Một số vấn đề về không gian lồi địa phương

1

MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài khóa luận:
Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các không
gian vectơ ñược trang bị thêm một cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến
tính liên tục giữa chúng. Ra ñời vào những năm ñầu của thế kỷ XX, bắt nguồn từ
các công trình về phương trình tích phân của Hilbert, Fredholm, ñến nay giải
tích hàm tích lũy ñược những thành tựu quan trọng và nó ñã trở thành chuẩn
mực trong việc nghiên cứu và trình bày các kiến thức toán học.
Tại trường ðại học Hùng Vương, sinh viên chuyên ngành toán ñã ñược
làm quen, tìm hiểu về lĩnh vực này mà bắt ñầu là học phần “Tôpô ñại cương”.
Tôpô ñại cương là môn toán cơ sở về lý thuyết giới hạn và liên tục. Tôpô ñại
cương trình bày những khái niệm cơ bản của tôpô, phân loại các không gian
tôpô… ðây là những kiến thức cơ bản cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán học
khác nhau như: Lý thuyết ñộ ño và tích phân, hình học vi phân …
Khi nghiên cứu sâu về tôpô ta nhận thấy có rất nhiều không gian thỏa mãn
là một không gian tôpô khi ta trang bị một tôpô trên nó. Các tôpô này chủ yếu
ñược xây dựng từ các tập mở, hoặc từ một họ các ánh xạ cho trước. Trong số các
không gian vectơ tôpô, một lớp không gian ñặc biệt quan trọng là các không
gian lồi ñịa phương.
Không gian lồi ñịa phương E là một không gian vectơ tôpô mà 0
∈
E có
một cơ sở lân cận thành lập từ các tập lồi. Tôpô trên không gian này ñược gọi là
tôpô lồi ñịa phương, có thể có một hoặc nhiều tôpô khác nhau trên cùng một
không gian lồi ñịa phương, và tôpô sinh bởi họ gồm tất cả các tập lồi, cân, hút
trong E ñược gọi là tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất trên E.
Ngoài những ñặc ñiểm tương tự các không gian mà ta ñã biết, thì không
gian lồi ñịa phương cũng có một số tính chất và ñặc ñiểm khác. Vậy cụ thể

không gian lồi ñịa phương là không gian như thế nào? Và nó có những tính chất
gì? Nó thể hiện như thế nào trong một số không gian lồi ñịa phương thường
gặp? Việc trả lời những câu hỏi này chính là lý do tôi chọn ñề tài khóa luận:

2

“Một số vấn ñề về không gian lồi ñịa phương”. Tôi hi vọng khóa luận này sẽ là
một tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên ngành Toán.
2. Mục tiêu khóa luận:
+ Khóa luận trình bày những khái niệm, tính chất cơ bản về không gian tôpô, tập
lồi… làm cơ sở ñể nghiên cứu không gian lồi ñịa phương. Từ ñó trình bày một
cách có hệ thống từ ñịnh nghĩa tới tính chất của không gian lồi ñịa phương, và
làm rõ một số không gian lồi ñịa phương thường gặp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu :
+ Nghiên cứu về không gian tôpô, không gian tuyến tính ñịnh chuẩn, không gian
vectơ tôpô, không gian lồi ñịa phương.
+ Chứng minh một số không gian là không gian lồi ñịa phương.
4. Phương pháp nghiên cứu:
+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc các tài liệu, giáo trình có liên quan ñến
không gian tôpô, không gian vectơ tôpô, không gian tuyến tính ñịnh chuẩn và
không gian lồi ñịa phương.
+ Phương pháp hỏi ý kiến chuyên gia: Chủ yếu là giảng viên hướng dẫn.
+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức
về vấn ñề nghiên cứu một cách ñầy ñủ, khoa học và chính xác.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu:
+ ðối tượng nghiên cứu của khóa luận là các kiến thức liên quan ñến không gian
lồi ñịa phương. Bên cạnh ñó khóa luận còn nghiên cứu về không gian tôpô làm
cơ sở ñể nghiên cứu ñối tượng chính.
+ Phạm vi nghiên cứu là các tính chất của không gian lồi ñịa phương.
6. Bố cục của khóa luận : Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì

khóa luận gồm hai chương chính:
Chương 1. Kiến thức cơ sở
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
1.1.2. Lân cận của một ñiểm, ñiểm trong, tập ñóng
1.1.3. So sánh hai tôpô

3

1.1.4. Cơ sở của một không gian tôpô
1.1.5. Xây dựng tôpô có cơ sở cho trước hoặc có các tập ñóng cho trước
1.1.6. Ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô và phép ñồng phôi
1.1.7. Tôpô ñầu xác ñịnh bởi một họ ánh xạ
1.1.8. Tôpô cuối xác ñịnh bởi một họ ánh xạ
1.1.9. Các tiên ñề tách
1.2. Không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
1.2.1. ðịnh nghĩa
không gian vectơ
1.2.2. ðịnh nghĩa không gian vectơ con
1.2.3. ðịnh nghĩa sơ chuẩn, nửa chuẩn, chuẩn
1.2.4. ðịnh nghĩa không gian tuyến tính ñịnh chuẩn
1.2.5. ðịnh nghĩa tập lồi, cân, hút
1.2.6. Các tính chất sơ cấp của tập lồi
1.2.7. Phiếm hàm Minhowsh
1.3. Không gian vectơ tôpô
1.3.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
1.3.2. Các tính chất suy ra từ tính liên tục của các phép toán ñại số
1.3.3. Cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô
1.3.4. Các tính chất của tôpô vectơ
Chương 2. Không gian lồi ñịa phương

2.1. ðịnh nghĩa và ví dụ
2.2. Một số tính chất cơ bản của không gian lồi ñịa phương
2.3. Xác ñịnh một tôpô lồi ñịa phương bởi một họ sơ chuẩn
2.4. Tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất
2.5. Một số không gian lồi ñịa phương thường gặp
7. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của khóa luận:
7.1. Ý nghĩa khoa học:
Khóa luận là tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành toán có mong
muốn tìm hiểu sâu về không gian tôpô và một trường hợp riêng là không gian lồi
ñịa phương.

4

7.2. Ý nghĩa thực tiễn:
Với bản thân khi làm ñề tài khóa luận này, ñã giúp cho tôi có kỹ năng,
kinh nghiệm trong việc nghiên cứu và trình bày một vấn ñề khoa học, ñồng thời
cũng giúp tôi hiểu sâu hơn về không gian tôpô và một lớp không gian ñặc biệt
quan trọng – không gian lồi ñịa phương, là cơ sở ñể tôi nghiên cứu những lĩnh
vực tiếp theo của giải tích hiện ñại.

5

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1.
KHÔNG GIAN TÔPÔ.

1.1.1.ðịnh nghĩa và ví dụ:
 ðịnh nghĩa: Không gian tôpô là một cặp (X,
τ
) trong ñó X là một tập khác
rỗng và
τ
là một họ những tập con của X (
τ
⊂
P(X)), thỏa mãn các ñiều kiện:
a)
τ
∅
∈
và X
τ
∈

b) Nếu A, B
τ
∈
thì
A B
∩ ∈
τ

c) Nếu
{
}
t

t T
U
∈
là một họ những tập con của X và
t
U
τ
∈
với
t T
∀ ∈
thì :
t
t T
U
τ
∈
∈
∪

Tập X gọi là không gian, các phần tử của X gọi là các ñiểm, mỗi phần tử của
τ

gọi là một tập mở trong không gian X. Họ
τ
gọi là một tôpô trên tập X. Như vậy:
1)Tập
∅
và toàn bộ không gian X là tập mở.
2) Giao hữu hạn những tập mở là tập mở.

3) Hợp tùy ý những tập mở là tập mở.
 Ví dụ 1: Cho X là một tập tùy ý khác rỗng và
τ
= P(X) là họ tất cả các tập con
của X. Khi ñó
τ
là một tôpô trên X và (X,
τ
) ñược gọi là không gian tôpô rời
rạc.
 Ví dụ 2: Cho X là một tập tùy ý khác rỗng và
τ
=
{
}
,X
∅
. Khi ñ
ó
τ
c
ũ
ng là
m
ộ
t tôpô trên X và (X,
τ
)
ñượ
c g

ọ
i là không gian tôpô ph
ả
n r
ờ
i r
ạ
c hay không
gian tôpô t
ầ
m th
ườ
ng.


