Tự chọn nâng cao : Dạng toán liên quan dền phân tích thành nhân tử

Chủ đề : Một số dạng toán sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử
I . Một số kiếân thức liên quan
A. Khái niệm về phân tích đa thức thành nhân tử
Đa thức f(x) có bậc n được viết dưới dạng tích của các đa thức có bậc nhỏ hơn n .
f(x) = q
1
(x).q
2
(x)…..q
k
(x) trong đó các đa thức q
i
(x) ( i= 1,2,3….k) là các đa thức có bậc nhỏ hơn n
và tổng các bậc của các đa thức đó bằng n .
B. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1. Đặt nhân tử chung : AB + AC – AD = A(B + C – D)
2. Hằng đẳng thức :
a. A
2
± 2AB + B
2

= (A ± B)
2
b. A
3
± 3A
2
B + 3AB
2
± B

3
= (A ± B)
3
c. A
2
– B
2
= ( A – B)(A + B)
d. A
3
– B
3
= (A – B)(A
2
+ AB + B
2
)
e. A
3
+ B
3
= (A + B)(A
2
– AB + B
2
)
f. A
2
+ B
2

+ C
2
+ 2AB +2AC + 2BC = (A + B + C)
2

g. A
n
– B
n
= (A – B)(A
n-1
+A
n-2
B + A
n-3
B
2
….. + AB
n-2
+ B
n-1
)
h. A
2n+1
+ B
2n+1
= (A + B)(A
2n
– A
2n-1

B + A
2n-2
B
2
…. + (-1)
k
A
n-k
B
k
…- AB
2n-1
+ B
2n
)
3. Nhóm các hạng tử : Nhóm các số hạng một cách thích hợp để đa thức có nhân tử chung
4. Thêm và bớt một hạng tử – tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Ví dụ : Phân tích đa thức x
2
+ x – 6 thành nhân tử
Cách thêm và bớt : x
2
+ 3x – 2x – 6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x – 2)(x + 3)
Tách một hạng tử : x
2
+ x – 2 – 4 = ( x
2
– 4) + ( x – 2) = (x –2)(x + 2) + (x + 2)
= (x – 2)(x + 3)
5. Đặt ẩn phụ : Khi trong đa thức có chứa các biểu thức giống nhau ta có thể dùng ẩn phụ để đưa đa

thức về dạng dể nhận biết hơn .
Ví dụ : Phân tích đa thức (x
2
+ x + 2)
2
– 3(x
2
+ x + 2)(x
2
– x +3) + 2(x
2
– x + 3)
2
Ta đặt a = x
2
+ x + 2 ; b = x
2
- x + 3 thì được a
2
– 3ab + 2b
2
= (a-b)(a – 2b)
Thay a, b vào ta được (x
2
+ x + 2 - x
2
+ x – 3)( x
2
+ x + 2 - 2x
2

