Đề thi Giáo viên giỏi toán THCS năm 1011-2012

www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 1

www.dayvahoc.info
ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (4,0 điểm).
Giải các phương trình sau:
1) 3 24 + x  12 - x  6
2)  x + 5 x + 6  x + 8 x + 9   40
Câu 2: (4,0 điểm).
Cho phương trình: x 2  2(m  1) x  2m  0
(1)
(với ẩn là x ).
1) Giải phương trình (1) khi m =1.
2) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 ; x2 . Tìm giá trị của m để x1 ; x2 là
độ dài hai cạnh của một tam giác vng có cạnh huyền bằng 12 .
Câu 3: (4,0 điểm).



1) Cho x  2011  x 2
Tính giá trị của biểu thức

2) Tính tổng

S=

 y 



2011  y 2  2011 .

T  x 2011  y 2011 .

4 3
8  15
240  14399

 ... 
.
1 3
3 5
119  121

Câu 4: (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC có Â > 900. Vẽ đường trịn (O) đường kính AB và đường
trịn
(O’) đường kính AC. Đường thẳng AB cắt đường trịn (O’) tại điểm thứ hai là D, đường
thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E.
1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
2) Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A). Chứng minh ba
điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD.

3) Gọi H là giao điểm của AB và EF. Chứng minh BH.AD = AH.BD.
Câu 5: (2,0 điểm).
Cho x, y, z là ba số dương thoả mãn x + y + z =3. Chứng minh rằng:
x
y
z


 1.
x  3 x  yz y  3 y  zx z  3z  xy

---------------------------Hết--------------------------Họ và tên thí sinh:................................................Số báo danh:..........................................
Chữ kí của giám thị 1:.........................................Chữ kí của giám thị 2:............................

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

1


www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 2

ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm).
1. Giải phương trình.

6x  3
= 3 + 2 x  x2
x  1 x

2. Cho hệ phương trình:

x - 3y - 3 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0

Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy tìm giá trị của
biểu thức. M = (x1- x2)2 + (y1 - y2)2.
Câu 2: (4,0 điểm).

Số đo hai cạnh góc vng của một tam giác vng là nghiệm của phương
trình bậc hai: (m-2)x2 -2(m -1)x + m = 0 (m  0)
Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác
2
là:
5

Câu 3: (4,0 điểm).
1. Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là
những số chính phương.
2. Tìm nghiệm ngun dương của phương trình: 2x 2 + 7xy + 6y 2 = 60
Câu 4: (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường trịn tâm O đường kính
AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.
a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng.
b. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại M
và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC.
c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm. Tính diện tích tứ giác MDEN.
Câu 5: (2,0 điểm).
4x 2 y 2
x2 y2


3
Chứng minh rằng: 2
(x  y 2 )2 y 2 x 2

với x, y khác 0.

---------------------------Hết--------------------------Họ và tên thí sinh:...........................................Số báo danh:..............................................
Chữ kí của giám thị 1:.....................................Chữ kí của giám thị 2:...............................

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

2

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 3

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

ĐỀ BÀI
 3x  3 x  3

Câu 1: (4,0 điểm). Cho biểu thức P = 

 x x 2

1
x 1



 1
 2 :

 x 1
x 2

1

1. Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó rút gọn P
2. Tìm các số tự nhiện x để

1
là số tự nhiên
P

3. Tính giá trị của P với x  3 2  10

1 3
1
 2  10
27
27

Câu 2: (4,0 điểm). Cho phương trình x2 + 5mx - 4m = 0
1. Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt;
2. Với điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2. Chứng minh rằng
x12 + 5mx2 - 4m > 0;
2

x  5mx1  12m
đạt giá trị nhỏ nhất.
3. Tìm m để biểu thức 2
 2

m2
x1  5mx 2  12m
m2

Câu 3: (4,0 điểm).
1) Giải phương trình



x3  x





1 x 1  1.


x2  y 2  2x2 y 2

2) Giải hệ phương trình 
2 2
  x  y 1  xy   4 x y .

Câu 4: (6,0 điểm).
Từ một điểm S nằm ngồi đường trịn tâm (O), kẻ các tiếp tuyến ST và SK và
một cát tuyến SAB (A nằm giữa S và B; Với A, B nằm trên cùng một cung trịn chứa
điểm T). Từ A kẻ đường thẳng vng góc với OT cắt TK và TB lần lượt tại C và D.
Chứng minh rằng CA = CD.
Câu 5: (2,0 điểm).