Ví dụ 3
: Cho X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, a
∈
X. H
ọ
τ
=
{
}

{
}
A X: a A
∅
∪ ⊂ ∈
là m
ộ
t
tôpô trên X. Tôpô này g
ọ
i là tôpô có
ñ
i
ể
m
ñặ
c bi
ệ
t. M
ộ
t tr
ườ
ng h
ợ
p
ñặ
c bi
ệ
t c
ủ

a
tôpô này là tôpô Sierpinski trên X=
{
}
0,1
cho b
ở
i
τ
=
{
}
{
}
, 0 ,X
∅
.


Ví dụ 4:
Cho X là m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p, a
∈
X. H
ọ

τ
=
{
}
{
}
X A X:a X
∪ ⊂ ∉
là m
ộ
t
tôpô trên X. Tôpô này
ñượ
c g
ọ
i là tôpô b
ỏ

ñ
i m
ộ
t
ñ
i
ể
m.



6

1.1.2. Lân cận của một ñiểm, ñiểm trong, tập ñóng.
a. Lân cận của một ñiểm:
 Cho X là không gian tôpô,
X
x
∈
. Tập con V của X ñược gọi là một lân cận
của x nếu tồn tại U
τ
∈
:
U V
x
∈ ⊂

 ðịnh lí 1: Nếu V
x
là họ tất cả các lân cận của ñiểm x thì
(i)
V
x
∈
với mọi V
∈
V
x

(ii) Nếu V
1

, V
2

∈
V
x
thì V
1

∩
V
2
∈
V
x

(iii) Nếu V
1

∈
V
x
và V
2

⊃
V
1
thì V
2

∈
V
x
(iv) Với mỗi V
∈
V
x
có một W
∈
V
x
sao cho V
∈
V
y
cho mọi y
∈
W
Ngược lại, nếu với mỗi
x
∈
X có một họ V
x
các tập con của X sao cho thỏa mãn
các ñiều kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X nhận mỗi V
x
làm họ tất cả các
lân cận của ñiểm x
Chứng minh:

Các tính chất (i), (ii), (iii) hiển nhiên ñúng. ðể chứng minh (iv) ta nhận xét rằng
nếu V
∈
V
x
thì có một tập mở G sao cho
x
∈
G
⊂
V: lấy W = G ta sẽ có với
mọi y
∈
W, W
∈
V
y
, do ñó V
∈
V
y
.
Bây giờ giả sử với mỗi
x
∈
X có một họ V
x
thỏa mãn các ñiều kiện (i),
(ii), (iii), (iv). Cho G là họ tất cả các tập G sao cho : G
∈

V
x
với mọi
x

∈
G. Rõ
ràng
∅
∈
G và do (i) và (iii) nên X
∈
G. Vả lại nếu G
1
, G
2

∈
G thì G
1
∩
G
2

∈
G,
vì với mọi
x
∈
G

1
∩
G
2
ta có G
1
∈
V
x
(do
x
∈
G
1
), G
2

∈
V
x
(do
x
∈
G
2
) và do ñó
theo (ii), G
1
∩
G

2

∈
V
x
. Nếu G
α
∈
G thì
G
α α
∪
∈
G, vì với mọi
x
∈
G
α α
∪
ta có
x
∈
0
G
α
( với một
0
α
nào ñó ) và
0

G
α
∈
V
x
do ñó theo (iii)
G
α α
∪
∈
V
x
. Vậy G
là một tôpô trên X. Trong tôpô ñó, ta hãy chứng minh rằng mỗi V
x
là họ tất cả
các lân cận của
x
. Thật vậy, nếu V là một lân cận của
x
thì theo ñịnh nghĩa
phải có một tập G
∈
G
⊂
V, và vì
x
∈
G nên theo ñịnh nghĩa của G, G
∈

V
x
rồi
do ñó theo (iii) V
∈
V
x
. Ngược lại, cho V
∈
V
x
và gọi G là tập tất cả các ñiểm y
sao cho V
∈
V
y
. Với mỗi y
∈
G, vì V
∈
V
y
nên theo (iv) có một W
y
∈
V
y
sao
cho V
∈

V
z
cho mọi z
∈
W
y
: ñiều này có nghĩa là W
y

⊂
G và do ñó G
∈
V
y

(theo(iii)) . Vậy G
∈
G và vì
x
∈
G
⊂
V nên V là một lân cận của
x
. Tóm lại G

7

là tôpô nhận mỗi V
x

làm họ tất cả các lân cận của
x
. Nếu có một tôpô G
*
cũng
có các tính chất ñó thì dễ thấy rằng G = G
*

b. ðiểm trong:
 X là một không gian tôpô, A
⊂
X, x
0
ñược gọi là ñiểm trong của A nếu tồn tại
một lân cận U của x
0
sao cho U
⊂
A
 Nhận xét: A là mở khi và chỉ khi
A :
x
∀
∈
x là ñiểm trong của A
Chứng minh:
⇒
A mở. Ta cần chứng minh
x
∀

∈
A ñều là ñiểm trong của A
Do A là mở nên A là lân cận của x (
x
∀
∈
A )
Mặt khác: A
⊂
A
⇒
x là ñiểm trong của A (
x
∀
∈
A )
⇐
x
∀
∈
A, x là ñiểm trong của A, ta cần chứng minh A là mở
Vì x là ñiểm trong của A nên tồn tại một lân cận
U
x
của x mà
U
x
⊂
A
Từ ñó suy ra:

A
U A
x
x∈
⊂
∪

Vì x
∈
U
x
nên
x
∀
∈
A ta có : A
A
U
x
x∈
⊂
∪

⇒
A =
A
U
x
x∈
∪

Do
U
x
∈
τ

⇒
A
U
x
x∈
∪
∈
τ

⇒
A
∈
τ
hay A là tập mở (ñpcm)
c. Tập ñóng:
 Tập con A của không gian tôpô (X,
τ
) ñược gọi là tập ñóng nếu X \ A
∈
τ

Ví dụ 1: Trong không gian tôpô (X,
τ

) thì X và
∅
vừa là tập ñóng vừa là tập
mở.
 ðịnh lí 2: Nếu D là họ tất cả các tập ñóng trong không gian tôpô (X,
τ
).
Khi ñó:
(i)
D,X D
∅
∈ ∈

(ii) Hợp hữu hạn các tập ñóng là tập ñóng
(iii) Giao tùy ý các tập ñóng là tập ñóng
Chứng minh:
(i) Do
τ
∅
∈
X \ X
⇒ ∅=
∈
D
X
τ
∈
X \ X
⇒ = ∅
∈

D

8

(ii) Giả sử
{
}
i
A (i 1,n)
= là một họ các phần tử của D. ðặt
n
i
i 1
A A
=
=
∪

Ta có: X \ A = X\
n
i
i 1
A
=
∪
=
n
i
i 1
(X \ A )

=
∩

Do A
i
là
ñ
óng nên X\ A
i
là m
ở
. Suy ra
n
i
i 1
(X \ A )
=
∩
là m
ở

n
i
i 1
X A
\
τ
=
⇒
∈

∪

n
i
i 1
A A D
=
⇒ = ∈
∪
(
ñ
pcm)
(iii) Gi
ả
s
ử

{
}
i
i I
B
∈
là h
ọ
tùy ý các t
ậ
p
ñ
óng.

ðặ
t B =
i
i I
B
∈
∩

Ta có: X\ B = X\
i
i I
B
∈
∩
=
i
i I
(X \ B )
∈
∪

Do B
i

∈
D nên X\ B
i

∈
τ

Suy ra:
i
i I
(X \ B )
∈
∪

∈
τ

i
i I
X B
\
τ
∈
⇒ ∈
∩

i
i I
B B D
∈
⇒ = ∈
∩
(
ñ
pcm).
1.1.3. So sánh hai tôpô

Cho X
≠ ∅
xác
ñị
nh hai tôpô
2
1
,
τ τ
trên X. N
ế
u
2
1
τ τ
⊂
thì ta nói
2
τ
m
ạ
nh
(m
ị
n) h
ơ
n
1
τ
ho

ặ
c
1
τ
y
ế
u h
ơ
n
2
τ

Nhận xét
: Trong m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p thì tôpô ph
ả
n r
ờ
i r
ạ
c là tôpô y
ế
u nh
ấ
t, tôpô r

ờ
i
r
ạ
c là tôpô m
ạ
nh nh
ấ
t.
1.1.4. Cơ sở của một không gian tôpô
a. Cơ sở của một không gian tôpô.
 Cho không gian tôpô (X,
τ
),
B
τ
⊂
ñược gọi là một cơ sở của không gian
tôpô X nếu với mọi A
∈
τ
tồn tại
{
}
i
i I
B
∈
, B
i

∈
B,
i I
∀ ∈

sao cho A =
i
i I
B
∈
∪


9

⇔

∀
A
∈
τ
,
∀
x
∈
A thì tồn tại tập mở B, B
∈
B
, x

∈
B
⊂
A.