+ 2x – 6) = (2x – 1)(-x
2
+ 3x –4)
C. Một số dạng toán liên quan đến việc sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử
1. Tính nhẩm
2. Tìm nghiệm của đa thức có bậc lớn hơn 2 hoặc tìm nghiệm của phương trình có bậc lớn hơn 2
.
Nếu đa thức f(x) = q(x).p(x) , để tìm nghiệm của đa thức f(x) ta đi tìm nghiệm của đa thức
q(x) và p(x) . Mà nghiệm của các đa thức q(x) và p(x) thường dễ tìm hơn đa thức f(x)
3. Chứng minh đa thức P chia hết cho đa thức Q
Nếu đa thức P = Q . M thì đa thức P chia hết cho đa thức Q .
Do vậy khi chứng minh đa thức P chia hết cho đa thức Q ta chỉ cần phân tích đa thức P thành
nhân tử trong đó có một nhân tử là Q .
4. Xét dấu của một đa thức có bậc lớn hơn 1 . (Chủ yếu là xét dấu của đa thức khi được phân
tích thành 2 nhân tử ) . Nếu f(x) = q(x).p(x) .
Để f(x) ≥ 0 khi và chỉ khi q(x) và p(x) cùng dấu
Để f(x) ≤ 0 khi và chỉ khi q(x) và p(x) trái dấu .
5. Tính giá trò của một biểu thức ( Nhất là các biểu thức có điều kiện). Trong trường hợp này có
thể phân tích biểu thức có điều kiện hoặc biểu thức có trong bài thành nhân tử rồi áp dụng
để tính
6. Xét tính chia hết trên tập hợp số nguyên : Trong tập hợp số nguyên ta có tính chất “Trong
tập hợp n số nguyên liên tiếp bao giờ cũng có một số chia hết cho n” . Do vậy tích của n số
nguyên liên tiếp thì chia hết cho n .
II . Một số bài tập vận dụng
A. Loại áp dụng để tính nhẩm : Biểu thức cần tính ta phân tích thành nhân tử , làm cho biểu
thức được tính thuận lợi hơn .
Bài 1 : Tính bằng cách hợp lý
a. 37,5 . 6,5 – 7,5 . 3,4 – 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5
b. 87
2

+ 73
2
– 27
2
– 13
2

c. 1000
2
+ 1003
2
+ 1005
2
+1006
2
– 1001
2
– 1002
2
– 1004
2
- 1007
2
d.
22
22
75125.150125
220780
++
−

Lời giải
a. 37,5.(6,5 + 3,5) – 7,5.(6,6 + 3,4) = 37,5 . 10 – 7,5. 10 = 10.(37,5 – 7,5) = 300
b. (87
2
– 13
2
) + ( 73
2
– 27
2
) = (87 – 13)(87 + 13) + (73 –27)(73 + 27) = 74 . 100 + 46 . 100 = 100
.(74 + 46) = 100 . 120 = 12000
c. (1000 –1001)(1000+1001) + (1003-1002)(1003+1002) + (1005-1004)(1005+1004) + (1006
--1007)(1006+1007) = -2001 + 2005 + 2009 – 2013 = 0
d.
14
40000
40000.14
)75125(
1000.560
75125.75.2125
)220780)(220780(
222
==
+
=
++
+−
Bài 2 Tính giá trò của các biểu thức sau một cách hợp lý
a. x

2
– y
2
–2y – 1 với x = 93 và y = 6
b.
7549xvới
16
1
x
2
1
x
2
,
=++
c. a
3
–3a
2
b + 3ab
2
–b
3
với a = 2998 , b = 3003
Lời giải
a. x
2
–(y+1)
2
= (x – y –1)(x+y+1) . Thay x = 93 , y = 6 vào ta được

(93 – 6 – 1)(93 + 6+1) = 86.100 = 8600
b. x
2
+ 2 . x . 0,25 + 0,0625 = (x + 0,25)
2
. Thay x = 49,75 vào ta được (49,75 + 0,25)
2
= 2500
c. (a – b)
3
. Thay a = 2998 và b = 3003 vào ta được ( 2998 – 3003)
3
= (-5)
3
= -125
Bài 3 : Hãy tính giá trò của các biểu thức sau
a. x
17
– 13x
16
– 13x
15
….. – 13x
2
– 13x – 7 với x = 14
b. x
81
– 79x
80
+ 79x

79
– 79x
78
… - 79x
2
+ 79x – 80 với x = 78
Giải
a. x
17
–13(x
16
+ x
15
+ x
14
…. + x
2
+ x + 1) + 6 vì x = 14 nên 13 = x –1 thay vào ta có
x
17
- (x –1)( (x
16
+ x
15
+ x
14
…. + x
2
+ x + 1) + 6 = x
17

