Tiểu luận môn Thông tin vệ tinh Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh)

Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 1

I> Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh):
1.1 Phát biểu 3 định luật Kepler
a) Định luật 1
Các vệ tinh chuyển động quanh Trái Đất quỹ đạo elip với Trái Đất là một
tiêu điểm.
b) Định luật 2
Đường nối vệ tinh với Trái Đất quét những diện tích bằng nhau trong những
khoảng thời gian bằng nhau.
c) Định luật 3
Bình phương chu kỳ quỹ đạo của một vệ tinh tỷ lệ với lập phương bán kính
trục lớn của quỹ đạo elip của vệ tinh đó.







Hình 1. Minh họa 3 định luật Kepler.
Đối với quỹ đạo hai vệ tinh theo các quỹ đạo là hình elip, với tiêu điểm ƒ
1
và ƒ
2

cho vệ tinh thứ nhất VT1 và ƒ
1
và ƒ
3
cho vệ tinh thứ hai VT2. Trái Đất nằm tại tiêu điểm

ƒ
1
. Hai hình quạt màu đậm S
1
và S
2
có diện tích bằng nhau và và thời gian cho vệ tinh 1
quét hình S
1
bằng thời gian nó quét hình S
2
. Tỉ số chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh 1 với vệ
tinh 2 bằng tỉ số a
1
3/2
: a
2
3/2
.

Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 2

1.2 Chứng minh các định luật Kepler
1.2.1 Chứng minh định luật 1 về quỹ đạo chuyển động các vệ tinh:
- Giả thuyết bài toán:
Khảo sát chuyển động của của 1 vệ tinh khối lượng m, quanh Trái Đất có
khối lượng M với các giả thuyết:
+ Vệ tinh và Trái Đất chỉ tác động với nhau bằng lực hấp dẫn
.F
.(bỏ qua tất cả các lực khác. Vd: lực tương tác với các hành tinh ở

rất xa không đáng kể).
+ Mặt phẳng quỹ đạo của vệ tinh là không thay đổi.
 Momen lực của Trái Đất tác dụng lên vệ tinh bằng 0. (
.M F r
)
 Momen động lượng của vệ tinh được bảo toàn. L = const.
+ Xét trong hệ quy chiếu mà Trái Đất là đứng yên và vệ tinh
dịch chuyển xung quanh với vận tốc là
v
với khoảng cách là r.

- Xét trong hệ tọa độ cực với Trái Đất là gốc tọa độ như hình vẽ :


Hình 2: Gắn hệ tọa độ và minh họa vị trí tương đối của vệ tinh và TĐ

- Xét vệ tinh trong hệ tọa độ đó ta có:
+ Theo định luật vạn vật hấp dẫn của Newton lực hấp dẫn giữa Trái Đất
và vệ tinh là
.F
: - đặt lên vệ tinh và hướng vào tâm Trái Đất
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 3

- có độ lớn
2
GMm
F
r


+ Thế năng hấp dẫn của vệ tinh :

GMm
Et
r



+ Động năng của vệ tinh :


( trong hệ tọa độ cực vận tốc của một vật bao gồm 2 thành phần :



- Vận tốc xuyên tâm:
r
v

- Vận tốc phương vị:
v



Hình 3: Mô tả các thành phần vận tốc trong hệ tọa độ cực
).
 Cơ năng của vệ tinh là :
2
kin
E Et E

2
GMm mv
r

   


Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 4


và
.
. . .
2 2 2
22
( ) 2 ( ) 2 ( )
EE
r GMu r r GMu r
mm

      

+ Momen động lượng của vệ tinh được tính theo công thức:

2
d
L mr
dt



đặt :
1
u
r

thì ta có
.
2
1dr du
r
dt u dt


và
2
.
d Lu
dt m





22
.
Lu Lu dt L
dt du du
m m du
mr


   
  
và
22
.
2
2
2
E L u
r GMu
mm
  


2 2 2
2
2 2 2
1
2 2 2
2
L
du du
E L u Em GMm u
m GMu u
m m L L

   
   



