Chuyên đề Đại số tổ hợp LTĐH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (163.78 KB, 15 trang )
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 1
1/ Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp:
Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp
!
n
P n
=
, với
*
1
n
n
≥
∈
¥
!
( )!
k
n
n
A
n k
=
−
, với
*
1
,
k n
n k
≤ ≤
∈
¥
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
, với
0
,
k n
n k
≤ ≤
∈
¥
!
k k
n n
A k C
=
! ( 1)( 2) 2.1
! ( 1)!
0! 1
n n n n
n n n
= − −
= −
=
1
1
n
A
=
!
n
n
A n
=
n
n n
P A
=
0
1
1 1
1
n
n n
n k k
n n
k k k
n n n
C C
C C
C C C
−
−
− −
= =
=
+ =
Số cách xếp
n
phần tử vào
n
vị
trí có thứ tự
Số cách chọn
k
phần tử trong
n
phần tử có thứ tự
Số cách chọn ra tập hợp con gồm
k
phần tử trong tập hợp gồm
n
phần tử không thứ tự
2/ Công thức nhị thức Newton:
* Công thức:
0 1 1 2 2 2 1 1
0
( )
n
n k n k k n n n n n n n
n n n n n n
k
a b C a b C a C a b C a b C ab C b
− − − − −
=
+ = = + + + + +
∑
* Tính chất:
- Trong khai triển
( )
n
a b
+
có
( 1)
n
+
số hạng
- Tổng số mũ của
a
và
b
trong mỗi số hạng bằng
n
- Số hạng thứ
1
k
+
trong khai triển nhị thức là:
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
CÔNG TH
ỨC NHỊ THỨC NEWTON
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 2
I/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
- Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
- Chú ý cách biến đổi dạng:
! ( 1)!
n n n
= −
,
! ( 1)( 2)!
n n n n
= − −
,…
II/ VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1: Giải các phương trình sau:
a.
4 6 5
2
x x x
C C C
+ =
b.
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x x
+ + = −
Giải
a. ĐK:
6
x
x
≥
∈
¥
PT
! ! !
2.
4!( 4)! 6!( 6)! 5!( 5)!
x x x
x x x
⇔ + =
− − −
( 1)( 2)( 3) ( 4)( 5) 2( 4)
1 0
24 30 5
x x x x x x x− − − − − −
⇔ + − =
2
7
( 4)( 5) 2( 4)
1 0 21 98 0
14
30 5
x
x x x
x x
x
=
− − −
⇔ + − = ⇔ − + = ⇔
=
Kết hợp với điều kiện, ta có:
7
x
=
hoặc
14
x
=
b. ĐK:
3
x
x
≥
∈
¥
PT
2 2
! ! !
6. 6. 9 14 3 ( 1) ( 1)( 2) 9 14
1!( 1)! 2!( 2)! 3!( 3)!
x x x
x x x x x x x x x x
x x x
⇔ + + = − ⇔ + − + − − = −
− − −
2 3 2 2 3 2 2
(3 3 ) ( 3 2 ) 9 14 9 14 0 ( 9 14) 0
x x x x x x x x x x x x x x
⇔ + − + − + = − ⇔ − + = ⇔ − + =
2
2
9 14 0
7
x
x x
x
=
⇔ − + = ⇔
=
Kết hợp với điều kiện, ta có:
7
x
=
VD 2: Giải các bất phương trình sau:
a.
3 2
5 21 0
x x
A A x
+ − ≤
b.
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
Giải
a. ĐK:
3
x
x
≥
∈
¥
BPT
! !
5. 21 0 ( 1)( 2) 5 ( 1) 21 0
( 3)! ( 2)!
x x
x x x x x x x
x x
⇔ + − ≤ ⇔ − − + − − ≤
− −
3 2 2 3 2
( 3 2 ) (5 5 ) 21 0 2 24 0 ( 6)( 4) 0
x x x x x x x x x x x x
⇔ − + + − − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤
4
x
⇔ ≤
Kết hợp với điều kiện, ta có:
3
x
=
hoặc
4
x
=
D
ẠNG 1: PHƯƠNG TR
ÌNH, H
Ệ P
HƯƠNG TR
ÌNH
VÀ B
ẤT PHƯƠNG TR
ÌNH
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 3
b. ĐK:
3
x
x
≥
∈
¥
BPT
1 (2 )! ! 6 !
. . 10 (2 1) ( 1) ( 1)( 2) 10
2 (2 2)! ( 2)! 3!( 3)!
x x x
x x x x x x
x x x x
⇔ − ≤ + ⇔ − − − ≤ − − +
− − −
2 2 2
(2 ) ( ) ( 3 2) 10 3 12 0 4
x x x x x x x x
⇔ − − − ≤ − + + ⇔ − + ≥ ⇔ ≤
Kết hợp với điều kiện, ta có:
3
x
=
hoặc
4
x
=
VD 3: Giải hệ phương trình:
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
+ =
− =
Giải
ĐK:
*
,
x y
x y
≥
∈
¥
HPT
!
20
2 5 90 2 5 90 20
( )!
!
5 2 80 10 10
10
!( )!
(1)
(2)
y y y y y
x x x x x
y y y y
x x x x
x
A C A C A
x y
x
A C C C
y x y
=
+ = + = =
−
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− = = =
=
−
Thay (1) vào (2), ta có:
20
10 ! 2 2
!
y y
y
= ⇔ = ⇔ =
Thay vào (1), ta có:
2
4
!
