Ôn thi đại học Mặt cầu và khối tròn xoay

Chương 12
Mặt cầu và khối tròn xoay
12.1 Mặt cầu, khối cầu

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một
hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tr òn ngoại tiếp.
Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là :
(i) Xác định tâm (đườn g tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.
(ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy).
(iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trụ c của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.
Chú ý :
1. Nếu có một c ạ nh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung
trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy.
2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục c ủa một mặt bên.
Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có BAC = 120
◦
và đường cao AH = a
√
2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tạ i
A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.
1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC.
2. Tính theo a độ dài AI, AJ.
3. Chứng minh rằng BIJ, CIJ là các tam giác vuông.
4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC.
5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC.
Bài 12.2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đ áy. Gọi B
′
, C
′
, D

′
lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên S B, SC, SD. Chứng minh rằng
1. Các điểm A, B
′
, C
′
, D
′
đồng phẳng.
2. Bảy điểm A, B, C, D, B
′
, C
′
, D
′
nằm trên một mặt cầu .
3. Hình chóp S.ABCD nội tiếp một mặt cầu.
239

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 12.3 : Cho tam giác ABC vuông tại C. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt p hẳng (ABC) tại A. Điểm S thay đổi trên ∆ (S khác A).
Hạ AD⊥SC và AE⊥S B. Chứng minh rằng
1. Các điểm A, B, C, D, E thuộc cùng một mặt cầu.
2. Bốn điểm B, C, D, E cùng một đường tròn.
Bài 12.4 : Cho hình chóp tam g iá c đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ. Tính bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
Bài 12.5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp r. Gọi S
tp
là tổng diện tích các mặt của tứ diện; h

A
, h
B
, h
C
, h
D
lần lượt là
độ dài đường cao xuất phát từ A, B, C, D của tứ diện. Chứng minh rằng
1. V
ABCD
=
1
3
r.S
tp
.
2.
1
r
=
1
h
A
+
1
h
B
+
1

h
C
+
1
h
D
.
Bài 12.6 : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của S B và S D. Biết AM⊥CN. Tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 12.7 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy, cạnh bên S B = a
√
3.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 12.8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB = 2a, BC = CD = DA = a, S A vuông góc với đáy, S A = h. Mặt
phẳng qua A vuông góc với S B, cắt S B, SC, S D lần lượt tại B
′
, C
′
, D
′
.
1. Chứng minh rằng tứ giác A, B
′
, C
′
, D
′
nội tiếp một đường tròn.
2. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B

′
, C
′
, D
′
thuộc cùng một mặt cầu.
3. Tính thể tích khối chóp S.AB
′
C
′
D
′
.
4. Tính diện tích tứ giác AB
′
C
′
D
′
.
Bài 12.9 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 12.10 : Cho tứ diện OABC vuông tại O, OA = a, OB = b, OC = c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 12.11 : Cho tứ diện OABC vuông tại O. Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ O của tứ diện.
Chứng minh rằng
1.
h
r
≤ 1 +
√
3.

2.
R
r
≥
3 + 3
√
3
2
.
Bài 12.12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 45
◦
và tạo với mặt
phẳng (S AB) góc 30
◦
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 12.13 : Cho tam giác đều ABC. Đường thẳng ∆ vuôn g góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm M thay đổi tr ê n ∆. Kẻ BE⊥AC, BF⊥MC
(E ∈ AC, F ∈ MC) . Đường thẳng EF cắt đường thẳng ∆ tại N. Chứng minh r ằng
1. AM.AN không đổi.
2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC có tâm thuộc đường thẳng cố định.
Bài 12.14 : 1. Cho h ình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (tính theo a)
trong các trường hợp sau :
(a) Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hìn h lập phương ;

(b) Mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương ;
(c) Mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Tran g 240

