một số chủ đề ôn tập môn toán thi tốt nghiệp và thi đại học

Trường THPT Thanh sơn
Tổ Toán Cấp 3
TUẦN

I

LÝ THUYẾT
1) Sơ đồ KSHS đa thức: bậc ba:
y = ax 3 + bx 2 + cx + d
B1).Tìm Tập Xác định: R
B2).Sự biến thiên
+ Tìm Giới hạn
lim y =
lim y =
x →+∞

x →−∞

+Tính đạo hàm y’
Tiết Cho y’=0 tìm nghiệm (nếu có)
1,2 + Lập BBT
@) Kết luận :Hàm số đồng biến
,nghịch biến trên từng khoảng xác
định.
@) Kết luận Cực trị
+ Tìm y”. Cho y” = 0 tìm nghiệm
⇒ Điểm uốn
B3).Đồ thị:
+ Tìm giao điểm của đồ thị với các
trục tọa độ:
. Giao với Ox: cho y = 0 tìm x

. Giao với Oy: cho x = 0 tìm y
+ Tâm đối xứng : là điểm uốn.
+ Điểm cho thêm
+ Vẽ đồ thị.
2)Bài toán liên quan đến KSHS :
Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo
tham số m số nghiệm pt f(x,m)= 0 (1)
PP:
+ (1)  f(x)= g(m)
+ Số nghiệm pt(1) bằng số giao
điểm hai đường
( C):y=f(x) và (d):y=g(m)
+Biện luận :Dựa vào đồ thị biện
luận số nghiệm.
3).Tìm pt tiệm cận
+ Tiệm cận đứng:
lim+ y , lim− y
x → x0

x → x0

+ Tiệm cận ngang xlim y
→±∞
4).Xác định tham số để có cực trị
( cực đại ,cực tiểu )
+ Để Hàm số đạt cực tiểu tại x0 thì:
 f '( x0 ) = 0

 f ''( x0 ) > 0
+ Để Hàm số đạt cực đại tại x0 thì

1

CHỦ ĐỀ1: KHẢO SÁT HÀM SỐ.
MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
BÀI TẬP TRÊN LỚP

BÀI TẬP TỰ RÈN

Bài 1. Cho hàm số
1 3 3 2
y = x − x + 5 có đồ thị ( C)
4
2
a. KSSBT và vẽ đồ thị (C ) của
hàm số.
b. Dựa vào đồ thị (C) tìm m để
phương trình: x3 – 6x2 + m = 0
có 3 nghiệm thực phân biệt.
c. Tìm GTLN và GTNN của
hàm số trên đoạn [-1 ;3]
d. Viết phương trình tiếp tuyến
với (C) tại điểm uốn.
e/ Viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C ) tại điểm có hồnh
độ bằng 2.
f/ Viết phương trình đường thẳng
qua hai điểm cực trị của (C).

Bài 1.Cho hàm số y = x 2 ( x − 3)
gọi (C ) là đồ thị của hàm số.

a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị của hàm số.
b/ Tìm m để phương trình sau
có ba nghiệm phân biệt

Bài 2. Tìm tiệm cận của hàm
số:
3x − 1
a/ y =
1− x
x−2
b/ y = 2
x − 2x + 1
c/ y = x 2 − 2 x + 2 (NC)
d/ y =

x 2 − 3x + 1
x −1

Bài 3: Cho hàm số :
x3
y = − mx 2 + (m 2 − m + 1) x + 1
3
Với giá trị nào của tham số m thì
hàm số đạt cực tiểu tại x = 1

x3 − 3x 2 − m = 0

c/ Viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C ) tại điểm có tung

độ bằng 0
d/ Viết phương trình đường
thẳng qua hai điểm cực trị của
(C).
Bài 2. Tìm các đường tiệm
cận đứng và tiệm cận ngang
của mỗi hàm số sau:
−2
a/ y =
;
1− x
x
b/ y = 1 +
2− x
c/ y = x − x 2 − x + 1 ( NC)
Bài 3. Tìm các giá trị của m
để hàm số
y = x 3 − 3mx 2 + (m 2 − 1) x + 2 đạt
cực đại tại x=2


TUẦN

II

LÝ THUYẾT
 f '( x0 ) = 0

 f ''( x0 ) < 0
1) Sơ đồ KSHS đa thức: bậc bốn:

y = ax 4 + bx 2 + c
B1).Tìm Tập Xác định: R
B2).Sự biến thiên
+ Tìm Giới hạn
lim y =
lim y =

Tiết
x →−∞
x →+∞
3,4 +Tính đạo hàm y’
Cho y’=0 tìm nghiệm (nếu có)
+ Lập BBT
@) Kết luận :Hàm số đồng biến
,nghịch biến trên từng khoảng xác
định.
@) Kết luận Cực trị
B3).Đồ thị:
+ Tìm giao điểm của đồ thị với các
trục tọa độ:
. Giao với Ox: cho y = 0 tìm x
. Giao với Oy: cho x = 0 tìm y
+ Trục đối xứng : trục Oy.
+ Điểm cho thêm
+ Vẽ đồ thị.
2)Phương trình tiếp tuyến :
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm
M(x0;y0)
y =f’(x0)(x-x0)+y0
b)Phương trình tiếp tuyến với đường

cong (C), biết tiếp tuyến có hệ số
góc k cho trước.
@) Dạng : y =f’(x0)(x-x0)+y0
@) Cách tìm x0,y0
Ta có f ‘(x0)= k (1)
+ Giải (1) tìm x0
+ Thế x0 vào ( C) suy ra y0
+ Suy ra PTTT.
@ Chú ý: Cho hai đường thẳng:
d1:y = k1x +b1 và
d2:y =k2x+b2
i)
d1//d2 ⇔ k1=k2
ii)
d1 ⊥ d2 ⇔ k1.k2 =-1
3) GTLN và GTNN của h số trên
đoạn [a;b]
B1) Tìm tập xác định
B2) Tính y’, y’ =0 tìm nghiệm x1,x2,
…,xn ∈ (a;b)
B3) Tính f(a),f(b), f(x1),…,f(xn)
2

BÀI TẬP TRÊN LỚP
Bài 1. Cho hàm số

y = f ( x) =

4

x
− 2x2 + 3
4

có đồ thị là(C)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b/ Tìm m để phương trình
x 4 − 8 x 2 + 12 − 8m = 0
có 4 nghiệm phân biệt .
c/ Viết pttt với đồ thị ( C) tại gốc
tọa độ.
d/ Viết pttt với đồ thị ( C) biết
tiếp tuyến song song với đường
thẳng ∆ : y = 3x + 2012
Bài 2. Tìm GTLN,GTNN của
hàm số:
a/ y = f ( x) = x + 2 − x 2 trên
đoạn [-1;1]
− x+3
b/ y =
trên đoạn [-2;0]
2x − 1
Bài 3. Xét chiều biến thiên của
hàm số:
a/ y = x 4 + 2 x 2 + 3
b/ y = 2x3 + 6x + 2
c/ y = 4 − x 2 (NC)

BÀI TẬP TỰ RÈN

1. Cho hàm số

y = f ( x) = − x 4 + 2 x 2 + 2
có đồ thị là(C)
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C)của hàm số đã cho.
b/ Dựa vào đồ thị ( C) biện
luận theo tham số m số nghiệm
phương trình
x 4 − 2x 2 − 2 + m = 0
c/ Viết pttt với đồ thị ( C) tại
gốc tọa độ.
2. Tìm GTLN,GTNN của
hàm số
y = f ( x) = x + 2 − x 2 trên
đoạn [0; 1].
3. Xét chiều biến thiên của
hàm số:
a/ y = 2 x 4 + 4 x 2 − 9
1 3
x − x2 + x −1
3
x
c/ y =
(NC)
2
x +1
b/ y =

TUẦN

LÝ THUYẾT
B4) Kết luận

d
c

+

[ a ;b ]

