Ôn thi đại học chuyên đề lượng giác THPT nguyễn quang diêu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.24 MB, 32 trang )
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 1/32
Các hệ thức cơ bản cần nhớ
sin
2
x + cos
2
x = 1 ;
x
x
x
cos
sin
tan = ; cotx =
x
x
sin
cos
tanx.cotx = 1 ;
x
x
2
2
tan1
cos
1
+=
;
x
x
2
2
cot1
sin
1
+=
• a
2
+ b
2
= (a+b)
2
–2ab (a –b)
2
= (a+b)
2
–4ab a
3
+ b
3
= (a+b)
3
–3ab(a+b)
• 2 [a
2
+b
2
] = (a + b)
2
+ (a –b)
2
4ab = (a + b)
2
–(a –b)
2
I.Công thức cộng.
* cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb (1 ) * cos( a+b) = cosa.cosb – sina.sinb (2)
* sin ( a–b) = sina.cosb – cosa.sinb (3) * sin( a+b) = sina.cosb + cosa.sinb (4 )
*
( )
b
a
ba
ba
tan
.
tan
1
tantan
tan
+
−
=−
(5) *
( )
b
a
ba
ba
tan
.
tan
1
tantan
tan
−
+
=+
(6)
II.Công thức nhân.
a/ Công thức nhân đôi. * sin2a = 2sinacosa
* cos2a = cos
2
a – sin
2
a = 1 – 2sin
2
a = 2cos
2
a – 1
b/ Công thức nhân ba
* cos3a = 4cos
3
a – 3cosa * sin3a = – 4sin
3
a + 3sina
III. Công thức hạ bậc.
*
+
−
=
−
=
+
=
a
a
a
a
a
a
a
2cos1
2cos1
tan;
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos
222
*
4
3coscos3
cos
3
aa
a
+
=
;
4
3sinsin3
sin
3
aa
a
−
=
IV
.Công th
ứ
c tính sina,cosa,tana theo t = tan
2
a
222
2
1
2
tan;
1
2
sin;
1
1
cos
t
t
a
t
t
a
t
t
a
−
=
+
=
+
−
=
V. Công thức biến đổi
1/ Biến đổi tích thành tổng
[ ]
)sin()sin(
2
1
cos.sin bababa −++=
[ ]
)cos()cos(
2
1
cos.cos bababa −++=
[ ]
)cos()cos(
2
1
sin.sin bababa +−−=
2/ Biến đổi tổng thánh tích
*
2
cos
2
sin2sinsin
b
a
b
a
ba
−
+
=+
*
2
sin
2
cos2sinsin
b
a
b
a
ba
−
+
=−
*
2
cos
2
cos2coscos
b
a
b
a
ba
−
+
=+
*
2
sin
2
sin2coscos
b
a
b
a
ba
−
+
−=−
*
(
)
b
a
ba
ba
cos
cos
sin
tantan
±
=±
Cách nhớ:
Tích thành tổng: sin.cos =
2
1
[sin + + sin –] * cos.cos =
2
1
[ cos + + cos – ]
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 2/32
sin.sin =
2
1
[ cos – – cos +]
Tổng thành tích sin + sin = 2sincos ; sin – sin = 2 cos.sin
cos + cos = 2 cos.cos ; cos – cos = –2sin.sin
Phương trình lượng giác cơ bản
I.Phương trình: sinu = m. Điều kiện có nghiệm: – 1 ≤ m ≤ 1
* Tìm a để sina = m
+−=
+=
⇔=
ππ
π
2
2
sinsin
kau
kau
au
“Nếu a là góc không đặc biệt, ta viết : sinu = m ⇔
+−=
+=
ππ
π
2arcsin
2arcsin
kmu
kmu
”
• Trường hợp riêng:
sinu =1 ⇔ u =
2
π
+ k2π ; sinu = –1 ⇔ u =
2
π
−
+ k2π ; sinu = 0 ⇔ u = kπ
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1/ 2sinx – 1 = 0 , 2/ sin( 2x + 15
0
) = 1 . 3/
−
π
=
π
− x
3
sin
4
x3sin
4/ sin4x + sin2x = 0 5/ sin4x + cos2x = 0 6/ 4cos
2
x – 1 = 0
II. Phương trình: cosu = m Điều kiện có nghiệm: – 1
≤
m
≤
1
Tìm a để cosa = m .
π
2coscos kauau
+
±
=
⇔
=
“Nếu a là góc không đặc biệt ta viết : cosu = m
⇔
u = ± arccos(m) + k2
π
”
•
Trường hợp riêng:
cosu = 0
⇔
u =
2
π
+ k
π
; cosu = 1
⇔
u = k2
π
; cosu = – 1
⇔
u =
π
+ k2
π
Ví dụ: Giải các phương trình sau.
1/
xx cos
4
3
2cos =
+
π
2/
(
)
4
3
30cos
02
=−x
3/
01
3
2cos2 =+
−
π
x
III. Phương trình: tanu = m . Tìm a để tana = m
tanu = tana ⇔ u = a + kπ “tanu = m ⇔ u = arctan (m) + kπ”
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
1/ tan( 2x– 75
0
) =
3−
2/
+=
−
12
2tan
3
tan
ππ
xx
IV. Phương trình cotu = m ( cách giải như phương trình tanu = m )
cotu = cota ⇔ u = a + kπ (cotu = m ⇔ u = arccot(m) + kπ
Vídụ: Giải các phương trình sau:
1/ cot4x = 3 ; 2/
(
)
3
1
302cot
0
−=−x ; cot( x +
3
π
) = 2
Chú ý:
• Với – 1 ≤ m ≤ 1 . Ký hiệu: a = arcsin(m) là góc có sina = m (
2
2
π
π
≤≤− a
)
• Với – 1 ≤ m ≤ 1 . Ký hiệu: a = arccos(m) là góc có cosa = m (0 ≤ a ≤ π)
• Với m ∈ R. Ký hiệu: a = arctan(m) là góc có tana = m (
2
2
π
π
<<− a
)
• Với m ∈ R. Ký hiệu: a = arccot(m) là góc có cota = m (0 < a < π)
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 3/32
Ví dụ:
π
2
3
1
arccos
3
1
cos kxx +±=⇔=
2
2arctan
2
1
2arctan222tan
π
π
kxkxx +=⇔+=⇔=
Ôn tập lượng giác
“Mỗi ngày làm một câu hoặc một tuần làm bảy câu hoặc nửa tháng mười
lăm câu và không có phương án khác”
1/ Giải phương trình: sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx
2/ Giải phương trình:
2cossin3
4
2sin2 ++=
+ xxx
π
3
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 32sin2cos34cos26cos2
+=−+ xxxx
4
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos2x + cos3x –sinx – cos4x = sin6x
5
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xxx cottan
6
2cos4 +=
−
π
6/ Giải phương trình:
xxxx 2cot
4
sin4tan2cos32
2
+
−=−
π
7/ Giải phương trình
( )
5cos1sin82
2
3
cos
2
5
cos4 =−+ xx
xx
8/ Giải phương trình
1sin
12
5
cos22 =
− xx
π
9/ Giải phương trình: sin3x –3sin2x – cos2x + 3sinx + 3cosx –2 = 0
10/ Giải phương trình:
2
3
2
cos
3
coscos34
3
sin
3
sinsin4 =
+
+−
−
+
ππππ
xxxxxx
11/ Giải phương trình.
(
)
xxxxx sin3cos31cossin32sin2
2
+=++
12 Giải phương trình.
(
)
xxxxx 3cos3sin32cos
4
coscos2
2
=++
−
π
13/ Giải phương trình. 2sin2x –cos2x = 7sinx + 2cosx –4
14/ Tìm các nghiệm trong khoảng
(
)
π
2;0 của phương trình: xx
x
xx
2cos2sin
2cos1
sin3sin
+=
−
−
15/ Giải phương trình.
(
)
3cossin3cos2 =+ xxx
16/ Giải phương trình.
(
)
(
)
xxxxx 2tantancos3cos3sin2
2
++=
17/ Giải phương trình.