CHUYÊN Đ Ề LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Chứng minh rằng : có vô số mặt cầu đi qua hai điểm cố định A và B cho trước . Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu đó.
Bài 12.1 5 : 1. Cho hai đường tròn C
1
và C
2
có tâm O
1
và O
2
. Hai đường tròn này nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và có chung
nhau dây cung AB. Chứng minh rằng có duy nhất một mặt cầu đi qua cả hai đường tròn C
1
và C
2
.
2. Cho đường thẳng a cố định và một điểm M cố địn h không thuộc đường thẳng a. Gọi O là một điểm di động trên đường thẳng a.
Vẽ mặt cầu (S) có tâm O và bán kính R = OM. Chứng minh rằng : mặt cầu (S ) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Bài 12.1 6 : 1. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tới mặt cầu (và giả sử B là tiếp
điểm) và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D, biết : CD = R
√
3.
(a) Tính độ dài AB theo R ;
(b) Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng CD.
2. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A thuộc mặt cầu này. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa đường thẳng OA và
mặt phẳng (Q) là 30

◦
.
(a) Tính diện tích thiết diện (theo R) của mặt cầu với mặt phẳng (Q).
(b) Kẻ đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q). Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài cạnh AB theo
R.
Bài 12.1 7 : 1. Cho mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm I. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu này. Từ M kẻ hai
tiếp tuyến với mặt c ầu S (O; R) sao ch o hai tiếp tuyến này cắt mặt phẳng (Q) tại A và B. Biết MA⊥MB. Chứn g minh rằng :
AB
2
= IA
2
+ IB
2
.
2. Cho mặt phẳ ng (Q) và hai điểm A và B cố định nằm về một phía của mặt phẳng (Q) sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Q)
tại điểm I. Gọi mặt cầ u S (O; R) là mặt cầu thay đổi nhưng luôn đi qua A và B đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Q). Gọi M là
tiếp điểm của mặt cầu S (O; R) với mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng : điểm M di động trên một đườn g tròn cố định C nào đó.
Bài 12.1 8 : 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Hãy xác định tâm và tính bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó theo a và b.
2. Cho ba đoạn thẳng S A, S B, SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện S ABC, với S A = a, S B = b, SC = c. Xác
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó theo a, b, c.
Bài 12.1 9 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
′
B
′
C
′
có 9 cạnh đều b ằ ng a.
1. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngaoij tiếp hình lăng trụ đã cho ;
2. Tính diện tích mặt cầ u và thể tích khối cầu nói trên (tính theo a).

Bài 12.2 0 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ng oại tiếp
hình chóp đó (tính theo a và h). Tính diện tích của mặt cầu đó.
Bài 12.2 1 : Trong mặt phẳng (Q) cho hình vu ông ABCD có cạnh bằ ng a. Lấy một điểm S thuộc đường thẳng Ax vuôn g góc với (Q).
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳn g (P) cắt S B, SC, S D lầ n lượt tại M, N, E.
1. Chứng minh rằng : bảy điểm A, B, C, D, M, N, E là cùng thu ộc một mặt cầu.
2. Tính diện tích của mặt cầu đó theo a và thể tích của khối cầu đó.
Bài 12.2 2 : Cho tứ diện S ABC có S A⊥(ABC) và S A = a, S B = b, SC = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
đã cho trong các trường hợp sau :
1. có
BAC = 90
◦
; 2. có BAC = 60
◦
và b = c ; 3. có BAC = 120
◦
và b = c.
Bài 12.2 3 : Cho mặt cầu S (O;R) và mặt phẳng (Q) cách tâm O một khoảng bằng h (0 < h < R). Mặt phẳng cắt mặt cầu (Q) theo
đường tròn C . Vẽ đ ường thẳng d đi qua điểm A cố định thuộc đường tròn C và d⊥(Q). Đường thẳng d cắt mặt cầu S(O; R) tại B. Gọi
CD là đ ường kính d i động của đường tròn C .
1. Chứng minh rằng : AD
2
+ BC
2
và AC
2
+ BD
2
là không đổi.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Tran g 241

