Mặt cầu và khối tròn xoay_12

WWW.VNMATH.COM
Chương 12
Mặt cầu và khối tròn xoay
12.1 Mặt cầu, khối cầu

Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại tiếp; điều kiện cần và đủ để một
hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là một hình lăng trụ đứng và có đáy là một đa giác có đường tròn ngoại tiếp.
Phương pháp chung để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp và khối lăng trụ là :
(i) Xác định tâm (đường tròn ngoại tiếp) của đa giác đáy.
(ii) Xác định trục của đáy (là đường thẳng qua tâm đáy và vuông góc với đáy).
(iii) Xác định mặt trung trực của một cạnh bên. Mặt trung trực này cắt trục của đáy tại đâu thì đó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp.
Chú ý :
1. Nếu có một cạnh bên nào đó vuông góc với đáy (tổng quát là đồng phẳng với trục của đáy), ta thay việc dựng mặt phẳng trung
trực bởi dựng đường trung trực của cạnh bên này trong mặt phẳng tạo bởi đường trung trực và trục của đáy.
2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp cũng có thể xác định là giao của trục của đa giác đáy và trục của một mặt bên.
Bài 12.1 : Cho tam giác cân ABC có

BAC = 120
◦
và đường cao AH = a
√
2. Trên đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại
A lấy hai điểm I và J ở về hai phía của điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân.
1. Tính theo a độ dài các cạnh của tam giác ABC.
2. Tính theo a độ dài AI, AJ.
3. Chứng minh rằng BIJ,CIJ là các tam giác vuông.
4. Xác định tâm và tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC.
5. Xác định tâm và tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC.
Bài 12.2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và S A vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi B
′
,C

′
, D
′
lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên S B, SC, S D. Chứng minh rằng
1. Các điểm A, B
′
,C
′
, D
′
đồng phẳng.
2. Bảy điểm A, B, C, D, B
′
,C
′
, D
′
nằm trên một mặt cầu.
3. Hình chóp S .ABCD nội tiếp một mặt cầu.
239
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Bài 12.3 : Cho tam giác ABC vuông tại C. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm S thay đổi trên ∆ (S khác A).
Hạ AD⊥S C và AE⊥S B. Chứng minh rằng
1. Các điểm A, B,C, D, E thuộc cùng một mặt cầu.
2. Bốn điểm B, C, D, E cùng một đường tròn.
Bài 12.4 : Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc ϕ. Tính bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp.
Bài 12.5 : Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp r. Gọi S

tp
là tổng diện tích các mặt của tứ diện; h
A
, h
B
, h
C
, h
D
lần lượt là
độ dài đường cao xuất phát từ A, B, C, D của tứ diện. Chứng minh rằng
1. V
ABCD
=
1
3
r.S
tp
.
2.
1
r
=
1
h
A
+
1
h
B

+
1
h
C
+
1
h
D
.
Bài 12.6 : Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của S B và S D. Biết AM⊥CN. Tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 12.7 : Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên S A vuông góc với đáy, cạnh bên S B = a
√
3.
1. Tính thể tích khối chóp S .ABCD.
2. Chứng minh rằng trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 12.8 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nửa lục giác đều, AB = 2a, BC = CD = DA = a, S A vuông góc với đáy, S A = h. Mặt
phẳng qua A vuông góc với S B, cắt S B, S C, S D lần lượt tại B
′
,C
′
, D
′
.
1. Chứng minh rằng tứ giác A, B
′
,C
′
, D
′

nội tiếp một đường tròn.
2. Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B
′
,C
′
, D
′
thuộc cùng một mặt cầu.
3. Tính thể tích khối chóp S .AB
′
C
′
D
′
.
4. Tính diện tích tứ giác AB
′
C
′
D
′
.
Bài 12.9 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c, AD = BC = a, AC = BD = b. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 12.10 : Cho tứ diện OABC vuông tại O, OA = a, OB = b, OC = c. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
Bài 12.11 : Cho tứ diện OABC vuông tại O. Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp, chiều cao kẻ từ O của tứ diện.
Chứng minh rằng
1.
h
r
≤ 1 +

