Tổng hợp các đề thi vào lớp 10 các tỉnh năm 2009 - 2010

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI TUY N SINH L P 10 THPTỞ Ụ Ạ Ể Ớ
QU NG NAMẢ NĂM H C 2009-2010Ọ
Môn thi TOÁN ( chung cho t t c các thí sinh)ấ ả
Th i gian 120 phút (không k th i gian giao đ )ờ ể ờ ề
Bài 1 (2.0 đi m )ể
1. Tìm x đ m i bi u th c sau có nghĩa ể ỗ ể ứ
a)
x
b)
1
1x −
2. Tr c căn th c m uụ ứ ở ẫ
a)
3
2
b)
1
3 1−
3. Gi i h ph ng trình : ả ệ ươ
1 0
3
x
x y
− =


+ =

Bài 2 (3.0 đi m )ể
Cho hàm s y = xố
2

và y = x + 2
a) V đ th c a các hàm s này trên cùng m t m t ph ng t a đ Oxyẽ ồ ị ủ ố ộ ặ ẳ ọ ộ
b) Tìm t a đ các giao đi m A,B c a đ th hai hàm s trên b ng phép tínhọ ộ ể ủ ồ ị ố ằ
c) Tính di n tích tam giác OABệ
Bài 3 (1.0 đi m )ể
Cho ph ng trình xươ
2
– 2mx + m
2
– m + 3 có hai nghi m xệ
1
; x
2
(v i m là thamớ
s ) .Tìm bi u th c xố ể ứ
1
2

+ x
2
2
đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
Bài 4 (4.0 đi m )ể
Cho đ ng tròn tâm (O) ,đ ng kính AC .V dây BD vuông góc v i AC t i K ( Kườ ườ ẽ ớ ạ
n m gi a A và O).L y đi m E trên cung nh CD ( E không trùng C và D), AE c t BD t iằ ữ ấ ể ỏ ắ ạ
H.
a) Ch ng minh r ng tam giác CBD cân và t giác CEHK n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế
b) Ch ng minh r ng ADứ ằ
2
= AH . AE.

c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi c a hình tròn (O).ủ
d) Cho góc BCD b ng α . Trên m t ph ng b BC không ch a đi m A , v tamằ ặ ẳ ờ ứ ể ẽ
giác MBC cân t i M .Tính góc MBC theo α đ M thu c đ ng tròn (O).ạ ể ộ ườ
======H t======ế
1
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
H và tên : ọ S báo danhố
H ng d n: ướ ẫ
Bài 1 (2.0 đi m )ể
1. Tìm x đ m i bi u th c sau có nghĩa ể ỗ ể ứ
a)
0x 
b)
1 0 1x x −�
2. Tr c căn th c m uụ ứ ở ẫ
a)
3 3. 2 3 2
2
2 2. 2
= =
b)
( )
( ) ( )
1. 3 1
1 3 1 3 1
3 1 2
3 1
3 1 3 1
+
+ +

= = =
−
−
− +
3. Gi i h ph ng trình : ả ệ ươ
1 0 1 1
3 1 3 2
x x x
x y y y
− = = =
� � �
� �
� � �
+ = + = =
� � �
Bài 2 (3.0 đi m )ể
Cho hàm s y = xố
2
và y = x + 2
a) V đ th c a các hàm s này trên cùng m t m t ph ng t a đ Oxyẽ ồ ị ủ ố ộ ặ ẳ ọ ộ
L p b ngậ ả :
x 0 - 2 x - 2 - 1 0 1 2
y = x + 2 2 0 y = x
2
4 1 0 1 4
b) Tìm to đ giao đi m A,Bạ ộ ể :
G i t a đ các giao đi m A( xọ ọ ộ ể
1
; y
1

) , B( x
2
; y
2
) c a hàm s y = xủ ố
2
có đ th (P)ồ ị
và y = x + 2 có đ th (d)ồ ị
Vi t ph ng trình hoành đ đi m chung c a (P) và (d)ế ươ ộ ể ủ
x
2
= x + 2  x
2
– x – 2 = 0
( a = 1 , b = – 1 , c = – 2 ) có a – b + c = 1 – ( – 1 ) – 2 = 0
1
1x = −�
;
2
2
2
1
c
x
a
−
= − = − =
thay x
1
= -1


y
1
= x
2
= (-1)
2
= 1

;
x
2
= 2

y
2
= 4
V y t a đ giao đi m là ậ ọ ộ ể

A( - 1

; 1

) , B( 2 ; 4 )
c) Tính di n tích tam giác OABệ
2
O
y
x
A

B
K
C
H
Cách 1 : S
OAB
= S
CBH
- S
OAC
=
1
2
(OC.BH - OC.AK)= =
1
2
(8 - 2)= 3đvdt
Cách 2 : Ct đ ng th ng OA và đ ng th ng AB vuông góc ỏ ườ ẳ ườ ẳ
OA
2 2 2 2
1 1 2AK OK= + = + =
; BC =
2 2 2 2
4 4 4 2BH CH+ = + =
;
AB = BC – AC = BC – OA =
3 2

(ΔOAC cân do AK là đ ng cao đ ng th i trung tuy n ườ ồ ờ ế


OA=AC)
S
OAB
=
1
2
OA.AB =
1
.3 2. 2 3
2
=
đvdt
Ho c dùng công th c đ tính AB = ặ ứ ể
2 2
( ) ( )
B A B A
x x y y− + −
;OA=
2 2
( ) ( )
A O A O
x x y y− + −

Bài 3 (1.0 đi m ).Tìm bi u th c xể ể ứ
1
2

+ x
2
2

đ t giá tr nh nh t.ạ ị ỏ ấ
Cho ph ng trình xươ
2
– 2mx + m
2
– m + 3
( a = 1 ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m
2
- m + 3 )
Δ’ = = m
2
- 1. ( m
2
- m + 3 ) = m
2
- m
2
+ m - 3 = m – 3 ,do pt có hai nghi m xệ
1
; x
2
(v iớ
m là tham s ) Δ’ ≥ 0 ố

m ≥ 3 theo viét ta có:
x
1
+ x
2
= = 2m

x
1

. x
2

= = m
2
- m + 3
x
1
2

+ x
2
2
= ( x
1
+ x
2
)

2
– 2x
1
x
2
= (2m)
2
- 2(m

2
- m + 3 )=2(m
2
+ m - 3 )
=2(m
2
+ 2m
1
2
+
1
4
-
1
4
-
12
4
) =2[(m +
1
2
)
2
-
13
4
]=2(m +
1
2
)

2
-
13
2
Do đi u ki n m ≥ 3 ề ệ

m +
1
2
≥ 3+
1
2
=
7
2

(m +
1
2
)
2
≥
49
4


2(m +
1
2
)

2
≥
49
2


2(m +
1
2
)
2
-
13
2
≥
49
2
-
13
2
= 18
V y GTNN c a xậ ủ
1
2

+ x
2
2
là 18 khi m = 3
Bài 4 (4.0 đi m )ể

a) Ch ng minh r ng tam giác CBD cân và t giác CEHK n i ti p.ứ ằ ứ ộ ế
* Tam giác CBD cân
AC
⊥
BD t i Kạ

