đề tài một số bài toán về cực trị hình học

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới cô giáo Dương
Minh Ngọc cô đã tận tâm nhiệt tình chỉ bảo, hướng dẫn động viên giúp đỡ em
trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài này.
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo trong tổ bộ môn Toán đã tạo điều
kiện thuận lợi cho em hoàn thành đề tài.
Em xin chân thành cảm ơn!
Vinh, ngày tháng năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Thương
MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Giả thuyết khoa học
5. Nhiệm vụ nghien cứu
6. Phương pháp nghiên cứu
7. Đóng góp của đề tài
8. Bố cục của đề tài
B. NỘI DUNG
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương I. Cơ sở lý thuyết
1. Cực trị hình học
1.1. Khái niệm
1.2. Phương pháp chung để giải bài toán cực trị hình học
1.2.1. Phương pháp định hướng để giải bài tập cực trị hình học
1.2.2. Một số kiến thức hỗ trợ để giải bài tập cực trị hình học
1.2.2.1. Bất đẳng thức tam giác

1.2.2.2. Đường vuông góc và đường xiên
1.2.2.3. Độ dài đường gấp khúc
1.2.2.4. Một số tính chất liên quan
1.2.2.5. Bất đẳng thức Cauchy và một số hệ quả
1.2.2.6. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
2. Các phép toán vecto
Chương II. Các dạng bài tập
Dạng 1: Cực trị trong hình học sơ cấp
Phương pháp 1:Vận dụng quan hệ giữa đừơng xiên và đường vuông góc
Phương pháp 2: Vận dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc
Phương pháp 3: Áp dụng BĐT trong đường tròn.
Phương pháp 4: Áp dụng BĐT đại số.
Dạng 2: Cực trị trong hình học Vectơ
Phương pháp 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vectơ.
Phương pháp 2: Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng vectơ
Phương pháp 3:Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng hai vectơ
C. KẾT LUẬN…………………………………… …………………… 39
D. DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………… 40
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng. Các kiến thức
và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học
khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Đồng thời môn Toán còn giúp học
sinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả
năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và
thẩm mỹ của người công dân. Ở trường THCS, trong dạy học Toán cùng với việc
hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí…thì
việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những
vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học
sinh THCS, có thể coi việc giải toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.

Các bài toán về cực trị trong hình học rất đa dạng, phong phú và có một ý
nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học THCS. Để giải quyết các
bài tập toán về cực trị người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các
biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải
quyết các bài tập toán loại này. Các bài toán cực trị đã gắn toán học với thực tiễn vì
việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chính là việc tìm những cái tối ưu thường
đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.Ngay trong tự nhiên, những hình có dạng đều,
chúng mang những tính chất rất đặc biệt, trong nó chứa ẩn những tính chất “cực
trị” mà các hình khác không có được như tam giác đều, hình vuông, lục giác đều
hoặc hình tròn, khối cầu,….Ngày nay những bài toán cực trị vẫn được quan tâm và
nghiên cứu.Những phương pháp giải và các dạng bài tập này trong hình học rất đặc
trưng và bắt nguồn từ lý thuyết cơ bản của toán học.
Chính vì vậy mà chuyên đề “Một số bài toán về cực trị hình học” rất thiết
thực với những ai muốn tìm hiểu về toán sơ cấp. Đây là một trong những phần rất
phức tạp khó hiểu nhưng khi đi sâu vào tìm hiểu chúng thì mỗi người lại cảm thấy
thú vị nhờ tính độc đáo, thấy được cái hay ở trong các dạng toán. Mỗi dạng sẽ có
những phương pháp giải khác nhau mang tính chất khoa học tư duy lôgic cao.
Là một sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, là một giáo viên
giảng dạy trong tương lai thì việc truyền tải kiến thức, tìm ra cách giải toán nhanh
gọn dễ hiểu là yếu tố rất cần thiết không thể thiếu. Vì vậy, để đảm bảo kiến thức
giảng dạy sau này, em đã chọn đề tài “Một số bài toán về cực trị hình học” . Đề
tài này chỉ giới thiệu về một số bài tập tìm cực trị cơ bản thường gặp trong hình
học phẳng và hình học vectơ.Trong mỗi phương pháp sẽ có các ví dụ minh họa.Và
cuối cùng là phần bài tập tổng hợp với các bài tập giải bằng những phương pháp
khác nhau.
2. Mục đích nghiên cứu
- Bước đầu làm quen, tập duyệt nghiên cứu khoa học
- Nâng cao kiến thức về môn hình học sơ cấp và thực hành giải toán
- Có cách nhìn tổng quát hơn môn hình học sơ cấp và thực hành giải toán
- Lôi cuốn thu hút học sinh giáo viên tìm tòi các bài toán liên quan đến cực trị

