tìm TGT của hai hàm số đặc biệt

Tìm tập giá trị của hàm số
không cần sử dụng đạo hàm
Doãn Xuân Huy, giáo viên tr-ờng THPT Ân Thi,Hng Yờn
Ta có thể tìm tập giá trị (TGT) của hai loại hàm số sau mà không cần sử dụng tới phép toán đạo hàm:
Hàm số thứ nhất:
2
2
' ' '
ax bx c
y
a x b x c



(1) với
2 2 2
' 0; 0a a b c

và
2
' 4 ' ' 0b a c
. Hàm số thứ hai:
's ' '
asinx bcosx c
y
a inx b cosx c



(I)
với

2 2 2 2 2 2
0&0 ' ' 'a b c a b c
.
1/ Với hàm số thứ nhất, do
2
' 4 ' ' 0b a c
và
'0a
nên
2
' ' ' 0a x b x c

Với
xR
. Suy ra hàm số có tập xác định là R .
Với mỗi
xR
ta sẽ có một giá trị của y t-ơng ứng; nh- vậy ph-ơng trình (1) luôn có nghiêm x với
những giá trị của y thích hợp mà ta sẽ tìm sau này.
Ta có
2
(1) ( ' ) ( ' ) ' 0ya a x yb b x yc c
(2).
Vì
2 2 2
0abc
nên ta có 3 tr-ờng hợp sau:
Trừơng hợp 1:
Với
0; 0a b c

(1) trở thành:
2
0
' ' '
c
y y x R
a x b x c


.
(2) trở thành:
2
' ' ' 0ya x yb x yc c
(3). (3) có nghiệm
2 2 2
1
' 4 '( ' ) ( ' 4 ' ') 4 ' ( 4 ' ) 0y b ya yc c y y b a c a c y y a c




a/ Nếu a c>0 thì
4 ' 4 '
0 0;
a c a c
yG

là TGT của hàm số.
b/ Nếu a c<0 thì
4 ' 4 '
0 ;0
a c a c
yG







Tr-ờng hợp 2:
Với
0; 0ab
(1) trở thành:
2
' ' '
bx c
y
a x b x c




(2) trở thành:
2

' ( ' ) ' 0ya x yb b x yc c
(4).
a/ y=0 khi
c
x
b


b/ Nếu
0y
thì (4) có nghiệm khi và chỉ khi
2 2 2 2 2 2
21
1
( ' ) 4 '( ' ) ( ' 4 ' ') 2(2 ' ') 2
( ) 0( ' 2 ' )
yb b ya yc c b a c y a c bb y b y D y b
f y D bb a c


The
o giả thiết
2
' 4 ' ' 0b a c
nên
22
31
'0Db
do đó ph-ơng trình
( ) 0fy

Có hai nghiệm
2 2 2 2
1 1 1 1
1 2 2 1 2
, ; ( ) 0
D D b D D b
y y f y y y y




Do

2
1 2 1 2
(0) 0 0 ;f b y y G y y

Tr-ờng hợp 3:
Với
2
( ' ') ' '
0.(1) (5)
' '( ' ' ')
a a b ab x a c ac
ay
a a a x b x c

a/ Nếu
' ' ' ' '
a b c a a
yG
a b c a a





b/ Nếu
2
''
' ' ' ' '( ' ' ')
a b c a a c ac
y
a b c a a a x b x c



theo tr-ờng hợp 1 ta có:
+/ Nếu a c > ac thì
4( ' ')
;
''
a a a c ac
G
aa

+/ Nếu a c<ac thì
4( ' ')
;
''
a a c ac a
G
aa








c/ Nếu
''
ab
ab

, theo tr-ờng hợp 2; trong (5) ta đặt
' ' ' '
;

''
a b ab a c ac
BC
aa


thì

12
;
''
aa
G y y
aa




với b và c trong th-ờng hợp 2 đ-ợc thay t-ơng ứng bằng B và C.

2/ Với hàm số thứ hai, từ điều kiện ta suy ra mẫu số khác 0 với mọi x nên tập xác định của hàm số là
R.
Với mỗi giá trị của x ta sẽ nhận đ-ợc một giá trị t-ơng ứng của y nên ph-ơng trình (I) luôn có nghiệm
với những giá trị thích hợp của y mà ta sẽ tìm sau này.
Ta có:
( ) ( ' )sin ( ' ) ' ( )I a y a x b y b cosx c c y II
. Vì (II) có nghiệm nên:
2 2 2 2 2 2
( ' ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ' ) 0a y a b y b c c y f y c c y b b y a a y

2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ' ' ' ) 2( ' ' ') 0( )f y c a b y cc aa bb y c a b III

Từ giả thiết:
2 2 2 2 2 2
0 ' ' ' ' ' ' 0& ' 0.a b c c a b c

Do
2 2 2 2 2 2 2 2
( ' ' ' ) ( ) ( ' ' ' ) ( '. ) ( '. ) 0
' ' '
c c c
c a b f c a b a a b b
c c c





Nên tam thức f(y) có hai nghệm:


(III) có nghiệm là:

1 2 1 2
;y y y G y y
.

Rõ ràng nếu sử dụng đạo hàm thì ta không thể tìm đ-ợc TGT của hai hàm số tổng quát trên. Qua đó ta
có thể thấy với một ph-ơng tiện bình th-ờng nh-ng hợp lý ta vẫn đạt đ-ợc những kết quả lớn.

Ân Thi ngày 15/4/2003
12
2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' ' ' '
&
( ' ' ' ; ' ( ' ') ( ' ') ( ' ') )
cc aa bb cc aa bb
yy
AA
A c a b a c ac b c bc a b ab