SAC)
d) Trong mp(SAC) gọi P = SC AI mà AI (ABM)
P = SC (ABM); Trong mp(SCD) gọi K = PM SD
K ABM
K PM
K SD
K SCD
PK = (ABM) (SCD)
e) Tứ giác ABPK là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(ABM).
11) Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P). Chứng minh rằng nếu
ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mặt phẳng (P) thì các
giao điểm đó thẳng hàng.
Hướng dẫn: AB (P) = D, AC (P) = E, BC (P) = F
; ;
D P E P F P
D ABC E ABC F ABC
D, E, F d với d = (P) (ABC)
D, E, F thẳng hàng.
12) Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và đường thẳng c cắt mặt phẳng (a, b) ở điểm I khác O. Gọi
M là điểm di động trên c và khác I. Chứng minh rằng giao tuyến của các mặt phẳng (M, a), (M, b) nằm
trên một mặt phẳng cố định.
Hướng dẫn: (P) (a, b), OM = (M, a) (M, b).
Vì M c OM (O,c) cố định.
13) Cho hình bình hành ABCD nằm trên mặt phẳng (P) và một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Gọi M là
điểm nằm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mặt phẳng (CMN);
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN);
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(CMN).
Hướng dẫn:
a) Trong mp(ABCD) Gọi O = AC BD
O AC
O BD
O SAC
O SBD
SO = (SAC) (SBD) .
Trong mp(SAC) gọi I = SO CM
I SO
I SO
I CMN
I CM
I = SO (CMN)
b) Trong mp(SBD) gọi K = NI SD
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 7
K CMN
K NI
K SD
K SAD
MK = (SAD (CMN)
c) Tứ giác CKMN là thiết diện tạo bởi hình chóp S.ABCD với mp(CMN).
14) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng
không trùng với S, A, B, C. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABC)
Hướng dẫn: Gọi O = AC BD, O = AC
SO, D = BO SD.
Nếu D thuộc đoạn SD thì thiết diện là tứ giác
ABCD
Nếu D nằm trên phần kéo dài của SD, gọi E
= CD CD, F = AD AD thì thiết diện là
ngũ giác ABCEF
15) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là điểm nằm trong SCD.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM)
Hướng dẫn:
a) Trong mp(SCD) gọi N = SM CD
N SBM
N SM
N CD
N CD
,
(SBN) (SBM). Gọi O = AC BN
O SAC
O AC
O BN
O SBN
SO = (SAC) (SBN)
b) Trong mp(SBN) gọi I = BM SO
I BM
I BM
I SAC
I SO
I
= BM (SAC)
c) Trong mp(SAC) gọi P = AI SC
P ABM
P AI
P SC
P SCD
PM = (ABM) (SCD). Trong
mp(SCD) gọi Q = PM SD. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM) là tứ giác ABPQ.
16) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E là điểm thuộc đoạn AN không
là trung điểm AN và Q là điểm thuộc đoạn BC.
a) Tìm giao điểm của EM với mặt phẳng (BCD);
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EMQ) và (BCD); (EMQ) và (ABD);
c) Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi mp(EMQ).
Hướng dẫn:
a) Trong (ABN) gọi I = EM BN
I EM
I BN
mà BN
(BCD)
I EM
I BCD
I = EM (BCD)
b) Ta có I EM I (EMQ). Trong mặt phẳng (BCD)
gọi P = IQ CD
P IQ
P CD
P EMQ
P BCD
với
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 8
Q EMQ
Q BCD
PQ = (EMQ) (BCD).
c) Trong mặt phẳng (ACD) gọi F = PE AD
F EMQ
F PE
F AD
F ABD
với
M EMQ
M ABD
MF = (EMQ) (ABD). Tứ giác PQMF là thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(EMQ).
17) Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SBC lấy điểm M, trong tam giác SCD lấy điểm N
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC);
b) Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN);
c) Tìm thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN).
Hướng dẫn:
a) Gọi M = SM BC, N = SN CD
Gọi O = AC MN
' '
O AC
O M N
SO = (SAC) (SMN). Trong (SMN), gọi I = SO MN
I SAC
I SO
I MN
I MN
I = MN (SAC)
b) Ta có I MN I (AMN) Trong mp(SAC), gọi K = AI
SC
K AMN
K AI
K SC
K SC
K = SC (AMN)
c) Trong (SCD) gọi L = KN SD. Trong (SBC) gọi J = KM SB Tứ giác AJKL là thiết diện của
hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN).
18) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,
AD. Đường thẳng BN cắt CD tại I
a) Chứng minh M, I và trọng tâm G của SAD thẳng hàng.
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CMG). Chứng minh trung điểm của SA thuộc thiết
diện này.
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt
phẳng (AGM).
Hướng dẫn:
a) Gọi G là trọng tâm SAD G SN và SG =
2GN. Xét BIC có ND =
1
2
BC và ND // BC
N trung điểm IB. Xét SIB có SN IB = G
G trọng tâm tam giác SIB SG = 2GN G
G I, G, M thẳng hàng.
b) Ta có DG = (CMI) (SAD). Trong mp(SAD)
gọi A = DG SA Thiết diện của hình chóp
tạo bởi mặt cắt (CMG) là tứ giác CMAD. Vì
DA qua trọng tâm G của SAD nên A trung điểm SA.
c) Trong mp(SAD) gọi D = AG SD AD = (AGM) (SAD)Trong mp(ABCD) gọi K = BI AC
SK = (SBI) (SAC).
Trong mp(SBI) gọi J = IM SK
J AGM
J IM
J SK
J SAC
.
Trong mp(SAC) gọi C = AJ SC
'
'
'
'
C AGM
C AJ
C SC
C SBC
MC = (AGM) (SBC)
Thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt cắt (AGM) là tứ giác AMCD.
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 9
§
§
2
2
.
.