20 ( 1) 20 20 0
5
( 2)!
x
x
x x x x
x
x
= −
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔
=
−
Kết hợp với điều kiện, ta có:
5
x
=
,
2
y
=
I/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
- Nếu trong tổng có chứa
1
1
k
n
C
k
+
, ta khai triển
( )
n
ax b
+
rồi lấy tích phân hai vế.
- Nếu trong tổng có chứa
k
n
kC
, ta khai triển
( )
n
ax b
+
rồi lấy đạo hàm hai vế.
- Nếu trong tổng không có chứa một trong hai số hạng trên, ta khai triển
( )
n
ax b
+
rồi chọn
x
.
- Nếu trong tổng có chứa chỉ số không đầy đủ, ta đặt tổng bổ sung rồi tính tổng, hiệu.
II/ VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1: Tính giá trị của biểu thức
4 3
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
, biết rằng
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
Giải
ĐK:
*
n∈
¥
Ta có:
2 2 2 2
1 2 3 4
( 1)! 2( 2)! 2( 3)! ( 4)!
2 2 149 149
2!( 1)! 2! ! 2!( 1)! 2!( 2)!
n n n n
n n n n
C C C C
n n n n
+ + + +
+ + + +
+ + + = ⇔ + + + =
− + +
D
ẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG T
H
ỨC, TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 4
( 1) ( 4)( 3)
( 2)( 1) ( 3)( 2) 149
2 2
n n n n
n n n n
+ + +
⇔ + + + + + + + =
2 2 2 2
( ) 2( 3 2) 2( 5 6) ( 7 12) 298
n n n n n n n n⇔ + + + + + + + + + + =
2
5
6 24 270 0
9
n
n n
n
=
⇔ + − = ⇔
= −
Kết hợp với điều kiện, ta có:
5
n
=
Do đó:
4 3
6 5
3
360 3.60 3
6! 720 4
A A
M
+
+
= = =
VD 2: Chứng minh rằng:
2012
0 2 2 4 4 2012 2012
2012 2012 2012 2012
3 1
2 2 2
2
C C C C
+
+ + + + + =
Giải
Ta có:
2012 0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
(1 )
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +
Cho
2
x
=
ta được:
2012 0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
3 2 2 2 2C C C C C= + + + + +
(1)
Cho
2
x
= −
ta được:
0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
1 2 2 2 2C C C C C= − + − + +
(2)
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta có:
2012 0 2 2 4 4 2012 2012
2012 2012 2012 2012
3 1 2 2 2 2C C C C
+ = + + + + ⇒
đpcm
VD 3: Tính tổng
0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
2 3 2013S C C C C= + + + +
Giải
Ta có:
2012 0 1 2 2 3 3 2012 2012
2012 2012 2012 2012 2012
(1 )
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +
2012 0 1 2 2 3 3 4 2012 2013
2012 2012 2012 2012 2012
(1 )
x x C x C x C x C x C x
⇒ + = + + + + +
Lấy đạo hàm hai vế, ta có:
' '
2012 0 1 2 2 3 3 4 2012 2013
2012 2012 2012 2012 2012
(1 ) x x C x C x C x C x C x
+ = + + + + +
2012 2011 0 1 2 2 2012 2012
2012 2012 2012 2012
(1 ) 2012 (1 ) 2 3 2013
x x x C C x C x C x
⇒ + + + = + + + +
Cho
1
x
=
ta được:
2012 2011 0 1 2 2012
2012 2012 2012 2012
2 2012.2 2 3 2013C C C C+ = + + + +
0 1 2 2012 2011
2012 2012 2012 2012
2 3 2013 2014.2
C C C C⇒ + + + + =
Vậy:
2011
2014.2
S =
VD 4: Tính tổng
2 2 3 3 1 1
0 1 2
3 2 3 2 3 2
2 3 1
n n
n
n n n n
S C C C C
n
+ +
− − −
= + + + +
+
Giải
Ta có:
0 1 2 2 3 3
(1 )
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +
Lấy tích phân hai vế, ta được:
( )
0 1 2 2 3 3
(1 )
b b
n n n
n n n n n
a a
x dx C C x C x C x C x dx
+ = + + + + +
∫ ∫
1
0 1 2 2 3 1
(1 ) 1 1 1
1 2 3 1
b
b
n
n n
n n n n
a
a
x
C x C x C x C x
n n
+
+
+
⇒ = + + + +
+ +
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 5
Cho
3, 2
b a
= =
ta được:
2 2 3 3 1 1 1 1
0 1 2
3 2 3 2 3 2 4 3
2 3 1 1
n n n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ + + +
− − − −
+ + + + =
+ +
Vậy:
1 1
4 3
1
n n
S
n
+ +
−
=
+
VD 5: Tính tổng
0 1 2
1 1 1 1
2 3 4 2
n
n n n n
S C C C C
n
= + + + +
+
Giải
* Ta có:
0 1 2 2 3 3 0 1 2 2 3 3 4 1
(1 ) (1 )
n n n n n n
n n n n n n n n n n
x C C x C x C x C x x x C x C x C x C x C x
+
+ = + + + + + ⇒ + = + + + + +
Lấy tích phân hai vế, ta được:
( )
1 1
0 1 2 2 3 3 4 1
0 0
(1 )
n n n
n n n n n
x x dx C x C x C x C x C x dx
