Các bài toán hay về tổng ba góc của một tam giác

TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ NHẤT CỦA TAM GIÁC
CANH - CẠNH - CẠNH (C - C - C )
Bài 1 :
Tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằmảtong tam giác sao cho MB = MC; N
là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh :
a . AM là tia phân giác của góc BAC;
b . Ba điểm A, M, N thẳng hàng .
c . MN là đường trung trực của đoạn BC .
Bài 2 : Cho tam giác ABC = A’B’C’. Gọi M là trung điểm của BC, M’ là trung điểm của
B’C’. Biết AM = A’M’. Chứng minh :
a . Tam giác AMB = A’M’B’
b . Góc AMC = A’M’C’.
Bài 3 : Cho tam gíc ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính bằng AB, cung tròn tâm B bán kính
bằng AC. Hai cung tròn trên cắt nhau ở D (A và D thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ
BC).Chứng minh CD//AB và BD//AC.
Bài 4 : Cho góc nhọn xOy. Trên Ox, Oy lấy tương ứng hai điểm B và C sao cho OA = OB.
Vẽ đường tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm M, N
nằm trong góc xOy. Chứng minh:
a . Tam giác OMA = OMB và ONA = ONB;
b . Ba điểm O, M, N thẳng hàng
c . Tam giác AMN = BMN;
d . MN là tia phân giác của góc AMB.
Bài 5: Cho tam giác ABC CÓ AB = AC. Gọi H là trung điểm của cạnh BC.
a . Chứng minh AH là tia phân giác của góc BAC và AH vuông góc với BC.
b . Trên tia đối của tia HA lấy điểm K sao cho HK = HA. Chứng minh rằng CK//AB.
Bài 6 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi D và E là hai điểm trên cạnh BC sao cho BD=
DE = EC. Biết AD = AE.
a . Chứng minh góc EAB = DAC
b . Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE;
c . Giả sử góc DAE = 60độ. Có nhận xét gì về các góc của tam giác AED?

TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC
CẠNH – GÓC - CẠNH (C – G – C)

Bài 1 : Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AB. Trên tia đối của
các tia MB và NC lấy tương ứng hai điểm D và E sao cho MD = MB và NE = NC. Chứng
minh :
a . AD = AE;
b . Ba điểm A, E, D thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC có góc a = 90độ và BC = 2AB, E là trung điểm của BC. Tia phân
giác của góc B cắt cạnh AC ở D.
a . Chứng minh DB là tia phân giác của góc ADE;
b . Chứng minh BD = DC ;
c . Tính góc B và góc C của tam giác ABC.
Bài 3 : Cho góc nhọn xOy và tia phân giác Oz của góc đó. Trên tia Ox lấy điểm A, trên tia
Oy lấy điểm B sao cho OA = OB . Gọi C là một điểm trên tia Oz.Chứng minh:
a . AC = BC và góc xAC = yBC ;
b . AB vuông góc với Oz.
Bài 4 : Cho tam giác ABC có góc A = 90độ. Gọi M là trung điểm của cạnh AC, trên tia BM
lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn BN. Chứng minh:
a . CN vuông góc với AC và CN = AB;
b . AN = BC và AN song song với BC.
Bài 5: Cho tam giác ABC góc A = 90độ và AB < AC.Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho
AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
a . Chứng minh DE = BC;
b . Chứng minh DE vuông góc với BC;
c . Biết 4B = 5C. Tính góc AED.
Bài 6: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của đoạn thẳng đó. Trên hai nửa mặt phẳng đối
nhau bờ AB, kẻ hai tia Ax, By sao cho góc BAx = Aby, rồi lấy trên Ax hai điểm C và E ( E
nằm giữa A và C ), trên By hai điểm D và F(F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE =
BF.

