Phương trình Gauss-Codazzi và một số ứng dụng: Khóa luận tốt nghiệp toán học

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
    
NGUYỄN THỊ HOA
PHƯƠNG TRÌNH GAUSS-CODAZZI
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Bộ môn : Hình học vi phân
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP
Cán bộ hướng dẫn
PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG
Huế, tháng 05 năm 2011
i
LỜI CẢM ƠN
Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường Đại học, được sự
dìu dắt dạy dỗ của các Thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được nhiều kiến thức cơ
bản hữu ích và quan trọng. Khóa luận tốt nghiệp này được xem là thành quả
quan trọng của quá trình học tập và rèn luyện đó.
Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo khoa Toán - Trường Đại học
Sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có những kiến thức khoa học cũng như
tạo điều kiện cho tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình. Khóa
luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS.TS
Trần Đạo Dõng. Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơn
sâu sắc nhất.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người đã
quan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian qua.
Xin chân thành cảm ơn!
Huế, tháng 05 năm 2011
NGUYỄN THỊ HOA
ii
MỤC LỤC
Trang phụ bìa i

Lời cảm ơn ii
MỤC LỤC 1
LỜI NÓI ĐẦU 1
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
1.1 Mặt trong không gian R
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Ánh xạ Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . 4
1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4.2 Dạng cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.5 Mặt kẻ, mặt dẹt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.1 Mặt kẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.2 Mặt dẹt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Các mặt đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 PHƯƠNG TRÌNH GAUSS- CODAZZI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 8
2.1 Phương trình Gauss- Codazzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Định lý Bonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.2 Mặt tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.3 Mặt tròn xoay có độ cong Gauss bằng 0, hằng dương,
hằng âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
KẾT LUẬN 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO 34
1
LỜI NÓI ĐẦU
Dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai là hai dạng toàn phương
đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết mặt. Hầu hết các vấn đề của lý thuyết

mặt đều liên quan đến hai dạng toàn phương này, trong đó có độ cong Gauss.
Trong thực hành, chúng ta thường tính độ cong Gauss thông qua các hệ số của
dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai.
Liệu có cách nào khác để tính độ cong Gauss và cách tính đó như thế nào. Để
tìm hiểu vấn đề này và được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đạo Dõng tôi
chọn đề tài "Phương trình Gauss-Codazzi và một số ứng dụng".
Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
làm hai chương:
Trong chương I, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị cho
chương II như ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai
Chương II chúng tôi tập trung khảo sát các phương trình Gauss-Codazzi
của lý thuyết mặt và ứng dụng để xác định sự tồn tại của mặt dựa vào các
dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai, tính độ cong Gauss thông qua hệ số dạng cơ
bản thứ nhất của mặt và các đạo hàm của chúng.
Dù đã rất cố gắng song khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để khóa luận được
hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán đã
tạo điều kiện cho sinh viên thực hiện khóa luận và đặc biệt cảm ơn PGS.TS
Trần Đạo Dõng đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luận
này.
1
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan đến việc
nghiên cứu chương II như mặt chính qui, ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng
cơ bản thứ nhất, thứ hai, Các kiến thức được tham khảo từ tài liệu [3], [4].
1.1 Mặt trong không gian R
3
Cho U là một tập mở trong R

2
và ánh xạ
X : U → R
3
(u, v) → X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))
khả vi (lớp C
k
). Khi đó S = X(U ) được gọi là một mặt tham số với tham số
hóa X trong R
3
.
Điểm (u
0
, v
0
) được gọi là điểm chính qui nếu {X
u
(u
0
, v
0
), X
v
(u
0
, v
0
)} độc
lập tuyến tính. Ngược lại, (u
0

, v
0
) được gọi là điểm kì dị.
S được gọi là mặt chính qui nếu mọi điểm đều là điểm chính qui, tức là
{X
u
(u, v), X
v
(u, v)} độc lập tuyến tính với mọi (u, v) ∈ U.
Giả sử mặt S chính qui tại (u
0
, v
0
), khi đó mặt phẳng qua X(u
0
, v
0
) nhận
{X
u
(u
0
, v
0
), X
v
(u
0
, v
0

)} làm không gian vector chỉ phương gọi là mặt phẳng
tiếp xúc với S tại (u
0
, v
0
). Kí hiệu T
(u
0
,v
0
)
S.
Xét đường trên mặt tham số S với tham số hóa
u → (x(u, v
0
), y(u, v
0
), z(u, v
0
)).
Đường này được gọi là đường tọa độ v = v
0
đi qua p = X(u
0
, v
0
) và có vector
tiếp xúc tại p là
∂X
∂u

= (
∂x
∂u
,
∂y
∂u
,
∂z
∂u
).
Tương tự, đường tọa độ u = u
0
là v → (x(u
0
, v), y(u
0
, v), z(u
0
, v)) đi qua
p = X(u
0
, v
0
) có vector tiếp xúc là
∂X
∂v
= (
∂x
∂v
,

∂y
∂v
,
∂z
∂v
).
Tập con liên thông S trong R
3
được gọi là một mặt chính qui nếu tại mỗi
2
điểm của S tồn tại một lân cận mở là mặt tham số chính qui, tham số hóa
tương ứng được gọi là tham số hóa địa phương của S.
1.2 Ánh xạ Gauss
Cho S là một mặt chính qui và X : U → S là một tham số hóa địa
phương của S. Nếu chúng ta chọn các pháp vector đơn vị tại mỗi điểm của
X(U) như sau
n(p) =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
(p), p ∈ X(U);
chúng ta nhận được một ánh xạ khả vi
n : X(U) → R
3