+
+ = + + + + +
∫ ∫
(1)
* Tính:
1
0
(1 )
n
x x dx
+
∫
Đặt
1
t x dt dx
= + ⇒ =
và
0 1
1 2
x t
x t
= =
⇒
= =
. Do đó:
2
1 2 2
2 1 1
1
0 1 1
1
.2 1
(1 ) ( 1) ( )
2 1 ( 1)( 2)
n n n
n n n n
t t n
x x dx t t dt t t dt
n n n n
+ + +
+
+
+ = − = − = − =
+ + + +
∫ ∫ ∫
Lại có:
( )
1
1
0 1 2 2 3 3 4 1 0 2 1 3 2 4 2
0
0
1 1 1 1
2 3 4 2
n n n n
n n n n n n n n n
C x C x C x C x C x dx C x C x C x C x
n
+ +
+ + + + + = + + + +
+
∫
0 1 2
1 1 1 1
2 3 4 2
n
n n n n
C C C C
n
= + + + +
+
* Vậy từ (1), ta có:
1
0 1 2
1 1 1 1 .2 1
2 3 4 2 ( 1)( 2)
n
n
n n n n
n
S C C C C
n n n
+
+
= + + + + =
+ + +
VD 6: Chứng minh rằng:
2 3 4 2
2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n n
C C C n n C n n
−
+ + + + − = −
Giải
Ta có:
0 1 2 2 3 3
(1 )
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+ = + + + + +
Lấy đạo hàm hai vế, ta được:
1 1 2 3 2 1
(1 ) 2 3
n n n
n n n n
n x C C x C x nC x
− −
+ = + + + +
Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế, ta được:
2 2 3 2
( 1)(1 ) 2.1 3.2 ( 1)
n n n
n n n
n n x C C x n n C x
− −
− + = + + + −
Cho
1
x
=
ta được:
2 3 2
2.1 3.2 ( 1) ( 1)2
n n
n n n
C C n n C n n
−
+ + + − = −
(đpcm)
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 6
I/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton
- Số hạng thứ
1
k
+
trong khai triển nhị thức
( )
n
a b
+
là:
1
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
- Sử dụng công thức:
0 0 0
( )
n n k
k k k m k m m
n n k
k k m
C a b C C a b
−
= = =
+ =
∑ ∑ ∑
- Sử dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực:
1
n
n
m
n m
n
a
a
a a
−
=
=
.
( )
a a a
a
a
a
a a
α β α β
α
α β
β
α β αβ
+
−
=
=
=
. ( )
a b ab
a a
b b
α α α
α
α
α
=
=
II/ VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1: Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển các nhị thức sau:
a.
12
1
x
x
+
với
0
x
>
b.
7
3
4
1
x
x
+
với
0
x
>
Giải
a. Ta có:
( )
12 12
12 12 12
12
12
2 2
12 12 12
0 0 0
1 1
k
k k
k
k
k k k k
k k k
x C x C x x C x
x x
−
− +
−
= = =
+ = = =
∑ ∑ ∑
Do yêu cầu của bài toán, nên ta có:
12 0 3 24 0 8
2
k
k k k
− + = ⇔ − = ⇔ =
Vậy số hạng không chứa
x
là:
8
12
12!
495
8!4!
C = =
b. Ta có:
( )
7
7 7
7 7 7
7
3 3
3 3 4
4
7 7 7
4 4
0 0 0
1 1
k
k k k
k
k
k k k
k k k
x C x C x x C x
x x
− −
−
−
−
= = =
+ = = =
∑ ∑ ∑
Do yêu cầu của bài toán, nên ta có:
7
0 7 28 0 4
3 4
k k
k k
−
− = ⇔ − + = ⇔ =
Vậy số hạng không chứa
x
là:
4
7
7!
35
3!4!
C
= =
VD 2: Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển nhị thức
2
(2 3 )
n
x
−
, trong đó
n
là số nguyên dương thỏa mãn
đẳng thức:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =
Giải
Ta có:
2 1 0 1 1 2 3 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(1 )
n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+ + +
+ + + + +
+ = + + + + +
Cho
1
x
=
ta có:
0 1 1 3 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2
n n
n n n n n
C C C C C
+ +
+ + + + +
+ + + + + =
(1)
Cho
1
x
= −
ta có:
0 1 1 3 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
0
n
n n n n n
C C C C C
+
+ + + + +
− + − + − =
(2)
D
ẠNG 3: T
ÌM H
Ệ SỐ CỦA
X
k
TRONG KHAI TRI
ỂN NHỊ THỨC NEWTON
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 7
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được:
1 3 5 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 2
n n
n n n n
C C C C
+ +
+ + + +
+ + + + =
1 3 5 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2
n n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
⇒ + + + + =
Do đó:
2
2 1024 2 10 5
n
n n
= ⇔ = ⇔ =
Vì vậy:
10 10
10 10 10
10 10
0 0
(2 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3)
k k k k k k k
k k
x C x C x
− −
= =
− = − = −
∑ ∑
Theo yêu cầu của bài toán, ta có:
7
k
=
Hệ số của
7
x
trong khai triển
10
(2 3 )
x
−
là:
7 10 7 7 3 7
10
10!
