bộ chuyên đề khảo sát hàm số của hocmai.vn

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -



Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
1.
42
11
3
42
y x x

2.
3
2
22
3
y x x

3.
31
12
x
y
x

4.
2
1
21
xx
y
x

Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số:
1.
2 1 3 5y x x

2.
11
os2 3cos ; 0,
22
y c x x x

3.
12
33
.(1 )y x x

4.
2
2
. os 2 os
2 cos 1
x c x c
y

xx
; là tham số.
Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
32
1
( 6) 2 1
3
y x mx m x m
đồng biến trên R (đồng
biến với mọi x).
Bài 4. Cho hàm số:
32
( 1)
. (3 2)
3
m
y x mx m x

Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
Bài 5. Cho hàm số:
42
( 1) 3y m x mx m

Tìm m để hàm số đồng biến trên
(1, )

Bài 6. Cho hàm số:
2 3 2
( 5 ) 6 6 5y m m x mx x

Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến?
Bài 7. Cho hàm số:
2
1
m
yx
x

Tìm m để hàm số đồng biến trên tập xác định (đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó).

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số. Để sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số:
1.
42
11
3
42
y x x

Giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0) và
(1; )
;
nghịch biến trên các khoảng (- ; -1) và (0;1).
2.
3
2
22
3
y x x

Giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng (- ;-1) và (1;+ );
Nghịch biến trên các khoảng (-1;1).
3.
31
12
x
y
x

Giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng
1
( ; )
2
và
1
( , )
2
.
4.
2
1
21
xx
y
x

Giải
Hàm số đồng biến trên các khoảng
13
( ; )
2
và
13
( ; )
2
;
Nghịch biến trên các khoảng

1 3 1
( ; )
22
và
1 1 3
( ; )
22
.
Bài 2. Xét chiều biến thiên của hàm số:
1.
2 1 3 5y x x

Giải
TXĐ:
5
;
3
D

Ta có:
3 4 3 5 3 89
' 2 ; ' 0 4 3 5 3
48
2 3 5 2 3 5
x
y y x x
xx

Bảng biến thiên:
KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số. Để sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


x

5
3

89
48

'y

- 0 +
y

7

3


Hàm số nghịch biến trên khoảng
5 89
;
3 48
; đồng biến trên khoảng
89
;
48
.
2.
11
os2 3cos ; 0,
22
y c x x x

Giải
' sin2 3sin 2sin cos 3sin sin (2cos 3)y x x x x x x x

sin 0
0,
'0
5
3
cos
6
2
x

xx
y
x
x

Bảng biến thiên:
x

0
5
6

'y

+ 0 -
y




Hàm số đồng biến trên khoảng
5
0,
6
; nghịch biến trên khoảng
5
,
6

(Chú ý: Với

0,x
thì
sin 0x
nên dấu của y’ chính là dấu của
2cos 3x
).
3.
12
33
.(1 )y x x

Giải
TXĐ: R
Ta có:
2
3
1 1 3 1
' . ; ' 0
27 3
(1 )
x
y y x
xx

Dấu của y’ chính là dấu của (1-3x)(1-x). Do đó ta có bảng biến thiên như sau:
x

- 0
1
3

1 +
'y

+ + 0 - +
y




Hàm số đồng biến trên các khoảng
1
;
3
và
(1; )
; nghịch biến trên khoảng (
1
3
; 1).
4.
2
2
. os 2 os
2 cos 1
x c x c
y
xx
; là tham số.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Giải
TXĐ: R
Ta có:
22
2
22
2sin .( 1)
' ; ' 0 1 0 1
( 2 . os 1)
x
y y x x
x xc

Bảng biến thiên:
x

- -1 1 +
'y

+ 0 - 0 +
y

Hàm số đồng biến trên các khoảng
( ; 1)
và (1; + ); nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Bài 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:
32
1
( 6) 2 1
3
y x mx m x m
đồng biến trên R (đồng
biến với mọi x)
Giải
TXĐ: R
Để hàm số đồng biến trên R (đồng biến với mọi x) thì ta phải có
'0yx

2
2
2 6 0
'0
6 0 2 3
x mx m x
m m m

Bài 4. Cho hàm số:
32
( 1)
. (3 2)
3

m
y x mx m x

Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
Giải

2
' ( 1) 2 3 2y m x mx m

Để hàm số luôn đồng biến thì
'0yx

+ Với m-1 = 0  m = 1 thì y’ = 2x +1 đổi dấu khi x vượt qua
1
2

Vậy hàm số không thể luôn đồng biến.
Bài 5. Cho hàm số:
42
( 1) 3y m x mx m

Tìm m để hàm số đồng biến trên
(1, )