BK=KD=BD:2(đ ng kính vuông góc dây cung) ,ườ ΔCBD có đ ng caoườ
CK v a là đ ng trung tuy n nên ừ ườ ế ΔCBD cân.
* T giác CEHK n i ti pứ ộ ế
ﾷ
ﾷ
0
AEC HEC 180= =
( góc n i ti p ch n n a đ ng tròn)ộ ế ắ ử ườ ;
ﾷ
0
KHC 180=
(gt)
ﾷ
ﾷ
0 0 0
HEC HKC 90 90 180+ = + =
(t ng hai góc đ i) ổ ố

t giác CEHK n i ti pứ ộ ế
b) Ch ng minh r ng ADứ ằ
2
= AH . AE.
Xét ΔADH và ΔAED có :
3

ﾷ
A chung
; AC
⊥
BD t i K ,AC c t cung BD t i A suy ra A là đi m chính gi aạ ắ ạ ể ữ
cung BAD , hay cung AB b ng cung ADằ

ﾷ
ﾷ
ADB AED=
(ch n hai cung b ngắ ằ
nhau) .V y ΔADH = ΔAED (g-g) ậ


2
.
AD AE
AD AH AE
AH AD
= =�
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm .Tính chu vi c a hình tròn (O).ủ
BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm câu a ) ; BC =20cm
* ΔBKC vuông t i A có : KC = ạ
2 2 2 2
20 12 400 144 256BC BK− = − = − =
=16
*
ﾷ
0
ABC 90=

( góc n i ti p ch n n a đ ng tròn)ộ ế ắ ử ườ
ΔABC vuông t i K có : BCạ
2
=KC.AC

400 =16.AC

AC = 25

R= 12,5cm
C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm)
d)Tính góc MBC theo α đ M thu c đ ng tròn (O).ể ộ ườ
Gi i:ả ΔMBC cân t i M có MB = MC suy ra M cách đ u hai đ u đo n th ng BC ạ ề ầ ạ ẳ

M

d
là đ ng trung tr c BC ,(OB=OC nên O ườ ự

d ),vì M

(O) nên gi s d c t (O) t i M (Mả ử ắ ạ
thu c cung nh BC )và M’(thu c cung l n BC ).ộ ỏ ộ ớ
* Trong tr ng h p M thu c cung nh BC ; M và D n m khác phía BC hay AC ườ ợ ộ ỏ ằ
do ΔBCD cân t i C nên ạ
ﾷ ﾷ ﾷ
0 0
) :
2
BDC DBC (180 DCB 2 90= − = −

α
=
T giác MBDC n i ti p thìứ ộ ế
ﾷ
ﾷ ﾷ
ﾷ
0 0 0 0
0 0 0
( )
2 2 2
BDC BMC 180 BMC 180 BDC 180 90 180 90 90+ = − = − − = − + = +�
α α α
=
* Trong tr ng h p M’ thu c cung l n BC ườ ợ ộ ớ
ΔMBC cân t i M có MM’ là đ ng trung tr c nên MM’ là phân giác góc BMCạ ườ ự


ﾷ
ﾷ
0 0
) :2 45
2 4
BMM' BMC (90= + = +
α α
=


sđ
ﾷ
0

BM ' )
2
(90= +
α
(góc n i ti p và cung b ch n)ộ ế ị ắ
4
A O
B
M
C
E
D
M’
K
H
B”
D”
sđ
ﾷ
ﾷ
BD BCD 22 == α
(góc n i ti p và cung b ch n)ộ ế ị ắ
+ Xét
ﾷ
ﾷ
BD BM '<

0 0 0 0 0
3
2 2

2 90 2 90 180 0 60+ <���
α α
α < α − < α < α<
suy ra
t n t i hai đi m là M thu c cung nh BC (đã tính trên )và M’ thu c cung l n BCồ ạ ể ộ ỏ ở ộ ớ
.
T giác BDM’C n i ti p thì ứ ộ ế
ﾷ
ﾷ
0
2
BDC BM'C 90= = −
α
(cùng ch n cung BC nh )ắ ỏ
+ Xét
ﾷ
ﾷ
BD BM'=

0 0 0 0
3
2 2
2 90 2 90 180 60+ =� ��
α α
α = α− α = α =
thì M’≡ D
không th a mãn đi u ki n đ bài nên không có M’ ( ch có đi m M tmđk đ bài)ỏ ề ệ ề ỉ ể ề
+ Xét
ﾷ
ﾷ

BD BM'>

0 0 0 0 0
3
2 2
2 90 2 90 180 60 90+ > <� ��
α α
α > α− α > α 
(khi
BD qua tâm O và BD
⊥
AC

ﾷ
0
BCD 90= α =
)

M’ thu c cung ộ
ﾷ
BD
không th a mãnỏ
đi u ki n đ bài nên không có M’ (ch có đi m M tmđk đ ).ề ệ ề ỉ ể ề
5
S GIÁO D C ĐÀO T O KỲ THI TUY N SINH VÀO L P 10 THPTỞ Ụ Ạ Ể Ớ
BÌNH Đ NHỊ NĂM H C 2009 - 2010Ọ
Đ chính th cề ứ
L i gi iờ ả v n t tắ ắ mơn thi : Tốn
Ngày thi: 02/ 07/ 2009
Bài 1: (2,0 đi m)ể

Gi i các ph ng trình sauả ươ
1) 2(x + 1) = 4 – x

2x + 2 = 4 - x

2x + x = 4 - 2

3x = 2

x =
2) x
2
– 3x + 2 = 0. (a = 1 ; b = - 3 ; c = 2)
Ta có a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0 .Suy ra x
1
= 1 và x
2
= = 2
Bài 2: (2,0 đi m)ể
1.Ta có a, b là nghi m c a h ph ng trình ệ ủ ệ ươ
5 = -2a + b
-4 = a + b





-3a = 9
-4 = a + b






a = - 3
b = - 1



V y a = - 3 và b = - 1ậ
2. Cho hàm s y = (2m – 1)x + m + 2ố
a) Đ hàm s ngh ch bi n thì 2m – 1 < 0 ể ố ị ế

m < .
b) Đ đ th hàm s c t tr c hồnh t i đi m có hồnh đ b ng ể ồ ị ố ắ ụ ạ ể ộ ằ
2
3
−
. Hay đồ thò
hàm số đi qua điểm có toạ đôï (
2
3
−
;0). Ta ph i có ptả
0 = (2m – 1).(- ) + m + 2

m = 8
Bài 3: (2,0 đi m)ể
Qng đ ng t Hồi Ân đi Phù Cát dàiườ ừ : 100 - 30 = 70 (km)
G i x (km/h) là v n t c xe máy .ĐKọ ậ ố : x > 0.

