đề thi trường vinh phuc

TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán 12. Khối B.
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu I. (2,0 điểm). Cho hàm số
2 1
1
x
y
x



(1).
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) mà tiếp tuyến này cắt các trục Ox,Oy
lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn: 3OA=4OB

Câu II. (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình sau:
3 3 6
3 16 3 16 10
x y
x y

 


   



2) Giải phương trình lượng giác:
4 4
4
sin 2 os 2
os 4
tan( ).tan( )
4 4
x c x
c x
x x
 


 

Câu III. (1,0 điểm)Tính tích phân:
2 2
3
2 2
4
sin 3 3
sin cos
x cos x
I dx
x x


 
 

 
 


Câu IV. (1,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB=6,CD=7,khoảng cách giữa AB và CD bằng 8
và góc giữa AB và CD bằng 60
0
.Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Câu V. (1,0 điểm)
Cho
, , ,
a b c d
là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:

3
a b c d ad bc
a b c d ac bd
  
  
  

Câu VI. (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn


C
có phương trình



2 2
: 2 6 6 0
C x y x y
    
và điểm


3;1
M  ,gọi
&
A B
là các tiếp điểm của các
tiếp tuyến kẻ từ
M
tới


C
.Tìm toạ độ điểm
H
là hình chiếu vuông góc của điểm
M
lên đường thẳng
AB
.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm


0;1;0

A và đường thẳng :

6 1 3
:
4 1 1
x y z
d
  
 

.Tìm toạ độ các điểm
,
B C
thuộc
d
sao cho tam giác
ABC

vuông cân tại
A

Câu VII. (1,0 điểm) Giải phương trình sau đây trên tập hợp các số phức ,biết rằng
phương trình sau có nghiệm thực :


3 2
2 5 3 2 3 0
z z i z i
     

HẾT

Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ……….………………………………….……. Số báo danh: ………………

Đề thi khảo sát lần
4
www.VNMATH.com
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM2011
Môn: Toán 12. Khối B.


ĐÁP ÁN

Câ
u
Ý

Nội dung Điể
m
I
.
2,00
1

Hàm số:
2 1 3
2

1 1
x
y
x x

  
 

+) Giới hạn, tiệm cận:
( 1) ( 1)
2; 2; ;
lim lim lim lim
x x
x x
y y y y
 
 
   
     

- TC đứng: x = -1; TCN: y = 2.
+)
 
2
3
' 0,
1
y x D
x
   



+) BBT:
x -

- 1 +


y' + || +
y

2
||
2


+)đồ thị
1,00

0,25


0,25




0,25

0,25
2

+) Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm


0 0
;M x y
cắt Ox tại A cắt Oy tại B sao cho
3OA=4OB .Do tam giác OAB vuông tại O nên
3
tan
4
A
 
hệ số góc của d bằng
3
4
hoặc
3
4


.Hệ số góc của d tại M là
 
 
 
 
, ,
2 2
1
3 3 3
0
3
4
1 1
o
o o
o
o o
x
y x y x
x
x x


     

 

 
 
 

1
1
2
7
3
2
y
y






 



Phương trình tiếp tuyến của (C) thoả mãn bài toán
1,00


0,25





0,5

8

6

4

2

-2

-
4

-6

-
10

-
5

5
10

Đề thi khảo sát lần

4
www.VNMATH.com
là :
 
 
3 1
1
3 4 1 0
4 2
3 7 3 4 21 0
3
4 2
y x
x y
x y
y x

  

  




  


  



0,25
II

2,00
1

+) ĐK:
0; 0
x y
 

Đặt


 
 
2 2
3 ;4
3 16
3 ;4 3 16
6;8
6 8 10
u x
u x
v y v y
w u v
w u v




 


 
   
 
 
  
 
    




 
  
  


u v u v
  
   
3 16 3 16 10
x y
    
Dấu bằng xẩy ra khi hai véc tơ
,

u v
 
cùng
chiều
3 3
3
3 4
& 3 3 6
3
4
3
3 3
x
x
x
x y
y
y
y





    
 







Thử lại thấy đúng .Vây hệ có nghiệm duy nhất




; 3;3
x y 


1,00



0,25



0,25

0,25


0,25
2

+) ĐK:
,
4 2

x k k Z
 
  

4 4 2 2
4 2
)tan( ) tan( ) tan( )cot( ) 1
4 4 4 4
1 1 1
sin 2 os 2 1 sin 4 os 4
2 2 2
2cos 4 os 4 1 0
x x x x
x c x x c x
pt x c x
   
      
    
   

