Chuyên đề hình giải tích phẳng (luyện thi đại học)

y
u
r
u
r
1
M
M
2
CHUN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
A. LÝ THUYẾT
I. Tọa độ
1. Hệ trục toạ độ Oxy gồm ba trục Ox, Oy đơi một vng góc với nhau với ba vectơ đơn vị
,i j
r ur
( )
1i j
= =
r r
.
2.
( )
;
u x
u x y i y j
=
⇔ +
uur ur r uur
; M(x;y)⇔
1 2
OM OMOM xi y j

+ =
= +
uuuuur
r uur
uuuuur uuuuur
3. Tọa độ của vectơ: cho
( ; ), ( '; ')u x y v x y
r r
a.
'; 'u v x x y y= ⇔ = =
r r
b.
( )
'; 'u v x x y y± = ± ±
r r
c.
( ; )ku kx ky=
r
d.
. ' 'u v xx yy
= +
ur r
e.
' ' 0u v xx yy⊥ ⇔ + =
r r
f.
2 2
u x y
= +
r

,
2 2
v x y
′ ′
= +
r
g.
( )
cos ,
.
.
=
ur r
r r
r r
u v
u v
u v
.
4. Tọa độ của điểm: cho A(x
A
;y
A
), B(x
B
;y
B
)
a.
( )

;
B A B A
AB x x y y= − −
uuur
b.
( ) ( )
2 2
B A B A
AB x x y y= − + −
c. G là trọng tâm tam giác ABC ta có:
GA GB GC O+ + =
uuur uuur uuur ur
,

3
OA OB OC
OG
+ +
= ⇒
uuur uuur uuur
uuur
x
G
=
3
A B C
x x x+ +
; y
G
=

3
A B C
y y y+ +
d. M chia AB theo tỉ số k:
MA kMB= ⇒
uuur uuur

;
1 1
A B A B
M M
x kx y ky
x y
k k
− −
= =
− −
Đặc biệt: M là trung điểm của AB:
; .
2 2
A B A B
M M
x x y y
x y
+ +
= =
e) Tứ giác ABCD là hình bình hành 
AB DC=
uuur uuur
h) Tính chất đường phân giác:

Gọi AD, AE lần lượt là đường phân giác trong và ngồi của góc A (D
∈
BC; E
∈
BC), ta có:
DB AB
AC
DC
= −
uuur
uuur
;
EB AB
AC
EC
=
uuur
uuur
k) Diện tích
∆
:
* Công thức tính diện tích tam giác ABC với :
AB
uuur
= (x
1
;y
1
),
AC

uuur
= ( x
2
;y
2
)
thì S =
2
1
| x
1
y
2
– x
2
y
1
|
* Cơng thức khác:
1 1
sin ( )( )( )
2 2 4
a
abc
S ah ab C pr p p a p b p c
R
= = = = = − − −
(Với a, b, c là ba cạnh,
a
h

là đường cao thuộc cạnh a,
1
( )
2
p a b c= + +
, R và r lần lượt là bán
kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp
∆
ABC)
g/
→
u
cùng phương với
'
→
u
⇔
'
'
yy
xx
= xy’ – x’y = 0
-A,B,C phân biệt thẳng hàng khi
1 1
2 2

x y
AB k AC
x y
= ⇒ =

uuur uuur
, với
AB
uuur
= (x
1
;y
1
),
AC
uuur
= ( x
2
;y
2
), k
0
≠
II. Phương trình đường thẳng
1. Một đường thẳng ∆ được xác định khi biết một điểm M(x
0
;y
0
) và một vectơ pháp tuyến
( )
;n A B=
r
hoặc một vectơ chỉ phương
( )
;u a b=

r
ta có thể chọn
( )
;u a B b A= = = −
r
xo
i
r
j
r
M
*Phương trình tổng quát
( ) ( )
0 0
0 0A x x B y y Ax By C− + − = ⇒ + + =
.
*Phương trình tham số:
0
0
x x at
y y bt
= +


= +

,
( )
t R∈
.

