một số Phương pháp giải phương trình chứa căn thức

PHNG TRèNH CHA CN THC
1. Phơng pháp biến đổi tơng đơng (phơng pháp nâng lũy thừa)
Bài 1 Giải các ph ơng trình sau:
2 2
1) x 2x 4 2 x 2) 21 4x x 2x 3+ + = = +
2 2
2 2
3) 2x 5 x 2 4) 4x 7 5 2x
5) 3x 9x 1 x 2 6) 4x 7x 12 x 3 0
7) x 2x 3 2x 3 0 8) 6 4x x x 4
= =
+ = + + + =
+ + = + = +
2 2
9) 3x 7 x 1 2 13) x 1 8 3x 1
10) x 8 5x 20 2 0 14) x 9 5 2x 4
11) x 9 x 7 2 15) x 4 1 x 1 2x
12) 3x 4 2x 1 x 3 16) 4x 13 x 1 2x 3
+ + = + = +
+ + = + = +
+ = + =
+ = + + + = +
Bài 2.Giải các ph ơng trình sau:
a)
12 3 2 1x x x+ = + +
b)
2
2( 16)
7
3

3 3
x
x
x
x x


+ =

c)
5 1 1 2 4x x x =
d) 2
2 2 1 1 4x x x+ + + + =
e)
3 3 5 2 4x x x =
f)
3 1 8 1x x+ = +
g)
2
2 15 2x x x+ =
h)
2
6 5 8 2x x x + =
i)
1 8 3 1x x+ = +
j) (x-3)
2
5 4 2 6x x x + =
k)
2 7 5 3 2x x x+ =

l)
1 3 4x x+ = +
Dạng 2: Ph ơng pháp đặt ẩn phụ
Dng 2.1: Phng trỡnh cha
( )
f x
v f(x).
-t
t f (x)=
, iu kin t

0.
-Suy ra phng trỡnh bc hai theo t.
-Gii phng trỡnh v chn nghim t

0.
-Gii tip
f (x) t=
, tỡm c nghim x.
Gii cỏc phng trỡnh sau
( )
2 2 2 2
1)x x 11 31 2) 2 x 2 5 x 3+ + = + = +
( )
2 2
3)2 x 2x x 2x 3 9 0 + + =
4) x
2
+
2

2 4 3 6 2x x x+ + =
Dng 2.2: Phng trỡnh cha
( )
f x
v
( )
f x k

, k-const:
t t=f(x), a phng trỡnh cha cn thc v dng n gin hn.
Gii cỏc phng trỡnh sau
2 2 2 2
1) x 3x 3 x 3x 6 3 2) 2x 5x 2 2 2x 5x 6 1 + + = + + + =
Dng 2.3: Phng trỡnh cha
( ) ( )
f x , g x
, v
( ) ( )
f x g x
=k-const
-t
( ) ( )
k
t f x g x
t
= =
-Suy ra phng trỡnh bc hai theo t.
-Gii phng trỡnh v chn nghim t

0.

-Gii tip
( )
f x t
=
, tỡm c nghim x.

Giải phương trình sau:
2 2
x x 1 x x 1 2− − + + − =
Dạng 2.5: Phương trình chứa
( ) ( )
f x g x±
,
( ) ( )
f x g x
và f(x)+g(x)=h(x):
-Đặt
( ) ( )
t f x g x= ±
⇒
( ) ( )
2
t h(x)
f x g x
2
−
=
.
-Suy ra phương trình bậc hai theo t.
-Giải phương trình và chọn nghiệm t

≥
0.
-Giải tiếp
( ) ( )
f x g x t
± =
, tìm được nghiệm x.
Giải các phương trình sau:
2
2
2
1) 3 x 6 x x 3x 18 3
2) 3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2
3) 2x 3 x 1 3x 2 2x 5x 3 16
+ + − = − + + +
− + − = − + − +
+ + + = + + + −
Dạng 2.6 : Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một phương trình
với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.
Ta lưu ý có những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu
thức còn lại không thể biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn thì
công thức biểu diễn lại quá phức tạp. Khi đó ta lựa chọn một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Lựa chọn phương pháp khác.
Hướng 2: Thử để phương trình ở dạng: “chứa ẩn phụ những hệ số vẫn chứa x”.
Trong hướng này ta thường được phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn
x) có biệt thức
∆
là một số chính phương.
Giải các phương trình sau:
( ) ( )

( ) ( )
3 3 2 2
2 2 2 2
1) 4x 1 x 1 x 2x 1 2)2 1 x x 2x 1 x 2x 1
3) x 3 10 x x x 12 4) 4x 1 x 1 x 2x 1
− + = + + − + − = − −
+ − = − − − + = + +
Dạng 2.7: Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương
trình với 2 ẩn phụ.
Giải các phương trình sau:
2 2 2
3
3
1) 3 x 6 x x 3x 18 3 2) 3 x x 2 x x 1
3) x 7 x 1 4) 2 x 1 x 1
+ + − = − + + + − + + + − =
+ − = − = − −
Dạng 2.8: Dùng ẩn phụ chuyển phương trình chứa căn thức thành một hệ phương
trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x.
Giải các phương trình sau:
3 3
3
3
1)x 1 2 2x 1 2)x 2 3 3x 2+ = − + = −
Dạng 11: Đưa phương trình chứa căn về phương trình chứa trị tuyệt đối
Giải các phương trình sau:
x 3
1) x 2 x 1 x 1 2 x 2 1 2) x 2 x 1 x 2 x 1
2
+

+ − − − − − = + − − − − =
Dạng 12: Phương pháp ®¸nh s¸t gi¸bằng những đánh giá tinh tế dựa trên những tính
chất của bất đẳng thức, ta có thể nhanh chóng chỉ ra nghiệm của nó.
Giải các phương trình sau:
2
1) x 2x 5 x 1 2
2) x 2 x 1 x 3 4 x 1 1
− + + − =
− − + + − − =