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Tìm vị trí của đường kính CD để diện tích tam giác BCD là lớn nhất.
3. Kẻ BH⊥CD với H ∈ CD. Tìm tập hợp điểm H khi CD di động.
Bài 12.24 : Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Bài 12.25 : Cho hình chóp S.ABCD có S A = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có
AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.
Bài 12.26 : Cho hình cầu đường k ính AA
′
= 2R. Gọi H là điểm trên đoạn AA
′
sao cho AH =
4R
3
, mặt phẳ ng (Q) đi qua H và vuông
góc với AA
′
cắt hình cầu theo đường tròn C .
1. Tính diện tích đường tròn C ;
2. Giả sử tam giác BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn C . Hãy tính thể tích hình tứ diện ABCD và A
′
BCD theo R.
Bài 12.27 : 1. Chứng minh rằng : Nếu tứ diện ABCD có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của nó thì tứ diện đó có tổng các c ặp
cạnh đ ối diện là bằng nhau.
2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạn h đáy bằng a và cạnh bên bằng a
√
2. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai
cạnh S B, SC tại E và F là trung điểm của mỗi cạnh.
(a) Chứng minh rằng : mặ t cầu đó đi qua M và N là trung điểm của AB và AC.
(b) Gọi giao điểm thứ hai của mặ t cầu với đường thẳng S A là D. Tính độ dài của AD và S D.

Bài 12.28 : Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = BD = a, AD = b và mặt phẳng (ACD)⊥(BCD).
1. Chứng minh rằng : ACD là tam giác v uông ;
2. Tìm tâm mặt cầ u ngoại tiếp tứ diện ABCD ;
3. Tính diện tích mặt cầ u ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 12.29 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Vẽ đ ường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là một điểm
bất kì trên d với S  A.
1. Tìm tâm mặt cầ u ngoại tiếp tứ diện S ABC ;
2. Cho S A = h cho trước. Hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ;
3. Gọi A
′
là điểm đối xúng của A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng : khi S thay đổi trên đường thẳng d thì A
′
luôn thuộc
một đư ờng thẳng cố định.
Bài 12.30 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua cạnh BC và (P)⊥(ABC). Gọi (C ) là đườn g tròn đường kính
BC và đường tròn này nằm trong mặt phẳng (P). Gọi S là điểm di động trên đường tròn (C ). Chứng minh rằng :
1. Tổng T = S A
2
+ S B
2
+ SC
2
là một số không đổi ;
2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là một điểm cố định (nếu S  B và C).
Bài 12.31 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao S H =
a
2
.
1. Chứng minh rằng : tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt b ê n c ủa hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó theo a.
2. Gọi (Q) là mặt p hẳng song song với (ABCD) và khoảng cá ch giữa hai mặt phẳng này là x, với 0 < x < R. Gọi S

td
là diện tích
thiết diện tạo bởi mặt phẳng (Q) với hình chóp nhưng nó bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x đ ể S
td
= πR
2
.
Bài 12.32 : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác có AC⊥BD tại H và S H là đường cao của hình chóp đã cho.
1. Chứng minh rằng : bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCD, S.HDA là bốn điểm O
1
, O
2
, O
3
, O
4
sẽ
tạo thành hình chữ n hật.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Tran g 242

CHUYÊN Đ Ề LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Gọi M, N, E, F là hình chiếu của đ iể m H lần lượt trên AB, BC, CD, DA. Chứn g minh rằng : hình chóp S.MNEF có mặt cầu
ngoại tiếp.
Tính diện tích thiết d iệ n của mặt cầu ấy khi cắt bởi (ABCD), nếu biết ME = a,
BAC = α
◦
và BDC = β
◦
.
Bài 12.3 3 : Cho hình chóp S.ABC có S A⊥(ABC); AB = c, AC = b,