Giải
32
' 4( 1) 2 2 2( 1)y m x mx x m x m

Hàm số đồng biến trên
(1; ) ' 0 1;yx

+) m = 1 thì y’ = -2x
Khi đó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên
1;
=> m = 1 không thỏa mãn.
+) m-1 > 0  m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm
Khi đó ta có dấu của y’ như sau:
- -
2( 1)
m
m
0
2( 1)
m
m
+
- + - +
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


' 0 1; 1 2( 1) 2
2( 1)
m
y x m m m
m

+) m – 1 < 0  m < 1
Xét f(x) = 2(m - 1)x
2
– m
8 ( 1); 1 0f m m m

- Nếu
0 8 0 0mm
kết hợp với m < 1 =>
01m
thì
( ) 0f x x

=> dấu của
2
' 2 2( 1)y x m x m
như sau:

- Nếu
00m
thì y’ có 3 nghiệm.
Khi đó dấu của
2
' 2 2( 1)y x m x m
như sau:
- + - +

Vậy không thể có
'0y

trên
(1;
)
Đáp số:
2m

Bài 6. Cho hàm số:
2 3 2
( 5 ) 6 6 5y m m x mx x

Tìm m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó hàm số đồng biến hay nghịch biến?
Giải
22
' 3( 5 ) 12 6y m m x mx

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.
Xét các trường hợp sau:
+)
2
0
50
5
m
mm
m

Với m = 0 => y’ = 6 > 0 => Hàm số đơn điệu trên R và hàm số đồng biến
Với m = -5 => y’ = -60x + 6 => Hàm số đổi dấu khi x vượt qua
1
10

(không thỏa mãn)
+)
2
0
50
5
m
mm
m

Khi đó y’ không đổi dấu nếu
2
5
' 3 5 0 0
3
m m m

Với điều kiện đó ta có:
2
3( 5 ) 0 ' 0m m y
trên R => Hàm số đồng biến trên R.
Kết luận:
5
0
3
m
thì hàm số đơn điệu trên R cụ thể là hàm số luôn đồng biến.
Bài 7. Cho hàm số:
2
1

m
yx
x

Tìm m để hàm số đồng biến trên TXĐ (đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó)
Giải
TXĐ:
1x

2
'1
( 1)
m
y
x

- Nếu
0m
thì y’ > 0
1x
do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
( ;1)
và (1;+ ), tức đồng biến
trên TXĐ.
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -

- Nếu m > 0 thì
2
2
21
' , ' 0 1
( 1)
x x m
y y x m
x


Ta có bảng biến thiên:
x

-
1 m
1
1 m
+
'y

+ 0 - - +
y




Hàm số nghịch biến trên (1-

m
;1) và (1;1+
m
) nên không thể đồng biến trên tập xác định.
Đáp số :
0m




Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




1. Nhắc lại định nghĩa
Giả sử K là một khoảng, 1 đoạn hoặc nửa khoảng và hàm số
()y f x
xác định trên K.
- Hàm số được gọi là đồng biến trên K nếu x tăng thì y tăng mà x giảm thì y giảm.
- Hàm số được gọi là nghịch biến trên K nếu x tăng thì y giảm mà x giảm thì y tăng.
Chú ý:
- Nếu hàm số

()y f x
đồng biến trên K thì đồ thị sẽ đi lên theo hướng từ trái sang phải.
- Nếu hàm số
()y f x
đồng biến trên K thì đồ thị sẽ đi xuống theo hướng từ trái sang phải.
- Nếu hàm số đồng biến sẽ kí hiệu
Nếu hàm số nghịch biến sẽ kí hiệu
2. Dấu hiệu nhận biết tính đồng biến, nghịch của hàm số
Định lý: Cho hàm số
()y f x
có đạo hàm trên K
- Nếu y’ > 0 trên K thì hàm số đồng biến trên K.
- Nếu y’ < 0 trên K thì hàm số nghịch biến trên K.
3. Quy tắc tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số (khoảng đơn điệu) của hàm số
()y f x
.
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tìm các điểm
( 1,2, , )
i
x i n
làm cho y’ = 0 hoặc y’ không xác định (nếu có)
Bước 3: Lập bảng xét dấu
Bước 4: Kết luận
Chú ý: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số được gọi là xét sự biến thiên của hàm số.
Ví dụ: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
1.
32
31y x x
2.

32
3 5 5y x x x

3.
42
8 10y x x
4.
42
23y x x



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 01)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng
này.


Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1
-



Bài 1. Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số:
1.
4 2
1 1
3
4 2
y x x
= − +

2.
3
2
2 2
3
y x x
= − +

3.
3 1
1 2
x
y
x
+
=

−

4.
2
1
2 1
x x
y
x
− +
=
−

Bài 2.
Xét chiều biến thiên của hàm số:
1.
2 1 3 5
y x x
= − − −

2.
[ ]
1 1
os2 3cos ; 0,
2 2
y c x x x
π
= − − + ∈

3.
1 2
3 3
.(1 )
y x x
= −

4.
2
2
. os 2 os
2 cos 1
x c x c
y
x x
α α
α
− +
=
− +
;
α
là tham số.
Bài 3.
Tìm các giá trị của tham số m ñể hàm số:
3 2
1
( 6) 2 1
3
y x mx m x m

= + + + − −
ñồng biến trên R (ñồng
biến với mọi x).
Bài 4.
Cho hàm số:
3 2
( 1)
. (3 2)
3
m
y x mx m x
−
= + + −

Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến.
Bài 5.
Cho hàm số:
4 2
( 1) 3
y m x mx m
= − − + −

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên
(1, )
+∞

Bài 6.
Cho hàm số:
2 3 2
( 5 ) 6 6 5

y m m x mx x
= − + + + −

Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R. Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến?
Bài 7.
Cho hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh (ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó).


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn



KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1. Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số:
1.
4 2
1 1
3
4 2
y x x
= − +


Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-1;0) và
(1; )
+∞
;
nghịch biến trên các khoảng (-
∞

; -1) và (0;1).
2.
3
2
2 2
3
y x x
= − +

Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-
∞
;-1) và (1;+
∞
);
Nghịch biến trên các khoảng (-1;1).
3.
3 1
1 2
x
y
x
+
=
−

Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
1
( ; )

2
−∞
và
1
( , )
2
+∞
.
4.
2
1
2 1
x x
y
x
− +
=
−

Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
1 3
( ; )
2
−
−∞
và
1 3
( ; )
2

+
+∞
;
Nghịch biến trên các khoảng
1 3 1
( ; )
2 2
−
và
1 1 3
( ; )
2 2
+
.
Bài 2.
Xét chiều biến thiên của hàm số:
1.
2 1 3 5
y x x
= − − −

Giải
TXð:
5
;
3
D
 
= +∞



 

Ta có:
3 4 3 5 3 89
' 2 ; ' 0 4 3 5 3
48
2 3 5 2 3 5
x
y y x x
x x
− −
= − = = ⇔ − = ⇔ =
− −

Bảng biến thiên:


KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


x

5
3

89
48

+∞

'
y

- 0 +
y

7
3


Hàm số nghịch biến trên khoảng
5 89
;

3 48
 
 
 
; ñồng biến trên khoảng
89
;
48
 
+∞
 
 
.
2.
[ ]
1 1
os2 3cos ; 0,
2 2
y c x x x
π
= − − + ∈

Giải
' sin 2 3sin 2sin cos 3 sin sin (2cos 3)
y x x x x x x x= + = + = +

sin 0
0,
' 0
5

3
cos
6
2
x
x x
y
x
x
π
π
=

= =



= ⇔ ⇔


=
= −




Bảng biến thiên:
x

0

5
6
π

π

'
y

+ 0 -
y




Hàm số ñồng biến trên khoảng
5
0,
6
π
 
 
 
; nghịch biến trên khoảng
5
,
6
π
π
 

 
 

(Chú ý: Với
[
]
0,
x
π
∈
thì
sin 0
x
≥
nên dấu của y’ chính là dấu của
2cos 3
x +
).
3.
1 2
3 3
.(1 )
y x x
= −

Giải
TXð: R
Ta có:
2
3

1 1 3 1
' . ; ' 0
27 3
(1 )
x
y y x
x x
−
= = ⇔ =
−

Dấu của y’ chính là dấu của (1-3x)(1-x). Do ñó ta có bảng biến thiên như sau:
x

-
∞
0
1
3
1 +
∞

'
y

+ + 0 - +
y

Hàm số ñồng biến trên các khoảng
1
;
3
 
−∞
 
 
và
(1; )
+∞
; nghịch biến trên khoảng (
1
3
; 1).
4.
2
2
. os 2 os
2 cos 1
x c x c
y
x x
α α
α
− +
=
− +
;

α
là tham số.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


Giải
TXð: R
Ta có:
2 2
2
2 2
2sin .( 1)
' ; ' 0 1 0 1
( 2 . os 1)
x
y y x x
x x c
α
α
−
= = ⇔ − = ⇔ = ±
− +