Chứng minh:
a . OC = OD, OE = OF;
b . Ba điểm C, O, D thẳng hàng, ba điểm E, O, F thẳng hàng;
c . ED = CF.
Bài 7: Cho đoạn thẳng AB và điểm C nằm giữa hai điểm A và B nhưng không trùng với
trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB kẻ hai tia Ax, By
cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy hai điểm M, M’, trên tia By lấy hai điểm N, N’ sao
cho AM = BC, BN = AC, AM’ = AC, BN’= BC
a . Chứng minh MC = NC, AN = BM’, AN’ =BM.
b . Chứng minh AN//BM’ và AN’//BM;
c . Chứng minh rằng MN’ và M’N cắt nhau tại trung điểm O của đoạn thẳng AB.
Bài 8: Cho tam giác ABC có Â<90độ. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, vẽ
tia Ax, trên đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm
B, vẽ tia Ay, trên đó lấy điểm E sao cho AE = AC.
a . Chứng minh BE = CD;
b . Chứng minh BE vuông góc với CD;
c . Các đường thẳng AC và ED có thể vuông góc với nhau được không? Các kết quả trên
còn đúng hay không nếu Â>90độ?
Bài 9: Cho tam giác ABC, kẻ AH vuông góc với BC(H
∈
BC).Gọi M là trung điểm của
cạnh BC. Biết AH, AM chia góc ở đỉnh A của tam giác thành ba góc bằng nhau. Tính các
góc của tam giác ABC.
Bài 10: Cho tam giác ABC có Â = 90độ . Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC tại điểm D.
Trên cạnh BC lấy điiểm H sao cho BH = BA.
a . Chứng minh DH vuông góc với BC;
b . Biết góc ADH =110độ , tính góc ABD.
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ BA CỦA TAM GIÁC
GÓC-CẠNH-GÓC (G-C-G)
Bài 1: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh AB, Đường thẳng kẻ qua D và song

sonh vơí cạnh BC cắt AC ở E, đường thẳng kể qua E song song với cạnh AB cắt BC ở F.
Chứng minh rằng:
a. AD = EF;
b. AE = EC và BF = FC;
c. DE =
1
2
BC và EF =
1
2
AB.
Bài 2: Cho tam giác ABC có Â <9Ođộ, AB = AC. Kẻ CE vuông góc với AC (D
∈
AC) và
CE vuông góc với AB (E
∈
AB). Gọi o là giao điểm của BD và CE.
Chưng minh rằng :
a. BD = CE;
b. OE = OD và OB = OC;
c. OA là tia phân giác của góc BAC.
Bài 3: Cho tam giác ABC có góc B = C. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Trên canh AB láy
điểm D, trên tia DI lấy điểm E sao cho I là trung điểm của DE.
Chứng minh rằng:
a. BD = CE;
b. CB là tia phân giác của góc ACE.
Bài 4: Cho tam giác ABC có Â = 90độ và AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm
cùng phía đối với xy).Kẻ BD và CE vuông góc với xy ( D, E
∈
xy)

a. Chứng minh rằng DE = BD + CE;
b. Kết quả ở câu a thay đổi thế nào nếu B, C nằm khác phía đối với xy?
Bài 5: cho tam giác ABC có Â = 90 độ và AB=AC. Trên các cạnh AB,AC tương ứng 2 điểm
D và E sao cho AD=AE. Từ A và D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC tại M và N. Tia ND
cắt tia CA ở I. Chứng minh:
a. A là trung điểm của CI;
b. CM=MN.
Bài 6: Cho tam giác ABC có Â = 90 độ, M là trung điểm cua cạnh BC . Trên AM lấy điểm
N sao cho M là trung điểm của AN. Chứng minh:
a. CN = AB và CN // AB
b. AM =
1
2
BC.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C và AF
⊥
AB và
AF = AB , trên nửa mặt phẳng bờ AC không chúa điểm B vẽ AH
⊥
AC và AH = AC. Gọi
D là trung điểm của cạnh BC, I là một điểm trên tia đối của tia DA sao cho DI = DA. Chứng
minh:
a. AI = FH;
b. DA vuông góc với FH
Bài 8: Cho tam giác ABC, D là trung điểm cạnh AB, E là trung điểm cạnh AC. Vẽ điểm F
sao cho E là trung điểm của DF, Chứng minh rằng:
a. BD = CF;
b. DE // BC và DE =
1
2

BC.
Bài 9:Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Tia CI cắt cạnh
AB ở D. Chứng minh rằng:
a. AD =
1
2
BD;
b. ID =
1
4
CD.
Bài 10: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là trung điểm của AB. Vẽ điểm D sao cho B
là trung điểm của AD. Chưng minh CD = 2CM.
Bài 11: Cho tam giác ABC, hai đường cao BD, CE. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC,
DE. Chưng minh rằng: MN vuông góc với DE.
Bài: Cho tam giác ABC có Â < 90độ. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vẽ AD
⊥
AB avf AD = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC có chứa điểm B vẽ AE
⊥
AC và AE = AC. Kẻ
AH
⊥
ED ( H
∈
ED). Chứng minh rằng đường thẳng AH đi qua trung điểm M của cạnh BC.
TAM GIÁC CÂN
Bài 1:
a. Tính góc ở đáy của một tam giác cân biết góc ở đỉnh bằng 50độ , bằng ađộ
b. Tính góc ở đỉnh của một tam giác can biết góc ở đáy bằng 50độ, bằng a độ
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A cá Â = 100độ. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N

