35 dạng toán liên quan đến KSHS 12

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Trang 1



Dạng 1: Cho hàm số
( , )
y f x m

có tập xác định D. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên D
Cách giải
 Hàm số đồng biến trên D
'
0,
y x D
   

 Hàm số nghịch biến trên D
'
0,
y x D
   

Chú ý:
Nếu
' 2
y ax bx c
  
thì:
'

0
0,
0
a
y


  

 


và
'
0
0,
0
a
y


  

 



Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( , )
y f x m


đơn điệu trên một khoảng
( ; )
a b

Cách giải
 Hàm số đồng biến trên
'
( ; ) 0, ( ; )
a b y x a b
   

 Hàm số nghịch biến trên
'
( ; ) 0, ( ; )
a b y x a b
   

 Sử dụng kiến thức:
    
( ; )
( ), ( ; ) max ( )
a b
m f x x a b m f x
và     
( ; )
( ), ( ; ) min ( )
a b
m f x x a b m f x

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
    
3 2
( , )
y f x m ax bx cx d
đơn điệu trên một khoảng
có độ dài bằng k cho trước.
Cách giải
 Ta có:
' 2
3 2
y ax bx c
  

 Hàm số đồng biến trên khoảng
1 2
( ; )
x x

PT:
'
0
y

có hai nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x

0
0
a




 

(1)
 Biến đổi
 
1 2
x x k
thành
2 2
1 2 1 2
( ) 4
x x x x k
  
(2)
 Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m
 Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( , )
y f x m

có cực trị
Cách giải
 Đối với hàm số:

   
3 2
y ax bx cx d
. Khi đó, ta có:
' 2
3 2
y ax bx c
  

Hàm số có cực trị

Hàm số có CĐ và CT

PT:
' 2
3 2 0
y ax bx c
   
có hai nghiệm phân biệt
 Đối với hàm số:
2
ax bx c
y
mx n
 


. Khi đó, ta có:
2
'

2 2
2 ( ) ( )
( ) ( )
amx anx bn cm g x
y
mx n mx n
  
 
 

Hàm số có cực trị

Hàm số có CĐ và CT


PT:
2
( ) 2 ( ) 0
g x amx anx bn cm
    
có hai nghiệm phân biệt khác
n
m


C¸c d¹ng to¸n liªn quan ®Õn kh¶o s¸t hµm sè


Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Trang 2

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( , )
y f x m

đạt cực trị tại điểm
0
x

Cách giải
 Hàm số đạt cực trị tại điểm
0
x
thì:
'
0
( ) 0
y x

. GPT này ta tìm được giá trị của m
 Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem có thỏa mãn hay không?
 Nếu
B3
y

hoặc
B4
y

thì vận dụng kiến thức:

''
0 0
( ) 0
y x x
  là điểm CĐ
''
0 0
( ) 0
y x x
  là điểm CT
 Nếu
B2
B1
y  thì kiểm tra bằng cách lập bảng biến thiên
Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số
( , )
y f x m

có cực trị tại hai điểm
1
x
,
2
x
và các điểm cực
trị đó thỏa mãn một hệ thức (I) nào đó.
Cách giải
 Tìm điều kiện của m để hàm số có cực trị (1)
 Vận dụng định lý Viet, ta có hệ thức liên hệ giữa
1

x
và
2
x

 Biến đổi hệ thức (I) đã cho và vận dụng định lý Viet để tìm được m
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số
( )
y f x


Cách giải
 Đối với hàm số
3 2
y ax bx cx d
   
:
 Thực hiện phép chia đa thức
y
cho
'
y
và viết hàm số dưới dạng:
'
( ).
y u x y Mx N
  

 Gọi

1 1
( ; )
A x y
và
2 2
( ; )
B x y
là hai điểm cực trị. Khi đó:
1 1
y Mx N
 
và
2 2
y Mx N
 

 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng:
y Mx N
 

 Đối với hàm số
2
ax bx c
y
mx n
 


:
 Chứng minh bổ đề: Nếu hàm số

( )
( )
u x
y
v x

có
'
0
0
( ) 0
( ) 0
y x
v x







thì
'
0
0
'
0
( )
( )
( )

u x
y x
v x

 Áp dụng bổ đề:
Gọi
1 1
( ; )
A x y
và
2 2
( ; )
B x y
là hai điểm cực trị. Khi đó:
1
1
2
ax b
y
m

 và
2
2
2
ax b
y
m



 Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị có dạng:
2
a b
y x
m m
 

Dạng 8: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )
y f x m

có các điểm cực trị nằm về hai phía đối
với trục tung
Cách giải
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số