√
3.
2.
R
r
≥
3 + 3
√
3
2
.
Bài 12.12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, S A vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 45
◦
và tạo với mặt
phẳng (S AB) góc 30
◦
. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 12.13 : Cho tam giác đều ABC. Đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A. Điểm M thay đổi trên ∆. Kẻ BE⊥AC, BF⊥MC
(E ∈ AC, F ∈ MC). Đường thẳng EF cắt đường thẳng ∆ tại N. Chứng minh rằng
1. AM.AN không đổi.
2. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC có tâm thuộc đường thẳng cố định.
Bài 12.14 : 1. Cho hình lập phương ABCD.A
′
B
′
C
′
D
′
có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (tính theo a)

trong các trường hợp sau :
(a) Mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương ;
(b) Mặt cầu tiếp xúc với 12 cạnh của hình lập phương ;
(c) Mặt cầu tiếp xúc với 6 mặt bên của hình lập phương.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 240
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Chứng minh rằng : có vô số mặt cầu đi qua hai điểm cố định A và B cho trước. Hãy tìm tập hợp tâm các mặt cầu đó.
Bài 12.15 : 1. Cho hai đường tròn C
1
và C
2
có tâm O
1
và O
2
. Hai đường tròn này nằm trong hai mặt phẳng khác nhau và có chung
nhau dây cung AB. Chứng minh rằng có duy nhất một mặt cầu đi qua cả hai đường tròn C
1
và C
2
.
2. Cho đường thẳng a cố định và một điểm M cố định không thuộc đường thẳng a. Gọi O là một điểm di động trên đường thẳng a.
Vẽ mặt cầu (S ) có tâm O và bán kính R = OM. Chứng minh rằng : mặt cầu (S ) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Bài 12.16 : 1. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A sao cho OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tới mặt cầu (và giả sử B là tiếp
điểm) và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C và D, biết : CD = R
√
3.
(a) Tính độ dài AB theo R ;

(b) Tính khoảng cách từ O tới đường thẳng CD.
2. Cho mặt cầu S (O; R) và một điểm A thuộc mặt cầu này. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa đường thẳng OA và
mặt phẳng (Q) là 30
◦
.
(a) Tính diện tích thiết diện (theo R) của mặt cầu với mặt phẳng (Q).
(b) Kẻ đường thẳng ∆ đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (Q). Đường thẳng ∆ cắt mặt cầu tại B. Tính độ dài cạnh AB theo
R.
Bài 12.17 : 1. Cho mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm I. Gọi M là điểm thuộc mặt cầu này. Từ M kẻ hai
tiếp tuyến với mặt cầu S(O; R) sao cho hai tiếp tuyến này cắt mặt phẳng (Q) tại A và B. Biết MA⊥MB. Chứng minh rằng :
AB
2
= IA
2
+ IB
2
.
2. Cho mặt phẳng (Q) và hai điểm A và B cố định nằm về một phía của mặt phẳng (Q) sao cho đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Q)
tại điểm I. Gọi mặt cầu S (O; R) là mặt cầu thay đổi nhưng luôn đi qua A và B đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (Q). Gọi M là
tiếp điểm của mặt cầu S (O; R) với mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng : điểm M di động trên một đường tròn cố định C nào đó.
Bài 12.18 : 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b. Hãy xác định tâm và tính bán kính của
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó theo a và b.
2. Cho ba đoạn thẳng S A, S B, SC đôi một vuông góc với nhau tạo thành một tứ diện S ABC, với S A = a, S B = b, SC = c. Xác
định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó theo a, b, c.
Bài 12.19 : Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A
′
B
′
C
′

có 9 cạnh đều bằng a.
1. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngaoij tiếp hình lăng trụ đã cho ;
2. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu nói trên (tính theo a).
Bài 12.20 : Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp đó (tính theo a và h). Tính diện tích của mặt cầu đó.
Bài 12.21 : Trong mặt phẳng (Q) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Lấy một điểm S thuộc đường thẳng Ax vuông góc với (Q).
Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Mặt phẳng (P) cắt S B, SC,S D lần lượt tại M, N, E.
1. Chứng minh rằng : bảy điểm A, B,C, D, M, N, E là cùng thuộc một mặt cầu.
2. Tính diện tích của mặt cầu đó theo a và thể tích của khối cầu đó.
Bài 12.22 : Cho tứ diện S ABC có S A⊥(ABC) và S A = a, S B = b, SC = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
đã cho trong các trường hợp sau :
1. có