thuộc cạnh AC sao cho AM = AN C Chưng minh rằng MN // BC.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm cua AC , N là trung điểm của AB.
Chứng minh rằng BM = CN.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AC, điểm K thuộc cạnh AB sao
cho AH = AK. Gọi O là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng tam giác OBC là tam
giác cân.
Bài 5: Vẽ lại hình 59 vào vở rồi đặt bài toán vẽ tam giác để có hình 59
Bài 6 : Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia dối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng tam giác ADE là tam giác cân.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BA lấy
E sao cho BE = BC. Chưng minh rằng BD // EC.
Bài 8: Tính số đo góc của tam giác ACD trên hình 60.
Bài 9 : Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Tính số đo
góc BCD.
Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy
BC. Qua D, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ
tự F và E. Tính tổng DE + DF.
Bài 11: Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC,
CA sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác DÈ là tam giác đều.
Bài tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đưòng thẳng
song song vơíư BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D E.
Chứng minh rằng DE = BD + CE.
Bài 12: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm trên đường tròn,
tính số đo góc AMB.
Bài 13: Đặt đề toán theo hình 61. Sau đó vẽ lại hình theo đề toán rồi đo góc DAE.
Bài 14: Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giấy kẻ ô vuông ( h.62) là tam giác nhọn.
ĐỊNH LÝ PY-TA-GO
Bài 1: Tính cạnh góc vuông của một tam giác vuông biết cạnh huyền bằng 13cm, cạnh góc
vuông kia bằng 12cm.
Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC. Tính chu vi tam giác ABC biết

AC = 20cm, AH = 12cm, BH = 5cm.
Bài 3: Tính độ dài các đoạn thẳng AB, CD, DA trên hình 63.
Bài 4: Màn hình của một máy thu hình có dạng hình chữ nhật, chiều rộng 12inh-sơ, đường
chéo 20inh-sơ. Tính chiều dài.
Bài 5: Tính đường chéo của một mặt bàn hình chữ nhật có chiều dài 10dm, chiều rộng 5dm.
Bài 6:Hai đoạn thẳng AC, BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn
thẳng. Tính các độ dài AB, BC, CD, DA biết AC = 12cm, BD = 16cm.
Bài 7: Tính độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng:
a. 2cm
b.
2
cm.
Bài 8 : Tính cạng đáy BC của tam giác cân ABC trên các hình 64, 65.
a. Trên hình 64: AH = 7cm, HC = 2cm.
b. Trên hình 65 : AH = 4cm, HC = 1cm
Bài 9: Bạn An đi từ nhà mình ( A ) qua nhà bạn Bảo ( B) rồi đến nhà bạn Châu ( C). Lúc về,
An qua nhà bạn Dũng ( D) rồi trở về nhà mình ( h.66). So sánh quãng đường lúc về nhà của
An, quãng đường nào dài hơn.
Bài 10: Cho các số : 5 ; 8 ; 9 ; 12 ; 13 ; 15 ; 17. Hãy chọn ra các bộ ba số có thể là độ dài ba
cạnh của một tam giác vuông.
Chứng minh rằng tam giác ABC vẽ trên giáy kẻ ô vuông (h.67) là tam giác vuông cân.
Bài 11: Cho tam giác ABC, Â = 90độ. Biết AB + AC = 49cm, AB – AC = 7CM.
Tính cạnh BC.
Bài 12: Cho tam giác cân ABC, AB = AC = 17 cm.Kẻ BD
⊥
AC. Tính cạnh đáy BC, biết
BD = 15 cm.
Bài 13: Tính cạnh đáy BC của tam giác ABC, biết rằng đương vuông góc BH từ B xuống
cạnh AC chia AC thành hai phần : AH = 8cm, HC = 3cm.
Bìa 14: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 102cm, các cạnh góc vuông tỉ lệ với 8 : 15.

