ĐỀ THI GIÁO VIÊN GIỎI TOÁN THCS

Phòng Giáo dục Thiệu Hoá
Hội thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp cơ sở năm học 2005 - 2006
Đề thi vòng 1: Vận dụng kỹ năng kiến thức bộ môn
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
Sau đây là một đề thi học sinh giỏi lớp 8. Đồng chí hãy soạn hớng dẫn chấm chi tiết (theo
thang điểm 10).
Đề bài
I. Trắc nghiệm (5 diểm).
1/ Cho
( )
.96
2
3
8
1
23
+=
xxxxf
Chọn kết quả đúng:
a)
( )
.491238
=
f
b)
( )
.491338
=
f
c)

( )
.491438
=
f
d)
( )
.491638
=
f
2/ Từ tỉ lệ thức
d
b
c
a
=
không suy ra đợc tỉ lệ thức nào:
a)
dc
dc
ba
ba

+
=

+
; b)
db
db
ca

ca

+
=

+
; c)
cb
db
bc
da
+
+
=


; d)
db
ac
bd
ca

+
=
+

;
(giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
3/ S là tập nghiệm của phơng trình: x
3

+ 6x
2
+ 11x + 6 = 0. Chọn kết quả đúng:
a) S = {-1; 2; 3}; b) S = {-1; 2; -3}; c) S = {1; -2; 3}; d) S = {-1; -2; -3}.
4/ Kết quả của phép chia [8018:(2004.2006 - 2003.2005)] là:
a) -2; b) 3; c) 2; d) 4.
5/ Tổng A = 2 + 2
2
+ 2
3
+2
4
+ 2
5
+2
6
+ 2
7
+2
8
+ 2
9
+ 2
10
.
Số d khi chia A cho 6 là: a) 0; b) 1; c) 2; d) 4.
6/ Phơng trình x - 1+ 1 - x = x. Chọn kết luận đúng:
a) Phơng trình vô nghiệm; b) Phơng trình có duy nhất 1 nghiệm;
c) Phơng trình có đúng 2 nghiệm; d) Phơng trình có vô số nghiệm.
7/ Hai tam giác đồng dạng và có một cặp cạnh bằng nhau. Phát biểu nào sau đây đúng nhất:

a) Chúng bằng nhau theo trờng hợp cạnh-cạnh-cạnh;
b) Chúng bằng nhau theo trờng hợp cạnh-góc-cạnh;
c) Chúng bằng nhau theo trờng hợp góc-cạnh-góc;
d) Cha thể kết luận chúng bằng nhau.
8/ Giao của tập hợp các hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau và tập hợp các hình thang
có hai đờng chéo bằng nhau là:
a) Tập hợp rỗng;
b) Tập hợp các hình chữ nhật;
d) Tập hợp các hình vuông;
c) Tập hợp các hình thoi.
9/ Phát biểu nào sau đây không phải là dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
1
a) Hình thang có hai góc kề với một đáy bằng nhau là hình thang cân;
b) Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân;
c) Hình thang có hai đờng chéo bằng nhau là hình thang cân;
d) Hình thang có tổng hai góc đối bằng 180
0
là hình thang cân.
10/ Tam giác ABC, D thuộc BC sao cho góc BAD bằng góc CAD và AB = 6cm, AC = 7cm,
BC = 8cm. Vậy thì:
a) Không tính đợc DC vì cha đủ dữ kiện;
b) Tính đợc DC = 4cm;
c) Tính đợc DC và DC < 4cm;
d) Tính đợc DC và DC > 4cm.
11/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
Khẳng định nào sau đây đúng nhất:
a) MN (AB + CD):2; b) MN < (AB + CD):2;
c) MN > (AB + CD):2; d) MN < (AB + CD):2.
II. Tự luận (5 điểm).
1/ Cho tam giác ABC có đờng trung tuyến là AD. Tia phân giác góc ADB cắt AB ở E, tia

phân giác góc ADC cắt AC ở F.
a) Chứng minh hai tam giác AEF và ABC đồng dạng.
b) Tính độ dài EF biết DC = 8cm, FC:AF = 8:5.
2/ Cho biểu thức:
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2
12
3
12
3
1
5
:
12
102
12
23
223
2
23