V n t c ơ tơ là x + 20 (km/h)ậ ố
Th i gian xe máy đi đ n Phù Cátờ ế : (h)
Th i gian ơ tơ đi đ n Phù Cátờ ế : (h)
Vì xe máy đi tr c ơ tơ 75 phút = (h) nên ta có ph ng trìnhướ ươ :
- =
Gi i ph ng trình trên ta đ c xả ươ ượ
1
= - 60 (lo i)ạ ; x
2
= 40 (nhận).
V y v n t c xe máy là 40(km/h), v n t c c a ơ tơ là 40 + 20 = 60(km/h)ậ ậ ố ậ ố ủ
6
Bài 4 : a) Ch ng minh ứ
∆
ABD cân
Xét
∆
ABD có BC
⊥
DA (Do
ﾷ
ACB
= 90
0
: Góc n i ti p ch n n a đ ng tròn (O)ộ ế ắ ử ườ

)

M t khác : CA = CD (gt) . BC v a là đ ng cao v a là trung tuy n nên ặ ừ ườ ừ ế
∆

ABD cân t i Bạ
b)Ch ng minh r ng ba đi m D, B, F cùng n m trên m t đ ng th ng.ứ ằ ể ằ ộ ườ ẳ
Vì
ﾷ
CAE
= 90
0
, nên CE là đ ng kính c a (O), hay C, O, E th ng hàng.ườ ủ ẳ
Ta có CO là đ ng trung bình c a tam giác ABDườ ủ
Suy ra BD // CO hay BD // CE (1)
T ng t CE là đ ng trung bình của tam giác ADFươ ự ườ
Suy ra DF // CE (2)
Từ (1) và (2) suy ra D, B, F cùng nằm trên một đường thẳng
c)Ch ng minh r ng đ ng tròn đi qua ba đi m A, D, F ti p xúc ứ ằ ườ ể ế
v i đ ng tròn (O).ớ ườ
Ta chứng minh được BA = BD = BF
Do đó đ ng tròn qua ba đi m A,D,F nh n B làm tâm và AB làm bán kính .ườ ể ậ
Vì OB = AB - OA > 0 Nên đ ng tròn đi quaườ
ba đi m A, D, F ti p xúc trong v i đ ng tròn (O) t i A ể ế ớ ườ ạ
Bài 5: (1,0 đi m) ể
V i m i m, n là s ngun d ng và m > n.ớ ọ ố ươ
Vì S
k
= (
2
+ 1)
k
+ (
2
- 1)

k
Ta có: S
m+n
= (
2
+ 1)
m + n
+ (
2
- 1)
m + n
S
m- n
= (
2
+ 1)
m - n
+ (
2
- 1)
m - n
Suy ra S
m+n
+ S
m- n
= (
2
+ 1)
m + n
+ (

2
- 1)
m + n
+ (
2
+ 1)
m - n
+ (
2
- 1)
m – n
(1)
Mặt khác S
m
.S
n
=
m m
( 2+ 1) + ( 2- 1)
� �
� �
n n
( 2+ 1) + ( 2- 1)
� �
� �
= (
2
+ 1)
m+n
+ (

2
- 1)
m+n
+ (
2
+ 1)
m
. (
2
- 1)
n
+ (
2
- 1)
m
. (
2
+ 1)
n
(2)
Mà (
2
+ 1)
m - n
+ (
2
- 1)
m - n
=
m

n
( 2+ 1)
( 2+ 1)
+
m
n
( 2- 1)
( 2- 1)
=
m n m n
n n
( 2+ 1) .( 2- 1) ( 2- 1) .( 2+ 1)
( 2- 1) .( 2+ 1)
+

=
m n m n
n
( 2+ 1) .( 2- 1) ( 2- 1) .( 2+ 1)
1
+
=
m n m n
( 2+ 1) .( 2- 1) ( 2- 1) .( 2+ 1)+
(3)
Từ (1), (2) và (3) V y Sậ
m+n
+ S
m- n
= S

m
.S
n
v i m i m, n là s ngun d ng và m > n.ớ ọ ố ươ
7
2
1
3
4
E
O
B
D
F
A
C

H NG D N GI I Đ THI TUY N SINH L P 10 THPT ƯỚ Ẩ Ả Ề Ể Ớ
T NH QU NG TRỈ Ả Ị
MÔN: TOÁN
Ngày thi: 07/07/2009
Câu 1 (2,0 đi m)ể
1. Rút g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
a)
33343332342712 =+−=+−
.
b)
( )
.1255152515251
2

−=−+−=−+−=−+−
2. Gi i ph ng trình: xả ươ
2
-5x+4=0
Ta có: a=1; b=-5; c=4; a+b+c= 1+(-5)+4=0
Nên ph ng trình có nghi mươ ệ : x=1 và x=4
Hay : S=
{ }
4;1
.
Câu 2 (1,5 đi m)ể
Trong m t ph ng to đ Oxy cho hàm s y=-2x+4 có đ th là đ ng th ng (d).ặ ẳ ạ ộ ố ồ ị ườ ẳ
a) Tìm to đ giao đi m c a đ ng th ng (d) v i hai tr c to đô.ạ ộ ể ủ ườ ẳ ớ ụ ạ
- To đ giao đi m c a đ ng th ng (d) v i tr c Oy là nghi m c a hạ ộ ể ủ ườ ẳ ớ ụ ệ ủ ệ :
.
4
0
42
0



=
=
⇔



+−=
=

y
x
xy
x
V y to đ giao đi m c a đ ng th ng (d) v i tr c Oy làậ ạ ộ ể ủ ườ ẳ ớ ụ
A(0 ; 4).
- To đ giao đi m c a đ ng th ng (d) v i tr c Ox là nghi m c a hạ ộ ể ủ ườ ẳ ớ ụ ệ ủ ệ :
.
2
0
42
0



=
=
⇔



+−=
=
x
y
xy
y
V y to đ giao đi m c a đ ng th ng (d) v i tr c Ox làậ ạ ộ ể ủ ườ ẳ ớ ụ
B(2 ; 0).
b) Tìm trên (d) đi m có hoành đ b ng tung đ .ể ộ ằ ộ

G i đi m M(xọ ể
0
; y
0
) là đi m thu c (d) và xể ộ
0
= y
0

 x
0
=-2x
0
+4
 x
0
=4/3 => y
0
=4/3.
V y: M(4/3;4/3).ậ
Câu 3 (1,5 đi m).ể
Cho ph ng trình b c hai: xươ ậ
2
-2(m-1)x+2m-3=0. (1)
a) Ch ng minh r ng ph ng trình (1) có nghi m v i m i giá tr c a m.ứ ằ ươ ệ ớ ọ ị ủ
x
2
- 2(m-1)x + 2m - 3=0.
Có:
∆

’ =
( )
[ ]
)32(1
2
−−−− mm
= m
2
-2m+1-2m+3
= m
2
-4m+4 = (m-2)
2

≥
0 v iớ m i m.ọ
 Ph ng trình (1) luôn luôn có nghiươ mệ v iớ m i giá tr c a m.ọ ị ủ
b) Ph ng trình (1) có hai nghi m trái d u khi và ch khiươ ệ ấ ỉ a.c < 0
<=> 2m-3 < 0
<=> m <
2
3
.
8
V yậ : v i m < ớ
2
3
thì ph ng trình (1) có hai nghiươ mệ trái d uấ .
Câu 4 (1,5 đi m)ể
M t m nh v n hình ch nh t có di n tích là 720mộ ả ườ ử ậ ệ

2
, n u tăng chi u dài thêm 6m vàế ề
gi m chi u r ng đi 4m thì di n tích m nh v n không đ i. Tính kích th c c a m nhả ề ộ ệ ả ườ ổ ướ ủ ả
v nườ ?
Bài gi iả :
G i chi u r ng c a m nh v n là a (m)ọ ề ộ ủ ả ườ ; a > 4.
Chi u dài c a m nh v n là ề ủ ả ườ
a
720
(m).
Vì tăng chi u r ng thêm 6m và gi m chi u dài đi 4m thì di n tích không đ i nên ta cóề ộ ả ề ệ ổ
ph ng trìnhươ : (a-4). (
a
720
+6) = 720.