[ a ;b]

x →−

d
c

−

⇒ Tiệm cận đứng: y = −
Tìm giới hạn:
a
lim y =
x →+∞
c

d
c

lim y =

x →−∞

a
c

a
c
+Tính đạo hàm y’. Xét dấu y’
+ Lập BBT
@) Kết luận :Hàm số đồng biến
,nghịch biến trên từng khoảng xác
định.
@) Kết luận: Cực trị
B3).Đồ thị:
+ Tìm giao điểm của đồ thị với các
trục tọa độ:
. Giao với Ox: cho y = 0 tìm x
. Giao với Oy: cho x = 0 tìm y
+ Tâm đối xứng : là giao điểm hai
đường tiệm cận.
+ Điểm cho thêm :
+ Vẽ đồ thị.
⇒ Tiệm cận ngang: y =

2)Phương trình tiếp tuyến :
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm
M(x0;y0)

y =f’(x0)(x-x0)+y0
b)Phương trình tiếp tuyến với đường
cong (C), biết tiếp tuyến có hệ số
góc k cho trước.
@) Dạng : y =f’(x0)(x-x0)+y0
@) Cách tìm x0,y0
3

BÀI TẬP TỰ RÈN

Maxy, Miny

4)Xét sự biến thiên :
B1) Tập xác định
B2)Tính đạo hàm, y’=0 tìm nghiệm
(nếu có )
B3)Lập bảng biến thiên
B4) Kết luận
1) Sơ đồ KSHS nhất biến:
III
ax + b
y=
cx + d
B1).Tìm Tập Xác định: R
B2).Sự biến thiên
Tiết + Tìm Giới hạn
5,6
lim y = ?
lim y = ?
x →−

BÀI TẬP TRÊN LỚP

Bài 1. Cho hàm số
y = f ( x) =

x−2
2x + 1

1. Cho hàm số

− 2x + 3
x−1
Có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị ( C)
b. Tìm phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C) tại điểm có
hồnh độ bằng 2.
c.Viết pttt với đồ thi( C) , biết
tiếp tuyến có hệ số góc bằng
-1.
y = f ( x) =

Có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị ( C)
b. Tìm phương trình tiếp tuyến
với đồ thị (C) tại điểm có tung
độ bằng -2.

c.Viết pttt với đồ thi( C) , biết
tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5.
d. Viết pttt với đồ thi( C) , biết
tiếp tuyến đó vng góc với
1
đường thẳng d: y = − x + 2012 .
2. Tìm GTLN và GTNN của
5
hàm số :
Bài 2.Tìm GTLN và GTNN
a) y = x 3 − 3 x + 1 trên đoạn
của hàm số :
[-1; 1]
a./ y = f(x) = x3-3x2-9x+35
b) y = x 4 − 3 x3 − 2 x 2 + 9 x trên
trên đoạn [-4;4].
đoạn [-2; 2]
b./ y = f(x) = x4-2x2+3 trên
c. y = 2 x 4 − 4 x 2 − 6 trên
đoạn [-2;0]
đoạn [-2;-1/2)
c./ y = f ( x) = 3x 3 − x 2 − 7 x + 1
x +1
d. y =
trên [2; 5]
trên đoạn [0;2]
x −1
x−2
d./ y = f ( x) =
trên đoạn

[-3;-1]

2x + 1

e. y = 6 − 3x trên đoạn [-1; 1]
(NC)
x2 − 2 x + 2
f. y =
trên
x −1
đoạn [-1; ½ ] (NC)

e. y = x − 1 + 4 − x (NC)
3x 2 − 2 x + 4
f. y = f ( x) =
2x + 1
đoạn [ 0; 2] (NC)

trên


TUẦN

LÝ THUYẾT

BÀI TẬP TRÊN LỚP

BÀI TẬP TỰ RÈN

Bài 1: Cho hàm số

y = f ( x) = − x 4 + 2(m + 1) x 2 − 2m − 1
a/ Khi m =0 ,gọi (C) là đồ thị của
hàm số
i) Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C).
ii) Viết phương trình tiếp tuyến
với đồ thị ( C) tại giao điểm với
trục hoành.
b/ Xác định tham số thực m để
hàm số có 3 cực trị.

1. Cho hàm số
y = f ( x) = x 4 − 2(m + 1) x 2 − 2m + 2
a/ Khi m =0 ,gọi (C) là đồ thị
của hàm số
i) Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C).
ii) Viết phương trình tiếp
tuyến với đồ thị ( C) tại giao
điểm với
trục tung.
b/ Xác định tham số thực m để
hàm số có cực đại và cực tiểu.

Ta có f ‘(x0)= k (1)
+ Giải (1) tìm x0
+ Thế x0 vào ( C) suy ra y0
+ Suy ra PTTT.
@ Chú ý: Cho hai đường thẳng:
d1:y = k1x +b1 và

d2:y =k2x+b2
iii)
d1//d2 ⇔ k1=k2
iv)
d1 ⊥ d2 ⇔ k1.k2 =-1
3)GTLN và GTNN của hs trên
đoạn [a;b]
……………………………
1./Bài toán liên quan đến KSHS :
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm
IV M(x0;y0)
y =f’(x0)(x-x0)+y0
Chú ý:
+) (C ) I Ox:y0=0 ⇒ x0=?
Tiết +)(C ) I Oy:x0=0 ⇒ y0=?
7,8 +) Biết hoành độ x0 ⇒ y0=?
+)Biết tung độ y0 ⇒ x0=?
2)Tìm GTLN và GTNN hs trên
đoạn xem lại LT phần trên

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN
3) Xác định tham số để hs có 3 cực của hàm số :
trị đối với hàm số trùng phương:
x +1
a/ y =
trên [2; 5]
y=ax4+bx2+c
x −1
PP:
b/ y= (x2-3x+3).e1-x trên đoạn

+ y’= 4ax3+2bx
[-2;2]
+y’=0 ⇔ 2x(2ax2+b)=0 (1)
Bài 3: Cho hàm số
x = 0
⇔
y = f ( x ) = 2x 2 − 16 cos x − cos 2 x
2ax 2 + b = 0 (2)

Giải phương trình y’’=0
+ Để hàm số có 3 cực trị thì y’=0
có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Pt(2) có 2
nghiệm phân biệt và khác nghiệm x
= 0.
∆ (2) > 0
⇔
0.a + b ≠ 0
1).Bài toán liên quan đến KSHS :
Bài 1 : Cho hàm số
a) Phương trình tiếp tuyến tại điểm
y = - x3 + 3x2 – 4 có đồ thị (C)
V M(x0;y0)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Biện luận theo k số giaođiểm
y =f’(x0)(x-x0)+y0
của đồ thị hàm số với đường
b)Phương trình tiếp tuyến với đường
thẳng y = k
cong (C), biết tiếp tuyến có hệ số
Tiết góc k cho trước.

c) Viết pttt với đồ thị hàm số tại
9,10 @) Dạng : y =f’(x0)(x-x0)+y0
giao điểm trục tung.
d) Viết pttt với đồ thị hàm số
4

2.Tìm GTLN và GTNN của
hàm số :
x +1
a/ y =
trên [2; 5]
2x −1
x
b/ y =
trên đoạn [-2;0]
2
x +1
3. Cho hàm số
y = f ( x ) = 2 cos 2 x + 4. sin x + 2 x 2 − 1
Giải phương trình y’’=0.

