ToanHocTHPT]ThiThuDaiHocCaoDang-hocmai.vn-2009-De2

Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1
THI THỬ ĐẠI HỌC 2009
MÔN TOÁN
Đề thi số 2
Thời gian làm bài: 180 phút
A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
23
23
 xxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2


x
m
xx
theo tham số m.
Câu II (2 điểm)
a) Giải phương trình
 
2
3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x  
b) Giải phương trình
2 3
16 4
2

14 40 0
x x x
log x log x log x .  
Câu III ( 2 điểm)
a) Tính tích phân
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x





b) Cho hàm số
3
2
sin)(
2

x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
)(xf
và chứng minh rằng
0)( xf
có đúng hai nghiệm.

Câu IV (2 điểm) Trong không gian
Oxyz
cho đường thẳng d:
3
2
12
1



 zyx
và mặt phẳng
012:)(  zyxP
a) Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng
)(P
. Viết phương trình của
đường thẳng

đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong
)(P
.
b) Viết phương trình mặt phẳng
)(Q
chứa d sao cho khoảng cách từ điểm
)0,0,1(I
tới

)(Q
bằng
3
2
.
B. PHẦN DÀNH RIÊNG CHO TỪNG LOẠI THÍ SINH
Câu Va (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình cơ bản
a) Trong mặt phẳng
Oxy
cho
ABC
có
 
0 5A ; .
Các đường phân giác và trung tuyến xuất
phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0d : x y ,d : x y .    
Viết phương trình
ba cạnh của tam giác ABC.
b) Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển
 
60
3
2 3 .
Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2

Câu Vb (2 điểm)
Dành cho học sinh thi theo chương trình nâng cao
a) Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3


xxxx
.
b) Cho chóp tứ giác đều
SABCD
có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam giác đều. Qua
A
dựng mặt phẳng
)(P
vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
)(P
và hình chóp.
ĐÁP ÁN
Câu I

2 điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2
3 2y x x .  
 Tập xác định: Hàm số có tập xác định
D R.
 Sự biến thiên:
2
3 6y' x x. 
Ta có
0
0
2
x
y'
x


 



0,25

   
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .    
0,25
 Bảng biến thiên:

x

0 2

y'

0

0

y
2


2
0,25
a)
 Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình
0,25
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
22
2


x
m
xx
theo tham số m.
 Ta có

 
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
        

Do đó số nghiệm
của phương trình bằng số giao điểm của
 
 
2
2 2 1y x x x , C'   
và đường
thẳng
1y m,x . 
0,25
 Vì
 
 
 
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x




    

 


nên
 
C'
bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng
1x .
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng
1x 
qua Ox.
0,25
 Học sinh tự vẽ hình
0,25
b)
 Dựa vào đồ thị ta có:
0,25
Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3
+
2m : 
Phương trình vô nghiệm;
+
2m : 

Phương trình có 2 nghiệm kép;
+
2 0m :  
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;
+
0m :
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
0,25
Câu II
2 điểm
Giải phương trình
 
2
3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x  
 Biến đổi phương trình về dạng
   
2 3 2 1 2 1 0sin x sin x sin x   
0,75
a)
 Do đó nghiệm của phương trình là
7 2 5 2
2 2
6 6 18 3 18 3
k k
x k ;x k ;x ;x
     
 
        
0,25
Giải phương trình

2 3
16 4
2
14 40 0
x x x
log x log x log x .  
 Điều kiện:
1 1
0 2
4 16
x ;x ;x ;x .   
 Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
 Với
1x 
. Đặt
2
x
t log
và biến đổi phương trình về dạng
2 42 20
0
1 4 1 2 1t t t
  
  
0,5
b)
 Giải ra ta được
1 1
2 4

2
2
t ;t x ;x .     
Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1
4
2
x ;x . 
0,25
Câu III
Tính tích phân
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x





 Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
3 3
3
3
3 3
1 4
3
x dx

I xd J ,
cosx cosx cosx
 


 


 
 
    
 
 
 
với
3
3
dx
J
cosx





0,25
a)
 Để tính J ta đặt
t sin x.
Khi đó

3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
1 1 2 3
1 2 1
2 3
dx dt t
J ln ln .
cosx t t





 
     
 

 
0,5
Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4

 Vậy
4 2 3
3
2 3
I ln .