⇔
a
2
-4a-480 = 0




<−=
=
⇔
.)0(20
24
loaia

a
V y chi u r ng c a m nh v n là 24m.ậ ề ộ ủ ả ườ
chi u dài c a m nh v n là 30m.ề ủ ả ườ
Câu 5 (3,5 đi m)ể
Cho đi m A n m ngoài đ ng tròn tâm O bán kính R. T A k đ ng th ng (d) khôngể ằ ườ ừ ẻ ườ ẳ
đi qua tâm O, c t (O) t i B và C ( B n m gi a A và C). Các ti p tuy n v i đ ng tròn (O)ắ ạ ằ ữ ế ế ớ ườ
t i B và C c t nhau t i D. T D k DH vuông góc v i AO (H n m trên AO), DH c t cungạ ắ ạ ừ ẻ ớ ằ ắ
nh BC t i M. G i I là giao đi m c a DO và BC.ỏ ạ ọ ể ủ
1. Ch ng minh OHDC là t giác n i ti p.ứ ứ ộ ế
2. Ch ng minh OH.OA = OI.OD.ứ
3. Ch ng minh AM là ti p tuy n c a đ ng tròn (O).ứ ế ế ủ ườ
4. Cho OA = 2R. Tính theo R di n tích c a ph n tam giác OAM n m ngoàiệ ủ ầ ằ
đ ng tròn (O).ườ

9
K
I
M
H
D
C
B
O
A
Ch ng minh:ứ
a) C/m: OHDC n i ti p.ộ ế
Ta có: DH vuông goc v i AO (gt). => ớ
∠
OHD = 90
0

.
CD vuông góc v i OC (gt). => ớ
∠
OCD = 90
0
.
Xét T giác OHDC có ứ
∠
OHD +
∠
OCD = 180
0
.
Suy ra : OHDC n i ti p đ c m t đ ng tròn.ộ ế ượ ộ ườ
b) C/m: OH.OA = OI.OD
Ta có: OB = OC (=R); DB = DC ( T/c c a hai ti p tuy n c t nhau)ủ ế ế ắ
Suy ra OD là đ ng trung tr c c a BC => OD vuông góc v i BC.ườ ự ủ ớ
Xét hai tam giác vuông
∆
OHD và
∆
OIA có
∠
AOD chung

∆
OHD đ ng d ng v i ồ ạ ớ
∆
OIA (g-g)


ODOIOAOH
OA
OD
OI
OH
== >=
(1) (đpcm).
c) Xét
∆
OCD vuông t i C có CI là đ ng caoạ ườ
áp d ng h th c l ng trong tam giác vuông, ụ ệ ứ ượ
ta có: OC
2
= OI.OD mà OC = OM (=R) (2).
T (1) và (2)ừ : OM
2
= OH.OA

OM
OA
OH
OM
=⇒
.
Xét 2 tam giác :
∆
OHM và
∆
OMA có :

∠
AOM chung và
OM
OA
OH
OM
=
.
Do đó :
∆
OHM đ ng d ng ồ ạ
∆
OMA (c-g-c)

∠
OMA =
∠
OHM = 90
0
.
10
 AM vuông góc v i OM t i Mớ ạ
 AM là ti p tuy n c a (O).ế ế ủ
d)G i K là giao đi m c a OA v i (O); G i di n tích c n tìm là S.ọ ể ủ ớ ọ ệ ầ
 S = S
∆
AOM
- S
qOKM
Xét

∆
OAM vuông t i M có OM = Rạ ; OA = 2.OK = 2R
=>
∆
OMK là tam giác đ u.ề
=> MH = R.
2
3
và
∠
AOM = 60
0
.
=> S
∆
AOM
=
.
2
3
.
2
3
2.
2
1
.
2
1
2

RRRMHOA ==
(đvdt)
S
qOKM
=
6
.
360
60
22
RR Π
=
Π
. (đvdt)
=> S = S
∆
AOM
- S
qOKM
=
6
33
.
6
.
2
3
.
2
2

2
Π−
=
Π
− R
R
R
(đvdt).
11
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O KỲ THI TUY N SINH VÀO L P 10 THPTỞ Ụ Ạ Ể Ớ
THANH HÓA NĂM H C 2009-2010Ọ
Môn thi : Toán
Ngày thi: 30 tháng 6 năm 2009
Th i gian làm bài: 120 phútờ
Bài 1 (1,5 đi m)ể
Cho ph ng trình: xươ
2
– 4x + n = 0 (1) v i n là tham s .ớ ố
1.Gi i ph ng trình (1) khi n = 3.ả ươ
2. Tìm n đ ph ng trình (1) có nghi m.ể ươ ệ
Bài 2 (1,5 đi m)ể
Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 5
2 7
x y
x y
+ =


+ =


Bài 3 (2,5 đi m)ể
Trong m t ph ng t a đ Oxy cho parabol (P): y = xặ ẳ ọ ộ
2
và đi m B(0;1)ể
1. Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua đi m B(0;1) và có h s k.ế ươ ườ ẳ ể ệ ố
2. Ch ng minh r ng đ ng th ng (d) luôn c t Parabol (P) t i hai đi m phân bi t Eứ ằ ườ ẳ ắ ạ ể ệ
và F v i m i k.ớ ọ
3. G i hoành đ c a E và F l n l t là xọ ộ ủ ầ ượ
1 và x
2. Ch ng minh r ng xứ ằ
1
.
x2 = - 1, t đóừ
suy ra tam giác EOF là tam giác vuông.
Bài 4 (3,5 đi m)ể
Cho nửa đ ng tròn tâm O đ ng kính AB = 2R. Trên tia đ i c a tia BA l y đi mươ ườ ố ủ ấ ể
G (khác v i đi m B) . T các đi m G; A; B k các ti p tuy n v i đ ng tròn (O) .ớ ể ừ ể ẻ ế ế ớ ườ
Ti p tuy n k t G c t hai ti p tuy n k t A avf B l n l t t i C và D.ế ế ẻ ừ ắ ế ế ẻ ừ ầ ượ ạ
1. G i N là ti p đi m c a ti p tuy n k t G t i n a đ ng tròn (O). Ch ng minhọ ế ể ủ ế ế ẻ ừ ớ ử ườ ứ
t giác BDNO n i ti p đ c.ứ ộ ế ượ
2. Ch ng minh tam giác BGD đ ng d ng v i tam giác AGC, t đó suy ra ứ ồ ạ ớ ừ
CN DN
CG DG
=
.
3. Đ t ặ
ﾷ
BOD
α

=
Tính đ dài các đo n th ng AC và BD theo R và ộ ạ ẳ α. Ch ng t r ngứ ỏ ằ
tích AC.BD ch ph thu c R, không ph thu c ỉ ụ ộ ụ ộ α.
Bài 5 (1,0 đi m)ể
Cho s th c m, n, p th a mãn : ố ự ỏ
2
2 2
3
1
2
m
n np p+ + = −
.
Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c : B = m + n + p.ị ớ ấ ỏ ấ ủ ể ứ
……………………………. H t …………………………….ế
H tên thí sinh: ………………………………… S báo danh: ……………ọ ố
Ch ký c a giám th s 1: Ch ký c a giám th s 2:ữ ủ ị ố ữ ủ ị ố
12
Đ chính th cề ứ
Đ Bề
ĐÁP ÁN
Bài 1 (1,5 đi m)ể
Cho ph ng trình: xươ
2
– 4x + n = 0 (1) v i n là tham s .ớ ố
1.Gi i ph ng trình (1) khi n = 3.ả ươ
x
2
– 4x + 3 = 0 Pt có nghi m xệ
1