12cos
3
1
4
cos
4
cos −=
−+
+ xxx
ππ
18/ Giải phương trình.
x
x
x
sin
2cos3
2cot4
+
=−
19/ Giải phương trình.
23cos2coscos6cos4cos2cos
+
=
+
+
xxxxxx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 4/32
20/ Giải phương trình.
(
)
5cossin222sin =+− xxx
21/ Giải phương trình.
2
4
3sin
4
3
cos22cos
2
=
−
+−
ππ
xxx
22/ Giải phương trình. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x –sinx = 0
23/ Giải phương trình.
xx
x
x
x 2sin
2
1
sin
tan
1
2cos
1cot
2
−+
+
=−
24/ Giải phương trình.
(
)
0
1
sin
2
33cos2cossin3sin2
=
−
−−+
x
xxxx
25/ Giaûi phöông trình.
8
1
3coscos3sinsin
33
=+ xxxx
26/ Giải phương trình
x
x
x
2
cos
2sin1
2tan1
2
−
=+
27/ Giải phương trình.
−−=− xx
x
4
cos232cos3
2
sin4
22
π
28/ Giải phương trình:
4
1
4cos4cossincos
22
=−− xxxx
29/ Giải phương trình.
xxxxx 6sin4cossin3cos2cos
=
−
−
+
30/ Tìm nghiệm trong khoảng
2
3
;
2
ππ
c
ủ
a ph
ươ
ng trình
xx
x
xx
2sin2cos
2cos1
sin3sin
+=
−
−
31/ Giải phương trình
23cos2coscos6cos4cos2cos
+
=
+
+
xxxxxx
32/ Giải phương trình:
( )
xxxx 3cot2
2
5
sin2sin5cos2
+=+−
π
π
33/ Giải phương trình:
( )
+=++
4
2cos322sin13cos3cos2
2
π
xxxx
34/ Giải phương trình:
( )
xxxxx
4sin
2
2
2sin2cossinsin2
2
−=+
35/ Giải phương trình:
0cos2cossin2
3
=+− xxx
36
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos3
4
coscos2
2
=++
−
π
37
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
02cos3sin
4
2sin2 =+−−
+ xxx
π
38
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
++=+
+
122
sin20cossin3216
2
17
2sin
2
ππ
x
xxx
39
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
2cos2cossin2sin3 =−++ xxxx
40/ Giải phương trình:
xxx cottan
6
2cos4 +=
−
π
41/ Giải phương trình:
1
4
sin244cos4sin −
+=+
π
xxx
42/ Giải phương trình:
++=+
4
sin22sincossin
33
π
xxxx
43/ Giải phương trình:
(
)
033cos2cossin3sin2 =−−+ xxxx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 5/32
44/ Giải phương trình:
(
)
01sin41sincos2sin4
3
=+−−− xxxx
45/Giải phương trình:
−=−+
3
2cos44sin32sin2
2
π
xxx
46/ Giải phương trình:
−=−+
24
cos2sin
2
cossin
2
sin1
22
x
x
x
x
x
π
47/ Giải phương trình:
1
3
sin
3
3sincos24cos
2
=
−+
−++
ππ
xxxx
48/ Giải phương trình:
xx
x
x
x
x
cottan
sin
2cos
cos
2sin
−=+
49/ Giải phương trình:
2cossin3
4
2cos2 ++=
− xxx
π
50/ Giải phương trình.
( )
x
x
xxx
cos
1sin2
cos1tancos1
−
++=+
51/ Giải phương trình:
xxxxxxx cossin2coscossincos2sin
+
+
=
+
52/ Tìm nghiệm
∈
2
;0
π
x
của phương trình:
1
3
sin
3
3sincos24cos
2
=
−+
−++
ππ
xxxx
53/ Giải phương trình:
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos3
4
coscos2
2
=++
−
π
54/ Giải phương trình :
x
xx
x
xx
x
cos
3
cos
6
sin
2
tansincos
cos
1
2
−+
−
=
+−
ππ
55/ Giải phương trình:
(
)
1sin3coscossin3cos2 +−=+ xxxxx
56/ Giải phương trình:
(
)
( )( )
3
sin1sin21
cossin21
=
−+
−
xx
xx
57/ Tìm nghiệm
(
)
π
;0∈x
của phương trình:
−+=−
4
3
cos212cos3
2
sin4
22
π
xx
x
58/ Giải phương trình:
(
)
2cos3sin3sin =+ xxx
59/ Giải phương trình:
( )( )
xx
x
xxx
sin1cos12
1
cos
2sincos2cos2
3
−+=
−
−−
60/ Giải phương trình:
(
)
1
cot
sincos2
2
cot
tan
1
−
−
=
+
x
xx
x
x
61/ Giải phương trình:
x
x
xx
x
xxx
2cot
2
2cos1
2cos2cot
2
cos
1
2sincossin
22
244
+
+
=−
−
++
62/ Giải phương trình:
(
)
xxx 5cos23coscos +=+
π
63/ Giải phương trình :
32tan
24
tan.
sin
cossin1
2
2
+=
−
−+
x
x
x
xx
π
64
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
0tan2sin
2
1
sin3
2
=−+ xxx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 6/32
65
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xxxx 2cot4cottan
6
sin8 =++
+
π
66
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xx
xx
2sin
2
1
cos2
2
cos
2
sin3
33
+=
−
67
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
01cossin2sinsin2
2
=−++− xxxx
68/
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
( )
1
sin
cos2
cos
3
tan1sin2
−
+=−
x
x
x
xx
69/ Giải phương trình :
( )
xxx sin1
2
1
3
2
cos
3
cos
22
+=
++
+
ππ
70/ Giải phương trình:
01sin4
6
2sin2 =++
− xx
π
71/ Giải phương trình: 4sin3x + sin5x –2sinxcos2x = 0
72/ Giải phương trình: 32sin2cos34cos26cos2 +=−+ xxxx
73/ Giải phương trình:
xxxx 2cot
4
sin4tan2cos32
2
+
−=−
π
74/ Giải phương trình: 32tan
24
tan
sin
cossin1
2
2
+=
−
−+
x
x
x
xx
π
75/ Giải phương trình:
( ) ( )
+−
+−−=−
4
2sin
4
2cos1sin41sin22
ππ
xxxx
76/ Giải phương trình:
x
xxx
2
sin
1
2sin22cottan2 +=+
77/ Giải phương trình:
1
cos
2
1
6cos3sin35
3
sinsin4
=
−
+++
+
x
xxxx
π
78/ Giải phương trình:
( )
xxxx 2sin4sin
6
1
tan2tan +=+
79/ Giải phương trình:
( )
x
x
xxx tan
cos
1
cos2sin23sin =
−−
80/ Giải phương trình:
+=−
−
3
2cos59
6
5
sin4
ππ
xx
81/ Giải phương trình:
3
1
2
sin
2
cos
2
4sin2cos
2
=
−
+
−
x
x
xx
82/ Giải phương trình:
+=+
3
sin324sincos3sin2coscos4
2
π
xxxxxx
83/ Giải phương trình:
0
2
3
3cos
3
sin8
3
=
−−
+
ππ
xx
84/ Giải phương trình:
(
)
( )
x
x
x
xx
sin12
cos
sin
1coscos
2
+=
+
−
85/ Giải phương trình:
03
2
3
cos
3
sin8
3
=
−−
+ xx
ππ
86/ Giải phương trình:
(
)
xxxxx 4cos1cossin42cos24sin +=+++
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 7/32
87/ Giải phương trình:
( )
xx
x
x
xxx cossin
cos
3sin
tan2cos2sin +=+−
88/ Giải phương trình:
xxx
22
sin3cos4cos +=
89/ Giải phương trình:
4cos3sin10
2
cos42sin3
2
−+=
++ xxxx
π
90/ Giải phương trình:
1sin
12
5
cos22 =
− xx
π
91/ Giải phương trình: 2sin
2
x –sin2x + sinx + cosx –1 = 0
92/ Giải phương trình: 2cos
3
x + cos2x + 4sinx –3 = 0
93/ Giải phương trình:
1
4
sin244cos4sin −
+=+
π
xxx
94/ Giải phương trình:
x
x
xx
2
2
4
tan1
tan1
24sin
4
cos8
+
−
=+
+
π
95/ Giải phương trình: xxx tan2sin
2
1
sin3
2
=+
96/ Giải phương trình:
x
xxx
2
sin
1
2sin22cottan2 +=+
97/ Giải phương trình:
042cossin222sin2 =+−+ xxx
98/ Giải phương trình:
4
sincos3
2
cos2
4
cossin
2
x
x
xx
x −=+
99/ Giải phương trình:
1cos.2cos
=
xx
Hướng dẫn giải
1/ Giải phương trình: sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx
Giải.