 Ví dụ 1: X = {a , b, c },
τ
= {X,
∅
, {a}, {a, b}, {a,c}}. Khi ñó
τ
là một tôpô
trên X và cũng là cơ sở của không gian X.



 ðịnh lí 3: Cho không gian tôpô (X,
τ
) có cơ sở B. Khi ñó B có các tính chất
sau:
(i)
∀
U
1

∈
B ,
∀
U
2

∈
B ,
∀
x
∈
U
1
∩
U
2
thì tồn tại U
∈
B sao cho:
x
∈
U
⊂
U
1
∩
U
2
(ii)
∀
x
∈
X tồn tại U
∈
B sao cho: x

∈
U.
Chứng minh:
(i)
∀
U
1

∈
B ,
∀
U
2

∈
B
⇒
U
1
∩
U
2
là tập mở nên U
1
∩
U
2
∈
τ
. Theo ñịnh

nghĩa cơ sở thì
∀
x
∈
U
1
∩
U
2
thì tồn tại U
∈
B sao cho x
∈
U
⊂
U
1
∩
U
2
.
(ii) Giả sử
∀
x
∈
X,
∀
U
∈
B thì x

∉
U. Khi ñó mỗi tập mở A trong X chứa x
thì không tồn tại U
∈
B sao cho U
⊂
A
⇒
Mâu thuẫn với giả thiết B là cơ sở
⇒
∀
x
∈
X tồn tại U
∈
B sao cho x
∈
U (ñpcm).
b. Cơ sở lân cận của không gian tôpô tại một ñiểm.
 Giả sử x là một ñiểm của không gian tôpô X. Họ B(x) những lân cận của x
ñược gọi là một cơ sở lân cận của không gian tôpô (X,
τ
) hay cơ sở lân cận của
tôpô
τ
tại ñiểm x nếu với mỗi lân cận V của x tồn tại một tập hợp U
∈
B(x) sao
cho U
⊂

V.
 Ví dụ 1: X là không gian tôpô rời rạc,
∀
x
∈
X thì {x} là cơ sở lân cận tại x.
 ðịnh lí 4: X là không gian tôpô,
∀
x
∈
X, B
x
là cơ sở lân cận tại x. Khi ñó lớp
{ B
x
}
x
∈
X
có tính chất :
(i)
∀
U
∈
B
x
thì x
∈
U và
∀

x
∈
X thì B
x

≠
∅

(ii)
∀
x
∈
U
∈
B
x
, tồn tại V
∈
B
x
sao cho x
∈
V
⊂
U
(iii)
∀
U
1

∈
B
x
,
∀
U
2

∈
B
x
, tồn tại U
∈
B
x
sao cho U
⊂
U
1

∩
U
2

Lớp { B
x
}
x
∈
X

gọi là hệ thống ñầy ñủ các lân cận của không gian tôpô (X,
τ
)
Chứng minh:
(i)
∀
U
∈
B
x

⇒
U là một lân cận của x. Khi ñó theo ñịnh nghĩa lân cận của một
ñiểm thì x
∈
U.
x
∀ ∈
X : Họ tất cả các lân cận của X là một cơ sở lân cận
⇒
B
x

≠

∅

(ii) Suy ra từ ñịnh nghĩa cơ sở lân cận

10

(iii)
∀
U
1

∈
B
x
,
∀
U
2

∈
B
x

⇒
U
1
∩
U
2
là một lân cận của x
Do B
x
là cơ sở tôpô nên tồn tại U
∈
B

x
sao cho x
∈
U
⊂
U
1
∩
U
2
.
1.1.5. Xây dựng tôpô có cơ sở cho trước hoặc có các tập hợp ñóng cho
trước:
Chúng ta ñã biết là một cơ sở B của không gian tôpô (X,
τ
) có các tính chất:
a) Với mọi
1
U
,
2
U
∈
B, với mọi
x
∈

∩
1 2
U U

, tồn tại
∈
U
B sao cho:
∈ ⊂ ∩
1 2
U U U
x

b) Với mọi
∈
X
x
, tồn tại
U
∈
B sao cho :
∈
U
x

Vậy nếu một họ B những tập con của một tập hợp X thỏa mãn hai ñiều kiện trên
thì có tồn tại hay không một tôpô trên X nhận B làm cơ sở


 ðịnh lí 5: Giả sử họ B những tập con của một tập hợp X thỏa mãn:
a) Với mọi
1
U
,

2
U
∈
B, với mọi
x
∈

∩
1 2
U U
, tồn tại
U
∈
B sao cho:
∈ ⊂ ∩
1 2
U U U
x

b) Với mọi
∈
X
x
, tồn tại
U
∈
B sao cho :
∈
U
x

Khi ñó tồn tại một tôpô
τ
trên X sao cho B là một cơ sở của không gian tôpô
(X,
τ
)
Chứng minh:
Gọi
τ
là họ những tập hợp con của X mà mỗi tập hợp thuộc
τ
ñều là hợp của
một họ nào ñó những tập hợp thuộc B. Khi ñó
τ
là một tôpô trên X.
Thật vậy, hiển nhiên
τ
∅
∈
và X
τ
∈
và hợp của một họ tùy ý các tập thuộc
τ
là
thuộc
τ
. Bây giờ ta ñi chứng minh giao của hai tập thuộc
τ

là thuộc
τ
.
Giả sử U, V
τ
∈
khi ñó :
s s
s S
U U , U
∈
= ∈
∪
B với mọi s
∈
S và
t t
t T
V ,V
V
∈
∈
=
∪
B, với mọi t
∈
T
Do ñó:
( )
s t s t

s S t T s S t T
U V U V
U V
∈ ∈ ∈ ∈
   
∩ = ∩
   
   
∩ =
∪ ∪ ∪∪

Vậy ñể chứng minh
U V
τ
∩ ∈
ta chỉ cần chứng minh
s
t
U V
τ
∩ ∈
với mỗi t
∈
T,
s
∈
S. Từ (a) ta có với mỗi
s t
U V
x

∈ ∩
luôn tồn tại
U B
x
∈
sao cho:
s t
U U V
x
x
∈ ⊂ ∩
do ñó
s t
s t
U V
U V U
x
x∈ ∩
∩ =
∪
. Vậy
s
t
U V
τ
∩ ∈
với mỗi t
∈
T và
s

∈
S. Vậy từ ñịnh nghĩa
τ
ta có ngay B là một cơ sở của
τ


11

Theo ñịnh lý 2 ta có tập hợp các tập ñóng của không gian tôpô (X,
τ
) có các tính
chất:
a)
D,X D
∅∈ ∈

b) Nếu F
1
, F
2

∈
D thì
1 2
F F D
∪ ∈

c) Nếu F
t

∈
D,
t T
∀ ∈
thì
t
t T
F
∈
∩
∈
D
ðảo lại, nếu họ D các tập con của tập hợp X có các tính chất trên thì tồn
tại hay không một tôpô trên X mà các tập hợp thuộc D và chỉ các tập hợp ñó là
các tập hợp ñóng. Ta xét ñịnh lý sau:


 ðịnh lí 6: Giả sử T là tập hợp khác rỗng, D là một họ các tập con của một tập
hợp X thỏa mãn ba ñiều kiện:
a)
D,X D
∅∈ ∈

b) Nếu F
1
, F
2

∈
D thì

1 2
F F D
∪ ∈

c) Nếu F
t
∈
D,
t T
∀ ∈
thì
t
t T
F
∈
∩
∈
D
Khi ñó họ
{
}
X \ F:F D
τ
= ∈
là mộ
t tôpô trên X. Các t
ậ
p thu
ộ
c D và ch

ỉ
các t
ậ
p
ñ
ó là các t
ậ
p h
ợ
p
ñ
óng c
ủ
a không gian tôpô (X,
τ
).Tôpô
τ
ñượ
c xác
ñị
nh nh
ư

trên g
ọ
i là tôpô xác
ñị
nh b
ở
i h

ọ
t
ậ
p
ñ
óng.
Chứng minh:
Ta xác
ñị
nh
{
}
X \ F :F D
τ
= ∈
là m
ộ
t tôpô trên X.
Th
ậ
t v
ậ
y, ta có


D, X D
∅ ∈ ∈

⇒
,X

τ τ
∅∈ ∈


Gi
ả
s
ử
A
i

∈
D (i =
1,n
)
⇒
X \ A
i

∈
τ

Ta có:

( )
n
i
i 1
X \ A
=

∩
= X \
n
i
i 1
A
=
∪
∈
τ
( do
n
i
i 1
A
=
∪

∈
D )
V
ậ
y giao h
ữ
u h
ạ
n các t
ậ
p m
ở

là t
ậ
p m
ở
.