, p → n(p).
Khi đó ánh xạ n xác định như trên là một trường pháp vector đơn vị trên
X(U).
a) Mặt định hướng: Một mặt chính quy S gọi là định hướng được nếu có
một trường pháp vector đơn vị liên tục n xác định trên toàn bộ mặt. Khi đó
trường vector n được gọi là một định hướng của S. Một mặt chính qui định
hướng là mặt chính qui định hướng được cùng hướng xác định n.
Tại mỗi điểm của mặt chính qui, mỗi lân cận của mặt đều định hướng được
bởi trường pháp vector đơn vị n =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
.
b) ánh xạ Gauss: Cho (S, n) là mặt chính qui định hướng trong R
3
.
Do |n(p)| = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem n là ánh xạ khả vi từ mặt chính qui S
vào mặt cầu đơn vị S
2
.
ánh xạ n : S → S
2
được gọi là ánh xạ Gauss của mặt định hướng S.
c) Đạo hàm của ánh xạ Gauss: Đạo hàm của ánh xạ Gauss tại p là

Dn
p
: T
p
S → T
n(p)
S
2
.
Do T
p
S và T
n(p)
S
2
cùng vuông góc với n(p) nên ta có thể đồng nhất T
p
S và
T
n(p)
S
2
.
Như vậy Dn
p
là một tự đồng cấu tuyến tính của T
p
S. Hơn nữa, Dn
p
được xác

định như sau:
Lấy p ∈ S và ω ∈ T
p
S, ta có ω là vector tiếp xúc của một đường tham số khả
vi α : (−ε, ε) → S, tức là ω = α

(0), p = α(0). Xét đường cong β = n ◦ α, ta
có β

(0) ∈ T
p
S. Khi đó Dn
p
(ω) := β

(0).
3
1.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình
a) Định thức của tự đồng cấu Dn
p
được gọi là độ cong Gauss K tại p của
S.
b) −
1
2
tr(Dn
p
) được gọi là độ cong trung bình H của S tại p.
Ta có ma trận của Dn
p

là ma trận đối xứng. Nếu Dn
p
có hai giá trị riêng
khác nhau thì T
p
S có cơ sở trực chuẩn gồm các vector riêng e
1
, e
2
ứng với các
giá trị riêng −k
1
,−k
2
.
Các giá trị k
1
, k
2
được gọi là độ cong chính của S tại p.
Hai không gian con một chiều lần lượt xác định bởi e
1
, e
2
được gọi là hai
phương chính của S tại p.
Từ định nghĩa suy ra H =
1
2
(k

1
+ k
2
), K = k
1
k
2
.
Đường chính qui C trên S sao cho tại mọi điểm p ∈ C phương tiếp xúc
tại của C là một phương chính của S tại p được gọi là một đường chính.
Điểm p được gọi là điểm eliptic nếu K(p) > 0;
Điểm p được gọi là điểm hypebolic nếu K(p) < 0;
Điểm p được gọi là điểm parabolic nếu K(p) = 0;
Điểm p được gọi là điểm phẳng nếu Dn
p
= 0;
Điểm p được gọi là điểm rốn nếu k
1
= k
2
.
1.4 Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai
1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất
Với mỗi không gian tiếp xúc T
p
S, dạng toàn phương I
p
: T
p
S → R.

I
p
(ω) =< ω, ω >
p
= |ω|
2
, ω ∈ T
p
S được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của S tại
p.
Ta có biểu thức tọa độ I
p
(ω) = E(du)
2
+ 2F dudv + G(dv)
2
,
với E =< X
u
, X
u
>, F =< X
u
, X
v
> G =< X
v
, X
v
> là các hệ số của dạng cơ

bản thứ nhất I
p
.
1.4.2 Dạng cơ bản thứ hai
Xét đạo hàm của ánh xạ Gauss Dn
p
: T
p
S → T
p
S. Khi đó, dạng toàn
phương II
p
(α) = − < Dn
p
(α), α > được gọi là dạng cơ bản thứ hai của S tại
p.
Ta có biểu thức tọa độ II
p
(α) = L(du)
2
+ 2Mdudv + N(dv)
2
,
4
với L =< n, X
uu
>, M =< n, X
uv
>, N =< n, X

vv
> là các hệ số của dạng cơ
bản thứ hai II
p
.
Hệ quả 1.4.2.1. Đối với cơ sở {X
u
, X
v
} của T
p
S, ta có ma trận chuyển vị của
ma trận của Dn
p
là

a b
c d

= −

L M
M N

E F
F G

−1
.
Chứng minh:

Ta có pháp vector đơn vị n =
X
u
∧ X
v
|X
u
∧ X
v
|
Từ < n, n >= 1, suy ra < n, n
u
>= 0 và < n, n
v
>= 0.
Như vậy n
u
, n
v
∈ T
p
S. Do đó:
n
u
= aX
u
+ bX
v
, n
v

= cX
u
+ dX
v
.
Ma trận của Dn
p
đối với cơ sở {X
u
, X
v
} là

a c
b d

.
Chúng ta xét ma trận của dạng cơ bản II
p
.
Ta có ma trận của II
p
đối với cơ sở {X
u
, X
v
} là

L M
M N


.
Từ −L =< n
u
, X
u
>=< aX
u
+ bX
v
, X
u
>= aE + bF ,
−M =< n
u
, X
v
>=< aX
u
+ bX
v
, X
v
>= aF + bG,
−M =< n
v
, X
u
>=< cX
u

+ dX
v
, X
u
>= cE + dF ,
−N =< n
v
, X
v
>=< cX
u
+ dX
v
, X
v
>= cF + dG.
Suy ra −

L M
M N

=

a b
c d

E F
F G

.

Do đó

a b
c d

= −

L M
M N

E F
F G

−1
. 
Nhận xét: Chú ý rằng

E F
F G

−1
=
1
EG − F
2

G −F
−F E

.