hình học
- Dùng làm tài liệu cho quá trình học tập và giảng dạy sau này.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết về cực trị hình học
- Nghiên cứu tài liệu tham khảo
- Giáo viên, sinh viên lớp k34 toán – lý, toán – tin Trường CĐSP NGHỆ AN
- Thời gian thực hiện đề tài: Từ tháng 9/2014 đến tháng 11/2014
4. Giả thuyết khoa học
- Nếu đề tài được thực hiện thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng học tập môn
môn hình học sơ cấp và thực hành giải toán nói chung và cực trị hình học nói
riêng.
- Có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên CĐSP toán tin - toán lý
Trường CĐSP NGHỆ AN
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tìm hiểu đặc điểm, nội dung giáo trình môn hình học sơ cấp và
thực hành giải toán nói chung và cực trị hình học nói riêng.
- Đưa ra các dạng bài toán và các phương pháp giải các bài toán về cực trị
hình học.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp lí luận: nghiên cứu lí thuyết trong giáo trình và trong các tài
liệu tham khảo
- Phương pháp thực hành, luyện tập từ lý thuyết áp dụng và bài tập
- Phương pháp điều tra, quan sát
- Phương pháp thu thập và xử lí thông tin
- Phương pháp so sánh, đối chiếu
7. Tính mới của đề tài
- Một số dạng bài tập nâng cao về cực trị hình học.
- Hệ thống được các dạng bài tập và phương pháp giải các dạng bài tập.
- Qua mỗi dạng rút ra được các nhận xét.
8. Bố cục của đề tài

PHẦN A: MỞ ĐẦU
PHẦN B: NỘI DUNG
PHẦN C: KẾT LUẬN
PHẦN D: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHẦN B. NỘI DUNG
CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1. Cực trị hình học
1.1. Khái niệm
Đó là những bài toán có dạng sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của một
đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của một
hình, diện tích của một hình v.v ) sao cho:
y
1
≤ y ≤ y
2
Trong đó y
1
, y
2
là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y đồng thời phải chỉ
rõ vị trí hình học của y (hoặc hình có chứa y ) để tại đó y đạt giá trị cực tiểu
y = y
1
hoặc cực đại y = y
2

1.2. Phương pháp chung để giải bài toán cực trị hình học
1.2.1. Phương pháp định hướng để giải bài tập cực trị hình học
Người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo hai cách sau đây:

Cách 1:
Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điều
kiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại
lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại
lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng
có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán. Biểu thị ẩn
số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương
biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ
đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị).
Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình
nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"
Cách 2:
Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có
chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong
hình đã đưa ra.
Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã
được nói rõ trong đầu bài.
* Chú ý quan trọng:
Có trường hợp để tìm cực trị của một đại lượng A, ta chia A thành tổng của nhiều
đại lượng khác: A = B + C + rồi đi tìm cực trị của B và C từ đó suy ra cực trị
của A, ta cần chứng minh: Khi B đạt cực trị thì C cũng đồng thời đạt cực trị và
ngược lại.
Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn( P không trùng với
O).Xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
Giải :
+Cách 1 :
H
O
C
D

A
B
P
h .1
Gọi AB là dây vuông góc với OP tại P , và dây CD là dây bất kỳ đi qua P và
không trùng với AB ( h.1).
Kẻ OH ⊥ CD .
∆OHP vuông tại H ⇒ OH < OP ⇒ CD > AB
Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc với OP tại P có độ dài
nhỏ nhất .