Tính các cạnh của tam giác vuông đó.
Bìa 15: Cho tam giác ABC. Biết BC = 52cm, AB = 20cm, AC = 48cm.
a. A là trung điểm của DE;
b. Góc DHE = 90độ
Bài 15: Cho tam giác ABC có Â = 90độ, AB = 8cm, BC = 17cm. Trên nửa mặt phẳng bờ
AC không chứa điểm B, vẽ tia CD
⊥
AC và CD = 36cm. Tính tổng độ dài các đoạn thẳng
AB + BC + CD + DA.
Bài 16 : Từ điểm O tuỳ ý trong tam giác ABC, kẻ OA1, OB1, OC1 lần lượt vuông góc với
các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho tam giác ABC cân ở A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia
CB lấy điểm E sao cho bd = CE. Kẻ BH
⊥
AD ( H
∈
AD ), kẻ CK
⊥
AE ( K
∈
AE). Chứng
minh rằng :
a. BH = CK
b. Tam giác AHB = AKC
c. BC song song với HK.
Bài 2: Cho tam giác ABC cân ở A , Â = 90độ. Kẻ BD
⊥
AC ( D
∈

AC ), kẻ CE
⊥
AB ( E
∈

AB ). Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng :
a. AD = AE;
b. AI là tia phân giác của góc BAC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Từ A kẻ AH
⊥
BC. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho
BE = BA. Kẻ EK
⊥
AC ( K
∈
AC ).Chứng minh rằng AK = AH.
Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và
C. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H và K thuộc đường thẳng AE). Chứng minh rằng :
a. BH = AK
b. Tam giác MBH = MAK
c. Tam giác MHK là tam giác vuông cân.
Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông góc với BC ( H
∈
BC). Chứng minh rằng
a. HB = HC
b. Góc BAH = CAH.
Bài 6: Cho tam giác vuông ABC và DEF có Â = D = 90độ, AC – DF. Hãy bổ sung thêm một
điều kiện bằng nhau ( về cạnh hay về góc) để tam giác ABC = DEF.
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A ( Â < 90độ). Vẽ BH
⊥

AC ( H
∈
AC), CK
⊥
AB ( K
∈

AB) .
a. Chứng minh rằng : AH = AK
b. Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.
Bài 8 : Tìm các tam giác bằng nhau trên hình 148:
CHƯƠNG III
QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
QUAN HỆ GIỮA CÁC GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
BT1: Chứng minh định lý : “ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn
hơn”
BT2 : Cho tam giác ABC có AB<AC,phân giác AD. Chứng minh rằng :
a.
ABC
∠
>
ADC
∠
b. BD < DC
BT3 : Trong một tam giác đối diện với cạnh nhỏ nhất là loại góc nào ( trong các góc nhọn,
vuông, tù )? Tại sao?
BT4 : Cho tam giác ABC, có
B∠
> 90

0
. Gọi D là một điểm trên tia đối của tia CB. Chứng
minh rằng AB < AC < AD.
BT5 : Cho tam giác ABC có góc A là góc tù. Gọi B’, C’ theo thứ tự là hai điểm trên hai cạnh
AB, AC của tam giác ABC ( B’, C’ không trùng với các đỉnh của tam giác).
So sánh B’C’ và BC.
BT6 : Trên đáy BC của tam giác cân ABC lấy hai điểm D và E sao cho BD = DE = EC.
Chứng minh rằng
BAD∠
=
EAC
∠
<
DAE∠
.
BT7: Cho tam giác ABC vuông ở A. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở D. So sánh AD
và DC.
BT8: Cho tam giác cân ABC. Chứng minh rằng nếu đáy BC lớn hơn, bằng hay nhỏ hơn cạnh
bên của tam giác đó thì góc A sẽ lớn hơn, bằng hay nhỏ hơn 60
0
BT9: Cho tam giác BAC, AB < AC. Gọi M là trung điểm của cạnh BC.
a. Chứng minh
MAB∠
>
MAC
∠
, từ đó suy ra tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC
tại một điểm nằm giữa B và M;
b. Từ M vẽ tia Mx sao cho MA là tia phân giác của góc BMx. Gọi D là giao điểm của
Mx với AC. Chứng minh rằng MB > MD.