Bảng biến thiên:
x
-
∞
-1 1 +
∞

'
y

+ 0 - 0 +
y




Hàm số ñồng biến trên các khoảng
( ; 1)
−∞ −
và (1; +
∞
); nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Bài 3.
Tìm các giá trị của tham số m ñể hàm số:
3 2
1
( 6) 2 1
3
y x mx m x m

= + + + − −
ñồng biến trên R (ñồng
biến với mọi x)
Giải
TXð: R
ðể hàm số ñồng biến trên R (ñồng biến với mọi x) thì ta phải có
' 0
y x
≥ ∀

2
2
2 6 0
' 0
6 0 2 3
x mx m x
m m m
⇔ + + + ≥ ∀
⇔ ∆ ≤
⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤

Bài 4. Cho hàm số:
3 2
( 1)
. (3 2)
3
m
y x mx m x
−
= + + −

Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến.
Giải

2
' ( 1) 2 3 2
y m x mx m
= − + + −

ðể hàm số luôn ñồng biến thì
' 0
y x
≥ ∀

+ Với m-1 = 0  m = 1 thì y’ = 2x +1 ñổi dấu khi x vượt qua
1
2
−

Vậy hàm số không thể luôn ñồng biến.
Bài 5. Cho hàm số:
4 2
( 1) 3
y m x mx m
= − − + −

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên
(1, )
+∞

Giải

3 2
' 4( 1) 2 2 2( 1)
y m x mx x m x m
 
= − − = − −
 

Hàm số ñồng biến trên
(
)
(1; ) ' 0 1;y x
+∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞

+) m = 1 thì y’ = -2x
Khi ñó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên
(
)
1;
+∞
=> m = 1 không thỏa mãn.
+) m-1 > 0  m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm
Khi ñó ta có dấu của y’ như sau:
-
∞
-
2( 1)
m
m
−
0

2( 1)
m
m
−
+
∞

- + - +
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


( )
' 0 1; 1 2( 1) 2
2( 1)
m
y x m m m
m
≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≥
−

+) m – 1 < 0  m < 1
Xét f(x) = 2(m - 1)x

2
– m
8 ( 1); 1 0
f m m m
∆ = − − <

- Nếu
0 8 0 0
m m
∆ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥
kết hợp với m < 1 =>
0 1
m
≤ <
thì
( ) 0
f x x
≤ ∀

=> dấu của
2
' 2 2( 1)
y x m x m
 
= − −
 
như sau:

- Nếu
0 0

m
∆ > ⇔ <
thì y’ có 3 nghiệm.
Khi ñó dấu của
2
' 2 2( 1)
y x m x m
 
= − −
 
như sau:
-
∞
+ - +
∞


Vậy không thể có
' 0
y
≥
trên
(1;
+∞
)
ðáp số:
2
m
≥

Bài 6. Cho hàm số:
2 3 2
( 5 ) 6 6 5
y m m x mx x
= − + + + −

Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R. Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến?
Giải
2 2
' 3( 5 ) 12 6
y m m x mx
= − + + +

Hàm số ñơn ñiệu trên R khi và chỉ khi y’ không ñổi dấu.
Xét các trường hợp sau:
+)
2
0
5 0
5
m
m m
m
=

+ = ⇔

= −


Với m = 0 => y’ = 6 > 0 => Hàm số ñơn ñiệu trên R và hàm số ñồng biến
Với m = -5 => y’ = -60x + 6 => Hàm số ñổi dấu khi x vượt qua
1
10
(không thỏa mãn)
+)
2
0
5 0
5
m
m m
m
≠

+ ≠ ⇔

≠ −


Khi ñó y’ không ñổi dấu nếu
2
5
' 3 5 0 0
3
m m m
∆ = + ≤ ⇔ − ≤ <

Với ñiều kiện ñó ta có:
2

3( 5 ) 0 ' 0
m m y
− + > ⇒ >
trên R => Hàm số ñồng biến trên R.
Kết luận:
5
0
3
m
− ≤ ≤
thì hàm số ñơn ñiệu trên R cụ thể là hàm số luôn ñồng biến.
Bài 7.
Cho hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên TXð (ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó)
Giải
TXð:
1
x
≠

2
' 1

( 1)
m
y
x
= −
−

- Nếu
0
m
≤
thì y’ > 0
1
x
∀ ≠
do ñó hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng
( ;1)
−∞
và (1;+
∞
), tức ñồng biến
trên TXð.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5