= 1; x
2
= 3
2. Tìm n đ ph ng trình (1) có nghi m.ể ươ ệ
∆’ = 4 – n ≥ 0 ⇔ n ≤ 4
Bài 2 (1,5 đi m)ể
Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 5
2 7
x y
x y
+ =


+ =

HPT có nghi m: ệ
3
1
x
y
=


=

Bài 3 (2,5 đi m)ể
Trong m t ph ng t a đ Oxy cho parabol (P): y = xặ ẳ ọ ộ
2
và đi m B(0;1)ể

1. Vi t ph ng trình đ ng th ng (d) đi qua đi m B(0;1) và có h s k.ế ươ ườ ẳ ể ệ ố
y = kx + 1
2. Ch ng minh r ng đ ng th ng (d) luôn c t Parabol (P) t i hai đi m phân bi t Eứ ằ ườ ẳ ắ ạ ể ệ
và F v i m i k.ớ ọ
Ph ng trình hoành đ : xươ ộ
2
– kx – 1 = 0
∆ = k
2
+ 4 > 0 v i ớ ∀ k ⇒ PT có hai nghi m phân bi t ệ ệ ⇒ đ ng th ng (d)ườ ẳ
luôn c t Parabol (P) t i hai đi m phân bi t E và F v i m i k.ắ ạ ể ệ ớ ọ
3. G i hoành đ c a E và F l n l t là xọ ộ ủ ầ ượ
1
và x
2
. Ch ng minh r ng xứ ằ
1
.
x
2
= -1, t đóừ
suy ra tam giác EOF là tam giác vuông.
T a đ đi m E(xọ ộ ể
1
; x
1
2
); F((x
2
; x

2
2
)
⇒ PT đ ng th ng OE : y = xườ ẳ
1
. x
và PT đ ng th ng OF : y = xườ ẳ
2
. x
Theo h th c Vi ét : xệ ứ
1

. x
2
= - 1
⇒ đ ng th ng OE vuông góc v i đ ng th ng OF ườ ẳ ớ ườ ẳ ⇒ ∆EOF là ∆ vuông.
Bài 4 (3,5 đi m)ể

13
1, T giác BDNO n i ti p đ c.ứ ộ ế ượ
2, BD ⊥ AG; AC ⊥ AG ⇒ BD // AC (ĐL) ⇒ ∆GBD đ ng d ng ồ ạ ∆GAC (g.g)
⇒
CN BD DN
CG AC DG
= =
3, ∠BOD = α ⇒ BD = R.tg α; AC = R.tg(90
o
– α) = R tg α
⇒ BD . AC = R
2

.
Bài 5 (1,0 đi m)ể
2
2 2
3
1
2
m
n np p+ + = −
(1)
⇔ … ⇔ ( m + n + p )
2
+ (m – p)
2
+ (n – p)
2
= 2
⇔ (m – p)
2
+ (n – p)
2
= 2 - ( m + n + p )
2
⇔ (m – p)
2
+ (n – p)
2
= 2 – B
2
v trái không âm ế ⇒ 2 – B

2
≥ 0 ⇒ B
2
≤ 2 ⇔
2 2B−  

d u b ng ấ ằ ⇔ m = n = p thay vào (1) ta có m = n = p =
2
3

⇒ Max B =
2
khi m = n = p =
2
3
Min B =
2−
khi m = n = p =
2
3
−
14
S GD&ĐT VĨNH PHÚCỞ
——————
KỲ THI VÀO L P 10 THPT CHUYÊN NĂM H CỚ Ọ
2009-2010
Đ THI MÔN: TOÁNỀ
Dành cho các thí sinh thi vào l p chuyên Toánớ
Th i gian làm bài: 150 phút, không k th i gian giao đờ ể ờ ề
—————————

(Đ có 01 trang)ề
Câu 1 (3,0 đi m).ể
a) Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
1 1 9
2
1 5
2
x y
x y
xy
xy

+ + + =




+ =


b) Gi i và bi n lu n ph ng trình: ả ệ ậ ươ
| 3| | 2| 5x p x+ + − =
(p là tham s có giá tr th c).ố ị ự
Câu 2 (1,5 đi m).ể
Cho ba s th c ố ự
, ,a b c
đôi m t phân bi t. Ch ng minh ộ ệ ứ
2 2 2
2 2 2
2

( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
+ + 
− − −
Câu 3 (1,5 đi m).ể Cho
2
1
4 4 1
A
x x
=
+ +
và
2
2 2
2 1
x
B
x x
−
=
− +
.
Tìm t t c các giá tr nguyên c a ấ ả ị ủ
x
sao cho
2
3
A B

C
+
=
là m t s nguyên.ộ ố
Câu 4 (3,0 đi m).ể Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD). G i K, M l n l t làọ ầ ượ
trung đi m c a BD, AC. Đ ng th ng qua K và vuông góc v i AD c t đ ng th ngể ủ ườ ẳ ớ ắ ườ ẳ
qua M và vuông góc v i BC t i Q. Ch ng minh:ớ ạ ứ
a) KM // AB.
b) QD = QC.
Câu 5 (1,0 đi m).ể Trong m t ph ng cho 2009 đi m, sao cho 3 đi m b t kỳ trong chúngặ ẳ ể ể ấ
là 3 đ nh c a m t tam giác có di n tích không l n h n 1. Ch ng minh r ng t t cỉ ủ ộ ệ ớ ơ ứ ằ ấ ả
nh ng đi m đã cho n m trong m t tam giác có di n tích không l n h n 4.ữ ể ằ ộ ệ ớ ơ
—H t—ế
Cán b coi thi không gi i thích gì thêmộ ả
H tên thí sinh SBD ọ
15
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ
S GD&ĐT VĨNHỞ
PHÚC
——————
KỲ THI TUY N SINH L P 10 THPT CHUYÊN NĂM H CỂ Ớ Ọ
2009-2010
H NG D N CH M MÔN: TOÁNƯỚ Ẫ Ấ
Dành cho l p chuyên Toán.ớ
—————————
Câu 1 (3,0 đi m).ể
a) 1,75 đi m:ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
Đi u ki n ề ệ
0xy 

0,25
H đã cho ệ
2
2[ ( ) ( )] 9 (1)
2( ) 5 2 0 (2)
xy x y x y xy
xy xy
+ + + =


− + =

0,25
Gi i PT(2) ta đ c: ả ượ
2 (3)
1
(4)
2
xy
xy
=



=

0,50
T (1)&(3) có:ừ
1
2

3
2
2
1
x
y
x y
xy
x
y
=�



=
+ =






=
=




=




0,25
T (1)&(4) có:ừ
1
1
3
2
2
1
1
2
2
1
x
y
x y
xy
x
y
=�






=
+ =




� �






=
=







=


0,25
V y h đã cho có 4 nghi m là: ậ ệ ệ
( ; ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)x y =
0,25
b) 1,25 đi m:ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
Xét 3 tr ng h p:ườ ợ
TH1. N u ế
2 x

thì PT tr thành: ở
( 1) 2( 1)p x p+ = +
(1)
TH2. N u ế
3 2x−  <
thì PT tr thành: ở
(1 ) 2(1 )p x p− = −
(2)
TH3. N u ế
3x < −
thì PT tr thành: ở
( 1) 2( 4)p x p+ = −
(3)
0,25
N u ế
1p  
thì (1) có nghi m ệ
2x =
; (2) vô nghi m; (3) có nghi m x n u tho mãn: ệ ệ ế ả
2( 4)
3 1 1
1
p
x p
p
−
= < − − < <�
+
.
0,25