( )
0 0
( ) ;M M x at y bt∈ ∆ ⇔ + +
*Phương trình đường thẳng qua M(x
0
;y
0
) có hệ số góc k:
( )
0 0
y k x x y= − +
.
* Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x
A
;y
A
), B(x
B
;y
B
):
A A
B A B A
x x y y
x x y y
− −
=
− −
2. Khoảng cách từ một điểm M(x
M

;y
M
) đến một đường thẳng ∆:
0Ax By C+ + =
là:
( )
2 2
,
M M
Ax By C
d M
A B
+ +
∆ =
+
.
Hoặc dựng đường thẳng qua M vuông góc cắt
∆
tại H thì
( )
,d M MH∆ =
3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng
0:
0:
2222
1111
=++∆
=++∆
cybxa

cybxa
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
21
∆∆ và
ta xét số nghiệm của hệ phương trình



=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
(I)
 Chú ý: Nếu a
2
b
2
c
2

0≠
thì :
2
1
2
1

2
1
21
2
1
2
1
2
1
21
2
1
2
1
21
//
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a
b
b

a
a
==⇔∆≡∆
≠=⇔∆∆
≠⇔∆∩∆
4. Góc giữa hai đường thẳng.
*Góc giữa hai đường thẳng
21
∆∆ và
của (I) có VTPT
→→
21
nvàn
được tính theo công thức:
2
2
2
1
2
2
2
1
2121
21
21
2121
.
||
||||
|.|

),cos(),cos(
bbaa
bbaa
nn
nn
nn
++
+
===∆∆
→→
→→
→→
hoặc tính theo véc tơ chỉ phương thay
n
r
bằng
u
r
* Góc giữa hai đường thẳng:(
∆
): y = k
1
x + b và (
∆
’): y = k
2
x + b’ là:
tan
2 1
1 2

( ; ')
1 .
k k
k k
−
∆ ∆ =
+
(Công thức tan)
III. Phương trình đường tròn
1. Một đường tròn được xác định khi biết tâm I(a;b) và bán kính r.
Phương trình:
Dạng 1:
( ) ( )
2 2
2
x a y b r− + − =
.
Dạng 2:
2 2
2 2 0x y ax by d+ − − + =
, điều kiện
2 2
0a b d+ − >
và
2 2
r a b d= + −
.Tâm
I(a;b)
a
n

∆
(C)
r
∆
I
M
2. Điều kiện để đường thẳng ∆:
0Ax By C+ + =
(1) tiếp xúc với đường tròn (C) là:
( )
2 2
,
Aa Ba C
d I r
A B
+ +
∆ = =
+
Đôi khi ta xét b= 0 thay xét trực tiếp và sau đó xét b
0≠
thì đường thẳng (1) thành
y kx b= +
hoặc
0kx y b− + =
thì bài toán đơn giản hơn.
* Nếu a
2
+ b
2
– c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phtr: x

2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0
* Nếu a
2
+ b
2
– c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phtr: x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại M
0
.
Tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
; y
0
) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình:
( )
;M x y ∈∆

0
. 0
O
IM M M =

uuuur uuuuuur
ta có (x – x
0
) (x
0
– a)+ (y – y
0
) (y
0
– b)= 0
hoặc
0 0 0 0
( ) ( ) 0x x y y a x x b y y c+ − + − + + =

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
0 0 0 0 0 0
.( ) 0 0IM IM IM IM IM IM x a x a y b y b R
− = ⇔ − = ⇔ − − + − − =
uuuur
uuuur uuur uuuur uuuuruuur
IV. Ba đường conic
Elip
1. Phương trình chính tắc:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =

, (a>b>0).
2. Các yếu tố:
2 2 2
c a b= −
, a> c>0.,a>b>0
Tiêu cự: F
1
F
2
=2c; Độ dài trục lớn A
1
A
2
=2a Độ dài trục bé B
1
B
2
=2b.
Hai tiêu điểm
( ) ( )
1 2
;0 , ;0F c F c−
.
Bốn đỉnh: 2 đỉnh trên trục lớn
( ) ( )
1 2
;0 , ;0A a A a−
,
2 đỉnh trên trục bé
( ) ( )

1 2
0; , 0;B b B b−
.
Tâm sai:
1
c
e
a
= <
Bán kính qua tiêu điểm: M(
0 0
;x y
)thuộc (E) thì
1 1 0
2 2 0
MF r a ex
MF r a ex
= = +


= = −

3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với elip là: A
2
a
2
+B
2
b
2

=C
2
. hoặc dùng điều kiện
nghiệm kép của ph trình hoành độ hoặc tung độ giao điểm.
Hyperbol
1. Phương trình chính tắc:
2 2
2 2
1
x y
a b
− =
, (a> b>0).
2. Các yếu tố:
2 2 2
c a b= +
, c>a>0.
Tiêu cự: F
1
F
2
=2c; Độ dài trục thực A
1
A
2
=2a Độ dài trục ảo B
1
B
2
=2b.