BAC = α
◦
. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trênS B, S C. Chứng minh rằng : các đ iể m A, B, C, M, N cùng thuộc một mặt cầu và tính bán kính củ a mặt cầu đó theo b, c, α
◦
.
Bài 12.3 4 : Cho h ai tia Ax, By chéo nhau và Ax⊥By. Biết AB là đoạn vuông góc chung của Ax và By. Lấy một điểm C thuộc tia Ax và
điểm D thuộc tia By.
1. Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b, c ở đó b = AC và c = BD.
2. Cho C và D di động trên Ax và By sao cho AC + BD = CD. Chứng minh rằng : đường thẳng CD luôn tiếp xúc với mặt cầu
đường kính AB.
Bài 12.3 5 : Cho trước mặt cầu tâm O bán kính R và một điểm A cố định thuộc mặt cầu. Ba tia At
1
, At
2
, At
3
là ba tia thay đổi, đôi một
vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các đ iểm B, C, D.
1. Chứng minh rằng : hình hộp dựng trên ba cạnh AB, AC, AD có một đường chéo cố định và mặt phẳn g (BCD) luô n luôn đi qua
một điểm cố định.
2. Chứng minh rằng : hình chiếu H của điểm D trên đ ường thẳng BC luôn thuộc một mặt cầu cố địn h.
Bài 12.3 6 : Cho đ ường tròn (O) đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P). Gọi C là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao
cho : SC⊥(P) và SC = 2R. Tính thể tích của khố i cầu đi qua đường tròn đã cho và đi qua điểm S.
Bài 12.3 7 : Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = 2a,
ACB = 30
◦
. Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và v uông góc với mặt phẳ ng (ABC).
1. Hãy xác định vị trí của điểm E trên tia Bx sao cho mặt cầu đường kính BE tiếp xúc với Cy.
2. Hãy xác định vị trí đ iể m F thuộc tia Cy sao cho mặt cầu đường kín h tiếp xúc với Bx.

3. Với các điểm E, F tìm được ở trên, hỏi đa diện ABCFE có mặt cầu ngoại tiếp không ? Hãy tính thể tích của khối đa diện đó.
Bài 12.3 8 : Trong vô số các hình hộp nội tiếp một m ặt cầu bán kính R cho trước . Hãy tìm hình hộp thỏa mãn m ột tro ng các tính chất
sau :
1. Thể tích của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.
2. Tổng đ ộ dài các cạnh của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.
Bài 12.3 9 : 1. Trong vô số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Hãy tìm hình chóp chữ số thể
tích lớn nh ất.
2. Hãy mở rộng bài toán cho hình chóp n-giác đều.
12.2 Mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ
Bài 12.4 0 : Cho trước mặt phẳng (P) có điểm cố định A thuộc mặt phẳng (P) và điểm cố định B  (P), ở đó hình chiếu vuông góc H
của điểm B lên mặt phẳng (P) là không trù ng với A. Gọi M là một điểm di động trên mặt ph ẳng (P) sao cho
ABM = BMH. Chứng
minh rằng : điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng AB.
Bài 12.4 1 : Cho mặt trụ tròn xoay (T ) và một điểm S cố định nằm ngoài (T ). Gọi d là một đ ường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua
S và cắt mặt trụ (T ) tại A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng : trung điểm I đó luôn luôn nằm trên một mặt trụ cố
định nào đó.
Bài 12.4 2 : Một khối trụ có bán k ính đáy bằng R và chiều cao h = R
√
3. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường
tròn (O
′
) là hai đường tròn đáy của khối trụ đã cho, sao cho góc tạo bởi đường thẳng AB và trục của khối trụ là 30
◦
.
1. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB và mặt phẳng (Q) song song với trục của khối trụ. Hãy tính diện tích thiết diện của mặt phẳng
(Q) với khối trụ (tính theo R).
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Tran g 243

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Tính góc giữa hai bán kính OA và O

′
B.
3. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB với trục củ a khối tr ụ.
Bài 12.43 : Một hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và tâm O
′
và bán kính R. Chiều cao của hình trụ h = R
√
2. Lấy điểm A
thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đư ờng tròn (O
′
) sao cho OA⊥O
′
B.
1. Chứng minh rằng : các mặt của tứ diện OABO
′
là những tam giác vuông. Tính thể tích của tứ diện này theo R.
2. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB và (Q) ∥ OO
′
. Tính khoảng cách giữa đường thẳng OO
′
và mặt phẳng (Q) theo R.
3. Chứng minh rằng : (Q) tiếp xúc với mặt trụ (T ) có trục OO
′
, bán kính bằng
R
√
2
2
dọc theo một đườ ng sinh.
Bài 12.44 : Cho một hình trụ có đáy là hai đường tròn (O) và (O