N u ế
1p = −
thì (1) cho ta vô s nghi m tho mãn ố ệ ả
2 x
; (2) vô nghi m; (3) vô nghi m.ệ ệ 0,25
N u ế
1p =
thì (2) cho ta vô s nghi m tho mãn ố ệ ả
3 2x−  <
; (1) có nghi m x=2; (3)VNệ 0,25
K t lu n:ế ậ
+ N u -1 < p < 1 thì ph ng trình có 2 nghi m: x = 2 và ế ươ ệ
2( 4)
1
p
x
p
−
=
+
0,25
16
+ N u p = -1 thì ph ng trình có vô s nghi m ế ươ ố ệ
2 x  ﾷ
+ N u p = 1 thì ph ng trính có vô s nghi m ế ươ ố ệ
3 2x
−  
+ N u ế
1
1

p
p
< −


>

thì ph ng trình có nghi m x = 2.ươ ệ
Câu 2 (1,5 đi m):ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
+ Phát hi n và ch ng minhệ ứ
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
bc ca ab
a b a c b a b c c a c b
+ + =
− − − − − −
1,0
+ T đó, v trái c a b t đ ng th c c n ch ng minh b ng:ừ ế ủ ấ ẳ ứ ầ ứ ằ
2
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c bc ca ab
b c c a a b a b a c b c b a c a c b
� �
� �
+ + + + + 
� �
� �
− − − − − − − − −

� �
� �

0,5
Câu 3 (1,5 đi m):ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
Đi u ki n xác đ nh: xề ệ ị

1 (do x nguyên). 0,25
D th y ễ ấ
1 2( 1)
;
| 2 1| | 1|
x
A B
x x
−
= =
+ −
, suy ra:
2 1 1
3 | 2 1| | 1|
x
C
x x
� �
−
= +
� �
+ −

� �
0,25
N u ế
1x
>
. Khi đó
2 1 4( 1) 4( 1) 1 2
1 0 1 1 0
3 2 1 3(2 1) 3(2 1) 3(2 1)
x x x
C C
x x x x
+ + −
� �
= + = > − = − = <�
� �
+ + + +
� �
Suy ra
0 1C< <
, hay
C
không th là s nguyên v i ể ố ớ
1x >
.
0,5
N u ế
1
1
2

x− < <
. Khi đó:
0x =
(vì x nguyên) và
0C =
. V y ậ
0x =
là m t giá tr c n tìm.ộ ị ầ 0,25
N u ế
1
2
x < −
. Khi đó
1x  −
(do x nguyên). Ta có:
2 1 4( 1)
1 0
3 2 1 3(2 1)
x
C
x x
+
� �
= − − = − 
� �
+ +
� �
và
4( 1) 2 1
1 1 0

3(2 1) 3(2 1)
x x
C
x x
+ −
+ = − + = >
+ +
, suy ra
1 0C− < 

hay
0C
=
và
1x
= −
.
V y các giá tr tìm đ c tho mãn yêu c u là: ậ ị ượ ả ầ
0, 1x x= = −
.
0,25
Câu 4 (3,0 đi m):ể
a) 2,0 đi m:ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
G i I là trung đi m AB,ọ ể
,E IK CD R IM CD= =� �
. Xét hai tam
giác KIB và KED có:
ﾷ
ﾷ

ABD BDC=
0,25
KB = KD (K là trung đi m BD)ể 0,25
ﾷ
ﾷ
IKB EKD=
0,25
Suy ra
KIB KED IK KE
∆ = ∆ =�
. 0,25
Ch ng minh t ng t có: ứ ươ ự
MIA MRC∆ = ∆
0,25
Suy ra: MI = MR 0,25
Trong tam giác IER có IK = KE và MI = 0,25
17
A
I
B
K
M
D
E
H
R
C
Q
MR nên KM là đ ng trung bình ườ


KM //
CD
Do CD // AB (gt) do đó KM // AB (đpcm) 0,25
b) 1,0 đi m:ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
Ta có: IA=IB, KB=KD (gt)

IK là đ ng trung bình c a ườ ủ
∆
ABD

IK//AD hay IE//AD
ch ng minh t ng t trong ứ ươ ự
∆
ABC có IM//BC hay IR//BC
0,25
Có:
QK AD⊥
(gt), IE//AD (CM trên)
QK IE⊥�
. T ng t có ươ ự
QM IR⊥
0,25
T trên có: IK=KE, ừ
QK IE QK⊥ 
là trung tr c ng v i c nh IE c a ự ứ ớ ạ ủ
IER∆
. T ng tươ ự
QM là trung tr c th hai c a ự ứ ủ
IER∆

0,25
H ạ
QH CD⊥
suy ra QH là trung tr c th ba c a ự ứ ủ
IER∆
hay Q n m trên trung tr c c aằ ự ủ
đo n CD ạ

Q cách đ u C và D hay QD=QC (đpcm).ề
0,25
Câu 5 (1,0 đi m):ể
N i dung trình bàyộ Đi mể
A'
B'
C'
A
B
C
P
P'
Trong s các tam giác t o thành, xét tam giác ố ạ ABC có di n tích l n nh t (di n tích ệ ớ ấ ệ S). Khi
đó
1S

.
0.25
Qua m i đ nh c a tam giác, k các đ ng th ng song song v i c nh đ i di n, cácỗ ỉ ủ ẻ ườ ẳ ớ ạ ố ệ
đ ng th ng này gi i h n t o thành m t tam giác ườ ẳ ớ ạ ạ ộ
' ' 'A B C
(hình v ). Khi đóẽ

' ' '
4 4
A B C ABC
S S= 
. Ta s ch ng minh t t c các đi m đã cho n m trong tam giác ẽ ứ ấ ả ể ằ
' ' 'A B C
.
0.25
Gi s trái l i, có m t đi m ả ử ạ ộ ể
P
n m ngoài tam giác ằ
' ' ',A B C
ch ng h n nh trên hình vẳ ạ ư ẽ
. Khi đó
( ) ( )
; ;d P AB d C AB
>
, suy ra
PAB CAB
S S>
, mâu thu n v i gi thi t tam giác ẫ ớ ả ế
ABC

có di n tích l n nh t.ệ ớ ấ
0.25
V y, t t c các đi m đã cho đ u n m bên trong tam giác ậ ấ ả ể ề ằ
' ' 'A B C
có di n tích không l nệ ớ
h n 4.ơ
0.25

M t s l u ý:ộ ố ư
-Trên đây ch trình tóm t t m t cách gi i v i nh ng ý b t bu c ph i có. Trong quáỉ ắ ộ ả ớ ữ ắ ộ ả
trình ch m, n u h c sinh gi i theo cách khác và đ ý thì v n cho đi m t i đa.ấ ế ọ ả ủ ẫ ể ố
-Trong quá trình gi i bài c a h c sinh n u b c trên sai, các b c sau có s d ngả ủ ọ ế ướ ướ ử ụ
k t qu ph n sai đó n u có đúng thì v n không cho đi m.ế ả ầ ế ẫ ể
18
-Bài hình h c, n u h c sinh không v hình ph n nào thì không cho đi m t ng ngọ ế ọ ẽ ầ ể ươ ứ
v i ph n đó.ớ ầ
-Nh ng ph n đi m t 0,5 tr lên, t ch m có th th ng nh t chia t i 0,25 đi m.ữ ầ ể ừ ở ổ ấ ể ố ấ ớ ể
-Đi m toàn bài tính đ n 0,25 đi m.ể ế ể
—H t—ế
19
Đ THI CHUYÊN TOÁN QU C H C HU NĂM 2009-2010Ề Ố Ọ Ế
Th i gian: 150 phútờ
(Không k th i gian giao đ )ể ờ ề