Hai tiêu điểm
( ) ( )
1 2
;0 , ;0F c F c−
.
Hai đỉnh: đỉnh trên trục thực
( ) ( )
1 2
;0 , ;0A a A a−
,
Bán kính qua tiêu điểm: M(
0 0
;x y
)thuộc (H) :
x
y
F
2
F
1
B
2
B
1
A
2
A
1
O
M

y=
b
a
x
y=-
b
a
x
B
1
B
2
A
2
F
2
A
1
F
1
O
y
x
0
x a≥
thì
1 0
2 0
c
MF a x

a
c
MF a x
a

= +




= − +


0
x a≤ −
thì
1 0
2 0
c
MF a x
a
c
MF a x
a

= − −





= −


hoặc tổng quát:
1 0
2 0
c
MF a x
a
c
MF a x
a

= +




= −


Hai đường tiệm cận:
b
y x
a
= ±
Tâm sai:
1
c
e

a
= >
3. Điều kiện để đường thẳng Ax+By+C=0 tiếp xúc với hypebol là: A
2
a
2
−B
2
b
2
=C
2
.
Parabol
1. Phương trình chính tắc:
2
2y px=
, (p>0 gọi là tham số tiêu).
2. Các yếu tố:
Một tiêu điểm
;0
2
p
F
 
 ÷
 
, đường chuẩn
2
p

x = −
B. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao
: 1 0CH x y− + =
, phân
giác trong
: 2 5 0BN x y+ + =
.Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
Hướng dẫn:
+ Do
AB CH
⊥
nên AB:
1 0x y+ + =
.
Giải hệ:
2 5 0
1 0
x y
x y
+ + =


+ + =

ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó:
( 4;3)AB BN B∩ = −
.
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thì

'A BC∈
.
- Phương trình đường thẳng (d) qua A và
Vuụng gúc với BN là (d):
2 5 0x y− − =
.
Gọi
( )I d BN= ∩
. Giải hệ:
2 5 0
2 5 0
x y
x y
+ + =


− − =

. Suy ra: I(-1; 3)
'( 3; 4)A⇒ − −
+ Phương trình BC:
7 25 0x y+ + =
. Giải hệ:
7 25 0
1 0
x y
x y
+ + =



− + =

Suy ra:
13 9
( ; )
4 4
C − −
.
+
2 2
450
( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
BC = − + + + =
,
2 2
7.1 1( 2) 25
( ; ) 3 2
7 1
d A BC
+ − +
= =
+
.
Suy ra:
1 1 450 45
( ; ). .3 2. .
2 2 4 4
ABC
S d A BC BC= = =

Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD
có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng
03:
1
=−− yxd
và

06:
2
=−+ yxd
. Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d
1
với trục Ox. Tìm toạ độ
các đỉnh của hình chữ nhật.
Hướng dẫn:
B
2
F
2
y
x
O
B
C
A
H
N
A B
I
Ta cú:

Idd
21
=
. To ca I l nghim ca h:



=
=




=+
=
2/3y
2/9x
06yx
03yx
. Vy






2
3
;
2

9
I
Do vai trũ A, B, C, D nờn gi s M l trung im
cnh AD
OxdM
1
=
Suy ra M( 3; 0) Ta cú:
23
2
3
2
9
32IM2AB
22
=






+






==

Theo gi thit:
22
23
12
AB
S
AD12AD.ABS
ABCD
ABCD
=====
Vỡ I v M cựng thuc ng thng d
1

ADd
1

ng thng AD i qua M ( 3; 0) v vuụng gúc vi d
1
nhn
)1;1(n
lm VTPT nờn cú PT:
03yx0)0y(1)3x(1 =+=+
. Li cú:
2MDMA ==
To A, D l nghim ca h PT:
( )

=+
=+
2y3x
03yx
2
2

( ) ( )



=
=




=+
+=




=+
+=

13x
x3y
2)x3(3x

3xy
2y3x
3xy
2
2
2
2



=
=

1y
2x
hoc



=
=
1y
4x
.
Vy A( 2; 1), D( 4; -1)
Do

2
3
;
2
9
I
l trung im ca AC suy ra:



===
===
213yy2y
729xx2x
AIC
AIC
Tng t I cng l trung im ca BD nờn ta cú B( 5; 4)
Vy to cỏc nh ca hỡnh ch nht l: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1)
Bi 3: Trong mt phng ta Oxy cho hỡnh ch nht ABCD cú tõm
1
( ;0)
2
I
ng thng AB cú phng trỡnh: x 2y + 2 = 0, AB = 2AD v honh im A õm. Tỡm ta
cỏc nh ca hỡnh ch nht ú.
HNG DN
+)
5