1) Với mỗi số thực a ta gọi phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không
vượt quá a và ký hiệu là  a  . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n , biểu thức

1 1
n  3 n 
 
27 3 




2

không biểu diễn được dưới dạng lập phương của một số nguyên

dương.
2) Với x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy  yz  zx  5 . Tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu thức P 

3x  3 y  2 z
6( x2  5)  6( y 2  5)  z 2  5

.

---------------------------Hết--------------------------Họ và tên thí sinh:...........................................Số báo danh:..............................................
Chữ kí của giám thị 1:.....................................Chữ kí của giám thị 2:...............................

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

3


www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 4

ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm)

1. Tính giá trị của biểu thức M 
Biết rằng:

7
a

x y xz

và

1



1

1  2a  1 1  2a  1
49
13

2
( z  y )(2 x  y  z )
( x  z)

2. Giải phương trình
7  x  x  1  x 2  6 x  13
Câu 2: (4,0 điểm).
Cho phương trình
x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (1)
1. Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt.
2. Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình (1) mà khơng phụ
thuộc vào m.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x21+ x22 (với x1, x2 là nghiệm của phương trình
(1))
Câu 3: (4,0 điểm).
1) Tính giá trị của biểu thức:
A=

1
3 5

+

1
5 7

+

1
7 9

+ .....+

1
97  99

B = 35 + 335 + 3335 + ..... + 3333.....
 
 35
99 sè 3

2) Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun
2x2 + 2x = 4y3 + z2 + 2
Câu 4: (6,0 điểm).
Cho 2 đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B phân biệt. Đường thẳng OA
cắt (O), (O’) lần lượt tại điểm thứ hai C, D. Đường thẳng O’A cắt (O), (O’) lần lượt tại
điểm thứ hai E, F.
1. Chứng minh ba đường thẳng AB, CE và DF đồng quy tại một điểm I.

2. Chứng minh tứ giác BEIF nội tiếp được trong một đường tròn.
3. Cho PQ là tiếp tuyến chung của (O) và (O’) (P  (O), Q  (O’)). Chứng minh
đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.
Câu 5: (2,0 điểm).
1) Cho biểu thức: B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2012.
1
2

Tính giá trị của B với x = .

2 1
2 1

1
1
1
+ + =4
y
x
z
1
1
1
1
Chứng ming rằng:
+
+
2x  y  z
x  2y  z
x  y  2z

2) Cho các số x, y, z dương thoả mãn

---------------------------Hết--------------------------Họ và tên thí sinh:...........................................Số báo danh:..............................................
Chữ kí của giám thị 1:.....................................Chữ kí của giám thị 2:...............................

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

4


www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 5

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm)
2. Gọi a là một nghiệm nguyên dương của phương trình

2 x 2  x  1  0 . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức
A

2a  3

2(2a  2a  3)  2a 2
4

3. Tìm các số hữu tỉ a và b thoả mãn
3
ab 3



2
ab 3

 7  20 3

Câu 2: (4,0 điểm).
( x 2  1)( y 2  1)  8 xy  0
Giải hệ phương trình  x
1
y

 x2 1  y2 1   4


Câu 3: (4,0 điểm).
1) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn đẳng thức a2 + b2 - ab = c2. Chứng minh

rằng phương trình x2 - 2x + (a - c)(b - c) = 0 có hai nghiệm phân biệt.
2 . Tìm các số ngun x, y thỏa mãn phương trình: (y + 2)x2 + 1 = y2
Câu 4: (6,0 điểm).
Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta kẻ hai tia tạo với nhau một góc bằng 45o. Một
tia cắt cạnh BC tại E và cắt đường chéo DB tại P. Tia kia cắt cạnh CD tại F và cắt
đường chéo DB tại Q.
1. Chứnh minh: E; P; Q; F; C cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh: AB.PE = EB.PF.
3. Chứng minh: SAEF = 2SAPQ.
4. Gọi M là trung điểm AE. Chứng minh MC = MD.
Câu 5: (2,0 điểm).
Cho a, b, c là các số dương và abc =1. CMR
3
a3
b3
c3



(1  b)(1  c) (1  c)(1  a ) (1  a )(1  b) 4

---------------------------Hết--------------------------Họ và tên thí sinh:...........................................Số báo danh:..............................................
Chữ kí của giám thị 1:.....................................Chữ kí của giám thị 2:...............................