H
H
A
A
I
I
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G
T
T
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
C
C
H
H
É
É
O
O
N
N
H
H
A
A
U
U
&
&
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
1) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN:
Hai đường thẳng a, b gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và không
có điểm chung. Ta có a // b
,a b
a b
Hai đường thẳng c, d gọi là chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng và
không có điểm chung.
2) CÁC TÍNH CHẤT:
Định lý 1: Qua một điểm A cho trước không nằm trên đường thẳng b cho trước có một và chỉ một
đường thẳng a song song đường thẳng b.
Định lý 2: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy
hoặc đôi một song song.
; ;
a, b, c ñoàngquy
c b a
a b c
Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của
chúng nếu có song song với hai đường thẳng đó.
Định lý 3: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
3) CÁC DẠNG TOÁN:
a) Chứng minh hai đường thẳng song song: Thường sử dụng hệ quả, định lý 3. Định lý Talét trong mặt
phẳng hay các phương pháp trong hình học phẳng.
1
Vd
Cho tứ diện ABCD. Gọi F, G lần lượt là trọng tâm ABC và ABD. Chứng minh FG // CD.
Giải: Gọi E là trung điểm AB CE, DE là hai trung tuyến của ABC và
ABD F EC và
1
2
EF
FC
; G ED và
1
2
EG
GD
Theo định lý Talét
trong CDE FG // CD.
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung và đi qua hai đường thẳng
song song thì giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai
đường thẳng đó.
2
Vd
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD)
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDC)
Giải:
a) Trong (ABCD) gọi E = AD BC
E SAD
E AD
E BC
E SBC
SE = (SAD) (SBC).
b)
AB SAB
CD SCD
AB CD
(SAB) (SCD) = Sx thì Sx // AB // CD.
b
a
d
c
Q
P
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 10
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.
1) Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng
minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì:
a) Ba đường thẳng PQ, SR, AC hoặc song song hoặc đồng quy;
b) Ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng quy.
Hướng dẫn:
a) Nếu P, Q, R, S đồng phẳng thì chúng cùng thuộc mặt phẳng (
) nào đó. Xét 3 mặt phẳng (
),
(ABC), (ACD). Ta có: PQ = (
) (ABC), RS = (
) (ACD), AC = (ABC) (ACD). Theo định lý
về giao tuyến của ba mặt phẳng PQ, AC, RS đôi một song song hoặc đồng quy.
b) Tương tự câu a)
2) Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD
và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây:
a) PR song song AC;
b) PR cắt AC.
Hướng dẫn:
a) Nếu PR //AC và (PRQ) (ACD) = Qx thì Qx // PR //AC ( hai mặt phẳng đi qua hai đường thẳng
song song thì giao tuyến của chúng song song với hai đường thẳng đó)
S = Qx AD
b) Trong mp(ABC) gọi I = PR AC
I PRQ
I PR
I AC
I ACD
.
Trong mp(ACD) gọi S = IQ AD
S PRQ
S IQ
S AD
S AD
S = AD (PRQ).
3) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD; G là trung điểm đoạn MN.
a) Tìm giao điểm A của đường thẳng AG và mặt phẳng (BCD).
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song AA và Mx cắt (BCD) tại M. Chứng minh B, M, A thẳng
hàng và BM = MA = AN.
c) Chứng minh GA = 3GA.
Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 11
a) Trong mp(ABN) gọi A = AG BN
'
'
A AG
A BCD
A = AG (BCD)
b) Mx // AA và Mx (BCD) = M
'
'
M ABN
M BCD
Câu a) ta có:
'
'
A ABN
A BCD
, mà (ABN) (BCD) = BN M, A BN
B, M, A, N thẳng hàng. Xét ABN có MM // AA có M trung điểm AB, G trung điểm MN, theo tính
chất đường trung bình, ta có M trung điểm BA và A trung điểm NM BM = MA = AN.
c) Ta có:
1 1
' '; ' '
2 2
GA MM MM AA
AA = 4GA GA = 3GA .
4) Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD điểm R nằm trên cạnh BC sao
cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD
Hướng dẫn:
Trong mp(BCD) gọi I = RQ BD.
Trong mp(ABD) gọi S = PI AD S = AD (PQR).
Trong mp(BCD) gọi E trung điểm BR BE = ER = RC
Xét CED có QR là đường trung bình QR // ED
Xét BRI có ED // RI, E trung điểm BR D trung điểm BI.
Xét ABI có AD, IP là hai trung tuyến cắt nhau tại S S là
trọng tâm AS = 2SD.
5) Cho tứ diện ABCD. gọi M, N, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD.
a) Tìm P là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (MNQ). Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi
mp(MNQ). Thiết diện là hình gì?
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AND) và (PBC).
Hướng dẫn:
a) Ta áp dụng tính chất:”Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai
đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với
hai đường thẳng đó”
Ta có:
MN AC
MNQ MN
ACD AC
với
Q MNQ
Q ACD
(MNQ) (ACD) = Qx thì
Qx // MN // AC. Trong mp(ACD) gọi P = Qx AD P = AD
(MNQ). Tứ giác MNQP là thiết diện của tứ diện ABCD với mp(MNQ).
MNQP là hình bình hành vì MN // PQ và MN = PQ =
1
2
AC.
b) Ta có N BC N (PBC) N (PBC) (AND) Ta có P AD P (AND) P (AND)
(PBC) NP = (AND) (PBC).
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm
AD, BC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG).
b) Xác định thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với
AB và CD để thiết diện là hình bình hành.
Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 12
a) Ta có:
IJ AB
IJG IJ
SAB AB
Với G (IJG) (SAB)
(IJG) SAB) = Gx thì Gx // IJ // AB
Trong mp(SAB) gọi B = Gx SB và A = Gx SA
AB = (SAB) (IJG)
b) ABJI là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là
hình thang vì có AB // IJ.