Trang 3

 A và B nằm về hai phía đối với trục
1 2
0
Oy x x
 
(sử dụng hệ thức (2))
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )
y f x m

có các điểm cực trị nằm về hai phía đối
với trục hoành
Cách giải
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)

 Tính các giá trị
1
y
và
2
y
(tính giống như ở Dạng 7)
 Các điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục
1 2
0
Oy y y
 
(sử dụng hệ thức (2))
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 10: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )
y f x m

có các điểm cực trị nằm về hai phía đối
với đường thẳng
: 0
d Ax By C
  
cho trước
Cách giải
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2

x
(1)
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
 Tính các giá trị
1
y
và
2
y
(tính giống như ở Dạng 7)

Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )
A x y
,
2 2
( ; )
B x y

 A và B nằm về hai phía đối với
1 1 2 2
( )( ) 0
d Ax By C Ax By C

      
kết quả
Dạng 11: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )
y f x m

có các điểm CĐ và CT đối xứng với
nhau qua đường thẳng
: 0
d Ax By C
  

Cách giải
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
 Tính các giá trị
1
y

và
2
y
(tính giống như ở Dạng 7)

Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )
A x y
,
2 2
( ; )
B x y

 A và B đối xứng với nhau qua
AB d
d
I d








giá trị m
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Dạng 12: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )

y f x m

có các điểm CĐ và CT cách đều đường
thẳng
: 0
d Ax By C
  

Cách giải
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
 Tính các giá trị
1
y
và
2
y
(tính giống như ở Dạng 7)


Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )
A x y
,
2 2
( ; )
B x y

 A và B cách đều đường thẳng
AB d
I d







giá trị m
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
trong đó I là trung điểm của AB
trong đó I là trung điểm của AB

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Trang 4

Dạng 13: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )

y f x m

có các điểm cực trị A và B thỏa mãn
một hệ thức nào đó (VD:
,
AB k AB

ngắn nhất,
2
OA OB
 …)
Cách giải
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị
1
x
và
2
x
(1)
 Vận dụng định lý Viet ta có hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
(2)
 Tính các giá trị
1
y
và

2
y
(tính giống như ở Dạng 7)

Tọa độ các điểm cực trị:
1 1
( ; )
A x y
,
2 2
( ; )
B x y

 Từ hệ thức liên hệ giữa các điểm A, B ta tìm được giá trị của m
Dạng 14: Tìm điểm M thuộc đường thẳng
: 0
d Ax By C
  
sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số
( )
y f x

là nhỏ nhất
Cách giải
 Tìm các điểm cực trị
1 1
( ; )
A x y
và

2 2
( ; )
B x y
của ĐTHS
( )
y f x


 Viết phương trình đường thẳng AB
 Kiểm tra xem A va B nằm về cùng một phía hay nằm về hai phía đối với đường thẳng
d

+ Nếu:
1 1 2 2
( )( ) 0
Ax By C Ax By C
     
A và B nằm về hai phía đối với d
Khi đó:
MA MB AB
 
. Do đó:
MA MB

nhỏ nhất

M là giao điểm của AB với đường thẳng d
+ Nếu:
1 1 2 2
( )( ) 0

Ax By C Ax By C
     
A và B nằm về cùng một phía đối với d
- Xác định tọa độ điểm A
’
đối xứng với điểm A qua đường thẳng d
- Khi đó:
' '
MA MB MA MB AB
   
. Do đó:
MA MB

nhỏ nhất

M là giao điểm của A
’
B
với đường thẳng d





Dạng 15: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
( , )
y f x m

có các điểm CĐ, CT và đường thẳng đi
qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng

: 0
d Ax By C
  
một góc bằng
α

Cách giải
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)
 Viết phương trình đường thẳng

đi qua hai điểm cực trị
 Khi đó:
1
1
α α






  


     




  




.
taïo vôùi goùc tan

d
d
d
d
d k k
d k k
k k
d
k k
giá trị của m
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả


A*
*B
d
*M
*M
0


A, B nằm về hai phía

B

M
A
A
’

d

H


A, B nằm về cùng một phía

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Trang 5

Dạng 16: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số
4 2
y ax bx c
  
có các điểm CĐ, CT tạo thành một
tam giác vuông cân.
Cách giải
 Tìm điều kiện của m để hàm số có các điểm cực trị (1)
 Tìm tọa độ các điểm cực trị A, B, C của ĐTHS
 Xác định xem
ABC

cân tại điểm nào, giả sử cân tại A
 Khi đó:
ABC


vuông cân
0
.OA OB
  
 
giá trị của m
 Kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả
Chú ý: ĐTHS trùng phương có trục đối xứng là trục Oy và ĐTHS có các điểm CĐ, CT

ĐTHS có ba điểm
cực trị
Dạng 17: Tìm giá trị của m để tiệm cận xiên của ĐTHS
2
ax bx c
y
mx n
 


chắn trên hai trục tọa độ một tam
giác có diện tích bằng k.
Cách giải
 Tìm đường tiệm cận xiên của ĐTHS
 Tìm tọa độ giao điểm
( ;0)
A
A x và
(0; )
B

B y
của TCX với các trục tọa độ
 Khi đó:
A
OA x

và
1 1
. .
2 2
B OAB A B
OB y S OAOB x y

   

 Từ đó, suy ra kết quả của m
Dạng 18: Tìm các điểm M trên đồ thị (C):
ax b
y
cx d



sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến giao điểm của
hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Cách giải
 Tìm các đường tiệm cận của ĐTHS

Giao điểm A và B của hai đường tiệm cận
 Sử dụng phương pháp chia đa thức, viết lại hàm số đã cho dưới dạng:

q
y p
cx d
 

(với ,p q


)
 Gọi
; ( )
q
M m p C
cm d
 
 
 

 
. Tính khoảng cách từ điểm M đến các đường tiệm cận
 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm

kết quả
Chú ý: - Khoảng cách từ điểm
0 0
( ; )
M x y
đến đường thẳng
: 0
Ax By C

   
là:
0 0
( ; )
2 2
M
Ax By C
d
A B

 



- Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm A và B: 2
A B AB
  . Dấu “=” xảy ra
A B
 

- Đối với hàm số dạng
2
ax bx c
y
mx n
 


cách làm hoàn toàn tương tự
Dạng 19: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

( ): ( )
C y f x

tại điểm
0 0
( ; )
M x y

Cách giải
 Xác định
0
x
và
0
y

B
A
x
y
O

Minh Tun Cỏc dng toỏn liờn quan n kho sỏt hm s
Trang 6

Tớnh
'
y
. T ú suy ra:
'

0
( )
y x

Phng trỡnh tip tuyn cn tỡm:
'
0 0 0
( )( )
y y x x x y


Dng 20: Vit phng trỡnh tip tuyn vi th
( ): ( )
C y f x

bit tip tuyn ú cú h s gúc bng k
Cỏch gii
Xỏc nh k
Tớnh
'
( )
f x
v gii phng trỡnh
'
( )
f x k

tỡm honh tip im
0
x

. T ú suy ra:
0 0
( )
y f x

PT tip tuyn cn tỡm:
0 0
( )
y k x x y


Dng 21: Vit phng trỡnh tip tuyn vi th
( ): ( )
C y f x

bit tip tuyn ú i qua im
( ; )
A A
A x y

Cỏch gii
Gi

l ng thng i qua im
( ; )
A A
A x y
v cú h s gúc k

PT : ( )

A A
y k x x y

(*)


l tip tuyn ca (C)

HPT:
'
( ) ( ) (1)
( ) (2)
A A
f x k x x y
k f x







cú nghim
Thay k t (2) vo (1) ta c:
'
( ) ( )( ) (3)
A A
f x f x x x y
Gii phng trỡnh (3) ta c
x k

(thay vo (2))

PT tip tuyn cn tỡm (thay vo (*))
Dng 22: Tỡm cỏc im M sao cho t im M cú th k c n tip tuyn ti th
( ): ( )
C y f x


Cỏch gii
Gi s:
0 0
( ; )
M x y
. Phng trỡnh ng thng

qua M v cú h s gúc k cú dng:
0 0
( )
y k x x y




l tip tuyn ca (C)

HPT:
0 0
'
( ) ( ) (1)

( ) (2)
f x k x x y
k f x







cú nghim
Thay k t (2) vo (1) ta c:
'
0 0
( ) ( )( ) (3)
f x f x x x y
Khi ú, t M k c n tip tuyn n (C)

