Tài liệu ôn tập học kì I - 12

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH ÔN THI KỲ I NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn: Toán 12
Tổng số tiết: 26 (tiết)
STT NỘI DUNG
SỐ
TIẾT
GHI CHÚ
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm
số bậc 3
3
2
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm
số trùng phương
3
3
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm
số bậc nhất trên bậc nhất
3
4
Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên 1
đoạn
3
5 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3
6
Sử dụng đồ thị để biện luận số nghiệm
của phương trình
3
7 Thể tích khối lăng trụ 3
8 Thể tích khối chóp 3
9 Kiểm tra 2

HIỆU TRƯỞNG TTCM Người xây dựng
Nguyễn Hùng Cường

PHẦN I: GIẢI TÍCH
Bài 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
1
1. Kiến thức cơ bản
Các bước khảo sát hàm số bậc 3, trùng phương
1. Tập xác định.
2. Sự biến thiên
a. Chiều biến thiên
 Tìm y’, giải phương trình y’=0 => sự biến thiên
b. Cực trị.
 (x
CĐ
; y
CĐ
)


;
(x
CT
; y
CT
)
c. Giới hạn

lim

x
y
→−∞
;
lim
x
y
→+∞
d. Bảng biến thiên.
3. Đồ thị.
- Tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục.
- Giá trị đặc biệt ( Tìm thêm 1 số điểm mà đồ thị hàm số đi
qua).
- Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3
HS bậc 3
0a
>
0a
<
y’ = 0
có hai
nghiệm
phân biệt
y’ = 0
có nghiệm
kép
y’ = 0
vô nghiệm
- Một số chú ý khi khảo sát hàm số bậc ba :
1. TXD: R

Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
2
2.
0 lim ; 0 lim
x x
a y a y
→±∞ →±∞
> ⇒ = ±∞ < ⇒ = ∞m
3. a > 0 : CĐ - CT; a < 0: CT - CĐ (Không có cực trị nếu y’> 0 hoặc
y’< 0
∀
x
∈
R)
2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
6 9y x x x= − +
Bài giải:
1. TXĐ: D = R
2. Sự biến thiên
a.Chiều biến thiên
2 2
1
' 3 12 9, ' 0 3 12 9 0
3
x
y x x y x x
x

=

= − + = ⇔ − + = ⇔

=

Trên khoảng
( )
;1−∞
và
( )
3;+∞
,
' 0y >
nên hàm số đồng biến
Trên khoảng
( )
1;3
,
' 0y <
nên hàm số nghịch biến
b. Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại x = 1, y
CĐ
= y(1)= 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, y
CT
= y(3)= 0
c. Giới hạn
( ) ( )

3 2 3 2
lim lim 6 9 lim lim 6 9
x x x x
y x x x y x x x
→−∞ →−∞ →+∞ →+∞
= − + = −∞ = − + = +∞
d. Bảng biến thiên
3. Đồ thị
Giao với trục Oy tại điểm (0;0)
Giao với trục Ox tại điểm (0;0), (3;0)
Ví dụ 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3
y x 3x 2= − + −
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
3

O
x
y
Giải:
1. Tập xác định: D = R
2. Sự biến thiên
a. Chiều biến thiên
y
′
= -3x
2
+3 = -3(x
2

-1)
Trên khoảng
( 1;1)−
, y’>0 nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng
( ; 1)−∞ −
và
(1; )+∞
, y’<0 nên hàm số nghịch biến
b. Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại x=1 => y
CĐ
= 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 => y
CT
= -4
c. Giới hạn
3 3
( 3 2) lim ( 3 2)
x
x
Lim x x x x
→+∞
→−∞
− + − = +∞ − + − = −∞
d. Lập bảng biến thiên.
x
−∞
-1 1 +
∞

y
/
+ 0 - 0 +
y
+
∞
0
-4 -
∞
3. Đồ thị
Giao với Ox tại A(1;0) và B(-2;0)
Giao với Oy tại C(0;-2)
3. Bài tập về nhà
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
4
= −