1. Cho hàm số
y = f ( x) = x 3 − 3(2m − 1) x 2 + 2m 2 + m − 1
(1)
a/. Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị ( C) của hàm số khi m
=1
b/ Tìm phương trình tiếp tuyến
với đồ thị ( C), biết biết tiếp

TUẦN

LÝ THUYẾT
@) Cách tìm x0,y0
Ta có f ‘(x0)= k (1)
+ Giải (1) tìm x0
+ Thế x0 vào ( C) suy ra y0
+ Suy ra PTTT.
@ Chú ý: Cho hai đường thẳng
d1:y k1x +b1 và d2:y =k2x+b2
d1//d2 ⇔ k1=k2
d1 ⊥ d2 ⇔ k1.k2 =-1
2)Tìm GTLN và GTNN (xem lại
LT trên).
Chú ý:
Phương trình mũ :
+) ax= b ⇔ x =logab
( a,b>0 ,a ≠ 1)
A(x)
+) a = aB(x) ⇔ A(x)=B(x)
Phương trình logarit:
α
+) α = log a x ⇔ x = a (a>0 , a ≠ 1)
Phương trình lượng giác:
+ sinu =sinv
 u = v + k 2π
⇔
(k ∈ Z )
 u = π − v + k 2π

 u = v + k 2π
(k ∈ Z )
+cosu= cosv ⇔ 
 u = − v + k 2π
3).Điều kiện để hai đường cong
tiếp xúc:
( C):y= f(x) tiếp xúc với (C’):y= g(x)
 f ( x ) = g ( x)
⇔
có nghiêm
 f '( x ) = g '( x)

VI

5

1) Tìm giao điểm của hai đường
(C1): y = f(x) và (C2): y = g(x):
+ Tìm phương trình hồng độ giao
điểm giữa (C1) và (C2) là: f(x) = g(x)
(*)

BÀI TẬP TRÊN LỚP
tại điểm có hồnh độ x0 = 3
e) Viết pttt với đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y = -9 x+ 1
f) Viết pttt với đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến vông gócvới
1

đường thẳng y = - x + 1
3
g) Viết pttt với đồ thị hàm số
biết tiếp tuyến đi qua điểm
M(0;-4)

Bài 2 Cho hàm số
y = x3 – ( m + 1)x2 + 2mx ( m là
tham số)
a) Xác định m để hàm số đồng
biến trên tập xác định
b) Xác định m để hàm số có
cực trị
c) Xác định m để hàm số cực
tiểu tại điểm x = 2
d) Khảo sát hàm số với m = 2

BÀI TẬP TỰ RÈN
tuyến song song với đường
thẳng
d: y = 9x + 2012
c/. Tìm tham số m để hàm số
(1) đạt cực tiểu tại x=1
Bài 2 :Cho hàm số
y = x 3 − 2 mx 2 + m 2 x − 2
a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
khi m =1
b)Tìm m để hàm số đạt cực
tiểu tại x = 1
c)Tìm m để hàm số có cực đại

và cực tiểu.
d)Tìm m để hàm số đồng biến
trên tập xác định
Bài 3. Tìm GTLN và GTNN
ln 2 x
a) y = f(x) =
trên
x
đoạn [ 1 ;e2]
4
3

b) y = f ( x) = 2 sin x − sin 3 x trên
đoạn [ 0; π ]

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN
Bài 4 : Cho hàm số
của hàm số
y = x 3 − 3 x 2 + 2 có đồ thị (C)
a/ y = x lnx
Viết pttt với đồ thị (C) biết tiếp
b/ y = e x − x
tuyến đi qua điểm A (0;2)
c/ y = f ( x) = cos x(1 + sin x)
9
trên đoạn [ 0;2π ]
(ĐS : y = 2 ; y = − x + 2 )
4
Bài 5. Chứng minh rằng
Bài 4. Chứng minh rằng hai

5
đường cong ( C) : y=x3-x2+4
3
đường cong y = x + x − 2 và
4
tiếp xúc với đường cong
y = x 2 + x − 2 tiếp xúc với nhau
( C’) : y= x2+7x+8 . Xác định
tại một điểm nào đó. Xác định
tiếp điểm và viết phương
tiếp điểm và viết phương trình
tiếp tuyến chung của hai đường
trình tiếp tuyến chung của
cong đã cho tại điểm đó.(NC)
hai đường cong đã cho tại
3x − 2
,
x +1
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị ( C)của hàm số.
b/ Tìm giao điểm của (C) và
Bài 1: Cho hàm số y =

điểm đó.(NC)
Bài 1:
Cho hàm sớ y=f(x)=
x 4 − 2 x 2 + 1 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C).

TUẦN

LÝ THUYẾT

BÀI TẬP TRÊN LỚP

+ Giải phương trình (*) tìm nghiệm
Tiết x.
11, + Thay x vào pt của (C1) hoặc (C2)
12 để tìm y
⇒ Giao điểm
2) Lưu ý:
+ Nếu: 0 < a < 1 Ta có:
loga x < b ⇔ x > a b
+ Nếu: a > 1. Ta có:
loga x < b ⇔ x > a b

đường thẳng d: y = x – 2
Bài 2: Tìm GTLN và GTNN
của hàm số :
a/ y=-2x4+4x2+3 trên đoạn [0;2]
b/ y= 2x3-6x2+1 trên đoạn [-1;1].
Bài 3 : Cho hàm số:

y = x 2 (4 - x 2 )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2) Tìm điều kiện của tham số b
để phương trình sau đây có 4

nghiệm phân biệt:

x 4 - 4x 2 + log b = 0
3) Tìm toạ độ của điểm A thuộc
(C ) biết tiếp tuyến tại A song
song với (d): 16x – y + 2012 = 0

BÀI TẬP TỰ RÈN
b). Giải và biện luận phương
trình 2 x 4 − 4 x 2 − 2 + 2m = 0
theo tham số m.
c) Viết phương trình tiếp tuyến
của (C) tại điểm có tung đợ
y=1.
Bài 2:. Tìm GTLN và GTNN
của hàm số
a/ y= 3x3-x2-7x+ 1 trên đoạn
[ 0; 2]
1 4 9 2
b/ y = x − x + 3 trên đoạn
4
2
[-2;1]
Bài 3 : Tìm các gía trị m để
x 2 − mx + m − 1
hàm số y =
x +1
đạt cực tiểu tại x = 1. (ĐS : m
=1)

II./ BÀI MẪU CÓ LỜI GIẢI :
Bài 1: Cho hàm số:

y = - x 3 + 6x 2 - 9x + 4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
3) Tìm m để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt:

x 3 - 6x 2 + 9x - 4 + m = 0

Giải
 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm: y ¢ = - 3x 2 + 12x - 9

é =1
x
¢ = 0 Û - 3x 2 + 12x - 9 = 0 Û ê
 Cho y
ê =3
x
ê
ë
lim
 Giới hn: x đ- Ơ y = + Ơ

; lim y = - Ơ
x đ+ Ơ

Bng bin thiờn

x




yÂ

y

1
0

+
0

+

3
0
4

+



Hm s đồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)
Hàm số đạt cực đại y CD = 4 tại x CD = 3 ;
6

đạt cực tiểu y CT = 0 tại x CT = 1
Ta có y’’ = - 6x + 12
y” = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2
⇒ Điểm uốn I( 2; 2)
é =1
x
3
2
 Giao điểm với trục hoành: y = 0 Û - x + 6x - 9x + 4 = 0 Û ê
ê =4
x
ê
ë
Giao điểm với trục tung: x = 0 Þ y = 4
 Tâm đối xứng: Điểm uốn I = ( 2 ; 2 )
 Đồ thị hàm số:

 (C ) : y = - x 3 + 6x 2 - 9x + 4 .
Viết pttt tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
Phương trình hoành độ giao điểm:
é =1
x
- x 3 + 6x 2 - 9x + 4 = 0 Û ê
ê =4
x
ê
ë
 Giao điểm của (C) với trục hoành: A(1; 0), B(4; 0)
 pttt với (C) tại A(1; 0):

ï
+ x 0 = 1 và y 0 = 0 ü
ï Þ pttt tai A : y - 0 = 0(x - 1) Û y = 0
ý
+ f ¢ x 0 ) = f ¢ = 0ù
(
(1)
ù
ỵ
pttt vi (C) ti B(4; 0)

+ x 0 = 4 và y = 0
+ f ¢ x0) = f  = (
(4)

ỹ
ù
ù ị pttt tai B : y - 0 = - 9(x - 4) Û y = - 9x + 36
ý
9ù
ù
ỵ

Vy, hai tip tuyn cn tỡm là: y = 0 và y = - 9x + 36
 Ta có,

x 3 - 6x 2 + 9x - 4 + m = 0 Û - x 3 + 6x 2 - 9x + 4 = m (*)

 (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của (C ) : y = - x 3 + 6x 2 - 9x + 4 và
d:y = m nên số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) và d.

 Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
0 Vậy, với 0 < m < 4 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 2: Cho hàm số:

y = x 3 - 3x 2 + 3x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y = 3x.
Giải
 y = x 3 - 3x 2 + 3x
 Tập xác định: D = ¡
7


 Đạo hàm: y ¢ = 3x 2 - 6x + 3
 Cho y ¢ = 0 Û 3x 2 - 6x + 3 = 0 Û x = 1
 Giới hạn: lim y = - ¥ ; lim y = + Ơ
x đ- Ơ

x đ+ Ơ

Bng bin thiờn
x



yÂ

+

y –∞

1
0

+∞
+

1

+∞

 Hàm số đồng biến trên cả tập xác định; hàm số khơng đạt cực trị.
 Ta có y” = 6x – 6 , y” = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1
⇒ Điểm uốn I (1 ; 1)
 Giao điểm với trục hoành: Cho y = 0 Û x 3 - 3x 2 + 3x = 0 Û x = 0
Giao điểm với trục tung:
Cho x = 0 Þ y = 0
 Tâm đối xứng: I(1 ; 1)
 Bảng giá trị:

x

0
1
y
0
1
 Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây):

2
2

 (C ) : y = x 3 - 3x 2 + 3x . Viết của (C) song song với đường thẳng D : y = 3x .

k = f ¢ x 0) = 3
(
é =0
x
2
2
3x 0 - 6x 0 + 3 = 3 Û 3x 0 - 6x 0 = 0 Û ê 0
Do đó:
ê =2
x
ê0
ë

 Tiếp tuyến song song với D : y = 3x nên có hệ số góc

 Với x 0 = 0 thì y 0 = 03 - 3.02 + 3.0 = 0
(
và f ¢ x 0 ) = 3 nên pttt là: y - 0 = 3(x - 0) Û y = 3x (loại vì trùng với D )
 Với x 0 = 2 thì y 0 = 23 - 3.22 + 3.2 = 2
(
và f ¢ x 0 ) = 3 nên pttt là: y - 2 = 3(x - 2) Û y = 3x - 4
 Vậy, có một tiếp tuyến thoả mãn đề bài là: y = 3x - 4
Bài 3 Cho hàm số:

y = - x 4 + 4x 2 - 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
2) Dựa vào (C), hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x 4 - 4x 2 + 3 + 2m = 0
3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm trên (C) có hồnh độ bằng
Giải
 y = - x 4 + 4x 2 - 3
 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y ¢ = - 4x 3 + 8x

8

3.


éx = 0
4
ê
¢ = 0 Û - 4x 3 + 8x = 0 Û 4x (- x 2 + 2) = 0 ÛÛÛ 2
 Cho y
êx + 2=0
ê
ë
 Giới hạn: lim y = - ¥ ; lim y = - ¥
x ®- ¥

é =0
x
ê
ê2 = 2

x
ê
ë

é =0
x
ê
ê
x
ê =± 2
ë

x ®+ ¥

 Bảng biến thiên
x –∞

+

y¢

y

2
0
1

–

–∞

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ¥ ; -

0
0

2
0
1

+

+∞
–

–3

–∞
2),(0; 2) , nghịch biến trên các khoảng (-

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1 tại x CD = ± 2 , đạt cực tiểu yCT = –3 tại x CT = 0 .
é2 = 1
x
ê
 Giao điểm với trục hoành: cho y = 0 Û - x + 4x - 3 = 0 ÛÛê 2
x
ê =3
ë
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 3
 Trục đối xứng: Oy
4

 Bảng giá trị: x

3

y

0

2

1

0
–3

2

2
1

é = ±1
x
ê
ê
x
ê =± 3
ë

3

0

 Đồ thị hàm số:

 x 4 - 4x 2 + 3 + 2m = 0 Û - x 4 + 4x 2 - 3 = 2m (*)
 Số nghiệm pt(*) bằng với số giao điểm của (C ) : y = - x 4 + 4x 2 - 3 và d: y = 2m.
 Ta có bảng kết quả:
Số giao điểm Số nghiệm
M
2m
của (C) và d
của pt(*)
m > 0,5
2m > 1
0
0
m = 0,5
2m = 1
2
2
–1,5< m < 0,5
–3< 2m < 1
4
4
m = –1,5
2m = –3
3
3
m < –1,5
2m < –3

2
2
 x 0 = 3 ị y 0 = 0
g f  x 0 ) = f ¢ 3) = y ¢ = - 4x 3 + 8x = - 4 3
(
(
 Vậy, pttt cần tìm là: y - 0 = - 4 3(x 9

3) Û y = - 4 3x + 12

2; 0),( 2; + ¥ )


Bài 4 Cho hàm số: y =

2x - 1
x- 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4.
Giải
2x - 1
x- 1
 Tập xác định: D = ¡ \ {1}
- 1
< 0, " x Ỵ D
 Đạo hàm: y ¢ =
(x - 1)2
 Giới hạn và tiệm cận:
lim y = 2 ; lim y = 2 ị y = 2 l tim cn ngang.

x đ- Ơ
x đ+ Ơ
y=

; lim y = + Ơ

ị x = 1 là tiệm cận đứng.

x –∞

lim y = - ¥

x ®1-

1

x ®1+

 Bảng biến thiên

y

+∞

–

y¢

2

–
+∞

–∞
2
 Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định và không đạt cực trị.
1
 Giao điểm với trục hoành: y = 0 Û 2x - 1 = 0 Û x =
2
x =0Þ y =1
Giao điểm với trục tung: cho
 Tâm đối xứng: là giao điểm hai đường tiệm cận: I = (1 ; 2)
 Đồ thị hàm số
2x - 1
 (C ) : y =
x- 1
 Tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4 nên

f ¢ x0) = - 4
(

é
ê - 1= 1
x
- 1
1
ê0
2
2 Û
Û

= - 4 Û (x 0 - 1) = Û ê
2
4
ê - 1=- 1
(x 0 - 1)
x
ê0
2
ë
3
2. - 1
æ
3
= 4 .pttt là: y - 4 = - 4 çx  Với x 0 = Þ y 0 = 3 2
ỗ
ỗ
ố
2
- 1
2

ộ
ờ =3
x
ờ0
2
ờ
ờ =1
x
ờ0

2
ở
3ử
ữ y = - 4x + 10
÷
÷
2ø

2. 1 - 1
ỉ
ư
1
= 0 . pttt là: y - 0 = - 4 ỗx - 1 ữ y = - 4x + 2
ữ
Vi x 0 = ị y 0 = 1 2
ỗ
ữ
ỗ
ố
2
- 1
2ứ
2
Vy, cú 2 tip tuyn thoả mãn ycbt là : y = - 4x + 2 và y = - 4x + 10
Bài 5 : Cho hàm số:

y = x 2 (4 - x 2 )

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho.
10

2) Tìm điều kiện của tham số b để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt: x 4 - 4x 2 + log b = 0
3) Tìm toạ độ của điểm A thuộc (C ) biết tiếp tuyến tại A song song với (d): 16x – y + 2012 = 0
Giải
 y = x 2 (4 - x 2 ) = - x 4 + 4x 2
 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y ¢ = - 4x 3 + 8x
éx = 0
4
ê
y ¢ = 0 Û - 4x 3 + 8x = 0 Û 4x (- x 2 + 2) = 0 ÛÛÛ 2
 Cho
êx + 2=0
ê
ë
;
lim y = - ¥
 Giới hạn: lim y = - Ơ
x đ- Ơ

