CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC - LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 1
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Vòng tròn lượng giác
2. Mối liên hệ giữa các góc có liên quan đặc biệt
3 Các công thức lượng giác
- Các hằng đẳng thức lượng giác
- Công thức cộng
- Công thức nhân đôi, nhân ba
- Công thức hạ bậc
- Công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng
- Công thức biến đổi theo
tan
2
x
t =

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:
1. Phương trình lượng giác cơ bản:
Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối D năm 2002)
Tìm
[ ]
0;14x ∈
nghiệm đúng phương trình
cos 3 4cos 2 3cos 4 0x x x− + − =
(1)
Giải.

3 2
(1) (4 cos 3cos ) 4(2 cos 1) 3cos 4 0
x x x x
⇔ − − − + − =


2
4cos (cos 2) 0 cos 0 (k )
2
x x x x k
π
π
⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈ »
Vì
[ ]
0;14x ∈
nên
1 14 1
0 14 0,5 3,9
2 2 2
k k
π
π
π
≤ + ≤ ⇔ − = − ≤ ≤ − ≈
,mà
k ∈
»
nên

{ }
0;1;2;3k ∈

V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
3 5 7
; ; ;
2 2 2 2
x
π π π π
 
∈
 
 


Ví dụ 2:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ

i h
ọ
c kh
ố
i D, n
ă
m 2004)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
(2cos 1)(2sin cos ) sin 2 s inxx x x x− + = −
(2)
Gi
ả
i.
(2) (2 cos 1)(2 sin cos ) s inx(2cos 1) (2cos 1)(s inx cos ) 0x x x x x x⇔ − + = − ⇔ − + =

cos
1
2
cos
3
3
( , )
2
t anx 1 tan
s inx cos
4

4
x cos
x k
x
k l
x
x l
π
π
π
π
π
π


=
= ± +



=


⇔ ⇔ ⇔ ∈


 


= − = −

= −
= − +

 



 

»

Ví dụ 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2 2 2
sin sin 3 os 2 os 4x x c x c x+ = +
(3)
Gi
ả
i.

1 os2 1 os6 1 os4 1 os8
(3) ( os2 os6 ) os4 os8
2 2 2 2
c x c x c x c x
c x c x c x c x
− − + +

⇔ + = + ⇔ − + = +
2cos 4 cos 2 2 cos 6 cos 2 2 os2 ( os6 os4 )x x x x c x c x c x⇔ − = ⇔ +

4 2
os2 0
4cos 2 .cos5 .cos 0 os5 0 (k )
10 5
cos 0
2
k
x
c x
x x x c x x k
x
x k
π π
π π
π
π

= +

=




⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈




=



= +


»

Chú ý:
•
••
•

Khi gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác có ch
ứ
a tanu, cotu, có
ẩ
n
ở
m
ẫ
u, có ch

ứ
a c
ă
n b
ậ
c ch
ẵ
n... thì
ph
ả
i
đặ
t
đ
i
ề
u ki
ệ
n
để
ph
ươ
ng trình xác
đị
nh.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 2
•

••
•

Ta có th
ể
dùng các cách sau
để
ki
ể
m tra
đ
i
ề
u ki
ệ
n xem có nh
ậ
n hay không
+ Th
ử
nghi
ệ
m tìm
đượ
c xem có th
ỏ
a mãn
đ
i
ề

u ki
ệ
n hay không.
+ Dùng
đườ
ng tròn l
ượ
ng giác
+ So
đ
i
ề
u ki
ệ
n trong quá trình gi
ả
i

Ví dụ 4:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
tan t anx.tan 3 2x x− = (4)
Gi
ả
i.
Đ

i
ề
u ki
ệ
n
3
cos 0
cos 3 0 ( )
6 3
cos3 4 cos 3cos 0
x
x x l l
x x x
π π
≠

⇔ ≠ ⇔ ≠ + ∈

= − ≠

»

Ta có
s inx sinx s in3x
(4) t anx(t anx tan 3 ) 2 . 2
cos cos cos3
x
x x x
 
⇔ − = ⇔ − =

 
 


2 2
sin (sinx.cos 3 cos .sin 3 ) 2 cos . os3 s inx.sin( 2 ) 2 cos . os3x x x x x c x x x c x⇔ − = ⇔ − =


2 2 2
2sin .cos 2cos . os3 sin cos . os3x x x c x x x c x⇔ − = ⇔ − =
(do cosx
≠
0)

1 os2 1
( os4 os2 ) os4 1 4 2 ( )
2 2 4 2
c x
c x c x c x x k x k k
π π
π π
−
⇔ − = + ⇔ = − ⇔ = + ⇔ = + ∈
»

K
ế
t h
ợ
p v

ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
( )
4 2
x k k
π π
= + ∈
»


Ví dụ 5:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh

đạ
i h
ọ
c kh
ố
i D, n
ă
m 2003)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
sin .tan os 0
2 4 2
x x
x c
π
 