Gi
ả
s
ử
B
i

∈
D ( i
∈
I )
⇒
X \ B
i

∈
τ
.
Ta có:

12


(

)
i
i I
X \ B
∈
∪
= X \
i
i I
B
∈
∩
∈
τ
( do
i
i I
B
∈
∩

∈
D )
V
ậ
y h
ợ
p tùy ý các t
ậ
p m

ở
là t
ậ
p m
ở

⇒
τ
là m
ộ
t tôpô trên X và nh
ậ
n D là t
ậ
p
ñ
óng (
ñ
pcm)
1.1.6. Ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô, phép ñồng phôi
a. Ánh xạ liên tục giữa hai không gian tôpô
 ðịnh nghĩa: Cho hai không gian tôpô (X,
X
τ
) và ( Y,
Y
τ
).
Ánh xạ f : X
→

Y gọi là liên tục tại
0
x
∈
X nếu mọi lân cận V của
f
(
0
x
)
thuộc Y tồn tại một lân cận U của
0
x
sao cho
f
(U)
⊂
V.
f ñược gọi là liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi x
∈
X
 Nhận xét: f : X
→
Y là ánh xạ từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y,
f liên tục tại
0
x
∈
X khi và chỉ khi với mọi lân cận U của
f

(
0
x
) trong Y thì
(
)
1
U
−
f là lân c
ậ
n c
ủ
a
0
x
trong X.


ðịnh lí 7:
Cho hai không gian tô pô X, Y và ánh x
ạ

f
: X
→
Y.
x
b
là c

ơ
s
ở

c
ủ
a X t
ạ
i x.
(
)
 
 
f x
D
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
trong Y t
ạ
i
f
(x). Khi
ñ
ó f liên t
ụ
c t

ạ
i x khi
và ch
ỉ
khi v
ớ
i m
ọ
i V
∈
(
)
 
 
f x
D
thì t
ồ
n t
ạ
i U
∈
x
b
sao cho
f
(U)
⊂
V
Chứng minh:

[
⇒
f liên t
ụ
c t
ạ
i x và V
∈
(
)
 
 
f x
D
, vì V là lân c
ậ
n c
ủ
a
f
(x) trong Y nên t
ồ
n
t
ạ
i m
ộ
t lân c
ậ
n W c

ủ
a x trong X sao cho
f
(W)
⊂
V.
Vì
x
b
là c
ơ
s
ở
c
ủ
a X và W
⊂
X nên t
ồ
n t
ạ
i U
∈
x
b
sao cho U
⊂
W. Khi
ñ
ó ta

có:
f
(U)
⊂
V
]
⇐
Gi
ả
s
ử
G là m
ộ
t lân c
ậ
n c
ủ
a
f
(x), vì
(
)
 
 
f x
D
là m
ộ
t c
ơ

s
ở
trong Y t
ạ
i
f
(x) nên t
ồ
n t
ạ
i V
∈
(
)
 
 
f x
D
sao cho V
⊂
G
Theo gi
ả
thi
ế
t t
ồ
n t
ạ
i U

∈
x
b
sao cho
f
(U)
⊂
V suy ra
f
(U)
⊂
G. V
ậ
y f liên t
ụ
c


 ðịnh lí 8
: Cho hai không gian tôpô ( X,
X
τ
) và ( Y,
Y
τ
). Ánh x
ạ

f
: X

→
Y liên
t
ụ
c khi và ch
ỉ
khi v
ớ
i m
ọ
i V
∈

Y
τ
ta
ñề
u có
(
)
1
V
−
f

∈
X
τ

13

Chứng minh:
[
⇒
Giả sử f liên tục .
* Nếu
(
)
1
V
−
f
=
∅
thì
(
)
1
V
−
f

∈
X
τ
.
* Giả sử
(
)

1
V
−
f
≠∅
và x là một ñiểm bất kỳ của
(
)
1
V
−
f
. Khi ñó
f
(x)
∈
V
Vì f liên tục tại x và V là một lân cận của
f
(x) nên theo ñịnh nghĩa thì tồn tại
một lân cận U của x sao cho U
⊂

(
)
1
V
−
f

⇒
(
)
1
V
−
f
là tập mở trong X
⇒

(
)
1
V
−
f

∈
X
τ
.
]
⇐
Với mọi V
∈

Y
τ
khi ñó V là mở hay V là lân cận của mọi ñiểm thuộc nó
Theo giả thiết ta có:

(
)
1
V
−
f

∈
X
τ

⇒
(
)
1
V
−
f
là lân cận của mọi ñiểm x
∈
(
)
1
V
−
f

⇒
tồn tại U
∋

x sao cho U
⊂

(
)
1
V
−
f
và
f
(x)
∈
V.
⇒
Với mọi lân cận V của
f
(x) tồn tại lân cận U của x sao cho
f
(U)
⊂
V.
Vậy f là liên tục (ñpcm).
 Nhận xét: Ánh xạ
f
: X
→
Y liên tục khi và chỉ khi tạo ảnh của mỗi tập
thuộc cơ sở nào ñó của Y là một tập mở trong X
 ðịnh lí 9: Cho hai không gian tôpô X, Y và ánh xạ

f
: X
→
Y. Khi ñó các
mệnh ñề sau là tương ñương :
(i) f liên tục
(ii) Tạo ảnh của mỗi tập ñóng trong Y là một tập ñóng trong X
(iii) Với mỗi tập A
⊂
X ta ñều có
(
)
A
f
⊂

(
)
A
f

(iv) V
ớ
i m
ọ
i B
⊂
Y ta
ñề
u có

(
)
1
B
f
−

⊂

(
)
1
B
f
−

(v) V
ớ
i m
ọ
i B
⊂
Y ta
ñề
u có
(
)
1
Int B
f

−

⊂

(
)
1
Int B
f
−
.
Chứng minh:
(i)
⇒
(ii) Gi
ả
s
ử
F là t
ậ
p
ñ
óng trong Y khi
ñ
ó Y \ F là m
ở
trong Y. Theo
ñị
nh lý
8 thì:

(
)
1
Y \ F
f
−
= X \
(
)
1
F
f
−
là m
ở
trong X

14

⇒

(
)
1
F
f
−
là t
ậ
p

ñ
óng trong X
(ii)
⇒
(iii) Do
(
)
A
f
là t
ậ
p
ñ
óng trong Y nên
( )
(
)
1
A
f f
−
là
ñ
óng trong X
Ta có :
A
⊂

( )
(

)
1
A
f f
−

⇒

A

⊂

( )
(
)
1
A
f f
−
⇒
(
)
A
f

⊂

(
)
A

f
.
(iii)
⇒
(iv) Ta có:
( )
(
)
1
B
f f
−

⊂

( )
(
)
1
B
f f
−

⊂

B


⇒

(
)
1
B
f
−

⊂

(
)
1
B
f
−
.
(iv)
⇒
(v) Ta có :
(
)
1
Int B
f
−
=
(
)
1
Y \ Y \ B

f
−
= X \
(
)
1
Y \ B
f
−

Vì
(
)
1
Y \ B
f
−

⊂
(
)
1
Y \ B
f
−
nên
(
)
1
Int B

f
−
⊂

(
)
1
X \ X \ B
f
−
=
(
)
1
Int B
f
−
.
(v)
⇒
(i) Gi
ả
s
ử
V là m
ộ
t t
ậ
p m
ở

trong Y khi
ñ
ó Int V = V.
T
ừ
(v) ta có :
(
)
1
V
f
−
=
(
)
1
Int V
f
−

⊂

(
)
1
Int V
f
−

⇒

(
)
1
Int V
f
−
=
(
)
1
V
f
−

⇒

(
)
1
V
f
−
là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
trong X

⇒

f
là liên t
ụ
c (
ñ
pcm)