Từ đó, ta có công thức tính độ cong Gauss và độ cong trung bình là:
K =
LN − M
2
EG − F
2
, H =
1
2
LG − 2MF + NE
EG − F
2
.
5
Hệ quả 1.4.2.2. Nếu mặt tham số S không có điểm rốn và các đường tọa độ
là các đường chính thì F = M = 0 và ta có các độ cong chính k
1
= −
L
E
và
k
2
= −
N
G
. Ngược lại, nếu F = M = 0 thì các đường tọa độ là các đường chính.
Chứng minh:
Giả sử mặt tham số S không có điểm rốn và các đường tọa độ là các
đường chính. Khi đó:

F =< X
u
, X
v
>= 0,
M = − < Dn
p
(X
u
), X
v
>= − < k
1
X
u
, X
v
>= −k
1
< X
u
, X
v
>= 0,
L = − < Dn
p
(X
u
), X
u

>= −k
1
|X
u
|
2
= −k
1
E.
Suy ra k
1
= −
L
E
.
Từ N = − < Dn
p
(X
v
), X
v
>= −k
2
|X
v
|
2
= −k
2
G, ta có k

2
= −
N
G
.
Ngược lại, giả sử F = M = 0. Với F = 0, ta có < X
u
, X
v
>= 0,
Ngoài ra Dn
p
(X
u
) = aX
u
+ bX
v
và M = 0
Nên 0 =< Dn
p
(X
u
), X
v
>=< aX
u
+ bX
v
, X

v
>
= a < X
u
, X
v
> +b < X
v
, X
v
>= aF + bG = bG.
Hay b = 0. Suy ra Dn
p
(X
u
) = aX
u
.
Do đó, đường tọa độ v = v
0
là đường chính.
Tương tự ta cũng có đường tọa độ u = u
0
là đường chính. 
1.5 Mặt kẻ, mặt dẹt
1.5.1 Mặt kẻ
Cho α, ω : I → R
3
là hai hàm khả vi với I là một khoảng mở trong R
và ω(u) = 0 với mọi u ∈ I.

Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm, còn ω(u), u ∈ I là các vector trong
R
3
. Mặt tham số
X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ R
được gọi là mặt kẻ sinh bởi α và ω. Các đường thẳng đi qua α(u) với vector
chỉ phương ω(u) là các đường sinh và đường cong α(u) là đường chuẩn.
1.5.2 Mặt dẹt
Mặt tham số chính qui X : U → R
3
được gọi là mặt dẹt nếu độ cong
Gauss tại mọi điểm bằng 0.
6
1.6 Các mặt đẳng cự
Chúng ta nói mặt tham số chính qui S đẳng cự địa phương với mặt
tham số chính qui S
∗
nếu với mỗi p ∈ S, tồn tại một tham số hóa chính qui
X : U → S với X(u
0
, v
0
) = p và một tham số hóa chính qui X
∗
: U → S
∗
(U là tập mở trong R
2
) thỏa mãn I
p

= I
∗
p
∗
với p = X(u, v) và p
∗
= X
∗
(u, v),
(u, v) ∈ U.
7
Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH GAUSS- CODAZZI
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Trong chương này, trước hết chúng tôi tập trung tìm hiểu phương trình
Gauss-Codazzi, các hệ quả có được từ các phương trình này và ứng dụng để
tính độ cong Gauss của một số mặt chỉ với hệ số của dạng cơ bản thứ nhất.
Tiếp đó chúng tôi giới thiệu định lý cơ bản của lý thuyết mặt và ứng dụng để
xác định mặt dựa vào dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai. Cuối cùng, chúng tôi xác
định các mặt tròn xoay lần lượt nhận giá trị độ cong Gauss bằng không, hằng
dương, hằng âm. Các khái niệm và kết quả được nói đến ở đây được tham khảo
trong các tài liệu [2], [4].
2.1 Phương trình Gauss- Codazzi
Cho S là một mặt chính qui và X : U → S là một tham số hóa địa
phương của S. Kí hiệu X
u
, X
v
, n lần lượt là các vector tiếp xúc và vector pháp
đơn vị của S tại điểm X(u, v).

Tương tự như các công thức Frénet đối với đường cong, do các vector X
u
, X
v
, n
lập thành một cơ sở trong không gian R
3
nên mọi vector khác đều có thể biểu
diễn qua X
u
, X
v
, n. Đặc biệt ta có:
X
uu
= Γ
u
uu
X
u
+Γ
v
uu
X
v
+λ
1
n (1)
X
uv

= Γ
u
uv
X
u
+Γ
v
uv
X
v
+λ
2
n (2)
X
vv
= Γ
u
vv
X
u
+ Γ
v
vv
X
v
+ λ
3
n (3)
Các hàm Γ
•

••
được gọi là các kí hiệu Christoffel.
Dựa vào các phương trình (1), (2), (3) ta có kết quả quan trọng sau đây:
Mệnh đề 2.1.1 ([4 Section 3, Chapter 2]): Cho S là một mặt chính
8
qui với X : U → S là một tham số hóa địa phương và X
u
, X
v
, n lần lượt là các
vector tiếp xúc và vector pháp đơn vị của S tại điểm X(u, v). Khi đó ta có:
 Các phương trình Gauss:
EK = (Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v

uu
Γ
v
vv
− Γ
u
uv
Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
;
F K = (Γ
u
uv
)
u
− (Γ
u
uu
)
v
+ Γ
v
uv
Γ

u
uv
− Γ
v
uu
Γ
u
vv
;
F K = (Γ
v
uv
)
v
− (Γ
v
vv
)
u
+ Γ
u
uv
Γ
v
uv
− Γ
u
vv
Γ
v

uu
;
GK = (Γ
u
vv
)
u
− (Γ
u
uv
)
v
+ Γ
u
vv
Γ
u
uu
+ Γ
v
vv
Γ
u
uv
− Γ
v
uv
Γ
u
vv

− (Γ
u
uv
)
2
.
 Các phương trình Codazzi:
L
v
− M
u
= LΓ
u
uv
+ M(Γ
v
uv
− Γ
u
uu
) − NΓ
v
uu
;
M
v
− N
u
= LΓ
u

vv
+ M(Γ
v
vv
− Γ
u
uv
) − NΓ
v
uv
.
Chứng minh:
Trước hết, ta xác định các hệ số λ
1
, λ
2
, λ
3
.
Nhân hai vế của đẳng thức (1) với n ta được:
n.X
uu
= Γ
u
uu
X
u
.n + Γ
v
uu

X
v
.n + λ
1
Suy ra λ
1
= L.
Tương tự, nhân hai vế của đẳng thức (2) và (3) với n ta được λ
2
= M ,
λ
3
= N.
Nhân các đẳng thức (1), (2), (3) với X
u
và X
v
ta có:
X
uu
.X
u
= Γ
u
uu
X
u
X
u
+ Γ

v
uu
X
u
X
v
+ LnX
u
= Γ
u
uu
E + Γ
v
uu
F,
X
uu
.X
v
= Γ
u
uu
F + Γ
v
uu
G,
X
uv
.X
u