BAC = 90
◦
; 2. có

BAC = 60
◦
và b = c ; 3. có

BAC = 120
◦
và b = c.
Bài 12.23 : Cho mặt cầu S (O;R) và mặt phẳng (Q) cách tâm O một khoảng bằng h (0 < h < R). Mặt phẳng cắt mặt cầu (Q) theo
đường tròn C . Vẽ đường thẳng d đi qua điểm A cố định thuộc đường tròn C và d⊥(Q). Đường thẳng d cắt mặt cầu S (O;R) tại B. Gọi
CD là đường kính di động của đường tròn C .
1. Chứng minh rằng : AD
2
+ BC

2
và AC
2
+ BD
2
là không đổi.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 241
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Tìm vị trí của đường kính CD để diện tích tam giác BCD là lớn nhất.
3. Kẻ BH⊥CD với H ∈ CD. Tìm tập hợp điểm H khi CD di động.
Bài 12.24 : Cho hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và tính bán
kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.
Bài 12.25 : Cho hình chóp S.ABCD có S A = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, có
AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.
Bài 12.26 : Cho hình cầu đường kính AA
′
= 2R. Gọi H là điểm trên đoạn AA
′
sao cho AH =
4R
3
, mặt phẳng (Q) đi qua H và vuông
góc với AA
′
cắt hình cầu theo đường tròn C .
1. Tính diện tích đường tròn C ;
2. Giả sử tam giác BCD là tam giác đều nội tiếp đường tròn C . Hãy tính thể tích hình tứ diện ABCD và A
′

BCD theo R.
Bài 12.27 : 1. Chứng minh rằng : Nếu tứ diện ABCD có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của nó thì tứ diện đó có tổng các cặp
cạnh đối diện là bằng nhau.
2. Cho hình chóp tam giác đều S .ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a
√
2. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai
cạnh S B, SC tại E và F là trung điểm của mỗi cạnh.
(a) Chứng minh rằng : mặt cầu đó đi qua M và N là trung điểm của AB và AC.
(b) Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng S A là D. Tính độ dài của AD và S D.
Bài 12.28 : Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = BD = a, AD = b và mặt phẳng (ACD)⊥(BCD).
1. Chứng minh rằng : ACD là tam giác vuông ;
2. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ;
3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 12.29 : Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Vẽ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là một điểm
bất kì trên d với S  A.
1. Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ;
2. Cho S A = h cho trước. Hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC ;
3. Gọi A
′
là điểm đối xúng của A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng : khi S thay đổi trên đường thẳng d thì A
′
luôn thuộc
một đường thẳng cố định.
Bài 12.30 : Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua cạnh BC và (P)⊥(ABC). Gọi (C ) là đường tròn đường kính
BC và đường tròn này nằm trong mặt phẳng (P). Gọi S là điểm di động trên đường tròn (C ). Chứng minh rằng :
1. Tổng T = S A
2
+ S B
2
+ SC

2
là một số không đổi ;
2. Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC là một điểm cố định (nếu S  B và C).
Bài 12.31 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao S H =
a
2
.
1. Chứng minh rằng : tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó theo a.
2. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (ABCD) và khoảng cách giữa hai mặt phẳng này là x, với 0 < x < R. Gọi S
td
là diện tích
thiết diện tạo bởi mặt phẳng (Q) với hình chóp nhưng nó bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để S
td
= πR
2
.
Bài 12.32 : Cho hình chóp S .ABCD với đáy ABCD là tứ giác có AC⊥BD tại H và S H là đường cao của hình chóp đã cho.
1. Chứng minh rằng : bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S .HAB, S .HBC, S.HCD, S .HDA là bốn điểm O
1
, O
2
, O
3
, O
4
sẽ
tạo thành hình chữ nhật.
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 242
www.VNMATH.com www.VNMATH.com
WWW.VNMATH.COM

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC
2. Gọi M, N, E, F là hình chiếu của điểm H lần lượt trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng : hình chóp S .MNEF có mặt cầu
ngoại tiếp.
Tính diện tích thiết diện của mặt cầu ấy khi cắt bởi (ABCD), nếu biết ME = a,

