Khóa luận tốt nghiệp toán học: ứng dụng đường tròn lượng giác để giải một số dạng bài tập dao động điều hòa thuộc chương trình THPT

MỤC LỤC
Phần I : MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Cơ sở nghiên cứu 2
2.1. Cơ sở lý luận 2
2.2. Cơ sở thực tiễn 3
3. Mục đích của đề tài 3
4. Nhiệm vụ nghiên cứu 4
5. Đối tượng nghiên cứu 4
6. Phương pháp nghiên cứu 4
7. Giả thuyết khoa học 4
8. Đóng góp của đề tài 4
9. Cấu trúc của đề tài 4
PHẦN 2 : NỘ DUNG 5
CHƯƠNG I : TÓM TẮT KIẾN THỨC 5
1. Dao động điều hòa 5
1.1. Phương trình động lực học của dao động và nghiệm của nó 5
1.2. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa 5
1.3. Chu kỳ và tần số của dao động điều hòa 5
1.4. Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa 5
1.5. Điều kiện ban đầu : Sự kích thích dao động 6
2. Hệ dao động 6
3. Năng lượng trong dao động điều hòa 6
3.1. Sự bảo toàn cơ năng 6
3.2. Biểu thức của động năng, thế năng và cơ năng 6
4. Tổng hợp dao động 7
4.1. Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số 7
4.2. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp 8
5. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều,biểu diễn
dao động điều hòa bằng vectơ quay. Phương pháp đường tròn lượng giác 8
5.1. Chuyển động tròn đều và các đại lượng đặc trưng 8

5.2. Sự tương giao giữa một dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Biểu diễn dao động điều hòa bằng véctơ quay 8
Chương II 10
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 10
1. Dao động điều hòa 10
1.1. Bài toán về viết phương trình dao động điều hòa 10
1.1.1. Phương pháp giải 10
1.1.2. Ví dụ minh họa 11
1.1.3. Vận dụng. 14
1.2. Bài toán tính thời gian vật đi từ vị trí
1
x
đến vị trí
2
x
15
1.2.1. Phương pháp giải 15
1.2.2. Ví dụ minh họa 16
1.2.3. Vận dụng 22
1.3. Bài toán xác định quãng đường vật đi được trong thời gian t 23
1.3.1. Phương pháp giải 24
1.3.2. Ví dụ minh họa 24
1.3.3. Bài toán tính quãng đường lớn nhất, nhỏ nhất vật đi được trong thời
gian t . 28
1.3.3.1. Phương pháp giải 28
1.3.3.2. Ví dụ minh họa. 29
1.3.4. Vận dụng 30
1.4. Bài toán xác định số lần, thời điểm vật đi qua vị trí x sau thời gian t 32
1.4.1. Xác định số lần vật đi qua vị trí x trong thời gian t 32
1.4.1.1. Phương pháp 32

1.4.1.2. Ví dụ minh họa 33
1.4.2. Xác định thời điểm của vật khi đã đi qua vị trí x 35
1.4.2.1. Phương pháp 35
1.4.2.2. Ví dụ minh họa. 35
1.4.3. Vận dụng 38
1.5. Xác định tốc độ trung bình của vật khi vật đi từ vị trí
12
xx
41
1.5.1. Phương pháp 41
1.5.2. Xác định tốc độ trung bình lớn nhất, nhỏ nhất khi vật đi từ vị trí
12
xx
42
1.5.3. Ví dụ minh họa 42
1.5.4. Vận dụng 46
ĐS : 47
2. Dao động điều hòa của con lắc lò xo 47
2.1. Các đại lượng đặc trưng 47
2.1.1. Chu kỳ, tần số, tần số góc 47
2.1.2. Chiều dài của con lắc lò xo lò xo 48
2.1.3. Lực đàn hồi 48
2.1.4. Lực phục hồi 49
2.1.5. Cơ năng của con lắc lò xo 49
2.2. Phương pháp giải bài toán về con lắc lò xo 49
2.2.1. Bài toán xác định thời gian lò xo nén, thời gian lò xo giãn trong một
chu kỳ dao động. 50
2.2.1.1. Phương pháp giải 50
2.3. Ví dụ minh họa. 51
2.4. Vận dụng 59

Chương III : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 64
1. Mục đích thực nghiệm 64
2. Phương pháp thực nghiệm 64
3. Đối tượng thực nghiệm 64
4. Nội dung thực nghiệm 64
5. Tổ chức thực nghiệm 64
6. Kết quả thực nghiệm 64
6.1. Nội dung phiếu học tập 64
6.2. Kết quả thu được 68
7. Rút kinh nghiệm 69
PHẦN III : KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ 70
1. Kết luận 70
2. Đề nghị 70
TÀI LIỆU THAM KHẢO 72