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

5

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 6
Câu 1: (4 điểm)

x 2  4x  4 y 2  0

1. Giải hệ phương trình:  2
 x  4 xy  4  0


2. Giải phương trình: (2x2 – 3x +1)(2x2 + 5x +1) = 9x2

Câu 2: (4 điểm)
 x ( x  2)
1  
x 2 
 : 1 



Cho biểu thức: A  
 x x 1
 
x 1 
x  x  1



1. Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
2. Rút gọn biểu thức A và tìm các giá trị của x để A < 2.
Câu 3: (4 điểm)
1. Chứng minh rằng: x  x  x  x  x 1  0 với mọi x.
2
2. Cho phương trình: x  2a  1x  a  4  0 (1) (a là tham số)
8

5

4

2

Chứng minh rằng phương trình (1) ln ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị
của a. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương các nghiệm của phương trình (1).
Câu 4: (6 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có góc C bằng 600. Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp, I
là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác đó.

1. Chứng minh rằng: AOB = AIB = 1200, suy ra bốn điểm A, I, O, B nằm trên
một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường trịn đó.
2. Tia BI cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC tại E (E khác B). Chứng minh
rằng AIE là tam giác đều, từ đó suy ra IA + IB ≤ 2R. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Câu 5: (2 điểm)
Cho các số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x 2  y 2  z 2  3. Tìm GTLN của
M

x2
y2
z2


1  x 4 1  y 4 1  z4
Hết

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

6


www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 7

www.dayvahoc.info

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang
ĐỀ THI

Bài 1. (4đ)

a) Cho ba số hữu tỉ x, y, z thoả mãn

1
1
1
Chứng minh rằng


x 1 y 1 z 1

là số hữu tỉ.
b) Giải và biện luận bất phương trình theo tham số m:
m2x - 3  9x + m
Bài 2.(4đ)
( x  1)2  ( y  1)2  ( z  1)2

Cho biểu thức P 

15 x  11 3 x  2 2 x  3



x  2 x  3 1 x
x 3

a) Rút gọn biểu thức P.
2
3

b) Chứng minh rằng: P  .
Bài 3.(4đ)
3
 3
x  y  1
1. Giải hệ phương trình sau:  7
x  y 7  x 4  y 4


2. Tìm tất cả các số nguyên n để n2 +2002 là số chính phương.
3. Cho hai số thực dương a, b thoả mãn điều kiện a2 + b2  1.
2

1
1
Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Q=  a     b  

 

a 
b


2

Bài 4.(6đ) Cho tam giác đều ABC có đường cao là AH. Trên cạnh BC lấy điểm M bất
kì (M khơng trùng với B, C, H ); từ M kẻ MP, MQ vng góc với các cạnh AB, AC.
a) Chứng minh APMQ là tứ giác nội tiếp và hãy xác định tâm O của đường tròn
ngoại tiếp tứ giác đó.
b) Chứng minh rằng MP + MQ = AH.
c) Chứng minh OH  PQ.
Bài 5(2 đ). Cho ba số thực dương a, b, c, thoả mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

11b 3  a 3 11c 3  b 3 11a 3  c 3


2
ab  4b 2
cb  4c 2
ac  4a 2
----------------------Hết------------------------

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

7


www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 8

www.dayvahoc.info
ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

Câu1: ( 4.0 điểm)

 x 2 1
1   4 1 x 4
Cho biểu thức: M =  4
 x  x 2  1  x 2  1 . x  1  x 2



a, Tìm x để M xác định.
b) Rút gọn biểu thức M rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
c) Tìm x để M nhận giá trị nguyên.