′
= ⇔

=

1
0
1
x
y
x
3 2

3 2
3 2
3
1
.
3
1
. 2 4
3
. 3 5 1
. 3
a y x x x
b y x x x
c y x x x
d y x x
=− + −
= − +
= − + +
=− −
e.
3 2
3y x x= − +
f.
3 2
2 3 1y x x= + −
g.
3
3 1y x x= − +
4. Hướng dẫn giải:
- Sử dụng sơ đồ khảo sát hàm số như các ví dụ

- Chú ý tính đạo hàm và giải phương trình y’=0
- Chú ý kiểm tra so sách với các dạng đồ thị đã học
Bài 2: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
TRÙNG PHƯƠNG
1. Kiến thức cơ bản
- Dạng đồ thị của hàm số
4 2
( 0)y ax bx c a
= + + ≠
HS trùng
phương
0a
>
0a
<
y’ = 0
có ba
nghiệm phân
biệt
y’ = 0
có một
nghiệm
2. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho hàm số
y =
4 2
-x + 2x + 3 (C)
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
5
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô (C)

Giải
1. Tập xác định: D =
¡
2. Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên:
( )
3 2
y’ 4x 4x 4x x 1= − + = − −


y
’
> 0 với mọi
( ; 1) (0;1)x∈ −∞ − ∪
,
suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-  ; -1) và ( 0 ; 1)
y
’
< 0 với mọi
( 1;0) (1; )x∈ − ∪ +∞
,
suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( - 1 ; 0) và ( 1 ; +)
+) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x = - 1 và x =1; y
CĐ
= 4
Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 0 ; y
CT
= 3
+) Giới hạn:

®- ¥
¥
x
lim y = -

®+¥
¥
x
lim y = -
+) Bảng biến thiên:
x -  -1 0 1 +
y
’
+ 0 - 0 + 0 -
y
4 4
-  3 - 

3. Đồ thị (C ) :
Cắt Oy tại điểm (0; 3), cắt Ox tại 2 điểm
( -
3
; 0) và (
3
; 0)
Nhận Oy là trục đối xứng
VD 2: Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
4 2
8 10y x x= − +

Giải:
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
6
0
y’ 0 1
1
x
x
x
=


= ⇔ = −


=

0
1
1
-x^4 +2*x^2+3
3
4
1. Tập xác định: D =
¡
2. Sự biến thiên:
a. Chiều biến thiên:
y’ = 4x
3
-16x =

2
4 ( 4)x x −
y’ = 0 

y
’
> 0 với mọi
( 2;0) (2; )x∈ − ∪ +∞
,
suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -2 ; 0) và ( 2 ; +)
y
’
< 0 với mọi
( ; 2) (0;2)x∈ −∞ − ∪
,
suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( -; -2) và ( 0 ; 2).
b. Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ,y
CĐ
= 10
Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x =
2±
; y
CT
= -6
c. Giới hạn:

®- ¥
¥
x

lim y = +
;
®+¥
¥
x
lim y = +
Hàm số khơng có tiệm cận
d. Bảng biến thiên:
x -  -2 0 2 +
y
’
- 0 + 0 - 0 +
y
+ 10 +
-6 -6
3. Đồ thị (C ) :
Đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm (0;
10), cắt trục Ox tại 4 điểm
( 4 6;0)
± −
)
và
( 4 6;0)
± +
Đồ thị (C) nhận trục Oy là trục đối
xứng

3. Bài tập về nhà
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ơn tập học kì I – Tốn 12
7

= − + = + − = − +
= − + − = − − + =
4 2 4 2 4 2
4 2 4 2 4 2
Bài 1: Khảo sát vẽ đồ thò các hàm số sau:
1). 2 2 2). 2 1 3). 2 1
4). 2 1 5). 4 2 6). y x – 2x
y x x y x x y x x
y x x y x x
0
2
2
x
x
x
=


= −


=


Bài 2: Cho hàm số y = mx
4
+(m
2
-9)x
2

+ 10 (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1.
2) Viết Phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với đường
thẳng y =19.
4. Hướng dẫn giải
- Khảo sát theo sơ đồ khảo sát hàm số
- Thay giá trị m=1 rồi khảo sát hàm số
- Tìm hoành độ giao điểm bằng cách giải phương trình biến x khi thay y
=19, rồi viết phương trình tiếp tuyến tại 1 diểm
Bài 3 : HÀM SỐ BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT
1. Kiến thức cơ bản
Hàm phân thức
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
+) Tập xác định:
\
d
D R
c
 
