Chương 4 Vật lí lượng tử

Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Chương 4
Nguyên tử nhiều electron-
Bảng tuần hoàn Menđeleev

Chương này gồm các phần sau:
1. Phương trình Schrödinger cho nguyên tử nhiều điện tử.
2. Nguyên lý loại trừ Pauly và nguyên lý năng lượng.
3. Ký hiệu phổ về cấu hình electron của các nguyên tử.
4. Bảng cấu hình electron của các nguyên tử.
5. Các trạng thái của nguyên tử, qui tắc Hund.
6. Hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hóa học Menđeleev.
7. Tia X trong nghiên cứu nguyên tử.
8. Bài tập ví dụ và bài tập.

Lời giải của bài toán nguyên tử hiđro là hoàn toàn chính xác đối với một hệ
gồm một electron chuyển động trong trường xuyên tâm tạo bởi hạt nhân, Các
kết quả thu được có thể áp dụng cho các nguyên tử giống hiđro, nghĩa là cho
một hệ chỉ có một electron nhưng hạt nhân có điện tích bằng Ze. Đối với hệ
nhiều electron lời giải này chỉ có thể áp dụng được với hai điều kiện: một là các
electron không tương tác với nhau, hay chính xác hơn là bỏ qua tương tác giữa
các electron, hai là các electron thoả mãn nguyên lí loại trừ Pauli.


4.1. Phương trình Schrödinger cho các nguyên tử nhiều điện tử
Như ta thấy, cơ học lượng tử cho phép giải bài toán nguyên tử Hidro hoàn
toàn chính xác vì trong cấu trúc của nguyên tử hidro chỉ có một tương tác duy nhất
giữa hạt nhân và electron của nguyên tử. Với các nguyên tử khác, bài toán trở nên
phức tạp hơn rất nhiều do trong hệ lúc này có nhiều tương tác: tương tác hạt nhân

với từng electron, tương tác giữa các electron
Về nguyên tắc, chúng ta vẫn có thể giải quyết bài toán này bằng cách giải
phương trình Schrödinger, với thế năng tương tác là tổng tất cả các tương tác có
trong hệ:
22
.
ZZ
ehn ee
ii
ii
kZe ke
UU U
rr
−−
≠
⎛⎞
=+=− +
⎜⎟
⎝⎠
∑∑
j
j
(4.1)
Ví dụ cho nguyên tử He:
22
12
22ke ke ke
U
rrr
=− − +

2
12


1
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
Ta thấy, tương tác đẩy giữa hai electron làm giảm năng lượng liên kết. Ví dụ
với nguyên tử He, năng lượng liên kết của hai electron ở trạng thái cơ bản là
78,98eV, còn năng lượng liên kết của một electron trong ion He
+
là 54,4eV, độ hụt
29,82eV này chính là do có thêm lực đẩy khi có hai electron. Trong bài toán
nguyên tử nhiều electron, nói chung, ta không thể mô tả chuyển động của từng
electron vì chúng chuyển động không phải độc lập với nhau. Ta không thể nói đến
năng lượng của một điện tử mà chỉ có thể nói đến năng lượng của cả nguyên tử, và
hàm sóng của cả nguyên tử. Trong thực tế người ta luôn phải thực hiện các phép
gần đúng.
Gần đúng 1. Về tương tác, do nguyên tử là bền vững nên có thể coi tương tác hút
của hạt nhân mạnh hơn nhiều so với tương tác đẩy giữa các điện tử. Có thể coi
trường lực hút vẫn mang tính đối xứng xuyên tâm mà tâm là hạt nhân của nguyên
tử.
Gần đúng 2. Coi mỗi electron chuyển động trong trường lực hợp bởi hạt nhân và
các electron còn lại. Trường này gọi là trường tự hợp U*, có điện tích hiệu dụng là
Z* (nhỏ hơn Z một chút, ví dụ trong gần đúng Hartree - Fok (1930), điện tích hiệu
Z* là điện tích thực Z trừ đi tổng các điện tích âm của các electron nằm gần hạt
nhân hơn so với electron đang xét). Nói chung tác dụng của trường hiệu dụng này
là không đồng nhất đối với các electron, tuy nhiên trong khuôn khổ giáo trình ta
không xét đến điều đó.
Với các phép gần đúng này, việc giải phương trình Schrödinger cho nguyên

tử nhiều điện tử sẽ đơn giản hơn: các electron bây giờ được xét như chuyển động
độc lập trong trường tự hợp và ta lại có thể áp dụng phương pháp giải như đối với
nguyên tử Hidro.