PT (3) cú n nghim phõn bit

kt qu
Dng 23: Tỡm cỏc im M sao cho t im M cú th k c 2 tip tuyn ti th
( ): ( )
C y f x

v hai tip
tuyn ú vuụng gúc vi nhau.
Cỏch gii
Gi s:
0 0

( ; )
M x y
. Phng trỡnh ng thng

qua M v cú h s gúc k cú dng:
0 0
( )
y k x x y




l tip tuyn ca (C)

HPT:
0 0
'
( ) ( ) (1)
( ) (2)
f x k x x y
k f x







cú nghim
Thay k t (2) vo (1) ta c:

'
0 0
( ) ( )( ) (3)
f x f x x x y
Khi ú, qua M k c 2 tip tuyn n (C)

PT (3) cú 2 nghim phõn bit
1
x
v
2
x

Hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau
' '
1 2
( ). ( ) 1
f x f x

kt qu
Chỳ ý: Qua M k c 2 tip tuyn n (C) sao cho hai tip im nm v hai phớa i vi trc honh





1 2
(3) coự 2 nghieọm phaõn bieọt
( ). ( ) 0f x f x

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Trang 7

Dạng 24: Tìm các giá trị của m để đồ thị
1
( ): ( , )
C y f x m
 cắt đồ thị
2
( ): ( )
C y g x
 tại n điểm phân biệt
Cách giải

1
( )
C
cắt
2
( )
C
tại n điểm phân biệt

PT:
( , ) ( )
f x m g x

có n nghiệm phân biệt
 Tìm m bằng một số cách: dựa vào điều kiện có nghiệm của PT bậc hai, dựa vào bảng biến thiên, dựa

vào đồ thị …

kết quả
Dạng 25: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( , ) 0
F x m


Cách giải
 Biến đổi phương trình
( , ) 0
F x m

về dạng:
( ) ( )
f x g m

, trong đó đồ thị
( )
y f x

đã vẽ đồ thị
 Số nghiệm của PT đã cho chính là số giao điểm của đồ thị
( ): ( )
C y f x

với đường thẳng
: ( )
d y g m


 Dựa vào số giao điểm của
d
với (C)

kết quả
Dạng 26: Tìm giá trị của m để đường thẳng :
d y px q
 
cắt đồ thị ( ):
ax b
C y
cx d



tại hai điểm phân biệt
M, N sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ nhất.
Cách giải

d
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt

PT:
ax b
px q
cx d


 

có hai nghiệm phân biệt

PT:
2
0
Ax Bx C
  
(1) có hai nghiệm phân biệt khác
d
c



điều kiện của m (*)
 Khi đó,
d
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt
1 1
( ; )
M x y
và
2 2
( ; )
N x y

. Theo định lý Viet ta có mối liên hệ
giữa
1
x
và
2
x
(
1
x
và
2
x
là hai nghiệm của pt (1))
 Tính:
2 2 2
2 1 2 1
( ) ( )MN x x y y
    
kết quả của m để MN là nhỏ nhất
Chú ý: - Khi tính
1
y
và
2
y
ta thay
1
x
và

2
x
vào phương trình của đường thẳng
d

-
OMN

vuông
1 2 1 2
. 0 0
OM ON x x y y
    
 

- Đối với đồ thị của hàm số
2
( ):
ax bx c
C y
mx n
 


cách làm hoàn toàn tương tự
Dạng 27: Tìm giá trị của m để đường thẳng :
d y px q
 
cắt đồ thị ( ):
ax b

C y
cx d



tại hai điểm phân biệt
thuộc cùng một nhánh của (C).
Cách giải
 Xác định tiệm cận đứng của (C)

d
cắt
( )
C
tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của (C)

PT:
ax b
px q
cx d

 

có hai nghiệm phân biệt nằm về cùng một phía đối với TCĐ

PT:
2
0
Ax Bx C
  

(1) có hai nghiệm phân biệt khác
d
c

và nằm về cùng một phía với TCĐ

kết quả của m (vận dụng điều kiện để hai điểm nằm cùng một phía đối với đường thẳng)

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Trang 8

Dạng 28: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị
3 2
( ):
C y ax bx cx d
   
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Cách giải
 Điều kiện cần:
 Hoành độ các giao điểm
1 2 3
, ,
x x x
là nghiệm của PT:
3 2
0
ax bx cx d
   
(1)

 Theo định lý Viet, ta có:
1 2 3
b
x x x
a
   
(2)
 Do
1 2 3
, ,
x x x
lập thành một cấp số cộng, nên:
1 3 2
2
x x x
  . Thay vào (2) ta được:
2
3
b
x
a
 

 Thay vào (1), ta được giá trị của m
 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không
 Kết luận: Đưa ra giá trị của m
Dạng 29: Tìm giá trị của m để đường thẳng đồ thị
3 2
( ):
C y ax bx cx d

   
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành một cấp số nhân.
Cách giải
 Điều kiện cần:
 Hoành độ các giao điểm
1 2 3
, ,
x x x
là nghiệm của PT:
3 2
0
ax bx cx d
   
(1)
 Theo định lý Viet, ta có:
1 2 3
d
x x x
a
 
(2)
 Do
1 2 3
, ,
x x x
lập thành một cấp số nhân, nên:
2
1 3 2
x x x


. Thay vào (2) ta được:
3
2
d
x
a
 
 Thay vào (1), ta được giá trị của m
 Điều kiện đủ: Thử lại các giá trị của m vừa tìm được xem PT đã cho có 3 nghiệm hay không
 Kết luận: Đưa ra giá trị của m
Dạng 30: Cho họ đường cong
( ): ( , )
m
C y f x m

, với m là tham số. Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên
đi qua với mọi giá trị của m.
Cách giải

 Gọi
0 0
( ; )
A x y
là điểm cố định của họ
( )
m
C
. Khi đó ta có:
0 0

( , ), 0,
y f x m m Am B m
     


0
0
0
A
x
B


 



và
o
y

điểm cố định A
 Kết luận các điểm cố định mà họ
( )
m
C
luôn đi qua
Dạng 31: Cho họ đường cong
( ): ( , )
m

C y f x m
 , với m là tham số. Tìm các điểm mà họ đường cong trên
không đi qua với mọi giá trị của m.
Cách giải
 Gọi
0 0
( ; )
A x y
là điểm mà họ
( )
m
C
không đi qua
m

.
 Khi đó phương trình ẩn m:
0 0
( , )
y f x m
 vô nghiệm

điều kiện của
0
x
và
0
y

Đỗ Minh Tuấn Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số
Trang 9

Dạng 32: Cho đồ thị
( ): ( )
C y f x

. Vẽ đồ thị của hàm số


y f x

Cách giải
 Vẽ đồ thị của hàm số
( ): ( )
C y f x


 Ta có:
 
( )
( )
f x
y f x
f x

 




 Do đó, đồ thị của hàm số


y f x
 là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm ở bên phải trục Ox
 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox
Dạng 33: Cho đồ thị
( ): ( )
C y f x

. Vẽ đồ thị của hàm số
( )
y f x


Cách giải
 Vẽ đồ thị của hàm số
( ): ( )
C y f x


 Ta có:
( )
( )
( )
f x
y f x
f x


 




 Do đó, đồ thị của hàm số

( )
y f x
là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) bên trên trục Ox
 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) ở bên dưới trục Ox qua trục Ox
Dạng 34: Cho đồ thị
( ): ( )
C y f x

. Vẽ đồ thị của hàm số
( )
y f x

Cách giải
 Vẽ đồ thị của hàm số
( ): ( )
C y f x


 Ta có:




 





 


( ) 0
( )
( )
( )
f x
y f x
y f x
y f x

 Do đó, đồ thị của hàm số 
( )
y f x
là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ thị (C) nằm bên trên trục Ox
 Phần 2: là phần đối xứng với phần 1 qua trục Ox
Dạng 35: Cho đồ thị
( ): ( )
C y f x

. Vẽ đồ thị của hàm số  

( ) ( ) . ( )
y f x u x v x

Cách giải
 Vẽ đồ thị của hàm số
( ): ( )
C y f x


Ta có:





( ). ( )
( ). ( )
u x v x
y
u x v x

 Do đó, đồ thị của hàm số  
( ) ( ) . ( )
y f x u x v x
là hợp của hai phần:
 Phần 1: là phần của đồ (C) trên miền

( ) 0
u x

 Phần 2: là phần đối xứng với phần đồ thị (C) trên miền

( ) 0
u x
qua trục Ox

nếu
0
x


nếu
0
x


nếu
( ) 0
f x


nếu
( ) 0
f x


nếu

( ) 0
u x

nếu
( ) 0
u x