ðịnh lí 10 :
Cho ba không gian tôpô X, Y, Z và
f
: X
→
Y, g : Y
→
Z là
các ánh x
ạ
liên t
ụ
c. Khi
ñ
ó h = g
0
f
: X
→
Z c

ũ
ng liên t
ụ
c

Chứng minh
:
N
ế
u V là m
ở
trong Z thì do g liên t
ụ
c nên g
-1
(V) là m
ở
trong Y. Do f là liên t
ụ
c
nên
(
)
1 1
g V
f
− −
 
 
là m

ở
trong X.
Mà h
-1
(V) =
(
)
1 1
g V
f
− −
 
 

⇒
h là liên t
ụ
c


ðịnh nghĩa
: Ánh x
ạ
f t
ừ
không gian X
ñế
n không gian Y
ñượ
c g

ọ
i là ánh x
ạ

m
ở
(
ñ
óng) n
ế
u
ả
nh c
ủ
a m
ỗ
i t
ậ
p m
ở
(
ñ
óng) trong X qua f là t
ậ
p m
ở
(
ñ
óng) trong Y

15

b. Phép ñồng phôi:


 ðịnh nghĩa: Ánh xạ
f
: X
→
Y từ không gian X ñến không gian Y ñược gọi
là phép ñồng phôi nếu
f
là song ánh và
f
,
1
f
−
ñều là các ánh xạ liên tục. Khi
ñó hai không gian X và Y ñược gọi là ñồng phôi với nhau.


 ðịnh lí 11:
f
: X
→
Y là song ánh liên tục từ không gian X lên không gian
Y. Khi ñó các mệnh ñề sau là tương ñương :
a) f là phép ñồng phôi

b) f là ánh xạ mở
c) f là ánh xạ ñóng
Chứng minh:
a
⇒
b.
f
là phép ñồng phôi thì
1
f
−
là ánh xạ liên tục
Khi ñó với mọi U
∈
X
τ
ta có
(
)
U
f

∈
Y
τ
. Vậy
f
là ánh xạ mở.
b
⇒

c. Giả sử F là ñóng khi ñó X \ F là mở. Do
f
là ánh xạ mở nên ta có:

(
)
(
)
X \ F Y \ F
f f
=
là mở trong Y
Từ ñó suy ra
(
)
F
f là
ñ
óng
V
ậ
y
f
là ánh x
ạ

ñ
óng.
c
⇒

a.
f
là ánh x
ạ

ñ
óng ta c
ầ
n ch
ứ
ng minh f là phép
ñồ
ng phôi
Theo gi
ả
thi
ế
t
f
là song ánh liên t
ụ
c nên
ñể
ch
ứ
ng minh
f
là phép
ñồ
ng phôi ta

ch
ỉ
c
ầ
n ch
ỉ
ra
1
f
−
liên t
ụ
c
Ta có :
1
f
−
: Y
→
X
V
ớ
i m
ỗ
i U
∈
X
τ
thì X\U là
ñ

óng. Do f là ánh x
ạ

ñ
óng nên
(
)
(
)
X \ U Y \ U
f f
=

là
ñ
óng suy ra
(
)
U
f là m
ở
trong Y hay
(
)
U
f
∈
Y
τ

⇒

(
)
( )
1
1
U
f
−
−

∈
Y
τ

⇒

1
f
−
liên t
ụ
c
V
ậ
y
f
là phép
ñồ

ng phôi


16

1.1.7. Tôpô ñầu xác ñịnh bởi một họ ánh xạ


 Giả sử (X,
τ
) là một không gian tôpô,
(
)
{
}
s
s
s S
Y ,
τ
∈
là một họ không gian tôpô
và
{
}
s
s S
∈
f
là một họ ánh xạ liên tục

s
f
: X
→

s
Y
. Hiển nhiên nếu ta thay
τ
bằng
τ
′
(trên X) mạnh hơn
τ
thì mỗi ánh xạ
s
f
của họ ánh xạ ñó vẫn liên tục.
(Vì với mọi V
∈
s
τ
thì
(
)
1
s
V
−
f

∈
τ
⊂
τ
′
). Nhưng nếu ta thay
τ
bằng một
tôpô
τ
′′
yếu hơn
τ
thì tính liên tục của các ánh xạ
s
f
có thể không ñược bảo
toàn vì với mọi V
∈
s
τ
thì
(
)
1
s
V
−
f
∈

τ
nhưng do
τ
′′
⊂
τ
nên chưa chắc
(
)
1
s
V
−
f
ñã thuộc
τ
′′
.


 ðịnh lí 12 : Giả sử X là một tập hợp ,
(
)
{
}
s
s
s S
Y ,
τ

∈
là một họ không gian tôpô
và
{
}
s
s
s S
: X Y
∈
→f
là một họ ánh xạ từ X vào
s
Y
. Trong họ các tôpô trên X sao
cho tất cả các ánh xạ
s
f
ñều liên tục tồn tại một tôpô
τ
yếu nhất. Họ B tất cả các
tập hợp dạng:

( )
i
k
1
s i
i 1
V (*)

f
−
=
∩

Trong ñó s
1
, … , s
k

∈
S,
i
V
là tập hợp mở trong không gian
i
s
Y
với i = 1,…,k
là một cơ sở của không gian tôpô (X,
τ
). Tôpô
τ
gọi là tôpô ñầu xác ñịnh bởi họ
ánh xạ
{
}
s
s S
f

∈
.
Chứng minh:
Ta ñi chứng minh B thoả mãn hai ñiều kiện của ñịnh lý.
+) Giả sử U
1

∈
B, U
2

∈
B
⇒
U
1

∩
U
2

∈
B ( do
s
f
liên tục ).
∀
x
∈
U

1

∩
U
2
thì ta có
i
s
( )
f x

∈
i
s 1 2
(U U )
∩
f
(
∀
i =
1,k
, s
∈
S). G
ọ
i V
i
là
lân c
ậ

n c
ủ
a
i
s
( )
f x
sao cho V
i

⊂
i
s 1 2
(U U )
∩
f
( vì
i
s 1 2
(U U )
∩
f
) là m
ở
nên luôn
t
ồ
n t
ạ
i V

i
nh
ư
trên ).
⇒
(
)
i
1
s i
V
f
−
là lân c
ậ
n c
ủ
a x trong X.


17

Ta có:
x
∈
(
)
i
1
s i

V
f
−

⊂
U
1

∩
U
2

⇒
( )
i
k
1
s i
i 1
V
f
−
=
∩

⊂
U
1

∩

U
2

ðặ
t U =
( )
i
k
1
s i
i 1
V
f
−
=
∩
ta có : x
∈
U
⊂
U
1

∩
U
2
.
+)
∀
x

∈
X, V
i
là lân c
ậ
n c
ủ
a
(
)
i
s
f x
trong không gian
i
s
Y
(
∀
i =
1,k
, s
∈
S),
do
s
f
là ánh x
ạ
liên t

ụ
c (
s S
∀ ∈
) nên
(
)
i
1
s i
V
f
−
là lân c
ậ
n c
ủ
a x trong X.
⇒

( )
i
k
1
s i
i 1
V
f
−
=

∩
là lân c
ậ
n c
ủ
a x trong X (
∀
i =
1,k
, s
∈
S).
V
ậ
y B th
ỏ
a mãn hai
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a
ñị
nh lý nên t
ồ
n t
ạ

i m
ộ
t tôpô
τ
trên X có c
ơ

s
ở
B
M
ỗ
i ánh x
ạ

s
f

ñề
u liên t
ụ
c
ñố
i v
ớ
i tôpô
τ
và
τ
là y

ế
u nh
ấ
t trong các tôpô trên
X sao cho m
ỗ
i ánh x
ạ

s
f
ñề
u liên t
ụ
c. Th
ậ
t v
ậ
y, gi
ả
s
ử

τ
′
là m
ộ
t tôpô trên X sao
cho t
ấ

t c
ả

s
f
ñề
u liên t
ụ
c. Khi
ñ
ó v
ớ
i m
ỗ
i V là m
ở
trong
s
Y
thì
(
)
1
s
V
f
−

∈
τ

′
.
⇒
M
ỗ
i t
ậ
p h
ợ
p d
ạ
ng (*)
ñề
u thu
ộ
c
τ
′
.
M
ỗ
i t
ậ
p U
∈
τ
là h
ợ
p c
ủ

a m
ộ
t h
ọ
nào
ñ
ó nh
ữ
ng t
ậ
p h
ợ
p d
ạ
ng (*) thì U
∈
τ
′
.
⇒

τ

⊂

τ
′

V
ậ

y
τ
là tôpô y
ế
u nh
ấ
t trên X (
ñ
pcm)




ðịnh lí 13:
Gi
ả
s
ử

{
}
s
s S
f
∈
là m
ộ
t h
ọ
ánh x

ạ
s
f
: X
→
s
Y
t
ừ
t
ậ
p h
ợ
p X vào
không gian tôpô
(
)
s
s
Y ,
τ
,
τ
là tôpô
ñầ
u xác
ñị
nh b
ở
i h

ọ
ánh x
ạ

{
}
s
s S
f
∈
và
g : Z
→
X là ánh x
ạ
t
ừ
không gian tôpô
ñầ
u (Z,
Z
τ
) vào không gian tôpô
(X,
τ
). Khi
ñ
ó g liên t
ụ
c khi và ch

ỉ
khi v
ớ
i m
ọ
i s
∈
S thì ánh x
ạ
:

s
f
0
g : Z
→

s
Y


ñề
u liên t
ụ
c.
Chứng minh:
[
⇒
N
ế

u g liên t
ụ
c thì hi
ể
n nhiên
s
f
0
g là liên t
ụ
c (
∀
s
∈
S).