4.2. Nguyên lí loại trừ Pau li và nguyên lí năng lượng

Trong một hệ vật lý có nhiều hạt đồng nhất, như hệ các electron với spin bán
nguyên, chẳng hạn, ta phải sử dụng đến nguyên lý “loại trừ” Pauli.
Nguyên lí “loại trừ” được Wolfgang Pauli (1900-1958) đề xuất năm 1925. Ban
đầu nguyên lí phát biểu cho các electron trong nguyên tử, về sau nguyên lí được
áp dụng cho các hạt cơ bản khác.
Nguyên lý Pauli được phát biểu như sau:
Trong một hệ lượng tử, hai electron không thể chiếm cùng một trạng thái. Nói
cách khác, không thể có hai hay nhiều hơn hai electron có các số lượng tử
hoàn toàn trùng nhau.

2
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
Thí dụ,
a/ Ở mức năng lượng với n = 1 thì l = 0 và m
l
cũng bằng 0. Nhưng vì m
s
=
1/2 và -1/2, do đó có thể tồn tại nhiều nhất hai electron, chúng có các hàm sóng
tương ứng là
2
1
100

2
1
100
,
−
ψ
ψ
.
b/ Với n = 2 thì l = 0, 1, các giá trị của m
l
là như sau: khi l = 0, m
l
chỉ có
một giá trị m
0
= 0, khi l = 1, m
1
có

ba giá trị là m
1
= 0 . m
1
= 1, m
1
= -1 . Vậy
các hàm sóng tương ứng là
121211210200
,,,
−

ψ
ψ
ψ
ψ
. Mỗi trạng thái năng lượng có thể
có hai electron với giá trị hình chiếu spin 1/2 và -1/2 . Do đó với n = 2, số
electron tối đa có thể là 8.
c/ Ta có thể xét tương tự các trường hợp n = 3 , n = 4, v.v. . .

Ta xem nguyên lí loại trừ Pauli áp dụng cho các hạt cơ bản khác.
Electron có spin 1/2. Các hạt prôton, neutron cũng có spin 1/2. Có những các hạt
cơ bản khác có spin bán nguyên, bằng 3/2, 5/2. . . Các hạt có spin bán nguyên có
tên chung là fermion. Nguyên lí loại trừ Pauli được mở rộng cho tất cả các hạt
fermion, phát biểu như sau: trong một hệ các hạt cơ bản không thể tồn tại hai hoặc
nhiều hơn hai fecmion cùng loại hoàn toàn giống nhau (có cùng bộ các số lượng tử
đúng như nhau).

Một nguyên lý nữa mà ta cần dùng khi xem xét các nguyên tử nhiều điện tử
là nguyên lý năng lượng: Trong tất cả các trạng thái khả dĩ với n và l cho trước,
electron phải ở trạng thái nào có năng lượng bé nhất.
Các electron điền đầy dần dần các trạng thái với năng lượng thấp đến cao
hơn, tạo thành các vỏ của lớp này rồi các vỏ của lớp tiếp theo. Cấu trúc như vậy
được gọi là mẫu vỏ nguyên tử mà ta sẽ nói đến ở sau phần tiếp theo này.

4.3. Kí hiệu phổ về cấu hình electron của các nguyên tử
Trạng thái của mỗi electron trong nguyên tử được đặc trưng bằng một bộ bốn
số lượng tử là n, l, m
l
và m
s

. Nhắc lại rằng, cứ mỗi giá trị n, ta có n
2
bộ ba số n,
l, m
l
khác nhau và vì m
s
có hai giá trị 1/2 và -1/2 nên ứng với một giá trị n cho
trước, số các trạng thái khác nhau là 2n
2
(hay 2n
2
bộ bốn số lượng tử n, l, m
l
, m
s

khác nhau). Mỗi trạng thái chỉ có thể tồn tại không hơn một electron, do đó, ứng
với một giá trị n, số electron tối đa có thể có là 2n
2
. Khi các electron nằm ở
trạng thái có cùng số lượng tử n nhưng ít ra có một trong các số lượng tử khác là
khác nhau, người ta bảo rằng chúng nằm trên cùng một vỏ điện tử. Tên của các
vỏ điện tử được ghi như sau :
Giá trị của n : 1 2 3 4 5 6 . . .
Tên vỏ : K L M N O P . . .