Câu 2: (4.0 điểm)
a.Giải phương trình:

x 2  5 x  x 2  5 x  4  2


x 2  y 2  11
b.Giải hệ phương trình: 
 x  xy  y  3  4 2

Câu 3: (4.0 điểm)
a. Chứng minh phương trình (n + 1)x2 + 2x - n(n + 2)(n + 3) = 0 ln có nghiệm
hữu tỉ với mọi số n nguyên.
b. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2009x + 1 = 0
x3, x4 là nghiệm của phương trình x2 + 2010x + 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức: (x1 + x3)(x2 + x3)(x1 - x4)(x2 - x4)
Bài 4: (6 điểm)
Cho đường trịn (O) và điểm A nằm ngồi đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC
với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng AO cắt đường tròn (O) tại M. Trên
cung nhỏ MC của (O) lấy điểm D. AD cắt (O) tại điểm thứ hai E. I là trung điểm của
DE. Đường thẳng qua D vuông góc với BO cắt BC tại H và cắt BE tại K.
a. Chứng minh bốn điểm B, O, I, C cùng thuộc một đường tròn.
b. Chứng minh ICB = IDK
c. Chứng minh H là trung điểm của DK.
Câu 5: (2 điểm)
Cho A(n) = n2(n4 - 1). Chứng minh A(n) chia hết cho 60 với mọi số tự nhiên n.
----------------------Hết------------------------

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

8

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO BÁ THƯỚC

ĐỀ 9

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

Câu I. (4,0 điểm).

Cho biểu thức A 

2 x 9
x  3 2 x 1
.


x5 x 6
x  2 3 x

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa .
b) Rút gọn biểu thức A .

Câu II: (4,0 điểm).
a, Cho phương trình bậc hai : x2+ mx + n + 1 = 0 (x là ẩn; m, n là tham số) có
hai nghiệm nguyên dương. Chứng minh rằng: m2+n2 là một hợp số
b, Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + 4 = 0 và xy > 0 .
1
x

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M  

1
.
y

Câu III: (4,0 điểm).
2

2

 x   x  10
1) Giải phương trình:

 
  .
9
 x 1   x 1 
 2
1 1
 x  x  1    4
y
y


2) Giải hệ phương trình: 
2
 x 3  x  x  1  4.

y 2 y y3


Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O  AB ). P là
điểm di động trên đoạn thẳng AB (P khác A, B và P khác trung điểm AB). Đường tròn
tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm
P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (N khác
P).
1) Chứng minh rằng ANP = BNP .
2, Chứng minh bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
3) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi
P di động.
Câu V. (2,0 điểm).
Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: a 2  b 2  b 2  c 2  c 2  a 2  2k . (với k là số
thực dương)
a2
b2
c2
k
Chứng minh rằng:



bc ca ab
2

............................................................. HẾT ........................................................

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

9


www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 10

www.dayvahoc.info

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (4đ)
Cho biểu thức:
A 

2 x  11


x  5 x  4

x  2
2 x 1

x 1
x
4 

a. Tìm x để biểu thức A có nghĩa.
b. Rút gọn A.
c. Tìm các giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2(4đ)
2
1. Cho phương trình x  (a  b) x  ab  0 (x là ẩn), có hai nghiệm là
2
2
Tìm x 1 , x 2 biết rằng: x1  x 2  2  2( x1  x 2  2 x1 x 2 ) .

x1 , x 2 .

 2
 ( x  x )( x  y )   4
2. Giải hệ phương trình: 
 ( x  1) 2  y  1

Câu 3 (4 đ)
x 1
3
x 1  2 x 1 


1. Giải phương trình:
4 2
2
2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
x2 – 2(m – 1)x + 2m2 – 3m + 1 = 0 ( với m là tham số)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x 1  x 2  x 1 x 2
Câu 4:(6 đ)
1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=6cm, AD=4cm. M là một điểm bất kì trên
cạnh AB (M khơng trùng với A và B). Qua M kẻ các đường thẳng d, d' lần lượt song
song với AC, BD chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N,Q. Qua N kẻ đường
thẳng song song với BD cắt CD tại P. Tìm vị trí của M trên AB để diện tích tứ giác
MNPQ lớn nhất.
2. Cho hình vng ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vng ABCD, M là
trung điểm cạnh OB, N là trung điểm cạnh CD. H là chân đường cao hạ từ M của tam
giác AMN. Chứng minh AMN là tam giác vng cân, từ đó tính độ dài đoạn AH theo a.
Câu 5:(2đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn ( x  y )( y  z)( z  x )  x  y  z
Chứng minh: x + y + z chia hết cho 27.