( , )
2
d I AB =


AD =
5
AB = 2
5
BD = 5.
+) PT ng trũn K BD: (x - 1/2)
2
+ y
2
= 25/4
+) Ta A, B l nghim ca h:
2 2
2
1 25
2
( )
( 2;0), (2;2)
2 4
2
2 2 0
0
x
y
x y
A B

x
x y
y
=




=
+ =





=


+ =



=




(3;0), ( 1; 2)C D

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biết A(2; - 3), B(3; - 2), có diện tích bằng

3
2
và
trọng tâm thuộc đờng thẳng

: 3x y 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh C.
H ớng dẫn :
Ta có: AB =
2
, M = (
5 5
;
2 2

), pt AB: x y 5 = 0
S
ABC

=
1
2
d(C, AB).AB =
3
2

d(C, AB)=
3
2
Gọi G(t;3t-8) là trọng tâm tam giác ABC thì d(G, AB)=
1

2

d(G, AB)=
(3 8) 5
2
t t

=
1
2

t = 1 hoặc t = 2
D
C

G(1; - 5) hoặc G(2; - 2)
Mà
3CM GM
=
uuuur uuuur

C = (-2; 10) hoặc C = (1; -4)
Bài 5:
Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):
2 2
1
4 3
x y
+ =
và đờng thẳng

:3x + 4y =12. Từ điểm M bất kì
trên

kẻ tới (E) các tiếp tuyến MA, MB. Chứng minh rằng đờng thẳng AB luôn đi qua một điểm
cố định.
H ớng dẫn:
Gọi M(x
0
;y
0
), A(x
1
;y
1
), B(x
2
;y
2
)
Tiếp tuyến tại A có dạng
1 1
1
4 3
xx yy
+ =
Tiếp tuyến đi qua M nên
0 1 0 1
1
4 3

x x y y
+ =
(1)
Ta thấy tọa độ của A và B đều thỏa mãn (1) nên đờng thẳng AB có pt
0 0
1
4 3
xx yy
+ =

do M thuộc

nên 3x
0
+ 4y
0
=12

4y
0
=12-3x
0


0 0
4 4
4
4 3
xx yy
+ =

0 0
4 (12 3 )
4
4 3
xx y x

+ =
Gọi F(x;y) là điểm cố định mà AB đi qua với mọi M thì
(x- y)x
0
+ 4y 4 = 0
{
{
0 1
4 4 0 1
x y y
y x
= =

= =
Vậy AB luôn đi qua điểm cố định F(1;1)
Bi 6:
Trong mt phng vi h to Oxy cho im C(2;-5 ) v ng thng
:3 4 4 0x y + =
.
Tỡm trờn

hai im A v B i xng nhau qua I(2;5/2) sao cho din tớch tam giỏc ABC
bng15.

Hng dn:
1. Gi
3 4 16 3
( ; ) (4 ; )
4 4
a a
A a B a
+

. Khi ú din tớch tam giỏc ABC l

1
. ( ) 3
2
ABC
S AB d C AB= =
.
Theo gi thit ta cú
2
2
4
6 3
5 (4 2 ) 25
0
2
a
a
AB a
a
=

= + =
ữ

=


Vy hai im cn tỡm l A(0;1) v B(4;4).
Bi 7:
1.Trong mt phng vi h to Oxy cho elớp
2 2
( ) : 1
9 4
x y
E + =
v hai im A(3;-2) , B(-3;2) .
Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch ln
nht.
Hng dn:
Ta cú PT ng thng AB:2x+3y=0
Gi C(x;y) vi x>0,y>0.Khi ú ta cú
2 2
1
9 4
x y
+ =
v din tớch tam giỏc ABC l
1 85 85

. ( ) 2 3 3
2 13 3 4
2 13
ABC
x y
S AB d C AB x y= = + = +
2 2
85 170
3 2 3
13 9 4 13
x y

+ =
ữ

Du bng xy ra khi
2 2
2
1
3
9 4
2
2
3 2
x y
x
x y
y

+ =

=




=
=



. Vy
3 2
( ; 2)
2
C
.
Bi 8: Trong mt phng to Oxy cho hai ng thng (d
1
) : 4x - 3y - 12 = 0
v (d
2
): 4x + 3y - 12 = 0.
Tỡm to tõm v bỏn kớnh ng trũn ni tip tam giỏc cú 3 cnh nm trờn (d
1
), (d
2
), trc Oy.
Hng dn:

Gi A l giao im d
1
v d
2
ta cú A(3 ;0)
Gi B l giao im d
1
vi trc Oy ta cú B(0 ; - 4)
Gi C l giao im d
2
vi Oy ta cú C(0 ;4)
Gi BI l ng phõn giỏc trong gúc B vi I thuc OA khi ú ta cú I(4/3 ; 0), R = 4/3
Bi 9:
Cho im A(-1 ;0), B(1 ;2) v ng thng (d): x - y - 1 = 0. Lp phng trỡnh ng trũn i
qua 2 im A, B v tip xỳc vi ng thng (d).
Hng dn:
Gi s phng trỡnh cn tỡm l (x-a)
2
+ (x-b)
2
= R
2
Vỡ ng trũn i qua A, B v tip xỳc vi d nờn ta cú h phng trỡnh
2 2 2
2 2 2
2 2
(1 )
(1 ) (2 )
( 1) 2
a b R

a y R
a b R

+ + =

+ =


=

2
0
1
2
a
b
R

=

=


=

Vy ng trũn cn tỡm l: x
2
+ (y - 1)
2
= 2

Bi 10 :
Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): x
2
+ y
2
- 2x - 2my + m
2
- 24 = 0 cú
tõm I v ng thng : mx + 4y = 0. Tỡm m bit ng thng ct ng trũn (C) ti hai im
phõn bit A,B tha món din tớch tam giỏc IAB bng 12.
Hng dn :
ng trũn (C) cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5.
Gi H l trung im ca dõy cung AB.
Ta cú IH l ng cao ca tam giỏc IAB.
IH =
2 2
| 4 | | 5 |
( , )
16 16
m m m
d I
m m
+
= =
+ +
2
2 2
2
2
(5 ) 20

25
16
16
m
AH IA IH
m
m
= = =
+
+
Din tớch tam giỏc IAB l
12 2 12S
IAB IAH
S

= =

2
3
( , ). 12 25 | | 3( 16)
16
3
m
d I AH m m
m
=


= = +

=

B i 11:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
)5;2(,)1;1( BA
, đỉnh C nằm trên đờng thẳng
04 =x
, và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng
0632 =+ yx
. Tính diện tích tam
giác ABC.
H ớng dẫn:
Ta có
);4(
C
yC =
. Khi đó tọa độ G là
3
2
3
51
,1
3
421
CC
GG
yy
yx +=
++
==

+
=
. Điểm G nằm
trên đờng thẳng
0632 =+ yx
nên
0662 =+
C
y
, vậy
2=
C
y
, tức là
)2;4(=C
. Ta có
)1;3(,)4;3( == ACAB
, vậy
5
=
AB
,
10=AC
,
5. =ACAB
.
Diện tích tam giác ABC là
( )
2510.25
2

1

2
1
2
22
== ACABACABS
=
2
15
Bài 12: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với
)2;1(,)1;2( BA
, trọng tâm G của
tam giác nằm trên đờng thẳng
02 =+ yx
. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng
13,5 .
H ớng dẫn:
I
A
B

H
5
Vì G nằm trên đờng thẳng
02 =+ yx
nên G có tọa độ
)2;( ttG =
. Khi đó
)3;2( ttAG =

,
)1;1( =AB
Vậy diện tích tam giác ABG là
( )
[ ]
1)3()2(2
2
1

2
1
22
2
22
+== ttABAGABAGS
=
2
32 t
Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng
5,43:5,13 =
. Vậy
5,4
2
32
=
t
, suy ra
6=t
hoặc
3=t

. Vậy có hai điểm G :
)1;3(,)4;6(
21
== GG
. Vì G là trọng
tâm tam giác ABC nên
)(3
BaGC
xxxx +=
và
)(3
BaGC
yyyy +=
.
Với
)4;6(
1
=G
ta có
)9;15(
1
=
C
, với
)1;3(
2
=G
ta có
)18;12(
2

=
C

Bài 13.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0 và đờng thẳng d
có phơng trình x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc
hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
H ớng dẫn :
Từ phơng trình chính tắc của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB,
AC tới đờng tròn và
ACAB

=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3
23= IA



=
=
==


7
5
6123
2

1
m
m
m
m

Bi 14:
Trong mp (Oxy) cho ng thng () cú phng trỡnh: x 2y 2 = 0 v hai im A (-1;2);
B (3;4). Tỡm im M

() sao cho 2MA
2
+ MB
2
cú giỏ tr nh nht.
Hng dn :
M
(2 2; ), (2 3; 2), (2 1; 4)M t t AM t t BM t t + = + =
uuuur uuuur
2 2 2
2 15 4 43 ( )AM BM t t f t+ = + + =
Min f(t) =
2
15
f