– (x
17
–1) + 6 = 7
b. x
81
– 79(x
80
– x
79
+ x
78
-…… + x
2
– x + 1) –1 . Vì x = 78 , nên 79 = x + 1 thay vào ta có
x
81
– (x + 1)( x
80
– x
79
+ x
78
-…… + x
2
– x + 1) –1 = x
81
– (x
81
+ 1) –1 = -2
B . Loại tìm nghiệm của đa thức ( có bậc lớn hơn 2 ) hay là loại toán giải các phương trình bậc

cao .
Bài 1 : Tìm x biết
a. x
3
– 0,25x = 0 b. (2x – 1)
2
– (x + 3)
2
= 0 c. 3x
2
– 5(x
2
– 2x +1) = 3
Giải
a. x(x
2
– 0,25) = x(x – 0,5)(x + 0,5) = 0 ⇒ x = 0 ; 0,5 ; -0,5
b. [(2x –1) – (x +3)].[(2x –1) + (x +3)] = (x –4)(3x + 2) = 0 ⇒ x = 4 ; -2/3
c. 3x
2
– 5(x
2
– 2x +1) –3 = 0
3(x –1)(x + 1) – 5(x –1)
2
= (x –1)(3x + 3 –5x + 5) = (x –1)(-2x + 8) = 0 ⇒ x = 1 ; 4
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau
a. 2x
3
– 3x

2
– 8x + 12 b. x
3
– 7x + 6 c. x
4
– 6x
3
+ 54x – 81
Giải
a. Cho đa thức 2x
3
– 3x
2
– 8x + 12 = 0 , phân tích vế trái ta được (x – 2)(x + 2)(2x –3) = 0 .
Từ đó x = 2 ; -2 ; 1,5 . Vậy nghiệm của đa thức 2x
3
– 3x
2
– 8x + 12 là ±2 ; 1,5
b. Cho đa thức x
3
– 7x + 6 = 0
Phân tích x
3
– 7x + 6 = (x
3
– x) – (6x – 6) = x(x –1)(x +1) – 6(x –1)
= (x –1)(x
2
+ x – 6) = (x –1)[(x

2
– 2x) + (3x – 6)]
= (x –1)[x(x –2) + 3(x – 2)] = (x –1)(x –2)(x + 3) = 0
⇒ x = 1 ; 2 ; -3
Vậy nghiệm của đa thức x
3
– 7x + 6 là {1 ; 2 ; -3 }
c. Cho đa thức x
4
– 6x
3
+ 54x – 81 = 0 . Phân tích vế trái
x
4
– 6x
3
+ 54x – 81 = (x
4
– 81) – (6x
3
– 54x) = (x
2
– 9)(x
2
+ 9) – 6x(x
2
–9)
= (x –3)(x +3)(x
2
–6x + 9) = (x + 3)(x – 3)

3
= 0 ⇒ x = ± 3
Vậy tập hợp nghiệm của đa thức x
4
– 6x
3
+ 54x – 81 là { -3 ; 3 }
Bài 3 . Tìm x biết a . (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) + 15 = 0
b. ( x
2
+ x + 3)(x
2
+ 3x + 3) – 3x
2
= 0
Giải
a. Đặt y = x
2
+ 8x + 7 , ta được y(y + 8) + 15 = (y + 4)
2
– 1 = (y +3)(y+5) .
Thay y = x
2
+ 8x + 7 ta có (x
2
+ 8x + 10)( x

2
+ 8x + 12) = (x
2
+ 8x + 10)(x + 2)(x + 6) = 0
Cho nên x = -2 ; -6
Xét x
2
+ 8x + 10 = (x + 4)
2
– 6 = (x + 4)
2
-
2
6)(
))(( 64x64x
++−+=
= 0
Nên x =
6464
−−+−
;
Vậy x ∈ { -2 ; -6 ;
6464
−−+−
;
}
b. Đặt y = x
2
+ x + 3 . ta biến đỗi vế trái y(y + 2x) – 3x
2