-


- Nếu m > 0 thì
2
2
2 1
' , ' 0 1
( 1)
x x m
y y x m
x
− + −
= = ⇔ = ±
−


Ta có bảng biến thiên:
x

-
∞
1
m
− 1 1
m
+ +
∞

'

y

+ 0 - - +
y




Hàm số nghịch biến trên (1-
m
;1) và (1;1+
m
) nên không thể ñồng biến trên tập xác ñịnh.
ðáp số :
0
m
≤




Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Ví dụ 5:
1
1
2
x
xx
y

Ví dụ 6:
)1(2
342
2
x
xx
y

Ví dụ 7:
3
13
x
x
y

Ví dụ 8:
x

x
x
x
y
4
10
1

Ví dụ 9:
1
2
2
x
x
y

Ví dụ 10:
2
;0cossin
2020
xxxy



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
KHOẢNG ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 02)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng
này.


Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-



Bài 1. Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số:
1.
4 2
1 1
3
4 2
y x x
= − +

2.
3
2
2 2

3
y x x
= − +

3.
3 1
1 2
x
y
x
+
=
−

4.
2
1
2 1
x x
y
x
− +
=
−

Bài 2.
Xét chiều biến thiên của hàm số:
1.
2 1 3 5
y x x

= − − −

2.
[ ]
1 1
os2 3 cos ; 0,
2 2
y c x x x
π
= − − + ∈


3.
1 2
3 3
.(1 )
y x x
= −

4.
2
2
. os 2 os
2 cos 1
x c x c
y
x x
α α
α
− +

=
− +
;
α
là tham số.
Bài 3.
Tìm các giá trị của tham số m ñể hàm số:
3 2
1
( 6) 2 1
3
y x mx m x m
= + + + − −
ñồng biến trên R (ñồng
biến với mọi x).
Bài 4.
Cho hàm số:
3 2
( 1)
. (3 2)
3
m
y x mx m x
−
= + + −

Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến.
Bài 5.
Cho hàm số:
4 2

( 1) 3
y m x mx m
= − − + −

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên
(1, )
+∞

Bài 6.
Cho hàm số:
2 3 2
( 5 ) 6 6 5
y m m x mx x
= − + + + −

Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R. Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến?
Bài 7.
Cho hàm số:
2
1
m
y x
x
= + +
−

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh (ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó).


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương

Nguồn : Hocmai.vn



KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1. Xét sự ñồng biến, nghịch biến của hàm số:
1.
4 2
1 1
3

4 2
y x x
= − +


Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-1;0) và
(1; )
+∞
;
nghịch biến trên các khoảng (-
∞
; -1) và (0;1).
2.
3
2
2 2
3
y x x
= − +

Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng (-
∞
;-1) và (1;+
∞
);
Nghịch biến trên các khoảng (-1;1).
3.
3 1

1 2
x
y
x
+
=
−

Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
1
( ; )
2
−∞
và
1
( , )
2
+∞
.
4.
2
1
2 1
x x
y
x
− +
=
−

Giải
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
1 3
( ; )
2
−
−∞
và
1 3
( ; )
2
+
+∞
;
Nghịch biến trên các khoảng
1 3 1
( ; )
2 2
−
và
1 1 3
( ; )
2 2
+
.
Bài 2.
Xét chiều biến thiên của hàm số:
1.
2 1 3 5

y x x
= − − −

Giải
TXð:
5
;
3
D
 
= +∞


 

Ta có:
3 4 3 5 3 89
' 2 ; ' 0 4 3 5 3
48
2 3 5 2 3 5
x
y y x x
x x
− −
= − = = ⇔ − = ⇔ =
− −

Bảng biến thiên:

KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02+03)
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


x

5
3

89
48

+∞

'

y

- 0 +
y

7
3


Hàm số nghịch biến trên khoảng
5 89
;
3 48
 
 
 
; ñồng biến trên khoảng
89
;
48
 
+∞
 
 
.
2.
[ ]
1 1
os2 3cos ; 0,
2 2

y c x x x
π
= − − + ∈

Giải
' sin 2 3sin 2sin cos 3 sin sin (2cos 3)
y x x x x x x x= + = + = +

sin 0
0,
' 0
5
3
cos
6
2
x
x x
y
x
x
π
π
=

= =



= ⇔ ⇔



=
= −




Bảng biến thiên:
x

0
5
6
π

π

'
y

+ 0 -
y




Hàm số ñồng biến trên khoảng
5
0,

6
π
 
 
 
; nghịch biến trên khoảng
5
,
6
π
π
 
 
 

(Chú ý: Với
[
]
0,
x
π
∈
thì
sin 0
x
≥
nên dấu của y’ chính là dấu của
2cos 3
x +
).