2 ( 3) .2 .3 2099520
7!3!
C
−
− = − = −
VD 3: Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
9
2
1 (2 )
P x x
= + −
Giải
Ta có:
9
9 9
2 3 3
9
0
1 (2 ) 1 (2 ) (2 )
k k
k
P x x x x C x x
=
= + − = + − = −
∑
9 9
3 2
9 9
0 0 0 0
(2 ) ( ) ( 1) 2
k k
k m k m m k m m k m k m
k k
k m k m
C C x x C C x
− − +
= = = =
= − = −
∑ ∑ ∑ ∑
Theo yêu cầu của bài toán, ta có:
2 5
k m
+ =
, trong đó:
0 9,0
k m k
≤ ≤ ≤ ≤
. Do đó:
0, 5
1, 3
m k
m k
= =
= =
Vậy hệ số của
5
x
là:
5 0 0 5 3 1 1 2
9 5 9 3
( 1) 2 ( 1) 2 4032 1008 3024
C C C C− + − = − =
VD 4: Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển của biểu thức:
2 7 3 12
(1 2 ) (2 1)
P x x x x= − − +
Giải
Ta có:
7 12 7 12
2 3 12 2 12 3(12 ) 1
7 12 7 12
0 0 0 0
( 2 ) (2 ) ( 2) 2
k k m m k k k m m m
k m k m
P x C x x C x C x C x
− + − − +
= = = =
= − − = − −
∑ ∑ ∑ ∑
Theo yêu cầu của bài toán, ta có:
2 7 5
3(12 ) 1 7 10
k k
m m
+ = =
⇔
− + = =
Vậy, hệ số của
7
x
là:
5 5 10 2
7 12
( 2) 2 408
C C− − = −
VD 5: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
2 5 7
( 1) (2 )
P x x
= − +
Giải
Ta có:
5 7
2 5 7 10 2 7
5 7
0 0
( 1) (2 ) ( 1) . 2
k k k m m m
k m
P x x C x C x
− −
= =
= − + = −
∑ ∑
Theo bài ra:
(10 2 ) 8 2 2
k m k m
− + = ⇔ − =
, trong đó:
0 5,0 7
k m
≤ ≤ ≤ ≤
. Do đó:
1, 0
2, 2
3, 4
4, 6
k m
k m
k m
k m
= =
= =
= =
= =
Vậy, hệ số của
8
x
là:
1 1 0 7 2 2 2 5 3 3 4 3 4 4 6 1
5 7 5 7 5 7 5 7
( 1) . 2 ( 1) . 2 ( 1) . 2 ( 1) . 2 3350
C C C C C C C C− + − + − + − =
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 8
I/ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Dạng toán:
Trong một khai triển thành đa thức
2
0 1 2
( )
n
n
P x a a x a x a x
= + + + +
. Hãy tìm hệ số lớn nhất trong
các hệ số
0 1 2
, , , ,
n
a a a a
.
Cách giải:
- Xét bất phương trình:
1
0
k k
a a
+
− <
và nghiệm của bpt này thường có dạng
0
k k
<
. Do
k
∈
¥
nên
0
0,1,2, ,
k k
=
.
- Từ đó suy ra:
1 0
k k
a a k k
+
≥ ⇔ ≥
. Đến đây, xảy ra hai khả năng:
+ Nếu
1 0
k k
a a k k
+
= ⇔ =
.
Khi đó, ta có:
0 0 0
0 1 2 1 2
k k k n
a a a a a a a
+ +
< < < < = > > >
.
Lúc này có hai hệ số lớn nhất là:
0
k
a
và
0
1
k
a
+
+ Nếu
1
k k
a a
+
=
vô nghiệm.
Khi đó, ta có:
0 0 0
0 1 2 1 2
k k k n
a a a a a a a
+ +
< < < < < > > >
.
Lúc này có duy nhất một hệ số lớn nhất là:
0
1
k
a
+
II/ VÍ DỤ MINH HỌA
VD 1: Xét khai triển:
9 2 9
0 1 2 9
(3 2)
x a a x a x a x
+ = + + + +
. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số
0 1 2 9
, , , ,
a a a a
Giải
Ta có:
9 9
9 9 9
9 9
0 0
(2 3 ) 2 (3 ) 2 3
k k k k k k k
k k
x C x C x
− −
= =
+ = = ⇒
∑ ∑
9
9
2 3
k k k
k
a C
−
=
, trong đó:
0,1,2, ,9
k
=
Xét bất phương trình:
9 1 8 1
1 9 9
9! 9!
2 3 2 3 2. 3.
!(9 )! ( 1)!(8 )!
k k k k k k
k k
a a C C
k k k k
− + − +
+
< ⇔ < ⇔ <
− + −
2 3
2( 1) 3(9 ) 5 0,1,2,3,4
9 1
k k k k
k k
⇔ < ⇔ + < − ⇔ < ⇔ =
− +
Do đó:
1
5
k k
a a k
+
= ⇔ =
1
6,7,8,9
k k
a a k
+
> ⇔ =
Vì vậy:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a a a a a a a a a a
< < < < < = > > >
Vậy, hệ số lớn nhất là:
5 4 5
5 6 9
2 3 489888
k
a a a C= = = =
VD 2: Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển
30
(1 2 )
x
+
Giải
Ta có:
30
30 30
30 0 1 2 30 30
0
(1 2 ) 2 2
k k k k k
k
k
x C x a a x a x a x a C
=
+ = = + + + + ⇒ =
∑
, trong đó
0,1,2, ,30
k
=
D
ẠNG 4: T
ÌM H
Ệ SỐ LỚN NHẤT TRONG MỘT
k
HAI TRI
ỂN NHỊ THỨC
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 9
Ta có:
1 1
1 30 30
30! 30!