= (y +x)
2
- (2x)
2
= (y –x)(y + 3x)
Thay y = x
2
+ x + 3 ta được (x
2
+ x + 3 – x) (x
2
+ x + 3 +3x) = (x+1)(x+3)(x
2
+ 3) = 0
⇒ x = -1 ; - 3 . Vì x
2
+ 3 > 0 với mọi x ∈ R .
C . Loại toán về tính chia hết trong đa thức .
Bài 1 : Chứng minh rằng đa thức a
2
– c
2
+ 2ab + b
2
chia hết cho đa thức a + b + c .
Lời giải : a
2
+2ab + b
2
– c

2
= (a + b)
2
– c
2
= (a + b + c)(a + b – c)
Do vậy a
2
+2ab + b
2
– c
2
 (a + b + c)
Bài 2 : Chứng minh rằng Với 3 số dương a ,b,c đôi một khác nhau thì đa thức a
3
+ b
3
+ c
3
–3abc chia
hết cho đa thức a + b + c .
Lời giải
Phân tích đa thức a
3
+ b
3
+ c
3
–3abc = (a + b)
3

+ c
3
– 3ab(a + b + c)
= (a + b + c) [(a + b)
2
–(a + b)c + c
2
] – 3ab(a + b +c)
= (a + b +c) ( a
2
+ b
2
+ c
2
–ab – ac – bc)
= ½ (a + b+c) [(a-b)
2
+ (a-c)
2
+(b-c)
2
] . vì a , b c đôi một khác nhau nên
[(a-b)
2
+ (a-c)
2
+(b-c)
2
≠ 0
Do vậy a

3
+ b
3
+ c
3
–3abc  ( a + b + c)
Bài 3 : Chứng minh đa thức (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c – a)
3
chia hết cho đa thức (a –b)(b –c)(c –a) với a ,b,c
đôi một khác nhau .
Lời giải : Nhận xét b –c = -[(a –b) + (c –a)]
(a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c – a)
3
= (a –b)
3
– [(a –b) + (c –a)]
3
+ (c –a)
3
= (a –b)
3
–(a –b)

3
– 3(a –b)(c –a)[(a –b) + (c –a)] – (c –a)
3
+ (c –a)
3
= 3(a –b)(b –c)(c –a)
Vậy (a-b)
3
+ (b-c)
3
+ (c – a)
3
 (a –b)(b –c)(c –a)
Bài 4 : Chứng minh với a,b,c đôi một khác nhau thì đa thức (a + b + c)
3
– a
3
– b
3
– c
3
chia hết cho đa
thức (a + b)(b + c)(c + a) .
Lời giải
Phân tích (a + b + c)
3
– a
3
– b
3

– c
3
= [(a + b + c)
3
– a
3
] – (b
3
+ c
3
)
= [(a + b + c) – a] [(a + b + c)
2
+ (a +b +c)a + a
2
] – (b + c)(b
2
– bc + c
2
)
= ( b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2ac + 2bc +a
2
+ab + ac + a
2

– b
2
+ bc – c
2
)
= 3(b +c)(a
2
+ ab +ac + bc) = 3(b +c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a)
Vậy (a + b + c)
3
– a
3
– b
3
– c
3
 (a + b)(b + c)(c + a)
Bài 5 : Chứng minh đa thức a
5
+ a + 1 chia hết cho đa thức a
2
+ a + 1
Lời giải
Phân tích a
5
+ a + 1 = a
5
+ a
4
+ a

3
– a
4
– a
3
– a
2
+ a
2
+ a +1
= a
3
(a
2
+ a + 1) – a
2
(a
2
+ a + 1) + (a
2
+ a + 1)
= (a
2
+ a + 1)(a
3
– a
2
+ 1)
Vậy a
5

+ a + 1  (a
2
+ a + 1)
Bài 6 Chứng minh đa thức x
95
+ x
94
+ x
93
+ ….+ x
2
+ x + 1 chia hết cho đa thức x
31
+ x
30
+ …+ x + 1
Lời giải
Phân tích x
95
+ x
94
+ x
93
+ ….+ x
2
+ x + 1 = (x
95
+ x
94
+ x