1
Phần I : MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Thế kỷ 21, thế kỷ của trí tuệ, văn minh nhân loại, thời kỳ mà tri thức và
công nghệ đang đạt tới những tầm cao mới. Cách mạng khoa học công nghệ tiếp
diễn với nhịp độ cao đặt ra nhiều vấn đề mới, thách thức mới, những vấn đề rất
chung, rất tổng quát như trong lĩnh vực tư duy và hoạt động kinh tế xã hội.
Chính điều đó đòi hỏi con người phải được hoàn thiện về mặt giáo dục. Việc đào
tạo người lao động cho xã hội hiện đại dẫn đến sự nghiệp cũng phải đổi mới,
nhằm tạo ra những con người có đầy đủ trí tuệ, năng lực sáng tạo và hoàn thiện
về nhân cách.
Trong những năm gần đây việc đổi mới công tác giáo dục diễn ra rất sôi
động trên thế giới và ở nước ta. Bất kỳ một nền giáo dục nào cũng nhằm đào tạo
ra một thế hệ trẻ có khả năng tham gia một cách tích cực và có hiệu quả vào

công việc xây dựng và phát triển đất nước trong hiện tại và tương lai.
Hiện nay, trong xu thế đổi mới của ngành giáo dục về phương pháp giảng
dạy cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá kết quả giảng dạy và thi tuyển. Cụ
thể là phương pháp kiểm tra đánh giá bằng phương tiện trắc nghiệm khách quan.
Trắc nghiệm khách quan đang trở thành phương pháp chủ đạo trong kiểm tra
đánh giá chất lượng dạy và học trong nhà trường THPT. Điểm đáng lưu ý là nội
dung kiến thức kiểm tra tương đối rộng, đòi hỏi học sinh phải học kĩ, nắm vững
toàn bộ kiến thức của chương trình, tránh học tủ, học lệch và để đạt được kết
quả tốt trong việc kiểm tra, thi tuyển học sinh không những phải nắm vững kiến
thức mà còn đòi hỏi học sinh phải có phản ứng nhanh đối với các dạng toán, đặc
biệt các dạng toán mang tính chất khảo sát mà các em thường gặp.
Trong vật lý học, đặc biệt là cơ học việc xác định vị trí, thời gian để tìm ra
các quy luật chuyển động của vật là rất quan trọng. Trong chương trình vật lý
lớp 12 có rất nhiều dạng bài tập liên quan tới các hàm dao động điều hòa như
hàm sin, hàm cosin. Nhưng việc giải các hàm sin và hàm cosin để từ đó xác định
được thời gian và quãng đường, các đại lượng liên quan khác thường dẫn tới
nhiều khó khăn. Với mong muốn tìm được phương pháp giải các bài toán trắc
nghiệm một cách nhanh chóng đồng thời có khả năng trực quan hoá tư duy của
học sinh và lôi cuốn được nhiều học sinh tham gia vào quá trình giải bài tập
cũng như giúp một số học sinh không yêu thích hoặc không giỏi môn vật lý cảm
thấy đơn giản hơn trong việc giải các bài tập trắc nghiệm vật lý, tôi chọn đề tài:
“ ứng dụng đường tròn lượng giác để giải một số dạng bài tập dao động điều hòa
thuộc chương trình THPT ”.

2
2. Cơ sở nghiên cứu
2.1. Cơ sở lý luận
Bài tập vật lý được đưa ra trong quá trình dạy học vật lý gồm sáu mục đích
cơ bản sau :
- Bài tập giúp cho việc ôn tập đào sâu, mở rộng kiến thức

Trong quá trình học tập học sinh phải vận dụng những kiến thức đã học vào
từng trường hợp cụ thể trong thực tế, giúp các em thấy được ứng dụng muôn
hình muôn vẻ trong thực tiễn của các kiến thức đã học. Ngoài ra bài tập vật lý là
một phương tiện củng cố, ôn tập kiến thức rất sinh động.
- Bài tập có thể là điểm khởi đầu để dẫn dắt tới kiến thức mới.
- Giải bài tập vật lý rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực
tiễn, rèn luyện thói quen vận dụng kiến thức khái quát.
- Giải bài tập vật lý là một trong những hình thức làm việc tự lực cao của
học sinh.
- Giải bài tập vật lý góp phần làm phát triển tư duy sáng tạo của học sinh
- Giải bài tập vật lý để kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của học sinh
* Các bước chung khi giải bài tập vật lý
Bài tập vật lý rất đa dạng cho nên phương pháp cũng rất phong phú. Tuy
nhiên ta có thể đưa ra một dàn bài chung gồm các bước sau:
Bước 1 : Tìm hiểu đầu bài:
- Đọc, ghi ngắn gọn các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm.
- Mô tả tình huống đã nêu trong đề bài nếu cần vẽ hình minh họa.
Bước 2 : Xác lập mối liên hệ cơ bản của các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm.
- Đối chiếu các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm, xem xét bản chất Vật lý
của những tình huống đã cho để xác định các kiến thức, các định luật, các công
thức liên quan.
- Xác lập mối liên hệ cơ bản và các dữ liệu xuất phát và cái phải tìm.
- Tìm kiếm, lựa chọn các mối liên hệ cần thiết tối thiểu sao cho thấy được
mối liên hệ giữa cái phải tìm với các dữ liệu xuất phát, từ đó rút ra cái phải tìm.
Bước 3 : Rút ra cái phải tìm.
- Từ các mối liên hệ cần thiết đã được xác lập tiếp tục luận giải rút ra kết