′
) có b á n kính R = 50cm , chiều cao hình trụ là h = 50cm.
1. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ được tạo nên.
2. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đườn g tròn (O
′
) là hai đường tròn đáy của hình trụ. Biết AB = 100cm. Tính
khoản g cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ.
Bài 12.45 : Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có S A = a và góc giữa mặt bên và đáy là α
◦
. Gọi (T ) là hình trụ có đường tròn đáy
là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và chiều cao của hình trụ là bằng chiều cao của hình chóp S.ABC. Tính diện tích xung quanh của
hình trụ (T ). Hỏi các mặt bên : S AB, S BC, SCA cắt h ình trụ (T ) theo giao tuyến thế nào ?
Bài 12.46 : Cho một khối trụ có chiều cao bằng 20cm và bán kính đáy bằng 10cm. Kẻ hai bán kín h OA và O
′
B lần lượt nằm trên hai
đáy của khối trụ sao cho góc giữa chúng bằng 30
◦
. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB
′
và (Q) song song với trục của khối trụ. Hãy tính
diện tích thiết diện giữa khối trụ và mặt phẳng (Q).
Bài 12.47 : Cho một khối trụ có bán kính bằng R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
1. Tính diện tích xung quanh của khối trụ đó theo R.
2. Vẽ hình trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ đã cho. Hãy tính thể tích của lăng trụ đó theo R.
3. Gọi V là thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nó i trên và V
′
là thể tích của khối trụ. Hãy tính tỉ số :
V
V
′

.
Bài 12.48 : Một hình trụ có diện tích xun g quanh là S , diện tích đáy bằng diện tích mặt cầu bán kính a. Hãy tính :
1. Thể tích của hình trụ đã cho theo a và S.
2. Diện tích thiết diện đi qua trục của hình trụ.
Bài 12.49 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục hình trụ là một hình vuông.
1. Tính thể tích và diện tích của hình cầu ngoại tiếp hình trụ theo R.
2. Một mặt phẳng (P) song song với trụ c của hình trụ, cắ t đáy của hình trụ theo một dây cung có độ d ài bằng bán kính đáy của
hình trụ . Tính diện tích các thiết diện của hình trụ đã cho và hình cầu ngoại tiếp hình trụ khi bị cắt bởi mặt phẳn g (P) (tính theo
R).
Bài 12.50 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao OO
′
= h. Gọi A và B là hai điểm thay đổi trên hai đường tròn (O) và
(O
′
) là hai đường tròn đáy sao cho AB = a không đổi (h < a <
√
h
2
+ 4R
2
).
1. Chứng minh rằng : Góc giữa hai đường thẳng AB và OO
′
là không đổi.
2. Chứng minh rằng : Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OO
′
là không đổi.
Bài 12.51 : Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, có trục OO
′
= h. Một mặt ph ẳ ng (P) thay đổi đi qua tâm O, tạo với đáy hình trụ góc

α
◦
cho trước và cắt hai đáy hình trụ theo các dây cung AB và CD (dây AB đi qua O).
1. Tính diện tích tứ giác ABCD theo R và h.
2. Chứng minh rằng : hình chiếu vuông góc K của điểm O
′
lên mặt phẳng (P) luôn luôn thuộc một đường tròn cố định.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Tran g 244

CHUYÊN Đ Ề LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 12.5 2 : Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A
′
B
′
C
′
D
′
E
′
F
′
có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính theo a và h diệ n
tích :
1. xung quanh và thể tích hình trụ ngoại tiếp lăng trụ đó.
2. toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp hình lăng tr ụ đã cho.
Bài 12.5 3 : Cho h ình lăng trụ đứng ABCD.A
′
B
′