2 2 2.
!(30 )! ( 1)!(29 )!
k k k k
k k
a a C C
k k k k
+ +
+
< ⇔ < ⇔ <
− + −
1 2 59
0,1,2, ,19
30 1 3
k k
k k
⇔ < ⇔ < ⇔ =
− +
Từ đó, suy ra:
1
20,21, ,30
k k
a a k
+
> ⇔ =
Do đó:
0 1 19 20 21 30
a a a a a a
< < < < > > >
Vậy, hệ số lớn nhất trong khai triển là:
20 20
20 30
2
a C
=
VD 1: Cho
0 1
(1 )
n n
n
x a a x a x
+ = + + +
. Tìm
k
và
n
, biết rằng
1 1
36 8 3
k k k
a a a
− +
= =
Giải
Ta có:
0 1
0
(1 )
n
n k k n
n n
k
x C x a a x a x
=
+ = = + + +
∑
. Do vậy:
k
k n
a C
=
Do đó:
1
1 1
1 1
1
36 8
36 8 3 36 8 3
8 3
k k
n n
k k k
k k k n n n
k k
n n
C C
a a a C C C
C C
−
− +
− +
+
=
= = ⇔ = = ⇔
=
(1)
ĐK:
*
,
1
n k
n k
∈
≥ +
¥
Khi đó:
! !
9 2
36. 8.
11 2 2 2
( 1)!( 1)! ( )! !
1
(1)
! ! 8 3 11 3 8 10
8. 3.
( )! ! ( 1)!( 1)! 1
n n
k n kk n k n k k
n k k
n n k n n
n k k k n k n k k
=
=
− = =
− − + −
− +
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
− = − =
= =
− + − − − +
VD 2: Tìm các số hạng nguyên trong khai triển
(
)
9
3
3 2
+
Giải
Ta có:
( )
9
11 9
9
9
3
3 3
2 2
9
0
3 2 3 2 3 2
k
k
k
k
C
−
=
+ = + =
∑
Theo bài ra, ta có:
9
3
2
9
3 2
k
k
k
C
−
là số nguyên
3
3
9 2
9
0 9
k
k
k
k
k
=
⇔ − ⇔
=
≤ ≤
M
M
Vậy trong khai triển trên có hai số hạng nguyên là:
3 3 1
9
3 2 4536
C =
và
9 0 3
9
3 2 8
C
=
VD 3: Tìm số nguyên dương bé nhất
n
sao cho trong khai triển
(1 2 )
n
x
+
có hai hệ số liên tiếp có tỉ số
bằng
3
7
.
Giải
Ta có:
0
(1 2 ) 2
n
n k k k
n
k
x C x
=
+ = ⇒
∑
Hệ số của hai số hạng liên tiếp là:
2
k k
k n
a C
=
và
1 1
1
2
k k
k n
a C
+ +
+
=
D
ẠNG 5: T
ÌM H
Ệ SỐ VÀ CÁC SỐ HẠNG THỎA M
ÃN
ĐI
ỀU KIỆN NÀO ĐÓ
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 10
Ta có:
1 1
1
2
1 3 1
6 13 7 2 1
2 2( ) 7 6
k k
k n
k k
k n
a C
k k
n k n k
a C n k
+ +
+
+ +
= = = ⇔ = + ⇔ = + +
−
Vì
,n k
∈
¥
, do đó
n
bé nhất
5
1 6
nhoû nhaátk
k
k
⇔ ⇔ =
+
M
. Khi đó:
12
n
=
Vậy:
12
n
=
Bài 1: Chứng minh rằng:
a.
1 1
( 1)
n n n
P P n P
− −
− = −
b.
1 2 3 1
1 2 3 ( 1)
n n
P P P n P P
−
+ + + + + − =
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
n
ta đều có:
1
!
2
n
n
n
+
≤
Bài 3: Chứng minh rằng với mọi
,n k
∈
¥
và
2
k n
≤ <
ta đều có:
a.
1
1 1
k k k
n n n
A A kA
−
− −
= +
b.
2 1 2
n n n
n k n k n k
A A k A
+ +
+ + +
+ =
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi
n
∈
¥
và
2
n
≥
ta đều có:
2 2 2 2
2 3 4
1 1 1 1 1
n
n
A A A A n
−
+ + + + =
Bài 5: Cho
,n k
∈
¥
và
2
k n
≤ ≤
. Chứng minh rằng:
2
2
( 1) ( 1)
k k
n n
k k C n n C
−
−
− = −
Bài 6: Cho
,n k
∈
¥
và
4
k n
≤ ≤
. Chứng minh rằng:
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
Bài 7: Cho
k
∈
¥
và
0 2008
k
≤ ≤
. Chứng minh rằng:
1 1004 1005
2009 2009 2009 2009
k k
C C C C
+
+ ≤ +
Bài 8: Cho
,n k
∈
¥
và
0
k n
≤ ≤
. Chứng minh rằng:
2
2 2 2
( )
n n n
n k n k n
C C C
+ −
≤
Bài 9: Cho
,m n
∈
¥
và
0
m n
< <
. Chứng minh rằng:
a.