3
luận cần thiết.
Bước 4 : Kiểm tra, đánh giá

Các phương pháp kiểm tra :
- Kiểm tra xem tính toán đã đúng chưa.
- Kiểm tra xem thứ nguyên có phù hợp không.
- Kiểm tra kết quả bằng thực nghiệm xem có phù hợp không.
- Giải bài toán theo cách khác xem có cùng kết quả không.
Trên đây là các bước chung nhất trong quá trình giải bài tập Vật lý. Tuy
nhiên trong mỗi bài ta không nhất thiết phải theo tất cả các bước mà có thể kết
hợp các bước sao cho phù hợp.
2.2. Cơ sở thực tiễn
Hiện nay sách giáo khoa đã được cải cách, chương trình có nhiều điểm mới
được nâng cao và mở rộng phạm vi kiến thức. Bên cạnh đó những năm gần đây
bộ GD-ĐT đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan trong kì thi tốt
nghiệp THPT cũng như tuyển sinh đại học, cao đẳng đối với nhiều môn học
trong đó có môn Vật Lí. Hình thức thi trắc nghiệm khách quan đòi hỏi học sinh
phải có kiến thức rộng xuyên suốt chương trình và có kĩ năng làm bài, trả lời câu
trắc nghiệm nhanh chóng. Hình thức này cũng kéo theo sự thay đổi trong cách
dạy học, ôn tập, luyện thi đại học cao đẳng của cả giáo viên và học sinh. Nếu
như trước đây giáo viên chỉ dạy các bài tập dạng tự luận, rèn cho học sinh cách
giải và cách trình bày bài tập như thế nào để đạt diểm cao nhất thì hiện nay
ngoài việc hướng dẫn học sinh làm các bài tập theo dạng, giáo viên đồng thời
phải sưu tầm tài liệu, đặc biệt là hệ thống bài tập trắc nghiệm phù hợp theo
chuyên đề để học sinh luyện tập thêm và hướng dẫn học sinh những cách giải
bài tập trắc nghiệm nhanh nhất trong quá trình làm bài thi…
3. Mục đích của đề tài
Nghiên cứu một số ứng dụng của đường tròn lượng giác để giải một số
dạng bài tập dao động điều hòa, đưa ra phương pháp giải chung cho một số dạng
bài tập thuộc chương trình Vật lý 12 THPT. Nhằm nâng cao chất lượng dạy và
học, từ đó giúp học sinh có cái nhìn mới, nhẹ nhàng về mặt toán học, hình thành
phương pháp luận căn bản để giải quyết các vấn đề khi gặp phải, đồng thời
cũng giúp cho các em có thể phân biệt được, áp dụng được các điều kiện cụ thể

trong từng bài tập. Bên cạnh đó, trên cơ sở những kết quả đã nghiên cứu, các
kiến thức được phân loại trong từng trường hợp vận dụng giúp học sinh ghi nhớ

4
và áp dụng một cách tích cực và nhanh chóng nhằm rút ngắn thời gian làm bài,
chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào Đại học – Cao đẳng,
giúp học sinh tự ôn tập, tự đánh giá và yêu thích môn vật lý.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận liên quan đến việc dạy học một số dạng bài tập
thuộc phần dao động cơ trong chương trình vật lý 12.
- Tìm hiểu ứng dụng về quan hệ của dao động điều hòa và chuyển động
tròn đều. Phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác để giải một số dạng bài
tập dao động cơ liên quan.
5. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu một số dạng bài tập phần dao động cơ trong chương trình
THPT (vật lý 12).
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp điều tra – quan sát.
7. Giả thuyết khoa học
Nếu biết cách phân loại các bài tập về Dao động cơ và sử dụng phương
pháp giải bài tập một cách hợp lý sẽ giúp cho học sinh giải các bài tập về phần
Dao động cơ nhanh hơn, chính xác hơn, dễ dàng hơn.
8. Đóng góp của đề tài
Làm tài liệu tham khảo cho giáo viên trong công tác dạy học vật lý ở
trường THPT. Giúp HS rèn luyện phương pháp giải bài tập, giúp hiểu sâu bài
học, củng cố các kỹ năng giải bài tập từ cơ bản tới nâng cao, làm quen với mức
độ khó của đề thi tốt nghiêp THPT và tuyển sinh Đại học - Cao đẳng.
9. Cấu trúc của đề tài

Mục lục
Phần I : Mở đầu
Phần II : Nội dung.
Chương I : Tóm tắt kiến thức.
Chương II : Các dạng bài tập và phương pháp giải.
Phần III : Kết luận và đề nghị.
Tài liệu tham khảo.