ộ =0
x
ờ
ờ2 = 2
x
ờ
ở

ộ =0

x
ờ
ờ
x
ờ = 2
ở

x đ+ Ơ

Bng bin thiờn
x
yÂ

y

+


Hm s B trên các khoảng (- ¥ ; -

2
0
4

–

0
0

+

2
0
4

+∞
–

0
–∞
2),(0; 2) , NB trên các khoảng (- 2; 0),( 2; + ¥ )

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 4 tại x CD = ± 2 ,
đạt cực tiểu yCT = 0 tại x CT = 0 .
 Giao điểm với trục hoành:
é2 = 0
x
y = 0 Û - x 4 + 4x 2 = 0 ÛÛê 2
cho
ê
x
ê =4
ë
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = 0

é =0
x
ê
ê = ±2
x

ê
ë

 Bảng giá trị:

x - 2 - 2
0
2
2
y
0
0
0
4
0
 Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:
 x 4 - 4x 2 + log b = 0 Û - x 4 + 4x 2 = log b (*)
 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) và d: y = logb
 Dựa vào đồ thị, (C) cắt d tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi
0 < log b < 4 Û 1 < b < 104
 Vậy, phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 < b < 104
 Giả sử A (x 0 ; y 0 ) . Do tiếp tuyến tại A song song với d : y = 16x + 2012 nên nó có hệ số góc
3
3
f ¢ x 0 ) = 16 Û - 4x 0 + 8x 0 = 16 Û 4x 0 - 8x 0 + 16 = 0 Û x 0 = - 2
(

 x0 = - 2 Þ y0 = 0
 Vậy, A (- 2; 0)

11


Bài 6: Cho hàm số: y = 2x 3 + (m + 1)x 2 + (m 2 - 4)x - m + 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C ) với trục tung.
3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Giải
 Với m = 2 ta có hàm số:

y = 2x 3 + 3x 2 - 1

 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y ¢ = 6x 2 + 6x
 Cho y ¢ = 0 Û 6x 2 + 6x = 0 Û x = 0 hoac x = - 1
lim
 Giới hạn: x ®- ¥ y = - ¥

; lim y = + ¥
x đ+ Ơ

Bng bin thiờn
x
+

yÂ

y

1

0
0



0
0

+Ơ
+
+Ơ



1

Hm s ng bin trên các khoảng (- ¥ ; - 1),(0; + ¥ ) , nghịch biến trên khoảng (- 1; 0)
Hàm số đạt cực đại yCĐ = 0 tại x CD = - 1 , đạt cực tiểu yCT = –1 tại x CT = 0 .
 Giao điểm với trục hoành:
cho y = 0 Û 2x 3 + 3x 2 - 1 = 0 Û x = - 1 hoac x =
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 1
 Bảng giá trị:

x

-

3
2

- 1

-

1
2

- 1
y - 1
0
2
 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây
 Giao điểm của (C ) với trục tung: A (0; - 1)
 x 0 = 0 ; y0 = - 1

1
2

0

1
2

- 1

0

(0)
 f¢ =0
 Vậy, pttt tại A(0;–1) là: y + 1 = 0(x - 0) Û y = - 1

 y = 2x 3 + (m + 1)x 2 + (m 2 - 4)x - m + 1
 Tập xác định D = ¡
 y ¢ = 6x 2 + 2(m + 1)x + m 2 - 4
¢
 y ¢ = 12x + 2(m + 1)
 Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 = 0 khi và chỉ khi
ì 6.02 + 2(m + 1).0 + m 2 - 4 = 0
ìm2 - 4 = 0
ìf¢ =0
ï
ï
ï (0)
ï
ï
ï
Û í
Û í
Û
í ¢
ïf ¢ > 0
ï 12.0 + 2(m + 1) > 0
ï 2m + 2 > 0
ï (0)
ï
ï
ỵ
ï
ï
ỵ
ỵ

x0 = 0 .
 Vậy, với m = 2 thì hàm số đạt tiểu tại
12

ì m = ±2
ï
ï
Û m = 2 (loai m = - 2 )
í
ïm > - 1
ï
ỵ


Bài 7 Cho hàm số: y =

x
x +1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các giao điểm của (C) với D : y = x
3) Tìm các giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Giải
 Hàm số y =

x
x + 1

 Tập xác định: D = ¡ \ {- 1}
 Đạo hàm: y ¢ =

1
(x + 1)2

> 0, " x Ỵ D

 Giới hn v tim cn:
lim y = 1 ;

x đ- Ơ

lim y = 1 Þ y = 1 là tiệm cận ngang.

x đ+ Ơ

lim y = + Ơ

x đ( - 1)-

;

lim

ị x = - 1 là tiệm cận đứng.

y =- ¥

x ®(- 1) +

 Bảng biến thiên

x –∞
y¢

- 1
+

+∞

 Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định và
1 không đạt cực trị.

+
+¥

y

- ¥
1
 Giao điểm với trục hồnh: cho y = 0 Û x = 0
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = 0
 Tâm đối xứng: I = (-1 ; 1)
 Bảng giá trị: x

- 3
y 3/2
 Đồ thị hàm số như hình vẽ :

- 2
2

- 1
||

0
0

Phương trình hồnh độ giao điểm của (C) và d là:


x
= x Û x = x (x + 1) Û x 2 = 0 Û x = 0
x+1

x0 = 0 ị y0 = 0



1
1/2

f  x 0) = f ¢ = 1
(
(0)

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
 Xét phương trình:

y - 0 = 1(x - 0) Û y = x

x

= kx (*) Û x = kx (x + 1)
x+1

é =0
x
Û x = kx 2 + kx Û kx 2 + (k - 1)x = 0 Û x (kx + k - 1) = 0 Û ê
ê = 1 - k (2)
kx
ê
ë
13


 d: y = kx cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt Û phương trình
ìk ¹ 0
ìk ¹ 0
ï
ï
ï
Û ï
(2) có duy nhất nghiệm khác 0, tức l ớ
ớ
ù 1 - k ạạ 0
ùk 1
ù
ù
ợ
ợ
Vy, vi k ¹ 0, k ¹ 1 thì d cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt.
Bài 8 Cho hàm số: y = - x 3 + 3x 2 - 1 có đồ thị là (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C), hãy tìm điều kiện của tham số k để phương trình sau đây có 3 nghiệm phân biệt:

x 3 - 3x 2 + k = 0
Giải
 Hàm số y = - x 3 + 3x 2 - 1
 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y ¢ = - 3x 2 + 6x
 Cho y ¢ = 0 Û - 3x 2 + 6x = 0 Û x = 0 hoac x = 2
 Giới hạn: lim y = + ¥ ; lim y = - Ơ
x đ- Ơ

x đ+ Ơ

Bng bin thiờn
x




yÂ

y

0
0

+

+

2
0
3

+


1

Hm s đồng biến trên khoảng (0;2); nghịch biến trên các khoảng (–∞;0), (2;+∞)
Hàm số đạt cực đại y CD = 3 tại x CD = 2
đạt cực tiểu y CT = - 1 tại x CT = 0
 Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 1
¢
Tâm đối xứng: y ¢ = - 6x + 6 = 0 Û x = 1 Þ y = 1 .
Tâm đối xứng: là I(1;1)
 Bảng giá trị:
x –1
0
1
2
3
y
3
–1
1
3
–1
 Đồ thị hàm số như hình vẽ:

 x 3 - 3x 2 + k = 0 Û x 3 - 3x 2 = - k Û - x 3 + 3x 2 = k Û - x 3 + 3x 2 - 1 = k - 1 (*)
 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) và d: y = k – 1
 (*) có 3 nghiệm phân biệt Û - 1 < k - 1 < 3 Û 0 < k < 4
 Vậy, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt Û 0 < k < 4
Bài 9:
Cho hàm số: y = x 4 + (m + 1)x 2 - 2m - 1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C ) có hồnh độ bằng 3) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị.
Giải
 Với m = 1 ta có hàm số: y = x 4 + 2x 2 - 3
 Tập xác định: D = ¡
14

3.