18

]
⇐
Ng
ượ
c l
ạ
i, gi
ả
s
ử

s

f
0
g : Z
→

s
Y
liên t
ụ
c (
∀
s
∈
S) và V =
( )
i
k
1
s i
i 1
V
f
−
=
∩
là
t
ậ
p m
ở

trong X (s
1
, … , s
k

∈
S , i =
1,k
, V
i
là nh
ữ
ng t
ậ
p m
ở
trong
i
s
Y
).
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
o
i i
k k
1
1 1 1

s i s i
i 1 i 1
g V g V g V
f f
−
− − −
= =
 
= =
 
∩ ∩

Vì
s
f
0
g liên t
ụ
c nên
(
)
1
g V
−

( )
( )
o
i
k

1
s i
i 1
g V
f
−
=
=
∩
là m
ộ
t t
ậ
p m
ở
trong Z v
ớ
i
i 1,k
∀ =
,
s S
∀ ∈
.
⇒

(
)
1
g V

−

∈
Z
τ
. V
ậ
y g liên t
ụ
c(
ñ
pcm)
1.1.8. Tôpô cuối xác ñịnh bởi một họ ánh xạ:


 Giả sử
(
)
{
}
s
s
s S
X ,
τ
∈
là một họ không gian tôpô, (Y,
τ
) là một không gian
tôpô và

{
}
s
s S
f
∈
là một họ ánh xạ
s
f
:
s
X
→
Y liên tục. Nếu ta thay
τ
bằng
τ
′

(trên Y) yếu hơn
τ
thì mỗi ánh xạ
s
f
của họ ánh xạ ñó vẫn liên tục.
Nhưng nếu ta thay
τ
bằng một tôpô mạnh hơn là
τ
′′

thì tính liên tục của các
ánh xạ
s
f
có thể không ñược bảo toàn.


 ðịnh lí 14: Giả sử
(
)
{
}
s
s
s S
X ,
τ
∈
là một họ không gian tôpô, Y là một tập hợp
và
{
}
s
s S
f
∈
là một họ ánh xạ trong ñó
s
f
:

s
X
→
Y từ không gian tôpô
s
X
vào
tập Y. Trong tất cả các tôpô trên Y sao cho tất cả các
s
f
ñều liên tục tồn tại một
tôpô
τ
mạnh nhất. Với mọi V
⊂
Y, V
∈
τ
khi và chỉ khi
(
)
s
1
s
Vf
τ
−
∈
,
∀

s
∈
S
Tôpô
τ
ñược gọi là tôpô cuối xác ñịnh bởi họ ánh xạ
{
}
s
s S
f
∈
.
Chứng minh:
Ta thấy
τ
xác ñịnh như trên là một tôpô trên Y. Ta sẽ chứng minh
τ
là tôpô mạnh
nh
ất trong tất cả các tôpô trên Y sao cho tất cả các
s
f
ñều liên tục (
∀
s
∈
S ).
Giả sử
τ

′
là một tôpô trên Y sao cho mọi
s
f
ñều liên tục và U
∈
τ
′
. Khi ñó :

19

∀
s
∈
S thì
(
)
s
1
s
Uf
τ
−
∈

⇒
U
∈
τ

⇒
τ
′
⊂

τ
. Vậy
τ
là tôpô mạnh nhất trên
Y(
ñpcm).



ðịnh lí 15: Giả sử
{
}
s
s S
f
∈
là một họ ánh xạ trong ñó
s
f
:
s
X
→
Y từ không gian
tôpô

s
X
vào tập Y,
τ
là tôpô cuối xác ñịnh bởi họ ánh xạ
{
}
s
s S
f
∈
và
g : Y
→
Z là ánh xạ từ không gian tôpô (Y,
τ
) vào không gian tôpô (Z,
Z
τ
). Khi
ñó g liên tục khi và chỉ khi
∀
s
∈
S ánh xạ hợp g
o
s
f
:
s

X
→
Z ñều liên tục.
Chứng minh:
[
⇒
Nếu g liên tục thì hiển nhiên g
o
s
f
:
s
X
→
Z liên tục (
∀
s
∈
S ).
]
⇐
Ngược lại, giả sử
∀
s
∈
S ta có g
o
s
f
:

s
X
→
Z liên tục ta cần chứng minh g liên
t
ục.
Khi
ñó với V
∈
Z
τ
thì :
( )
( ) ( )
o
1
1 1
s s
g V g V
f f
−
− −
 
=
 

∈
s
τ
(

∀
s
∈
S )
⇒

(
)
1
g V
−
là một tập mở trong Y ñối với
τ

⇒
g liên tục (ñpcm)
1.1.9. Các tiên ñề tách:
a. T
0
– không gian ( Không gian Kolmogov)


 ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,
τ
) ñược gọi là một T
0
– không gian (hay
không gian Kolmogov) nếu với hai phần tử khác nhau bất kì x, y của X tồn tại
một tập hợp U
τ

∈
,
U, U
x y
∈ ∉
hoặc tồn tại một tập hợp V
, V, V
y x
τ
∈ ∈ ∉

b. T
1
– không gian:


 ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,
τ
) ñược gọi là một T
1
– không gian nếu với
hai phần tử khác nhau bất kỳ x và y của X luôn tồn tại các lân cận
U
của x và
V
của y sao cho:
y
∉
U
và x

∉

V
.


 Nhận xét: T
1
– không gian là T
0
– không gian.
c. T
2
– không gian ( Không gian Hausdorff )

20



 ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,
τ
) ñược gọi là T
2
– không gian (hay không
gian Hausdorff ) nếu với mỗi cặp ñiểm khác nhau bất kì x, y
∈
X luôn tồn tại
một lân cận
U
của x và một lân cận

V
của y sao cho:
U

∩

V
=
∅



 Nhận xét: Mỗi T
2
– không gian ñều là T
1
– không gian.


 Ví dụ 1: Không gian tôpô rời rạc (X,
τ
) là T
2
– không gian.
d. T
3
– không gian ( Không gian chính qui )




ðịnh nghĩa: Không gian tôpô (X,
τ
) ñược gọi là T
3
– không gian (hoặc không
gian chính qui) nếu X là T
1
– không gian và với mọi x
∈
X, với mọi tập ñóng
F
⊂
X,
∀
x
∉
F, luôn tồn tại tập U, V
∈
τ
, U
x
∋
,
V F
⊃
sao cho U
∩
V =
∅
.

e.
1
3
2
T
- không gian ( Không gian hoàn toàn chính qui )


 ðịnh nghĩa: Không gian tôpô X ñược gọi là
1
3
2
T
- không gian ( hay không
gian hoàn toàn chính qui ) nếu X là T
1
– không gian và
∀
x
∈
X, với mọi tập
ñóng F trong X,
∀
x
∉
F, tồn tại một hàm liên tục
f
: X
→

[
]
0;1
sao cho:

f
(x) = 0 ;
f
(y) = 1 (
∀
y
∈
F )
Không gian hoàn toàn chính qui còn ñược gọi là không gian Tichonov
g. T
4
- không gian ( Không gian chuẩn tắc )


 ðịnh nghĩa: Không gian tôpô X ñược gọi T
4
– không gian ( hay không gian
chuẩn tắc ) nếu X là một T
1
– không gian và với hai tập ñóng rời nhau bất kì A,
B trong X tồn tại các tập U, V
∈
τ
sao cho A
⊂