1
1
m m
n n
mC nC
−
−
=
b.
1 1 1 1
1 2 1
m m m m m
n n n m m
C C C C C
− − − −
− − −
= + + + +
Bài 10: Cho
*
,n k ∈
¥
và
k n
≤
. Chứng minh rằng:
1
1 1
1 1 1 1
2
k k k
n n n
n
n C C C
+
+ +
+
+ =
+
Bài 11: Chứng minh rằng:
0 2007 1 2006 2007 2007 0 2008
2008 2008 2008 2007 2008 2008 2008 1
1024.2
k k
k
C C C C C C C C
−
−
+ + + + + =
Bài 12: Cho
n
là số nguyên dương, chứng ming rằng:
2 3
1
1 2 1
( 1)
2. 3. .
2
n
n n n
n
n
n n n
C C C
n n
C n
C C C
−
+
+ + + + =
Bài 13: Cho
n
là số nguyên dương, chứng ming rằng:
0 1 2
1 2 3 1
2 3 4 2 2
1
2
n
n n n n
n
n n n n
C C C C
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =
Bài 14: Chứng minh rằng:
a.
0 1 1 5 5
5 5 5 5
k k k k
n n n n
C C C C C C C
− −
+
+ + + =
, với
5
k n
≤ ≤
b.
0 2 1 2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n n n
C C C C C
= + + + +
BÀI T
ẬP VẬN DỤNG
–
NH
Ị THỨC NEWT
ON
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 11
Bài 15: Tính tổng:
2 2 2 2
0 1 2
1 2 3 1
n
n n n n
C C C C
S
n
= + + + +
+
Bài 16: Chứng minh rằng:
1 2 2009 1 2 2008
2009 2009 2009 2008 2008 2008
1 1 1 1005 1 1 1
2009C C C C C C
+ + + = + + +
Bài 17: Giải các phương trình sau:
a.
3 1
5
n n
C C
=
b.
2 1
14 14 14
2
n n n
C C C
+ +
+ =
c.
2 2
1 2
3 4
n n
C nP A
+
+ =
d.
2 2 3 1 2
1 2
4 ( )
n n n
C A n A
+
− − =
e.
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
− −
=
+
f.
2 2
72 6( 2 )
x x x x
P A A P
+ = +
g.
4 5 6
1 1 1
x x x
C C C
− =
h.
1 2 3 2
6 6 9 14
x x x
C C C x
+ + = −
Bài 18: Giải hệ phương trình:
a.
2 3
3 2
22
66
x y
y x
A C
A C
+ =
+ =
b.
4 3 2
1 1 2
4 3
1 1
5
4
7
15
n n n
n
n n
C C A
C A
− − −
−
+ +
− <
≥
c.
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
+ =
− =
d.
2 1
1
5 3
y y
x x
y y
x x
C C
C C
− −
−
=
=
Bài 19: Giải bất phương trình:
a.
4
2 1
15
n
n n n
P
P P P
+
+ −
<
b.
3 2
5 21
x x
A A x
+ ≤
c.
3
1
4
1 3
1
14
n
n
n
C
A P
−
−
+
<
d.
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
Bài 20: Tính giá trị của biểu thức
4 3
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
, biết rằng:
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
Bài 21: Tìm số nguyên dương
1
n
>
thỏa mãn:
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A
+ − =
Bài 22: Tìm số
{
}
1;2;3; ;2005
k ∈
sao cho
2005
k
C
đạt giá trị lớn nhất.
Bài 23: Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển thành đa thức của:
5 2 10
(1 2 ) (1 3 )
x x x x
− + +
Bài 24: Tìm số hạng độc lập với
x
trong khai triển:
18
4
2
x
x
+
Bài 25: Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển thành đa thức của:
4 5 6 7
(2 1) (2 1) (2 1) (2 1)
x x x x
+ + + + + + +
Bài 26: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển
5
3
1
n
x
x
+
, biết rằng:
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
Bài 27: Tìm số hạng hữu tỷ trong khai triển nhị thức:
(
)
7
3
16 3
+
Bài 28: Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỷ:
(
)
124
4
3 5
−
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 12
Bài 29: Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển:
7
3
4
1
x
x
+
, với
0
x
>
Bài 30: Trong khai triển
28
3
15
n
x x x
−
+
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào
x
, biết rằng:
1 2
79
n n n
n n n
C C C
− −
+ + =
Bài 31: Biết rằng tổng các hệ số trong khai triển
2
( 1)
n
x
+
bằng 1024. Hãy tìm hệ số của
12
x
trong khai
triển đó.
Bài 32: Tìm số nguyên dương
5
n
>
, biết rằng trong khai triển
1
2
n
x
+
thành đa thức đối với biến
x
thì hệ số của
6
x
bằng bốn lần hệ số của
4
x
.
Bài 33: Cho:
1
1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
−
−
− − − −
− − − −
−
+ = + + + +
Biết rằng
3 1
5
n n
C C
=
và số hạng thứ tư bằng
20
n
. Tìm
n
và
x
.
Bài 34: Cho
10
9 10
0 1 9 10
1 2
3 3
x a a x a x a x
+ = + + + +
. Tìm số hạng
k
a
lớn nhất.