+) Giải pt được cos
2
4x = 1

cos8x = 1

4
x k

 và cos

2
4x = -1/2 (VN)
+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là
,
2
x k k Z

 

1,00


0,25

0,25


0,25

0,25
III

1,00

2 2
3
2 2
4
sin 3 cos 3
sin cos

x x
I dx
x x


 
 

 
 

ta có




2 2
2 2 2 2
sin3 cos 3 sin sin3 cos 3 sin
sin 3 3
sin cos sin cos
x x cos x x x x cos x x
x cos x
T
x x x x
 
  

2
4sin 2 sin 4

8 2
sin 2
x x
cos x
x
 
2 2
3 3
3
2 2
4
4 4
sin 3 cos 3
8 2 4sin 2 2 3 4
sin cos
x x
I dx cos xdx x
x x
 


 
 
     
 
 
 

0,5



0,5
IV

1,00

Dựng hình bình hành ABCE khi đó




. .
/ /
A BCD E BCD
V V doAE BCD
 (1)




0,25

www.VNMATH.com


 
 
 
 
 
   
 
. .
.
0 0
2
1
. ; 3
3
1 1 21 3
. .sin 60 . sin 60
2 2 2
; ; 8 / /
1 21 3
.8. 28 3

3 2
E BCD B ECD
B ECD ECD
ECD
ABCD
V V
V S d B ECD
S EC DC AB CD
d B CDE d AB CD doAB CDE
V




  
 
 
(4)

0,25



0,25


0,25
V

1,00

3
a b c d ad bc
a b c d ac bd
  
  
  
.Đặt
           
   
; ;
. .
a b c d ad bc
x y z T xy yz zx
a b c d ac bd
a b c d ad bc a b c d ad bc
T
a b c d ac bd a b c d ac bd
a b c d ac bd ad bc a b c d c d a b
T
a b c d ac bd
  
      
  
     
          
  
          
     
          

 
         
 

  

T=








   






   
2
1
ac bd a b c d ad bc
a b c d ac bd
a b c d ac bd a b c d ac bd
 
    

  
 
 
     

yêu cầu bài toán
     
     
2 2
2 2 2
3 3 3
1
0
2
x y z x y z x y z xy yz zx
x y y z z x

             


 
      

 


luôn đúng .Ta có điều phải chứng minh

0,5


0,25


0,25


VI

2,00
1

Đường tròn (C) :
   
2 2
1 3 4
x y
   
có tâm I(1 ;3) bán kính R=2 ;MI=2
5 2

R
 

nên M nằm ngoài đường tròn.
Gọi


;
H x y
.Ta có




1; 3 ; 4; 2
IH x y IM
     
 
và nhận thấy
,
IH IM
 
cùng
chiều
nên


0
IH tIM t
 

 
1 4 1 4
3 2 3 2
x t x t
y t y t
    
 
 
 
    
 

theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AHM ta có




   
2 2
. . 4 1 2 3 4
1 1 13
4 4 2 2 4 ;
5 5 5
IH IM IH IM IA R x y
t t t H
        
 
       
 
 

 

1,00


0,25


0,25


0,25

0,25
2

Phương trình tham số của
6 4
: 1
3
x t
d y t
z t
  


 


 



tam giác ABC vuông cân tại A nên


 
 
0
45 ; 6 4 ;1 ;3
6 4 ; ;3
ABC ACB B d B t t t
AB t t t
        
    


véc tơ chỉ phương của d là


4;1; 1
u
 

.Để

0 0
.
45 45
.
AB u

ABC cos
AB u
  





1,00


0,25



0,25




www.VNMATH.com
2
2
1
16 24 3
1
3 2 0
2
2
3 2. 18 54 45

t
t t t
t t
t
t t

   

      



 

do B và C có vai trò bình đẳng nên chúng có toạ độ là ;


 


 
2;2;2 2;2;2
2;3;1 2;3;1
B C
hoac
C B
 
 
 
 

 
 


0,25

0,25
VII

1,00

viết lại phương
trình :




3 2 3 2
2 5 3 2 3 0 2 5 3 3 2 1 0
z z i z i z z z z i
            

do phương trình có nghiệm thực z nên :
3 2
2 5 3 3 0
1
2
2 1 0
z z z
z

z

   

   

 


thoả mãn cả 2 phương trình của hệ
phương trình
 
 
2
2
1
2
2 1 3 3 0
1
3 3 0
2
z
z z z i
z i
z z i
z i

 



      
 


    


 



Vậy pt có 3 nghiệm :
1
; 1 ; 2
2
z z i z i
     



0,25


0,25



0,25

0,25


www.VNMATH.com