Bài 1: Cho ph ng trình: ươ
a) Tìm m đ pt trên có 2 nghi m phân bi tể ệ ệ
b) Tìm min c aủ
Bài 2:
a) Cho pt có 2 nghi m d ng phân bi t. CMR ph ng trìnhệ ươ ệ ươ
cũng có 2 nghi m d ng phân bi t.ệ ươ ệ
b) Gi i pt:ả
c) CMR có duy nh t b s th c (x;y;z) thoã mãn:ấ ộ ố ự
Bài 3: Cho góc xOy có s đo là 60 đ . (K) n m trong góc xOy ti p xúc v i tia Ox t i M vàố ộ ằ ế ớ ạ
ti p xúc v i Oy t i N. Trên tia Ox l y P sao cho OP=3. OM.ế ớ ạ ấ
Ti p tuy n c a (K) qua P c t Oy t i Q khác O. Đ ng th ng PK c t MN t i E. QK c tế ế ủ ắ ạ ườ ẳ ắ ạ ắ
MN F.ở
a) CMR: Tam giác MPE đ ng d ng tam giác KPQồ ạ
b) CMR: PQEF n i ti pộ ế

c) G i D là trung đi m PQ. CMR tam giác DEF đ u.ọ ể ề
Bài 4:Gi i PTNN:ả
Bài 5: Gi s t giác l i ABCD có 2 hình vuông ngo i ti p khác nhau. CMR: T giác nàyả ử ứ ồ ạ ế ứ
có vô s hình vuông ngo i ti p.ố ạ ế
20
Đ THI CHUYÊN Đ I H C VINH 2009-2010Ề Ạ Ọ
VÒNG 1(120 phút)
Câu 1 :
Cho ph ng trình xươ
2
– (2m – 3)x + m(m – 3) = 0 ,v i m là tham s ớ ố
1, V i giá tr nào c a m thì ph ng trình đã cho có 2 nghi m phân bi tớ ị ủ ươ ệ ệ
2, Tìm các giá tr c a ị ủ đ ph ng trình đã cho có ể ươ nghi m u, v th a mãn h th c uệ ỏ ệ ứ
2
+ v
2
= 17.
Câu 2 :
1, Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
( )
2 2
x y 2 x y 23
x y xy 11

+ + + =


+ + =



2,Cho các s th c x, y thõa mãn x ≥ 8y > 0,Hãy tìm giá tr nh nh t c a bi u th c :ố ự ị ỏ ấ ủ ể ứ
( )
1
P x
y x 8y
= +
−
Câu 3 :
Cho 2 đ ng tròn (Oườ
1
; R
1
) và (O
2
; R
2
) c t nhau t i hai đi m I, P.Cho bi t Rắ ạ ể ế
1
< R
2
và O
1
,
O
2
khác phía đ i v i đ ng th ng IP. K 2 đ ng kính IE,IF t ng ng c a (Oố ớ ườ ẳ ẻ ườ ươ ứ ủ
1
; R
1
) và

(O
2
; R
2
) .
1, Ch ng minh : E, P, F th ng hàng ứ ẳ
2, G i K là trung đi m EF, Ch ng minh Oọ ể ứ
1
PKO
2
là t giác n i ti p .ứ ộ ế
3, Tia IK c t (Oắ
2
; R
2
)t i đi m th hai là B,đ ng th ng vuông góc v i IK t i I c t (Oạ ể ứ ườ ẳ ớ ạ ắ
1
; R
1
)
t i đi m th hai là ạ ể ứ .Ch ng minh IA = BF.ứ
21
S GIÁO D C VÀ ĐÀO T OỞ Ụ Ạ KỲ THI TUY N SINH L P 10Ể Ớ
THÀNH PH H CHÍ MINHỐ Ồ TRUNG H C PH THÔNG CHUYÊNỌ Ổ
NĂM H C 2008-2009Ọ
KHÓA NGÀY 18-06-2008
Đ CHÍNH TH CỀ Ứ Môn thi: TOÁN
Th i gian làm bài: 150 phút ờ
(không k th i gian giao đ )ể ờ ề
Câu 1 (4 đi m):ể

a) Tìm m đ ph ng trình xể ươ
2
+ (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0 có hai nghi m xệ
1
, x
2
tho |xả
1
– x
2
|
= 17.
b) Tìm m đ h b t ph ng trình ể ệ ấ ươ
2x m 1
mx 1
 −




có m t nghi m duy nh t.ộ ệ ấ
Câu 2(4 đi m):ể Thu g n các bi u th c sau:ọ ể ứ
a) S =
a b c
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ +
− − − − − −
(a, b, c khác nhau đôi m t)ộ
b) P =
x 2 x 1 x 2 x 1

x 2x 1 x 2x 1
+ − + − −
+ − − − −
(x ≥ 2)
Câu 3(2 đi m):ể Cho a, b, c, d là các s nguyên th a a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c. ố ỏ
Ch ng minh r ng:ứ ằ
a) a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
là t ng c a ba s chính ph ng.ổ ủ ố ươ
b) bc ≥ ad.
Câu 4 (2 đi m):ể
a) Cho a, b là hai s th c tho 5a + b = 22. Bi t ph ng trình xố ự ả ế ươ
2
+ ax + b = 0 có hai
nghi m là hai s nguyên d ng. Hãy tìm hai nghi m đó.ệ ố ươ ệ
b) Cho hai s th c sao cho x + y, xố ự
2
+ y
2
, x
4
+ y
4
là các s nguyên. Ch ng minh xố ứ

3
+ y
3
cũng
là các s nguyên.ố
Câu 5 (3 đi m):ể Cho đ ng tròn (O) đ ng kính AB. T m t đi m C thu c đ ng trònườ ườ ừ ộ ể ộ ườ
(O) k CH vuông góc v i AB (C khác A và B; H thu c AB). Đ ng tròn tâm C bán kínhẻ ớ ộ ườ
CH c t đ ng tròn (O) t i D và E. Ch ng minh DE đi qua trung đi m c a CH.ắ ườ ạ ứ ể ủ
Câu 6 (3 đi m):ể Cho tam giac ABC đ u có c nh b ng 1. Trên c nh AC l y các đi m D, É ề ạ ằ ạ ấ ể
sao cho ∠ ABD = ∠ CBE = 20
0
. G i M là trung đi m c a BE và N là đi m trên c nh BCọ ể ủ ể ạ
sao BN = BM. Tính t ng diên tich hai tam giac BCE và tam giac BEN. ổ ̣ ́ ́ ́
22
Câu 7 (2 đi m):ể Cho a, b là hai s th c sao cho aố ự
3
+ b
3
= 2. Ch ng minh 0 < a + b ≤ 2.ứ
oOo
G i ý gi i đ thi môn toán chuyênợ ả ề
Câu 1:
a) ∆ = (4m + 1)
2
– 8(m – 4) = 16m
2
+ 33 > 0 v i m i m nên ph ng trình luôn có haiớ ọ ươ
nghi m phân bi t xệ ệ
1
, x