 Đạo hàm: y ¢ = 4x 3 + 4x
 Cho
y ¢ = 0 Û 4x 3 + 4x = 0 Û x = 0
Giới hạn: lim y = - ¥ ; lim y = + ¥
x ®- ¥

x ®+ ¥

 Bảng biến thiên
x –∞
–

y¢

y

0
0

+¥

+¥
+
+¥

–3

 Hàm số đồng biến trên các khoảng (0; + ¥ ) , nghịch biến trên khoảng (- ¥ ; 0)
Hàm số đạt cực tiểu yCT = –3 tại x CT = 0 .
 Giao điểm với trục hoành:
é2 = 1
x
ê
4
2
x 2 = 1 Û x = ±1
Cho y = 0 Û x + 3x - 3 = 0 ÛÛê 2
x
ê =- 3
ë
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 3
 Đồ thị hàm số:

 x 0 = -

2 Þ y0 = 5

 f ¢ x 0) = f ¢ (
(

2) = 4.(-

2) 3 + 4.(-

2) = - 12 2

 Vậy, pttt cần tìm là: y - 5 = - 12 2(x +

2) Û y = - 12 2x - 19 .

 y = x 4 + (m + 1)x 2 - 2m - 1 (1)
 Tập xác định D = ¡
 y ¢ = 4x 3 + 2(m + 1)x (đây là một đa thức bậc ba)
é =0
x
¢ = 0 Û 4x 3 + 2(m + 1)x = 0 Û 2x (2x 2 + m + 1) = 0 Û ê 2
 y
êx = - m - 1 (*)
2
ê
ë
 Hàm số (1) có 3 điểm cực trị Û (*) có 2 nghiệm pbiệt khác 0 Û - m - 1 > 0
 Vậy, với m < - 1 thì hàm số (1) có 3 điểm cực trị.

x4
Bài 10: Cho hàm số: y =
- x2 - 4
2
15

Û m < - 1


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hồnh.
3) Tìm m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm phân biệt: x 4 − 2 x 2 − 2m = 0
Giải
 Hàm số: y =

x4
- x2 - 4
2

 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y ¢ = 2x 3 - 2x
é =0
x
3
 Cho y ¢ = 0 Û 2x - 2x = 0 Û ê
ê = ±1
x
ê
ë
;

lim y = + ¥
 Giới hạn: lim y = + ¥
x đ- Ơ

x đ+ Ơ

Bng bin thiờn
x

- 1

0

yÂ

+Ơ
y

-

0
+ 0
4

1
0



9

2

+
+
+Ơ

-

9
2

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- 1; 0),(1; + ¥ ) , nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ; - 1),(0;1)
Hàm số đạt cực đại y CD = - 4 tại x CD = 0 .
Hàm số đạt cực tiểu y CT = -

9
tại x CT = ±1 .
2

 Giao điểm với trục hoành:
é2 = 4
x
1 4
x - x 2 - 4 = 0 ÛÛê 2
ê
2
x
ê =- 2
ë
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 4

Cho y = 0 Û

x 2 = 4 Û x = ±2

 Đồ thị hàm số:
 Giao của (C ) với Ox: cho y = 0 Û x = ±2
 Diện tích cần tìm:
2

S =ị

- 2

1 4
x - x 2 - 4 dx =
2

2

3
ổ5
ử
ổ 4
ử
ỗ1 x - x 2 - 4ữ = ỗx - x - 4x ữ = 224 (vdt)
ữ
ữ
ỗ
dx

ỗ
ữ
ữ
ũ 2 ỗ2
ỗ10
ứ
ố
ứ- 2
- ố
3
15
2

4
4
x 4 - 2x 2 - 2m = 0 Û x 4 - 2x 2 = 2m Û x - x 2 = m Û x - x 2 - 4 = m - 4 (*)

2

 Số nghiệm của pt(*) bằng với số giao điểm của (C ) : y =

2

4

x
- x 2 - 4 và d : y = m - 4
2

 Từ đó, dựa vào đồ thị ta thấy pt(*) có đúng 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

16


é - 4> - 4
é > 0
m
m
ê
ê
ê
ê
Û
ê - 4=- 9
ê =- 1
m
m
ê
ê
2
2
ë
ë
Bài 11 Cho hàm số:

y = (x 2 - 2)2 - 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình:

x 4 - 4x 2 = m

.

Giải
 Hàm số: y = (x 2 - 2)2 - 1 = x 4 - 4x 2 + 4 - 1 = x 4 - 4x 2 + 3
 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm:

y ¢ = 4x 3 - 8x

é =0
x
ê
 Cho y ¢ = 0 Û 4x - 8x = 0 Û 4x (x - 2) Û ê
x
ê =± 2
ë
3

2

;

lim
 Giới hạn: x ®- ¥ y = + ¥

lim y = + ¥

x ®+ ¥

 Bảng biến thiên
x –∞

–

y¢

2
0

+

+¥

0
0
3

–

2
0

+∞
+
+¥

y
–1
 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-

–1

2; 0),( 2; + ¥ ) , nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ; - 2),(0; 2)

Hàm số đạt cực đại y CD = 3 tại x CD = 0 .
Hàm số đạt cực tiểu y CT = - 1 tại x CT = ± 2 .
 Giao điểm với trục hoành:
é2 = 1
é = ±1
x
x
ê
ê
Cho y = 0 Û x - 4x + 3 = 0 ÛÛê 2
ê
x
x
ê =3
ê =± 3
ë
ë
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = 3
 Bảng giá trị:
x –2
–1
0
1
2
y

3
–1
3
–1
3
 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên:
 x 4 - 4x 2 = m Û x 4 - 4x 2 + 3 = m + 3 (*)
 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) và d: y = m + 3
 Ta có bảng kết quả như sau:
Số giao điểm
m
m+3
của (C) và d
m>0
m+3>3
2
m=0
m+3=3
3
–4 < m < 0
–1< m + 3 < 3
4
m = –4
m + 3 = –1
2
m < –4
m + 3 < –1
0
Bài 12:
17

4

2

Số nghiệm
của pt(*)
2
3
4
2
0


Cho hàm số:

y=

2x + 1
x- 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 5.
Giải
 Hàm số y =

2x + 1
x- 1

 Tập xác định: D = ¡ \ {1}
 Đạo hàm: y ¢ =

- 3
(x - 1)2

< 0, " x Ỵ D

 Giới hạn và tiệm cận:
lim y = 2

x đ- Ơ

lim y = - Ơ

x đ1-

; lim y = + Ơ
x đ1+

; lim y = 2
x đ+ Ơ

ị y = 2 là tiệm cận ngang.

Þ x = 1 l tim cn ng.

Bng bin thiờn
x

y

1

+

+

yÂ

2

+
+Ơ
- Ơ

2

Hm s luôn nghịch biến trên các khoảng xác định và không đạt cực trị.
 Giao điểm với trục hoành: cho y = 0 Û x = Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 1
 Bảng giá trị:
x
–2
0
1
y
1
–1
||
 Đồ thị hàm số như hình vẽ :

 y 0 = 5 Û
(
 f ¢ x 0) =

2x 0 + 1
x0 - 1

1
2

2
4

4
5

= 5 Û 2x 0 + 1 = 5x 0 - 5 Û x 0 = 2

- 3
=- 3
(2 - 1)2

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y - 5 = - 3(x - 2) Û y = - 3x + 11
18


x3
+ 2x 2 - 3x
3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
Bài 13: Cho hàm số: y = f (x ) = -

¢
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có hồnh độ x0, với f ¢(x 0 ) = 6 .