ữ

=> M

26 2
;
15 15


ữ

Bi 15:
Trong mt phng vi h to Oxy, cho ng trũn (C) cú phng trỡnh:
2 2
4 3 4 0x y x+ + =
.
Tia Oy ct (C) ti A. Lp phng trỡnh ng trũn (C), bỏn kớnh R = 2 v tip xỳc ngoi vi (C)
ti A.
Hng dn:
A(0;2), I(-2
3
;0), R= 4, gi (C) cú tõm I
Pt ng thng IA :
2 3
2 2
x t
y t

=


= +

,
'I IA
=> I(
2 3 ;2 2t t +
),
1
2 ' '( 3;3)
2
AI I A t I= = =>
uur uuur

(C):
( )
( )
2
2
3 3 4x y + =
Bi 16:
Trong mt phng vi h to Oxy, cho hỡnh ch nht ABCD cú cnh AB: x -2y -1 =0, ng
chộo BD: x- 7y +14 = 0 v ng chộo AC i qua im M(2;1). Tỡm to cỏc nh ca hỡnh ch
nht.
Hng dn:

(7;3)BD AB B =
, pt g thng BC: 2x + y 17 = 0
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7A AB A a a C BC C c c a c +
,
I =
2 1 2 17
;

2 2
a c a c+ + − +
 
 ÷
 
là trung điểm của AC, BD.
I
3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈ ⇔ − − = ⇔ = − ⇒ − −
M, A, C thẳng hàng 
,MA MC
uuur uuuur
cùng phương => c
2
– 13c +42 =0 
7( )
6
c loai
c
=


=

c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
Bài 17:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường tròn có phương trình
( )
2 2
1
: 4 5 0C x y y+ − − =

và
( )
2 2
2
: 6 8 16 0.C x y x y+ − + + =
Lập phương trình tiếp tuyến chung của
( )
1
C
và
( )
2
.C
Hướng dẫn:
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2
: 0;2 , 3; : 3; 4 , 3.C I R C I R= − =
Gọi tiếp tuyến chung của
( ) ( )
1 2
,C C
là
( )
2 2
: 0 0Ax By C A B∆ + + = + ≠
∆
là tiếp tuyến chung của
( ) ( )
1 2
,C C

( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
2 2
2 2
2 3 1
;
;
3 4 3 2
B C A B
d I R
d I R
A B C A B


+ = +
∆ =
 
⇔ ⇔
 
∆ =
 
− + = +


Từ (1) và (2) suy ra

2A B=
hoặc
3 2
2
A B
C
− +
=
Trường hợp 1:
2A B=
.
Chọn
1 2 2 3 5 : 2 2 3 5 0B A C x y= ⇒ = ⇒ = − ± ⇒ ∆ + − ± =
Trường hợp 2:
3 2
2
A B
C
− +
=
. Thay vào (1) được
Bµi 18:
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
2 2
( ) : – 2 – 2 1 0,C x y x y+ + =
2 2
( '): 4 – 5 0C x y x+ + =
cùng đi qua M(1; 0). Viết
phương
trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn

( ), ( ')C C
lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.
Hướng dẫn:
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và
1, ' 3R R= =
, đường thẳng (d)
qua M có phương trình
2 2
( 1) ( 0) 0 0, ( 0)(*)a x b y ax by a a b− + − = ⇔ + − = + ≠
.
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có:
2 2 2 2
2 2 ' ' 'MA MB IA IH I A I H= ⇔ − = −
( ) ( )
2 2
1 ( ; ) 4[9 ( '; ) ]d I d d I d⇔ − = −
,
.IA IH
>
( ) ( )
2 2
2 2
2 2 2 2
9
4 ( '; ) ( ; ) 35 4. 35
a b
d I d d I d
a b a b
⇔ − = ⇔ − =

+ +
2 2
2 2
2 2
36
35 36
a b
a b
a b
−
⇔ = ⇔ =
+
Dễ thấy
0b
≠
nên chọn
6
1
6
= −

= ⇒

=

a
b
a
.
Kiểm tra điều kiện

IA IH>
rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn.
Bài 19:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết trực
tâm
(1;0)H
, chân đường cao hạ từ đỉnh B là
(0; 2)K
, trung điểm cạnh AB là
(3;1)M
.
Hướng dẫn:
+ Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận
( 1; 2)HK = −
uuur
làm vtpt và AC đi qua K nên
( ) : 2 4 0.AC x y− + =
Ta cũng dễ có:
( ) : 2 2 0BK x y+ − =
.
+ Do
,A AC B BK∈ ∈
nên giả sử
(2 4; ), ( ; 2 2 ).A a a B b b− −
Mặt khác
(3;1)M
là
trung điểm của AB nên ta có hệ:
2 4 6 2 10 4
.