+Cách 2 :
H
O
A
B
P
h .2
Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2). Kẻ OH ⊥ AB
Theo liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:
AB nhỏ nhất ⇔ OH lớn nhất
Ta lại có OH ≤ OP
OH = OP ⇔ H ≡ P
Do đó maxOH = OP
Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.
1.2.1.1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học :
“ Trong tất cả các hình có chung một tính chất , tìm những hình mà một đại
lượng nào đó ( độ dài đoạn thẳng , số đo góc, số đo diện tích …) có giá trị lớn
nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng :
a) Bài toán về dựng hình .

Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn , xác định vị trí
của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.
b) Bài toán vể chứng minh .
Ví dụ : Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn
(O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.
c) Bài toán về tính toán.
Ví dụ : Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h , Tính
độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.
1.2.1.2. Hướng giải bài toán cực trị hình học :
a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta
phải chứng tỏ được :
+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m ( m là hằng số )
+Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m
b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta
phải chứng tỏ được :
+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m ( m là hằng số )
+Xác định vị trí của hình H trên miền D để f = m
1.2.2. Một số kiến thức hỗ trợ để giải bài tập cực trị hình học
1.2.2.1. Bất đẳng thức tam giác
Với 3 điểm bất kỳ A,B,C ta luôn có
AB+AC≥BC
Dấu bằng xảy ra khi A thuộc BC
1.2.2.2. Đường vuông góc và đường xiên
1. Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc
với đường thẳng có độ dài ngắn nhất.
2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nào có
hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại.
1.2.2.3. Độ dài đường gấp khúc
Độ dài đường gấp khúc nối hai điểm không nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng nối hai
điểm đó.

1.2.2.4. Một số tính chất liên quan
1 Nếu 2 tam giác có 2 cặp cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một thì trong 2
cạnh còn lại cạnh đối diện với góc lớn hơn thi lớn hơn và ngược lại
2 Trong 1 tam giác trung tuyến ứng với cạnh bé thì lớn hơn trung tuyến ứng với
cạnh lớn.
3 Nếu tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi thì cạnh cạnh đáy nhỏ nhất khi cạnh
bên nhỏ nhất, cạnh đáy lớn nhất khi cạnh bên lớn nhất.
1.2.2.5. Bất đẳng thức Cauchy và một số hệ quả
Bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình
nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân
của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng
nhau.
• Với 2 số:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
. Với n số:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1.2.2.6. Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz
Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích
trong thực hay phức thì
Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa
hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là
khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích
trong của chúng bằng zero.
Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm
"góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học
Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ
nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của
không gian Euclide.
Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm

liên tục.
Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng
cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích
trong
2. Các phép toán vecto
* Quy tắc 3 điểm:
AB BC AC+ =
uuur uuur uuur
* Quy tắc hình bình hành: nếu ABCD là hình bình hành thì
AB AD AC+ =
uuur uuur uuur
Phép trừ vector:
* Quy tắc:
AC AB BC
− =
uuur uuur uuur
Tích vector với 1 số:
Cho số k ≠ 0 và
0a ≠
r r
. Tích vector a với số k là một vector kí hiệu
ka
r
, cùng hướng
vector a nếu k > 0 và ngược hướng vector a nếu k < 0 và có độ dài bằng
| || |k a
r
Tích vô hướng của hai vector :
Cho
,a b

r r
khác vector 0 . Ta có :
. | | .| |.cos( , )a b a b a b
=
r r r r r r
CHƯƠNG II: CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG I: CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP
Phương pháp 1:Vận dụng quan hệ giữa đừơng xiên và đường vuông góc
Kiến thức sử dụng:A
B
H
C
h.4
a
A
B
H
K
a
b
h.5
A
B
C
h.3
a
1
) ∆ABC vuông tại A (có thể suy biến thành đoạn thẳng) ⇒ AB ≤ BC .
Dấu “=” xảy ra ⇔ A ≡ C . ( h.3 )
a