C
′
D
′
có đáy ABCD là hình thang cân với đáy nhỏ AB = a, đ áy lớn CD = 4a, hai cạnh
bên bằng
5a
2
, chiều cao lăng trụ bằng h.
1. Chứng minh rằng : tồn tại một hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.
2. Tính diện tích toàn phần và thể tích hình lăn g trụ đó theo a và h.
Bài 12.5 4 : Cho hình trụ có trục O
1
O
2
. Một mặt phẳ ng (α) ∥ O
1
O
2
cắt hình trụ the o thiết diện là một hình chũ nhật ABCD. Gọi O là
tâm của thiết diện đó. Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD là bán kính đường tròn đáy của hình trụ đã cho. Hãy
tính góc
O
1
OO
2
.
Bài 12.5 5 : Cho một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích xung quanh bằng 4π.
1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ ;
2. Tính thể tích của k hối trụ ;

3. Tính thể tích của k hối lăng trụ n-giác đều nội tiếp h ình trụ ;
4. Tính thể tích của k hối cầu ngoại tiếp hình trụ ;
5. Một mặt phẳng (α) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ đó theo thiết diện ABB
1
A
1
. Biết m ột cạnh của thiết diện là
một dây cung của đường tròn đáy và chắn một cung tròn 120
◦
. Hãy tính diện tích thiết diện đó.
Bài 12.5 6 : Xét nột hình trụ nội tiếp một mặt cầu tâm O có bán kính R cho trước. Biết rằng diện tích thiết diện qua trụ c của hình trụ
này là lớn nhất (so với các hình trụ khá c cùng nội tiếp mặt cầu đã cho).
1. Tính thể tích V và diện tích to àn phần S
tp
của hình trụ đ ã cho theo R.
2. Tính thể tích của lăng trụ n-giác đều ngoại tiếp hình trụ đã cho.
3. Tính diện tích thiết diện của hình trụ khi cắt bởi một mặt phẳng song song với trục hình trụ và cách trục một khoảng bằng
R
2
.
Bài 12.5 7 : Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳ ng B
1

D và (ABB
1
A
1
) là 30
◦
.
Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (ABB
1
A
1
) là
3a
2
. Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp,
biết đường chéo của đáy hình hộp là 5a.
Bài 12.5 8 : Cho h ai điểm A, B cố định. Gọi d là một đườ ng thẳng di động luôn luôn đi qua A và d luôn cách điểm B một khoảng bằng
BH = a =
AB
2
. Chứ ng minh rằng : đường thẳng d luôn luôn nằ m trên một mặt nón tròn xoay.
Bài 12.5 9 : Cho khối nón tr òn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm. Một mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của khố i nón và
có khoảng cách tới tâm O của đáy là 12cm. Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (P) với khối nón đã cho và tính diện tích thiết diện
đó.
Bài 12.6 0 : Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′

D
′
có cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh
và thể tích của khối nón N có đỉnh là tâm O và đáy là hình trò n nội tiếp h ình vuông A
′
B
′
C
′
D
′
.
Bài 12.6 1 : Cho mộ t hình nón N có đỉnh là điểm D, có O là tâm đường tròn đáy, có độ dài đường sinh bằng l và có góc giữa đường
sinh với mặt đáy bằng α
◦
.
1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón N theo l và α
◦
.
2. Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho
DI
DO
= k. Tính diện tích thiết diện của hình nón với mặt phẳng (Q)
đi qua I và vuông góc với trục hình nón (tính theo l, α
◦
, k).
Bài 12.6 2 : Cho một hình nón N có thiết diệ n qua trục là một tam giác vuông cân c ó cạnh bằng a.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Tran g 245

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC

1. Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón N đã cho (tính theo a).
2. Một mặt phẳng (Q) đi qua đỉnh của hình nón và tạo với mặt phẳng đáy góc 60
◦
. Tính diện tích thiết diện được tạo nên bởi hình
nón N và mặt phẳng (Q).
Bài 12.63 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên b ằng a và có góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng α
◦
. Vẽ hình nón N
có đỉnh S và có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đ ều ABC - gọi là hình nón nội tiếp hình chóp đ ã cho. Hãy tính diện tích xung quanh
của hình nón N theo a và α
◦
.
Bài 12.64 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và
S AB = α
◦
(α > 45
◦
). Vẽ hình nón N có đỉnh S và có đường
tròn đ áy ngoại tiếp hình vuôn g ABCD. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón N đó theo h và α
◦
.
Bài 12.65 : Cho khối nón N có bán kính đáy R = 12cm và có góc ở đỉnh bằng 120
◦
. Hãy tính diện tích của thiết diện đi qua hai
đường sinh vuông góc với nha u.
Bài 12.66 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằ ng R, đường cao S O. Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với S O tại A, cắt hình
nón N theo đường tròn có bán kính bằng R
1
. Gọi mặt phẳng (Q) là mặt phẳng thay đổi và vuông góc với S O tại B (điểm B nằm giữa
O và A). Mặt phẳng (Q) cắt hình nón theo thiết diện là một đường tròn có bán kính bằng x.