5
PHẦN 2 : NỘ DUNG
CHƯƠNG I : TÓM TẮT KIẾN THỨC

1. Dao động điều hòa
1.1. Phương trình động lực học của dao động và nghiệm của nó
Dao động cơ học là chuyển động qua lại quanh vị trí cân bằng.
Xét dao động của vật nặng (m) gắn với một lò xo có độ cứng k.
- Phương trình động lực học của vật :
2
x'' x 0  
với
2
k
m


- Nghiệm của phương trình
2
x'' x 0  
có dạng

x Acos( t )   
trong
đó A, ,  là những hằng số, gọi là phương trình dao động.
1.2. Các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa


x
là li độ là tọa độ của vật tính từ VTCB.

A là biên độ dao động,
A0
và
max
xA
.


t  
là pha dao động tại thời điểm t.



là pha ban đầu, tức là pha
t  
tại thời điểm
t0
.




là tần số góc của dao động, đơn vị là rad/s.
1.3. Chu kỳ và tần số của dao động điều hòa
- Chu kỳ T là khoảng thời gian vật thực hiện được một dao động toàn phần
t1
T
Nf

(s) với t là khoảng thời gian vật thực hiện được N dao động.
- Tấn số f là số dao động vật thực hiện được trong 1 giây :
1
f
T

(hz).
1.4. Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa
+ Vận tốc của vật :
v x' - Asin( t ) Acos( t )
2

           
.
+ Khi
x A v 0   
tại 2 vị trí biên .
+ Khi
max
x 0 v A   
tại VTCB.
+ Vận tốc nhanh pha hơn li độ 1 lượng
2


.

6
+ Gia tốc của vật :
22
a Acos( t ) Acos( t )          

và
2
ax 
.
+ Gia tốc nhanh pha hơn vận tốc 1 lượng
2

.
+ Gia tốc ngược pha so với li độ và có độ lớn tỉ lệ với li độ.
+ Khi ở 2 biên
2
max
x A a A    
.
+ Khi ở VTCB
x 0 a 0  
.
1.5. Điều kiện ban đầu : Sự kích thích dao động
Xét một vật dao động là con lắc lò xo. Kích thích vật bằng cách đưa nó ra
khỏi vị trí cân bằng một đoạn
o
x

rồi thả tự do (
o
v0
)
Nếu chọn gốc thời gian
t0
thì lúc thả vật tự do ở li độ x
o
ta có điều kiện
ban đầu sau :
o
x(t 0) x
và
v(t 0) 0
ta có :
o
o
x(t 0) Acos x
0, A x
v(t 0) Asin 0
   

   

    


Vậy phương trình dao động của dao động điều hòa là :
o
x x cos t

.
2. Hệ dao động
- Hệ dao động là hệ gồm vật dao động và vật tác dụng lực kéo về (lực phục
hồi) gây nên dao động.
- Dao động của hệ xảy ra chỉ do tác dụng của nội lực gọi là dao động tự do.
Một vật hay một hệ dao động tự do theo một tần số góc xác định là tần số góc
riêng của vật hay hệ đó.
3. Năng lượng trong dao động điều hòa
3.1. Sự bảo toàn cơ năng
Trong các con lắc mà ta xét ở chương này thì vật nặng chịu tác dụng của
lực đàn hồi (
xFk
) hoặc trọng lực (
P mg
) là các lực thế, do đó cơ năng
của vật dao động được bảo toàn.
3.2. Biểu thức của động năng, thế năng và cơ năng
Xét con lắc lò xo dao động theo phương trình :
x Acos( t )   


7

Động năng của vật W
đ

2
1
mv
2


(J)
+ Động năng của vật tỉ lệ thuận với vận tốc
Biểu thức của động năng
2 2 2
đ
1
W m A sin ( t )
2
    
.

Thế năng của vật
2
t
1
W kx
2

(J)
+ Thế năng của vật tỉ lệ thuận với li độ
x
của vật
Biểu thức của thế năng W
t
=
22
1
kA cos ( t )
2

  
.

Cơ năng của vật bằng tổng của động năng và thế năng của vật

2 2 2 2 2
t đ
1 1 1 1
W W W kx mv kA m A (J)
2 2 2 2
      
.
Chú ý rằng :
2
km
, Cơ năng tỷ lệ với bình phương biên độ dao động A
và luôn không đổi trong suốt quá trình dao động.
4. Tổng hợp dao động
4.1. Tổng hợp hai dao động cùng phương, cùng tần số
Ta có 2 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có dạng sau :
+ Dao động thứ nhất có dạng :
1 1 1
x A cos( t+ )  
.
+ Dao động thứ hai có dạng :
2 2 2
x A cos( t+ )  
.
+ Dao động tổng hợp có dạng là :
12

x x x Acos( t+ )    
.


.





8
4.2. Biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp
+ Biện độ tổng hợp xác định là :
22
1 2 1 2 2 1
A A A 2A A cos( )     

Pha ban đầu được xác định :
1 1 2 2
1 2 2 2
A sin A sin
tan
A cos A cos
  

  

* Nếu hai dao động thành phần:
- Cùng pha:
12

2n A A A     
và
1
  
hoặc
2
  

- Ngược pha:
12
(2n 1) A A A     

và
1
  
(nếu A
1
> A
2
),
2
  
(nếu A
1
< A
2
) .
- Vuông pha:
22
12

(2n 1) A A A
2

     


- Nếu độ lệch pha là bất bất kỳ thì :
1 2 1 2
A A A A A   

5. Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều,biểu diễn
dao động điều hòa bằng vectơ quay. Phương pháp đường tròn lượng giác
5.1. Chuyển động tròn đều và các đại lượng đặc trưng
* Chuyển động tròn đều là : “Chuyển động chất điểm đi được những cung
tròn bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau”.
* Các đại lượng đặc trưng của chuyển động tròn đều :
+ Chu kỳ T là khoảng thời gian chất điểm đi hết một vòng trên đường tròn
+ Tần số
f
là số vòng chất điểm quay được trong một đơn vị thời gian
+ Liên hệ giữa chu kỳ và tần số
1
T
f


+ Tốc độ góc của chuyển động tròn đều : Tốc độ góc

là góc quay được
của bán kính trong một đơn vị thời gian

t


. Đơn vị là rad/s.
5.2. Sự tương giao giữa một dao động điều hòa và chuyển động tròn đều.
Biểu diễn dao động điều hòa bằng véctơ quay
Một dao động điều hòa có dạng
x Acos( t )   
có thể được điểu diễn
tương ứng với một chuyển động tròn đều có :
- Bán kính của đường tròn bằng với biên độ dao động :
RA


9
- Vị trí ban đầu của vật trên đường tròn hợp với chiều dương trục ox một
góc

.
- Tốc độ quay của vật trên đường tròn bằng


- Chiều quay của vật ngược chiều kim đồng hồ.

Ta có hình vẽ biểu diễn một dao động điều hòa
x Acos( t )   
bằng
một véctơ quay
OM
như hình vẽ trên :
Độ dài đại số của hình chiếu trên trục x của véc tơ quay
OM
biểu diễn
dao động điều hòa chính là li độ x của dao động
+ Khi véc tơ
OM
quay đều với tốc độ góc


quanh điểm O thì hình chiếu
P của điểm M dao động điều hòa trên trục ox, thuộc mặt phẳng quỹ đạo của M
với li độ bằng tọa độ hình chiếu của M.
+ Biên độ A bằng độ dài véctơ
OM

+ Tốc độ góc đúng bằng tần số góc

và pha ban đầu

bằng góc
xOM

tại thời điểm ban đầu

t0
.

“ Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một vật chuyển
động tròn đều nằm trong mặt phẳng quỹ đạo ”.





x
M
O
A
A
()
()

P

10
Chương II
CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dao động điều hòa
1.1. Bài toán về viết phương trình dao động điều hòa
1.1.1. Phương pháp giải
+ Bước 1 : Chọn hệ quy chiếu biểu diễn dao động điều hòa
- Xác định trục tọa độ : Có phương là phương dao động, gốc là VTCB O
của vật, chiều dương trùng với chiều ox, chiều âm hướng ngược lại.

- Xác định gốc thời gian
t0
, nếu đề bài không cho thì thường chọn gốc thời
gian là lúc bắt đầu dao động. Nếu không xác định được thời điểm vật bắt đầu dao
động thì chọn thời điểm ban đầu là lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương.
- Biểu diễn dao động điều hòa : Vẽ đường tròn lượng giác, biểu diễn các
giữ kiện của đầu bài lên đường tròn lượng giác như : Vận tốc, li độ
o
x
ban đầu…









+ Bước 2 : Viết phương trình dao động
x Acos( t )   
(1)
+ Bước 3 : Dựa vào các điều kiện của bài toán đã cho và các công thức liên
quan để tìm ra các giá trị cụ thể của
A, ,
rồi thay vào (1).
- Xác định
k2
2f
mT


    
.
- Xác định biên độ :
2 2 2
2
max
max
2 2 4 2
a
v v a v
Ax     
    
.
x
M
O
A
A
()
()

o
x
0t 

11
Ngoài ra ta còn có thể tính A theo các đại lượng khác.
- Xác định


: Góc

là góc hợp bởi
(Ox và OM) và là góc xOM

Từ hình vẽ ta xác định

theo chiều ban đầu.
Cuối cùng ta thay các giá trị của
A, ,
vào phương trình (1).
1.1.2. Ví dụ minh họa
1. Hãy biểu diễn các Phương trình dao động sau trên đường tròn lượng giác
a.
x 10cos(2 t)
cm.
b.
x 5cos( t )
22


cm.
HD :
a.
x 10cos(2 t)
cm.
Ta vẽ đường tròn xác định
+ Biên độ
A 10
cm.