− − =
 
 
(5)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề

u ki
ệ
n cos 0 s inx 1x
≠ ⇔ ≠ ±

Khi
đ
ó
[ ]
2
2
1 sin 1
(1) 1 os . 1 cos 0
2 2 os 2
x
c x x
c x
π
 
 
⇔ − − − + =
 
 
 
 


2
2
(1 sinx)(1 os )

(1 cos ) 0
1 sin
c x
x
x
− −
⇔ − + =
−


2
1 os
(1 cos ) 0
1 sinx
c x
x
−
⇔ − + =
+


1 cos
(1 cos ) 1 0
1 sin
x
x
x
−
 
⇔ + − =

 
+
 

(1 cos )( cos sinx) 0x x⇔ + − − =

2
cos 1
(k )
t anx 1
4
x k
x
x k
π π
π
π
= +

= −


⇔ ⇔ ∈


= −
= − +


»

K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
2 ; (k )
4
x k x k
π
π π π
= + = − + ∈
»

Ví dụ 6:
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình
4 4
sin os 1
(t anx cot 2 )
sin 2 2
x c x
x
x
+
= + (6)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n sin2x ≠ 0
Ta có: *
4 4 2 2 2 2 2 2
1
sin os (sin os ) 2sin cos 1 sin 2
2
x c x x c x x x x+ = + − = −
*
sinx os2 1
tan cot 2

cos sin 2 sin 2
c x
x x
x x x
+ = + =

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 3
V
ậ
y
2
1
1 sin 2
1
2
(6)
sin 2 2sin 2
x
x x
−
⇔ =


2 2
1
1 sin 2 1 sin 2 1
2

x x⇔ − = ⇔ =

2
os 2 0 os2 0c x c x⇔ = ⇔ =


2 (k )
2 4 2
x k x k
π π π
π
⇔ = + ⇔ = + ∈
»

K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ

a ph
ươ
ng trình là (k )
4 2
x k
π π
= + ∈ »

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Có dạng:
2
a sin sin 0 (a 0)u b u c+ + = ≠


2
acos s 0 (a 0)u bco u c+ + = ≠


2
atan tan 0 (a 0)u b u c+ + = ≠


2
acot cot 0 (a 0)u b u c+ + = ≠

- Cách giải: Đặt t = sinu hay t = cosu với
1t ≤

t = tanu (điều kiện
,

2
u k k
π
π
≠ + ∈ »
)
t = cotu (điều kiện
,u k k
π
≠ ∈ »
)
Các ph
ươ
ng trình trên tr
ở
thành
2
0at bt c+ + =

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình trên tìm
đượ
c t, so v
ớ
i
đ
i

ề
u ki
ệ
n
để
nh
ậ
n nghi
ệ
m t.
T
ừ

đ
ó gi
ả
i ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác c
ơ
b
ả
n tìm nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ

ng trình


Ví dụ 7:
(
Đề thi tuyển sinh đại học khối A, năm 2002)
Tìm các nghiệm trên
( )
0;2
π
của phương trình
os3x+sin3x
5 sinx 3 cos 2
1 2sin 2
c
x
x
 
+ = +
 
+
 
(7)
Giải.
Điều kiện
1
sin 2
2
x ≠ −
Ta có

3 3 3 3
sin 3 os3 (3sin 4sin ) (4 os 3cos ) 3(cos s inx) 4( os sin )x c x x x c x x x c x x
+ = − + − = − − + −


2 2
(cos sinx) 3 4( os cos sin sin ) (cos sinx)(1 2sin 2 )x c x x x x x x
 
= − − + + + = − +
 

Do v
ậ
y:
[ ]
2
(7) 5 sinx (cos sinx) 3 (2 cos 1)x x⇔ + − = + −


2
1
cos
2cos 5cos 2 0
2
osx 2( )
x
x x
c loai

=


⇔ − + = ⇔

=


2 (k )
3
x k
π
π
⇔ = ± + ∈
»
(th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n)
Vì
( )
0;2x
π
∈
nên
5
3 3

x x
π π
= ∨ =


Ví dụ 8:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A, n
ă
m 2005)
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
cos 3 . os2 os 0x c x c x− = (8)
Gi
ả
i.
1 os6 1 os2

(8) . os2 0 os6 . os2 0 (8.1)
2 2
c x c x
c x c x c x
+ +
⇔ − = ⇔ =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 4
Cách 1:
3 4 2
(8.1) (4 cos 2 3cos 2 ) os2 1 0 4cos 2 3cos 2 1 0x x c x x x⇔ − − = ⇔ − − =


2
2
os 2 1
1
os 2 (vô nghiêm)
4
c x
c x

=

⇔

= −





sin 2 0 2 (k )
2
x x k x k
π
π
⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ »

Cách 2:
( )
2
1
(8.1) os8 os4 1 0 2 os 4 os4 3 0
2
c x c x c x c x⇔ + − = ⇔ + − =

os4 1
4 2 (k )
3
2
os4 (loai)
2
c x
x k x k
c x
π
π
=



⇔ ⇔ = ⇔ = ∈

= −

»

Cách 3: Ph
ươ
ng trình l
ượ
ng giác không m
ẫ
u m
ự
c

os6 os2 1
(8.1)
os6 os2 1
c x c x
c x c x
= =

⇔

= = −


Cách 4:
( )
1
(8.1) os8 os4 1 0 os8 os4 2 0 os8 os4 2
2
c x c x c x c x c x c x⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ = =

os4 1 (k )
2
c x x k
π
⇔ = ⇔ = ∈
»

Ví dụ 9:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ
i h
ọ
c kh
ố
i D, n
ă
m 2005)
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình
4 4
3
cos sin os sin 3 0
4 4 2
x x c x x
π π
   
+ + − − − =
   
   
(9)
Gi
ả
i.