Để ABJI là hình bình hành khi AB = IJ. SAB có G là trọng tâm nên
' ' ' 2
3
SB A B
SB AB
AB= IJ =
2
3
AB =
1
2
(AB + CD) 4AB = 3AB + 3CD AB = 3CD
7) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC và P là điểm thuộc đoạn BD.
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và (ABD)
b) Gọi Q là giao điểm của AD với mặt phẳng (MNP). Xác định vị trí P để MNPQ là hình bình hành.
c) Trong trường hợp MQ và NP cắt nhau tại I, hãy xác định giao tuyến của hai mp (MNP) và (ABI).
Hướng dẫn:
a) Ta có:
MN AB
MNP MN
ABD AB
, Với P (MNP) (ABD)
Px = (MNP) (ABD) thì Px // MN // AB. Trong
mp(ABD) gọi Q = Px AD PQ = (MNQ) (ABD)
b) MNPQ là thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (MNP).
MNPQ là hình thang vì MN // PQ. Để MNPQ là hình bình
hành khi MN = PQ =
1
2
AB P là trung điểm BD.
c) Ta có:
MN AB
MNP MN
ABI AB
, Với I (MNP) (ABI), gọi d qua I và d // AB // MN thì d = (MNP) (ABI)
8) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên
BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD
a) Chứng minh PQ // SA;
b) Gọi K= MN PQ. Chứng minh K nằm trên một đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
Hướng dẫn:
a)
DQ CM CN DP
DA CB CS DS
, Theo Talét đảo PQ // SA
b) (SAD) (SBC) = Sx Sx // BC // AD. Ta có K = MN
PQ
maø
MN SBC K SBC
K MN
K PQ
PQ SAD K SAD
K Sx hay K SJ với SJCB là hình bình hành.
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 13
§
§
3
3
.
.
Đ
Đ
Ư
Ư
Ờ
Ờ
N
N
G
G
T
T
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
&
&
M
M
Ặ
Ặ
T
T
P
P
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
1) ĐỊNH NGHĨA:
Đường thẳng a và mặt phẳng () gọi là song song với nhau
nếu chúng không có điểm chung.
Ta có: a // () a () =
2) TÍNH CHẤT:
ĐL1:Nếu đường thẳng d không
nằm trên mp(P) và song song
với đường thẳng a nằm trên
mp(P) thì đường thẳng d song
song với mp(P)
( )
/ / / /( )
( )
d P
d a d P
a P
d
a
(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song
song với mp(P) thì mọi mp(Q)
chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo
giao tuyến song song với a.
/ /( )
( ) / /
( ) ( )
a P
a Q d a
P Q d
d
a
(Q)
(P)
HQ: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng
song song với đường thẳng đó.
( ) ( )
( ) / / / /
( ) / /
P Q d
P a d a
Q a
a
d
Q
P
ĐL3: Hai đường thẳng chéo
nhau có duy nhất một mặt phẳng
chứa đường thẳng này song song
đường thẳng kia.
!( )
( ) / /
cheùo
P a
a b
P b
b
a
b'
P
3) CÁC DẠNG TOÁN:
a) Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng song song với một đường
thẳng nào đó có trong mặt phẳng.
1
Vd
Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD và I là điểm
tuỳ ý trên NP. Chứng minh MI // mp(BCD)
Giải: Ta có
1
AM AN AP AI
MB NC PD IK
Theo định lý Talét đảo MI //
BK mà BK (BCD) MI // (BCD)
b) Tìm thiết diện song song với một đường thẳng cho trước: Sử dụng tính chất 2: Đường thẳng a song
song mặt phẳng () và mặt phẳng () đi qua a thì giao tuyến b của hai mặt phẳng () và () song song
đường thẳng a.
2
Vd
Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng () song song với AC và BD đi qua điểm P trên BC, cắt
cạnh AB, AD, CD lần lượt tại Q, R, S.
a) Chứng minh PQRS là hình bình hành.
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 14
b) Xác định vị trí của Q để PQRS là hình thoi.
Giải:
a) () // AC, () (ABC) = PQ PQ // AC
() // AC, () (ACD) = RS RS // AC
() // BD, () (BCD) = PS PS // BD
() // BD, () (ABD) = QR QR // BD
PQRS là hình bình hành
b) Kẻ AK // BD , DK cắt AB ở Q và AK = AC, ta có:
QR DR RS
AK DA AC
QR = RS PQRS là hình thoi.
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.
1) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trên một mặt phẳng.
a) Gọi O và O lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF. Chứng minh rằng đường thẳng OO
song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABE. Chứng minh đường thẳng MN song song
với mặt phẳng (CEF).
Hướng dẫn:
a) Xét DBF có O trung điểm BD, O trung điểm BF
OO // DF mà DF (ADF) OO // (ADF)
Xét ACE có O trung điểm AC, O trung điểm AE OO
// CE mà CE (BCE) OO // (BCE)
b) CD // EF xác định một mp(CDEF) và ED (CDEF).
Gọi I trung điểm AB. Xét ABD có M là trọng tâm DI
qua M. Xét ABE có N là trọng tâm EI qua N. Ta có
1
3
IM IN
ID IE
MN // DE mà DE(CEF) MN//(CEF).
2) Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M. Cho (
) là mặt phẳng qua M, song song với hai đường
thẳng AC và BD.
a) Tìm giao tuyến của (
) với các mặt của tứ diện.
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (
) là hình gì ?
Hướng dẫn:
a) (
) (ABC) = Mx Mx // AC.
Trong mp(ABC) gọi N = Mx BC (
) (ABC) = MN.
Tương tự các giao tuyến còn lại là MQ, QP, NP.
b) Thiết diện là hình bình hành MNPQ.
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD. Xác định thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng (
) qua O, song song với AB và SC. Thiết diện
đó là hình gì ?