Sin2x.cosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx ⇔ sinx(1 + cos2x) + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx
⇔ cos2x(sinx –1) + cosx(sinx –1) = 0 ⇔ (sinx –1)(2cos
2
x + cosx –1) = 0
2/ Giải phương trình:
2cossin3
4
2sin2 ++=
+ xxx
π
Gi
ả
i
2cossin3
4
2sin2 ++=
+ xxx
π
⇔
2cossin32cos2sin
+
+
=
+
xxxx
⇔
2cossin31cos2cossin2
2
++=−+ xxxxx
⇔
(
)
03cos2cos3cos23cos2sin
2
=−+−+− xxxxx
⇔
(
)
(
)
01cossin3cos2 =++− xxx
⇔
−=
+
−=
2
1
4
sin
2
3
cos
π
x
x
3
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
32sin2cos34cos26cos2 +=−+ xxxx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 8/32
Gi
ả
i
32sin2cos34cos26cos2 +=−+ xxxx ⇔
(
)
3cossin21cos23cos5cos4
2
+=−− xxxxx
⇔
xxxxx cossin2cos32cos5cos4
2
=−
⇔
(
)
0sincos35cos2cos2 =−− xxxx
⇔
+=
=
xxx
x
sincos35cos2
0cos
⇔
−=
=
6
cos5cos
0cos
π
xx
x
4
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: cos2x + cos3x –sinx – cos4x = sin6x
Gi
ả
i.
cos2x + cos3x –sinx – cos4x = sin6x ⇔ 2sin3xsinx + cos3x –sinx –2sin3xcos3x = 0 ⇔
sinx(2sin3x –1) – cos3x(2sin3x –1) = 0 ⇔ (2sin3x –1)(sinx – cos3x) = 0 ⇔
−=
=
xx
x
3
2
sinsin
2
1
3sin
π
5
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xxx cottan
6
2cos4 +=
−
π
Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
02sin
≠
x
xxx cottan
6
2cos4 +=
−
π
⇔
(
)
x
xx
2
sin
2
2sin2cos32 =+
⇔
2
1
4cos
2
1
2
3
.4sin =− xx
6/ Giải phương trình:
xxxx 2cot
4
sin4tan2cos32
2
+
−=−
π
Giải
Điều kiện.
02sin
≠
x
xxxx 2cot
4
sin4tan2cos32
2
+
−=−
π
⇔
xxxx 2cottan
2
2cos122cos32 ++
−−=
π
⇔
x
x
x
xx
2
sin
cos
cos
2sin222cos32 +−=
⇔
12sin22sin22cos2sin32
2
+−= xxxx
⇔
xxx 2sin24cos4sin3 =+
7/ Giải phương trình
( )
5cos1sin82
2
3
cos
2
5
cos4 =−+ xx
xx
Giải
( )
5cos1sin82
2
3
cos
2
5
cos4 =−+ xx
xx
⇔
(
)
5cos22sin8cos4cos2 =−++ xxxx
⇔
(
)
52sin82sin212
2
=+− xx ⇔
032sin82sin4
2
=+− xx
8
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
1sin
12
5
cos22 =
− xx
π
Gi
ả
i
1sin
12
5
cos22 =
− xx
π
⇔
1
12
5
sin
12
5
2sin2 =
+
−
ππ
x
⇔
12
5
sin
4
sin
12
5
2sin
πππ
−=
−x
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 9/32
−=
−=−
12
sin
12
sin
3
cos2
12
5
sin
4
sin
πππππ
−=
−
12
sin
12
5
2sin
ππ
x
9
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: sin3x –3sin2x – cos2x + 3sinx + 3cosx –2 = 0
Gi
ả
i
sin3x +sinx –3sin2x – cos2x + 2sinx + 3cosx –2 = 0 ⇔
2sin2xcosx –2sin2x –2cos
2
x – sin2x +2sinx + 3cosx –1 = 0 ⇔
2sin2x(cosx –1) –(cosx –1)(2cosx –1) – 2sinx(cosx –1) = 0 ⇔
(
)
(
)
[
]
01cossin22sin21cos =++−− xxxx
⇔
( )
[ ]
( )
=++−−+
=
01cossin21cossin2
1cos
2
xxxx
x
⇔
( ) ( )
=−+−+
=
01cossin2cossin2
1cos
2
xxxx
x
10
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
2
3
2
cos
3
coscos34
3
sin
3
sinsin4 =
+
+−
−
+
ππππ
xxxxxx
Gi
ả
i
2
3
2
cos
3
coscos34
3
sin
3
sinsin4 =
+
+−
−
+
ππππ
xxxxxx
⇔
( )
2
3
cos2coscos32
3
2
cos2cossin2 =
++−
−
π
π
π
xxxx
⇔
2cos32coscos32sin2cossin2 =−++ xxxxxx ⇔
(
)
2cos3cos3cos3sinsin3sin =−+++− xxxxxx
⇔ 23cos33sin =+ xx ⇔
1
3
3sin =
+
π
x
11
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình.
(
)
xxxxx sin3cos31cossin32sin2
2
+=++
Gi
ả
i
(
)
xxxxx sin3cos31cossin32sin2
2
+=++
⇔
(
)
xxxx sin3cos322cos2sin3 +=+−
⇔
+=+− xxxx cos
2
1
2
3
sin312cos
2
1
2
3
2sin
⇔
+=+
−
6
sin31
6
2sin
ππ
xx
⇔
−=+
− xx
3
cos31
3
2
2cos
ππ
⇔
−=
−
3
cos3
3
cos2
2
ππ
xx
⇔
( )
=
−
=
−
lx
x
2
3
3
cos
0
3
cos
π
π
12
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình.
(
)
xxxxx 3cos3sin32cos
4
coscos2
2
=++
−
π
Gi
ả
i
(
)
xxxxx 3cos3sin32cos
4
coscos2
2
=++
−
π
⇔
(
)
(
)
xxxxx 3cos3sin32cos2sin1cos =+++
⇔
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 10/32
xxxxxxx 3cos3sin2coscos2sinsin3cos =+++ ⇔ xxxx 3sin3cos3sin3cos −=+ ⇔
xxxx 3sin
2
1
2
3
3cossin
2
3
2
1
cos −=+
⇔
+=
−
6
3cos
3
cos
ππ
xx
13
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình. 2sin2x –cos2x = 7sinx + 2cosx –4
Gi
ả
i
2sin2x –cos2x = 7sinx + 2cosx – 4 ⇔ 4sinxcosx –(1 –2sin
2
x) = 7sinx + 2cosx –4 ⇔
2cosx(2sinx –1) + 2sin
2
x –7sinx + 3 = 0 ⇔ 2cosx(2sinx –1) + (2sinx –1)(sinx –3) = 0 ⇔
(2sinx –1)(2cosx +sinx –3) = 0 ⇔
( )
=−+
=
vnxx
x
03cos2sin
2
1
sin
14
/ Tìm các nghi
ệ
m trong kho
ả
ng
(
)
π
2;0
ph
ươ
ng trình:
xx
x
xx
2cos2sin
2cos1
sin3sin
+=
−
−
Giải
xx
x
xx
2cos2sin
2cos1
sin3sin
+=
−
−
⇔
xx
x
xx
2cos2sin
sin2
sin2cos2
+=
⇔
−=
4
2cos
sin
sin2cos
π
x
x
xx
• Xét
(
)
π
;0∈x
• Xét
(
)
ππ
2;∈x
15/ Giải phương trình.