Bài 35: Cho
0 1
(1 2 )
n n
n
x a a x a x
+ = + + +
, trong đó
8
n∈
¥
và các hệ số
0 1
, , ,
n
a a a
thỏa mãn đẳng
thức:
1 2
0
2
4096
2 2 2
n
n
aa a
a + + + + =
. Tìm số lớn nhất trong các số
0 1
, , ,
n
a a a
.
Bài 36: Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức
18
5
1
2x
x
+
, với
0
x
>
Bài 37: Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức Newton của
7
4
1
n
x
x
+
, biết rằng:
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −
Bài 38: Tìm số hạng chứa
10
x
trong khai triển nhị thức Newton của
(2 )
n
x
+
, biết rằng:
0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ( 1) 2048
n n n n n n
n n n n n
C C C C C
− − −
− + − + + − =
Bài 39: Tìm hệ số của số hạng chứa
7
x
trong khai triển thành đa thức của
2
(2 3 )
n
x
−
, biết rằng:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =
Bài 40: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
2
( 2)
n
x +
, biết rằng:
3 2 1
8 49
n n n
A C C
− + =
Bài 41: Tìm hệ số của
2
x
trong khai triển thành đa thức của
5 4
(2 3 ) (1 )
x x
− +
Bài 42: Tìm hệ số của
3
x
trong khai triển thành đa thức của
6 12
( 3) (1 )
x x
+ +
Bài 43: Gọi
3 3
n
a
−
là hệ số của
3 3
n
x
−
trong khai triển thành đa thức của
2
( 1) ( 2)
n n
x x+ +
. Tìm số
nguyên dương
n
sao cho
3 3
26
n
a n
−
=
.
Bài 44: Tìm hạng tử chứa
20
x
trong khai triển thành đa thức của
3 4 10
(1 )
x x x
+ + +
Bài 45: Tìm hệ số của
2
x
trong khai triển thành đa thức của
2 6
( 1)
P x x
= + −
Bài 46: Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển thành đa thức của
2 10
(1 3 )
P x x
= + +
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 13
Bài 47: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
(
)
8
2
1 (1 )
x x
+ −
Bài 48: Tìm hạng tử không chứa
x
trong khai triển
6
1
x
x
+ +
Bài 49: Tìm số nguyên dương
n
thỏa mãn đẳng thức
1 3 2 1
2 2 2
2048
n
n n n
C C C
−
+ + + =
Bài 50: Chứng minh rằng:
16 0 15 1 14 2 16 16
16 16 16 16
3 3 3 2
C C C C
− + − + =
Bài 51: Chứng minh rằng:
a.
0 1 1 2 2
2 2 2 3
n n n n n
n n n n
C C C C
− −
+ + + + =
b.
0 1 1 2 2
3 3 3 ( 1) 2
n n n n n n
n n n n
C C C C
− −
− + + + − =
Bài 52: Tính các tổng sau đây:
a.
0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2
3 3 3
n n
n n n n
S C C C C
= + + + + +
b.
0 2 2 4 3 6 2
2 2 2 2 2
3 3 3 ( 3)
n n
n n n n n
C C C C C
− + − + + −
Bài 53: Tìm số nguyên dương
n
sao cho:
0 1 2
2 4 2 243
n n
n n n n
C C C C+ + + + =
Bài 54: Chứng minh rằng:
a.
1 2 3 1
2 3 .2
n n
n n n n
C C C nC n
−
+ + + + =
b.
1 2 3 1
2 3 ( 1) 0
n n
n n n n
C C C nC
−
− + − + − =
c.
1 1 2 2 3 1 1
2 2.2 3.2 ( 1)
n n n n n
n n n n
C C C nC n
− − − −
− + − + − =
d.
2 3 4 2
2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n n
C C C n n C n n
−
+ + + + − = −
Bài 55: Cho
100 2 100
0 1 2 100
( 2)
x a a x a x a x
− = + + + +
. Tính:
a.
97
a
b.
0 1 100
S a a a
= + + +
c.
1 2 3 100
2 3 100
M a a a a
= + + + +
Bài 56: Chứng minh rằng, với
n
∈
¥
và
2
n
>
ta có:
( )
1 2 3
1
2 3 !
n
n n n n
C C C nC n
n
+ + + + <
Bài 57: Chứng minh rằng:
a.
2 3 2
1.2 2.3 ( 1) ( 1)2
n n
n n n
C C n nC n n
−
+ + + − = −
b.
2 3 2
1.2 2.3 ( 1) ( 1) 0
n n
n n n
C C n nC
−
− + + − − =
c.
1 2 2 3 4 4 2
2 3.2 3.4.2 ( 1) ( 1)3
n n n n n
n n n n
C C C n nC n n
− − − −
+ + + + − = −
d.
1 2 2 3 4 4 2
2 3.2 3.4.2 ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n n
n n n n
C C C n nC n n
− − − −
− + − + − − = −
Bài 58: Chứng minh rằng:
a.
0 1 1
3 4 ( 3) 2 (6 )
n n
n n n
C C n C n
−
+ + + + = +
b.