Hướng dẫn:
Ta có
AB
AB ABCD
MN ABCD
MN // AB
Ta có
SC
SC SBC
NP SBC
NP // SC
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 15
Ta có
AB
AB SAB
PQ SAB
PQ // AB. Vậy MN // PQ. Tứ giác MNPQ là hình thang.
4) Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC.
a) Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp(BCD).
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị
trí tương đối của d và mp(ABC)
Hướng dẫn:
a) MN là đường trung bình ABC MN // BC MN // (BCD)
b) (DMN) (DBC) = d d // MN // BC d // (ABC)
5) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt
phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song BD và SA.
Hướng dẫn:
Gọi M, N, P, R lần lượt là trung điểm của AB, AD, SD, SB
MN // PR // BD và NP // MR // SA
Trong mp(ABCD) gọi I = NM CB
I MNPR
I MN
I BC
I SBC
.
Trong mp(SBC) gọi Q = IR SC
Q MNPR
Q IR
Q SC
Q SBC
IQ = (MNPR) (SBC)
MNPQR là thiết diện của S.ABCD với mặt phẳng qua trung
điểm M của AB và song song với BD và SA.
6) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang (AD // BC). Gọi E, F lần lượt là trọng tâm SAB và SDC.
Chứng minh EF song song cả ba mặt phẳng (ABCD), (SBC), (SAD).
Hướng dẫn:
Gọi M, N lần lượt trung điểm AB và CD, ta có E, F lần lượt là trọng
tâm SAB và SCD
2
3
SE SF
SM SN
EF // MN, mà MN
(ABCD) EF // (ABCD)
Ta có MN là đường trung bình hình thang ABCD MN // BC // AD
EF // BC // AD EF // (SBC) và EF // (SAD).
7) Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AD, N là điểm bất kỳ trên cạnh BC, () là mặt phẳng chứa
MN và song song với CD.
a) Xác định thiết diện của () với tứ diện ABCD.
b) Chỉ ra vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành.
Hướng dẫn:
a) Ta có: () MN và () // CD () (ACD) = MI thì MI // CD I
trung điểm AC.
Ta có: () MN và () // CD () (BCD) = NK thì NK // CD
Thiết diện là hình thang MKNI (MI // NK)
b) Hình thang MKNI là hình bình hành khi MI = NK =
1
2
CD
N trung điểm BC.
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 16
8) Cho tứ diện ABCD. Một mp(
) di động luôn song song AB và CD lần lượt cắt các cạnh AC, AD, BD,
BC tại M, N, P, Q.
a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
b) Tìm tập hợp tâm I của hình bình hành MNPQ.
Hướng dẫn:
a)
ABC MQ
ABD NP
AB
MQ // NP // AB, ta có:
ACD MN
BCD PQ
CD
MN // PQ // CD
MNPQ là hình bình hành.
b) I là tâm hình bình hành MNPQ I KJ với K, J lần lượt là
trung điểm AB, CD. Thật vậy: , vì MQ // NP // AB L, G
chạy trên CK và DK. Vì LG // MN // PQ // CD, I là tâm hình bình hành MNPQ nên I là trung điểm của
LG chạy trên KJ.
Đảo lại: I KJ với K, J lần lượt là trung điểm AB, CD gọi L, G lần lượt là trung điểm MQ và NP I
trung điểm LG I là tâm hình bình hành MNPQ.
9) Cho hình chóp S.ABCD, gọi M, N lần lượt nằm trên đoạn AB, CD và
qua MN song song SA.
a) Tìm giao tuyến của
với mặt phẳng (SAB) và (SAC).
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
.
c) Tìm vị trí MN để thiết diện là hình thang.
Hướng dẫn:
a)
qua MN và
// SA nên trên SB lấy điểm P sao cho MP // SA
MP =
(SAB)
Trên mặt phẳng (ABCD) gọi I = AC MN
I SAC
I AC
I MN
I
.
Trong mp(SAC) trên SC lấy Q sao cho IQ // SA IQ =
(SAC)
b) Thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng
là tứ giác MNQP.
c) MN // BC giao tuyến PQ =
(SBC), PQ // MN MNQP là
hình thang.
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 17
§
§
4
4
.
.
H
H
A
A
I
I
M
M
Ặ
Ặ
T
T
P
P
H
H
Ẳ
Ẳ
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
1) ĐỊNH NGHĨA:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không
có điểm nào chung.
( )/ /( ) ( ) ( )P Q P Q
Q
P
2) CÁC ĐỊNH LÝ:
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) và (Q) song song
với nhau.
, ( )
( )/ /( )
/ /( ), / /( )
a b P
a b I P Q
a Q b Q
I
b
a
Q
P
ĐL2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng
song song thì song song với
mặt phẳng kia.
( ) / /( )
/ /( )
( )
P Q
a Q
a P
a
Q
P
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) song song thì mọi mặt
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải
cắt (Q) và các giao tuyến của
chúng song song.
( ) / /( )
( ) ( ) / /
( ) ( )
P Q
R P a a b
R Q b
b
a
R
Q
P
3) ĐỊNH LÝ TALÉT TRONG KHÔNG GIAN:
Cho () // () // (). Đường thẳng a cắt mặt phẳng () tại A, cắt ()
tại B, cắt () tại C. Đường thẳng b cắt mặt phẳng () tại D, cắt ()
tại E, cắt () tại F thì
AB BC CA
DE EF FD
. Ngược lại: Trên hai đường
thẳng chéo nhau a, b lần lượt lấy các điểm A, B, C và D, E, F sao
cho
AB BC CA
DE EF FD
thì ba đường thẳng AD, BE, CF lần lượt
nằm trên ba mặt phẳng song song.
4) HÌNH LĂNG TRỤ & HÌNH HỘP:
a) Hình lăng trụ và hình hộp:
Hình lăng trụ ABCDE.ABCDE có
(ABCDE) và (ABCDE) là hai mặt
phẳng song song gọi là hai đáy; AA//
= BB// = CC// = DD// = EE gọi là
các cạnh bên; các mặt bên (ABBA),
(BCCB), (CDDC), (DEED),
(EAAE) là những hình bình hành.