(
)
3cossin3cos2 =+ xxx
Giải
(
)
3cossin3cos2 =+ xxx
⇔
22cos2sin3 =+ xx
⇔
12cos
2
1
2
3
2sin =+ xx
16/ Giải phương trình.
(
)
(
)
xxxxx 2tantancos3cos3sin2
2
++=
Giải
Điều kiện:
0cos
≠
x
và
02cos
≠
x
(
)
(
)
xxxxx 2tantancos3cos3sin2
2
++= ⇔
x
x
xxxx
xxx
2
cos
cos
cos2sin2cossin
cos2cos23sin2
2
22
+
=
⇔
xxxxxx
22
cos2sin2cossincos3sin +=
⇔
(
)
xxxxxxxxx
22
cos2sin2cossincossin2coscos2sin +=+ ⇔
xxxxxxxxx
222
cos2sin2cossinsincos2coscos2sin +=+
⇔
xxx
2
sinsincos =
⇔
( )
=
=
lxx
x
sincos
0sin
17/ Giải phương trình.
12cos
3
1
4
cos
4
cos −=
−+
+ xxx
ππ
Giải
12cos
3
1
4
cos
4
cos −=
−+
+ xxx
ππ
⇔
(
)
11cos2
3
1
4
cos.cos2
2
−−= xx
π
⇔
4
cos
2
cos
2
3
2
−=
x
x
18/ Giải phương trình.
x
x
x
sin
2cos3
2cot4
+
=−
Giải
Điều kiện:sinx ≠ 0
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 11/32
xxx 2cos3sin2cos4
+
=
−
⇔
(
)
(
)
(
)
xxxxxxxx sincossincos3sincossincos3 +−+=++−
(
)
(
)
(
)
03sincossincossincossincos3 =−+++−−− xxxxxxxx
⇔
(
)
(
)
[
]
03sincossincos3sincos =−+++−− xxxxxx ⇔
(
)
(
)
01sincos3sincos =−−−+ xxxx
19/ Giải phương trình.
23cos2coscos6cos4cos2cos
+
=
+
+
xxxxxx
Giải
23cos2coscos6cos4cos2cos
+
=
+
+
xxxxxx
⇔
(
)
43coscos3cos6cos24cos22cos2 ++=++ xxxxxx
⇔
4cos3cos3cos6cos24cos22cos2
2
++=++ xxxxxx
⇔
82cos4cos6cos16cos44cos42cos4
+
+
+
+
=
+
+
xxxxxx
⇔
96cos34cos32cos3
=
+
+
xxx
⇔
33sin212sin21sin21
222
=−+−+− xxx
⇔
03sin2sinsin
222
=++ xxx
⇔
=
=
=
0sin
02sin
03sin
x
x
x
20/ Giải phương trình.
(
)
5cossin222sin =+− xxx
Giải
(
)
5cossin222sin =+− xxx
⇔
(
)
(
)
06cossin22cossin
2
=−+−+ xxxx
⇔
−=+
=+
2cossin
23cossin
xx
xx
21/ Giải phương trình.
2
4
3sin
4
3
cos22cos
2
=
−
+−
ππ
xxx
Giải
2
4
3sin
4
3
cos22cos
2
=
−
+−
ππ
xxx
⇔
( )
22sin
2
4sin2cos
2
=−−
+−
π
π
xxx
⇔
22sin4cos2cos
2
=+− xxx
⇔
(
)
22sin2sin212sin1
22
=+−−− xxx
22/ Giải phương trình. (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x –sinx = 0
Giải
(sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x –sinx = 0 ⇔
(
)
0sincossin22cos2cos
2
=−++ xxxxx
⇔
(
)
(
)
01cos2sin2cos2cos
2
=−++ xxxx
⇔
(
)
02cossin2cos =++ xxx
23/ Giải phương trình.
xx
x
x
x 2sin
2
1
sin
tan
1
2cos
1cot
2
−+
+
=−
Giải
Điều kiện: sinx ≠ 0 , cosx ≠ 0 và tanx ≠ –1
xx
x
x
x 2sin
2
1
sin
tan
1
2cos
1cot
2
−+
+
=−
⇔
xx
x
x
xx
x
xx
2sin
2
1
sin
sin
cos
cos2cos
sin
sincos
2
−+
+
=
−
⇔
( )
xxxxx
x
xx
2sin
2
1
sincossincos
sin
sincos
2
−+−=
−
⇔
xx
x
xx
2sin
2
1
2sin
2
1
1
sin
sincos
−−=
−
⇔
(
)
xxxx 2sin1sinsincos −=−
⇔
(
)
2
sincossinsincos xxxxx −=−
⇔
(
)
(
)
0sincossin1sincos
2
=−−− xxxxx
⇔
=
−
−−
=−
0
2
2cos1
2sin
2
1
1
0sincos
x
x
xx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 12/32
24/ Giải phương trình.
(
)
0
1
sin
2
33cos2cossin3sin2
=
−
−−+
x
xxxx
Giải
Điều kiện:
2
1
sin ≠x
(
)
0
1
sin
2
33cos2cossin3sin2
=
−
−−+
x
xxxx
⇔
(
)
033cos22sin2cos13 =−−+− xxx
⇔
xxx 3cos22cos32sin =−
⇔
−=
− xx 3
2
sin
3
2sin
ππ
25/ Giải phương trình.
8
1
3coscos3sinsin
33
=+ xxxx
Giải
8
1
3coscos3sinsin
33
=+ xxxx
⇔
8
1
cos3coscossin3sinsin
22
=+ xxxxxx
⇔
( ) ( )
4
1
2cos4cos
2
2cos1
4cos2cos
2
2cos1
=+
+
+−
−
xx
x
xx
x
⇔
2
1
2cos2cos4cos2cos4cos2cos4cos2cos4cos2cos
22
=+++++−− xxxxxxxxxx
⇔
2
1
2cos22cos4cos2 =+ xxx
⇔
(
)
2
1
2cos22cos12cos22
2
=+− xxx
⇔
8
1
2cos
3
=x
26/ Giải phương trình.
x
x
x
2
cos
2sin1
2tan1
2
−
=+
Giải
Điều kiện: cos2x ≠ 0
x
x
x
2
cos
2sin1
2tan1
2
−
=+
⇔
xxxx 2sin12cos2sin2cos
2
−=+
⇔
xxxx 2sin2cos2sin2sin
2
−=+−
⇔
(
)
012cos2sin2sin =−+ xxx
27/ Giải phương trình.
−−=− xx
x
4
cos232cos3
2
sin4
22
π
Giải
−−=− xx
x
4
cos232cos3
2
sin4
22
π
⇔
( )
−−−=−− xxx 2
2
cos132cos3cos12
π
⇔
xxx cos22cos32sin =−
⇔
−=
− xx
2
sin
6
2sin
ππ
28/ Giải phương trình: cos
2
x –sinxcos4x –cos
2
4x =
4
1
.
cos
2
x –sinxcos4x –cos
2
4x =
4
1
⇔
2
1
8cos13sin5sin2cos1 =−−+−+ xxxx
⇔
018cos23sin25sin22cos2
=
−
−
+
−
xxxx
⇔
(
)
013sin25sin22cos8cos2 =+−+− xxxx
⇔
03sin215sin23sin5sin4
=
−
+
+
−
xxxx
⇔
(
)
03sin213sin215sin2 =−+− xxx
⇔
(
)
(
)
015sin23sin21 =−− xx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 13/32
ĐS:
3
2
18
π
π
k+ ;
5
2
30
7
π
π
k+ ;
5
2
30
π
π
k+− ;
3
2
18
5
π
π
k+
29/ Giải phương trình.