Hãy tính x theo R và R
1
nếu biết mặt phẳng (Q) chia k hối tròn xoay trong hình nón nằm giữa (P) và đay hình nón thành hai phần
có thể tích bằng nhau.
Bài 12.67 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, góc giữa đường sinh và đáy của hình n ón bằng α
◦
. Một mặt phẳng (P) song
song với đáy hình nón và cách đáy hình nón một khoảng bằng h, và cắt hình nón N theo một đường tròn (C ).
1. Tính bán kính của đường tròn (C ) theo R, h, α
◦
;
2. Tính diện tích và thiết diện phần hình nón nằm giữa đáy hình nón N và mặt phẳng (P).
Bài 12.68 : Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao S O. Lấy một điểm A thuộc đường cao SO sao cho S A =
1
3
S O. Gọi
(P) là mặt phẳng vuôn g góc với S O tại A. M ột mặt phẳng (Q) qua trục hình nón cắt khối tròn xoay nằm trong khối nón N - khối đó
nằm giữa mặt phẳng (P) và đáy hình nón - theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau. Hãy tính thể tích khối
tròn xoay của khối nón N nằm g iữa (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón (tính theo R).
Bài 12.69 : Cho hình chóp S, ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, có
B = 60
◦
. Biết rằng có một hình nón nội tiếp hình chóp đã
cho với bán kính đáy là r, góc giữa đường sinh và đáy hình nón là β
◦
.
1. Tính diện tích xung quanh và thể tích h ình nón th eo r và β
◦
;
2. Tính diện tích xung quanh và thể tích h ình chóp theo r và β

◦
.
Bài 12.70 : Gọi (C ) là đường tròn chứa các điểm tiếp xúc của mặt xung quanh hình nón với mặt cầu nội tiếp hình nón đó. Đường tròn
(C ) chia mặt xung quanh của hình nón thành h a i phần. Hãy tính tỉ số diện tích của hai phầ n đó, biết diện tích hình cầu bằng diện tích
đáy hình nón.
Bài 12.71 : Cho hình nón N có bán kính đáy R và chiều cao bằng 4R.
1. Tính diện tích toàn phần của hình trụ nội tiếp hình nón, biết bán kính đáy hình trụ bằng r - tính theo R và r (Hình trụ được gọi
là nội tiếp hình nón nếu có một đường tròn đáy của hình trụ nằm trên mặt xung quanh của hình nón và đáy còn lại của hình trụ
nằm trong mặt đáy của hình nón).
2. Tính bán kính đáy r và chiều cao h của hình trụ nội tiếp hình nón theo R để diện tích toàn phần của hình trụ đạt giá tr ị lớn nhất.
Bài 12.72 : 1. Tìm hình nón có thể tích lớn nhất sao cho h ình nón đó phải nội tiếp một mặt cầ u bán kính R cho trước.
2. Tìm hình nón có thể tích nhỏ nhấ t sao cho hình nón đó phải ngoại tiếp một mặt cầu bán kính r cho trước.
Bài 12.73 : Tìm hình tròn có thể tích lớn nhất biết diện tích toàn phần củ a nó bằng diện tích hình tròn có bán kính bằng a cho trước.
Bài 12.74 : Đường cao của hình nón gấp hai lần bán kính đáy của nó. Tính tỉ số thể tích của hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình nón
đó.
Bài 12.75 : Trong tất cả các hình nón nội tiếp hình cầu bá n kính R cho trước, tìm hình nón có diện tích xung quanh lớn nhất. Với hình
nón ấy, xét hìn h trụ nội tiếp hình nón. Tìm chiều cao của hình trụ đó, biết thiết diện qua trục hìn h trụ là hình vuông.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Tran g 246