3
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Các electron ở lớp vỏ K trong cùng có mức năng lượng thấp nhất, tức là nằm ở
vỏ trong cùng của nguyên tử. Tiếp theo là lớp vỏ L rồi lớp vỏ M . . .
Trên cùng một vỏ (cùng số n), các electron có số lượng tử l khác nhau,. Các
giá trị của l là :
l = 0, 1, 2, 3, . . , n – 1 (n giá trị khác nhau).
Mỗi giá trị của l xác định một vỏ con và được kí hiệu như sau :
giá trị của l : 0 1 2 3 4 5 6
tên vỏ con : s p d f g h i
Kí hiệu đầy đủ tên của một vỏ con của vỏ thứ n là nl. Thí dụ vỏ con (2, 1) được
kí hiệu là 2p, vỏ con (3,0) được kí hiệu là 3s . . . Electron 2p có nghĩa là nó nằm
ở vỏ L và có số lượng tử quĩ đạo l = 1. Electron 3s nằm ở vỏ M và có số lượng
tử quĩ đạo là l= 0.
4.4. Cấu hình electron của các nguyên tử
a. Mẫu vỏ nguyên tử
Ta giả thiết nguyên tử của một nguyên tố hóa học gồm một nhân mang điện
dương và các electron chuyển động độc lập nhau trong trường hạt nhân và
trường trung bình gây bởi các hạt electron khác. Mẫu nguyên tử như vậy gọi là
mẫu các hạt độc lập và là một cách tiếp cận gần đúng bậc nhất với nguyên tử
thực. Với giả thiết này, ta sẽ thu được một số khá lớn thông tin về nguyên tử và
các tính chất hoá học của các nguyên tử.
1. Làm đơn giản bài toán, như trên đã nói, ta coi mỗi electron chuyển động độc
lập trong một trường xuyên tâm. Lời giải của phương trình Schrödinger cho
từng electron giống như lời giải của electron trong nguyên tử hiđro đã nói ở
chương trước, tức là trạng thái năng lượng dừng của từng electron được đặc
trưng bằng một bộ bốn số lượng tử n, l, m
l
, m
s
. Như thế các electron nằm trên
các mức năng lượng tạo thành các lớp gọi là vỏ điện tử.

2. Trên cơ sở nguyên lí loại trừ Pauli và mẫu vỏ điện tử, người ta có thể xây
dựng cấu hình electron của các nguyên tử ở trạng thái năng lượng thấp nhất, tức
là trạng thái cơ bản của nguyên tử. Như ở mục trên đã nói, theo nguyên lí loại
trừ Pauli, hai electron không thể có cùng bốn số lượng tử n, l, m
l
, m
s
hoàn toàn
giống nhau, do đó số tổ hợp từ m
l
và m
s
đối với một vỏ con (n,l) cho trước sẽ
cho chúng ta số electron tối đa trên vỏ con đó. Ta hãy tính số đó. Với một giá trị
của l, ta có 2l + 1 giá trị của m
l
. Với mỗi giá trị của cặp (l, m
l
), ta có 2 giá trị của
m
s
,
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
±=
2

1
s
m
.Như vậy số electron tối đa trên một lờp vỏ con (n, l) mà không vi
phạm nguyên lí Pauli bằng 2(2l +1). Các giá trị đó cho ở bảng dưới đây, theo
thứ tự năng lượng từ dưới lên:
Giá trị của l : 0 1 2 3 4 . . .
Kí hiệu vỏ con : s p d f g . . .
Số electron tối đa : 2 6 10 14 18 . . .

4
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
Vỏ Vỏ con Số electron
cực đại
Tổng số
các
electron

P





O

N



M


L


K

6p
5d
4f
6s


5p
4d
5s


4p
3d
4s


3p
3s

2p
2s

1s






















6
10
14

2


6
10
2


6
10
2


6
2

6
2

2

86




54

36



18


10


2
Bảng 4.2.

Ta hãy xét nguyên tử có số Z, ở trạng thái cơ bản. Z electron của nguyên tử sẽ
lấp đầy dần các vỏ, bắt đầu tử vỏ trong cùng, vỏ K với n = 1. Ta chỉ có một vỏ
con (1,0), số electron tối đa lấp đầy vỏ này là 2 (vì 2(2l+1) = 2(2.0+1) = 2). Các
electron còn dư sẽ lấp dần vỏ tiếp theo, vỏ L với n = 2. Vỏ này có 2 vỏ con là
(2,0) và (2,1). Vỏ con (2,0) chứa tối đa 2 electron, vỏ con (2,1) chứa tối đa 6
electron. Như thế vỏ thứ hai L có thể chứa tối đa 8 electron. Mức năng lượng
ứng với vỏ con (2, 0) thấp hơn các mức năng lượng của vỏ con (2,1). Do đo,
trước hết các electron lấp đầy vỏ con (2, 0) rồi mới đến các mức năng lượng của
vỏ con (2,1). Ngay trong một vỏ, các mức năng lượng thấp hơn cũng được lấp
đầy trước. Tiếp tục, nếu số Z electron vẫn còn dư thì số còn lại sẽ lấp đầy dần
các vỏ sau. Tuy nhiên ở đây nảy sinh một vấn đề là như sau: có thể mức năng