xxxxx 6sin4cossin3cos2cos
=
−
−
+
xxxxx 6sin4cossin3cos2cos
=
−
−
+
⇔
03cos3sin23cossin4cos2cos
=
−
+
−
−
xxxxxx
⇔
(
)
03sin213cossinsin3sin2 =−+− xxxxx ⇔
(
)
(
)
03sin213cos13sin2sin =−+− xxxx
⇔
( )
03cos
2
cos13sin2 =
+
−− xxx
π
⇔
+=
=
xx
x
2
cos3cos
2
1
3sin
π
30/ Tìm nghiệm trong khoảng
2
3
;
2
ππ
của phương trình
xx
x
xx
2sin2cos
2cos1
sin3sin
+=
−
−
Điều kiện:
π
kx
≠
xx
x
xx
2sin2cos
2cos1
sin3sin
+=
−
−
⇔
−= x
x
xx
2
4
cos2
sin2
sin2cos2
π
•
∈
π
π
;
2
x
phương trình trở thành
−= xx 2
4
cos2cos
π
•
∈
2
3
;
π
π
x
phương trình trở thành
−−= xx 2
4
cos2cos
π
⇔
−=
4
3
2cos2cos
π
xx
31/ Giải phương trình
23cos2coscos6cos4cos2cos
+
=
+
+
xxxxxx
23cos2coscos6cos4cos2cos
+
=
+
+
xxxxxx
⇔
( )
22cos2cos4cos
2
1
6cos4cos2cos ++=++ xxxxxx
⇔
42cos2cos4cos6cos24cos22cos2
2
++=++ xxxxxx
⇔
84cos12cos6cos6cos44cos42cos4
+
+
+
+
=
+
+
xxxxxx
⇔
94cos32cos36cos3
=
+
+
xxx
⇔
34cos2cos6cos
=
+
+
xxx
⇔
0sin2sin3sin
222
=++ xxx
32/ Giải phương trình:
( )
xxxx 3cot2
2
5
sin2sin5cos2
+=+−
π
π
Điều kiện:
3
π
k
x ≠
( )
xxxx 3cot2
2
5
sin2sin5cos2
+=+−
π
π
⇔
x
x
xxx
3
sin
3cos
2cos2sin5cos2 =+
⇔
xxxxxx 3cos2cos2sin3sin5cos3sin2 =+
⇔
05cos5cos3sin2 =− xxx
⇔
(
)
013sin25cos =−xx
33/ Giải phương trình:
( )
+=++
4
2cos322sin13cos3cos2
2
π
xxxx
( )
+=++
4
2cos322sin13cos3cos2
2
π
xxxx
⇔
( )
++=+++
2
4cos132sin132cos4cos
π
xxxx
⇔
(
)
(
)
xxxx 4sin132sin132cos4cos −=+++
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 14/32
⇔
02sin32cos4sin34cos =+++ xxxx
⇔
0
6
2cos
6
4cos =
++
+
ππ
xx
⇔
0cos
6
3cos2 =
+ xx
π
34/ Giải phương trình:
( )
xxxxx 4sin
2
2
2sin2cossinsin2
2
−=+
( )
xxxxx 4sin
2
2
2sin2cossinsin2
2
−=+
⇔
(
)
(
)
xxxxx 2cos12sin2cossinsin2
2
−=+
⇔
(
)
xxxxx
22
sin2sin22cossinsin2 =+
⇔
(
)
02sin2cossinsin2
2
=++ xxxx
⇔ 02sin
4
sinsin
2
=
+
+ xxx
π
35/ Giải phương trình:
0cos2cossin2
3
=+− xxx
0cos2cossin2
3
=+− xxx
⇔
0cos1sin2sin2
23
=+−+ xxx
⇔
(
)
(
)
(
)
0cos1sin1cos12
2
=−−+− xxx
⇔
(
)
(
)
0cossin2cos2sin21cos1 =+++− xxxxx
⇔
(
)
(
)
(
)
[
]
0cossincossin2cos1
2
=+++− xxxxx
⇔
(
)
(
)
(
)
0cossin2cossincos1 =+++− xxxxx
36/ Giải phương trình
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos3
4
coscos2
2
=++
−
π
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos3
4
coscos2
2
=++
−
π
⇔
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos3
2
2cos1cos =++
−+
π
⇔
(
)
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos32sin1cos =+++
⇔
(
)
xxxxxxx 3cos3sin3sin2coscos2sincos =+++
⇔
xxxx 3sin3cos3sin3cos −=+
⇔
+=
−
6
3cos
3
cos
ππ
xx
37/ Giải phương trình
02cos3sin
4
2sin2 =+−−
+ xxx
π
02cos3sin
4
2sin2 =+−−
+ xxx
π
⇔
02cos3sin2cos2sin
=
+
−
−
+
xxxx
⇔
01cos3cos2sincossin2
2
=+−+− xxxxx
⇔
(
)
(
)
(
)
01cos21cos1cos2sin =−−+− xxxx ⇔
(
)
(
)
01cossin1cos2 =−+− xxx
⇔
=
+
=
2
1
4
sin
2
1
cos
π
x
x
38/ Giải phương trình
++=+
+
122
sin20cossin3216
2
17
2sin
2
ππ
x
xxx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 15/32
++=+
+
122
sin20cossin3216
2
17
2sin
2
ππ
x
xxx
⇔
+−+=+
6
cos1102sin3162cos
π
xxx
⇔
+−=+−
6
cos110162sin32cos
π
xxx
⇔
+−=+
+
6
cos558
3
2cos
ππ
xx
⇔
+−=+
+
6
cos557
6
cos2
2
ππ
xx
⇔
02
6
cos5
6
cos2
2
=+
+−
+
ππ
xx
⇔
=
+
=
+
2
1
6
cos
2
6
cos
π
π
x
x
39 /Giải phương trình:
(
)
2cos2cossin2sin3 =−++ xxxx
Giải
(
)
2cos2cossin2sin3 =−++ xxxx
⇔
2cossin32cos2sin3 =−++ xxxx
⇔
1cos
2
1
2
3
sin2cos
2
1
2
3
2sin =−++ xxxx
⇔
1
6
sin
6
2sin =
−+
+
ππ
xx
⇔
1
6
sin2
3
cos =
−+
−
ππ
xx
⇔
1
6
sin
3
2cos =
−+
−
ππ
xx
⇔
1
6
sin
6
sin21
2
=
−+
−−
ππ
xx
⇔
0
6
sin
6
sin2
2
=
−−
−
ππ
xx
⇔
=
−
=
−
2
1
6
sin
0
6
sin
π
π
x
x
40/ Giải phương trình:
xxx cottan
6
2cos4 +=
−
π
Giải
Điều kiện:
2
02sin
π
kxx ≠⇔≠
xxx cottan
6
2cos4 +=
−
π
⇔
x
xx
2sin
2
6
sin2sin
6
cos2cos4 =
+
ππ
⇔
x
xx
2
sin
2
2sin22cos3 =+
⇔
x
x
2
sin
2
22cot3
2
=+
⇔
xx 2cot2222cot3
2
+=+
⇔
=
=
32cot
02cot
x
x
⇔
+=
+=
212
24
ππ
ππ
kx
kx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 16/32
41/ Giải phương trình:
1
4
sin244cos4sin −
+=+
π
xxx
Giải.