2
) ( h.4 )
+ AH ⊥ a ⇒ AH ≤ AB . Dấu “=” xảy ra ⇔ B ≡ H .
+ AB < AC ⇔ HB < HC
a
3
)( h.5 )
A,K ∈a; B, H ∈b; a // b ; HK ⊥ a ⇒ HK ≤ AB
Dấu “=” xảy ra ⇔ A ≡ K và B ≡ H .
1.1. Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho hình vuông ABCD . Trên các cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự
các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH . Xác định vị trí của các điểm E,
F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
A
D
B
C
E
K
F
G
H
H
O
h.8
Giải :
∆HAE = ∆EBF = ∆FCG = ∆GHD
⇒ HE = EF = FG = GH
⇒ EFGH là hình thoi .
·

·
AHE BEF
=
⇒
· ·
0
AHE AEH 90+ =
⇒
·
·
0
BEF AEH 90+ =
⇒
·
0
HEF 90
=

⇒ EFGH là hình vuông
Gọi O là giao điểm của AC và EG . Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên
là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cả hai
hình vuông ABCD và EFGH.
∆HOE vuông cân : HE
2
= 2OE
2
⇒ HE = OE
2
Chu vi EFGH = 4HE = 4
2

OE . Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất ⇔ OE nhỏ
nhất
Kẻ OK ⊥AB ⇒ OE ≥OK ( OK không đổi )
OE = OK ⇔ E ≡ K
Do đó minOE = OK
Kết luận: Như vậy , chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là
trung điểm của AB , BC, CD, DA.
Câu 2C
A
B
K
H
D
M
1
2
y
x
h.9
: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a .Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông
góc với AB . Qua trung điểm của M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn
vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D .xác định vị trí của các
điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất .Tính diện tích tam giác đó.
Giải:
Gọi K là giao điểm của CM và DB
MA = MB ;
µ
µ
0
A B 90

= =
,
·
·
AMC BMK
=
⇒ ∆MAC = ∆MBK ⇒ MC = MK
Mặt khác DM ⊥CK
⇒ ∆DCK cân ⇒
µ µ
1 2
D D=
Kẻ MH ⊥ CD .
∆MHD = ∆MBD ⇒ MH = MB = a
⇒ S
MCD
=
1
2
CD.MH ≥
1
2
AB.MH =
1
2
2a.a= a
2
S
MCD
= a

2
⇔ CD ⊥ Ax khi đó
·
AMC
= 45
0
;
·
BMD
=45
0
.
Kết luận : Vậy min S
MCD
= a
2
. Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho
AC = BC =a .
Câu 3: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự
các điểm E, F, G, H sao cho AE= BF= CG= DH. Xác định vị trí của các điểm E, F,
G, H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
HAE= EBF(c-g-c)
⇒
HE= EF.
O
C
A
B
D

E
H
F
G
Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi.
HAE= EBF còn suy ra
·
·
AHE BEF
=
Ta lại có
·
·
·
·
0 0
90 ê 90AHE AEH n nBEF AEH
+ = + =
Do đó:
·
0
90HEF =
. Như vậy hình thoi EFGH là hình vuông.
Gọi O là giao điểm của AC và EG. Tứ giác AECG có AE= CG, AE// CG nên là
hình bình hành, suy ra O là trung điểm của AC và của EG, do đó O là tâm của cà
hai hình vuông ABCD và EFGH.
HOE vuông cân:
2 2
2. . 2HE OE HE OE
= ⇒ =

Chuvi EFGH= 4.HE=
4 2
.OE. Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất
⇔
OE nhỏ nhất.
Kẻ
OK AB⊥
. Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OE ≥OK( độ dài
OK không đổi) nên OE= OK
⇔
E≡ K
Do đó min OE= OK
Kết luận : Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E, F, G, H là
trung điểm của AB, BC, CD, DA.
Câu 4: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By
vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn
vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D. Xáx định vị trí của các điểm
C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất.
Giải:
Gọi K là giao điểm của CM và DB.
MAC= MBK(g-c-g)
⇒
MC= MK.
DCK có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra
·
·
HDM MDB
=
.
Kẻ