5
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

lượng ở vỏ con này lại lớn hơn hoặc nhỏ hơn các mức năng lượng của vỏ sau.
Sơ đồ các mức năng lượng được trình bày trong bảng 4.2.
Khoảng cách lớn giữa các mức xuất hiện khi Z = 2, 10, 18, 36, 54 và 86
tương ứng với các khí trơ, kém hoạt động về mặt hoá học và khó kích thích. Ta
nhận thấy bắt đầu từ vỏ N, các mức năng lượng của các vỏ con có sự đan xen
nhau : mức 3d cao hơn mức 4s, mức 5d cao hơn mức 6s, mức 4f cao hơn các
mức 5s, 5p và 6s Có thể giải thích điều này bởi hai nguyên nhân sau.
1. Nhiều orbital (những vùng mà bình phương biên độ hàm sóng khác 0) có thể
có dạng ellipse (ví dụ hàm sóng d) và có thể xuyên sâu vào vùng gần hạt nhân
theo một phương nào đó. Do đó các orbital này dẫn đến mức năng lượng thấp
hơn năng lượng của các orbital dạng cầu (hàm sóng s) khác. Với quĩ đạo s (đối
xứng cầu) hiện tượng này mạnh nhất.
2. Nhiều orbital với l>0 có thể dẫn đến hiện tượng phân cực. Các electron ngoài
(l>0) bị đẩy bởi electron của các vỏ trong (và hút bởi hạt nhân). Các electron vỏ
trong và hạt nhân bị phân cực và biến thành một lưỡng cực điện. Tương tác giữa
các lưỡng cực và electron gây nên sự dịch chuyển các mức năng lượng, phụ
thuộc vào n,l. Sự dịch chuyển này làm thứ tự của các mức năng lượng bị xáo
trộn trong quá trình điền đầy của các electron.

4.5. Bảng cấu hình electron của các nguyên tử

Z Ký
hiÖu
n=1
s
n=2
s p
n=3
s p
d

n=4
s p d
f
n=5
s p d f
g
1 H 1
2 He 2
3 Li 2 1
4 Be 2 2
5 B 2 2 1
6 C 2 2 2
7 N 2 2 3
8 O 2 2 4
9 F 2 2 5
10 Ne 2 2 6
11 Na 2 2 6 1
12 Mg 2 2 6 2
13 Al 2 2 6 2 1
14 Si 2 2 6 2 2
15 P 2 2 6 2 3
16 cS 2 2 6 2 4

6
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
17 Cl 2 2 6 2 5
18 Ar 2 2 6 2 6
19 K 2 2 6 2 6 1
20 Ca 2 2 6 2 6 2

21 Sc 2 2 6 2 6
1
2
22 Ti 2 2 6 2 6
2
2
23 V 2 2 6 2 6
3
2
24 Cr 2 2 6 2 6
5
1
25 Mn 2 2 6 2 6
5
2
26 Fe 2 2 6 2 6
6
2
27 Co 2 2 6 2 6
7
2
28 Ni 2 2 6 2 6
8
2
29 Cu 2 2 6 2 6
10
1
30 Zn 2 2 6 2 6
10
2

31 Ga 2 2 6 2 6
10
2 1
32 Ge 2 2 6 2 6
10
2 2
33 As 2 2 6 2 6
10
2 3
34 Se 2 2 6 2 6
10
2 4
35 Br 2 2 6 2 6
10
2 5
36 Kr 2 2 6 2 6
10
2 6
37 Rb 2 2 6 2 6
10
2 6 1
38 Sr 2 2 6 2 6
10
2 6 2
39 Y 2 2 6 2 6 2 6 1 2

7
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
10

40 Zr 2 2 6 2 6
10
2 6 2 2
41 Nb 2 2 6 2 6
10
2 6 4 1
42 Mo 2 2 6 2 6
10
2 6 5 1
43 Tc 2 2 6 2 6
10
2 6 5 2
44 Ru 2 2 6 2 6
10
2 6 7 1
45 Rh 2 2 6 2 6
10
2 6 8 1
46 Pd 2 2 6 2 6
10
2 6 10
Tiếp theo
Z Ký
hiÖu
n=1
s
n=2
s
p
n=3

s p
d
n=4
s p d
f
n=5
s p d
f g
n=6
s p d f
g h

46 Pd 2 2
6
2 6
10
2 6 10
47 Ag 2 2
6
2 6
10
2 6 10 1
48 Cd 2 2
6
2 6
10
2 6 10 2
49 In 2 2
6
2 6

10
2 6 10 2 1
50 Sn 2 2
6
2 6
10
2 6 10 2 2
51 Sb 2 2
6
2 6
10
2 6 10 2 3
52 Te 2 2
6
2 6
10
2 6 10 2 4
53 I 2 2
6
2 6
10
2 6 10 2 5
54 Xe 2 2
6
2 6
10
2 6 10 2 6
55 Cs 2 2
6
2 6

10
2 6 10 2 6 1
56 Ba 2 2 2 6 2 6 10 2 6 2

8
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
6 10
57 La 2 2
6
2 6
10
2 6 10 2 6 1 2
58 Ce 2 2
6
2 6
10
2 6 10
2
2 6 2
59 Pr 2 2
6
2 6
10
2 6 10
3
2 6 2
60 Nd 2 2
6
2 6

10
2 6 10
4
2 6 2
61 Pm 2 2
6
2 6
10
2 6 10
5
2 6 2
62 Sm 2 2
6
2 6
10
2 6 10
6
2 6 2
63 Eu 2 2
6
2 6
10
2 6 10
7
2 6 2
64 Gd 2 2
6
2 6
10
2 6 10

8
2 6 2
65 Tb 2 2
6
2 6
10
2 6 10
9
2 6 2
66 Dy 2 2
6
2 6
10
2 6 10
10
2 6 2
67 Ho 2 2
6
2 6
10
2 6 10
11
2 6 2
68 Er 2 2
6
2 6
10
2 6 10
12
2 6 2

69 Tm 2 2
6
2 6
10
2 6 10
13
2 6 2
70 Yb 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 2
71 Lu 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 1 2
72 Hf 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 2 2
73 Ta 2 2
6

2 6
10
2 6 10
14
2 6 3 2
74 W 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 4 2
Tiếp theo
Z Ký
hiÖu
n=1
s
n=2
s
p
n=3
s p
d
n=4
s p d
f
n=5
s p d
f
n=6

s p d f g h

9
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

75 Re 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 5 2
76 Os 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 6 2
77 Ir 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 7 2
78 Pt 2 2
6
2 6

10
2 6 10
14
2 6 9 1
79 Au 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 10 1
80 Hg 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 10 2
81 Tl 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 10 2 1
82 Pb 2 2
6
2 6
10
2 6 10

14
2 6 10 2 2
83 Bi 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 10 2 3
84 Po 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 10 2 4
85 At 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 10 2 5
86 Rn 2 2
6
2 6
10
2 6 10
14
2 6 10 2 6

Tiếp theo
Z Ký
hiÖu
n=
1
s
n=
2
s
p
n=3
s p
d
n=4
s p
d f
n=5
s p d
f g
n=6
s p d
f g
n=7
s
p

87 Fr 2 2
6
2 6
10

2 6
10 14
2 6 10 2 6 1
88 Ra 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10 2 6 2
89 Ac 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10 2 6 1 2
90 Th 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10 2 6 2 2
91 Pa 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14

2 6 10
2
2 6 1 2

10
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
92 U 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
3
2 6 1 2
93 Np 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
4
2 6 1 2
94 Pu 2 2
6
2 6
10
2 6

10 14
2 6 10
6
2 6 0 2
95 Am 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
7
2 6 0 2
96 Cm 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
7
2 6 1 2
97 Bk 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
9

2 6 0 2
98 Cf 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
10
2 6 0 2
99 Es 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
11
2 6 0 2
100 Fm 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
12
2 6 0 2
101 Md 2 2
6

2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
13
2 6 0 2
102 No 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
14
2 6 2
103 Lr 2 2
6
2 6
10
2 6
10 14
2 6 10
14
2 6 1 2


4.6. Các trạng thái của nguyên tử, qui tắc Hund.

A. Kí hiệu phổ các trạng thái của nguyên tử

Cấu hình electron của nguyên tử đã xét ở trên không cho phép ta biết trạng
thái của nguyên tử đó. Để ghi lại trạng thái của nguyên tử ta cần biết momen
động lượng quỹ đạo
∑
=
i
i
LL
r
r
là tổng các momen động lượng của từng electron,
spin tổng
∑
=
i
i
sS
r
r
là tổng các spin của các electron của nguyên tử và vectơ
momen động lượng tổng
SLJ
r
r
v
+=
.
Cũng như với nguyên tử một điện tử, giá trị L của momen động lượng tổng
L

r
của một trạng thái cho trước được kí hiệu như sau :
Giá trị của L : 0 1 2 3 4 5
Kí hiệu băng chữ : S P D F G H

11
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
Các trạng thái của nguyên tử được ghi bằng kí hiệu chữ của L, với giá trị của
2S + 1 ở phía trên bên trái và giá trị J ở phía dưới bên phải:
21S
J
L
+

Thí dụ :
1/ Trạng thái
3
P
0
nguyên tử Hêli (He) có cấu hình điện tử là 1s2p chỉ rằng
có 1 electron ở vỏ 1s, một ở vỏ 2p và S = 1, L = 1, J = 0. Đây là trạng thái kích
thích của nguyên tử Hêli
2/ Trạng thái cơ bản của nguyên tử Bohr (B ) được ghi là
2
P
1/2
vì L = 1
, S = 1/2 (nên 2S+1 = 2), J = L - S = 1/2.
3/ Cấu hình điện tử của nguyên tử Sc là 1s

2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d
1
4s
2
có nghĩa là
có 2 electron ở vỏ n = 1, 8 electron ở vỏ n = 2, 9 electron ở vỏ n = 3 , tổng cộng
là 21 electron (Z = 21). Trạng thái cơ bản của nguyên tử này được qui định bởi
1 electron nằm ở mức 3d
1
(các mức khác đều lấp đầy do đó trên từng mức, tổng
momen động lượng cũng như spin đều bằng 0). Vậy L= 2, S= 1/2, J= 3/2 và ta
có phổ năng lượng của Sc là
2
D
1/2
.