BAC = α
◦
và

BDC = β
◦
.
Bài 12.33 : Cho hình chóp S .ABC có S A⊥(ABC); AB = c, AC = b,

BAC = α
◦
. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trênS B, SC. Chứng minh rằng : các điểm A, B, C, M, N cùng thuộc một mặt cầu và tính bán kính của mặt cầu đó theo b, c, α
◦
.
Bài 12.34 : Cho hai tia Ax, By chéo nhau và Ax⊥By. Biết AB là đoạn vuông góc chung của Ax và By. Lấy một điểm C thuộc tia Ax và
điểm D thuộc tia By.
1. Tìm tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a, b, c ở đó b = AC và c = BD.
2. Cho C và D di động trên Ax và By sao cho AC + BD = CD. Chứng minh rằng : đường thẳng CD luôn tiếp xúc với mặt cầu
đường kính AB.
Bài 12.35 : Cho trước mặt cầu tâm O bán kính R và một điểm A cố định thuộc mặt cầu. Ba tia At
1
, At
2
, At

3
là ba tia thay đổi, đôi một
vuông góc với nhau và cắt mặt cầu tại các điểm B,C, D.
1. Chứng minh rằng : hình hộp dựng trên ba cạnh AB, AC, AD có một đường chéo cố định và mặt phẳng (BCD) luôn luôn đi qua
một điểm cố định.
2. Chứng minh rằng : hình chiếu H của điểm D trên đường thẳng BC luôn thuộc một mặt cầu cố định.
Bài 12.36 : Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (P). Gọi C là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao
cho : SC⊥(P) và SC = 2R. Tính thể tích của khối cầu đi qua đường tròn đã cho và đi qua điểm S .
Bài 12.37 : Cho tam giác ABC vuông ở A có BC = 2a,

ACB = 30
◦
. Xét hai tia Bx, Cy cùng hướng và vuông góc với mặt phẳng (ABC).
1. Hãy xác định vị trí của điểm E trên tia Bx sao cho mặt cầu đường kính BE tiếp xúc với Cy.
2. Hãy xác định vị trí điểm F thuộc tia Cy sao cho mặt cầu đường kính tiếp xúc với Bx.
3. Với các điểm E, F tìm được ở trên, hỏi đa diện ABCFE có mặt cầu ngoại tiếp không ? Hãy tính thể tích của khối đa diện đó.
Bài 12.38 : Trong vô số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Hãy tìm hình hộp thỏa mãn một trong các tính chất
sau :
1. Thể tích của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.
2. Tổng độ dài các cạnh của hình hộp đạt giá trị lớn nhất.
Bài 12.39 : 1. Trong vô số các hình chóp tam giác đều nội tiếp một mặt cầu bán kính R cho trước. Hãy tìm hình chóp chữ số thể
tích lớn nhất.
2. Hãy mở rộng bài toán cho hình chóp n-giác đều.
12.2 Mặt tròn xoay. Mặt trụ, hình trụ và khối trụ
Bài 12.40 : Cho trước mặt phẳng (P) có điểm cố định A thuộc mặt phẳng (P) và điểm cố định B  (P), ở đó hình chiếu vuông góc H
của điểm B lên mặt phẳng (P) là không trùng với A. Gọi M là một điểm di động trên mặt phẳng (P) sao cho

ABM =

BMH. Chứng

minh rằng : điểm M luôn nằm trên một mặt trụ tròn xoay có trục là đường thẳng AB.
Bài 12.41 : Cho mặt trụ tròn xoay (T ) và một điểm S cố định nằm ngoài (T ). Gọi d là một đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua
S và cắt mặt trụ (T ) tại A và B. Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng : trung điểm I đó luôn luôn nằm trên một mặt trụ cố
định nào đó.
Bài 12.42 : Một khối trụ có bán kính đáy bằng R và chiều cao h = R
√
3. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) và điểm B thuộc đường
tròn (O
′
) là hai đường tròn đáy của khối trụ đã cho, sao cho góc tạo bởi đường thẳng AB và trục của khối trụ là 30
◦
.
1. Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua AB và mặt phẳng (Q) song song với trục của khối trụ. Hãy tính diện tích thiết diện của mặt phẳng
(Q) với khối trụ (tính theo R).
TRẦN ANH TUẤN - 0974 396 391 - (04) 66 515 343 Trang 243
www.VNMATH.com www.VNMATH.com