 

0,25
Cho hàm số
3
2
sin)(
2

x
xexf
x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
)(xf
và chứng
minh rằng
0)( xf
có đúng hai nghiệm.
 Ta có
x
f ( x ) e x cos x.

  

Do đó
 
0
x
f ' x e x cos x.    
0,25
 Hàm số
x
y e
là hàm đồng biến; hàm số
y x cosx  
là hàm nghịch biến
vì
1 0y' sin x , x    
. Mặt khác
0x
là nghiệm của phương trình
x
e x cos x  
nên nó là nghiệm duy nhất.
0,25
b)
 Lập bảng biến thiên của hàm số
 
y f x
(học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình
0)( xf
có đúng hai nghiệm.
 Từ bảng biến thiên ta có

 
2 0min f x x .   
0,5
Câu IV
Tìm tọa độ giao điểm
A
của đường thẳng d với mặt phẳng
)(P
. Viết phương
trình của đường thẳng

đi qua điểm
A
vuông góc với d và nằm trong
)(P
.
 Tìm giao điểm của d và (P) ta được
1 7
2
2 2
A ; ;
 

 
 
0,25
 Ta có
     
2 1 3 2 1 1 1 2 0
d P d p

u ; ; ,n ; ; u u ;n ; ;

 
      
 
    
0,5
a)
 Vậy phương trình đường thẳng

là
1 7
2 2
2 2
: x t; y t;z .      
0,25
Viết
)(Q
chứa d sao cho khoảng cách từ điểm
)0,0,1(I
tới
)(Q
bằng
3
2
.
 Chuyển d về dạng tổng quát
2 1 0
3 2 0
x y

d :
y z
  


  

0,25
 Phương trình mặt phẳng (Q) chứa d có dạng
   
2 2
2 1 3 2 0 0m x y n y z ,m n       
 
2 3 2 0mx m n y nz m n      
0,25
b)

 
 
   
1 2
2
1 0 7 5 3 0
3
d I; Q Q : x y z , Q : x y z .         
0,5
Câu VIa
a)
Trong mặt phẳng
Oxy

cho
ABC
có
 
0 5A ; .
Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh
B
có phương trình lần lượt là
1 2
1 0 2 0d : x y ,d : x y .    
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.
Thi thử Đại học 2009 Môn Toán
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5
 Ta có
 
1 2
2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y .        
0,25
 Gọi
A'
đối xứng với A qua
   
1
2 3 4 1d H ; ,A' ; .
0,25
 Ta có
3 1 0A' BC BC : x y .    
0,25
 Tìm được

 
28 9 7 35 0C ; AC : x y .   
0,25
Có bao nhiêu số hữu tỉ trong khai triển
 
60
3
2 3 .
 Ta có
 
60
60
60
3
3
2
60
0
2 3 2 3
k
k
k
k
C .


 

0,5
b)

 Để là số hữu tỷ thì
 
60 2 2
6
3
k k
k .
k
 






 


Mặt khác
0 60k 
nên có 11
số như vậy.
0,5
Câu Vb
Giải phương trình
12
9.
4
1
4.69.

3
1
4.3


xxxx
 Biến đổi phương trình đã cho về dạng
2 2 2 2
9
3 2 27 3 6 2 3
4
x x x x
. . . .  
0,5
a)
 Từ đó ta thu được
3
2
3 2 2
2
39 39
x
x log
 
  
 
 
0,5
Cho chóp tứ giác đều
SABCD

có cạnh bên bằng a và mặt chéo
SAC
là tam
giác đều. Qua
A
dựng mặt phẳng
)(P
vuông góc với
SC
.Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng
)(P
và hình chóp.
 Học sinh tự vẽ hình
0,25
 Để dựng thiết diện, ta kẻ
AC' SC.
Gọi
I AC' SO. 
0,25
b)
 Kẻ
B' D'
//
BD.
Ta có
2
1 1 2 3 3
2 2 3 2 6
AD' C' B'

a a
S B' D' .AC' . BD. .  
0,5
Nguồn: Hocmai.vn