U, B
⊂
V và U
∩
V =
∅

1.2.
KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH ðỊNH CHUẨN

1.2.1. ðịnh nghĩa không gian vectơ
Giả sử K là trường số thực
ℝ
hoặc trường số phức
ℂ
. Tập hợp X khác rỗng
cùng với hai ánh xạ ( gọi tắt là phép cộng và phép nhân vô hướng):
Phép cộng xác ñịnh trên X
×
X và lấy giá trị trong X
(x, y)
→
x + y ; x, y
∈
X
Phép nhân vô hướng xác ñịnh trên K
×
X và lấy giá trị trong X
(
λ

, x)
→
λ
x ,
λ

∈
K, x
∈
X

21

gọi là một không gian tuyến tính ( hoặc không gian vectơ) nếu các ñiều kiện sau
ñây ñược thỏa mãn:
a) x + y = y + x với mọi x, y
∈
X
b) (x + y ) + z = x + ( y +z ) với mọi x, y, z
∈
X
c) Tồn tại một phần tử 0 của X sao cho x + 0 = x với mọi x
∈
X
d) Với mỗi phần tử x của X tồn tại một phần tử - x của X sao cho x +(-x) = 0
e)
λ
(x + y) =
λ
x +

λ
y với mọi
λ
∈
K và với mọi x, y
∈
X
f) (
λ µ
+
) x =
λ
x +
µ
x với mọi
, K
λ µ
∈
, x
∈
X
g) (
λµ
) x =
λ
(
µ
x) với mọi
λ
,

µ

∈
K, x
∈
X
h) 1.x = x với mọi x
∈
X
Nếu K =
ℝ
thì X ñược gọi là một không gian tuyến tính thực, nếu K =
ℂ
thì X
ñược gọi là một không gian tuyến tính phức.


 Ví dụ 1: Giả sử T là một tập hợp tùy ý. Gọi
K
T
là tập hợp các hàm số
x : T
→
K xác ñịnh trên tập hợp T và lấy giá trị trong K. Ta trang bị hai phép
toán:
( x + y) (t) = x (t) + y (t)
t T
∀ ∈

(

λ
x) (t) =
λ
x (t)
∀
x, y
∈

K
T
,
λ
∈
K,
t T
∀ ∈

Khi ñó
K
T
cùng với hai phép toán xác ñịnh như trên là một không gian vectơ.
1.2.2. ðịnh nghĩa không gian vectơ con:
 ðịnh nghĩa: Cho V là một không gian vectơ, U là một tập con khác rỗng của
V. U ñược gọi là không gian vectơ con của V nếu các phép toán cộng và phép
nhân vô hướng của V thu hẹp trên U là ñóng kín U, ñồng thời U cùng với các
phép toán ñó làm thành một không gian vectơ.


 Ví dụ 1: Tập {0} chỉ gồm vectơ – không là không gian con của không gian
vectơ V.

 Ví dụ 2: Tập V cũng là không gian con của V.
1.2.3. ðịnh nghĩa sơ chuẩn, nửa chuẩn, chuẩn.
Giả sử X là một không gian vectơ trên trường vô hướng K các số thực hay các
số phức. Hàm số thực
ρ
: X
→
ℝ
xác ñịnh trên X


22




ρ
ñược gọi là một sơ chuẩn trên X nếu thỏa mãn :
a)
ρ
(
λ
x) =
λ
ρ
(x)
∀
0
λ
≥

,
λ
∈
ℝ
,
X
x
∀ ∈

b)
ρ
(x + y )
≤

ρ
(x) +
ρ
(y) với mọi x, y
∈
X



ρ
ñược gọi là một nửa chuẩn trên X nếu thỏa mãn :
a)
ρ
(x)
≥
0 với mọi x

∈
X
b)
ρ
(
λ
x) =
λ

ρ
(x) với mọi
λ
∈
K,
X
x
∀ ∈

c)
ρ
(x + y )
≤

ρ
(x) +
ρ
(y) với mọi x, y
∈
X




ρ
ñược gọi là một chuẩn trên X nếu thỏa mãn :
a)
ρ
(x)
≥
0 với mọi x
∈
X và
ρ
(x) = 0
⇒
x = 0
b)
ρ
(
λ
x) =
λ

ρ
(x) với mọi
λ
∈
K,
X
x
∀ ∈

c)
ρ
(x + y )
≤

ρ
(x) +
ρ
(y) với mọi x, y
∈
X
1.2.4. ðịnh nghĩa không gian tuyến tính ñịnh chuẩn:


 Cặp (X, ), trong ñó X là một không gian tuyến tính và là một chuẩn trên
X, gọi là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn.


 Ví dụ 1:
ℝ
và
ℂ
là những không gian tuyến tính ñịnh chuẩn với chuẩn xác
ñịnh bởi :
x x
=
với
x
∈

ℝ
hoặc
x
∈
ℂ

Ví dụ 2:
,
n n
ℝ ℂ
là những không gian tuyến tính ñịnh chuẩn với chuẩn xác
ñịnh bởi
1
2
2
1
( )
n
i
i
x
ε
=
=
∑
với
n
1
( , , ) K
n

x
ε ε
= ∈


Ví dụ 3: Không gian B(T) các hàm số thực (phức) xác ñịnh và giới nội trên T
( T là một tập hợp tùy ý) là một không gian tuyến tính ñịnh chuẩn với chuẩn:
t T
sup ( )
x x t
∈
=

1.2.5. ðịnh nghĩa tập lồi, cân , hút.
Tập con X trong không gian vectơ E gọi là:



23

 lồi nếu
}
{
a,b : ta +(1- t)b: 0 t 1 X, a, b X
 
 
= ≤ ≤ ⊂ ∀ ∈

 cân nếu

X, K, 1, X
x x
λ λ λ
∈ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈


hút n
ế
u

E,
x
ε
∀ ∈ ∃
> 0 :
X, K,
x
λ λ λ
∈ ∀ ∈
<
ε


tuy
ệ
t
ñố
i l
ồ
i n

ế
u nó
ñồ
ng th
ờ
i là l
ồ
i và cân,
ñ
i
ề
u này t
ươ
ng
ñươ
ng v
ớ
i
ñ
i
ề
u
ki
ệ
n:

x
∀ ∈
X,
∀

y
∈
X ta
ñề
u có
x y
λ µ
+ ∈
X khi
, K: 1
λ µ λ µ
∀ ∈ + ≤



Mệnh ñề 1:
Gi
ả
s
ử

ρ
là m
ộ
t n
ử
a chu
ẩ
n trên E. Khi
ñ

ó các t
ậ
p
{
}
B B( ): E: ( ) 1
x x
ρ ρ
= = ∈ <

và
{
}
B B( ): E: ( ) 1
x x
ρ ρ
= = ∈ ≤

là l
ồ
i cân và hút
Chứng minh:
Ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
ñố

i v
ớ
i B còn
ñố
i v
ớ
i
B
ñượ
c ch
ứ
ng minh
t
ươ
ng t
ự
. Cho a, b
∈
B và
0 t 1
≤ ≤
ta có :
(ta (1 t)b) (ta) ((1 t)b)
(ta (1 t)b) t (a) (1 t) (b)
(ta (1 t)b) t 1 t
(ta (1 t)b) 1 ta (1 t)b B
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ
ρ