BT10: Cho tam giác ABC có 90
0
<
B∠
< 135
0
,
C
∠
< 45
0
. Kẻ AD vuông góc với BC.
Chứng minh rằng : BD < AD < CD.
BT11: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh AB lấy điẻm E, trên tia đối của tia CA
lấy điểm D sao cho BE = CD. Từ C kẻ Cx // DE, từ E kẻ Ey // CD. Hai tia Cx và Ey cắt nhau
tại F. So sánh BC và CF.
BT12: Cho tam giác vuông ABC, Â = 90
0
. Chứng minh rằng
C
∠
= 30
0
khi và chỉ khi AB =
1
2
BC.
QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN,
ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
BT1: Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm D và E

( D, E không trùng với các đỉnh cuả tam giác ABC).
Chứng minh rằng: DE < BE < BC.
BT2: Cho tam giác nhọn ABC , AB < AC. Kẻ AH vuông góc với BC ( H
∈
BC).Gọi M là
một điểm nằm giữa A và H, tia BM cắt AC ở D.
Chứng minh rằng:
a. BM < CM
b. DM< DH
BT3: Từ trung điểm K cạnh BC của tam giác vuông ABC vuông tại , kẻ đường thẳng vuông
góc với AK, đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E. Gọi I là
trung điểm của DE,
a. Chứng minh rằng AI
⊥
BC
b. Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không? Vì sao ?
BT4: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm của AC. Gọi D và E lần lượt là hình
chiếu của A và C xuống đường thẳng BM.
So sánh tổng BD + BE với AB.
BT5: Cho tam giác ABC, kẻ AH
⊥
BC, BK
⊥
AC, Biết rằng AH không nhỏ hơn BC, BK
không nhỏ hơn AC, Tìm số đo các góc của tam giác ABC.
BT6: Cho D là một điểm nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu AD = AB thì AB
< AC,
BT7: Cho tam giác ABC có AB = 13cm, BC = 14cm, AC = 15cm và diện tích của tam giác
bằng 84cm
2

. Vẽ cung tròn tam A bán kính 14cm. Chứng tỏ rằng cung tròn này cắt đường
thẳng BC tại hai điểm mà một điểm nằm giữa B và C, điểm còn lại nằm ngoài đoạn thẳng
BC,
BT8: Cho tam giác vuông ABC,
C
∠
= 90
0
, kẻ CH
⊥
AB. Trên các cạnh AB và AC lấy
tương ứng hai điểm M và N SAO CHO BM = BC và CN = CH.
Chứng minh rằng:
a. MN
⊥
AC
b. AC + BC < AB + CH.
QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC
BT1: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: AM + BM < BC + AC.
BT2: Cho O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng :
2
AB BC CA+ +
< OA + OB + OC < AB +BC + CA.
BT3: Tính chu vi của tam giác cân ABC, biết :
a. AB = 8cm, AC = 13cm
b. AB = 5cm, AC = 12cm
BT4: Cho tam giác ABC, biết AB = 3cm, AC = 7cm. Tính độ dài cạnh BC, biết độ dài này là
một số nguyên ( cm ) và là một số nguyên tố. Tam giác ABC là tam giác gì?
BT5: Cho tam giác ABC , M là trung điểm cạnh BC. Chứng minh rằng:
2

AB AC BC+ −
< AM <
2
AB AC+
BT6: Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng :
2
AB AC BC+ −
< AD <
2
AB AC BC+ +
BT7: Ba thành phố A, B, C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó AB = 35km,
BC = 85km.
a. Nếu đặt ở A máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 50km thì ở C có nhận được
tín hiệu không? Vì sao?
b. Cũng hỏi như trên nếu đặt ở A máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 120km?
Cho tam giác ABC, điểm O nằm giữa B và C. Trên tia đối của tia OA lấy điểm D. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của AB, CD.
Chứng minh MN
≤

2
AC BD+
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
BT1: Cho G là trong tam của tam giác đều ABC . Chứng minh rằng : GA = GB =GC
BT2: Gọi G là trọng tam của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm D sao cho G là trung
điểm của AD.
a. So sánh các cạnh của tam giác BGD với các trung tuyến của tam giác ABC
b. So sánh các trung tuyến của tam giác BGD với các cạnh của tam giác ABC.
BT3: Chứng minh rằng trong một tam giác tổng độ dài ba đường trung tuyến lớn hơn
3