= −
 
 

+) Đạo hàm :
'
2
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
(Lưu ý : dấu y
’
phụ thuộc vào dấu của ad - bc)
+) Hàm số không có cực trị
+) Giới hạn, tiệm cận:

lim lim
x x
a
y y
c
→−∞ →+∞
= =
; suy ra y = a/c là tiệm cận ngang
Nếu y
’
>0 trên D:
( ) ( )
lim ; lim
d d

x x
c c
y y
+ −
→ − → −
= −∞ = +∞
; suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng
Nếu y
’
<0 trên D:
( ) ( )
lim ; lim
d d
x x
c c
y y
+ −
→ − → −
= +∞ = −∞
; suy ra x = -d/c là tiệm cận đứng
+) Bảng biến thiên:
TH1: y
’
> 0 trên D
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
8
x
−∞

d

c
−

+∞
y
’
+ +
y

+∞
a/c

a/c
−∞
TH2: y
’
< 0 trên D
x
−∞

d
c
−

+∞
y
’
- -
y
a/c

+∞


−∞
a/c
- Dạng đồ thị của hàm số
( 0, 0)
ax b
y c ad bc
cx d
+
= ≠ − ≠
+
2. Kiến thức bổ trợ
a) Nếu dạy học sinh tính y’ theo công thức :
'
2
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
Giáo viên hướng dẫn học sinh xác định hệ số a,b,c,d
VD : 1)
3
2 1
x
y

x
−
=
+
a= 1, b =-3, c = 2 , d = 1=>
'
2
1.1 ( 3).2
(2 1)
y
x
− −
=
+
=
'
2
7
(2 1)
y
x
=
+
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
9
2)
1 2
2
x
y

x
−
=
+
a= -2, b =1, c = 1 , d = 2=>
'
2
( 2).2 1.1
( 2)
y
x
− −
=
+
=
'
2
5
( 2)
y
x
−
=
+
Học sinh tự làm xác định hệ số a,b,c,d
1)
3 2
1
x
y

x
−
=
−
2)
4 2
3
x
y
x
+
=
+

3. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+
, đồ thị (C)
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Giải
1.Tập xác định: D =
{ }
\ 1-¡

2. Sự biến thiên:
a. Chiều biến thiên: y’ =
2 2
2( 1) (2 1) 1
0,
( 1) ( 1)
x x
x D
x x
+ − +
= > ∈
+ +
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ; 1)−∞ −
và
( 1; )− +∞
b. Cực trị: Hàm số không có cực trị.
c. Giới hạn:

lim 2
x
y
®- ¥ ®+¥
=
x
lim y =
, suy ra đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang

1 1
+ -

®- ®-
¥ ¥
x x
lim y = - ; lim y = +
, suy ra đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng.

d. Bảng biến thiên:
x
−∞

1
−

+∞
y
’
+ +
y

+∞
2
2
−∞
Đồ thị:
Cho x = 0 thì y = 1, suy ra
đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm
(0;1)
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
10

O
I
Cho y = 0 thì x = -1/2, suy ra đồ thị (C) cắt trục Ox tại điểm (-1/2;0)

Ví dụ 2: Cho hàm số
2
1
x
y
x
−
=
−
,đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0;-2).
Giải:
Lưu ý học sinh: Hay hàm số có dạng
2
1
x
y
x
− +
=
−
1. Tập xác định: D =
{ }
\ 1¡
2. Sự biến thiên:

a. Chiều biến thiên: y’
2
1
0,
( 1)
x D
x
−
= < ∈
−
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
( ;1)−∞
và
(1; )+∞
b. Cực trị: Hàm số không có cực trị.
c. Giới hạn:

lim 1
x
y
®- ¥ ®+¥
=-
x
lim y =
, suy ra đường thẳng y = -1 là tiệm cận ngang

1 1
+ -
® ®
¥ ¥

x x
lim y = + ;lim y = -
, suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng.

d. Bảng biến thiên:
x
−∞

1

+∞
y
’
- -
y
-1
+∞


−∞
-1
Đồ thị:
Cho x = 0 thì y = -2, suy ra đồ thị
(C) cắt trục Oy tại điểm (0;-2)
Cho y = 0 thì x = 2, suy ra đồ thị
(C) cắt trục Ox tại điểm (2;0)
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
11