= Γ
u
uv
E + Γ
v
uv
F,
X
uv
.X
v
= Γ
u
uv
F + Γ
v
uv
G,
X
vv
.X
u
= Γ
u
vv
E + Γ
v
vv
F,
X

vv
.X
v
= Γ
u
vv
F + Γ
v
vv
G.
Mặt khác:
X
uu
.X
u
=
1
2
(X
u
.X
u
)
u
=
1
2
E
u
,

X
uv
.X
u
=
1
2
(X
u
.X
u
)
v
=
1
2
E
v
,
X
uv
.X
v
=
1
2
(X
v
.X
v

)
u
=
1
2
G
u
,
X
uu
.X
v
= (X
u
.X
v
)
u
− X
u
.X
uv
= F
u
−
1
2
E
v
,

X
vv
.X
u
= (X
u
.X
v
)
v
− X
uv
.X
v
= F
v
−
1
2
G
u
,
X
vv
.X
v
=
1
2
(X

v
.X
v
)
v
=
1
2
G
v
.
9
Ta có thể viết lại như sau:

E F
F G

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=

1
2
E
u

F
u
−
1
2
E
v

⇒

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=

E F
F G

−1

1
2
E
u
F
u

−
1
2
E
v


E F
F G

Γ
u
uv
Γ
v
uv

=

1
2
E
v
1
2
G
u

⇒


Γ
u
uv
Γ
v
uv

=

E F
F G

−1

1
2
E
v
1
2
G
u


E F
F G

Γ
u
vv

Γ
v
vv

=

F
v
−
1
2
G
u
1
2
G
v

⇒

Γ
u
vv
Γ
v
vv

=

E F

F G

−1

F
v
−
1
2
G
u
1
2
G
v

.
Theo Hệ quả 1.4.2.1, đối với cơ sở {X
u
, X
v
} ma trận chuyển vị của
ma trận của Dn
p
là

a b
c d

= −


L M
M N

E F
F G

−1
= −
1
EG − F
2

L M
M N

G −F
−F E

= −
1
EG − F
2

GL − MF −LG + ME
MG −NF −MF + NE

.
Ngoài ra
n

u
= aX
u
+ bX
v
, n
v
= cX
u
+ dX
v
.
Từ các phương trình (1), (2), (3) và lấy vi phân của các phương trình này
lần nữa, ta có:
X
uuv
= (Γ
u
uu
X
u
+ Γ
v
uu
X
v
+ Ln)
v
=(Γ
u

uu
)
v
X
u
+ Γ
u
uu
X
uv
+ (Γ
v
uu
)
v
X
v
+ Γ
v
uu
X
vv
+ L
v
n + Ln
v
=(Γ
u
uu
)

v
X
u
+ Γ
u
uu
(Γ
u
uv
X
u
+ Γ
v
uv
X
v
+ Mn) + (Γ
v
uu
)
v
X
v
+ Γ
v
uu
(Γ
u
vv
X

u
+ Γ
v
vv
X
v
+ Nn) + L
v
n + L(cX
u
+ dX
v
)
=((Γ
u
uu
)
v
+ Γ
u
uu
Γ
u
uv
+ Γ
v
uu
Γ
u
vv

+ Lc)X
u
+ ((Γ
v
uu
)
v
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv
+ Ld)X
v
+ (MΓ
u
uu
+ NΓ
v
uu
+ L
v
)n.

Tương tự, ta tính được:
X
uvu
= ((Γ
u
uv
)
u
+ Γ
u
uv
Γ
u
uu
+ Γ
v
uv
Γ
u
uv
+ Ma)X
u
+ ((Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uv

Γ
v
uu
+ Γ
v
uv
Γ
v
uv
+ Mb)X
v
+ (Γ
u
uv
L + Γ
v
uv
M + M
u
)n.
Do X
uuv
= X
uvu
nên suy ra:
(X
u
) : (Γ
u
uu

)
v
+ Γ
u
uu
Γ
u
uv
+ Γ
v
uu
Γ
u
vv
+ Lc = (Γ
u
uv
)
u
+ Γ
u
uv
Γ
u
uu
+ Γ
v
uv
Γ
u

uv
+ Ma,
(X
v
) : (Γ
v
uu
)
v
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv
+ Ld = (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uv
Γ

v
uu
+ Γ
v
uv
Γ
v
uv
+ Mb,
10
(n) : L
v
+ MΓ
u
uu
+ NΓ
v
uu
= M
u
+ LΓ
u
uv
+ MΓ
v
uv
.
Tương tự như trên, từ X
uvv
= X

vvu
, ta thu được:
(X
u
) : (Γ
u
uv
)
v
+ Γ
u
uv
Γ
u
uv
+ Γ
v
uv
Γ
u
vv
+ Mc = (Γ
u
vv
)
u
+ Γ
u
vv
Γ

u
uu
+ Γ
v
vv
Γ
u
uv
+ Na,
(X
v
) : (Γ
v
uv
)
v
+ Γ
u
uv
Γ
v
uv
+ Md = (Γ
v
vv
)
u
+ Γ
u
vv

Γ
v
uu
+ Nb,
(n) : M
v
+ MΓ
u
uv
+ NΓ
v
uv
= N
u
+ LΓ
u
vv
+ MΓ
v
vv
.
Từ việc đồng nhất các thành phần chứa pháp vector n ở trên, ta có
các phương trình Codazzi:
L
v
− M
u
= LΓ
u
uv

+ M(Γ
v
uv
− Γ
u
uu
) − NΓ
v
uu
;
M
v
− N
u
= LΓ
u
vv
+ M(Γ
v
vv
− Γ
u
uv
) − NΓ
v
uv
.
Từ các đẳng thức còn lại và sử dụng công thức K =
LN − M
2

EG − F
2
ta thu
được các phương trình Gauss:
EK = (Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv
− Γ
u
uv
Γ

v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
;
F K = (Γ
u
uv
)
u
− (Γ
u
uu
)
v
+ Γ
v
uv
Γ
u
uv
− Γ
v
uu
Γ
u
vv

;
F K = (Γ
v
uv
)
v
− (Γ
v
vv
)
u
+ Γ
u
uv
Γ
v
uv
− Γ
u
vv
Γ
v
uu
;
GK = (Γ
u
vv
)
u
− (Γ

u
uv
)
v
+ Γ
u
vv
Γ
u
uu
+ Γ
v
vv
Γ
u
uv
− Γ
v
uv
Γ
u
vv
− (Γ
u
uv
)
2
.
Chúng ta sẽ kiểm tra cho trường hợp đầu tiên, các trường hợp còn lại
tương tự.