+ Vì
0 OM  
song song
với
Ox 
ban đầu tại thời điểm

t0
vật đang ở vị trí biên dương
x A 10
cm.
b.
x 5cos( t )
22


cm.
Ta vẽ đường tròn xác định
+ Biên độ
A5
cm.
+ Vì
OM
2

   
vuông góc
với
Ox 
ban đầu tại thời điểm

t0
vật đang ở VTCB
x0
cm và đang
chuyển động theo chiều dương.
2. Một lò xo có độ cứng
k 50
N/m đặt nằm ngang, một đầu cố định vào
tường, đầu còn lại gắn vật khối lượng
m 500g
. Kéo vật ra khỏi vị trí cân bằng
x
M
O
10
10
()
()
0


0t 
x
M
O
5
5
()
()
2




0t 

12
một khoảng
x3
cm và truyền cho vật một vận tốc
v 10
cm/s theo chiều
dương. Viết phương trình dao động của vật.
HD :
+ Tần số góc của dao động điều hòa:

k
10
m
  
rad/s.
+ Biên độ dao động của vật được tính
bởi công thức:
+
22
2
2
22
v 10
A x 3 2cm
10

    

.
Từ hình vẽ bên ta thấy :
Có hai vị trí trên đuờng tròn, mà ở đó đều có vị trí
x3
cm
+
3
cos
26

     
rad hoặc
6


rad.
+ Trên đường tròn thì vị trí B có
6

  
tương ứng với vật dao động đi
theo chiều dương, còn vị trí C có
6


ứng với vật dao động đang đi theo chiều
âm. Như vậy vị trí B là phù hợp với yêu cầu của đề bài.
Chọn

6

  
(rad). Vậy nghiệm của bài toán là
x 2cos(10t )
6


(cm)
3. (ĐH – 2011) Một chất điểm dao động điều hòa trên trục ox, trong thời gian
31,4s
chất điểm thực hiện được
100
dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc
chất điểm đi qua vị trí
x 2cm
theo chiều âm với tốc độ
40 3cm / s
, lấy
3,14
. Phương trình dao động của chất điểm là :
A.
x 6cos(20t )
6


cm B.
x 4cos(20t )
3



cm
C.
x 4cos(20t )
3


cm D.
x 6cos(20t )
6


cm

2
O
x
B
C
()
2
3


13
HD :
+Ta có
t 31,4 2 2
T 0,314(s) 20
N 100 T 0,314

  
       
(rad/s).
+ Biên độ :
22
22
22
v (40 3)
A x 2 4 cm
20
     


+ Tại thời điểm ban đầu
t0
có
x 2cm
,
v 40 3
cm/s vật chuyển
động theo chiều âm, ta có hình vẽ :
Từ hình vẽ thấy:
x 2 1
cos
A 4 2
   

3

  

rad hoặc
3

  
rad.
Trên đường tròn có 2 vị trí thỏa mãn
nhưng vì vật chuyển động theo chiều (-) nên
từ hình vẽ
3

  
là thỏa mãn.
Vậy PTDĐ của vật là :
x 4cos(20t )
3


cm. Chọn đáp án B.
4. Một vật dao động điều hòa với tần số là 2hz, biết rằng khi vật đi qua VTCB
thì có tốc độ là
16
cm/s. Chọn gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li
độ
x 2 2
cm và vận tốc đang có giá trị dương. Phương trình dao động của vật
là :
A.
x 2cos(4 t )
6


  
cm B.
x 4cos(4 t )
4

  
cm
C.
x 4cos(4 t )
4

  
cm D.
x 4cos(4 t )
6

  
cm
HD :
+
2 f 4   
(rad/s)
+ Khi vật đi qua VTCB thì tốc độ của vật đạt giá trị cực đại
max
vA

2
M
3




()
()
O
1
M
4
x
4
2

14

max
v 16
A4
4

  

cm.
+ Tại thời điểm ban đầu
t0
ta có
x 2 2
cm, và
v0
, vật
chuyển động theo chiều dương, ta có hình vẽ sau :

+
x 2 2 2
cos
A 4 2
   

- Từ hình vẽ ta thấy :
4

  
hoặc
4

  

Trên đường tròn có 2 vị trí thỏa mãn
vì vật chuyển động theo chiều (+) nên ta chọn

4

  
là thỏa mãn.
Vậy PTDĐ của vật là :
x 4cos(4 t )
4

   
Đáp án B.
**Chú ý :
Khi làm bài trắc nghiệm tại thời điểm

t0
thì vận tốc :
v Asin 0   

+ Nếu vật chuyển động theo chiều (+) thì
v 0 sin 0 0      
.
+ Nếu vật chuyển động theo chiều (-) thì
v 0 sin 0 0      
.
+ Khi làm bài trắc nghiệm, nên đọc kỹ đề bài, xem xét 4 đáp án, nếu thấy
ở 4 đáp án có các dữ kiện cần tính giống nhau thì ta không cần tính dữ kiện đó
nữa, mà lấy luôn dữ kiện đó để tính toán tiếp. Chú ý từng tính chất, ý nghĩa của
từng khái niệm, định nghĩa thì sẽ rút ngắn được thời gian làm bài.
1.1.3. Vận dụng.
1. Một vật dao động điều hòa trên một đoạn thẳng dài
10cm
, trong 20s đầu tiên
vật thực hiện được 10 dao động. Viết PTDĐ của vật tại vị trí vật có li độ
x 2,5cm
và đang có vận tốc âm.
2. Một vật DĐĐH có chu kỳ là 4s, biên độ là 5cm. Viết PTDĐ của vật khi:
a. Vật ở vị trí có gia tốc cực tiểu và có vận tốc dương.
b. Vật có vận tốc cực đại và có giá trị âm.
1
M
22
()
()
4