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là
hình bình hành, 6 mặt của hình hộp là hình bình hành.
b) Hình lăng trụ đứng. Hình hộp chữ nhật. Hình lập phương:
Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy, các mặt bên là những hình chữ nhật
vuông góc với mặt đáy.
Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều, có các mặt bên là những hình chữ nhật bằng nhau.
Các lăng trụ đó gọi là lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều …
Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ
nhật.
B
C
A
E
D
D'
E'
A'
C'
B'
F
G
I
H
H'
I'
G'
F'
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 18
Hình lập phương là hình hộp có 6 mặt là hình vuông hay hình hộp chữ nhật có 6 mặt bằng nhau là
hình lập phương.
B
C
A
E
D
D'
E'
A'
C'
B'
F
G
I
H
H'
I'
G'
F'
J'
K'
M'
L'
L
M
K
J
5) HÌNH CHÓP CỤT:
Hai đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song và
các tỷ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
Các mặt bên là những hình thang.
Các đường thẳng chứa các cạnh bên đồng quy tại một điểm.
6) CÁC DẠNG TOÁN:
a) Chứng minh hai mặt phẳng song song: Để chứng minh hai
mặt phẳng song song, ta chứng minh mặt phẳng này chứa hai
đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
1
Vd
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành
ABCD tâm O. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của
các đoạn SA, SD, AB, ON, SB.
a) Chứng minh (OMN) // (SBC); b) Chứng minh PQ // (SBC);
c) Chứng minh (MOR) // (SCD)
Giải:
a) Theo tính chất đường trung bình cho SAC và SBD. Ta có:
OM // SC OM // (SBC)
ON // SB ON // (SBC). Vậy (OMN) // (SBC)
b) P trung điểm AB OP // MN OP, MN đồng phẳng hay O, P, M, N,
Q (OMN), mà (OMN) // (SBC) PQ // (SBC).
c) Theo tính chất đường trung bình cho SBD, SAC. Ta có: OR // SD
OR // (SCD); OM // SC OM // (SCD). Vậy (MOR) // (SCD).
b) Xác định thiết diện của một mặt phẳng song song với một mặt phẳng
cho trước: Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng song song chắn bởi một mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của chúng song song với nhau.
2
Vd
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O và AC = a, BD = b. SBD là tam giác
đều. Một mặt phẳng () di động song song mặt phẳng (SBD) và đi qua điểm I trên đoạn OC.
a) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng ().
b) Tính diện tích thiết diện theo a, b, x = AI.
Giải:
a) () qua I và song song (SBD) các giao tuyến của:
(ABCD) với hai mặt phẳng trên là BD // EF; (SBC) với hai mặt
phẳng trên là SB // KE; (SCD) với hai mặt phẳng trên là SD // KE,
với E BC, F CD và K SC KEF là thiết diện của hình chóp
với mặt phẳng (). Hơn nữa SBD đều KEF đều.
b) Ta có AI = x
2
a
x a
CI = AC – AI = a – x . Ta có:
2 a x
IK CI
k
OS CO a
là tỷ số đồng dạng của hai tam giác mà
2
3
4
SBD
b
S với
2
KEF
SBD
S
k
S
2 2
2
2
( ) 3
.
KEF SBD
a x b
S k S
a
.
P
B'
C'
D'
E'
A'
S
A
B
C
D
E
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 19
B
B
À
À
I
I
T
T
Ậ
Ậ
P
P
.
.
1) Trong mặt phẳng () cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d
song song với nhau và không nằm trên (). Trên a, b, c lần lượt lấy ba điểm A, B, C tuỳ ý.
a) Hãy xác định giao điểm D của đường thẳng d với mặt phẳng (ABC);
b) Chứng minh ABCD là hình bình hành.
Hướng dẫn:
a) (b, BC) có b // a, a (a, AD) b // (a, AD)
và BC // AD, AD(a, AD) BC // (a, AD) (b, BC) // (a, AD)
mà (ABC) (b, BC) = BC và (ABC) (a, AD) = Ax BC//
Ax D = Ax d
b) Ta có BC// AD. Tương tự AB // CD ABCD là hình bình
hành.
2) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi M, M lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, BC.
a) Chứng minh AM song song AM
b) Tìm giao điểm của đường thẳng AM với mặt phẳng (ABC);
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (ABC) và (BAC);
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AMM). Chứng minh G là trọng tâm ABC.
Hướng dẫn:
a) M, M lần lượt là trung điểm BC, BC MM // BB // AA và
MM = BB = AA
AAMM là hình bình hành AM // AM.
b) Trong mp(AAMM) gọi I = AM AM
,
I AB C
I AM
AM AB C
I A M
I A M
I = AM(ABC)
c) C là điểm chung thứ 1 của hai mặt phẳng (ABC) và (BAC)
Trong mp(ABBA) gọi O = AB AB
' '
'
'
' '
O BA C
O A B
A AB
O AB C
CO = (ABC) (BAC)
d) Trong mp(ABC) gọi G = AM CO
'
'
G AM
G C O
'
G AMM
G d
G = d (AMM)
AM, CO là hai trung tuyến của tam giác ABC G là trọng tâm tam giác ABC.
3) Cho hình hộp ABCD.ABCD.
a) Chứng minh hai mặt phẳng (BDA) và (BDC) song song với nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo AC đi qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA và BDC.
c) Chứng minh
1
G
và
2
G
chia đoạn AC thành ba phần bằng nhau. Gọi O và I lần lượt là tâm của các
hình bình hành ABCD và AACC. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AIO) với hình hộp đã cho.