Từ việc đồng nhất các thành phần có chứa X
v
của đẳng thức X
uuv
= X
uvu
, ta
có:
(Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv

− Γ
u
uv
Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
= Mb −Ld
= −
1
EG − F
2
[M(−LE + M E) − L(−MF + N E)]
= −
1
EG − F
2
[−MLF + M
2
E + MLF −LNE]
= −
E
EG − F
2
(−LN + M
2

)
= E.
LN − M
2
EG − F
2
= EK. 
Ví dụ 2.1.1. Cho mặt cầu đơn vị với tham số hóa
X(u, v) = (sinucosv, sinusinv, cosu).
Tính các kí hiệu Christoffel của nó.
11
Giải:
Ta có thể tính các kí hiệu Christoffel của mặt cầu đã cho theo hai cách như
sau.
Cách 1:
Ta có:
X
u
= (cosucosv, cosusinv, −sinu)
X
v
= (−sinusinv, sinucosv, 0)
X
uu
= (−sinucosv, −sinusinv, −cosu) = −X(u, v)
X
uv
= (−cosusinv, cosucosv, 0)
X
vv

= (−sinucosv, −sinusinv, 0) = −sinu(cosv, sinv, 0)
Do X
uu
cùng phương với n nên Γ
u
uu
= Γ
v
uu
= 0.
Suy ra
X
uv
= cotu.X
v
⇒ Γ
u
uv
= 0, Γ
v
uv
= cotu
X
vv
= −sinu.cosv.X
u
− sin
2
u.n ⇒ Γ
u

vv
= −sinu.cosu, và Γ
v
vv
= 0.
Cách 2:
Ta có E = 1, F = 0, G = sin
2
u
Do đó:

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=
1
sin
2
u

sin
2
u 0
0 1

0

0

=

0
0


Γ
u
uv
Γ
v
uv

=
1
sin
2
u

sin
2
u 0
0 1

0
sinu.cosu

=


0
cotanu


Γ
u
vv
Γ
v
vv

=
1
sin
2
u

sin
2
u 0
0 1

−sinu.cosu
0

=

−sinu.cosu
0


. 
Ví dụ 2.1.2. Cho các mặt tham số hóa sau:
a) Mặt phẳng được tham số hóa bởi hệ tọa độ cực: X(u, v) = (ucosv, usinv, 0).
b) Mặt đinh ốc: X(u, v) = (ucosv, usinv, v).
c) Mặt nón: X(u, v) = (ucosv, usinv, cu). c = 0
d) Mặt tròn xoay: X(u, v) = (f (u)cosv, f(u)sinv, g(u)) với f

(u)
2
+ g

(u)
2
= 1.
Khi đó, trong mỗi trường hợp, các phương trình Codazzi và phương trình thứ
nhất của các phương trình Gauss được nghiệm đúng.
12
Giải:
a)Ta có X(u, v) = (ucosv, usinv, 0),
X
u
= (cosv, sinv, 0),
X
v
= (−usinv, ucosv, 0),
n = (0, 0, 1),
X
uu
= (0, 0, 0),

X
uv
= (−sinv, cosv, 0),
X
vv
= (−ucosv, −usinv, 0).
Suy ra E = 1, F = 0, G = u
2
, L = 0, M = 0, N = 0.
Các kí hiệu Christoffel:

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=
1
EG

G 0
0 E

1
2
E
u
−

1
2
E
v

=

0
0


Γ
u
uv
Γ
v
uv

=
1
EG

G 0
0 E

1
2
E
v
1

2
G
u

=
1
u
2

u
2
0
0 1

0
u

=


0
1
u



Γ
u
vv
Γ

v
vv

=
1
EG

G 0
0 E

−
1
2
G
v
1
2
G
v

=
1
u
2

u
2
0
0 1


−u
0

=

−u
0

.
Suy ra : 0 = L
v
− M
u
= 0.Γ
u
uv
+ 0.(Γ
v
uv
− Γ
u
uu
) − 0.Γ
v
uu
= 0
0 = M
v
− N
u

= 0.Γ
u
vv
+ 0.(Γ
v
vv
− Γ
u
uv
) − 0.Γ
v
uv
= 0
(Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ

v
uu
Γ
v
vv
− Γ
u
uv
Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
= 0 − (
1
u
)
u
+ 0 + 0 − 0 −
1
u
2
=
1
u
2
−

1
u
2
= 0 = EK.
Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương
trình Gauss được nghiệm đúng.
b) Ta có X(u, v) = (ucosv, usinv, v),
X
u
= (cosv, sinv, 0),
X
v
= (−usinv, ucosv, 1),
n =
1
√
1 + u
2
(sinv, −cosv, u),
X
uu
= (0, 0, 0),
13
X
uv
= (−sinv, cosv, 0),
X
vv
= (−ucosv, −usinv, 0).
Suy ra E = 1, F = 0, G = u

2
+ 1, L = 0, M = −
1
√
1 + u
2
, N = 0.
Các kí hiệu Christoffel:

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=
1
EG

G 0
0 E

1
2
E
u
−
1
2

E
v

=

0
0


Γ
u
uv
Γ
v
uv

=
1
EG

G 0
0 E

1
2
E
v
1
2
G

u

=
1
u
2
+ 1

u
2
+ 1 0
0 1

0
u

=


0
u
u
2
+ 1



Γ
u
vv

Γ
v
vv

=
1
EG

G 0
0 E

−
1
2
G
u
1
2
G
v

=
1
u
2
+ 1

u
2
+ 1 0

0 1

−u
0

=

−u
0

.
Suy ra: L
v
− M
u
= −
u
√
1 + u
2
3
LΓ
u
vv
+ M(Γ
v
uv
− Γ
u
uu

) − NΓ
v
uu
= 0 −
1
√
1 + u
2
(
u
u
2
+ 1
− 0) − 0 = −
u
√
1 + u
2
3
= L
v
− M
u
M
v
− N
u
= 0
LΓ
u

uv
+ M(Γ
v
vv
− Γ
u
uv
) − NΓ
v
uv
= 0 −
1
√
u
2
+ 1
(0 − 0) − 0 = 0 = M
v
− N
u
= 0
EK =
−1
u
2
+ 1
u
2
+ 1
= −

1
(u
2
+ 1)
2
(Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv
− Γ
u
uv

Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
= 0 − (
u
u
2
+ 1
)
u
+ 0 + 0 − 0 −
u
2
(u
2
+ 1)
2
=
u
2
− 1
(u
2
+ 1)
2

−
u
2
(u
1
+ 1)
2
14
= −
1
(u
2
+ 1)
2
= EK.
Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương
trình Gauss được nghiệm đúng.
c) Ta có X(u, v) = (ucosv, usinv, cu) c = 0,
X
u
= (cosv, sinv, c),
X
v
= (−usinv, ucosv, 0),
n =
1
c
2
+ 1
(−ccosv, −csinv, 1),

X
uu
= (0, 0, 0),
X
uv
= (−sinv, cosv, 0),
X
vv
= (−ucosv, −usinv, 0).
Suy ra E = 1 + c
2
, F = 0, G = u
2
, L = 0, M = 0, N =
cu
√
c
2
+ 1
.
Các kí hiệu Christoffel:

Γ
u
uu
Γ
v
uu

=

1
EG

G 0
0 E

1
2
E
u
−
1
2
E
v

=

0
0


Γ
u
uv
Γ
v
uv

=

1
EG

G 0
0 E

1
2
E
v
1
2
G
u

=
1
u
2
(1 + c
2
)

u
2
0
0 1 + c
2

0

u

=


0
1
u



Γ
u
vv
Γ
v
vv

=
1
EG

G 0
0 E

−
1
2
G
u

1
2
G
v

=
1
u
2
(1 + c
2
)

u
2
0
0 1 + c
2

−u
0

=


−
u
1 + c
2
0



.
Suy ra: LΓ
u
uv
+ M(Γ
v
uv
− Γ
u
uu
) − NΓ
v
uu
= 0 + 0 −
cu
√
c
2
+ 1
.0 = 0 = L
v
− M
u
M
v
− N
u
= −

c
√
c
2
+ 1
LΓ
u
vv
+ M(Γ
v
vv
− Γ
u
uv
) − NΓ
v
uv
15
= −
cu
√
c
2
+ 1
.
1
u
= −
c
√

c
2
+ 1
= M
v
− N
u
(Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv
− Γ

u
uv
Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
= 0 +
1
u
2
+ 0 + 0 −
1
u
2
= 0 = EK.
Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương
trình Gauss được nghiệm đúng.
d) Ta có X(u, v) = (f(u)cosv, f(u)sinv, g(u)) với f

(u)
2
+ g

(u)
2
= 1,

X
u
= (f

(u)cosv, f

(u)sinv, g

(u)),
X
v
= (−f(u)sinv, f(u)cosv, 0),
n = (−g

(u)cosv, −g

(u)sinv, f

(u)),
X
uu
= (f

(u)cosv, f

(u)sinv, g

(u)),
X
uv

= (−f

(u)sinv, f

(u)cosv, 0),
X
vv
= (−f(u)cosv, −f(u)sinv, 0).
Suy ra E = 1, F = 0, G = f
2
(u), L = f

(u)g

(u) − f

(u)g

(u), M = 0,
N = f(u)g

(u).
Ta có K =
LN − M
2
EG − F
2
= (f

(u)g


(u) − f

(u)g

(u))
g

(u)
f(u)
.
Do f

(u)
2
+ g

(u)
2
= 1 nên f

(u)f

(u) + g

(u)g

(u) = 0.
Nên f


(u)g

(u)g

(u) − f

(u)g

(u)
2
= −(f

(u)
2
+ g

(u)
2
)f

(u).
Suy ra K = −
f

(u)
f(u)
.
Các kí hiệu Christoffel:

Γ

u
uu
Γ
v
uu

=
1
EG

G 0
0 E

1
2
E
u
−
1
2
E
v

=

0
0


Γ

u
uv
Γ
v
uv

=
1
EG

G 0
0 E

1
2
E
v
1
2
G
u

16
=
1
f
2
(u)

f

2
(u) 0
0 1

0
f(u)f

(u)

=



0
f

(u)
f(u)




Γ
u
vv
Γ
v
vv

=

1
EG

G 0
0 E

−
1
2
G
u
1
2
G
v

=
1
f
2
(u)

f
2
(u) 0
0 1

−f(u)f

(u)

0

=

−f(u)f

(u)
0

.
Suy ra LΓ
u
uv
+ M(Γ
v
uv
− Γ
u
uu
) − NΓ
v
uu
= 0 = L
v
− M
u
M
v
− N
u

= −f

(u)g

(u) − f(u)g

(u)
LΓ
u
vv
+ M(Γ
v
vv
− Γ
u
uv
) − NΓ
v
uv
= [f

(u)g

(u) − f

(u)g

(u)][−f(u)f

(u)] − f(u)g


(u).
f

(u)
f(u)
= −f(u)f

(u)
2
g

(u) + f(u)f

(u)f

(u)g

(u) − f

(u)g

(u)
= −f(u)f

(u)
2
g

(u) − f(u)g


(u)g

(u)g

(u) − f

(u)g

(u)
= −f(u)g

(u)(f

(u)
2
+ g

(u)
2
) − f

(u)g

(u)
= −f

(u)g

(u) − f(u)g


(u) = M
v
− N
u
(Γ
v
uu
)
v
− (Γ
v
uv
)
u
+ Γ
u
uu
Γ
v
uv
+ Γ
v
uu
Γ
v
vv
− Γ
u
uv