4
chu
vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác đó.
BT4: Cho tam giác ABC vuông tai A, trung tuyến AM. Chứng minh rằng : AM =
1
2
BC.
BT5: Tam giác ABC có trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC. Chứng minh rằng tam giác
ABC vuông tai A.
BT6: Cho hai đường thẳng x’x và y’y cắt nhau tại O. Trên tia x’x lấy ba điểm A, B, C sao
cho OA = AB = BC, tren y’y lấy ba điểm E, M, N sao cho OE = OM =MN. Chứng minh
rằng ba đường thẳng AE, BN, và CM cùng đi qua một điểm.
BT7: Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nahu tại O. Chứng minh
rằng 6 tam giác OAE, OEC, OCD, ODB, OBF,OFA có diện tích bằng nhau.
BT8: Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 5cm, BC = 13cm. Ba đường trung tuyến AM,
BN, CE cắt nhau tại O.
a. Tính AM, BN, CE
b. Tính diện tích tam giác BOC
BT9: Cho tam giác ABC, ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Từ E kẻ đường thẳng song
song với AD cắt tia ED tại I.
a. Chứng minh IC // BE
b. Chứng minh rằng néu AD
⊥
BE thì tam giác ICF là tam giác vuông.
c. So sánh các cạnh của tam giác ICF với các trung tuyến của tam giác ABC.
TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC.
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC
BT1. Cho ABC. Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc ngoài ở đỉnh B và C và
tia phân giác trong của góc A cắt nhau tại một điểm.
BT2. Chứng minh rằng : tam giác ABC có trung tuyến AM đồng thời là phân giác thì tam

giác đó là một tam giác cân
BT3. Cho ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, O lad giao điểm ba tia phân giác trong của
các góc A,B,C, I là giao điểm hai tia phân giác góc ngoài ở đỉnh B và C. Chứng minh
rằng bốn điểm A,G.O,I thẳng hàng.
BT4. Cho tam giác ABC, A=120,AA’, BB’,CC’ theo thứ tự là tia phân giác của các góc
A,B,C. Chứng minh rằng A’B’ vuông góc A’C’
BT5. Cho ABC, A=90. Trên AC lấy điêm C sao cho góc ABC=3ABD, trên cạnh AB lấy
điểm E sao cho ACB=3ACE. Gọi F là giao đểm của BD và CE, I là giao diểm các tia
phân giác của ctam giác BFC.
a. Tính góc BFC
b. CHứng minh DEI là tam giác đều
BT6. Cho ABC, A=90, AB=8cm,AC=15cm
a. Tính BC
b. Gọi I là giao điểm các tia phân giác của ABC. Tính khoảng cách từ diiểm I đến các
cạnh của yam giác
BT7. Cho ABC cân ở A, kẻ tia phân giác BD của góc B và tia phân giác DM của góc
DBC, đường phân giác của góc ADB cắt đường thẳng BC ở N.
Chứng minh BD=1/2MN
BT8. Từ đỉnh A cua ABC, bgười ta kẻ các đường vuông góc xuống các tua phân giác
trong và tia phân giác ngoài của các góc tại đỉnh B và C. Chứng minh rằng chân các
đưòng vuông góc đó thẳng hàng,
BT9. Ba xưởng máy nằm ở ba đỉnh của ABC , các cạnh có độ dài a,b,c với a>b>c. công
nhân ở ba xưỏng máy ở chung trong một nhà tập thể đặt tại giao điểm O ba đường phân
giác của tam giác đó. Hàng ngày một ô tô đưa công nhân từ nhà tập thể đến ba xưởng
máy rồi trở về O. Hỏi đi theo cách nào thì độ dài quãng đường kà ngắn nhất?
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG.
TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC.
BT1. Đường trung trực của đoạn thẳng AB cắt AB tại H, M và N là hai điểm trên
đường trung trực đó –N nằm giữa M và H)
a. Chứng minh MN là tia phân giác của góc AMB

b. Gọi N’ là giao điểm của AN với BN. Chứng minh BN’ <AN’
BT2. Cho điểm M nằm trong góc XOY. Vẽ các điểm A và B sao xcho Ox là đường
trung trực của MA, Oy là đường trung trực của MB. Chứng minh O là trung điểm
của đoạn AB và tam giác AMB là tam giác vuônng
BT3.Cho ABC cân tại A, có A=40. Đường trung trực của AB cắt BC ở D
a. Tính góc CAD
b. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM=CD. Chưng minh BMD là tam
giác cân
BT4. Chứng minh rắng các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm
của cạnh huyền.
BT5. Cho ABC có góc A=120. Đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại I cắt
cạnh BC lần lượt ở D và E
a. Các tam giác ABD và ACE là tam giác gì?
b. Tính góc BIC
BT6. Cho ABC cân tại A. Trên tia đói của BC lấy điểm D sao cho BD=BA, trên tia
đói của CB lây điểm E sao cho CE=CA. Kẻ trung tuyến BM của tam giác ABD,
trung tuyên CN của ACE. BM cà CN cắt nhau ở O. Chứng minh AO vuông góc
DE.
BT7. Cho ABC. Hãy tìm trên cạnh AB một điểm B,tren cạnh BC một điểm E sao
cho BD=DE=EC.
BT8. Cho góc xOy cố định( xOy # 180). Trên Ox lấy điểm M, trên Oy lấy điểm N
sao cho OM+ON=m không đổi. Chưng minh răng đường trung trực của MN luôn
luôn đi qua một điểm cố định khi M,N thay đỏi trên Ox ,Oy.
TÍNH CHẤT ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
BT1: Cho tam giác ABC, vuông ở A,đường cao AH. Gọi D là trung điểm của BH , E là
trung điểm của HC, F là trung điểm của AH. Chứng minh rằng CF
⊥
AD, BF
⊥
AE.

BT2: Chưng minh rằng một tam giác có ba đường cao bằng nhau thì tam giác đó là tam giác
đều.
BT3: Cho tam giác nhọn ABC, AB < BC,
B∠
= 60
0
. Hai đường cao AD, CE cắt nhau ở F.
a. Tính
DFE∠
b. Chứng minh
BDE∠
>
BED∠
BT4: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE . Trên tia đối của tia BD llấy điểm I
sao cho BI = AC, trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB . Chứng minh:
a. AI = AK
b. Tam giác AIK là tam giác vuông cân
BT5: Cho tam giác ABC , qua mỗi ĐỈNH A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh
đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF.
Chứng minh rằng các đường cao của tam giác ABC là đường trung trực của tam giác DEF.
BT6: Cho tam giác nhọn ABC. Trên đường trung trực của các cạnh AB, AC, BC kẻ từ các
trung điểm I, K, L của các cạnh này và ở phía ngoài của tam giác lấy tương ứng các điểm
M ,N, P sao cho IM =
1
2
AB, KN =
1
2
AC, LP =
1

2
BC. Chứng minh :
a. IN = IP
b. MN = AP
c. MN
⊥
AP
BT7: Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH, phân giác AD. Gọi I và J lần lượt là
giao điểm các phân giác của tam giác ABH, ACH, E là giao điểm của đuờng thẳng BI với
AJ. Chứng minh rằng :
a. Tam giác ABE là tam giác vuông;
b. IJ
⊥
AD
BT8: Cho tam giác ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác hai tam giác đều ABE và ACF. Gọi
I là trung điểm của BC, Hlà trực tâm của tam giác ABE. Trên tia đối của tia IH llấy điểm K
sao cho HI = IK. Chứng minh rằng :
a. Tam giác AHF = CKF
b. Tam giác KHF là tam giác đều
ÔN TẬP CHƯƠNG III
BT1: Cho tam giác ABC, AB > AC. Trên tia phân giác của góc A lấy điểm D tuỳ ý. Chứng
minh: AB – AC > BD – CD
BT2: Cho tam giác đều ABC . Trên tia đối của các tia CB , AC, BA lấy tương ứng các điểm
M, N, P sao cho CM = AN = BF = AB. Chứng minh:
a. Tam giác MNP là tam giác đều
b. Hai tam giác MNP và ABC có chung trọng tâm
BT2: Cho đường thẳng xy và hai điểm A và B nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng xy. Hãy tìm trên đường thẳng xy một điểm C sao cho chu vi tam giác ABC là
nhỏ nhất
BT3: Cho tam giác ABC, Â = 30

0
. Hai đường cao BH, CK ( H thuộc AC, K thuộc AB). Gọi
E và F lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh :
a. Tam giác BEH và CKF là các tam giác đều
b. HE
⊥
KF
BT4: Cho tam giác đều AOB. Trên tia đối của các tia OA, OB lấy theo thứ tự hai điểm C và
K sao cho OC = OD. Từ B và C kẻ BM
⊥
AC, CN
⊥
BD. Gọi P là trung điểm của BC.
Chứng minh:
a. Tam giác COD là tam giác đều
b. AD = BC
c. Tam giác MNP là tam giác đều
BT5 : Cho tam giác ABC. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đường
trung trực của tam giác đó. Chứng minh:
a. AH bằng hai lần khoảng cách từ O đến BC;
b. Ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2GO
BT6: Cho tam giác cân ABC, AB = AC, đường cao AH. Kẻ HE
⊥
AC. Gọi O là trung điểm
của EC. Chứng minh :
a. IO
⊥
AH
b. AO
⊥