Hướng dẫn:
a) Ta có:
' '
' '
' ' ' '
BD B D
BD CB D
B D CB D
' '
' ' '
' ' '
A D B C
A D CB D
B C CB D
mà BD và AD nằm trong
mp(BDA) nên (BDA) // (CBD)
b) Ta có CC// BB//AA và CC= BB= AA nên AACC là hình bình
hành, gọi I là tâm. Gọi O, O lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và
ABCD.
Trong mp(AACC) gọi
1
G
= AC AO,
2
G
= AC CO
1
G
,
2
G
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 20
lần lượt là trọng tâm tam giác AAC và CCA A
1
G
= 2
1
G
O và C
2
G
= 2
2
G
O(*)
Xét hai tam giác BDA và BDC có AO và CO là hai trung tuyến nên từ (*)
1
G
,
2
G
lần lượt là trọng
tâm tam giác BDA và BDC.
c) I là trung điểm AC mà A
1
G
=
2
3
AI, C
2
G
=
2
3
CI,
1
G
I =
1
3
AI,
2
G
I =
1
3
CI A
1
G
=
1
G
2
G
=
2
G
C. Thiết diện của mp(AIO) với hình hộp ABCD.ABCD là hình bình hành AACC.
4) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi
1
A
là trung điểm của cạnh SA và
2
A
là trung điểm của đoạn
1
AA
. Gọi ()
và () là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABCD) và lần lượt đi qua
1
A
và
2
A
. Mặt phẳng ()
cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại
1
B
,
1
C
,
1
D
. Mặt phẳng () cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại
2
B
,
2
C
,
2
D
. Chứng minh:
a)
1
B
,
1
C
,
1
D
lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD.
b)
1
B
2
B
=
2
B
B,
1
C
2
C
=
2
C
C,
1
D
2
D
=
2
D
D.
c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáylà tứ giác ABCD.
Hướng dẫn:
a) () // (ABCD) nên giao tuyến của chúng với mp(SAB) là
1
A
1
B
// AB, mà
1
A
là trung điểm SA
1
B
là trung điểm SB. Tương tự
1
C
,
1
D
lần lượt
trung điểm SC, SD.
b) () // (ABCD) nên giao tuyến của chúng với mp(SAB) là
2
A
2
B
// AB, mà
2
A
là trung điểm
1
AA
nên
2
B
là trung điểm
1
B
B. Tương tự
1
B
2
B
=
2
B
B,
1
C
2
C
=
2
C
C,
1
D
2
D
=
2
D
D.
c) Các hình chóp cụt là
2
A
2
B
2
C
2
D
.ABCD,
1
A
1
B
1
C
1
D
.ABCD.
5) Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm AB. Hỏi mặt phẳng (P) qua M, song song với AD và BC có đi
qua trung điểm N của CD không ? Tại sao ?
Hướng dẫn:
() qua M và () // BC, () (ABC) = MQ MQ // BC, mà M trung
điểm AB Q trung điểm AC.
gọi N = () CD, () (ACD) = NQ NQ // AD, mà Q trung điểm AC
N trung điểm CD.
6) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC. Gọi H là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh rằng đường thẳng CB song song mp(AHC);
b) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (ABC) và (ABC). Chứng minh rằng d song song mp(BBCC);
c) Xác định thiết diện của hình lăng trụ ABC.ABC khi cắt bởi mp(H, d).
Hướng dẫn:
a) Gọi I = AC AC, ABC có IH là đường trung bình CB // IH,
mà IH (AHC) CB // (AHC)
b) I = AC AC
'
'
'
' '
I A BC
I A C
I AC
I AB C
Gọi J = AB AB
'
'
'
' '
J A BC
J A B
J AB
J AB C
IJ = (ABC) (ABC)
D IJ, ABC có IJ là đường trung bình IJ // BC, mà BC (BBCC) IJ // (BBCC).
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 21
c) HJ cắt AB tại N, AA // HN, mà HN (H, d) AA // (H, d).
(AACC) (H, d) = a thì a // AA// HN và a qua I, a cắt AC tại M, cắt AC tại K thì thiết diện của hình
lăng trụ ABC.ABC khi cắt bởi mp(H, d) là hình bình hành HNMK.
7) Cho hình chóp cụt ABC.ABC có đáy lớn ABC và các cạnh bên AA, BB, CC. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA.
Chứng minh rằng MNP.MNP là hình chóp cụt.
Hướng dẫn: Gọi S là điểm đồng quy của các đường thẳng AA, BB, CC và mp(ABC) // (ABC) và
M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC, CA các đường thẳng MM, NN, PP đồng quy tại S MNP.MNP là hình chóp
cụt.
8) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AACC, BBCC là hai hình chữ nhật bằng nhau . Gọi D, E
lần lượt nằm trên AC và BC sao cho AD = BE. Từ D, E thứ tự kẻ các đường thẳng song song với AA
và BB cắt AC, BC tại F, G.
a) DF // EG; b) FG // AB; c) DE // (ABBA).
Hướng dẫn:
a) DF // AA và EG // BB mà AA // BB DF // EG.
b) DF // CC
'
AD AF
AC AC
; EG // BB
'
'
B E BG
B C BC
,
mà AD = BE (giả thiết), AC = BC (hai đường chéo của hai hình chữ
nhật bằng nhau)
AF BG
AC BC
FG // AB.
c) DF // AA DF // (ABBA); FG // AB FG // (ABBA)
(DFGE) // (ABBA) mà DE (DFGE) DE // (ABBA).
9) Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB CD = E, AD BC = F, AC BD = G. Gọi () là mặt
phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A, B, C.
a) Tìm giao điểm D của SD với ().
b) Tìm điều kiện của () để AB // CD.
c) Với điều kiện nào của () thì ABCD là hình bình hành ?
Hướng dẫn:
a) Trong mp(SAC) gọi I = AC SG
' '
I
I A C
I SG
I SG
.