+ − ≤ + −
⇒
+ − ≤ + −
⇒
+ − < + −
⇒
+ − <
⇒
+ − ∈

M
ặ
t khác
( ) ( ) ( ) 1
x x x
ρ λ λ ρ ρ
= ≤ <
,
1
λ
∀ ≤

Cu
ố
i cùng n
ế
u
E
x
∈

thì
B
x
λ
∈
v
ớ
i m
ọ
i
1
( ) 1
x
λ
ρ
<
+
. V
ậ
y B là t
ậ
p l
ồ
i cân và
hút
1.2.6. Các tính chất sơ cấp của tập lồi:
 Giao của một số bất kỳ tập lồi là tập lồi
Thật vậy, nếu các tập
λ
D

lồi với mọi
I
λ
∈
và
I
D D
λ
λ
∈
=
∩
khi ñó
t 0,1
 
 
∀ ∈
,

24

a, b
D
∈
thì :
ta (1 t)b D I
λ
λ
+ − ∈ ∀ ∈

⇒
ta (1 t)b D
+ − ∈

nên D là t
ậ
p l
ồ
i
Cho tr
ướ
c m
ộ
t t
ậ
p A b
ấ
t k
ỳ
trong không gian X, bao gi
ờ
c
ũ
ng có ít nh
ấ
t m
ộ
t t
ậ

p
l
ồ
i bao hàm A
ñ
ó là X. Giao c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các t
ậ
p l
ồ
i bao hàm A
ñươ
ng nhiên là t
ậ
p
l
ồ
i nh
ỏ
nh
ấ
t bao hàm A: Ta g
ọ
i nó là bao l
ồ

i c
ủ
a A và kí hi
ệ
u convA
M
ộ
t t
ổ
h
ợ
p l
ồ
i c
ủ
a k ph
ầ
n t
ử
b
ấ
t k
ỳ

,
1 2
k
, ,
x x x
c

ủ
a X là m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

x
có d
ạ
ng:
k k
1 1 2 2

x x x x
α α α
= + + +

Trong
ñ
ó
1 2
k
, , ,
α α α
là nh
ữ
ng s
ố

th
ự
c không âm nghi
ệ
m
ñ
úng
k
1
1
i
i
α
=
=
∑


N
ế
u D, E
⊂
X,
x

X
∈
,
K
α

∈
khi
ñ
ó:
(i) N
ế
u D là t
ậ
p l
ồ
i thì
α
D,
x
+ D là các t
ậ
p l
ồ
i, h
ơ
n n
ữ
a n
ế
u E là t
ậ
p l
ồ
i thì
D + E c

ũ
ng là t
ậ
p l
ồ
i
(ii) N
ế
u D là t
ậ
p cân thì
α
D là t
ậ
p cân, h
ơ
n n
ữ
a n
ế
u E là t
ậ
p cân thì D + E c
ũ
ng
là t
ậ
p cân
Th
ậ

t v
ậ
y, ta có:

(i)
t [0,1]
∀ ∈
thì
t D (1 t) D [ tD (1 t)D] D
α α α α
+ − = + − ⊂

Và
t( D) (1 t)( D) [ tD (1 t)D] D
x x x x
+ + − + = + + − ⊂ +

Do
ñ
ó
α
D,
x
+ D là các t
ậ
p l
ồ
i
N
ế

u E là t
ậ
p l
ồ
i thì v
ớ
i
t [0,1]
∀ ∈
ta có
t (D + E) + (1- t)(D + E) = [ tD + (1- t)D] + [ tE + (1- t) E]
D E
⊂ +
nên D + E
c
ũ
ng là t
ậ
p l
ồ
i
(ii) N
ế
u D là t
ậ
p cân thì v
ớ
i m
ọ
i

K
λ
∈
,
1
λ
≤
ta có
( D) ( D) D
λ α α λ α
= ⊂

⇒
D
α
là t
ậ
p cân
N
ế
u E là t
ậ
p cân thì v
ớ
i
K, 1
λ λ
∀ ∈ ≤
ta có

(D E) D E D E
λ λ λ
+ = + ⊂ +
⇒
D + E c
ũ
ng là t
ậ
p cân
M
ộ
t
ñ
i
ể
m a c
ủ
a m
ộ
t t
ậ
p D trong không gian X g
ọ
i là
ñ
i
ể
m b
ọ
c n

ế
u v
ớ
i m
ỗ
i
vect
ơ
t
∈
X
ñề
u có m
ộ
t s
ố

0
ε
>
sao cho toàn
ñ
o
ạ
n th
ẳ
ng n
ố
i
a

t
ε
−
và
a
t
ε
+
ch
ứ
a
trong D. T
ậ
p t
ấ
t c
ả
các
ñ
i
ể
m b
ọ
c c
ủ
a D kí hi
ệ
u là core D.

25


N
ế
u m
ộ
t t
ậ
p l
ồ
i D có m
ộ
t
ñ
i
ể
m trong a và n
ế
u b
∈
D thì m
ọ
i
ñ
i
ể
m
c =
a (1 )b
α α

+ −
v
ớ
i
0 1
α
< ≤
c
ũ
ng là
ñ
i
ể
m trong c
ủ
a D
Th
ậ
t v
ậ
y, cho S là m
ộ
t
ε
- lân c
ậ
n c
ủ
a a n
ằ

m trong D. Khi
ấ
y
(
)
b
S S 1
α α
′
= + −

s
ẽ
là
(
)
αε
- lân c
ậ
n c
ủ
a c n
ằ
m trong D vì
S
′
- c =
(
)
S a

α
−
nên ch
ứ
ng t
ỏ

S
′
là hình
c
ầ
u tâm c, bán kính
αε
và l
ạ
i có
S (1 )b D
α α
+ − ⊂
do D l
ồ
i. M
ỗ
i t
ậ
p l
ồ
i
D

⊂
X có m
ộ
t
ñ
a t
ạ
p tuy
ế
n tính nh
ỏ
nh
ấ
t ch
ứ
a nó kí hi
ệ
u affD,
ñ
ó là giao c
ủ
a
t
ấ
t c
ả
các
ñ
a t
ạ

p tuy
ế
n tính ch
ứ
a D. N
ế
u X là m
ộ
t không gian
ñị
nh chu
ẩ
n thì m
ỗ
i
t
ậ
p trong X là m
ộ
t không gian mêtric, v
ớ
i mêtric xác
ñị
nh b
ở
i chu
ẩ
n. M
ộ
t

ñ
i
ể
m

a
∈
D g
ọ
i là m
ộ
t
ñ
i
ể
m trong t
ươ
ng
ñố
i c
ủ
a D n
ế
u a là
ñ
i
ể
m trong c
ủ
a D xét trong

không gian mêtric affD. T
ậ
p h
ợ
p các
ñ
i
ể
m trong t
ươ
ng
ñố
i c
ủ
a D
ñượ
c kí hi
ệ
u
riD.

M
ộ
t t
ậ
p l
ồ
i D trong không gian
k
ℝ

bao gi
ờ
c
ũ
ng có ít nh
ấ
t m
ộ
t
ñ
i
ể
m trong
t
ươ
ng
ñố
i ( nói cách khác riD
≠ ∅
)
Th
ậ
t v
ậ
y, b
ằ
ng m
ộ
t phép t
ị

nh ti
ế
n có th
ể
cho r
ằ
ng
0 D
∈
. Cho
1
h
, ,
e e
là
m
ộ
t s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a D sao cho chúng
ñộ
c l
ậ
p tuy

ế
n tính, nh
ư
ng khi thêm b
ấ
t k
ỳ

D
x
∈
nào vào thì h
ệ

1
h
, , ,
x e e
c
ũ
ng s
ẽ
ph
ụ
thu
ộ
c tuy
ế
n tính (vì s
ố

ph
ầ
n t
ử

ñộ
c
l
ậ
p tuy
ế
n tính trong
k
ℝ
không th
ể
v
ượ
t quá k, nên
1
h
, ,
e e
bao gi
ờ
c
ũ
ng t
ồ
n t

ạ
i).
Không gian con M sinh b
ở
i
1
h
, ,
e e
ch
ứ
a D vì r
ằ
ng theo cách ch
ọ
n
ñ
i
ể
m này thì
m
ọ
i
D
x
∈
ñề
u là t
ổ
h

ợ
p tuy
ế
n tính c
ủ
a các
1
h
, ,
e e
. V
ậ
y M chính là affD. M
ỗ
i
ñ
i
ể
m
M
x
∈
có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n m
ộ

t cách duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng
h
1
i i
i
x e
ξ
=
=
∑
. D
ễ
th
ấ
y
ràng m
ọ
i
ñ
i
ể
m
h
1

a
i i
i
e
α
=
=
∑
có
h
1
1
i
i
α
=
<
∑
,
ñề
u là
ñ
i
ể
m trong c
ủ
a D trong không gian
M. Th
ậ
t v

ậ
y, ta hãy ch
ọ
n
0
ε
>
ñủ
nh
ỏ

ñể

0
i
i
e
ε
α
+ >
( i = 1, h) và
h
( )
i
i
i
e
ε
α
+

∑
<1. Khi
ấ
y, n
ế
u
h
1
i i
i
x e
ξ
=
=
∑
có chu
ẩ
n x
ε
<
thì
i
i
e
ε
ξ
≤
(i = 1, h),
cho nên
ñặ

t
i i i
β α ξ
= +
(i = 1, h) và
0
1
1
h
i
i
β β
=
= −
∑
ta s
ẽ
có
0
i
β
>
( i - 0,1…,h),