2 2 4 2 2 4
2
2 4 2 4
1
22
()
du
Em G M m GM G M m
uu
L L L L


   


Để biểu thức gọn hơn ta đặt các hằng số :
2
2
L
p
GMm


và
2
2
22
2

2
11
EL
Ep
mm
GMm G M




   

Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 5


22
1 1 1
1
arccos arccos
1
u
p r p
du
u
pp
pp



   


   
   
   
   
   
   

   
   
   


Vậy quỹ đạo của vệ tinh thỏa mãn phương trình :

1 . os( )
p
r
c




- Phương trình elip trong hệ tọa độ cực:
Nếu xét 1 elip trong hệ tọa độ cực thỏa mãn:
- Có 2 tâm F
1
và F
2
, trong đó tâm F

1
của elip trùng với gốc tọa
độ
- Trục lớn của elip thỏa mãn
0


, bán kính trục lớn: a, trục
nhỏ: b.
- Gọi
2 2 2 2 2
c a b b a c    
và
c
a


là độ lệch
tâm của elip và
2
b
p
a

là bán kính trục chuẩn của elip

Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 6


Hình 4: Minh họa các thông số của hình elip

 O = F
1
( 0 , 0 ) và F
2
( 2c , π ) .
Với điểm M ( r ,

) bất kỳ trên elip ta luôn có
MF1= r và MF2=
22
( . os 2 ) ( .sin )r c c r



Và MF1 + MF2 = 2a.
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 7

22
22
2 2 2
2 2 2 2
22
2
2
( . os 2 ) ( .sin ) 2
( . os 2 ) ( .sin ) 2
( . os 2 ) ( .sin ) (2 )
4 . os 4 4 4
( . os )
( . os )

1 os
r r c c r a
r c c r a r
r c c r a r
r cr c c r ar a
r c c a a c
r c c a b
b
r
c
ac
a







   
    
    
     
   
  
 





 Phương trình của elip trong hệ tọa độ cực là:
 
1 . os
p
r
c




Kết luận :
Vậy quỹ đạo của vệ tinh là hình elip phẳng với 1 tâm là Trái Đất và thỏa mãn:
- bán kính trục chuẩn của quỹ đạo là:
2
2
L
p
GMm


- độ lệch tâm của quỹ đạo là:
2
2
22
2
2
11
EL
Ep

mm
GMm G M




   


1.2.2 Chứng minh định luật kepler 2
- Giả thuyết :
+ Vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo là elip phẳng như chứng minh ở
định luật 1.
+ Vùng quét của đường nối tâm Trái Đất với vệ tinh trong khoảng thời
gian Δt như hình vẽ (vùng màu xanh da trời).
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 8



Hình 5: Mô tả định luật Kepler 2

- Chứng minh bằng định luật bảo toàn momen động lượng:
Xét trong khoảng thời gian dt rất nhỏ thì:
Quãng đường của vệ tinh đi được Δs rất bé so với khoảng
cách từ nó đên tâm Trái Đất r => ds có thể coi là thẳng và
khoảng cách r coi như không đổi.
Giả sử góc mà đường nối tâm quét được là Δθ rất nhỏ =>
vùng quét sẽ là một tam giác đều cạnh r và góc xen giữa là dθ.
 Diện tích vùng quét trong khoảng thời gian dt là :
2

2
1
2
1
2
dS r d
dS d
r
dt dt



 

Theo định luật bảo toàn momen động lượng ở trên :
2
ons
d
L mr c t
dt



Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 9


co
2
dS L
nst

dt m

hay trong các khoảng thời gian như nhau thì diện
tích S là như nhau.

