Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
CAO BẰNG
ðỀ THI CHỌN ðỘI TUYỂN DỰ KỲ THI CHỌN HỌC SINH
GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2012
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao ñề)

( ðề gồm 01 trang)


ðỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (4,0 ñiểm): Giải hệ phương trình:
3 3 2
2
3 3 6 4 (1)
1 2 1 (2)
y y x x x
x y y

+ = + + +


− − = − −



Câu 2 (4,0 ñiểm): Cho dãy {u
n
} xác ñịnh như sau:
1

2
1
2
2010
, 1,2
2011
n n
n
u
u u
u n
+
=



+
= =


.
a) Chứng minh rằng dãy {u
n
} tăng và không bị chặn trên.
b) Thiết lập dãy
{ }
n
S
với
1

1
1
n
i
n
i
i
u
S
u
=
+
=
−
∑
. Tìm
lim
n
n
S
→+∞
.
Câu 3 (4,0 ñiểm): Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
3 3
3 3
x y xy
+ = +
.
Câu 4 (5,0 ñiểm):
a) Cho tứ diện ABCD có

, ,
AB CD a AC BD b AD BC c
= = = = = =
. Chứng minh rằng
6 2
ABCD
abc
V ≤
.
b) Cho hai ñường tròn
1 2
( ),( )
C C
lần lượt có tâm O
1
và O
2
cắt nhau tại A, B; P là ñiểm
nằm trên ñường thẳng AB. Từ P kẻ hai tiếp tuyến PC, PD lần lượt tới
1 2
( ),( )
C C
(C, D
là tiếp ñiểm). Vẽ tiếp tuyến chung EF của hai ñường tròn
1 2
( ),( )
C C
với E thuộc
1
( )

C
và
F thuộc
2
( )
C
. Chứng minh rằng AB, CE, DF ñồng quy.
Câu 5 (3,0 ñiểm): Tại mỗi ñỉnh của một ña giác ñều 100 cạnh ta ñánh một số bất kì
trong các số tự nhiên 1, 2, …, 49. Chứng minh rằng tồn tại 4 ñỉnh của ña giác (kí hiệu A,
B, C, D với các số ñược ñánh tương ứng là a ,b, c, d) sao cho ABCD là hình chữ nhật và
a b c d
+ = +
.
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Họ tên, chữ kí của giám thị 1: