Khóa luận tốt nghiệp toán học :RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC



NGUYỄN THỊ HỒNG QUYÊN



RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN





KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC






SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ HỒNG QUYÊN



RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC
CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH
TRONG KHÔNG GIAN



Chuyên ngành: Lí luận và PPDH môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Hoàng Thị Thanh




SƠN LA, NĂM 2014
LỜI CẢM ƠN

             
- Lý - Tin, 
  -
Thạc sỹ Hoàng Thị Thanh         
 






 xin  




 
Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Quyên


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1
1 1
 2
 2
 2
 2
 2
 2
 2
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN3
 3
1.1.1. Khái  3

 3
 3
 4
1.2. Dy hc gii bài tp toán 4
1.2.1. My hc toán 4
1.2.1.1. Nh nh my hc môn Toán. 4
1.2.2. V trí và cha bài tp toán hc 8
1.2.3. i vi li gii bài toán 9
1.2.4. Dy h gii bài toán 10
1.2.3.1. Tìm hi toán. 10
1.2.3.2. Tìm tòi li gii bài toán 11
1.2.3.3. Trình bày li gii ca bài toán 11
1.2.3.4. Nhìn li bài toán 11
1.3 13
 13
1.3.2. Mt s dng bài toán v tính khong cách trong không gian trong 
trình toán THPT 13
1.4. Thc trng vic dy hc ni dung tính khong cách trong không gian 144
CHƢƠNG 2. RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN THÔNG QUA MỘT SỐ
BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 15
2.1.  không gian trong
 15
 15
 15

 18
 18
  không
 19
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 40

 40
 40
 40
KẾT LUẬN CHUNG 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO








1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
 
.  
i
.
T 

.
ch trong không gian 
  
không gian nói chung, ói riêng có vai trò
 inh.
           


                
, 


 , cách

rong không gian 
 m , rèn lu
, tính toán, toán  và 
, chính xác góp
 .
iáo viên
THPT  “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh phổ thông
thông qua việc giải một số bài toán về tính khoảng cách trong không gian”
  làm chuyên




2
2. Mục đích nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Rèn  cách trong không
 
an.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
-   có li: ,

- 
THPT.

- 
 
-  .
3. Đối tƣợng nghiên cứu

4. Phạm vi nghiên cứu

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- 
- - ;
- 
6. Cấu trúc của đề tài
i 
:
Chƣơng 1. .
Chƣơng 2.  
 .
Chƣơng 3. .

3
CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Kỹ năng
1.1.1. Khái niệm
, 
.
1.1.2. Kỹ năng giải toán
    

   phân tích bài toán, 

            
lô
* Mức độ của kỹ năng
 :
- 
- 

- 

- : Gi 

- 


1.1.3. Sự hình thành kỹ năng giải toán
- 



t thao tác 
 (trình ).

4
- 
 bài
 
- 
 
 (ao).
 

- ;
- 
ài t
1.1.4. Con đƣờng hình thành kỹ năng giải toán
-  ).

+ 



+  
 phát
.
+ Lu 

  nhau. Ngoài
,

+ cho
   
1.2. Dạy học giải bài tập toán
1.2.1. Mục đích dạy học toán
1.2.1.1. Những căn cứ xác định mục đích dạy học môn Toán
Vinh my hc môn Toán phi xut phát t mc tiêu
giáo dc ta, t m và v trí môn Toán.
* Mục tiêu giáo dục
Nói mt cách tng quát, mo cng ph thông Vit Nam

5
là hình thành nh u và trng yu ci mi phát trin

toàn din phù hp vi yêu cu kin, hoàn cnh ct c Vit Nam.
Lut giáo dnh: Mc tiêu giáo di
Vit Nam phát trin toàn dinc, tri thc, sc khe, thm m và ngh
nghip, trung thành vc lp dân tc và ch i, hình thành
và bi ng nhân cách, phm chc ca công dânng yêu cu
xây dng và bo v T qu (Lut giáo du 2).
c tiêu ca giáo dc ph thông là giúp hc sinh phát trin toàn din v
 c,  tu, th cht, thm m và các k n nhm hình thành
i Vit Nam xã hi ch , xây d
nhim công dân, chun b cho hc sinh tip tc hc lên hoc sng
ng, tham gia xây dng và bo v T quc(Lut giáo dc
mc 2 u 23).
i môn hc khác, xut phát t m v trí ca
mình, phi hp cùng vi các môn hc khác và các hong khác nhau trong
ng, góp phn thc hin mc tiêu nêu trên.
* Đặc điểm môn Toán
V m môn Toán: Th nh, phi tính ti tính tr và
tính thc tin ph dng.
Tính trng ca Toán hc và cc quy
a Toán hc th hin  
:
- Toán hc là khoa hc nghiên cu v các quan h s ng, hình dng và
logic trong th gii khách quan.
K t khi có hình hc gii tích, r cho gn, có th gói c
ba quan h quan h s Bi vy, có th nói Toán hc là
khoa hc nghiên cu v các quan h s ng ca th gii khách quan.
- Toán hc là khoa hc nghiên cu v cu trúc s ng mi ta có th
trang b cho mt tp hp bng mt h  (Nguyn Cnh Toàn 2001. tr.707).
y, nhng quan h s c hiu theo mt ngha rt tng quát
và rt trng. Chúng có th din t c quan h logic và quan h hình dng

không ch trong không gian thc t ba chiu mà còn c nhng không gian tru
ng khác n chiu là n hoc vô hn, không gian mà
phn t là nhng hàm liên tQuan h s ng không ch bó hp trong

6
phm vi các tp hp s c hing phép toán và nhng tính
cht ca chúng trên nhng tp hp có các phn t là nhng loi tùy ý
n, tp hp, m, phép bi
t trng không phi ch có trong Toán hc mà là
m ca mi khoa hcc, cái trng tách ra khi
mi cht liu cng, ch gi li nhng quan h s i dng cu
trúc mà thôi. Nhy, Toán hc có tính cht tr.
S trng hóa trong Toán hc din ra trên nhng bình din khác nhau.
Có nhng khái nim Toán hc là kt qu ca s trng hóa nhng
vt cht c th  khái nim s t nhiên, hình bình hành 
nhiu khái nim là kt qu ca s tng hóa nhng cái trt
, chng h: khái nim nhóm, vànhng, không gian v

Tính tr ch che lp ch không h làm mt tính thc tin ca
Toán hc. Toán hc có ngun gc thc tin  hi do nhu cu s
m, hình hc phát sinh do s cn thit pht bên b sông Nin (Ai
Cp) sau nhng trn l , n ngun gc thc tin ca
Toán hn nhn mnh c ngun gc thc tin ca chính các quy lut
ca logic hình thc s dng trong Toá hc.
Tính tr ca Toán hc có tính thc tin ph dng, có th
ng dc trong nhic rt khác nhau ci sng thc t. Ví d:
nhng tri thc v  l thun biu th bi công thc
y xa
có th
c ng dng vào hình hcn hc, hóa hcvì mn

ánh nhng mi liên h , chng hn:
- Din tích S ca mt tam giác vi mt cnh a c t l thun vi
ng cao h ng vi c: S =
1
2
ah.
- ng c trong mt chuyu vi vn tc
(v) t l thun vi th (t):

S vt

 y nhng kt qu v nhóm có th ng dng cho nhng
ng có bn cht rt khác nhau: s, véc, ma trn, phép di hình, 
Do tính tr mà toán hc có tính thc tin ph dng, có th
ng dng vào rt nhiu ngành khoa hc: Vt lý hc, Hóa hc, Ngôn ng hc,

7
ca lý, Sinh hc,Tâm lý hc và tr thành mt công c có hiu
lc c.
Th hai, cn phi nhn mnh tính logic và tính thc nghim ca Toán hc.
Khi xây dng Toán hci ta dùng suy din ligic, c th 
, xut phát t các khái nim nguyên thy
(tng nguyên thy và quan h nguyên thy)  ri dùng
các quy t m khác và chng minh các mnh
 khác.
Khi trình ng ph thôngm la tui
và yêu cu ca tng bc hc, cp hcmi ta có
phcng v tính logic: mô t ) mt s
khái nim không phi là nguyên thy, tha nhn (không chng minh) mt s
m không ph hoc chp nhn mt s cht

ch. Tuy nhiên, nhìn chung giáo trình toán ph n mang tính logic,
h thng: tri thc chun b cho tri thc sau, tri thc sau da vào tri thc
c, t c ng mt xích liên kt vi nhau mt cách cht ch.
Cn chú ý rng Toán hc có th n. Nu ch trình
bày li nhng kt qu Toán hc thì nó là mt khoa hc suy din và
tính lôgic ni bu nhìn Toán hc trong quá trình hình thành và
phát tria nó
vn có tìm tòi d n có thc nghim và quy ny s thng nht
gin là mm cc. Phi chú ý c
  i có th ng dn hc sinh hc Toán, mi khai thác
 ti thc hin mc toàn din.
* Vị trí môn Toán
ng ph thông, môn Toán gi mt v trí ht sc quan trng
vi nhng lý do s 
Th nht, môn Toán là môn hc công c. Do tính tr, Toán
hc có tính thc tin ph dng. Nhng tri thc và k c cùng vi
c trong Toán hc tr thành công c  hc tp nhng môn
hng, là công c ca nhiu nghành khoa hc khác nhau, là
công c  hoi sng thc t. Vì vy, Toán hc là mt thành
phn không th thii vi   thông ca ci mi.
Cùng vi tri thng còn rèn luyn cho hc sinh nhng
k tính toán, v hình, c và v bi, ng,
s dng nhng dng c Toán hn t Môn Toán còn giúp hc

8
sinh hình thành và phát trin nht
: toán hc hóa tình hung thc t, thc hin và xây dng thut gii,
phát hin và gii quyt vhng k t cng
trong thi mi.
Xut phát t mc tiêu giáo dc Vit Nam, t m và v trí môn Toán,

vic dy hc môn này có các m
- Truyn th tri thcc và n dng Toán hc vào
thc tin;
- Phát tric trí tu chung;
- Giáo dng chính tr, phm chc và thm m;
- B m ch ng ph cp ng thi phát hin và b  
khiu v toán.
1.2.2. Vị trí và chức năng của bài tập toán học
 ng ph thông, dy toán là dy hong toán hc, i vi hc sinh
có th xem vic gii toán là mt hình thc ch yu ca hong toán hc. Các
bài toán  ng ph thông là mn rt có hiu qu và không th
thay th c trong vic giúp hc sinh nm vng tri thc, phát tri
thành , o ng dng toán hc vào thc tin. Hong gii bài tp
toán hu kin t thc hin các my hc toán  ng ph
thông. Vì vy, t chc có hiu qu vic gii bài tp toán hc có vai trò quyt
i vi chng dy hc toán.
Trong thc tin dy hc bài tc s dng vi nhng dng ý khác.
Mi bài tp có th to ti xu g làm vic vi ni
dung mi cng c hoc ki Tuy nhiên, vic dy gii mt bài tp c
th ng không ch nhm vào mt dt nng bao
hàm nh nhiu m.
Mi bài tp toán c th t ra  tha quá trình dy
h u ch ng m  ng minh hay n tàng mt ch  
Nhng ch     n vic thc hin các m h dy hc.
Trong môn toán các bài tp mang nhng ch
- Ch  y hc, bài tp nhm hình thành cung cp cho hc sinh
nhng tri tho  n khác trong quá trình dy hc.
- Chc, bài tp nhm hình thành cho hc sinh th gii duy
vt bin chng, hng thú hc tp, nim tin và phm chc ci lao

9
ng mi.
- Chn, bài tp nhm phát tric sinh
c bit là rèn luyn nhng thao tác trí t

hình thành nhng phm cht c
duy khoa hc.
- Chm tra, bài tp nh kt qu dy h
giá kh c lp toán h phát trin ca hc sinh.
Trên thc t các ch   c l mt cách riêng l và tách ri
nhau. Khi nói n cha mt bài tp c th là
hàm ý nói chc thc hin mng minh và công khai hiu
qu ca vic dy hc toán  ng ph thông phn ln ph thuc vào vic khai
thác, thc hin m các ch có ca mt bài tp mà
i vi ý chun bi giáo viên ch có th khám phá và
thc hic nhng d  ngh thut dy
hc ca mình.
1.2.3. Yêu câ
̀
u đối với lời giải bài toán
 khai thác tt chca bài toán thy và trò cn nm vng các yêu
cu ca mt li gii:
* Li gii không có sai lm: Yêu ci gii không có sai
sót v kin thc toán hc, v n, v , v kí
hiu, hình v, k c không có sai lm v ni dung dit. Giáo viên cn phi
rèn luyn cho hc sinh thói quen xem xét kim tra li kt qu gii toán và li
gii ca mình, c ý thc trách nhii vi công ving thi
phát trin óc phê phán. Cn giúp hc sinh kim tra kt qu bi chiu
bài làm vi tng câu hi c bài. Xét tính hp lý c vu bài hoc
tng cách làm, tìm m có th ri so sánh các kt qu

gic theo nh cn yêu cu hc sinh kim
tra li bng vic vân dng linh hot nhng kt qu c ch không ch 
thun bng cách so sánh v  cho su hc sinh vn làm.
Trong gii toán hc sinh có th mc sai lm do hp tp cu th, t
trong tính toánu bài.
* Lp lun ph chính xác: Yêu ci ti
mi trong li gi lý lun phi dnh lý, quy tc,
công thc cc bit phm bo thu kin nêu trong
gi thit cnh lý.

10
* Li gii ph: u kic b sót mt
ng hp nào, mt kh , mt chi tit nàoi gii va
không tha va không thiu. Mun vy cn chú ý tp cho hc sinh trong quá
trình gii toán phi luân suy xét và t tr li các câu hi nhi xem
 ?; ng hp nào na không?;  các
ng hc biHng bc l thiu sót là không xem xét
 ng hp, các kh y ra  mt tình hung, nht là nhng bài
toán tham bin, i phi bin lu
* Ngôn ng chính xác.
* Trình bày rõ ràngm bo m thut: Yêu ct ra vi c l, ch
vit, hình v, cách sp xp các yu t (ch, s, hình, kí hiu, ) trong li gii.
* Tìm ra nhiu cách gii, chn cách gii ngn gn, hp lý nht.
* Nghiên cu nh.
1.2.4. Dạy học phƣơng pháp chung để giải bài toán
Quá trình gii m ng tr c  u
 toán; tìm tòi li gii bài toán; trình bày li gii bài toán; nghiên cu
sâu li gii.
1.2.3.1. Tìm hiểu chung đề toán.
 hi toánc ht cn nm vng mi khái ni cn

trong bài toán. Cn phi nh li vác khái ni nào
 ng nhng cách khá nào?.
i nc yêu cu ca bài toán. Phi bic bài toán cho cái
gì, và yêu cu ca bài toán là gì?
i vi bài toán hình hc, nói chung phi v hình bài toán
t ng mt cách t hình phác tho có chng các
d ki bài (nhi vi bài toán hình hc trong không gian) . Sau
ng chm quan sát thích h biu din hình mt
cách trc quan nhng sau khi v hình hc sinh s hi.
Hình v cn mang tính tng quát, ta không nên v ng hp
c bit nào. Hình v phi rõ ràng, chánh có nhng nét chp vào nhau, các nét
thy, nét khut phi rõc. Hình v 

nh biu din không gian
còn phm bt biu din hình qua phép chiu
song song. Chng hm cn thng, hình biu din trng tâm tam
giác.

11
1.2.3.2. Tìm tòi lời giải bài toán
c quan trng nht trong hong gii toán.  c này, ta phi
bi ng gii bài toán.
Tìm tòi, phát hin cách gii nh nh :
bi, bii cái phi tìm hay phi chng minh, liên h 
cho hoc cái phi tìm vi nhng tri tht, liên h bài toán cn gii vi mt
, mn, mt bài toán t
bài toán liên quan, s dng nhng c thù vi tng d:
chng minh phn chng, quy np toán hc, toán dng hình, toán qu tích
1.2.3.3. Trình bày lời giải của bài toán
c cách gii hay nht, xp xp chúng theo mt trt t nht

nh và hp lý nht, trình bày vào trong bài làm ca mình
1.2.3.4. Nhìn lại bài toán
Sau khi gii xong:
- Kim tra li kt qu và toàn b quá trình gii toán.
- ng li gii khác không? Li gic la ch


phi là hay nht không?
-  xem có th s dng kt qu i cho mt bài
toán khác không?
- T nhng kt qu  xut nhng bài toán khác nh
, t
Ví dụ: Cho hình chóp  B, cnh
SA (ABC)
.
T A k
AD SB
và
AE SC
. Bit
AB a, BC b, SA c  
. Tính khong
cách t n mt phng (ADE).
Bc 1. :
B
S
A
C
D
E

12


.ABC, 
ABC
,
O
B 90

SA  (ABC) AD  SB, AE  SC, AB = a,
BC = b, SA= c





d (S; (ADE)) = ?
Bc 2. Phân tích tìm 



:
- Ta có ADng cao trong tam giác SAB và SAC
- Ta thy:
BC (SAB)

BC AD

- Ta ch c
AD (SBC)

AD SC

- Kt hp vi gi thit
AE SC SC (ADE)  

SE (ADE)
hay khong cách t n mt ph dài
n thng SE
c 3. Trình bày li gii:
Ta có:
ABC
vuông ti B nên
AB BC

Theo gi thit:
SA (BAC) SA BC  
mà
AB BC


BC (SAB) DA BC   
(1)
Ta li có:
AD SB
(2)
T (1)và (2)
AD (SBC) AD SC   

(*)
Mt khác:
AE SC
(**) (gt)
T (*) và (**) ta có:
SC (ADE)

Hay SE chính là khong cách t n mt phng (ADE)
 dài SE: Ta có AE.SB= AS.AC nên:
2
2 2 2 2 2
SA.AC SA.AC c. a b
AE
SB
SA AC a b c

  
  

Áp dnh lý Pytago trong tam giác SAE ta có:
SE=
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
c .(a b ) c
SE SA AE c
a b c
a b c


    




13
c 4. Nghiên cu li gii:
Ta có th m rông bài toán: Tt SE là khong cách t n mt
phng ng cao trong hình chóp S.ADE
th tính th tích khi chóp S.ADE.
Ta có bài toán mi: Cho hình chóp S.ABC  B,
cnh
SA (ABC)
. T A k
AD SB
và
AE SC
. Bit
AB a, BC b,

SA c
. Tính khong cách t n mt phng (ADE). Tính th tích khi chóp
S.ADE.
1.3. Nội dung khoảng cách trong không gian trong chƣơng trình hình học
THPT
1.3.1. Khoảng cách trong hình học không gian trong chƣơng trình toán
THPT
T quan
     
trong 

5 3 


    ,   
:
- 
- 
- 
1.3.2. Một số dạng bài toán về tính khoảng cách trong không gian trong
chƣơng trình toán THPT
1) Khong cách t mm ti mng thng.
2) Khong cách t mm ti mt mt phng.
3) Khong cách gia mng thng và mt mt phng song song.
4) Khong cách gia hai mt phng song song.
5) Khong cách ging thng chéo nhau.
 gic nhng bài toán v tính khong cách, hc sinh cn có các k
  hình, k c bit quan trng là
k i, k ng gi 
trình bày li gii. Khóa lun s tp trung rèn luyn các k ng trên.

14
1.4. Thực trạng việc dạy học nội dung tính khoảng cách trong không gian
Nhm tìm hiu thc t v vic dy hc ni dung gii bài tp v tính khong
cách trong không gian cho hc sinh THPT. Tôi có tiu tra 42 hc sinh
lp 11A1 và 48 em hc sinh lp 11A2 ng THPT Tô Hiu - , kt qu
u tra cho bi bng sau: Ti lp 11A1
Câu
1
2
3

4
A
3 (3,16%)
2 (4,76%)
5 (12%)
3 (7,14%)
B
25 (59,5%)
13 (40,59%)
27 (64%)
30 (71%)
C
10 (2,4%)
2 (4,76%)
6 (14,28%)
7 (16,66%)
D
4 (9,5%)
25 (59,52%)
4 (9,5%)
2 (4,7%)

Ti lp 11A2
Câu
1
2
3
4
A
9 (18,75%)

4 (8,33%)
3 (6,24%)
5 (10,41%)
B
35 (72,22%)
33 (68,75%)
28 (58,33%)
32 (66,66%)
C
3 (6,25%)
4 (8,33%)
10 (8%)
7 (14,5%)
D
1 (2%)
5 (10,4%)
7 (14,5%)
4 (8,33%)
Qua hai bng kt qu trên ta nhân thy: Ti hai lp tiu tra kt
qu tuy có s chênh l, t l hc sinh hiu và làm
c bài tp v th tích là rt thp các em thy t ni dung
khó, các em không hiu bài, không th t c bài tp, không có k 
phân tích tìm li gii, không có hng thú hc tp vi ni dung này.
i vn xét, giáo viên ít chú ý rèn
luyn k i bài toán cho hc sinh,  to c hng
thú cho hc sinh trong dy hc ni dung v tính khong cách trong không gian.
Tôi nhn tht ni vi hc sinh, mà thi gian hc tp
ni dung này quá ít. Vì vây,  phi nghiên cu, tìm gii pháp giúp các em rèn
luyn k c gii các bài tp này.

15
CHƢƠNG 2
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI
TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
2.1. Định hƣớng giải các dạng bài toán tính khoảng cách trong hình học
không gian trong chƣơng trình toán THPT
2.1.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng
O . H O trên 
   O và H     O 

d(O, )

* Nhận xét
-
M ,OM d(O, )   

- O  
H O trên  và tính OH

2.1.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
O H O trên (
O và H O 

d(O,( ))

* Nhận xét
-
M ( ),OM d(O,( ))    

- O 

trong các cách sau:
Cách 1. Tính trực tiếp: H O trên () và tính OH
* Phương pháp chung.
- O )
-  )
- OH   (
H

d(O,( )) OH

.

16

.

.

nhau.
     
.
Cách 2. Sử dụng công thức thể tích
    
1 3V
V S.h h
3S
  
. Theo    
.
Cách 3. Sử dụng phép trƣợt đỉnh

O 
      
O'
, ta quy vi 
d(O,( ))
  
d(O',( ))

Kết quả 1 ) và M, N  
thì
d(M;( )) d(N;( ))  

Kết quả 2 ng (I và M, N  
(M, N I) thì
d(M;( )) MI
d(N;( )) NI




M NI thì
1
d(M;( )) d(N;( ))
2
  

I MN thì
d(M;( )) d(N;( ))  

Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

OABC 
O (
OA OB,OB OC,OC OA  
) và H O 
(ABCOH 

2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
  



17
Cách 5. Sử dụng phƣơng pháp tọa độ


0 0 0
222
Ax By Cz D
d(M;( ))
A B C
  



0 0 0
M(x ;y ;z )
,
( ):Ax By Cz D 0    

MA u
d(M, )
u


i  A 
u

u u'.AA'
d( , ')
u u'

  


'

A'
và có vtcp
u'

* Phương pháp:
Bước 1:  h
Bước 2:    -
véc
Bước 3: 

Cách 6. Sử dụng phƣơng pháp véctơ
* Nhận xét: 

 




* Phương pháp:
Bước 1: ình

Bước 2: n hà

Bước 3: 

18
2.1.3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó
Cho  
      

d( ,( ))

* Nhận xét
-
M ,N ( ),MN d( ,( ))      

-  

2.1.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song


d(( );( ))

* Nhận xét
-
M ( ),N ( ),MN d(( );( ))       

-  

2.1.5. Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau
a và b a và b 
a và b a và b.
 a H b K MN
a và b
d(a,b)
.
* Nhận xét
-
M a,N b,MN d(a,b)   

- a và b 
+ Tìm H và K 
d(a,b) HK

+ (P) 
d(a,b) d(b,(P))

 a và b

d(a,b) d((P),(Q))



19
* Đặc biệt
- 
ab
a b
    I    b. Trong mp     IH  
d(a,b) IH

- ABCD có AC = BD, AD = BC 
AB và CD AB và CD.
2.2. Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập về tính khoảng cách trong không
gian trong chƣơng trình toán THPT
Bài toán 1. nh a, cnh SA
vuông góc vi mt phng (ABCD) và
SA a
. Gm cn AB.
Tính khong cách t I ng thng CM.


1. T:


.ABCD





tâm O, . SA = a, SA  (ABCD).
I AB
,IA = IB.



d (I, CM) = ?



2. 







:







.
- 







( 
O
S
A
D
C
B
M
N
I
H

20










.
-  // SA và
1
IO SA
2


Hai tam 

.


3. i gii: (Sử dụng cách tính trực tiếp)
Trong mt phng (ICM) ta dng
IH CM(H CM)

Trong mt phng (ABCD) dng
OH CM
.
Ta có
IH CM
và IH chính là khong cách t I ng thng CM.
Gm ca MO vi cnh CD.
ng dng nên
OH OM

CN MC

.

aa
.
CN.OM a
22
OH
MC
a 5 2 5
2
  

Ta còn có
SA a
OI
22

và
2 2 2
2 2 2
a a 3a
IH OI OH
4 20 10
    

Vy khong cách
a 3 a 30
IH

10
10


 
 
 
nh
a, cnh SA vuông góc vi mt phng (ABCD) và SA= a. Gm ca
n AB. 
Bài toán 2. Cho hình ch
góc
0
BAD 60

a) 
b) 