CHUYÊN Đ Ề LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 12.7 6 : Một mặt phẳng (Q) đi qua hai đường sin h của hình nón, cắt mặt đáy của hình nón theo một dây cung có độ dài gấp k lần
đường cao hình nón. Gọi α
◦
là góc giữa mặt phẳng (Q) và mặt đáy của hình nón. Biết α =
1
2
góc tạo bởi hai đường sinh của hình nón
mà hai đường sinh đó nằm trong (Q). Hãy tính cos α theo k.
Bài 12.7 7 : Cho hình nón N có đỉnh S , đường cao SO. Gọ i A và B là h a i điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng
cách từ điểm O tớ i AB là bằng a. Biết

S AO = 30
◦
và S AB = 60
◦
. Tính diện tích xung quanh của hình nón N theo a.
Bài 12.7 8 : Cho hai điểm cố định A và B, ở đó AB = a. Với mỗi điểm C trong không gian sao cho tam giác ABC đều, kí hiệu AE là
đường cao của tam giác ABC và d là trụ c của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trong mặt phẳng chứa d và AE, xét đường tròn
đường kính AE. Gọi S là một giao điểm của đường tròn này và đường thẳng d.
1. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón ng oại tiếp hình chóp S.ABC (tính theo a).
2. Chứng minh rằng : khi điểm C thay đổi thì điểm S luôn thuộc một đường tròn cố định và mỗi đ ường thẳng S A, S B lu ôn thuộc
một mặt nón cố định.
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Tran g 247

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
T RẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Tran g 248

Chương 13
Phương pháp không gian toạ độ trong không gian
13.1 Hệ toạ độ trong không gian
Vấn đề 1 : Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước

Sử dụng các định nghĩa có tính liên quan đến vectơ : tọa độ của vectơ, độ dài của vectơ, tổng (hiệu) của hai vectơ, tọa độ tr ung điểm,
tọa độ trọng tâm, .
Bài 13.1 : Viết to ạ độ của các vectơ sau đây :
−→
a = 4
−→
j ;
−→
b = −

−→
i + 2
−→
j ;
−→
c = 3
−→
i + 2
−→
j −
−→
k .
Bài 13.2 : Cho các vectơ
−→
a = (−3; 1; 2),
−→
b = (1; 3; 4),
−→
c = (−3; 2; 0).
1. Hãy xác định toạ độ các vectơ 3
−→
a, 3
−→
a − 2
−→
b ,
−→
a − 3
−→
b + 2

−→
c .
2. Hãy biểu diễn vectơ
−→
d = (−1; 0; 2) theo ba vectơ
−→
a,
−→
b ,
−→
c .
Bài 13.3 : Cho hai vectơ
−→
a và
−→
b tạo với nhau một góc 120
◦
. Tìm |
−→
a +
−→
b | và |
−→
a −
−→
b | biết |
−→
a| = 3, |
−→
b | = 5.

Bài 13.4 : Cho vectơ
−→
a = (1; −3; 4).
1. Tìm y
0
và z
0
để cho vectơ
−→
b = (2; y
0
; z
0
) cùng phương với
−→
a .
2. Tìm tọa độ của vectơ
−→
c biết rằng
−→
a và
−→
c ngược hướng và |
−→
c | = 2|
−→
a|.
Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A
′
B

′
C
′
D
′
, biết A(1; 0; 1), B(2; 1;2), D(1;−1; 1), C
′
(4; 5; −5). Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình
hộp.
Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA
′
= 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0), A
′
(0; 0; 2a).
1. Xác định toạ độ các đỉnh còn lại.
2. Xác định toạ độ
−−−→
DB
′
.
3. Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA

′
.
4. Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B
′
CD.
Vấn đề 2 : Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng

1. Sử dụng các công thức
249