3) Tìm tham số m để phương trình x 3 - 6x 2 + 9x + 3m = 0 có đúng 2 nghiệm phân biệt.
Giải
x3
+ 2x 2 - 3x
3

 Hàm số: y = f (x ) = -

 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y ¢ = - x 2 + 4x - 3
 Cho y ¢ = 0 Û - x 2 + 4x - 3 Û x = 1; x = 3
 Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng
;

lim
 Giới hn: x đ- Ơ y = + Ơ

(;1), (3;+)

lim y = - Ơ

x đ+ Ơ

Bng bin thiờn

x



1
0



yÂ

+

+
y

-

3
0
0

+


4
3

Hm s t cực đại y CD = 0 tại xCD = 3 ,
đạt cực tiểu y CT = -

4
tại x CT = 1
3

¢
 Tâm đối xứng: y ¢ = - 2x + 4 = 0 Û x = 2 Þ y = -

2
.
3

ổ 2ử
ữ
Tõm i xng l: I ỗ2; - ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố

3ứ

Giao điểm với trục hoành: cho y = 0 Û x = 0; x = 3
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = 0
 Bảng giá trị:
x
0
1

2
3
4
y
0
–4/3 –2/3
0
–4/3
 Đồ thị hàm số như hình vẽ:
16
¢
 f ¢(x 0 ) = 6 Û - 2x 0 + 4 = 6 Û x 0 = - 1 Þ y 0 =
3
2
(
(
 f ¢ x 0 ) = f ¢ - 1) = - (- 1) + 4(- 1) - 3 = - 8
16
8
= - 8(x + 1) Û y = - 8x 3
3
1
 x 3 - 6x 2 + 9x + 3m = 0 Û x 3 - 6x 2 + 9x = - 3m Û - x 3 + 2x 2 - 3x = m (*)
3

 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y -

 Số nghiệm phương trình (*) bằng số giao điểm của (C ) và d : y = m
é =0
m

ê
Û ê
 Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt
ê =- 4
m
ê
3
ë
19


Bài 14 Cho hàm số:

y=

1 4
x - 2x 2
2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số nêu trên.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) với trục hoành.
Giải
1 4
x - 2x 2
2
 Tập xác định: D = ¡
 Đạo hàm: y ¢ = 2x 3 - 4x
 Hàm số: y =

é =0

x
ê
 Cho y ¢ = 0 Û 2x - 4x = 0 Û ê
x
ê =± 2
ë
lim
; lim y = + Ơ
Gii hn: x đ- Ơ y = + Ơ
x đ+ Ơ
3

Bng bin thiờn
x


0
0
0

2

-

yÂ

0

+

+

2
0



+
+Ơ

y
- 2
Hm s ng biến trên các khoảng (Hàm số đạt cực đại y CD = 0 tại x CD = 0 .

- 2
2; 0),( 2; + ¥ ) , nghịch biến trên các khoảng (- ¥ ; -

Hàm số đạt cực tiểu y CT = - 2 tại x CT = ± 2 .
 Giao điểm với trục hoành:
é2 = 0
x
1 4
x - 2x 2 = 0 ÛÛê 2
ê
2
x
ê =4
ë
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = 0

Cho y = 0 Û

é =0
x
ê
ê = ±2
x
ê
ë

 Bảng giá trị:

x
0
- 2 - 2
2
y 4 - 2
0
0
- 2
 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên:
2  Giao của (C) với Ox: cho y = 0 Û x = 0; x = ±2
2

 Diện tích cần tìm: S = ị

- 2

1 4
x - 2x 2 dx =

2
0

2

1 4
2
ò 2 ( 2 x - 2x )dx +
0

2

1

ị (2 x
0

4

- 2x 2 )dx

2

3ư
ỉ5
ỉ5
x
2x 3 ử
ữ
ữ + ỗx - 2x ữ = - 32 + - 32 = 64 (vdt)

ữ
ỗ
ỗ
S =ỗ ữ
ữ
ỗ10
ỗ10
ữ
ố
ố
ứ0
3 ứ- 2
3 ÷
15
15
15

x 2 (x - 3)
2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hồnh.
3) Tìm điều kiện của k để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất: x 3 - 3x 2 - k = 0 .
Giải
Bài 15: Cho hàm số: y =

20

2),(0; 2)

x 2 (x - 3) x 3 - 3x 2
=
2
2
 Tập xác định: D = ¡
3x 2 - 6x
 Đạo hàm: y ¢ =
2
2
 Cho y ¢ = 0 Û 3x - 6x = 0 Û x = 0; x = 2

 Hàm số: y =

lim
 Giới hạn: x ®- ¥ y = - ¥

; lim y = + ¥
x đ+ Ơ

x

- Ơ
+

yÂ



y

0
0

+Ơ

2


0

+

0

+Ơ

- Ơ

2

Bng bin thiờn

Hm s B trên các khoảng (- ¥ ; 0),(2; + ¥ ) , NB trên khoảng (0;2)
Hàm số đạt cực đại yCĐ = 0 tại xCD = 0
đạt cực tiểu yCT = –2 tại x CT = 2 .
¢
 y ¢ = 3x - 3 = 0 Û x = 1 Þ y = - 1 . Tâm đối xứng: I ( 1; - 1)

é =0
x

3
2
 Giao điểm với trục hoành: y = 0 Û x - 3x = 0 Û ê
ê =3
x
ê

Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = 0
 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên :

ë

é =0
x
y0 = 0 Û ê0
 Giao điểm của (C) với trục hoành: cho
ê =3
x
ê0
ë
(
 Với x 0 = 0, y 0 = 0 ị f  x 0 ) = 0 . Pttt là: y - 0 = 0(x - 0) Û y = 0
9
9
9
27
. Pttt là: y - 0 = (x - 3) Û y = x 2
2
2

2
3
2
 x 3 - 3x 2 - 2k = 0 Û x 3 - 3x 2 = 2k Û x - 3x = k
2
 Số nghiệm của pt(*) bằng số giao điểm của (C ) và đường thẳng d : y = k
 Dựa vào đồ thị ta thấy, pt(*) có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi: k > 0 hoặc k < - 2
3 - 2x
Bài 16 Cho hàm số: y =
x- 1
 Với x 0 = 3, y 0 = 0 ị f  x 0 ) =
(

21


1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số.
2) Viết pt tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng D : x - y + 1 = 0
3) Tìm các giá trị của k để (C) và d: y = kx - 3 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
Giải
3 - 2x
- 2x + 3
 Hàm số: y =
=
x- 1
x- 1
 Tập xác định: D = ¡ \ {1}
 Đạo hàm: y ¢ =

- 1

(x - 1)2

< 0, " x Î D

.
 Giới hạn và tiệm cận:
lim y = - 2 ; lim y = - 2 Þ y = - 2 l tim cn ngang.
x đ- Ơ
x đ+ Ơ
; lim y = + Ơ

lim y = - Ơ

x đ1-

x ®1+

Þ x = 1 là tiệm cận đứng.