MH CD⊥
. Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH= MB= a.
1
. .
2
MCD
S CD MH
=
x
y
a
a
H
K
D
M
A
B
C
Do CD≥AB= 2a và MH= a nên:
2
1
.2 .
2
MCD
S a a a= =
2
.
MCD
S a CD Ax= ⇔ ⊥

Khi đó
·
·
0 0
45 , 45AMC BMD= =
.
Kết luận : Vậy
2
MCD
S a
=
. Các điểm C, D được xác định trê Ax, By sao cho AC=
BD= a
Câu 5: Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC.
Xác đ5nh vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường
thẳng Ad có giá trị lớn nhất.
Giải:
Gọi S là diện tích ABC. Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có:
ABD ACD
S S S+ =
Kẻ
,BE AD CF AD⊥ ⊥
ta có :
1 1
. . . .
2 2
AD BE AD CF S
+ =
nên BE+ CF =
2S

AD
Do đó BE + CF lớn nhất
⇔
AD nhỏ nhất.
F
E
H
A
B
C
D
Đường xiên AD nhỏ nhất
⇔
hình chiếu HD nhỏ nhất.
Ta có HD≥ HB ( do
·
0
90ABD >
) và HD = HB khi và chỉ khi D≡B.
Kết luận: Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có
giá trị lớn nhất.
1.2.
Bài tập tương tự
Câu 1: Cho hình bình hành ABCD. Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình
hành. Gọi B’, C’, D’, lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên
đường thẳng d.
Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất.
Kết luận: d vuông góc AC tại A.
Câu 2 : Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Xác
đ5nh vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng

Ad có giá trị lớn nhất.
Kết luận : Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD
có giá trị lớn nhất.
Phương pháp 2: Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc
Kiến thức cần nhớ:
Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có : AC +CB ≥ AB
AC +CB = AB ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB
2.1. Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho góc
·
xOy
và điểm A nằm trong góc đó . Xác định điểm B thuộc tia Ox,
điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất .
h.11
O
x
A
B
C
D
m
y
Giải:
Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho
·
·
yOm xOA=
. Trên tia Om lấy điểm D
sao cho OD = OA . Các điểm D và A cố định .
OD =OA, OC = OB ,

·
·
COD BOA=

⇒ ∆DOC = ∆AOB ⇒ CD = AB
Do đó AC +AB = AC +CD
Mà AC +CD ≥ AD
⇒AC +AB ≥ AD
Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C ∈AD
Kết luận: Vậy min(AC+AB) =AD . Khi đó C là giao điểm của AD và Oy , B thuộc
tia Ox sao cho OB = OC.
Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD . Xác định vị trí các
điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác
EFGH có chu vi nhỏ nhất.
A
E
D
F
B
C
G
H
I
K
M
h.12
A
E
D
F

B
C
G
H
I
K
M
h.12
A
E
D
F
B
C
G
H
I
K
M
h.13
Giải :
Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12).
∆AEF vuông tại A có AI là trung tuyến ⇒ AI =1/2EF
∆CGH vuông tại C có CM là trung tuyến ⇒ CM =1/2GH
IK là đường trung bình của ∆EFG ⇒ IK = 1/2FG
KM là đường trung bình của ∆EGH ⇒ KM = 1/2EH
Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)
Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC
Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )
Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC ⇔ A,I,K,M,C thẳng hàng.

Khi đó ta có EH//AC,FG//AC,
· ·
·
AEI EAI ADB= =
nên EF//DB , tương tự GH//DB
Kết luận:.Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các
đường chéo của hình chữ nhật ABCD (h.13)
Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD. Xác định vị trí các
điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH
có chu vi nhỏ nhất.
Giải:
Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH.
AEF vuông tại A có AI là trung tuyến
⇒
AI=
1
.
2
EF
K
I
C
A
B
D
F
H
E
G
Tương tự MC=

1
.
2
GH
.
IK là đường trung bình của EFG
⇒
IK=
1
.
2
FG
.
Tương tự KM=
1
.
2
EH
Do đó: chu vi EFGH= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)
Ta lại có: AI + IK + KM + MC ≥ AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp
khúc)
Suy ra: chu vi EFGH ≥ 2AC ( không đổi).
M