2
.
Ta có: S = –4m – 1 và P = 2m – 8.
Do đó: |x
1
–x
2
| = 17 ⇔ (x
1
– x
2
)
2
= 289 ⇔ S
2
– 4P = 289
⇔ (–4m – 1)
2
– 4(2m – 8) = 289 ⇔ 16m
2
+ 33 = 289
⇔ 16m
2
= 256 ⇔ m
2
= 16 ⇔ m = ± 4.
V y m tho YCBT ậ ả ⇔ m = ± 4.
b)
2x m 1 (a)
mx 1 (b)

 −




.
Ta có: (a) ⇔ x ≥
m 1
2
−
.
Xét (b): * m > 0: (b) ⇔ x ≥
1
m
.
* m = 0: (b) ⇔ 0x ≥ 1 (VN)
* m < 0: (b) ⇔ x ≤
1
m
.
V y h có nghi m duy nh t ậ ệ ệ ấ ⇔
m 0
1 m 1
m 2
<



−
=



⇔
2
m 0
m m 2 0
<



− − =


⇔ m = –1.
Câu 2:
a) S =
a b c
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b)
+ +
− − − − − −
(a, b, c khác nhau đôi m t)ộ
=
a(c b) b(a c) c(b a)
(a b)(b c)(c a)
− + − + −
− − −
=
ac ab ba bc cb ca
(a b)(b c)(c a)
− + − + −

− − −
= 0.
b) P =
x 2 x 1 x 2 x 1
x 2x 1 x 2x 1
+ − + − −
+ − − − −
(x ≥ 2)
=
2 2
2 ( x 1 1) ( x 1 1)
2x 2 2x 1 2x 2 2x 1
� �
− + + − −
� �
� �
+ − − − −
=
2 2
2 x 1 1 x 1 1
( 2x 1 1) ( 2x 1 1)
� �
− + + − −
� �
− + − − −
23
=
2 x 1 1 x 1 1
2x 1 1 2x 1 1
� �

− + + − −
� �
− + − − −
=
2 x 1 1 x 1 1
2x 1 1 ( 2x 1 1)
� �
− + + − −
� �
− + − − −
(vì x ≥ 2 nên
x 1 1− 
và
2x 1−
≥ 1)
=
2 x 1−
.
Câu 3: Cho a, b, c, d là các s nguyên tho a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c. ố ả
a) Vì a ≤ b ≤ c ≤ d nên ta có th đ t a = b – k và d = c + h (h, k ể ặ ∈ N)
Khi đó do a + d = b + c ⇔ b + c + h – k = b + c ⇔ h = k.
V y a = b – k và d = c + k.ậ
Do đó: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2

= (b – k)
2
+ b
2
+ c
2
+ (c + k)
2

= 2b
2
+ 2c
2
+ 2k
2
– 2bk + 2ck
= b
2
+ 2bc + c
2
+ b
2
+ c
2
+ k
2
– 2bc – 2bk + 2ck + k
2
= (b + c)
2

+ (b – c – k)
2
+ k
2
là t ng c a ba s chính ph ng (do b + c, b – c – k và kổ ủ ố ươ
là các s nguyên)ố
b) Ta có ad = (b – k)(c + k) = bc + bk – ck – k
2
= bc + k(b – c) – k
2
≤ bc (vì k ∈ N và b ≤ c)
V y ad ≤ bc (ĐPCM)ậ
Câu 4:
a) G i xọ
1
, x
2
là hai nghi m nguyên d ng c a ph ng trình (xệ ươ ủ ươ
1
≤ x
2
)
Ta có a = –x
1
– x
2
và b = x
1
x
2

nên
5(–x
1
– x
2
) + x
1
x
2
= 22
⇔ x
1
(x
2
– 5) – 5(x
2
– 5) = 47
⇔ (x
1
– 5)(x
2
– 5) = 47 (*)
Ta có: –4 ≤ x
1
– 5 ≤ x
2
– 5 nên
(*) ⇔
1
2

x 5 1
x 5 47
− =


− =

⇔
1
2
x 6
x 52
=


=

.
Khi đó: a = – 58 và b = 312 tho 5a + b = 22. V y hai nghi m c n tìm là xả ậ ệ ầ
1
= 6; x
2
= 52.
b) Ta có (x + y)(x
2
+ y
2
) = x
3
+ y

3
+ xy(x + y) (1)
x
2
+ y
2
= (x + y)
2
– 2xy (2)
x
4
+ y
4
= (x
2
+ y
2
)
2
– 2x
2
y
2
(3)
Vì x + y, x
2
+ y
2
là s nguyên nên t (2) ố ừ ⇒ 2xy là số
nguyên.

Vì x
2
+ y
2
, x
4
+ y
4
là s nguyên nên t (3) ố ừ ⇒ 2x
2
y
2
=
1
2
(2xy)
2
là s nguyên ố
⇒ (2xy)
2
chia h t cho 2 ế ⇒ 2xy chia h t cho 2 (do 2 làế
nguyên t ) ố ⇒ xy là s nguyên.ố
Do đó t (1) suy ra xừ
3
+ y
3
là s nguyên.ố
24
B
A

O
C
C'
H
D
E
J
K
Câu 5: Ta có: OC ⊥ DE (tính ch t đ ng n i tâmấ ườ ố
⇒ ∆ CKJ và ∆ COH đ ng d ng (g–g) ồ ạ
⇒ CK.CH = CJ.CO (1)
⇒ 2CK.CH = CJ.2CO = CJ.CC'
mà ∆ CEC' vuông t i E có EJ là đ ng caoạ ườ
⇒ CJ.CC' = CE
2
= CH
2
⇒ 2CK.CH = CH
2
⇒ 2CK = CH
⇒ K là trung đi m c a CH.ể ủ
Câu 6: K BI ẻ ⊥ AC ⇒ I là trung đi m AC. ể
Ta có: ∠ ABD = ∠ CBE = 20
0
⇒ ∠ DBE = 20
0
(1)
∆ ADB = ∆ CEB (g–c–g)
⇒ BD = BE ⇒ ∆ BDE cân t i B ạ ⇒ I là trung đi mể
DE.

mà BM = BN và ∠ MBN = 20
0

⇒ ∆ BMN và ∆ BDE đ ng d ng.ồ ạ
⇒
2
1
4
BMN
BED
S
BM
S BE
� �
= =
� �
� �

⇒ S
BNE
= 2S
BMN
=
1
2
BDE
S
= S
BIE

V y Sậ
BCE
+ S
BNE
= S
BCE
+ S
BIE
= S
BIC
=
1 3
2 8
ABC
S =
.
Câu 7: Cho a, b là hai s th c sao cho aố ự
3
+ b
3
= 2. Ch ng minh 0 < a + b ≤ 2.ứ
Ta có: a
3
+ b
3
> 0 ⇒ a
3
> –b
3
⇒ a > – b ⇒ a + b > 0 (1)

(a – b)
2
(a + b) ≥ 0 ⇒ (a
2
– b
2
)(a – b) ≥ 0 ⇒ a
3
+ b
3
– ab(a + b) ≥ 0
⇒ a
3
+ b
3
≥ ab(a + b) ⇒ 3(a
3
+ b
3
) ≥ 3ab(a + b)
⇒ 4(a
3
+ b
3
) ≥ (a + b)
3
⇒ 8 ≥ (a + b)
3
⇒ a + b ≤ 2 (2)
T (1) và (2) ừ ⇒ 0 < a + b ≤ 2.

oOo
25
A
B
C
D
E
M
N
I