( )
( )
2
2 2 2 2
1 3
9 sin os 2sin os sin 4 sin 2 0
2 2 2
x c x xc x x x
π
 
 
⇔ + − + − + − =

 
 
 
 


[ ]
2
1 1 3
1 sin 2 os4x+sin2x 0
2 2 2
x c⇔ − + − − =

2 2
1 1 1 1
sin 2 1 2sin 2x sin 2 0
2 2 2 2
x x
 
⇔ − − − + − =
 


2
sin 2 1
sin 2 sin 2 2 0
sin 2 2 (loai)
x
x x
x

=

⇔ + − = ⇔

= −


2 2 (k )
2 4
x k x k
π π
π π
= + ⇔ = + ∈
»


Ví dụ 10:
(
Đề
thi tuy
ể
n sinh
đạ
i h
ọ
c kh
ố
i B, n
ă
m 2004)

Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2
5sin 2 3(1 s inx)tanx x− = −
(10)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
cos 0 s inx 1x ≠ ⇔ ≠ ±

Khi
đ
ó:
2 2
2
sin 3sin
(10) 5sin 2 3(1 s inx) 5sin 2
1 sin 1 sin
x x
x x
x x

⇔ − = − ⇔ − =
− +


2
1
s inx (nhân do sinx 1)
2sin 3sin 2 0
2
s inx 2 (vô nghiê )
x x
m

= ≠ ±

⇔ + − = ⇔

= −



2
6
s inx sin ( )
5
6
2
6
x k
k

x k
π
π
π
π
π

= +

= ⇔ ∈


= +


»

LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2010 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


GV: Hoàng Ngọc Quang *** Trung tâm GDTX – HNDN Hồ Tùng Mậu huyện Lục Yên *** Trang 5

Ví dụ 11:
(kh
ố
i A n
ă
m 2006)
Gi
ả

i ph
ươ
ng trình
( )
6 6
2 os sin sin x cos
0
2 2sin
c x x x
x
+ −
=
−
(11)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
s inx
2
≠
Ph
ươ
ng trình

đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng v
ớ
i
( )
6 6 2
2
3 1
2 sin os sin x cos 0 2 1 sin 2 sin 2 0
4 2
3sin 2 sin 2 4 0
sin 2 1
2 2 ,
2
,
4
x c x x x x
x x
x
x k k
x k k
π
π
π
π
 

+ − = ⇔ − − =
 
 
⇔ + − =
⇔ =
⇔ = + ∈
⇔ = + ∈
»
»

Do
đ
i
ề
u ki
ệ
n, nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là:
5
2 ,
4
x m m
π
π
= + ∈

»


Ví dụ 12:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
2 2
3cot 2 2 sin (2 3 2) cosx x x+ = +
(12)
Gi
ả
i.
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
s inx 0 cos 1x≠ ⇔ ≠ ±

Chia c
ả
hai v
ế
c
ủ
a ph

ươ
ng trình cho
2
sin x
ta
đượ
c:
2
4 2
os cos
3 2 2 (2 3 2)
sin sin
c x x
x x
+ = + (12.1)
Đặ
t
2
cos
sin
x
t
x
=
ta
đượ
c ph
ươ
ng trình
2

3 (2 3 2) 2 2 0t t− + + =
2
2 / 3
t
t

=
⇔

=


•

V
ớ
i 2t = ta có
2 2
2
cos
2 cos 2(1 os ) 2 os cos 2 0
sin
x
x c x c x x
x
= ⇔ = − ⇔ + − =


osx 2 (loai)
2 (k )

2
4
cos
2
c
x k
x
π
π

= −

⇔ ⇔ = ± + ∈

=


»

•

V
ớ
i
2
3
t = ta có
2 2
2
cos 2

3cos 2(1 os ) 2 os 3cos 2 0
sin 3
x
x c x c x x
x
= ⇔ = − ⇔ + − =

osx 2 (loai)
2 (k )
1
3
cos
2
c
x k
x
π
π
= −


⇔ ⇔ = ± + ∈

=

»
K
ế
t lu
ậ

n: K
ế
t h
ợ
p
đ
/k
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là
2 ; 2 (k )
3 4
x k x k
π π
π π
= ± + = ± + ∈ »


Ví dụ 13:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
3

tan t anx 1
4
x
π
 
− = −
 
 
(13)
Gi
ả
i.
Đặ
t
4 4
t x x t
π π
= − ⇔ = + .