Γ
v
uu
− (Γ
v
uv
)
2
= 0 − (
f

(u)
f(u)
)
u
+ 0 + 0 − 0 −
f

(u)
2
f(u)
2
=
f

(u)
2
− f(u)f

(u)

f(u)
2
−
f

(u)
2
f(u)
2
= −
f

(u)
f(u)
= EK.
Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương
trình Gauss được nghiệm đúng. 
17
2.2 Các hệ quả
Hệ quả 2.2.1. ([4 Theorem 3.1]) Độ cong Gauss của mặt được xác định
chỉ với dạng cơ bản thứ nhất. Nói cách khác K có thể biểu diễn qua E, F , G
và các đạo hàm của chúng.
Chứng minh:
Từ bất kỳ phương trình nào của các phương trình Gauss, ta thấy rằng K có
thể biểu diễn qua E, F , hoặc G cùng với các kí hiệu Christoffel và các đạo hàm
của chúng. Ngoài ra, các kí hiệu Christoffel này, như đã biết chúng có thể biểu
diễn qua E, F , G và các đạo hàm của E, F , G. 
Hệ quả 2.2.2. ([4, Section 3, Chapter 2]) Cho mặt tham số với tham
số hóa trực giao (F = 0). Khi đó ta có:
K = −

1
2
√
EG


E
v
√
EG

v
+

G
u
√
EG

u

.
Chứng minh:
Do F = 0 nên:
Γ
u
uu
=
1
2

E
u
E
; Γ
v
uu
= −
1
2
E
v
G
; Γ
u
uv
=
1
2
E
v
E
; Γ
v
uv
=
1
2
G
u
G

; Γ
u
vv
= −
1
2
G
u
E
; Γ
v
vv
=
1
2
G
v
G
.
Từ phương trình thứ nhất của các phương trình Gauss ta có:
EK = −
1
2
(
E
v
G
)
v
−

1
2
(
G
u
G
)
u
+
1
2
E
u
E
.
1
2
G
u
G
−
1
2
E
v
G
.
1
2
G

v
G
+
1
2
E
v
E
.
1
2
E
v
G
−
1
4
(
G
u
G
)
2
= −
1
2
E
vv
G
+

1
4
E
v
G
v
G
2
−
1
2
G
uu
G
+
1
4
G
2
u
G
2
+
1
4
E
u
G
u
EG

+
1
4
E
2
v
EG
.
Suy ra:
K = −
1
2
√
EG
(
E
vv
√
EG
−
1
2
E
v
G
v
G
√
EG
+

G
uu
√
EG
−
1
2
G
2
u
G
√
EG
−
1
2
E
u
G
u
E
√
EG
−
1
2
E
2
v
E

√
EG
)
= −
1
2
√
EG
(
2E
vv
EG − E
v
E
v
G − E
v
G
v
E
2EG
√
EG
+
2G
uu
EG − G
u
E
u

G − G
2
u
E
2EG
√
EG
)
= −
1
2
√
EG
(
E
vv
√
EG − E
v
E
v
G + EG
v
2
√
EG
EG
+
G
uu

√
EG − G
u
E
u
G + EG
u
2
√
EG
EG
)
18
= −
1
2
√
EG
(
E
vv
√
EG − E
v
(
√
EG)
v
EG
+

G
uu
√
EG − G
u
(
√
EG)
u
EG
)
= −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)
v
+(
G
u
√
EG
)
u

). 
áp dụng hệ quả trên, ta có ví dụ sau.
Ví dụ 2.2.1.
a) Mặt cầu với tham số hóa:
X(u, v) = (Rcosucosv, Rcosusinv, Rsinu)
X
u
= (−Rsinucosv, −Rsinusinv, Rcosu)
X
v
= (−Rcosusinv, Rcosucosv, 0)
Suy ra E = R
2
, F = 0, G = R
2
cos
2
u
Do đó
K = −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)

v
+ (
G
u
√
EG
)
u
) = −
1
2
√
R
4
cos
2
u
(
−2R
2
cosusinu
√
R
4
cos
2
u
)
u
=

1
R
2
.
b) Mặt paraboloid tròn xoay với tham số hóa:
X(u, v) = (ucosv, usinv, u
2
)
X
u
= (cosv, sinv, 2u)
X
v
= (−usinv, ucosv, 0)
Suy ra E = 1 + 4u
2
, F = 0, G = u
2
Do đó
K = −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)

v
+ (
G
u
√
EG
)
u
) = −
1
2

u
2
(1 + 4u
2
)
(
2u

u
2
(1 + 4u
2
)
)
u
=
4
(1 + 4u

2
)
2
.
c) Mặt ellipsoid tròn xoay với tham số hóa:
X(u, v) = (acosucosv, acosusinv, csinu) a, c > 0
X
u
= (−asinucosv, −asinusinv, ccosu)
X
v
= (−acosusinv, acosucosv, 0)
Suy ra E = a
2
sin
2
u + c
2
cos
2
u, F = 0, G = a
2
cos
2
u
Do đó
K = −
1
2
√

EG
((
E
v
√
EG
)
v
+ (
G
u
√
EG
)
u
)
19
= −
1
2

a
2
cos
2
u(a
2
sin
2
u + c

2
cos
2
u)
(
−2a
2
cosu.sinu

a
2
cos
2
u(a
2
sin
2
u + c
2
cos
2
u)
)
u
=
c
2
(a
2
sin

2
u + c
2
cos
2
u)
2
.
d) Mặt giả cầu với tham số hóa:
X(u, v) = (sinucosv, sinusinv, ln(tan
u
2
) + cosu) u =
π
2
X
u
= (cosucosv, cosusinv,
1
sinu
− sinu)
X
v
= (−asinusinv, sinucosv, 0)
Suy ra E =
1
sin
2
u
− 1, F = 0, G = sin

2
u
Do đó
K = −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)
v
+(
G
u
√
EG
)
u
) = −
1
2
√
1 − sin
2
u
(

2cosusinu
√
1 − sin
2
u
)
u
= −1. 
Hệ quả 2.2.3. ([4, Section 3, Chapter 2]) Xét mặt tham số có các hệ số
E = G = λ(u, v) và F = 0. Khi đó, độ cong Gauss cho bởi K = −
1
2λ

2
(ln λ),
trong đó 
2
f =
∂
2
f
∂u
2
+
∂
2
f
∂v
2
.