O

I
y
x
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0
) có dạng:
'
0 0 0
( )( )y y f x x x− = −
Ta có x
0
= 0, y
0
= 2, f
’
(x
0
) = f
’
(0) = -1.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-x+2
4. Bài tập về nhà
Bài 1: Cho hàm số
3 2
1
x

y
x
−
=
−
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (c) tại điểm có tung độ bằng 1.
Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

42
21
−
−
=
x
x
y
Bài 3: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (c) của hàm số.
b. Tìm m để đường thẳng d: y = - x + m cắt (c) tại 2 điểm phân biệt .
Bài 4 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

2 3
1
x
y
x
+
=
+
Bài 5: Cho hàm số
( )
1 2 1
1
m x m
y
x
+ − −
=
+
( C
m
) ( m là tham số)
a. Tìm m để ( C
m
) qua điểm A ( 0; -1)
b. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được.
Bài 6: Cho hàm số
1
13
+
−

=
x
x
y
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Tìm m để đường thẳng y= mx cắt (C) tại 2 điểm phân biệt
5. Hướng dẫn giải
- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục ox:
Cho y = 0
0
b
ax b x
a
⇔ + = ⇔ = −
- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với trục oy:
Cho x = 0
b
y
d
⇔ =
- Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận:
I(-d/c ; a/c)
- Bài 3: Để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình
2 1
x m
1
x
x
+

=− +
−
phải có 2 nghiệm phân biệt.
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
12
- Bài 5: Thay tọa độ điểm A vào hàm số (C
m
) để tìm m
- Bài 6 làm tương tự bài 3
Bài 4 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM
SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN
1: Kiến thức cơ bản :
• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:
B1: Tìm các giá trò x
i

[ ]
;a b∈
(i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc
không xác đònh .
B2: Tính
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
B3: GTLN = max{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b

}
GTNN = Min{
1 2
( ), ( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f x f b
}
2: Bài tập vận dụng
Ví dụ 1.
Tính GTLN, GTNN của hàm số
3
2
2 3 4
3
x
y x x= + + −
trên đoạn [-4; 0]
Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên [-4; 0],
2 2
[-4;0]
[-4;0]
1
'( ) 4 3 '( ) 0 4 3 0
3
16 16
( 4) , ( 3) 4, ( 1) , (0) 4
3 3
Ëy Max 4 x = -3 hc x = 0
16

Min khi x = -4 hc x = -1
3
x
x
x
f x x x f x x x
x
f f f f
V y khi
y
∈
∈
=−

= + + ⇒ = ⇔ + + = ⇒

=−

− −
− = − =− − = =−
=−
−
=
Ví dụ 2
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x
2
-2x+3.
(
R
Min

f(x) = f(1) = 2)
2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
y = f(x) = x
2
-2x+3 trên [0;3]. (
]3;0[
Min
f(x)
= f(1) = 2 và
]3;0[
Max
f(x) = f(3.) = 6
3) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
y = f(x) =
1x
4x4x
2
−
+−
với x<1. (
)1;(
Max
−∞
f(x) = f(0) = -4)
4) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx.
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ơn tập học kì I – Tốn 12
13
5) Tìm GTLN: y = −x
2
+2x+3. (

R
Max
y = f(1 ) = 4)
6) Tìm GTNN y = x – 5 +
x
1
với x > 0. (
);0(
Min
±∞
y = f(1 ) = −3)
7) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 2x
3
+3x
2
−1 trên đoạn






− 1;
2
1
(
4)1(fyMax
]1;
2
1

[
==
−
;
1)0(fyMin
]1;
2
1
[
−==
−
)
8) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x
4
-2x
2
+3. (
R
Min
y = f(±1) = 2; Không có
R
Max
y)
b) y = x
4
+4x
2
+5. (
R

Min
y=f(0)=5; Không có
R
Max
y)
3. Bài tập về nhà
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu có):
+ − +
+ −
− +
+ − −
3 2
3
4 2
3 2
. f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4]
b. f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]
c. f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3]
d. f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]
a x x
x
x
x x
4. Hướng dẫn giải
- Tính y’
- Giải phương trình y’=0 tìm nghiệm
- Dùng MTCT tính các giá trị của hàm số => GTLN và GTNN
Bài 5: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Kiến thức cơ bản :
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm

0 0 0
M (x ;y ) (C)∈

Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
14
(C): y=f(x)
0
x
x
0
y
y
0
M
∆
Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x
0
;y
0
) có dạng:
y - y
0
= k ( x - x
0
)
Trong đó : x
0
: hồnh độ tiếp điểm
y

0
: tung độ tiếp điểm và y
0
=f(x
0
)
k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f
'
(x
0
)
2. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số
3 2
6 9y x x x= − +
(C)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
Giải:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)
Ta có:

( )
2
' 3 12 9, ' 2 3y x x y
= − + = −
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:
( )
3 2 2 3 8y x y x= − − + ⇔ = − +
Bài 2: Cho hàm số y=-x
3

+3x-2
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại của hàm số.
Giải :
Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm cực đại điểm cực đại (1;0)
PTTT có dạng: y=y’(x
0
)(x-x
0
) + y
0
Ta có: y’(1) = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là y=0
Bài 3: Cho hàm số
4 2
y = -x + 2x + 3 (C)
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực tiểu của (C).
Giải:
Tìm cực tiểu ta được: điểm cực tiểu (0;3) Ta có:
'
(0) 0f =

suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực tiểu là: y=3
Bài 4 : Cho hàm số
4 2
8 10y x x= − +
Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại của đồ thị (C)
Giải:
Ta tìm được điểm cực đại (0;10)
Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại là: y=10
Bài 5: Cho hàm số

2
1
x
y
x
−
=
−
, đồ thị (C)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0;-2).
Giải:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M
0
(x
0
;f(x
0
) có dạng:
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ơn tập học kì I – Tốn 12
15
'
0 0 0
( )( )y y f x x x− = −
Ta có x
0
= 0, y
0
= 2, f
’
(x

0
) = f
’
(0) = -1.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-x+2
3. Bài tập về nhà
Bài 1: Cho hàm số: y = x
3
– 3x
2
+ 1, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại điểm
A(2; –3)
Bài 2: Cho hàm số:
4 2
3 3
4 2 4
x x
y = − +
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C), biết:
1) Tại điểm có hoành độ x = – 2
2) Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = – 2x + 2
Bài 3: Cho hàm số:
2 1
2
x
y
x
+
=
−

, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của
(C),biết:
1) Tại điểm có tung độ y = – 2
2) Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = – 20x + 4
Bài 4: Cho hàm số:
2
2 3 2
1
x x
y
x
+ +
=
+
, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C), biết:
1) Tại giao điểm của đồ thị với trục tung Oy
2) Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = – 2x + 10
Bài 5: Cho hàm số: y = x
3
– x
2
– x + 1, có đồ thị (C). Viết PTTT của (C) tại
điểm x
0
mà y
’’
(x
0
) = 0
4. Hướng dẫn giải

- Đường thẳng song song với đường thẳng y=ax+b là đường thẳng có
phương trình dạng y=ax+c
- Nếu đề bài chỉ cho hoành độ tiếp điểm thì ta thay hoành độ đó vào
công thức hàm số để tìm tung độ tiếp điểm.
- Nếu đề bài chỉ cho tung độ tiếp điểm thì ta giải phương trình y=y
0
để
tìm hoành độ tiếp điểm
Bài 6: SỬ DỤNG ĐỒ THỊ ĐỂ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH
1. Kiến thức cơ bản
Xét phương trình f(x) = g(x) (1)
Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm
của (C
1
):y=f(x) và (C
2
):y=g(x)
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
16
y
x
0
x
)(
1
C
)(

2
C
Dạng 1 : Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình

f(x) = m (*)
Phương pháp:
Bước 1: Xem (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:


( ): ( ) : (C) là đồ thò cố đònh
( ): : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;m)
C y f x
y m
• =
• ∆ = ∆
Bước 2: Vẽ (C) và (
∆
) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (
∆
) và (C)
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

Minh họa:
Dạng 2: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
ơ
f(x) = g(m) (* *)
Phương pháp:
Đặt k = g(m)

Bước 1: Xem (**) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:

( ): ( ) : (C) là đồ thi cố đinh
( ): : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;k)
• =
• ∆ = ∆
C y f x
y k
Bước 2: Vẽ (C) và (
∆
) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo k số giao điểm của (
∆
) và (C) . Dự a vào hệ
thức k=g(m) để suy ra m
Từ đó kết luận về số nghiệm của phương trình (**).

Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ơn tập học kì I – Tốn 12
17
x
y
∆
ky =
);0( k
K
1
M
O
2

K
y
x
)(:)( xfyC =
);0( m
1
m
2
m
my =
∆
O
Minh họa:
2. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số
3 2
6 9y x x x= − +
(1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)
b. Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của
phương trình
3 2
6 9x x x m− + =
Giải:
a. Khảo sát và vẽ đồ thị ( HS tự làm)
b. Biện luận số nghiệm phương trình
Ta có:
3 2
6 9x x x m− + =
(*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số (1) với
đường thẳng
y m=
. Dựa vào đồ thị hàm số (1) ta có:
Nếu
4
0
m
m
>


<

thì phương trình (*) có một nghiệm
Nếu
4
0
m
m
=


=

thì phương trình (*) có hai nghiệm
Nếu
0 4m
< <
thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

Bài 2:
Cho hàm số y=-x
3
+3x-2 (2)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2)
b. Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x
3
-3x+2+m=0
Giải:
a. Khảo sát và vẻ đồ thị hàm số: (HS tự làm)
b. Biện luận số nghiệm phương trình
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
18
y=m
y=m
y=m
y=m
Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
3
-3x+2+m=0
Ta có: x
3
-3x+2+m=0  -x
3
+3x-2 = m (*)
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và
đường thẳng y=m
• -4<m<0 Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt
•
4

0
m
m
= −


=

Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
•
0
4
m
m
>


< −

Phương trình (*) có 1 nghiệm
Bài 3 : Cho hàm số
4 2
8 10y x x= − +
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biên luận theo tham số m số nghiệm của phương
trình:

4 2
8 9 0 (*)x x m− + − =

Giải :
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : (HS tự vẽ)
b. Biện luận số nghiệm phương trình
Ta có (*)
4 2
8 10 1x x m⇔ − + = +
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
19
y=m
y=m
y=m
y=m+1
y=m+1
y=m+1
y=m+1
y=m
Do đo, sô nghiệm của phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ
thị (C) và đường thẳng y = m+1. Nên dựa vào đồ thị (C), ta có:
+) Nếu m < -7 thì phương trình (*) vô nghiệm.
+) Nêu m =-7 thì phương trình (*) có hai nghiệm kép.
+) Nếu -7 < m < 9 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biết
+) Nếu m = 9 thì phương trình (*) có 3 nghiệm (1 kép và 2 đơn)
+) Nếu m > 9 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
3. Bài tập về nhà
Bài 1(TNTHPT - 2008)
Cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= + −
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Bài 2 (TN THPT- lần 2 - 2008)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho.
b. Tìm các giá trị của m để phương trình
3 2
3 0x x m− − =
có 3 nghiệm phân
biệt.
Bài 3 (TNTHPT - 2006)
Cho hàm số y=
3 2
3x x− +
có đồ thị (C) .
a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b/ Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trỡnh :
3 2
3x x− +
-m=0 .
4. Hướng dẫn giải
- Vẽ đồ thị hàm số
- Biến đổi phương trình sao cho 1 vế là hàm số đã vẽ đồ thị, 1 vế là hàm
số hằng
- Căn cứ vào đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình
PHẦN II: HÌNH HỌC
Bài 7: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
1. Kiến thức cơ bản
a) Thể tích khối hộp chữ nhật

Trong đó:
a, b, c là độ dài 3 cạnh trong khối hộp chữ nhật
b) Khối lăng trụ: thể tích khối lăng trụ
Trong đó:
B: diện tích đáy
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
20
V = B.h
V=a.b.c
h: chiều cao
2. Kiến thức bổ trợ
* Diện tích đa giác.
• Hình vuông cạnh a có diện tích
• Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích
• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích
.
• Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao
a
a
a
b
a
b
a
hA
b
a
a
hA
• Hình thoi biết hai đường chéo a,b