0 1
3 4 ( 1) ( 3) 0
n n
n n n
C C n C
− + + − + =
Bài 59: Tìm số nguyên dương
n
sao cho:
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2005
n n
n n n n n
C C C C n C
+
+ + + + +
− + − + + + =
Bài 60: Áp dụng khai triển nhị thức Newton của
2 100
( )
x x
+
, chứng minh rằng:
99 100 199
0 1 100
100 100 100
1 1 1
100 101 200 0
2 2 2
C C C
− + + =
Bài 61: Cho
n
∈
¥
và
2
n
≥
.
a. Tính tích phân:
1
2 3
0
(1 )
n
I x x dx
= +
∫
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 14
b. Chứng minh rằng:
1
0 1 2
1 1 1 1 2 1
3 6 9 3( 1) 3( 1)
n
n
n n n n
C C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
Bài 62: Tính tổng:
a.
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n
+
− − −
= + + + +
+
b.
1 2 3 4 1
2 3 4 ( 1)
n n
n n n n n
S C C C C nC
−
= − + − + + −
Bài 63: Chứng minh rằng:
a.
0 2 1 3 2 1
1 1 ( 1) 1 ( 1)
2 .2 .2 .2
2 3 1 1
n n
n n
n n n n
C C C C
n n
+
− + −
− + − + =
+ +
b.
0 1 1
1 1 ( 1)
( 1) ( 1)
2 1 1
n
n n n
n n n
C C C
n n
+
−
− + − + + =
+ +
c.
0 1 2
1 1 1 1
( 1)
2 3 1 1
n n
n n n n
C C C C
n n
− + − + − =
+ +
Bài 64: a. Tính tích phân:
1
19
0
(1 )
I x x dx
= −
∫
b. Tính tổng:
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19
1 1 1 1 1
2 3 4 20 21
S C C C C C
= − + − + −
Bài 65: a. Tính tích phân:
1
2
0
(1 )
n
I x x dx
= −
∫
b. Tính tổng:
0 1 2
1 1 1 ( 1) 1
2 4 6 2 2 2( 1)
n
n
n n n n
S C C C C
n n
−
= − + − + =
+ +
Bài 66: Chứng minh rằng:
a.
1 2
0 1 2
1 1 1 1 2 ( 2) 2
3 4 5 3 ( 1)( 2)( 3)
n
n
n n n n
n n
C C C C
n n n n
+
+ + −
+ + + + =
+ + + +
b.
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
−
+ + + + =
+
Bài 67: Trong khai triển đa thức:
2 2 1
2 2 1 1 0
(2 1) ( 2)
n n n n
n n
x x a x a x a x a
−
−
+ + = + + + +
. Tìm số nguyên
dương
n
, biết rằng:
2 1
160
n
a
−
=
.
Bài 68: Trong khai triển đa thức:
2 3
0 1
1 2(1 ) 3(1 ) (1 )
n n
n
x x x n x a a x a x
− + − + − + + − = + + +
. Tính
hệ số
8
a
, biết rằng
*
n∈
¥
và thỏa mãn:
2 3
1 7 1
n n
C C n
+ =
Bài 69: Tìm số nguyên dương
n
thỏa mãn:
1 2 2 3 3
3 2.3 3.3 ( 1) . 33792
n n
n n n n
C C C n C− + − + − =
Bài 70: Tính tổng:
1
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1
1 1 ( 1)
3 9 3
n
n
n n n n
n
S C C C C
−
−
−
−
= − + − +
Bài 71: Trong khai triển đa thức:
2 3 4 12
0 1 12
(1 )
x x x a a x a x
− + − = + + +
. Tính hệ số
7
a
.
Bài 72: Tìm hệ số của
10
x
trong khai triển thành đa thức của:
10
3
1
1 x
x
+ +
, với
0
x
≠
.
Đỗ minh tuấn – thpt mường bi ôn thi đại học
Trang 15
Bài 73: Tìm
*
n N
∈
và
x
∈
¡
biết rằng:
1 3 2
2
n n n
C C C
+ =
và số hạng thứ tư trong khai triển thành đa
thức của
1
3
1
2
2
n
x
x
−
+
bằng
2010
n
.
Bài 74: Tính các tổng sau:
a.
2 3 2012
0 1 2 3 2012
2012 2012 2012 2012 2012
1 2 2 2 2
1.2 2.3 3.4 4.5 2013.2014
S C C C C C= − + − + +
b.
2 3 2012
0 1 2 3 2012
2012 2012 2012 2012 2012
2 2 2
3 4 2013
S C C C C C= − + − + +
Bài 75: Tính tổng:
2 2 2
0 1
1 2 1
n
n n n
C C C
S
n
= + + +
+
Bài 76: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của:
12
4
1
1 x
x
− −
Bài 77: Tìm
*
n N
∈
và
x
∈
¡
biết rằng tổng của số hạng thứ ba và thứ năm bằng 135, còn tổng của ba
hệ số của ba số hạng cuối bằng 22 trong khai triển thành đa thức của
1
2
2 2
n
x
x
−
+
Bài 78: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
2
( 2)
n
x −
, biết rằng
3 1 2
8 49
n n n
A C C
+ = +
Bài 79: Tìm hệ số của
6
x
trong khai triển
2
( 1)
n
x x
− −
, biết rằng:
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −
Bài 80: Tìm hệ số của
11
x
trong khai triển
2 2
( 2) (3 1)
n n
x x
+ +
, biết:
2 2 1 2 0
2 2 2
3 3 1024
n n n
n n n
C C C
−
− + + =