1
4
sin244cos4sin −
+=+
π
xxx
⇔
1
4
sin2412cos22cos2sin2
2
−
+=−+
π
xxxx
⇔
+=+
4
sin222cos2cos2sin
2
π
xxxx
⇔
( )
+=+
4
sin222cos2sin2cos
π
xxxx
⇔
( )( )
+=
++−
4
sin22
4
2sin2sincossincos
ππ
xxxxxx
⇔
+=
+
+
+
4
sin22
4
2sin2
4
sin2
4
cos2
ππππ
xxxx
⇔
+=
+
+
+
4
sin
4
2sin
4
sin
4
cos
ππππ
xxxx
⇔ 01
4
2sin
4
cos
4
cos =
−
+
+
+
πππ
xxx ⇔
( )
=
+
+
=
+
11
4
2sin
4
cos
0
4
cos
ππ
π
xx
x
( )
−=
+
−=
+
=
+
=
+
⇔
1
4
cos
1
4
2sin
1
4
cos
1
4
2sin
1
π
π
π
π
x
x
x
x
+=
−=
++
+−=
=
++−
⇔
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
2
4
3
1
4
4
2
3
sin
2
4
1
4
4
2
sin
kx
k
kx
k
( )
vn
kx
kx
+=
−=
+−=
=
−
⇔
π
π
π
π
π
π
2
4
3
1
4
7
sin
2
4
1
4
sin
Vậy phương trình đã cho có nghiệm:
π
π
2
4
kx +=
42/ Giải phương trình:
++=+
4
sin22sincossin
33
π
xxxx
Giải
xxxxx cossin2sincossin
33
++=+
⇔
0coscossinsin2sin
33
=−+−+ xxxxx
⇔
0sincoscossin2sin
22
=++ xxxxx
⇔
0sin2sincos2sin2sin2
=
+
+
xxxxx
⇔
(
)
02cossin2sin =++ xxx ⇔ 02
4
sin22sin =
+
+
π
xx ⇔
( )
−=
+
=
vnx
x
2
4
sin
02sin
π
⇔
2
π
kx =
43/ Giải phương trình:
(
)
033cos2cossin3sin2 =−−+ xxxx
Giải
(
)
033cos2cossin3sin2 =−−+ xxxx
⇔
033cos22sinsin32
2
=−−+ xxx
⇔
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 17/32
(
)
033cos22sin2cos13 =−−+− xxx
⇔ xxx 3cos22cos32sin =− ⇔
xxx 3cos2cos
2
3
2
1
2sin =− ⇔
−=
+ xx 3
2
sin
3
2sin
ππ
⇔
++=+
+−=+
π
ππ
π
ππ
23
23
2
23
23
2
kxx
kxx
⇔
+−=
+=
π
π
ππ
2
6
5
2
30
kx
k
x
44/ Giải phương trình:
(
)
01sin41sincos2sin4
3
=+−−− xxxx
Giải
(
)
01sin41sincos2sin4
3
=+−−− xxxx
⇔
(
)
01cos2cossin2sin1sin4
2
=++−−− xxxxx
⇔
01cos22sincossin4
2
=++−− xxxx
⇔
01cos22sincos2sin2
=
+
+
−
−
xxxx
⇔
(
)
01cos21cos22sin =+++− xxx ⇔
(
)
(
)
02sin11cos2 =−+ xx
45/ Giải phương trình:
−=−+
3
2cos44sin32sin2
2
π
xxx
Giải
−=−+
3
2cos44sin32sin2
2
π
xxx
⇔
−=−++
3
2cos52cos2cos2sin322sin3
22
π
xxxxx
⇔
(
)
05
3
2cos2cos2sin3
2
=−
−−+
π
xxx
⇔
05
3
2cos2sin
2
3
2
1
2cos4
2
=−
−−
+
π
xxx
⇔
05
3
2cos
3
2cos4
2
=−
−−
−
ππ
xx
⇔
( )
=
−
−=
−
vnx
x
4
5
3
2cos
1
3
2cos
π
π
⇔
π
π
kx +=
3
2
46/ Giải phương trình:
−=−+
24
cos2sin
2
cossin
2
sin1
22
x
x
x
x
x
π
−=−+
24
cos2sin
2
cossin
2
sin1
22
x
x
x
x
x
π
⇔
−+=−+ xx
x
x
x
2
cos1sin
2
cossin
2
sin1
2
π
⇔
xx
x
x
x
sinsin
2
cossin
2
sin
2
=−
⇔
01
2
cos
2
sin2
2
sinsin
2
=
−−
xxx
x
⇔ 011
2
cos2
2
sinsin
2
=
−
−−
xx
x ⇔ 01
2
sin21
2
sinsin
2
=
−
−−
xx
x
⇔
01
2
sin
2
sin2sin
3
=
−−
xx
x
47/ Giải phương trình:
1
3
sin
3
3sincos24cos
2
=
−+
−++
ππ
xxxx
1
3
sin
3
3sincos4cos
2
=
−+
−++
ππ
xxxx
⇔
0cos
3
2sin22cos4cos =
−++ xxxx
π
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 18/32
0cos
3
2sin2cos3cos2 =
−+ xxxx
π
⇔
−=
−
=
3
2sin3
2
sin
0cos
ππ
xx
x
48/ Giải phương trình: xx
x
x
x
x
cottan
sin
2cos
cos
2sin
−=+
Giải.
Điều kiện: sinxcosx ≠ 0
xx
x
x
x
x
cottan
sin
2cos
cos
2sin
−=+ ⇔
xxxxxx
22
cossin2coscos2sinsin −=+
⇔
(
)
=
−=
⇔=−−
2
1
cos
1cos
01coscos2
2
x
lx
xx ⇔
π
π
2
3
kx +±=
49/ Giải phương trình:
2cossin3
4
2cos2 ++=
− xxx
π
Giải
2cossin3
4
2cos2 ++=
− xxx
π
⇔
2cossin32sin2cos
+
+
=
−
xxxx
⇔
2cossin3cossin21cos2
2
++=−− xxxxx
⇔
0sin3cossin23coscos2
2
=−−−− xxxxx
( ) ( )
03cos2sin
2
3
cos1cos2 =+−
++⇔ xxxx
⇔
(
)
(
)
01cos3cos2 =++ xx
⇔
1cos
−
=
x
⇔
π
π
2kx
+
=
50/ Giải phương trình.
( )
x
x
xxx
cos
1sin2
cos1tancos1
−
++=+
Giải. Điều kiện:
π
π
kx +≠
2
( )
x
x
xxx
cos
1sin2
cos1tancos1
−
++=+
⇔
(
)
1sin2coscossincos1
2
−++=+ xxxxx
⇔
xxxxxx sin2sincoscossinsin
2
+−=+
⇔
xxxxx sinsincoscossin
2
+−=−
⇔
(
)
(
)
01sinsin1sincos =−+− xxxx ⇔
(
)
(
)
0sincos1sin =+− xxx
⇔
(
)
π
π
kx
x
lx
+−=⇔
−=
=
4
1tan
1sin
51/ Giải phương trình:
xxxxxxx cossin2coscossincos.2sin
+
+
=
+
Giải
xxxxxxx cossin2coscossincos2sin
+
+
=
+
⇔
xxxxxxx cossin1cos2cossincossin2
22
++−=+
⇔
(
)
(
)
xxxxxx sin11cos2cos1cos2cossin +−+=+
⇔
(
)
(
)
0sin11cos2cos1cos2cossin =−++−+ xxxxxx
⇔
(
)
(
)
(
)
01sin1sin1cos2cos =−−−+ xxxx
⇔
(
)
(
)
01coscos21sin
2
=−+− xxx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 19/32
⇔
=
−=
=
2
1
cos
1cos
1sin
x
x
x
52/ Tìm nghiệm
∈
2
;0
π
x
của phương trình:
1
3
sin
3
3sincos24cos
2
=
−+
−++
ππ
xxxx
Giải
1
3
sin
3
3sincos24cos
2
=
−+
−++
ππ
xxxx
⇔
0
3
sin
3
3sin2cos4cos =
−+
−++
ππ
xxxx
⇔
0cos
3
2sin2cos3cos2 =
−+ xxxx
π
⇔ 0
3
2sin3coscos2 =
−+
π
xxx
⇔
−=
−
=
xx
x
2
3
sin3
2
sin
0cos
ππ
⇔
++=−
+−=−
+=
π
ππ
π
ππ
π
π
22
6
3
2
22
3
3
2
2
kxx
kxx
kx
⇔
+=
+=
+=
5
2
15
2
6
2
ππ
π
π
π
π
k
x
kx
kx
V
ớ
i
π
π
2
2
kx +=
không t
ồ
n t
ạ
i k
V
ớ
i
π
π
2
6
kx +=
.
∈
2
;0
π
x
suy ra:
2
2
6
0
π
π
π
<+< k
⇔
6
1
12
1
<<− k
đượ
c k = 0 nghi
ệ
m
6
π
=x
V
ớ
i
5
2
15
π
π
k
x += .
