Đề+Đáp án kỳ thi tuyển sinh lớp 10 NH 2011-2012 (Chuyên PHan Bội Châu -Nghệ An)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (213.43 KB, 5 trang )
www.VNMATH.com
Trang 1/5
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (7,0 điểm).
a) Giải phương trình:
3153 85
x
xx.
b) Giải hệ phương trình:
22
3
112
223
xy x y
xxyy
Câu 2 (3,0 điểm).
Tìm các số nguyên
x
và y thỏa mãn
22
52 4400xxyyx.
Câu 3 (6,0 điểm).
Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm chung). M là điểm di động
trên d. Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt và cát tuyến MCD của (O) (A, B là tiếp điểm, C nằm giữa M
và D, CD không đi qua O). Vẽ dây DN của (O) song song với AB. Gọi I là giao điểm của CN và AB.
Chứng minh rằng:
a)
IC BC
=
IA BD
và IA = IB.
b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d.
Câu 4 (2,0 điểm).
Cho các số thực dương
,,.abc Chứng minh rằng:
222 222 3 3 3
3
a b b c c a ab bc ca abc a abc b abc c abc .
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Câu 5 (2,0 điểm).
Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính
1
4
chứa đa giác
đó.
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Đề thi chính thức
www.VNMATH.com
Trang 2/5
SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU
NĂM HỌC 2011 - 2012
HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Môn: TOÁN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
1
7,0
a
3,5
Điều kiện:
5
5
8
x
(*)
0,5
Phương trình đã cho tương đương với:
2
31532459 85
x
xxxx
2
45 9 4 10xx x
0,5
22
5
2
45 9 16 80 100
x
xx x x
0,5
2
5
2
540
x
xx
0,5
5
2
1
4
x
x
x
0,5
4x
0,5
Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình là
4x
0,5
b
3,5
Hệ đã cho
2
2
1( 1) 4
112
(1)1 3
11
xy
x
y
0,5
Đặt
1, 1ux vy
Hệ đã cho trở thành
22
4
112
113
uv
uv
, ĐK :
1
1
u
v
(*)
1,0
22 2222
4
322 1
uv
uv uvuv
22
4
8
uv
uv
0,5
4
4
uv
uv
0,5
2
2
uv
uv
( TM(*))
0,5
Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là:
13
;
13
xx
yy
.
0,5
www.VNMATH.com
Trang 3/5
2
3,0
Ta có
22
52 4400xxyyx
22
21 41xxy
0,5
Vì
,xy
,
21
x
là số nguyên lẻ và
22
41 5 4
nên
0,5
2
2
21 25
16
x
xy
21 5
4
x
xy
1,0
Từ đó suy ra các cặp
;
x
y
cần tìm là
3;1 ; 3; 7 ; 2;6 ; 2; 2
1,0
3
6,0
a
4,0
Xét tam giác
IAC
và tam giác
BDC
có
I
AC BDC
0,5
I
CA BCD
0,5
Suy ra
I
AC
đồng dạng với
B
DC
(g.g)
0,5
I
CBC
I
ABD
(1)
0,5
Tương tự ta cũng có
I
CAC
I
BAD
(2)
0,5
Ta có
M
BC
đồng dạng với
M
DB
(g.g)
M
CBC
M
BBD
(3)
0,5
Tương tự ta có:
M
CAC
M
AAD
(4)
0,5
Vì
MA = MB
nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra
IA = IB
0,5
b
2,0
Kẻ
OH d
tại
H.
Gọi
K
là giao điểm của
OH
và
AB.
Ta có
M, O, I
thẳng hàng và
OI
AB.
0,5
OIK
đồng dạng với
OHM
suy ra
OK.OH = OI.OM
0,5
Mà
OI.OM = OB
2
2
OB
OK
OH
(không đổi) suy ra
K
cố định.
0,5
Vì
OI
AB
và
O, K
cố định nên
I
thuộc đường tròn đường kính
OK
cố định (ĐPCM).
0,5
M
H
d
A
B
D
N
C
I
O
K
www.VNMATH.com
Trang 4/5
4
2,0
BĐT cần chứng minh tương đương với
222
3
1111
abc bca a b c
c a b c a b bc ca ab
(1)
0,25
Đặt
,, ,,0;1
abc
x
yzxyzxyz
bca
0,25
Khi đó (1) trở thành:
3
1111
xyz
xy yz zx x y z
zxy
3
1
x
yyzzx
xyyzzx xyz
xyz
3
11
x
yyzzx xyyzzx
(2) (do
xyz
= 1)
0,75
Đặt
3
x
yyzzx t
2t
0,25
Khi đó (2) trở thành
3
11tt
32
112ttt
210tt t
(luôn đúng do
2t
). Suy ra ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
abc
.
0,5
5
2,0
Gọi
A, B
là 2 điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho
A, B
chia biên đa giác thành 2 đường gấp khúc có độ dài bằng
nhau và bằng
1
2
.
0,5
Gọi
O
là trung điểm của
AB
. Xét hình tròn tâm
O
bán kính
1
4
R
.
0,25
Ta sẽ chứng minh hình tròn này chứa đa giác đã cho. Thật vậy, giả sử tồn tại một điểm
M
thuộc cạnh đa giác và
M
nằm ngoài hình tròn tâm
O
bán kính
1
4
R
.
0,25
Khi đó
1
2
MA MB
( Độ dài đường gấp khúc chứa
M
) (1).
0,5
Gọi
N
là điểm đối xứng với
M
qua
O
. Ta có
1
2
2
MA MB MN R
(2).
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM.
0,5
N
A
B
O
M
www.VNMATH.com
Trang 5/5
Chú ý:
Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.