…………….Hết………………

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info 10


www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÁ THƯỚC

ĐỀ 11

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

Câu I (4,0 điểm)

Cho biểu thức: A =

x
2 x
3x  9


x 3
x 3 x 9

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm giá trị của x để A =

1
.
3

3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Câu II (4,0 điểm)
1. Gải phương trình:

3  2x  x
2  3x  x  2

5

2. Cho phương trình: x 4  2mx 2  2m  1  0 .
a. Giải phương trình với m = 2.
b. Tìm giá trị m để phương trình có bốn nghiệm x1, x2 , x3 , x4 sao cho:

x1  x2  x3  x4 và x4  x1  3  x3  x2  .

Câu III (4,0 điểm)
Cho hàm số: y = mx – m + 2, có đồ thị là đường thẳng (dm).
1. Khi m = 1, vẽ đường thẳng (d1)
2. Tìm tọa độ điểm cố định mà đường thẳng (dm) luôn đi qua với mọi giá trị của m.

Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm M(6, 1) đến đường thẳng (dm) khi m thay đổi.
Câu IV (6,0 điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc
đường tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP
vng góc với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vng góc với AE (Q thuộc AE).
1.Chứng minh rằng AEMO là tứ giác nội tiếp đường trịn và APMQ là hình chữ
nhật.
2.Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh O, I, E thẳng hàng.
3. Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh hai tam giác EAO và MPB đồng
dạng. Suy ra K là trung điểm của MP.
Đặt AP = x. Tính MP theo R và x. Tìm vị trí của M trên (O) để hình chữ nhật APMQ có

diện tích lớn nhất.
Câu V (2,0 điểm)
1. Tìm m để giá trị nhỏ nhất của biểu thức

m  2x
bằng – 2.
x2  1

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = 2x2 + 9y2 – 6xy – 6x – 12y + 2041.
Hết

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info 11


www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 12
Câu I (4,0 điểm)



:

 x 1 x x  x  x 1 

Cho biểu thức: P = 


1

2 x




x x
1 



 x x  x  x 1 x 1



1. Tìm điều kiện của x để P xác định. Rút gọn P.
2. Tìm x để P = x – 2.

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
4. Tìm m để x thỏa mãn: ( x + 1).P = m – x.
Câu II (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:

 2x 2  xy  1
 2
2
4x  4xy  y  7

2. Giải phương trình: x  2  2 x  5  x  2  3 2 x  5  7 2
Câu III (4,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên a để phương trình: x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0 có nghiệm
ngun. Hãy tìm các nghiệm ngun đó.
a0


b0
2. Cho a, b, c là các số thoả mãn điều kiện: 
19a  6b  9c  12

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:

x 2  2(a  1)x  a 2  6abc  1  0
x 2  2(b  1)x  b 2  19abc  1  0
Câu IV (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường trịn tâm O đường kính
AD. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, E là một điểm trên cung BC không chứa
điểm A.
1. Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành.

2. Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của E qua các đường thẳng AB và
AC. Chứng minh rằng 3 điểm P, H, Q thẳng hàng.
3. Tìm vị trí của điểm E để PQ có độ dài lớn nhất.
Câu V (2,0 điểm)
1. Chứng minh với mọi số thực x, y , z ln có:

x  y  z  y  z  x  z  x  y  x  y  z  2 x  y  z 

2. Một tấm bìa dạng tam giác vng có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng
minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi
phần là số nguyên.

Hết

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info 12


www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO BÁ THƯỚC

ĐỀ 13

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN

Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

Câu I. (4,0 điểm)

 6x  4
  1  3 3x3
3x
Cho biểu thức: A  

 3x 

 3 3x3  8 3x  2 3x  4   1  3x





1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu II (4,0 điểm)
1
1. Cho số x  x  R; x  0  thoả mãn điều kiện: x2 + 2 = 7
x

Tính giá trị các biểu thức: A = x3 +

2. Giải hệ phương trình:

1

1
và B = x5 + 5
3
x
x

y  x2

 z  xy

1  1  2
x y z


với x, y, z  0

Câu III (4,0 điểm)
1. Cho a, b là các số dương thoả mãn điều kiện a2 = b + 4024 và x, y, z là
x  y  z  a
nghiệm dương của hệ phương trình  2
. Chứng minh rằng giá trị biểu
2
2
x  y  z  b
thức P sau đây không phụ thuộc vào x, y, z:

P= x

( 2012  y 2 )( 2012  z 2 )
y

2012  x 2

2012  z 2012  x   z
2

2012  y 2

2

( 2012  y 2 )( 2012  x 2 )
.
2012  z 2

2. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện
sau đồng thời được thỏa mãn:

(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ
số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.
Bài IV (4,0 điểm)
1. Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại E . Một đường thẳng
qua A, cắt cạnh BC tại M và cắt đường thẳng CD tại N. Gọi K là giao điểm của các
đường thẳng EM và BN. Chứng minh rằng: CK  BN .
2. Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 . Vẽ các
tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm). Một góc xOy có số đo
bằng 45 0 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại E. Chứng
minh rằng: 2 2  2  DE  1 .
Bài V (2,0 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ
ab  bc  ca

.
nhất của biểu thức: P  a 2  b 2  c 2  2
a b  b 2c  c 2a
Hết

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info 13


www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( khơng kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 14
Câu I (4,0 điểm )
1. Giải phương trình:

3

x2  3 7x 3

8

2  3x  y 3
2. Giải hệ phương trình: 

 x3  2  6

y


Câu II (4,0 điểm )
mx  y  2
3x  my  5

1. Cho hệ phương trình: 

a. Giải hệ phương trình khi m  2 .
b. Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức:
m2
x  y 1 2
.
m 3
2. Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(1; 0), B (0; 2), C (3; 0) . Điểm D ở trên
đoạn BC sao cho DA = DC. E là một điểm tùy ý trên đoạn AC, đường thẳng d đi qua E
và song song với đường thẳng AD cắt đường thẳng BA tại F. Đoạn BE cắt đoạn DA tại
G. Chứng minh rằng: hai tia CG và CF đối xứng với nhau qua CA.
Câu III (4,0 điểm)
1. Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích hai chữ số

của nó có phân số tối giản là

16
và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ số với nó
9

nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27.
2. Hãy tìm các chữ số a, b, c, d biết rằng các số a, ad , cd , abcd là các số chính
phương.
Câu IV (6,0 điểm ):
Cho hình vng cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M khác P,
M khác Q). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vng PQRS tại E. Đường
tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F khácQ). Đường thẳng RF cắt
cạnh SP của hình vng PQRS tại N.
1. Chứng tỏ rằng: ERF = QRE + SRF.
2. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vng PQRS thì đường
trịn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định.
3. Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.
Câu V (2,0 điểm)
1. Chứng minh rằng:



 

2011  2009  ...  3  1 



2010  2008  ...  2  503

2. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có ba góc nhọn. Chứng minh rằng

với mọi số thực x, y, z ta ln có:

x2
y2 z2
2x 2  2 y2  2z2
 2  2 
.
a2
b
c
a 2  b2  c2
Hết

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info 14


www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÁ THƯỚC

ĐỀ 15

ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2011 – 2012
Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm: 01 trang

Câu I (4,0 điểm)
1. Chứng minh rằng : A 

2 3  5  13  48
6 2

là một số nguyên.

2. Biết rằng a, b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1. Chứng minh :

a 2  b2
2 2
a b

abc  n 2  1

3. Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho: 
2 (n nguyên; n > 2)
cba   n  2 

Câu II (4,0 điểm)
1 1 1
1. Cho x , y , z  R thỏa mãn :   

1

. Hãy tính giá trị của biểu thức:
x yz

x
y z
2011
+ (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10).
M=
2012

2. Cho phương trình: ax 2  bx  c  0 ( a  0 ) có hai nghiệm x1 , x 2 thoả mãn điều kiện:

2a 2  3ab  b 2
0  x1  x 2  2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 
2a 2  ab  ac
Câu III (4,0 điểm)
2012 x 4  x 4 x 2  2012  x 2
 2012
1. Giải phương trình:
2011
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21
Câu IV (4,0 điểm)
1. Cho một điểm P ngồi đường trịn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ trung

điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và
PD lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F. Chứng minh:
DCE = DPE + CAF và tam giác PBC đồng dạng tam giác DBP.
2. Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm O
tùy ý. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm O trên các đường thẳng BC,
CA, AB. Chứng minh rằng: OI + OJ + OK < BC

Câu V (2,0 điểm)
1. Cho a, b, c  [0; 1]. Chứng minh rằng:
a
b
c


 1  a 1  b 1  c   1
b  c 1 a  c 1 a  b 1

2. Cho x, y, z là các số thực thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

1
1 1


16x 4y z

www.dayvahoc.info

www.dayvahoc.info 15