∈
2
;0
π
x
suy ra:
2
5
2
15
0
π
π
π
<+<
k
⇔
151220
<
+
<
k
⇔
12
13
6
1
<<− k
Đượ
c
{
}
1;0∈k . Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có các nghi
ệ
m
53
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos3
4
coscos2
2
=++
−
π
Gi
ả
i
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos3
4
coscos2
2
=++
−
π
⇔
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos3
2
2cos1cos =++
−+
π
⇔
(
)
(
)
xxxxx 3cos3sin2cos32sin1cos =+++
⇔
xxxxxxx 3cos3sin3sin2coscos2sincos =+++
⇔
xxxx 3cos3sin33sincos =++
⇔
xxxx 3sin3cos3sin3cos −=+
⇔
xxxx 3sin
2
1
2
3
3cossin
2
3
2
1
cos −=+
⇔
+=
−
6
3cos
3
cos
ππ
xx
⇔
+−−=−
++=−
π
ππ
π
ππ
2
6
3
3
2
6
3
3
kxx
kxx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 20/32
54
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
x
xx
x
xx
x
cos
3
cos
6
sin
2
tansincos
cos
1
2
−+
−
=
+−
ππ
Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
x
xx
x
xx
x
cos
3
cos
6
sin
2
tansincos
cos
1
2
−+
−
=
+−
ππ
⇔
x
xx
x
x
xx
x
x
cos
3
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin2cos
cos
1
2
−+
−
=
+−
ππ
⇔
x
x
x
x
x
cos
2
cos
6
cos2
2
sin2cos
cos
1
2
2
−
=
+−
ππ
⇔
( )
x
x
xx
x
cos
sin3
cos1cos
cos
1
2
=−+−
⇔
x
x
x
cos
sin3
1
cos
1
2
=−
⇔
xx tan3tan
2
=
⇔
=
=
3tan
0tan
x
x
55/ Giải phương trình:
(
)
1sin3coscossin3cos2 +−=+ xxxxx
Giải
(
)
1sin3coscossin3cos2 +−=+ xxxxx
⇔
1sin3cos2sin3cos2
2
+−=+ xxxx
⇔
xxxx sin3cos2sin32cos −=+
⇔
+=
−
3
cos
3
2cos
ππ
xx
56/ Giải phương trình:
(
)
( )( )
3
sin1sin21
cossin21
=
−+
−
xx
xx
Giải
Điều kiện:
(
)
( )( )
3
sin1sin21
cossin21
=
−+
−
xx
xx
⇔
xxxx sin3cos2cos32sin −=+
57/ Tìm nghiệm
(
)
π
;0∈x của phương trình:
−+=−
4
3
cos212cos3
2
sin4
22
π
xx
x
Giải
−+=−
4
3
cos212cos3
2
sin4
22
π
xx
x
⇔
( )
−++=−−
2
3
2cos112cos3cos12
π
xxx
⇔
2
3
sin2sin
2
3
cos2cos22cos3cos22
π
π
xxxx ++=−−
⇔
xxx 2sin2cos3cos2 −=−−
⇔
xxx cos22cos32sin =−
⇔
xxx cos2cos
2
3
2
1
2sin =−
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 21/32
⇔
−=
− xx
2
sin
3
2sin
ππ
⇔
++=−
+−=−
π
ππ
π
ππ
2
23
2
2
23
2
kxx
kxx
⇔
+=
+=
π
π
ππ
2
6
5
3
2
18
5
kx
k
x
Với
3
2
18
5
π
π
k
x +=
⇒
π
π
π
<+<
3
2
18
5
0
k
⇔
18650
<
+
<
k
⇔
3
6
5
<<− k
Suy ra
{
}
2;1;0∈k suy ra nghiệm x
Với
π
π
2
6
5
kx +=
⇒
ππ
π
<+< 2
6
0 k
⇔
61210
<
+
<
k
⇔
2
1
1 <<− k
Suy ra k = 0 suy ra nghiệm x
58/ Giải phương trình:
(
)
2cos3sin3sin =+ xxx
Giải
(
)
2cos3sin3sin =+ xxx
⇔
4cos3sin3sin3sin =+ xxxx
⇔
22sin34sin34cos2cos =++− xxxx
⇔
24sin
2
3
2
1
4cos2sin
2
3
2
1
2cos =+−+ xxxx
⇔
−=
+
=
−
⇔=
+−
−
1
3
4cos
1
3
2cos
2
3
4cos
3
2cos
π
π
ππ
x
x
xx ⇔
−=
+
+=
1
3
4cos
2
3
2
π
π
π
x
kx
⇔
−=
++
+=
đúngk
kx
1
3
4
3
2
cos
2
3
2
π
π
π
π
π
nghiệm bất phương trình:
π
π
kx +=
6
59/Giải phương trình:
( )( )
xx
x
xxx
sin1cos12
1
cos
2sincos2cos2
3
++=
−
−−
⇔ sinx(1 + sinx)(cosx –sinx) = 0
Giải
Điều kiện
( )( )
xx
x
xxx
sin1cos12
1
cos
2sincos2cos2
3
−+=
−
−−
⇔
( )( )
xx
x
xxxx
sin1cos1
1
cos
cossincoscos
3
−+=
−
−−
⇔
(
)
(
)
(
)
(
)
xxxxxx sin1cos11cossin1coscos
2
−+−=−−
⇔
(
)
(
)
xxxxx sin1sinsinsincos
22
−=+
⇔
(
)
(
)
[
]
0sin1sin1sincossin =+−+ xxxxx ⇔
(
)
(
)
0sincossin1sin =−+ xxxx
60/ Giải phương trình:
(
)
1
cot
sincos2
2
cot
tan
1
−
−
=
+
x
xx
x
x
Giải
Điều kiện:
02cos2sincos.sin
≠
xxxx
và
1cot
≠
x
Ta có:
x
x
x
x
x
x
xxxx
x
x
x
x
xx
2
sin
1
cos
2
sin
cos
cos
2
sin
cos2cossin2sin
2
sin
2cos
cos
sin
2cottan ==
+
=+=+
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 22/32
x
xx
x
x
x
sin
sincos
1
sin
cos
1cot
−
=−=−
(
)
1
cot
sincos2
2
cot
tan
1
−
−
=
+
x
xx
x
x
⇔
xx sin22sin =
⇔
(
)
02cos2sin =−xx
⇔
(
)
=
=
2
2
cos
0sin
x
lx
⇔
( )
+−=
+=
π
π
π
π
2
4
2
4
kx
lkx
⇔
π
π
2
4
kx +−=
61/ Giải phương trình:
x
x
xx
x
xxx
2cot
2
2cos1
2cos2cot
2
cos
1
2sincossin
22
244
+
+
=−
−
++
Giải
Điều kiện:
2
02sin
π
kxx ≠⇔≠
x
x
xx
x
xxx
2cot
2
2cos1
2cos2cot
2
cos
1
2sincossin
22
244
+
+
=−
−
++
⇔
( )
( )
xx
x
x
x
2cos12cot
2
2cos1
2cos12
2sin2
2
2
++
+
=
−
+
⇔
( )
(
)
(
)
2
2cot212cos1
2cos12
2sin2
22
xx
x
x ++
=
−
+
⇔
(
)
xxx 2cot214sin2sin2
222
+=+ ⇔
x
x
xxxx
2
sin
2cos
2cos2sin84sin2sin2
2
2
2222
+=+
⇔
xxx 2cos84sin2sin2
422
+=+
62
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
(
)
xxx 5cos23coscos +=+
π
Gi
ả
i
(
)
xxx 5cos23coscos +=+
π
⇔
xxx 5cos23coscos
−
=
+
⇔
03cos5coscos5cos
=
+
+
+
xxxx
⇔
0cos4cos22cos3cos2
=
+
xxxx
⇔
(
)
0cos4cos2coscos3cos4
3
=+− xxxxx
⇔
(
)
[
]
(
)
0cos12cos22cos3cos4cos
22
=−+− xxxxx
⇔
(
)
[
]
(
)
0cos12cos22cos32cos12cos
2
=−+−+ xxxxx
⇔
[
]
012cos22cos32cos22cos2cos
22
=−+−+ xxxxx
⇔
=−−
=
012cos2cos4
0cos
2
xx
x
63/ Giải phương trình : 32tan
24
tan.
sin
cossin1
2
2
+=
−
−+
x
x
x
xx
π
Giải
Điều kiện
32tan
24
tan.
sin
cossin1
2
2
+=
−
−+
x
x
x
xx
π
⇔
32tan
24
cos
24
sin
.
sin
sinsin
2
2
+=
−
−
+
x
x
x
x
xx
π
π
⇔
32tan
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
.
sin
sin1
+=
+
−
+
− x
xx
xx
x
x
⇔
32tan
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
.
sin
2
sin
2
cos
2
+=
+
−
+
− x
xx
xx
x
xx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 23/32
⇔
32tancot += xx
64
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 0tan2sin
2
1
sin3
2
=−+ xxx
Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
π
π
kx +≠
2
0tan2sin
2
1
sin3
2
=−+ xxx
⇔
0
cos
sin
cossinsin3
2
=−+
x
x
xxx
⇔
0
cos
1
cossin3sin =
−+
x
xxx
⇔
(
)
( )
=−+
=
20
cos
1
cossin3
10sin
x
xx
x
(
)
π
kx =⇔1
π
kx
≠
(
)
(
)
0tan11tan32
2
=+−+⇔ xx
⇔
π
π
kx
x
x
+=⇔
=
=
3
3tan
0tan
65
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xxxx 2cot4cottan
6
sin8 =++
+
π
Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
02sin
π
kxx ≠⇔≠
xxxx 2cot4cottan
6
sin8 =++
+
π
⇔
x
x
x
x
2sin
2cos4
2sin
2
6
sin8 =+
+
π
⇔
02cos21
6
sin2sin4 =−+
+ xxx
π
⇔
0
3
cos2cos2
6
sin2sin4 =
−−
+
ππ
xxx
⇔
0
6
sin
6
sin2
6
sin2sin2 =
−
+−
+
πππ
xxxx
⇔ 0
6
sin2sin
6
sin =
−−
+
ππ
xxx
66
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xx
xx
2sin
2
1
cos2)
2
cos
2
(sin3
33
+=−
PT t
ươ
ng
đươ
ng
x2sin
2
1
xcos2)
2
x
cos
2
x
(sin3
33
+=−
( )
xcosxsin2
2
x
cos
2
x
sin1
2
x
cos
2
x
sin3 +=
+
−⇔
( )
+
−+=
+
−⇔
2
x
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x
cosxsin2xsin
2
1
1
2
x
cos
2
x
sin3
0
2
3
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos =
++
−⇔
xxxx
67
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
01cossin2sinsin2
2
=−++− xxxx
Gi
ả
i
01cossin2sinsin2
2
=−++−
xxxx
⇔
(
)
01cossincos21sin2
2
=−+−+ xxxx
(1)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
3cos29cos12cos41cos8cos21
−=+−=−−−=∆
xxxxx
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 24/32
( )
−=
−+−
=
=
+−−
=
⇔
1cos
4
3cos21cos2
sin
2
1
4
3cos21cos2
sin
1
x
xx
x
xx
x
⇔
=
+
=
1
4
cos2
2
1
sin
π
x
x
68/
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
( )
1
sin
cos2
cos
3
tan1sin2
−
+=−
x
x
x
xx
Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
π
π
kx +≠
2
( )
1
sin
cos2
cos
3
tan1sin2
−
+=−
x
x
x
xx ⇔
( )
(
)
( )( )
xx
xx
x
xx
sin1sin1
sin1cos2
cos
3
tan1sin2
+−
+
−=−
⇔
( )
(
)
x
x
x
x
x
x
cos
sin12
cos
3
cos
sin
1sin2
+
−=−
⇔
xxx sin223sinsin2
2
−−=−
⇔
01sinsin2
2
=−+ xx
⇔
( )
−=
=
lx
x
1sin
2
1
sin
⇔
+=
+=
π
π
π
π
2
6
5
2
6
kx
kx
69
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình :
( )
xxx sin1
2
1
3
2
cos
3
cos
22
+=
++
+
ππ
2
2 4
1 2 cos(2 ) 1 cos(2 ) 1 sin 2cos(2 ).cos sin 1
3 3 3
5
1 cos 2 sin 0 2 sin sin 0 2 ; 2 ;
6 6
x x x x x
x x x x x k x k hayx k
π π π
π
π π
π π π
⇔ + + + + + = + ⇔ + = −
⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = + = + =
70
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
01sin4
6
2sin2 =++
− xx
π
Ta cã :
01sin4
6
2sin2 =++
− xx
π
⇔
01sin42cos2sin3 =++− xxx
⇔
3
sin2x + 2sin
2
x + 4 sinx = 0
⇔
(
)
02sincos3sin =++ xxx
71
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 4sin3x + sin5x –2sinxcos2x = 0
Gi
ả
i
4sin3x + sin5x –2sinxcos2x = 0 ⇔ 4sin3x + sin5x –sin3x + sinx = 0
⇔ 3sin3x + sin5x + sinx = 0 ⇔ 3sin3x + 2sin3xcos2x = 0 ⇔ sin3x(3 + 2cos2x) = 0
72
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 32sin2cos34cos26cos2 +=−+ xxxx
Gi
ả
i
32sin2cos34cos26cos2 +=−+ xxxx ⇔
(
)
3cossin21cos23cos5cos4
2
+=−− xxxxx
⇔
xxxxx cossin2cos32cos5cos4
2
=−
⇔
(
)
0sincos35cos2cos2 =−− xxxx
⇔
+=
=
xxx
x
sincos35cos2
0cos
⇔
−=
=
6
cos5cos
0cos
π
xx
x
Nguyễn Quốc Quận – Giáo viên trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Trang: 25/32
73
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình:
xxxx 2cot
4
sin4tan2cos32
2
+
−=−
π
Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n.
02sin
≠
x
xxxx 2cot
4
sin4tan2cos32
2
+
−=−
π
⇔
xxxx 2cottan
2
2cos122cos32 ++
−−=
π
⇔
x
x
x
xx
2
sin
cos
cos
2sin222cos32 +−=
⇔
12sin22sin22cos2sin32
2
+−= xxxx
⇔
xxx 2sin24cos4sin3 =+
⇔
xxx 2sin
2
1
4cos
2
3
4sin =+
⇔
xx 2sin
6
4sin =
+
π
74
/ Gi
ả
i ph
ươ
ng trình: 32tan
24
tan
sin
cossin1
2
2
+=
−
−+
x
x
x
xx
π
Gi
ả
i
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
0
24
cos02sin ≠
−≠
x
vàx
π
32tan
24
tan
sin
cossin1
2
2
+=
−
−+
x
x
x
xx
π
⇔
32tan
42
cos
42
sin
.
sin
sinsin
2
2
+=
−
−
+
− x
x
x
x
xx
π
π
⇔
32tan
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
.
sin
sin1
+=
+
−
+
− x
xx
xx
x
x
⇔
32tan
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
.
sin
2
sin
2
cos
2
+=
+
−
+
− x
xx
xx
x
xx
⇔
32tan.
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
cos
+=
−
+
− x
x
xxxx
⇔
32tancot =− xx
⇔
32
cos
sin
sin
cos
=−
x
x
x
x
⇔
3cot =x
⇔
π
π
kx +=
6
Giải phương trình:
( ) ( )
+−
+−−=−
4
2sin
4
2cos1sin41sin22
ππ
xxxx
Giải
( ) ( )
+−
+−−=−
4
2sin
4
2cos1sin41sin22
ππ
xxxx
⇔
(
)
(
)
xxx 2cos21sin41sin22 −−=−
⇔
(
)
(
)
(
)
1sin4sin2121sin22
2
−=−+− xxx
⇔
(
)
1sin22sin211sin2
2
−=−+− xxx
⇔
(
)
(
)
1sin22sin1sin2 −=− xxx
⇔
(
)
(
)
01sin2sin1sin =−−− xxx
⇔
(
)
(
)
02sinsin1 =+− xx
⇔ sinx = 1
76/ Giải phương trình:
x
xxx
2
sin
1
2sin22cottan2 +=+
Giải