4

x

2
M
O

15
3. Một vật dao động điều hòa có vận tốc cực đại và gia tốc cực đại lần lượt là
10
cm/s và
22
20 cm / s
. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí có li độ
x 2,5 2
cm và đang chuyển động nhanh dần. Hãy viết PTDĐ của vật.
4. Vật dao động điều hòa với biên độ là 10cm, chu kỳ là 2s. Chọn gốc thời gian
là lúc vật qua vị trí có vận tốc dương và có giá trị bằng một nửa vận tốc tại
VTCB, biết rằng vật đang chuyển động chậm dần. Viết PTDĐ của vật trên.
ĐS :
1.
x 5cos( t )
3

  
cm
2. a. Vật có gia tốc cực tiểu
v 0 0 x 4cos( t )
22


      
cm.
b.
max
v 0 x 0 và 0    

x 4cos( t )
22

  
cm.
3. +
max
max
a
v

và
max
v
A 

, ban đầu
x 2,5 2
cm động nhanh dần suy ra
vật hướng về vị trí cân bằng O

vật chuyển động theo chiều âm
0  

x 5cos(2 t )
8

   
cm.
4. Biến đổi từ biểu thức của x và v ta có biểu thức
+
22
max
22
max
x v 1 A 3
1, v v x
A v 2 2
     

+
v 0 0   
,vật chuyển động chậm dần
A3
x 5 3
2
  
cm
x 10cos( t )
6

   
cm.

1.2. Bài toán tính thời gian vật đi từ vị trí
1
x
đến vị trí
2
x

1.2.1. Phương pháp giải
+ Bước 1 : Chọn hệ quy chiếu, biểu diễn các vị trí
1
x
,
2
x
trên đường tròn
lượng giác
- Chọn chiều (+) trùng chiều với trục ox.

16
- Xác định vị trí, thời điểm ban đầu của vật và biểu diễn
1
x
và
2
x
, xác định
chiều chuyển động từ
1
x
đến

2
x
.
+ Bước 2 : Xác định góc quét

chắn cung vật đi từ
1
x
đến vị trí
2
x
.








+ Bước 3 : Thời gian quét cung vật đi được từ
1
x
đến
2
x
chính là thời gian
vật quay từ
12
MM

trên đường tròn. Áp dụng công thức :
t .T
2



(s).
1.2.2. Ví dụ minh họa
1. Một vật DĐĐH theo phương trình :
x 4cos(2 t )
2

  
cm. Tính thời gian vật
đi từ vị trí ban đầu tới vị trí
a.
x2
cm
b.
x 2 3
cm
c.
x4
cm
HD :
+ Từ phương trình ta thấy
0
2

   

. Vậy ban đầu vật đang ở vị trí cân
bằng O và đang chuyển động theo chiều dương.
a. Thời gian vật đi từ vị trí cân bằng
x 0 x 2cm  
theo chiều (+).
Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm
1
M
tới điểm
2
M

Từ hình vẽ góc chắn cung
12
MM
là

ta có :

()
x
O
A
A
()

1
x
1
M

2
M
2
x

17
+
21
sin
4 2 6

     
(rad).


+ Áp dụng :
1
t
6.2 12

  

(s)

b. Thời gian vật đi từ tới
x 0 x 2 3  
theo chiều (+)
Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm
1
M

tới điểm
3
M
.
Từ hình vẽ dưới ta có :

+
2 3 3
sin
4 2 3

     
(rad)
+Có :
1
t
3.2 6

  

(s).

c. Thời gian vật đi từ
x0
tới
x4
theo chiều (+).
+ Ta có hình vẽ như trên : (hình câu b)
Thời gian cần tính là thời gian vật đi được từ điểm
1

M
tới điểm
4
M
, từ hình vẽ
ta thấy:
1
OM
vuông góc với
4
OM

2

  
(rad)
+ Có :
1
t
2.2 4

  

(s).
2. Một vật dao động có phương trình :
x Acos( t )   
. Tính thời gian
a. Vật đi từ vị trí
x0
theo chiều (+) tới vị trí

xA
.
b. Vật đi từ vị trí
A3
x
2

đến vị trí
A
x
2

theo chiều (+).
HD : Cách 1 .
a. Ta biểu diễn các dữ kiện lên hình vẽ :
Thời gian cần tính là thời gian
x
1
M
O
()
4
4
23
3
M

4
M


x
1
M
O
()
()