- Chứng minh bằng phương pháp hình học của Newton

Hình 6 : Hai vùng “quét” được của vệ tinh sau 2 khoảng Δt liên tiếp nhau

Xét trong sau các khoảng Δt như nhau và rất bé.
Ban đầu vệ tinh có vị trí M, vận tốc
v
như hình vẽ. xét trong khoảng thời
gian Δt, nên coi như lúc này lực hấp dẫn chưa tác động lên hướng chuyển
động của vệ tinh. Nó đi đến M
1
và khoảng cách MM
1
= Δs.
Khi đến vị trí mới M
1
lực hấp dẫn tại đây thay đổi => nó sẽ chuyến động
theo phương vận tốc cũ đến M
21
cũng được 1 đoạn M
1
M
21
= Δs, và theo
hướng của lực hấp dẫn là Δs’đến M

2
.( vector M
21
M
2
cùng hướng với vector
lực hướng tâm).=> Trong khoảng Δt tiếp theo này nó đi được khoảng M
1
M
2

Nhận xét: vì khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vệ tinh là rất lớn so với
khoảng dịch chuyển sau mỗi khoảng Δt, nên tại 2 thời điểm liên tiếp có thể
coi : 2 lực hướng tâm song song với nhau. Hay M
1
M
21
song song với OM
1
.

 S1 = S
ΔOMM1
= S
ΔOM1M21
(vì đáy MM
1
= Δs = M
1
M

21
và cùng chiều cao từ
O xuống đường thẳng MM
21
).
 S2 = S
ΔOM2M1
= S
ΔOM1M21
(vì chung đáy OM
1
và 2 khoảng cách từ M
21
đến
đáy bằng khoảng cách từ M
2
đến đáy do: M
1
M
21
// OM
1
)
 S1 =S2.
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 10

Vậy
co
dS
nst

dt

. (đpcm)
1.2.3 Chứng minh định luật Kepler 3 về mối liên hệ giữa chu kỳ chuyển động của vệ
tinh và bán kính quỹ đạo của nó
- Giả thuyết :
Theo định luật 1 đã có quỹ đạo của vệ tinh là hình elip phẳng, gọi T là
chu kỳ bay của vệ tinh. Các điều kiện và hệ tọa độ vẫn giữ nguyên như đã
chứng minh ở định luật 1.
Gọi thêm S là diện tích được bao bởi quỹ đạo elip của vệ tinh.
- Chứng minh trường hợp tổng quát :
Ta có S cũng chính là diện tích của vùng quét bởi đường nối tâm Trái
Đất với vệ tinh khi nó đi được đúng 1 “vòng” .

0
22
T
L LT
S dt
mm


. (do momen động lượng được bảo toàn)
Ta còn có diện tích elip được tính bởi công thức : S= πab.
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 11

2
2
2 2 2
2

2
2
22
2
2
32
22
3
2
2
4 ( )
4
4
ons
m ab
T
L
m ab
T
L
m a pa
T
L
L
m
T
GMm
aL
T
ct

a GM





 

 


 
 
  

- Khi vệ tinh bay rất xa so với Trái Đất :
Coi quỹ đạo vệ tinh là đường tròn với tâm là Trái Đất, bán kính
quỹ đạo là R+h. Với R là bán kính TĐ, h là độ cao của vệ tinh so với
mặt đất.
 Chuyển động của vệ tinh là tròn đều xung quanh Trái Đất.
 Lực hấp dẫn của Trái Đất với vệ tinh giúp nó cân bằng với lực
quán tính ly tâm của chuyển động quay.

2
2
2
.
( ) ( )
GMm mv GM
v

R h R h R h
  
  

Mặt khác :
2 ( )Rh
T
v





2 3 2 2
2
3
4 ( ) 4
. ons .
()
R h T
T c t
GM R h GM


   



Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 12

II> Tính toán góc ngẩng của anten và góc quan sát vệ tinh:

2.1 Góc quan sát vệ tinh (với vệ tinh địa tĩnh)
- Góc phương vị : là góc nằm ngang (tính từ phía bắc của đường kinh
tuyến từ theo chiều kim đồng hồ đến đường thẳng đã cho), được tạo bởi
đường tâm của búp sóng chính với phương Bắc của trái đất theo chiều
kim đồng hồ, có giá trị từ 0 đến < 360 độ.
- Góc ngẩng : là góc giữa hướng của chảo thu so với mặt phẳng nằm
ngang
- Việc xác định góc quan sát vệ tinh( góc nhìn của anten mặt đất):
chính là việc xác định góc phương vị và góc ngẩng để anten có thể hướng
thẳng đến vệ tinh.
- Các thông số ảnh hưởng đến góc quan sát vệ tinh bao gồm:
- Vị trí quan sát: + Vĩ độ tại trạm mặt đất
e


+ Kinh độ tại trạm mặt đất
e


- Vị trí của vệ tinh: (kinh độ điểm dưới vệ tinh)
ss


Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 13


Hình 7 : Mô tả các thông số liên quan đến vị trí vệ tinh và Trái Đất
 Góc quan sát vệ tinh ???

Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 14

Hình 8:
Để tiện cho việc tính toán ta đưa bài toán về các hình 8 a, b và đăt tên các
góc như hình vẽ.
Ở hình a ta thấy: các cạnh tỷ lệ với số đo của cung mà nó chắn.(cùng là
đường tròn bán kính a
E
= 6378km).
 a = 90
o
, c = 90
o
-
e

, B =
ss e



giải tam giác cầu ở hình a tiếp ta có : (quy tắc Napier)

arccos[cos( ). os( )]
e
b B c



sin | |
A=arcsin
sin
B
b



(*)
 bảng quy đổi từ A sang góc phương vị A
z
:

Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 15


Hình 9: Các trường hợp của góc A
Ở hình b: theo định lý hàm số cosin trong tam giác phẳng ta có
22
2 cos
GSO GSO
d R a Ra b  

 góc ngẩng của anten là :
sin
arccos
GSO
e
ab

d





.
(vì góc ngẩng nằm trong mp tam giác và vuông góc với R tại
anten).
2.2 Xác định góc ngẩng của anten
Tính góc ngẩng của anten (
e

):
- Góc ngẩng là góc tạo thành tiếp tuyến tại điểm thu ở mặt đất và đường
nối điểm đến với vệ tinh.
- Góc ngẩng tại xích đạo lớn nhất bằng 90
o
và càng về phía hai cực thì nó
càng giảm.
Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 16

- Khi biết vị trí đặt anten ta có thể suy ra được góc ngẩng của anten theo
công thức:

 
22
os( ). os( ) 0.151263
arctan
1 os . os ( )

e
c Lon c Lac
c Lon c Lac









Trong đó: - Lac là vĩ độ nơi đặt anten (trạm mặt đất)
- Loc là sai khác kinh độ giữa vệ tinh và trạm mặt đất
- Để đơn giản trong việc lắp đặt anten thay vì đi tính toán góc ngẩng ta tính
thông qua góc nghiêng của vệ tinh theo công thức sau:
e

=90
o
–[ góc_lệch (d) + góc_nghiêng(i) ].
- Hình vẽ và bảng thông số tra góc nghiêng tại Hà Nội và TP.Hồ Chí Minh

Hình 10: Mô tả cách xác định góc ngẩng của anten




Báo cáo môn Thông tin vệ tinh Trang 17

Mục Lục

Nội dung Trang

I. Chứng minh 3 định luật Kepler (trong thông tin vệ tinh) 1
1.1. Phát biểu 3 định luật Kepler 1
1.2. Chứng minh các định luật Kepler 2
1.2.1. Chứng minh định luật 1 về quỹ đạo chuyển động
các vệ tinh: 2
1.2.2. Chứng minh định luật kepler 2 7
1.2.3. Chứng minh định luật Kepler 3 về mối liên hệ giữa
chu kỳ chuyển động của vệ tinh và bán kính quỹ đạo của nó 10
II. Tính toán góc ngẩng của anten và góc quan sát vệ tinh: 12
2.1. Góc quan sát vệ tinh (với vệ tinh địa tĩnh) 12
2.2. Xác định góc ngẩng của anten 15