+
+
+






+++

+
+++
+
=
aaa
aaaa
aa
aaa
a
P
a) Rút gọn
P
.
b) Tính giá trị của
P
biết

3
1
=
a
.
c) Tìm các giá trị nguyên của
a
để giá trị của biểu thức
P
là số nguyên.
3/ Tìm tất cả các số nguyên dơng thoả mãn:
2
111
=++
zyx
.
Ghi chú:
Thí sinh đợc phép sử dụng máy tính Casio fx 500 MS hoặc các máy tính có tính năng tơng đ-
ơng trở xuống. Ngoài ra, thí sinh không đợc sử dụng bất kỳ tài liệu nào khi làm bài.
2
Phòng Giáo dục Thiệu Hoá
HD chấm thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp cơ sở năm học 2005 - 2006
Đề thi vòng 1: Vận dụng kỹ năng kiến thức bộ môn
Môn: Toán
(Thời gian làm bài 120 phút)
I. Trắc nghiệm (5 diểm).
ý đúng
Câu
a b c d Điểm
1 x

0,5
2 x(0,25) x(0,25)
0,5
3 x
0,5
4 x
0,5
5 x
0,5
6 x
0,5
7 x
0,25
8 x
0,25
9 x
0,5
10 x
0,5
11 x
0,5
II. Tự luận (5 diểm).
2/ (1,5 điểm)
a) (1,0 điểm).
Theo tính chất đờng phân giác trong của tam giác
ta có:
CF
AF
CD
AD

EB
AE
BD
AD
==
,
mà
BDCD
=
(do
AD
là
trung tuyến của ABC):
CF
AF
EB
AE
=
suy ra
BCEF //
AEF ~ ABC
b) (0,5 điểm).
Ta có: AEF ~ ABC
EF
BC
AF
FC
EF
BC
AF

FCAF
hay
EF
BC
AF
AC
=+=
+
=
1
Thay
5
8
,168.22
====
AF
FC
DCBC
Ta có:
13
80
5
13
:16
5
8
1:16
16
5
8

1
==






+==+
EF
EF
Vậy
cmEF
13
80
=
2/ (2,75 điểm)
a) Rút gọn
P
(1,5 điểm).
Điều kiện để
P
có nghĩa là:
2,1

aa
(0,25 điểm). Ta có:
3
A
B

C
D
F
E
0,25 điểm
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
.
2
1
224
124
164
24

1
2
164
112
12
22
1
2
1112
333333331010
:
12
422
1
2
112
113113110
:
12
10263
1
2
12
3
12
3
1
5
:
12

102
12
23
2
2
2
23
23
2
2
23232
23
2
22
222
23
2
223
2
23


=
+
+
=

+
=

+++

+++
+
=
=


++
++
+++
+
=
=


+
++++
+++
++
=
=

+
+
+






+++

+
+++
+
=
a
a
aa
aa
a
aa
a
a
aaaa
aaa
aa

a
aaa
aaaaaaa
aaa
aa
a
aa
aaaaa
aaa
aaa
aaa
aaaa
aa
aaa
a
P
b) Tính giá trị của
P
biết
3
1
=
a
(0,5 điểm).. Ta có:
3
1
=
a

3

1
=
a
hoặc
3
1
=
a
.
- Với
3
1
=
a
,
P
có nghĩa. Khi đó
5
2
3
5
3
2
2
3
1
1
3
1
2

1
=


=


=


=
a
a
P
(0,25 điểm).
- Với
3
1
=
a
,
P
có nghĩa. Khi đó
.
7
4
3
7
3
4

2
3
1
1
3
1
2
1
=


=


=


=
a
a
P
Vậy
3
1
=
a
thì
5
2
=

P
hoặc
.
7
4
=
P
(0,25 điểm)
c) Tìm các giá trị nguyên của
a
để giá trị của biểu thức
P
là số nguyên (0,75 điểm).
P
nhận giá trị nguyên khi
2,1,

aaZa
và
2
1


=
a
a
P
nhận giá trị nguyên (0,25 điểm).
2
1

1
2
1

+=


aa
a
nhận giá trị nguyên khi
( )
311221
===
aaaa
(0,25
điểm)
Với
1
=
a
thì
P
không có nghĩa, vậy với
3
=
a
thì giá trị của
P
là số nguyên (0,25 điểm).
3/ (0,75 điểm)

Vai trò của
zyx ,,
là nh nhau nên ta có thể giả sử
zyx

.
Khi đó:

.21
1
2
1
2
2)(1
211
1
11
1
3111
2
111
==+=
===+=+==++=++
z
z
y
yloaiy
yyyzy
x
xxxxzyx

Vậy: Các bộ số nguyên dơng (
zyx ,,
) thoả mãn
2
111
=++
zyx
là (1,2,2); (2,1,2); (2,2,1).
(0,25 điểm).
4
0,25 điểm
0,25 điểm
0,75 điểm
0,5 điểm