93
+ ….+ x
64
) + (x
63
+ x
62
+ x
61
+ ….+ x
32
) + +
(x
31
+ x
30
+ x
29
+ ….+ x
2
+ x + 1 )
= x
64
(x
31
+ x
30
+ …+ x + 1) + x
32
(x

31
+ x
30
+ …+ x + 1) + (x
31
+ x
30
+ …+ x + 1)
= (x
31
+ x
30
+ …+ x + 1)(x
64
+ x
32
+ 1)
Vậy x
95
+ x
94
+ x
93
+ ….+ x
2
+ x + 1 (x
31
+ x
30
+ …+ x + 1)

D . Loại xét dấu của biểu thức
Bài 1 : Tìm các giá trò của x để đa thức (2x –1)
2
– 16 < 0
Lời giải
Phân tích đa thức (2x – 1)
2
– 16 = (2x – 1 –4)(2x – 1 + 4) = (2x – 5)(2x + 3)
Để (2x –1)
2
– 16 < 0 khi (2x –5)(2x + 3) < 0 . Mà tích hai thức số nhận giá trò âm khi hai biểu thức
2x – 5 và 2x + 3 nhận giá trò trái dấu . Vậy
Nếu



<+
>−
03x2
05x2
⇒







−<
>

2
3
x
2
5
x
. Trường hợp này không có x thoả mãn
Nếu



>+
<−
03x2
05x2
⇒







−>
<
2
3
x
2
5

x
⇒
2
5
x
2
3
<<−
Vậy
2
5
x
2
3
<<−
thì (2x –1)
2
– 16 < 0
Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi giá trò của x thì đa thức x
12
– x
7
– x
5
+ 1 luôn không âm .
Lời giải
x
12
– x
7

– x
5
+ 1 = x
7
(x
5
–1) – (x
5
– 1) = (x
5
–1)(x
7
–1)
Nếu x = 1 thì cả hai thừa số đều 0 , cho nên tích bằn 0
Nếu x > 1 thì x
5
–1 > 0 , x
7
– 1 > 0 , nên tích lớn hơn 0
Nếu x < 1 thì x
5
– 1 < 0 , x
7
– 1 < 0 , nên tích lớn hơn 0
Vậy x
12
– x
7
– x
5

+ 1 ≥ 0 với mọi x ∈ R
Bài 3 : Chứng minh rằng với mọi n ∈ Z thì biểu thức 6n
2
– 7n + 2 > 0
Lời giải
Phân tích đa thức 6n
2
– 7n + 2 = 6n
2
– 4n - 3n + 2 = 2n(3n – 2) – (3n –2)
= (3n –2)(2n – 1)
Nếu n ≤ 0 thì 3n –2 < 0 và 2n – 1< 0 cho nên 6n
2
– 7n + 2 > 0
Vì n ∈ Z nên với n ≥ 1 thì 3n – 2 ≥ 1 , 2n –1 ≥ 1 cho nên 6n
2
– 7n + 2 > 0
Vậy với mọi n ∈ Z thì 6n
2
– 7n + 2 > 0
Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi x , y ∈ R thì đa thức (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
luôn
không âm .
Lời giải
Biến đổi (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + 4y
4
= [(x +y)(x + 4y)][(x + 2y)(x + 3y)] + y
4

= (x
2
+ 5xy + 4y
2
)(x
2
+ 5xy + 6y
2
) + y
4

đặt a = x
2
+ 5xy + 4y
2
thay vào ta có a(a + 2y
2
) + y
4
= (a
2
+2ay
2
+ y
4
) = (a + y
2
)
2

hay (x
2
+ 5xy + 4y
2
+ y
2
)
2
= (x
2
+ 5xy + 5y
2
)
2
≥ 0 với mọi x,y ∈ R
Bài 5 : Chứng minh rằng với a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì
2a
2
b
2
+ 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
– a
4

–b
4
– c
4
> 0
Lời giải
Phân tích 2a
2
b
2
+ 2a
2
c
2
+ 2b
2
c
2
– a
4
–b
4
– c
4
= 4a
2
b
2
–( a
4

+ b
4
+ c
4
+ 2a
2
b
2
- 2a
2
c
2
- 2b
2
c
2
)
= (2ab)
2
– (a
2
+ b
2
– c
2
)
2
= (2ab + a
2
+ b

2
– c
2
)(2ab – a
2
– b
2
+ c
2
)
= [(a + b)
2
– c
2
][c
2
– (a – b)
2
] = (a + b + c)(a + b – c)(c –a + b)(c + a – b)
mà trong một tam giác tổng của hai cạnh bất kỳ lơn hơn cạnh còn lại . Cho nên a + b + c > 0 ;
a + b > c ⇒ a + b – c > 0 ; b + c > a ⇒ c – a + b > 0 ; a + c > b ⇒ a + c – b > 0
Vậy 2a
2
b
2
+ 2a
2
c
2
+ 2b

2
c
2
– a
4
–b
4
– c
4
> 0
E . Loại tính giá trò của biểu thức có điều kiện
Bài 1 : Cho 3 số a , b ,c thoả mãn a + b + c = 1
(1)
; a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
(2)
; a
3
+ b
3
+ c
3
= 1
(3)
.

Tính giá trò của biểu thức T = a + b
2
+ c
3
.
Lời giải
Xét (a + b + c)
3
– (a
3
+ b
3
+ c
3
) = 3(a + b)(a + c)(b + c) = 0
Nếu a + b = 0 . Từ (1) thì c = 1 , từ (2) thì a
2
+ b
2
= 0 ⇒ a = b = 0 . Vậy T = 1
Nếu a + c = 0 . Từ (1) thì b = 1 , từ (2) thì a
2
+ c
2
= 0 ⇒ a = c = 0 . Vậy T = 1
Nếu b + c = 0 . Từ (1) thì a = 0 , từ (2) thì b
2
+ c
2
= 0 ⇒ b = c = 0 . Vậy T = 1

Vậy giá trò của biểu thức T = a + b
2
+ c
3
= 1
Bài 2 : Cho 3 số a,b,c thoả mãn a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc và a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0
Hãy tính giá trò của biểu thức M =






+






+







+
a
c
1
c
b
1
b
a
1
Lời giải
Xét a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc ⇒ a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = 0
Phân tích biểu thức a
3
+ b

3
+ c
3
– 3abc = ½(a + b + c)[(a – b)
2
+ (b –c)
2
+ (c – a)
2
] = 0
Nếu (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c –a)
2
= 0 ⇒ a = b = c
M =






+







+






+
a
c
1
c
b
1
b
a
1
= (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
Nếu a + b + c = 0 thì M =
1
abc
bac
a
ca
c
cb
b
ba
a

c
1
c
b
1
b
a
1
−=
−−−
=






+






+







+
=






+






+






+
))()((
Vậy M = -1 hoặc M = 8
Bài 3 . Cho 3a
2
+ 3b
2

= 10ab và b > a > 0 . Tính giá trò của biểu thức P =
b3a
b2a
+
−
Lời giải
Từ 3a
2
+ 3b
2
= 10ab ⇒ 3a
2
+ 3b
2
– 10ab = 0
Phân tích 3a
2
+ 3b
2
– 10ab = 3a
2
– 9ab – ab + 3b
2
= 3a(a – 3b) – b(a – 3b) = (a – 3b)(3a – b) = 0
Nếu a – 3b = 0 ⇒ a = 3b , điều này không xảy ra vì a < b
Vậy 3a – b = 0 ⇒ b = 3a . Thay vào biểu thức P ta được