BE.
BT7: Cho tam giác ABC. VẼ hai điểm E và F sao cho AB, AC lần lượt là trung trực của DE,
CF. Gọi giao điểm của EF với AB, AC theo thứ tự là K và I. Chứng minh rằng : Ba đường
thẳng AD, BI, CK đồng quy tai một điểm.
BT8:Cho tam giác ABC, hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Biết ID = IE. Chứng
minh rằng hoặc tam giác ABC cân ở A hoặc
0
60BAC∠ =
BT9:
Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho BD = BA và CE
= CA.
a. Chứng minh rằng giao điểm I các phân giác của tam giác ABC là giao điểm các
đường trung trực của tam giác DEF
b. Gọi m là khoảng cách từ I đến các cạnh của tam giác ABC. Tính DE theo m
c. Tính
∠
DIE
BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM
BT1:Cho tam giác cân ABC, Â = 110
0
. Trên cạnh BC lấy điểm D sao biết
0
105ADC∠ =
. Từ
C kẻ đường thẳng song song với AD cắt BA ở E. So sánh các cạnh của tam giác ACE, tam
giác BEC
BT2: Cho tam giác ABC có A <
∠
B <
∠

C. Vẽ đường cao AH, rồi lấy điểm O nằm giữa A
và H , tia CO cắt AB ở D.
a. Chứng minh rằng các góc B và C là góc nhọn
b. So sánh OB và OC
c. So sánh OD và HD
BT3: Cho tam giác ABC vuônh ở A, có
C
∠
= 30
0
, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm
D sao cho HD = HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh:
a. Tam giác ABD là tam giác đều
b. AH = CE
c. EH song song với AC
BT4: Cho tam giác vuông ở A, BC = 2AB. D là một điểm trên cạnh AC sao cho
1
2
ABD ABC∠ = ∠
, E là một điểm trên cạnh AB sao cho
1
3
ACE ACB∠ = ∠
. Gọi F là giao điểm
của BD và CE, I và K là hình chiếu của điểm F lên BC và AC, Lấy các điểm G và H sao cho
I là trung điểm của FG, K là trung điểm của FH. Chứng minh rằng :
a. Ba điểm H, G, D thẳng hàng
b. Tam gáic DÈ là tam giác cân
BT5: Cho tam giác nhọn ABC. Gọi AH là đường cao lớn nhất trong các đường cao của tam
giác đó, BE là trung tuyến. Biết AH = BE. Chứng minh rằng :

0
60B∠ ≤
Với điều kiện nào của tam giác ABC thì
0
60B∠ =
BT6: Cho tam giác nhọn ABC. Về phía ngoài của tam giác vẽ các tam giác vuông cân ABE
và ACF vuông ở B và C. Trên tia đối của AH lấy điểm I sao cho AI = BC. Chứng minh :
a. Tam giác ABI = BEC
b. BI = CE và BI vuông góc với CE
c. Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại một điểm
BT7: Cho tam giác ABC vuông ở A, có
B
α
∠ =
. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho
1
3
EBA
α
∠ =
. Trên tia đối của tia EB lấy điểm D sao cho ED = BC. Chứng minh tam giác
CED là tam giác cân.
BT8: Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng :
2
( )
3
HA HB HC AB AC BC+ + < + +
BT9: Một tam giác có cạnh nhỏ nhất bằng 1cm, góc nhỏ nhất bằng 45
0
. Tính diện tích của

tam giác đó.
BT10:
Cho tam giác ABC có ba góc đều khác 120
0
. Tìm trong tam giác điểm M sao cho tổng các
khoảng cách từ M đến ba đỉnh của tam giác là nhỏ nhất.
BT11: Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có AB = A’B’, AC = A’C’. Chứng minh rằng
a. Nếu  > Â’ thì BC > B’C’
b. Nếu BC > B’C’ thì Â > Â’
BT12: Cho tam giác ABC có
0
90B∠ >
,
1
2
AB AC=
. Chứng minh :
a. BC > AB
b. Â < 2
C
∠
a.