• Hình bình hành biết cạnh a và đường cao h
A
.
• Một số công thức khác tính diện tích tam giác
* Định lý Cosin
.
* Định lý sin
* Hệ thức lượng trong tam giác vuông
3. Bài tập vận dụng
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
21
C'
B'
A'
C
B
A
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có tất cả các cạnh
đều bằng a
a) Tính thể tích của khối lăng trụ
b) Tính thể tích khối tứ diện A
’
BB
’

C
HD: a) * Đáy A
’
B
’
C
’
là
∆
đều cạnh a . AA
’
là
đường cao
* Tất cả các cạnh đều bằng a
*
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= Bh =
A B C
S
′ ′ ′
.AA
’

* Tính:
A B C
S
′ ′ ′
=

2
3
4
a
(A
’
B
’
C
’
là
∆
đều
cạnh a) và AA
’
= a
ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
=
3
3
4
a
b)
A BB C
V
′ ′
=

1
3
ABC.A B C
V
′ ′ ′
ĐS:
3
3
12
a

( khối lăng trụ đứng có tất cả các cạnh bằng nhau được chia thành 3 tứ diện
bằng nhau)
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AC = a,
C
∧
= 60
0
, đường chéo BC
’
của mặt bên (BCC
’
B

’
) hợp với mặt bên
(ACC
’
A
’
) một góc 30
0
.
a) Tính độ dài cạnh AC
’

b) Tính thể tích lăng trụ
HD: a) * Xác định
ϕ
là góc giữa cạnh BC
’
và
mp(ACC
’
A
’
)
+ CM: BA
⊥
( ACC
’
A
’
)

• BA
⊥
AC (vì
∆
ABC vuông tại A)
• BA
⊥
AA
’
(ABC.A
’
B
’
C
’
lăng trụ
đứng)
+
ϕ
=
BC A
∧
′
= 30
0
* Tính AC
’
: Trong
V
∆

BAC
’
tại A (vì BA
⊥
AC
’
)
tan30
0
=
AB
AC
′

⇒
AC
’
=
0
30
AB
tan
= AB
3
* Tính AB: Trong
V
∆
ABC tại A, ta có: tan60
0
=

AB
AC


⇒
AB = AC. tan60
0
= a
3
(vì AC = a). ĐS: AC
’
= 3a
b)
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= Bh =
ABC
S
.CC
’
* Tính:
ABC
S
=
1
2
AB.AC =
1
2

.a
3
.a =
2
3
2
a
* Tính CC
’
: Trong
V
∆
ACC
’
tại C, ta có: CC
’2
= AC
’2
– AC
2
= 8a
2

⇒
CC
’
=
2 2a
ĐS:
ABC.A B C

V
′ ′ ′
= a
3
6
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
22
60
°
30
°
C'
B'
A'
C
B
A
Bài 3: Cho lăng trụ tam giác ABC.A
’
B
’
C
’
có đáy ABC là một tam giác đều
cạnh a và điểm A
’
cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA
’
tạo với mp
đáy một góc 60

0
. Tính thể tích của lăng trụ.
HD: * Kẻ A
’
H
⊥
(ABC)
* A
’
cách đều các điểm A, B, C nên H là trọng tâm của
∆
ABC đều cạnh
a
* Góc giữa cạnh AA
’
và mp(ABC) là
ϕ
=
A AH
∧
′
= 60
0
* Tính:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= Bh =
ABC
S

.A
’
H
* Tính:
ABC
S
=
2
3
4
a
(Vì
∆
ABC đều
cạnh a)
* Tính A
’
H: Trong
V
∆
AA
’
H tại H, ta
có:
tan60
0
=
A H
AH
′

⇒
A
’
H = AH. tan60
0
=
2
3
AN.
3
= a
ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
=
3
3
4
a

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A
’
B
’
C
’
, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AC = a, BC = 2a và AA

’
= 3a.
Tính thể tích của lăng trụ
HD: * Đường cao lăng trụ là AA
’
= 3a
* Tính:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
= Bh =
ABC
S
.AA
’
* Tính:
ABC
S
=
1
2
AB.AC (biết AC = a)
* Tính AB: Trong
V
∆
ABC tại A, ta có:
AB
2
= BC
2

– AC
2
= 4a
2
– a
2
= 3a
2
ĐS:
ABC.A B C
V
′ ′ ′
=
3
3 3
2
a
Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A
’
B
’
C
’
D
’
có đáy là hình thoi cạnh a, góc
A
∧
=
60