Trong mp(SBD) gọi D = BI SD
'
' '
'
'
D
D B I
D SD
D SD
D = SD ().
b) Ta có () (SAB) = AB, () (SCD) = CD, (SAB)
SCD) = SE. Để AB // CD khi () // SE.
c) Tương tự: để AD // BC khi () // SF. Vậy ABCD là
hình bình hành khi () // SFvà () // SE.
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 22
§
§
5
5
.
.
P
P
H
H
É
É
P
P
C
C
H
H
I
I
Ế
Ế
U
U
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
1) PHÉP CHIẾU SONG SONG:
Cho mặt phẳng () và đường thẳng . Với mỗi điểm A trong không gian, đường thẳng qua A và song
song cắt () tại A. Điểm A được gọi là hình chiếu song song của điểm A trên ().
2) BIỂU DIỄN CÁC HÌNH THƯỜNG GẶP TRONG KHÔNG GIAN:
Tam giác bất kỳ là hình biểu diễn của một tam giác có dạng tùy ý cho trước có thể là thường, đều,
cân, vuông.
Hình bình hành bất kỳ là hình biểu diễn của một hình bình hành có dạng tùy ý cho trước có thể là hình
bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
Hình thang bất kỳ là hình biểu diễn của một hình thang có dạng tùy ý cho trước có thể là hình thang
thường, thang cân, thang vuông.
Hình elíp bất kỳ là hình biểu diễn của một hình tròn có dạng tùy ý cho trước.
Ô
Ô
N
N
T
T
Ậ
Ậ
P
P
C
C
H
H
Ư
Ư
Ơ
Ơ
N
N
G
G
&
&
K
K
I
I
Ể
Ể
M
M
T
T
R
R
A
A
.
.
1) Cho hai hình thang ABCD và ABEF có chung đáy lớn AB và không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng sau: (AEC) và (BFD); (BCE) và (ADF).
b) Lấy M là điểm thuộc đoạn DF. Tìm giao điểm của các đường thẳng AM với mặt phẳng (BCE).
c) Chứng minh hai đường thẳng AC và BF không cắt nhau.
Hướng dẫn:
a) Trong hình thang ABEF, gọi K = AE BF và H = AF BE
Trong hình thang ABCD, gọi I = AC BD và G = AD BC.
Giao tuyến cần tìm: IK = (AEC) (BFD), HG = (BCE) (ADF)
b) Trong mp(GAH), AM GH = J
J AM
J GH
,
mà GH (BCE)
J AM
J BCE
J = AM (BCE)
c) AC, BF cắt nhau, tức hai hình thang ABCD và ABEF đồng phẳng
mâu thuẫn với giả thiết ban đầu là ABCD và ABEF không đồng phẳng.
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các
đoạn thẳng SA, BC, CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP). Gọi O là giao
điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, hãy tìm giao điểm của đường thẳng SO với (MNP).
Hướng dẫn:
Theo tính chất đường trung bình, ta có: NP // BD, gọi E = NP AB, F = EM SB, K = NP AD,
L = KM SD Ngũ giác MFNPL là thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (MNP).
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 23
Gọi I = NP AC
I MNP
I NP
I AC
I SAC
. Trong mp(SAC) gọi Q = MI SO
Q SO
Q SO
Q MNP
Q MI
Q = SO (MNP)
3) Cho hình chóp đỉnh S đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm
của các cạnh SB, SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC);
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN);
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi (AMN).
Hướng dẫn:
a) Gọi E = ADBC
E SAD
E AD
E BC
E SBC
SE = (SAD)(SBC)
b) Trong mp(SBE), MN SE = P. Trong mp(SAE), SD AP = Q
Q SD
Q SD
Q AMN
Q AP
Q = SD (AMN)
c) Tam giác APM là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(AMN).
4) Cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng Ax, By, Cz, Dt ở cùng
phía đối với mặt phẳng (ABCD), song song với nhau và không cùng nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Một mp() lần lượt cắt Ax, By, Cz, Dt tại A, B, C, D.
a) Chứng minh mặt phẳng (Ax, By) song song mp(Cz, Dt)
b) Gọi I = AC BD, J = AC BD. Chứng minh IJ // AA.
c) Cho AA = a, BB = b, CC = c. Hãy tính DD.
Hướng dẫn:
a) Ax // Dt mà Dt (Cz, Dt) Ax // (Cz, Dt)
AB // DC mà DC (Cz, Dt) AB // (Cz, Dt)
(Ax, By) // (Cz, Dt)
b) IJ là đường trung bình của hình thang AACC nên IJ // AA.
c) Theo tính chất đường trung bình của hình thang:
DD = a + c – b.
5) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần
lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM; NF = 2BN. Qua M, N kẻ các đường thẳng song
song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại
1
M
,
1
N
. Chứng minh rằng:
a) MN // DE; b)
1
M
1
N
// mp(DEF); c) (MN
1
N
1
M
) // (DEF).
Hướng dẫn:
a) Gọi
1
O
là tâm hình bình hành ABCD,
2
O
là tâm hình
bình hành ABEF.Ta có:
1
2 2 2
1
2 3
2
AM AM AM AM
AO AM MC AM AM
AC
M là trọng tâm tam giác ABD,
DM cắt AB tại I
1
2
IM
MD
. Tương tự N là trọng tâm
tam giác ABE
1
2
IN
NE
IM
MD
=
IN
NE
MN // DE
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 24
b) Ta có
AM
AC
=
1
3
mà M
1
M
// CD
1
AM
AD
=
1
3
. Tương tự: N
1
N
// AB và
1
AN
AF
=
1
3
1
AM
AD
=
1
AN
AF
1
M
1
N
// DF
c) Ta có MN // DE MN // (DEF), N
1
N
// AB N
1
N
// EF N
1
N
// (DEF) (DEF) // (MN
1
N
1
M
)
6) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC.Gọi G, G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABC. Một
mặt phẳng () của các cạnh AA, BB, CC, GG lần lượt
1 1 1 1
, , ,
A B C G
. Chứng minh rằng:
a) GG song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ;
b)
1
G
là trọng tâm của tam giác
1 1 1
A B C
;
c)
1
G
G=
1
3
(
1
A
A +
1
B
B +
1
C
C);
1
G
G=
1
3
(
1
A
A +
1
B
B +
1
C
C)
Hướng dẫn:
a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, BC và M, N lần lượt là
đường thẳng AB, BC.