B. Các trạng thái của nguyên tử và qui tắc Hund

Trạng thái cơ bản của nguyên tử là trạng thái với năng lượng cực tiểu. Vậy
thì từ các trạng thái khả dĩ làm thế nào để biết được trạng thái cơ bản của

nguyên tử?
Năm 1925, F. Hund đưa ra qui tắc để tìm năng lượng nhỏ nhất của các trạng
thái trong nguyên tử. Nguyên lí đó như sau: Đối với các trạng thái trong nguyên
tử ứng với một cấu hình điện tử, trạng thái có năng lượng nhỏ nhất là trạng thái
với S cực đại. Khi S đã cho thì trạng thái với L cực đại, sẽ cho năng lượng thấp
nhất. Tới năm 1927, quy tắc Hund được bổ xung thêm.
Để tìm trạng thái cơ bản của nguyên tử, dựa vào cấu hình điện tử của nguyên tử,
có các trường hợp sau :
1/ Với tất cả các vỏ đều lấp đầy s
2
, p
6
, d
10
, f
14
, trạng thái cơ bản của nguyên
tử là
1
S
0
. Thí dụ cấu hình điện tử của Cd là 1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p

6
3d
10
4s
2
4p
6
, tổng cộng
48 electron. Tất cả các vỏ đều bị lấp đầy. Trạng thái cơ bản của Cd là
1
S
0
.
2/ Khi các vỏ lấp đầy, trừ một vỏ con, ta chỉ xét các electron của vỏ con
đó. Thí dụ nguyên tử Sc nói ở 3/ mục trước.
* Khi có các vỏ con chưa điền đầy, có nhiều trạng thái ứng với S và L
khác nhau. Ta dùng quy tắc Hund như sau:
Chọn S lớn nhất trong số các giá trị của S rối lấy giá trị L lớn nhất ứng
với S đó. Giá trị của J được chọn như sau :
a. Trường hợp vỏ con ngoài bị điền it hơn một nửa, thí dụ ít hơn 3 đối với vỏ
con d, ít hơn 5 đối với vỏ con p, ít hơn 7 đối với vỏ con f . . . thì
nếu L > S lấy J = L – S
nếu L < S lấy J = S – L

12
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
b. Trường hợp vỏ con ngoài bị điền nhiều hơn một nửa thí dụ nhiều hơn 3 đối
với vỏ con d , nhiều hơn 5 đối với vỏ con p , nhiều hơn 7 đối với vỏ con f
v.v thì lấy J=L+S

c. Trường hợp vỏ ngoài bị điền đúng một nửa, thí dụ bằng 3 đối với vỏ con d,
bằng 5 đối với vỏ con p, bằng 7 đối với vỏ con f v.v thì lấy J = S (khi đó
L = 0).

C. Các thí dụ
 Nguyên tử của các kim loại kiềm
Kim loại kiềm Cấu hình electron Trạng thái cơ bản
Li (Z = 3) 1s
2
2s
1
do vỏ ngoài cùng bị điền

Na (Z = 11) 1s
2
2s
2
2p
6
3s
1
. đúng một nửa (1
electron
K (Z = 19) 1s
2
2s
2
2p
6
3s

2
3p
6
4s
1
. trên vỏ con s) nên ta có

2
S
1/2

 Nguyên tử Ti có cấu trúc electron là 1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
3d
2
4s
2

Các vỏ con đều bị lấp đầy, chỉ còn vỏ con 4d
2
chứa 2 electron, ít hơn 1/2 số
tối đa của lờp (bằng 10). Ta phải xét giá trị S cực đại. Vì có 2 electron nên S

Max
bằng 1. Ở lớp d có 2 electron, momen động lượng L của chúng có thể có là các
giá trị l
1
– l
2
, l
1
– l
2
+1, l
1
– l
2
+2, l
1
– l
2
+3, l
1
+ l
2
, tức là 0, 1, 2, 3, 4 (ứng với
các trạng thái nguyên tử S, P, D, F, G). Ta cần tìm giá trị lớn nhất của L ứng
với S = 1. Khi S = 1 spin của hai electron cùng chiều nhau, momen quỹ đạo của
chúng không thể cùng chiều vì như thế ta có hai electron có các số lượng tử
hoàn toàn trùng nhau. Do đó phải loại trừ L = 4. Giá trị cực đại của L bây giờ là
L = 3. Theo quy tắc Hund, J = L- S = 3 – 1 = 2. Cuối cùng ta có trạng thái cơ
bản của nguyên tử Ti là
3

F
2
.