3.
1 2
3 3
.(1 )
y x x
= −

Giải
TXð: R
Ta có:
2
3
1 1 3 1
' . ; ' 0
27 3
(1 )
x
y y x
x x
−
= = ⇔ =
−

Dấu của y’ chính là dấu của (1-3x)(1-x). Do ñó ta có bảng biến thiên như sau:
x

-
∞
0
1

3
1 +
∞

'
y

+ + 0 - +
y




Hàm số ñồng biến trên các khoảng
1
;
3
 
−∞
 
 
và
(1; )
+∞
; nghịch biến trên khoảng (
1
3
; 1).
4.
2

2
. os 2 os
2 cos 1
x c x c
y
x x
α α
α
− +
=
− +
;
α
là tham số.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


Giải
TXð: R
Ta có:
2 2
2

2 2
2sin .( 1)
' ; ' 0 1 0 1
( 2 . os 1)
x
y y x x
x x c
α
α
−
= = ⇔ − = ⇔ = ±
− +

Bảng biến thiên:
x
-
∞
-1 1 +
∞

'
y

+ 0 - 0 +
y




Hàm số ñồng biến trên các khoảng

( ; 1)
−∞ −
và (1; +
∞
); nghịch biến trên khoảng (-1;1)
Bài 3.
Tìm các giá trị của tham số m ñể hàm số:
3 2
1
( 6) 2 1
3
y x mx m x m
= + + + − −
ñồng biến trên R (ñồng
biến với mọi x)
Giải
TXð: R
ðể hàm số ñồng biến trên R (ñồng biến với mọi x) thì ta phải có
' 0
y x
≥ ∀

2
2
2 6 0
' 0
6 0 2 3
x mx m x
m m m
⇔ + + + ≥ ∀

⇔ ∆ ≤
⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤

Bài 4. Cho hàm số:
3 2
( 1)
. (3 2)
3
m
y x mx m x
−
= + + −
Tìm m ñể hàm số luôn ñồng biến.
Giải

2
' ( 1) 2 3 2
y m x mx m
= − + + −

ðể hàm số luôn ñồng biến thì
' 0
y x
≥ ∀

+ Với m-1 = 0  m = 1 thì y’ = 2x +1 ñổi dấu khi x vượt qua
1
2
−

Vậy hàm số không thể luôn ñồng biến.
Bài 5. Cho hàm số:
4 2
( 1) 3
y m x mx m
= − − + −

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên
(1, )
+∞

Giải
3 2
' 4( 1) 2 2 2( 1)
y m x mx x m x m
 
= − − = − −
 

Hàm số ñồng biến trên
(
)
(1; ) ' 0 1;y x
+∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞

+) m = 1 thì y’ = -2x
Khi ñó y’ không thể lớn hơn hoặc bằng 0 trên
(
)
1;

+∞
=> m = 1 không thỏa mãn.
+) m-1 > 0  m > 1, y’ = 0 có 3 nghiệm
Khi ñó ta có dấu của y’ như sau:
-
∞
-
2( 1)
m
m
−
0
2( 1)
m
m
−
+
∞

- + - +
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-

( )
' 0 1; 1 2( 1) 2
2( 1)
m
y x m m m
m
≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − ⇔ ≥
−

+) m – 1 < 0  m < 1
Xét f(x) = 2(m - 1)x
2
– m
8 ( 1); 1 0
f m m m
∆ = − − <

- Nếu
0 8 0 0
m m
∆ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥
kết hợp với m < 1 =>
0 1
m
≤ <
thì
( ) 0
f x x
≤ ∀

=> dấu của
2
' 2 2( 1)
y x m x m
 
= − −
 
như sau:

- Nếu
0 0
m
∆ > ⇔ <
thì y’ có 3 nghiệm.
Khi ñó dấu của
2
' 2 2( 1)
y x m x m
 
= − −
 
như sau:
-
∞
+ - +
∞


Vậy không thể có

' 0
y
≥
trên
(1;
+∞
)
ðáp số:
2
m
≥

Bài 6. Cho hàm số:
2 3 2
( 5 ) 6 6 5
y m m x mx x
= − + + + −

Tìm m ñể hàm số ñơn ñiệu trên R. Khi ñó hàm số ñồng biến hay nghịch biến?
Giải
2 2
' 3( 5 ) 12 6
y m m x mx
= − + + +

Hàm số ñơn ñiệu trên R khi và chỉ khi y’ không ñổi dấu.
Xét các trường hợp sau:
+)
2
0