Ta có AG =
2
3
AN, AG =
2
3
AN, AANN là hình bình hành nên
AN = AN AG = AG và AG // AG AAGG là hình bình
hành AA // GG và AA = GG hay GG song song và bằng các
cạnh bên của hình lăng trụ.
b) Gọi
1
N
trung điểm
1
B
1
C
NN đi qua
1
N
. Trong mặt phẳng
AANN có
1
G
1
A
1
N
và AA// GG// NN. Theo định lý Talét, ta
có
1 1
1 1
AG
AG
AN A N
=
2
3
1
G
là trọng tâm tam giác
1 1 1
A B C
.
c) Theo tính chất đường trung bình của hình thang và trọng tâm tam giác, ta có:
1
G
G =
1
2
(
1
N
N +
1
L
L) =
1
2
[
1
2
(
1
B
B +
1
C
C ) +
1
2
(
1
G
G +
1
A
A)]
=
1
4
(
1
B
B +
1
C
C +
1
A
A) +
1
4
1
G
G
1
G
G =
1
3
(
1
A
A +
1
B
B +
1
C
C).
Tương tự:
1
G
G =
1
3
(
1
A
A +
1
B
B +
1
C
C). (với
1
L
, L trung điểm
1
A
1
G
và AG)
7) Cho hình hộp ABCD.ABCD. Vẽ thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi qua hai trung điểm M,
N của các cạnh AB, AD và tâm O của mặt CDDC.
Hướng dẫn:
MN cắt CB, CD lần lượt tại I, J. Trong mặt phẳng CDDC,
JO cắt DD, CC lần lượt tại P, Q. Trong mặt phẳng (BBCC)
IQ cắt BB tại K.
Ta có: (MNO) (AADD) = NP, (MNO) (DDCC) =
PQ, (MNO) (CCBB) = QK,
(MNO) (AABB) = KM.
Vậy thiết diện của hình hộp ABCD.ABCD tạo bởi mặt
phẳng (MNO) là ngũ giác MNPQK.
8) Cho hình hộp ABCD.ABCD. Trên ba cạnh AB, DD, CB lần lượt lấy ba điểm M, N, P không trùng
với các đỉnh sao cho
' '
' ' '
AM D N B P
AB D D B C
.
a) Chứng minh rằng mp(MNP) // (ABD)
b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Hướng dẫn:
THPT Tân Bình – Bình Dương. HÌNH
K
K
H
H
Ô
Ô
N
N
G
G
G
G
I
I
A
A
N
N
1
1
1
1
–
–
Q
Q
U
U
A
A
N
N
H
H
Ệ
Ệ
S
S
O
O
N
N
G
G
S
S
O
O
N
N
G
G
.
.
Gv:
L
L
ê
ê
H
H
à
à
n
n
h
h
P
P
h
h
á
á
p
p
.
. Trang 25
a) Trong hình bình hành ABBA kẻ ME // AB
' ' '
' ' ' '
AM B E B P B E
AB B B B C B B
EP // BC// AD
(MEP) // (ABD) (1). Ta có
' '
' '
D N B E
D D B B
mà DD = BB
DN = BE DNEB là hình bình hành NE // BD mà BD
(ABD) (MEN) // (ABD) (2). Từ (1) và (2) (MNP) //
(ABD).
b) Trong hình bình hành ABCD kẻ PF // BD. Trong hình bình hành AADD kẻ NK // DA lục
giác MEPFNK là thiết diện của hình hộp ABCD.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
9) Cho hai tia Ax bà By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N
chạy trên By sao cho AM = kBN (k > 0)
a) Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định.
b) Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn MN sao cho IM = kIN.
Hướng dẫn:
a) Kẻ tia Bz song song cùng hướng Ax. Trên tia Ax, By, Bz lần lượt lấy các điểm cố định D, C, E sao
cho
AD
BC
= k và BE = AD DE // AB và
BE
BC
= k (1)
Trên Bz lấy F sao cho BF = AM MF // AB và theo giả thiết
BF
BN
= k (2)
Từ (1) và (2) DE // MF và EC // FN (DEC) // (MFN) MN // (DEC) cố định.
b) Gọi O AB sao cho
OA
AB
= k. Từ O kẻ Ox// Ax và Oy// By, trên đó lấy OM= AM, ON= BN
OAMM, OBNN là hình bình hành
' '
' '
OA AM OM MM MI
OB BN ON NN NI
= k MMI NNI
' '
' '
IM OM
IN ON
= k
I Oz là tia phân giác của góc xOy.
10) Cho tứ diện ABCD. Qua M nằm trên AC, dựng mặt phẳng () song song AB và CD. Mặt phẳng ()
lần lượt cắt các cạnh BC, BD, AD tại N, P, Q.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì ?
b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm quỹ tích điểm O khi M chạy trên
đoạn AC.
Hướng dẫn:
a) () BC = N, () AD = Q, () BD = P
(MNPQ) () mà ()//AB và ()//CD MN//AB//PQ và
MQ//CD//NP MNPQ là hình bình hành.
b) O = MP NQ. Gọi I trung điểm CD, AI MQ = E, BI
NP = F E, F thứ tự là trung điểm MQ, NP
EF//MN//QP//AB. Vì O là trung điểm EF IO cắt AB tại
trung điểm J của AB IJ cố định.
M chạy trên AC thì O chạy trên IJ. Vậy quỹ tích của điểm O
là đoạn IJ.
E
F
I
O
A
C
D
B
M
N
P
Q
J