2 2 2 2 0 2
a b a b a
a b a b b
− + = + = =
  
⇔ ⇔
  
+ − = − = =
  
Suy ra:
(4; 4), (2; 2).A B −
+ Suy ra:
( 2; 6)AB = − −
uuur
, suy ra:
( ) :3 8 0AB x y− − =
.
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận
(3; 4)HA =
uuur
, suy ra:
( ):3 4 2 0.BC x y+ + =
KL: Vậy :
( ) : 2 4 0,− + =AC x y
( ) :3 8 0− − =AB x y
,
( ):3 4 2 0.+ + =BC x y
Bài 20: (đề 2010)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d
1

:
3 0+ =x y
và d
2
:
3 0x y− =
. Gọi (T)
là đường tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại
B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ
dương.
Hướng dẫn:
. Ta thấy
1 2
,d d
tạo với Oy góc
0
30
Từ đó
·
·
0 0
60 ; 30AOB ACB= =
2 2

1 3 3 3
. 1
2 2 2 2
ABC
S AB BC AB AB AB
∆
= = ⇒ = ⇒ =
2 2 1
. ; 1
3 3 3
OA AB A
 
= = ⇒ −
 ÷
 
4 2
2 ; 2
3 3
OC OA C
 
= = ⇒ − −
 ÷
 
Đường tròn (T) đường kính AC có:
1 3
; , 1
2 2
2 3
AC
I R

 
− − = =
 ÷
 
Phương trình (T):
2
2
1 3
1
2
2 3
x y
 
 
+ + + =
 ÷
 ÷
 
 
Bài 21: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng
đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y
−
4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B
và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
Hướng dẫn:
Gọi
∆
là đường thẳng đi qua trung điểm của AC và AB
Â
C

E
∆
Ta có
( )
6 6 4
, 4 2
2
d A
+ −
∆ = =
Vì
∆
là đường trung bình của
V
ABC
( ) ( )
; 2 ; 2.4 2 8 2d A BC d A⇒ = ∆ = =
Gọi phương trình đường thẳng BC là:
0x y a+ + =
Từ đó:
4
6 6
8 2 12 16
28
2
a
a
a
a
=

+ +

= ⇒ + = ⇒

= −

Nếu
28a = −
thì phương trình của BC là
28 0x y+ − =
, trường hợp này A nằm khác phía đối với
BC và
∆
, vô lí. Vậy
4a =
, do đó phương trình BC là:
4 0x y+ + =
.
Đường cao kẻ từ A của
ABC∆
là đường thẳng đi qua A(6;6) và
BC⊥
:
4 0x y+ + =
nên có phương
trình là
0x y− =
.
Tọa độ chân đường cao H kẻ từ A xuống BC là nghiệm của hệ phương trình

0 2
4 0 2
x y x
x y y
− = = −
 
⇒
 
+ + = = −
 
Vậy H (-2;-2)
Vì BC có phương trình là
4 0x y+ + =
nên tọa độ B có dạng: B(a; -4-a)
Lại vì H là trung điểm BC nên C(-4-a; a)
Suy ra:
( )
5 ; 3 , ( 6; 4 6)CE a a AB a a= + − − = − − − −
uuur uuur
Vì
CE AB⊥
nên
( ) ( ) ( ) ( )
. 0 6 5 3 10 0AB CE a a a a= ⇒ − + + + + =
uuur uuur
⇒
2
0
2 12 0
6

a
a a
a
=

+ = ⇒

= −

Vậy
( )
( )
0; 4
4;0
B
C
−


−


hoặc
( )
( )
6;2
2; 6
B
C
−



−


.
C. BÀI TẬP TỰ RÈN
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C(−1; −2), đường trung tuyến kẻ từ
A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình là 5x+y−9=0 và x+3y−5=0. Tìm tọa độ các
đỉnh A và B.
ĐS: A(1;4), B(5;0).
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C)
2 2
4 4 6 0x y x y+ + + + =
và đường
thẳng
: 2 3 0x my m∆ + − + =
với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn (C) Tìm m để
Δ cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất.
3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy, cho elip (E) có phương trình
1
916
22
=+
yx
. Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho
đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ điểm M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ
nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.
ĐS:
( ) ( )

7,21;0,0;72
min
=MNNM
4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x−1)
2
+(y−2)
2
=4 và
đường thẳng d: x−y−1=0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua
đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’).
ĐS: A(1;0), B(3;2)
5. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh B có
phương trình là x−3y – 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình: x + y + 1= 0.
Xác định toạ độ các đỉnh B và C của tam giác ABC.
B
H
6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho điểm C(2;0) và elip (E):
1
14
22
=+
yx
. Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành
và tam giác ABC là tam giác đều.
ĐS:









−








7
34
;
7
2
,
7
34
;
7
2
BA
hoặc

















−
7
34
;
7
2
,
7
34
;
7
2
BA
7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng: d
1
: x+y +3=0, d
2
: x−y −4=0, d
3

:
x−2y =0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng d
1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d
2
.
ĐS: M(−22;−11), (2;1).
8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+y
2
−2x−2y+1=0 và đường thẳng d:
x−y+3=0. Tìm tọa độ điểm M nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán
kính đường tròn (C), tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).
ĐS: M
1
(1;4), M
2
(−2;1)
9. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao
cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x −2y+3=0. ĐS: A(2;0),
B(0;4).
10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): (x−1)
2
+(y+2)
2
=9 và đường thẳng d:

3x−4y+m=0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến
PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.
ĐS: m=19, m=−41
11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có M(2;0) là trung điểm của cạnh AB.
Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh A lần lượt có phương trình là 7x−2y−3=0 và
6x−y−4=0. Viết phương trình đường thẳng AC. ĐS: AC: 3x−4y+5=0
12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) là giao điểm của
hai đường chéo AC và BD. Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD
thuộc đường thẳng ∆: x+y−5=0. Viết phương trình đường thẳng AB.
ĐS: AB: y−5=0; x−4y+19=0
13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E)
có tâm sai bằng
3
5
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20., ĐS:
1
49
22
=+
yx

13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(−2;−2) và C(4;−2). Gọi H
là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương
trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. ĐS: x
2
+y
2
−x+y−2=0
14. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho các đường thẳng d
1

: x+y+3=0, d
2
: x−y−4=0, d
3
:
x−2y=0. Tìm tọa độ điểm M mằm trên đường thẳng d
3
sao cho khoảng cách từ M đến đường
thẳng d
1
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d
2
. ĐS: M
1
(−22;−11), M
2
(2;1)
15. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đường thẳng d
1
: x−y=0 và d
2
: 2x+y−1=0. tìm tọa độ
các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d
1
, đỉnh C thuộc d
2
và các đỉnh B, D thuộc
trục hoành.
ĐS: A(1;1), B(0;0), C(1;−1), D(2;0) hoặc A(1;1), B(2;0), C(1;−1), D(0;0)
16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(0;2) và

( )
1;3 −−B
. Tìm tọa độ trực tâm và
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. ĐS:
( ) ( )
1;3,1;3 −− IH
17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy xét tam giác ABC vuông tại A, phương trình đường thẳng
BC là
033 =−− yx
, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp
bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
18. ĐS:








++
3
326
;
3
347
G
hoặc









−−−−
3
326
;
3
134
G

19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): (x−2)
2
+y
2
=4/5 và hai đường thẳng ∆
1
:
x−y=0, ∆
2
: x−7y=0. Xác định tọa độ tâm K và bán kính đường tròn (C
1
); biết đường tròn (C
1
)
tiếp xúc với các đường thẳng ∆
1

, ∆
2
và tâm K thuộc đường tròn (C). ĐS:
5
22
,
5
4
;
5
8
=






RK

20. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết rằng
hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(−1;−1), đường phân giác trong của
góc A có phương trình x−y+2=0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x+3y−1=0. ĐS:






−

4
3
;
3
10
C
21. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2;2) và các đường thẳng: d
1
: x+y−2=0, d
2
:
x+y−8=0. Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d
1
và d
2
sao cho tam giác ABC vuông cân
tại A. ĐS: B(−1;3), C(3;5) hoặc B(3;−1), C(5;3)
22. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đương tròn (C): x
2
+y
2
−2x−6y+6=0 và điểm M(−3;1).
Gọi T
1
và T
2
là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường
thẳng T
1
T

2
. ĐS: T
1
T
2
: 2x+y−3=0
23. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường
tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.
ĐS: (C
1
): (x−2)
2
+(y−1)
2
=1 hoặc (x−2)
2
+(y−7)
2
=49
24. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(4;−3). Tìm điểm C thuộc đường
thẳng x−2y−1=0 sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
ĐS:
( )






−−

11
27
;
11
43
,3;7
21
CC
26. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC,
0
^
90=BAC
. Biết M(1;−1) là
trung điểm cạnh BC và






0;
3
2
G
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
ĐS: A(0;2), B(4;0), C(−2;−2)
27.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm







0;
2
1
I
, phương trình
đường thẳng AB là x−2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có
hoành độ âm. ĐS: A(−2;0), B(2;2), C(3;0), D(−1;−2)
