Đề thi thử ĐH Toán số 2_Tạp chí Toán học - Tuổi trẻ

Tạp chí TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ
ĐỀ THI THỬ
THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI
ĐỀ SỐ 2
Thời gian:180 phút (Không kể thời gian phát đề)
PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất cả thí sinh
Câu I (2 điểm) Cho hàm số:
y = x
3
−6x
2
+ 9x −2 (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại tiếp điểm M, biết M cùng với hai điểm cực trị của đồ thì
(C) tạo thành một tam giác có diện tích bằng 6.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
2sin
2
x + 3
√
2sinx −sin 2x +1
(sinx +cosx)
2
= −1
2. Giải hệ phương trình:

√
x +
√
y = 2

√
x + 3 +
√
y + 3 = 4
Câu III (2 điểm)
1. Tính tích phân:
I =
2

1
x
2
−1
(x
2
−x + 1)(x
2
+ 3x + 1)
dx
2. Giải bất phương trình sau trên tập số thực:
5x +

6x
2
+ x
3
−x
4
log
2

x >

x
2
−x

log
2
x + 5 + 5

6 + x −x
2
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a (với a > 0); SA tạo với đáy một góc 60
◦
. Tam giác ABC vuông tại B,

ACB = 30
◦
. G là trọng tâm của tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Tính thể tích của hình chóp S.ABC
Câu V (1 điểm)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn:
xy + yz + zx ≤ 3
Chứng minh rằng:
2
√
xyz
+
27

(2x + y)(2y + z)(2z + x)
≥ 3
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
Phần A theo chương trình nâng cao
Câu VIa (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(−1;1), trực tâm H(1;3), trung điểm của cạnh
BC là M(5;5). Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD biết B(−1;0; 2), C(−1;1; 0), D(2; 1;−2),
vectơ
−→
OA cùng hướng với vectơ
→
u = (0; 1;1) và thể tích của tứ diện ABCD là
5
6
. Lập phương trình mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Phần B theo chương trình chuẩn
Câu VIb (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho M(2; 1) và đường tròn (C) : (x −1)
2
+ (y −2)
2
= 5. Viết phương
www.VNMATH.com
trình đường thẳng ∆ qua M cẳt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho độ dài đoạn thẳng AB
ngắn nhất.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d :
x
2

=
y −1
−1
=
z
−3
và mặt phẳng
(P) : 7x +9y+ 2z −7 = 0 cắt nhau. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), ∆ vuông
góc với d và cách d một khoảng là
3
√
42
.
2
www.VNMATH.com