4
4
2
2
M


18
vật quét cung
12
M AM
và bằng
thời gian vật đi từ vị trí
x 0 x A x A     

Từ hình vẽ bên ta có :
Góc chắn
3
22

    
cung
12

M AM

là :
3 3T
t .T .T
2 2.2 4
  
   
  
.
* Cách 2 : Ta có thể chia bài toán làm 2 giai đoạn tính riêng biệt từng
phần sau đó cộng 2 kết quả lại với nhau.
- Thời gian vật đi từ
x 0 x A  
là
1
T
t .T .T
2 2.2 4

  


- Thời gian vật đi từ
x A x A   
là
2
T
t .T .T
2 2 2





- Thời gian cần tính là
12
T T 3T
t t t
4 2 4
    
.
b. Thời gian vật đi từ vị trí
1
A3
x
2

đến vị trí
2
A
x
2

theo chiều (+).
- Thời gian cần tính là thời gian vật đi từ vị trí có li độ
1
A 3 A
x x 0 x
22
     

.
Từ hình vẽ bên có :
+
1
11
x3
sin
A 2 3

     
(rad)
+
2
22
x1
sin
A 2 6

     
(rad)

12
T
t .T .T
3 6 2 2 2.2 4
    
            

.
3. Một vật DĐĐH có biên độ là A, chu kỳ T. Tính thời gian giữa hai lần liên tiếp

li độ của vật đạt giá trị cực đại
A
1
M
x
A
()
2
M
O
()

2

x
1
M
O
()
()
3
2
A

2
A
2
M
1


2


19
A.
T
3
B.
T
2
C.
T
6
D.
T
12

HD :
+ Li độ x của vật đạt giá trị cực đại tại
2 vị trí biên .
+ Giả sử
max
xA
là vị trí li độ
đạt giá trị cực đại lần thứ nhất
max
xA
là giá trị cực đại lần thứ hai.
Vậy thời gian giữa 2 lần lien tiếp li độ
đạt giá trị cực đại là thời gian vật đi từ

vị trí
max
xA
tới
max
xA
.
+ Góc quét
T
tT
22

     

.
4. (Sách giáo khoa vật lý cơ bản) Một vật DĐĐH phải mất
0,25s
để đi từ điểm
có vận tốc bằng 0 tới điểm tiếp theo vẫn như vậy. Khoảng cách giữa hai điểm là
36cm. Tính : Chu kỳ, tần số, biên độ của vật.
HD :
+ Trên hình vẽ vận tốc
v0
tại 2 vị trí biên
+ Vật đi từ vị trí biên âm tới biên âm tương ứng với góc quét là :

T
tT
22


      


Từ đầu bài có thời gian vật đi từ
vị trí
v 0 v 0  
là :
T1
0,25 T 0,5 f 2hz
2T
     
.
+ Theo bài ra vật đi từ vị trí
v 0 v 0  
ứng với
x A 0 x A    

hết quãng đường là 36 cm, từ hình vẽ ta thấy
2A 36 A 18cm  
.

O
axm
xA
axm
xA
()
()
1
M

2
M

x
O
A
A
()
()

0v 
0v 

20
**Lưu ý :
+ Ta thấy 1 chu kỳ, vật quay được 1 vòng tròn quét được 1 góc
2  
.
+ Vật quét được nửa đường tròn ứng với thời gian là
T
2
.
+ Một đường tròn chia làm 4 phần bằng nhau, thời gian quét từng phần đó
là như nhau và đều bằng
T
4
, đều quét được góc
2



.
Ta có 1 số trường hợp đặc biệt cần ghi nhớ sau đây :
Vị trí
12
xx

Góc quét


Thời gian
t

12
A
x 0 x
2
   

6



T
t
12


12
x 0 x A   

2



T
t
4


12
x A x A    

  

T
t
2


12
AA
xx
22
    

3



T

t
6


12
A
x x A
2
   

3



T
t
6


12
A2
x 0 x
2
   

4



T

t
8


12
A3
x 0 x
2
   

3



T
t
6


12
A2
x x A
2
    

4



T

t
8



21
12
A3
x x A
2
    

6



T
t
12


12
A
x x A
2
    

2
3




T
t
3


12
A3
x x A
2
    

5
6



5T
t
12


12
A 2 A 3
xx
22
    

12




T
t
24


12
A A 3
xx
22
    

6



T
t
12


12
A 2 A
xx
22
    

12




T
t
24



+ Vì DĐĐH có tính chất đối xứng nên các khoảng thời gian cũng có tính
chất đối xứng. Từ đó ta có thể tính tương tự với các vị trí khác.
+ Nếu ta nhớ được các khoảng thời gian đặc biệt thì khi gặp bài toán trắc
nghiệm chúng ta sẽ làm bài nhanh, chính xác hơn.
5. Một vật dao động điều hòa trên một đoạn thẳng dài
12
cm, chu kỳ dao động
là
4s
. Trong một chu kỳ dao động khoảng thời gian để li độ ở trong khoảng
 
3cm,3cm
là
A.
4
s
3
B.
3
s
4

C.
2
s
3
D.
4s

HD :
+ Biên độ dao động của vật là 6 cm