DE THI TRUONG CHUYEN

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 1 Bùi Văn Chi 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2008– 2009
Ngày thi: 18/06/2008 - Thời gian làm bài: 150 phút


Câu 1. (1,5 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
1
a 1 a
2 a
+ − <
với a > 0.

Câu 2. (3 điểm)
Giải các phương trình sau:
a)
2
2
2x x 11x 6
x 3
x 9
+ −
=
−
−

b)
2

x 2x 1 3 2 2
− + − +
= 1

Câu 3. (1,5 điểm)
Cho x ≥ 1. Hãy tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:
y = 3x +
1
2x


Câu 4. (2,5 điểm)
Một đường tròn tâm O tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Tia
Ax tiếp xúc với đường tròn (O) tại D, (D khác C). Trên tia Ax lấy điểm M. Đường
thẳng qua O và vuông góc với BM cắt CD tại E. Tia AE cắt BM tại F. Chứng minh
rằng điểm F luôn nằm trên một tia cố đònh khi M (M khác A) di động trên tia Ax.

Câu 5. (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) với x > 1, y > 1 sao cho 3x + 1 chia hết cho y
đồng thời 3y + 1 chia hết cho x.





 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 2 Bùi Văn Chi 
GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 MÔN TOÁN CHUYÊN
TRỪỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN BÌNH ĐỊNH
NĂM HỌC 2008 – 2009 – Ngày: 18/06/2008
Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1(1,5 điểm)
Chứng minh bất đẳng thức:
1
a 1 a
2 a
+ − <
với a > 0 (1)
Biến đổi:
(1) ⇔
2 a(a 1)
+
- 2a < 1 (a > 0) ⇔
2 a(a 1)
+
< 1 + 2a (a > 0)
⇔ 4a(a + 1) < (1 + 2a)
2
(a > 0)
⇔ 4a
2
+ 4a < 4a
2
+ 4a + 1 (a > 0) ⇔ 0 < 1: bất đẳng thức đúng
Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Câu 2 (3 điểm)
Giải các phương trình:
a)
2
2

2x x 11x 6
x 3
x 9
+ −
=
−
−
(1)
TXĐ: x ≠ ± 3
Biến đổi:
(1) ⇔ 2x(x + 3) = x
2
+ 11x – 6 (x ≠ ± 3)
⇔ 2x
2
+ 6x – x
2
– 11x + 6 = 0 (x ≠ ± 3)
⇔ x
2
– 5x + 6 = 0 (x ≠ ± 3)
⇔ x = 2.
Vậy nghiệm của phương trình (1) là x = 2.
b)
2
x 2x 1 3 2 2
− + − +
= 1 (2)
Biến đổi:
(2) ⇔

(
)
x 1 2 1 1
− − + =

⇔
x 1 2 2 x 3 2 ; x 1 2
− = + ⇔ = + = − −

Vậy tập nghiệm của phương trình (2):
S =
{
}
3 2; 1 2
+ − −

Câu 3 (1,5 điểm)
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức y = 3x +
1
2x
với x ≥ 1 (1)
Biến đổi:
(1) ⇔ y =
x 1 5x
2 2x 2
+ +

p dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có:

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 3 Bùi Văn Chi 

x 1 x 1
2. .
2 2x 2 2x
+ ≥
= 1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
x 1
2 2x
=
⇔ x = 1 (x ≥ 1)
Và
5x 5
2 2
≥
(x ≥ 1)
Do đó y ≥ 1 +
5 7
2 2
=
. Vậy giá trò nhỏ nhất của y là
7
2
khi x = 1.
Câu 4 (2,5 điểm)

Chứng minh F thuộc tia cố đònh Iy
Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với OE cắt Ax tại P, cắt AB tại Q.
Ta có tứ giác OEPD nội tiếp nên:


1 1
D P
=
(góc nội tiếp cùng chắn cung OE)
Tứ giác OECQ nội tiếp nên


1 1
C Q
=
(góc nội tiếp cùng chắn cung OE)

Mặt khác, tam giác OCD cân tại O nên


1 1
D C
=
.
Suy ra


1 1
P Q
=
, do đó ∆OPQ cân tại O, nên đường cao OE cũng là đường trung tuyến, ta có
PE = EQ.
Vì PQ // BM (cùng vuông góc với OE), nên theo đònh lý Ta lét, ta có:
PE AE EQ
MF AF BF
= =

Suy ra MF = BF.
Gọi I là trung điểm của AB, ta có IF là đường trung bình của ∆ABM.
Vì tia Ax và điểm I cố đònh nên tia Iy // Ax cũng cố đònh.
A
C
Q
P
D
O
I

F
B
M
x
y
1
1
1
1
E

 BỘ ĐỀ THI 10 CHUYÊN trang 4 Bùi Văn Chi 
Vậy khi M di động trên tia Ax thì F di động trên tia cố đònh Iy // Ax, với I là trung điểm của
AB.


Câu 5 (1,5 điểm)
Tìm x, y nguyên với x > 1, y > 1 sao cho:
3x + 1 chia hết y và 3y + 1 chia hết cho x
Ta có 3x + 1
⋮
y , 3y + 1
⋮
x, nên:
3x + 1 = ky; 3y + 1 = mx, với k, m ∈ N, m ≥ 1, k ≥ 1, k 3, m 3.
Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta có: 3x + 1 + 3y + 1 = ky + mx
⇔ ky – 3y + mx – 3x = 2
⇔ y(k – 3) + x(m – 3) = 2 (1)
Vì x > 1, y > 1 và k
3, m 3, nên từ (1) suy ra k và m không thể đồng thời lớn hơn 3,

hoặc đồng thời nhỏ hơn 3.
Không mất tính tổng quát, giả sử m > 3, khi đó 1 ≤ k < 3, suy ra k =1 hoặc 2.
+) Xét trường hợp k = 1
Khi đó ta có 3x + 1 = y.
Vì 3y + 1
⋮
x nên ta có:
3(3x + 1) + 1
⋮
x
⇔ 9x + 4
⋮
x ⇔ 4
⋮
x ⇔ x = 2 hoặc 4 (do x ∈ Z, x > 1)
*) Với x = 2 ta có y = 3x + 1 = 7
*) Với x = 4 ta có y = 3x + 1 = 13.
+) Xét trường hợp k = 2
Khi đó ta có 3x + 1 = 2y
Vì 3y + 1
⋮
x nên ta có:
2(3y + 1)
⋮
x ⇔ 6y + 2
⋮
x ⇔ 3(3x + 1) + 2
⋮
x ⇔ 9x + 5
⋮

x ⇔ 5
⋮
x ⇔ x = 5 (x ∈ Z,
x > 1)
*) Với x = 5 ta có 2y = 3x + 1 = 3.5 + 1 = 16 ⇔ y = 8.
Do m, k có vai trò như nhau nên x, y có thể hoán vò các giá trò cho nhau.
Vì vậy ta tìm được 6 cặp giá trò x, y liệt kê trong bảng sau thỏa mãn điều kiện bài toán.







x 2 7 4 13

5 8
y 7 2 13

4 8 5