0
. Chân đường vuông góc hạ từ B
’
xuống đáy ABCD trùng với giao
điểm hai đường chéo của đáy. Cho BB
’
= a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b) Tính thể tích hình hộp
HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và BD
* B
’
O
⊥
(ABCD) (gt)
* Góc giữa cạnh bên BB
’
và đáy (ABCD) là
ϕ
=
B BO
∧
′

* Tính
ϕ
=
B BO
∧
′

: Trong
V
∆
BB
’
O tại O, ta có:
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
23
a
60
°
N
H
C'
B'
A'
C
B
A
2a
3a
a
C'
B'
A'
C
B
A
cos
ϕ

=
OB
BB
′
=
OB
a

+
∆
ABD đều cạnh a (vì
A
∧
= 60
0
và
AB = a)
⇒
DB = a

⇒
OB =
1
2
DB =
2
a
. Suy ra: cos
ϕ
=

1
2
⇒
ϕ
= 60
0
b) * Đáy ABCD là tổng của 2
∆
đều
ABD và BDC
⇒

ABCD
S
= 2.
2
3
4
a
=
2
3
2
a
*
ABCD.A B C D
V
′ ′ ′ ′
= Bh =
ABCD

S
.B
’
O =
2
3
2
a
.B
’
O
* Tính B
’
O: B
’
O =
3
2
a
(vì
∆
B
’
BO là nửa tam giác đều) ĐS:
3
3
4
a
1. Bài tập về nhà
Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ biết rằng

mp(A’BC) tạo với đáy một góc 30
0
và tam giác A’BC có diện
tích bằng 8 tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh
a; hình chiếu của A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm
M của đoạn BC. Góc hợp bởi AA’ và mp(A’B’C’) bằng 30
o
. Tính
thể tích lăng trụ theo a.
Bài 4 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh
bằng 3. Gọi O’ là tâm của tam giác A’B’C’. Biết O’ là hình chiếu
của B lên (A’B’C’) , cho cạnh bên của lăng trụ bằng . Tính
thể tích khối lăng trụ.
Bài 5 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và
mặt đáy bằng 60
0
. biết rằng tam giác A’B’C’ vuông tại B’,
A’B’=3, B’C’=4 . B’H’ là đường cao của tam giác A’B’C’ và H’
là hình chiếu của điểm B lên (A’B’C’). Tính thể tích khối lăng
trụ ABC.A’B’C’.
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
24
ϕ
a
60
°
a
O
D'

C'
B'
A'
D C
B
A
4. Hướng dẫn giải
- Đọc kĩ đề bài
- Vẽ chính xác hình
- Tìm diện tích mặt đáy (Sử dụng các công thức tính diện tích đa giác)
- Tính chiều cao (chú ý đến các đường vuông góc, định lí Pitago, định lí
sin, định lí cô sin)
Bài 8: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1. Kiến thức cơ bản
Công thức tính thể tích của khối chóp

Trong đó:
B: diện tích đáy
h: chiều cao
2. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a
HD: * Đáy là
∆
BCD đều cạnh a. H là trọng tâm của đáy
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =
1
3
Bh =
1

3
S
BCD
. AH * Tính: S
BCD
=
2
3
4
a
(
∆
BCD đều cạnh
a)
* Tính AH: Trong
V
∆
ABH tại H :
AH
2
= AB
2
– BH
2
(biết AB = a; BH =
2
3
BM với BM =
3
2

a
)
ĐS: V =
3
2
12
a
Bài 2: Tính thể tích của khối chóp tứ giác
đều cạnh a
HD: * Đáy ABCD là hình vuông cạnh a.
H là giao điểm của 2 đường chéo
* Tất cả các cạnh đều đầu bằng a
* Tính: V =
1
3
Bh =
1
3
S
ABCD
. SH
* Tính: S
ABCD
= a
2
* Tính AH: Trong
V
∆
SAH tại H:
SH

2
= SA
2
– AH
2

(biết SA = a; AH =
2
2
a
)
Nguyễn Hùng Cường Tài liệu ôn tập học kì I – Toán 12
25
V =
1
.
3
B h
a
H
S
D
C
B
A