4.7. Hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hoá học Menđeleev
Các nguyên tố hoá học được sắp xếp theo các cột và các hàng.
Các hàng ngang trong bảng được gọi là chu kì. Có cả thảy 7 chu kì. Trong mỗi
chu kì ta lần lượt gặp đầu tiên là một nguyên tố kim loại mạnh, rồi nguyên tố
kim loại yếu hơn, nguyên tố không kim loại yếu, nguyên tố không kim loại
mạnh . . . và kết thúc bằng một nguyên tố khí hiếm.
Các cột dọc sắp xếp các nguyên tố trong cùng một họ. Thí dụ, họ I gồm hiđro
và các kim loại kiềm. Đó là những nguyên tố có hoạt tính hoá học rất mạnh và
tất cả đều có hoá trị +1. Họ VII là họ gồm các nguyên tố halôgen có các hoạt
tính hoá học khác hẳn kim loại, có hoá trị –1 và hợp thành các phân tử ở thể
khí

13
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN

Quy luật sắp xếp có nguồn gốc từ cấu trúc electron như ta đã nói ở trên. Ta hãy
nói rõ hơn điều này. Chu kì I có hai nguyên tố là H và He. Hai nguyên tử tương
ứng có số electron là 1 (nguyên tố H), và 2 (nguyên tố hêli). Như thê lớp vỏ K
đã bị lấp đầy. Nguyên tử của nguyên tố thứ ba Li có ba electron. Electron thứ ba
không thể nằm trên cùng vỏ K được mà phải chuyển sang vỏ L. Như thế cấu
trúc vỏ ngoài cùng của Li giống như cấu hình electron của nguyên tử Hiđro.
Chu kì II bắt đầu bằng Li và được sắp cùng họ với H. Tiếp theo, nguyên tử Be
có cấu hình electron 1s
2
2s

2
, vỏ ngoài cùng của nó giống như cấu hình của
nguyên tử Heli. Do đó cùng họ với Hêli. Ta có thể giải thích tương tự đối với
các nguyên tố tiếp theo. Bảng cấu hình electron của các nguyên tố trong Bảng
Tuần hoàn Mendeleev được cho trong hình 4.3.


14
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN


Hình 4.3.



4.8. Tia Roentgen (tia X) trong nghiên cứu nguyên tử
Tia X (hay tia Roentgen) là các bức xạ điện từ bước sóng rất ngắn, từ 0,01 đến
100 Å. Trong Quang học chúng ta đã biết ứng dụng cuả tia X để nghiên cứu
cấu trúc tinh thể. Bây giờ ta sẽ nghiên cứu ứng dụng của tia X trong nghiên
cứu nguyên tử.
1. Cách tạo tia X .
Dụng cụ tạo tia X gọi là ống Roentgen. Ống là một bình thuỷ tinh kín được
rút chân không, trong có hai điện cực. Ca tốt K được đốt nóng dùng làm nguồn
điện tử, anot A là bia chắn để bật tia X ra. Giữa hai điện cực có một hiệu điện
thế V có tác dụng làm tăng tốc điện tử phát ra từ ca tốt K. Hiệu điện thế V khá
cao tạo ra động năng của điện tử lên đến 30 – 40 keV. Khi va chạm với bia,
điện tử bị hãm đột ngột và làm xuất hiện các tia X. Có hai loại tia X: bức xạ
hãm Roentgen và bức xạ Roentgen đặc trưng.

Hình 4.4. ống Roentgen









2. Bức xạ hãm Roentgen – Phổ tia X liên tục
Điện tử từ ca tốt tới đập vào bia anot và bị hãm đột ngột. Chuyển động bị hãm
lại của điện tử mang điện làm xuất hiện một bức xạ điện từ, đó là bức xạ hãm
Roentgen. Bức xạ hãm có phổ năng lượng liên tục. Đồ thị năng lượng phụ
thuộc bước sóng được cho ở Hình 4.5.


15
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN





Mỗi đường cong ứng với một hiệu điện thế V xác định có một tần số cực đại
ứng với bước sóng cực tiểu λ
min
. Tần số ν

max
tương ứng thỏa mãn hệ thức sau :
Hình 4.5 Đồ thị phổ
tia X liên tục
ax min
/
m
eV h hc
ν
λ
== (4.2)

3. Bức xạ Roentgen đặc trưng
Đối với một vật liệu của điện cực anot, khi tăng hiệu điện thế V thì đến một
một giá trị nhất định, trên phông của phổ bức xạ liên tục sẽ xuất hiện các đỉnh
nhọn. Bức xạ ứng với đỉnh nhọn gọi là bức xạ Roentgen đặc trưng của vật liệu
làm điện cực anot. Đồ thị phổ tia X đặc trưng cho ở Hình 4.6.