Chứng minh:
Do F = 0, áp dụng Hệ quả 2.2.2 ta có:
K = −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)
v
+ (
G
u
√
EG
)
u
)
= −
1
2λ
((
λ
v
λ
)

v
+ (
λ
u
λ
)
u
)
= −
1
2λ
(
λ
vv
λ − λ
2
v
λ
2
+
λ
uu
λ − λ
2
u
λ
2
)
= −
1

2λ
((
1
λ
)
v
.λ
v
+
1
λ
λ
vv
+ (
1
λ
)
u
.λ
u
+
1
λ
λ
uu
)
= −
1
2λ
((

1
λ
.λ
v
)
v
+ (
1
λ
.λ
u
)
u
)
= −
1
2λ
((ln λ)
vv
+(ln λ)
uu
) = −
1
2λ

2
(ln λ). 
Ví dụ 2.2.2. Cho mặt tham số có E = G =
1
(u

2
+ v
2
+ C)
2
và F = 0.
20
Khi đó độ cong Gauss là hằng.
Chứng minh:
áp dụng Hệ quả 2.2.3 với λ =
1
(u
2
+ v
2
+ C)
2
ta có:
∂ ln λ
∂u
= (u
2
+ v
2
+ C)
2
.
−2(u
2
+ v

2
+ C).2u
(u
2
+ v
2
+ C)
4
=
−4u
u
2
+ v
2
+ C
⇒
∂
2
ln λ
∂u
2
=
−4(u
2
+ v
2
+ C) + 4u.2u
(u
2
+ v

2
+ C)
2
=
4u
2
− 4v
2
− 4C
(u
2
+ v
2
+ C)
2
)
Tương tự, ta tính được
∂
2
ln λ
∂v
2
=
−4u
2
+ 4v
2
− 4C
(u
2

+ v
2
+ C)
2
Do đó K = −
1
2λ

2
(ln λ) = −
1
2
(u
2
+ v
2
+ C)
2
.
−8C
(u
2
+ v
2
+ C)
2
= 4C
Như vậy, độ cong Gauss là hằng. 
Hệ quả 2.2.4. ([4, Corollary 3.2]) Độ cong Gauss tại các điểm tương
ứng của hai mặt đẳng cự là bằng nhau.

Chứng minh:
Do tại các điểm tương ứng của hai mặt đẳng cự, dạng cơ bản thứ nhất là giống
nhau.
Tuy nhiên, điều ngược lại của hệ quả này không đúng. Để thấy rõ điều
đó, ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 2.2.3. Xét hai mặt chính qui lần lượt được tham số hóa bởi
X(u, v) = (ucosv, usinv, v).
Y (u, v) = (ucosv, usinv, lnu).
Với mỗi (u, v), ta có:
X
u
= (cosv, sinv, 0),
X
v
= (−usinv, ucosv, 1).
Suy ra E
(X)
= 1, F
(X)
= 0, G
(X)
= u
2
+ 1.
Do đó
K
(X)
= −
1
2

√
EG
((
E
v
√
EG
)
v
+(
G
u
√
EG
)
u
) = −
1
2
√
u
2
+ 1
(
2u
√
u
2
+ 1
)

u
= −
1
(u
2
+ 1)
2
.
Y
u
= (cosv, sinv,
1
u
),
Y
v
= (−usinv, ucosv, 0).
21
Suy ra E
(Y )
= 1 +
1
u
2
, F
(Y )
= 0, G
(X)
= u
2

.
Do đó
K
(Y )
= −
1
2
√
EG
((
E
v
√
EG
)
v
+(
G
u
√
EG
)
u
) = −
1
2
√
u
2
+ 1

(
2u
√
u
2
+ 1
)
u
= −
1
(u
2
+ 1)
2
.
Vậy K
(X)
= K
(Y )
.
Tuy nhiên, dạng cơ bản thứ nhất của X và của Y là khác nhau nên chúng
không đẳng cự với nhau. 
Hệ quả 2.2.5. ([4, Lemma 3.3]) Giả sử X là tham số hóa của một mặt có
các đường tọa độ v = v
0
và u = u
0
là các đường chính với các độ cong chính
lần lượt là k
1

, k
2
. Khi đó:
(k
1
)
v
=
E
v
2E
(k
2
− k
1
) và (k
2
)
u
=
G
u
2G
(k
1
− k
2
) .
Chứng minh:
Theo Hệ quả 1.4.2.2 ta có:

L = −k
1
E; N = −k
2
G và F = M = 0
Từ phương trình Codazzi ta có:
 (−k
1
)
v
E + (−k
1
)E
v
= L
v
= −k
1
EΓ
u
uv
+ k
2
GΓ
v
uu
Mà Γ
u
uv
=

1
2EG
.(E
v
G); Γ
v
uu
= −
1
2EG
.(EE
v
)
Do đó L
v
= −k
1
E.
1
2EG
.(E
v
G) − k
2
G.
1
2EG
.(EE
v
)

= −k
1
E
v
2
− k
2
E
v
2
= −
E
v
2
(k
1
+ k
2
)
Suy ra (k
1
)
v
=
1
2
E
v
E
(k

1
+ k
2
) − k
1
E
v
E
=
E
v
2E
(k
2
− k
1
)
 (−k
2
)
u
G + (−k
2
)G
u
= N
u
= k
1
EΓ

u
vv
− k
2
GΓ
v
uv
Mà Γ
u
vv
= −
1
2
G
u
E
; Γ
v
uv
=
1
2
G
u
G
Do đó N
u
= −
1
2

k
1
E.
G
u
E
−
1
2
k
2
G.
G
u
G
= −
1
2
k
1
G
u
−
1
2
k
2
G
u
= −

G
u
2
(k
1
+ k
2
)
22