5 0
5
m
m m
m
=

+ = ⇔

= −


Với m = 0 => y’ = 6 > 0 => Hàm số ñơn ñiệu trên R và hàm số ñồng biến
Với m = -5 => y’ = -60x + 6 => Hàm số ñổi dấu khi x vượt qua
1
10
(không thỏa mãn)
+)
2
0
5 0
5
m
m m
m
≠

+ ≠ ⇔

≠ −



Khi ñó y’ không ñổi dấu nếu
2
5
' 3 5 0 0
3
m m m
∆ = + ≤ ⇔ − ≤ <

Với ñiều kiện ñó ta có:
2
3( 5 ) 0 ' 0
m m y
− + > ⇒ >
trên R => Hàm số ñồng biến trên R.
Kết luận:
5
0
3
m
− ≤ ≤
thì hàm số ñơn ñiệu trên R cụ thể là hàm số luôn ñồng biến.
Bài 7.
Cho hàm số:
2
1
m
y x
x

= + +
−

Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên TXð (ñồng biến trên mỗi khoảng xác ñịnh của nó)
Giải
TXð:
1
x
≠

2
' 1
( 1)
m
y
x
= −
−

- Nếu
0
m
≤
thì y’ > 0
1
x
∀ ≠
do ñó hàm số ñồng biến trên mỗi khoảng
( ;1)
−∞

và (1;+
∞
), tức ñồng biến
trên TXð.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5
-


- Nếu m > 0 thì
2
2
2 1
' , ' 0 1
( 1)
x x m
y y x m
x
− + −
= = ⇔ = ±
−


Ta có bảng biến thiên:

x

-
∞
1
m
− 1 1
m
+ +
∞

'
y

+ 0 - - +
y




Hàm số nghịch biến trên (1-
m
;1) và (1;1+
m
) nên không thể ñồng biến trên tập xác ñịnh.
ðáp số :
0
m
≤

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




ðịnh lý: Hàm số
( )
y f x
=
xác ñịnh trên miền K
+ Nếu
' 0
y
≥
trên K thì hàm số ñồng biến trên K (dấu “=” xảy ra tại 1 số ñiểm hữu hạn)
+ Nếu

' 0
y
≤
trên K thì hàm số nghịch biến trên K (dấu “=” xảy ra tại 1 số ñiểm hữu hạn)
Ví dụ 1:
Tìm khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số:
3 2
4
2 3
3
y x x x
= − + − +

Ví dụ 2:
Cho hàm số
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1
y x m x m m x
= − + + + +
.
Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên khoảng
(
)
2;
+∞
.
Ví dụ 3:
Cho hàm số
3
2

2
( 1) (2 3)
3 3
x
y m x m x
= + − + − −
.
Tìm m ñể hàm số ñồng biến trên
[
)
1;
+∞
.
Ví dụ 4:
Cho hàm số
3 2
3
y x x mx m
= + + +
.
Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên ñoạn có ñộ dài ñúng bằng 1.
Ví dụ 5:
Cho hàm số
3 1
x m
y
x m
+ −
=
−

.
Tìm m ñể hàm số nghịch biến trên
[
)
3;
+∞
.


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn: Hocmai.vn

KHOẢNG ðỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 03)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khoảng ñồng biến, nghịch biến của hàm số
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến
thức phần Khoảng ñồng biến nghịch biến của hàm số, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng
này.

Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực đại, cực tiểu của hàm số

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

Bài 1: Tìm cực trị của hàm số
1:
44
24y x x
.
2: y =
2
2 9 1
x
x

3:
2
21y x x

4.
4
4x
1
y
x

5. y = x
4
– 6x
2
– 8x + 18.
6. y =
2
2

1
1
xx
x

7. y = sin
2
x + cosx ,
(0, )x


2
8. 3 2y x x

9. Cho hàm số:
15
,;
sin 3 6
yx
x

10: Cho hàm số:
sin cos , ;y x x x

11. Cho hàm số:
2 os2 4sin , 0;
2
y c x x x

Bài 2: Chứng minh hàm số:

22
1xm
y
xm
luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m.
Bài 3: Cho hàm số:
3
22
( 1) 1
3
x
y mx m m x
.
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm
1x
.
Bài 4: Tìm a, b để hàm số
2
2
25x ax
y
xb
đạt cực đại tại
1
2
x
và y
CĐ
= 6.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU CỦA HÀM SỐ
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Cực đại, cực tiểu của hàm số thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức
được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Cực đại, cực tiểu của hàm số. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 04+05)

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực ñại, cực tiểu của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-



Bài 1: Tìm cực trị của hàm số
1:
4 4
2 4
y x x
= − + −

.
Giải
ðiều kiện: 2
≤
x
≤
4.
y’=
3 3
4 4
1 1 1
4
( 2) (4 )
x x
 
−
 
 − − 
 

y’=0 
3 3
4 4
(4 ) ( 2)
x x− = −


4-x = x-2

x = 3.

