Phương pháp giải phương trình chứa căn thức

MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC
Đã có rất nhiều bài viết về những phương pháp giải phương trình có chứa căn thức, sau đây
tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương pháp mới,
sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức mà
chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh và thi học sinh giỏi…
Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng
dụng trong giải toán sau: .
Ví dụ 1: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:

Vì Nhân vào hai vế của phương trình ta được:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình xét , chia cả hai vế của phương
trình cho ta được:
Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm và (loại)
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Ví dụ 2: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Phương trình tương đương với:

Vì
Nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:
Nếu hoặc (loại)
Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta được
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Ví dụ 3: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện và .
Phương trình tương đương với:

Vì , nhân vào hai vế của phương trình ta thu được:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
+Nếu
+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
(vì )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ 4: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy không phải là nghiệm của phương trình , viết lại phương trình dạng:

Vì , nhân vào hai vế của phương trình ta thu
được:
+Nếu hoặc .
+Nếu , chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
Giải phương trình này ta được
Vậy phương trình có hai nghiệm và
Sau đây là một số bài tập:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Giải các phương trình sau:

Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số
bài toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút Ở đây vẫn trình bày dưới dạng
các ví dụ minh họa cho từng dạng
Ví dụ 5: (Phương trình chứa căn ở mẫu) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện:
Phương trình tương đương với:

Vì . Ta có:
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, xét , chia cả hai vế của phương trình
cho ta được:
Dễ thấy .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 6: (Phương trình chứa nhiều loại căn thức) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện:

Vì . Ta có:
Nhận thấy là một nghiệm của phương trình, xét , chia cả hai vế của phương trình
cho ta được:
.
Dễ thấy .
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .
Ví dụ 7: (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ ) Giải phương trình
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp

Lời giải: Điều kiện
Nhận thấy và là các nghiệm của phương trình. Xét . Chia cả
hai vế của phương trình cho ta được:
Dễ thấy .
Vậy phương trình có hai nghiệm và .
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra là nghiệm (^_^)

Ví dụ 8: (Tìm nhân tử chung !) Giải phương trình

Lời giải: Điều kiện:
Nếu và
MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC
Nguyễn Đức Tuấn – Thành phố Cao Lãnh - Đồng Tháp
Xét . Chia cả hai vế của phương trình cho ta được:
và (loại!).
Vậy phương trình có ba nghiệm , và .
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra là nhân tử chung (^_^)
Sau đây là một số bài tập:
Giải các phương trình sau:
.

Nguyễn Đức Tuấn – ( t_toan) – Chúc các bạn thành công!