 Bảng biến thiên
x

–∞

y

1

+∞

–

y¢

–2

–
+∞

–∞
–2
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định và khơng đạt cực trị
3
 Giao điểm với trục hồnh: y = 0 Û - 2x + 3 = 0 Û x =
2
Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = - 3
 Bảng giá trị: x
0
1/2
1
3/2
2
y
–3
–4
||
0
–1
 Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây

- 2x + 3
x- 1
(
 Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng D : y = x + 1 nên có hệ số góc k = f ¢ x 0 ) = - 1
é - 1=1
é =2
x
x
- 1
Û
= - 1 Û (x 0 - 1)2 = 1 Û ê 0
Û ê0
ê - 1=- 1
ê =0
2
x
x
(x 0 - 1)
ê0
ê0
ë
ë
 Với x 0 = 2 Þ y 0 = - 1 . pttt là: y + 1 = - 1(x - 2) Û y = - x + 1

 (C ) : y =

 Với x 0 = 0 Þ y 0 = - 3 . pttt là: y + 3 = - 1(x - 0) Û y = - x - 3
22

 Xét phương trình :

3 - 2x
= kx - 3 Û 3 - 2x = (kx - 3)(x - 1) Û kx 2 - (1 + k )x = 0 (*)
x- 1

 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C) và d: y = kx
 (C) và d có 2 điểm chung Û (*) có 2 nghiệm phân biệt
ìk ¹ 0
ìa ¹ 0
ìk ¹ 0
ï
ï
ï
ï
ï
Û ï
Û í
Û í
í
2
ïD > 0
ï (1 + k ) > 0
ïk ¹ - 1
ï
ï
ï
ỵ
ỵ
ï

ỵ
 Vậy, với k ¹ 0 và k ¹ - 1 thì (C) cắt d tại 2 điểm phân biệt.
Bài 17Cho hàm số:

y =-

1 4 3 2 5
x + x 4
2
4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm cực tiểu của nó.
3) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có 4 nghiệm phân biệt: x 4 - 6x 2 + 1 - 4m = 0
Giải
 Hàm số:

y =-

1 4 3 2 5
x + x 4
2
4

 Tập xác định: D = R
 Đạo hàm:

y ¢ = - x 3 + 3x

é =0

x
¢ = 0 Û - x 3 + 3x = 0 Û x (- x 2 + 3) Û ê
 Cho y
ê
x
ê =± 3
ë
;

lim
 Giới hạn: x ®- ¥ y = - ¥

lim y = - ¥

x đ+ Ơ

Bng bin thiờn

+
+
0
1

x
yÂ

y

- Ơ

Hm s ng bin trên các khoảng (- ¥ ; -

0

3

–

0

5
tại x CT = 0 .
4

 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây
23

é = ±1
x
ê
ê
x
ê =± 5
ë

é2 = 1
x
1 4 3 2 5
x + x = 0 ÛÛê 2
ê =5

x
4
2
4
ê
ë

Giao điểm với trục tung: cho x = 0 Þ y = -

–

5
- ¥
4
3),(0; 3) , nghịch biến trên các khoảng (-

 Giao điểm với trục hoành:
y =0Û -

0
1

-

Hàm số đạt cực đại y CD = 1 tại xCD = ± 3 ;
đạt cực tiểu y CT = -

+

3

5
4

3; 0),( 3; + ¥ )


 Điểm cực tiểu của đồ thị có: x = 0 ị y = -

5
4

(
(0)
f  x0) = f ¢ = 0
5
5
= 0(x - 0) Û y = 4
4
1
3
1
1
3
5
 x 4 - 6x 2 + 1 - 4m = 0 Û - x 4 + x 2 = - m Û - x 4 + x 2 = - 1 - m (*)
4
2
4
4

2
4
 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C ) và d: y = –1 – m. Do đó, dựa
vào đồ thị ta thấy (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
5
1
1
- < - 1- m < 1 Û - < - m < 2 Û - 2 < m <
4
4
4
1
 Vậy, khi - 2 < m <
thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.
4
 Vậy, tiếp tuyến tại điểm cực đại của hàm số là: y +

III/ ĐỀ THI TN.THPT CÁC NĂM TRƯỚC:
2x +1
x −2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5.
1
3
Bài 2: Đề Năm 2010: Cho hàm số: y = x 3 − x 2 + 5
4
2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3 − 6 x 2 + m = 0 có ba nghiệm thực phân biệt.
2x +1

Bài 3: Đề Năm 2011: Cho hàm số: y =
2x −1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = x + 2.
Bài 1: Đề Năm 2009: Cho hàm số: y =

« Thà đổ mồ hôi trên trang giấy
Còn hơn rơi lệ trong phòng thi »

« Có công mài sắt có ngày nên kim »
Tất cả các thầy cơ của Trường TH Cấp 2 – 3 Mỹ Phước chúc các em học sinh khối 12 năm
học 2011-2012 sẽ vượt qua mọi khó khăn và thử thách trong q trình ơn tập và sẽ thi đậu tốt
nghiệp THPT với kết quả thật cao !
‘’Good luck to you ! ‘’

24


CHỦ ĐỀ2: MŨ VÀ LÔGARIT.

Trường TH Cấp 2 & 3 Mỹ Phước
Tổ Tốn Cấp 3
TUẦN

LÝ THUYẾT
1.Cơng thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
n

anam =an+m;

I

a
= an − m
m
a

(an)m =anm ;

(ab)n=anbn;

n

an
a
= m ;
b÷
b
 

m
n

a = a .
n

m

Tiết 2.Cơng thức logarit:
logab=c⇔ac=b (0<a≠1; b>0)

1
Với 0α∈R ta có:
loga(x1x2)=logax1+logax2 ;
x1
x 2 = log x −log x ;
loga
a 1
a 2
loga x
a
= x;

logaxα=αlogax;
1
logaα x = loga x ;(logaax=x);
α
logb x
1
logax=
;(logab=
);
logb a
logb a

logba.logax=logbx

(e
(a
(e

(a

Đạo hàm

x
x

u

u

)'=e
) ' = a ln a
) ' = e .u '
) ' = a ln a.u '
x

x

u

Bài 1: Tính

1
( log x ) ' = x.lna
a

( ln u ) ' = u '
u
u

( log u ) ' = u.ln' a
a

BÀI TẬP TỰ RÈN
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
4

1+ log 1 2

1
a)  ÷
7

A=

7

a 3 (a
1
4

−

2
3

2

+ a3 )

3
4

−

(với a >

1
4

a (a + a )

0)

b) log 9 15 + log 9 18 − log 9 10=  2x + y −1 (2x)−1 +  y −1 
B


1 1
− log 9 4
4 2

c) (81




5

Bài 2: Cho

log 5 2 = a; log 5 3 = b

.
Hãy biểu diễn các lôgarit sau
theo a và b.
a)
d)

log 5 72
log 5 30

b)

log 5 15

a (a + a )
1
4

−1
4

3
4

a (a + a )
Bài 4: So sánh các số sau

a ) log0,3 2 và log5 3

2 5

1
b)  ÷
 3

2÷
  


Bài 2.
a/. Biết lg2 = a ; log2 7 = b . Tính
giá trị của lg56 theo a và b.
b/. Đơn giản biểu thức P=

(

log2 loga

Bài 3: Rút gọn biểu thức:
4
−1
2
3
3
3

B=

2÷ 

 
log7 2
23 3 2
3 2 3

+ 25log125 8 ).49
C=

3 2

1
và  ÷
 3

u

( ln x ) ' = 1
x

25

BÀI TẬP TRÊN LỚP

Bài 5: Tính đạo hàm của các
hàm số sau
a ) y = 5 x 4 − 2 ln x − 3 cos x + 7

b) y = (7 x − 3).e 6 x
ln x
c) y =

2x +1
d ) y = ln5 ( x 2 + 2 x + 5)
Bài 6 Tìm tập xác định của các
hàm số sau:
2
a. y = log 3 (-x + 4x + 5)

4

)

a +b

log3 3
b

.

Bài 3 :Tính đạo hàm các
hàm số sau
a. y = log 5 (2x 2 − 3x − 5)
b. y = 3ex−5 sin3x + ln(x+1)
c. y = e2x+1.sin2x
Bài 4: Cho hàm số
 x 
y = ln 
÷.
 x + 1

Chứng minh y'x 2 = e y .

Bài 5. (NC) Tính:
1
 2
 2
x
lim
I= x →∞  e - 2e x + 1÷x  ; J=

 


ln ( 1+ 2x )
lim
x →0
tanx