Bảng biến thiên:
x 2 3 4
y’ + 0 -

y

2
4
2
4
2

Hàm số ñạt cực ñại tại x =3, y
Cð
= y
(3)
= 2.
2: y=
2
2 9 1
x
x
+ −


Giải
TXð: R
y’=
2
2

2 2
9 2 9
2 9. 2 9 1
x
x x
− +
 
+ + −
 
, y’= 0


2
2 9 9
x
+ =

x
2
= 36 => x =
6
±
.
Bảng biến thiên
x -
∞
-6 6 +
∞

y’

-

0 + 0

-

y


3
4


3
4
−


Hàm số ñạt cực ñại tại x = 6, y
Cð
= y
(6)
=
3
4
.
Hàm số ñạt cực tiểu tại x =-6, y
CT

= y
(-6)
=
3
4
−
.
3:
2
2 1
y x x
= + +

CỰC ðẠI, CỰC TIỂU CỦA
HÀM SỐ
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Cực ñại, cực tiểu của hàm số thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức
ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Cực ñại, cực tiểu của hàm số. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.



(Tài li
ệ
u dùng chung bài 0
4
+0
5

)

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực ñại, cực tiểu của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-



Giải
TXð: R
y’= 1+
2
2
2 1
x
x
+
=
2
2
2 1 2
2 1
x x
x

+ +
+

y’= 0


2
2 1 2
x x
+ = −


2 2
2 0
2 1 4
x
x x
− ≥


+ =



0
1
1
2
2
x

x
x
≤


↔ = −

= ±



Bảng biến thiên:
x
-
∞

1
2
−

+
∞

y’ - 0 +
y


1
2

Hàm số ñạt cực tiểu tại x =
1
2
−
, y
CT
= y (
1
2
−
) =
1
2

4.
4
4x
1
y
x
=
+

Giải
TXð: IR
4
4
4 2
4

4(1 3x ) 1
' , ' 0 1 3x 0
( 1)
3
y y x
x
−
= = ↔ − = ↔ = ±
+

Bảng biến thiên:
x
-
∞

-
4
1
3

4
1
3

+
∞

y’

-

0 +


0
-



y

-
4
27

4
27


Hàm số ñạt cực ñại tại x =
4
1
3
, y
Cð
=
4
27

.

Hàm số ñạt cực tiểu tại x = -
4
1
3
, y
CT
= -
4
27
.

5. y = x
4
– 6x
2
– 8x + 18.

Giải
TXð: IR
y’ = 4x
3
– 12x – 8 = 4(x + 1)
2
.(x – 2)
y’ = 0
↔
x = - 1, x = 2.
Bảng biến thiên:

x -
∞
- 1 2 +
∞

y’ -

0 - 0 +
y
- 6

Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Cực ñại, cực tiểu của hàm số


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-



Hàm số ñạt cực tiểu tại x = 2, y
CT
= -6.

6. y =
2
2

1
1
x x
x
+ −
−


Giải
TXð: D=R\
{
}
1;1
−

y’=
2
2 2
4 1
( 1)
x x
x
− − −
−
, y’=0

-x
2
– 4x – 1=0


x = -2
3
±
.
Bảng biến thiên
x
-
∞

2 3
− −

-1
2 3
− +

1 +
∞

y’ - 0 + + 0 - -
y


3
2


3
2
−

Hàm số ñạt cực tiểu tại x = -2-
3
, y
CT
=
3
2

Hàm số ñạt cực ñại tại x = -2+
3
, y
Cð
=
3
2
−
.
7. y = sin
2
x + cosx ,
(0, )
x
π
∈


Giải

y’= 2 sinx.cosx - sinx = sinx.(2cosx-1)
Vì
(0, )
x
π
∈
=> sinx > 0.
Do ñó: y’= 0

cosx =
1
2

x =
3
π

Bảng biến thiên:
x
0
3
π

π

y’


+ 0
-

y

5
4

1 -1
Hàm số ñạt cực ñại tại x =
3
π
, y
Cð
=
5
4
.
8. y =
2
3 2
x x
− +


Giải
TXð: R
y =
2
3 2

x x
− +
=
2 2
2 2
3 2 3 2 0 1, 2
3 2 3 2 0 1 2
x x neu x x x x
x x neu x x x

− + − + ≥ <=> ≤ ≥


− + − − + 〈 <=> 〈 〈