Hình 4.6. Bức xạ đặc trưng
Sự xuất hiện tia X đặc trưng được giải thích như sau:
Với một năng lượng eV đủ lớn, electron khi tới đập vào anot có thể làm bứt
một điện tử nằm ở sâu trong nguyên tử của anot và để lại một lỗ trống. Electron
khác nằm ở mức cao hơn trong nguyên tử của anot liền chuyển tới lấp chỗ trống đó.
Kết quả làm bật ra bức xạ tia X đặc trưng. Bức xạ này có năng lượng bằng hiệu hai
mức năng lượng của nguyên tử dùng làm anot.
4. Công thức Moseley

16
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
Moseley đã tiến hành thí nghiệm tìm phổ tia X đặc trưng của hơn 60 nguyên
tố khác nhau dùng làm anot. Ông đã tìm được công thức tần số tia X đặc trưng
phụ thuộc điện tích Z của nguyên tủ là

BAZ +=
ν
(4.3)
trong đó A và B là những hằng số không phụ thuộc vào nguyên tố làm anot.
Ta có thể tìm được công thức trên từ công thức (3.24). Thực vậy công thức
(3.24) có thể viết thành:

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−==
∞
2
1
2
2
2
111

nn
ZR
ν
λ

Trong dịch chuyển từ lớp K, ta thay Z bằng Z – 1 và cho n
1
= 1, n
2
= 2, ta sẽ được
công thức Moseley.
Kết quả này góp phần là bằng chứng thực nghiệm cho lý thuyết Bohr.

4.9. Bài tập mẫu
Bài 1.
21 electron của nguyên tử scandi được sắp xếp theo lớp và các phân lớp như thế
nào? Viết kí hiệu quang phổ của electron ngoài cùng khi nguyên tử ở trạng thái cơ
bản.
Giải
Cấu hình electron của Sc: 1s
2
2s
2
2p
6
3s
2
3p
6
4s

2
3d
1
.
Chỉ có 1 eletron ở phân lớp 3d ở ngoài cùng và là electron d nên l = 2 ⇒ L = 2 và S
= 1/2.
Vì nguyên tử ở trạng thái cơ bản và phân lớp ngoài cùng điền đầy ít hơn 1/2 nên
theo quy tắc Hund ta có: J = L – S = 3/2.
Vậy ta có:
2
D
3/2

Bài 2.
Hãy xác định các giá trị khả dĩ của mô men toàn phần J của hệ gồm một electron
phân lớp d và 1e phân lớp f.
Giải
Electron phân lớp d có: l(d) = 2, electron phân lớp f có: l(f) = 3. Mà L = l
1
+l
2
,
l
1
+l
2
-1, , | l
1
-l
2

|, nên L = 5, 4, 3, 2, 1.
Vì 2 e nằm trên 2 phân lớp khác nhau và electron có spin 1/2 nên ta có S = 0,1.
Ta có: nên :
SLJ
r
rr
+=
SLJ ±±=
⇒ ta có J = 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

17
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
Bài 3.
Tìm mô men toàn phần cực đại của nguyên tử Na biết electron hoá trị của nó có
n=4.
Giải
Nguyên tử Na có 11 electron, nên chỉ có 1 e lectron lẻ cặp. Mà theo giả thiết thì e
này có n = 4 ⇒ lmax = 3 ⇒ jmax = lmax + s = 3 + 1/2 = 7/2.
⇒
hh
2
63
)1j(jJ =+=

Bài 4
Tìm giá trị khả dĩ của một nguyên tử ở trạng thái
4
P và
5

D.
Giải
Nguyên tử ở trạng thái
4
P ⇒ 2S + 1 = 4 ⇒ S = 3/2. Trạng thái P ⇒ L = 1
⇒ J = S + L, S + L – 1, , | S – L | = 5/2, 3/2, 1/2
⇒
4
P
5/2
,
4
P
3/2
,
4
P
1/2
.
Nguyên tử ở trạng thái
5
D ⇒ 2S+1=5 ⇒ S = 2. Trạng thái D ⇒ L = 2
⇒ J = S + L, S + L – 1, , | S – L | = 4, 3, 2, 1, 0.

⇒
5
D
0
,
5

D
1
,
5
D
2
,
5
D
3
,
5
D
4
.
Bài 5.
Tìm giá trị cực đại của mô men toàn phần và viết khí hiệu quang phổ của nguyên
tử ở trạng thái có cấu hình 1s
2
2p3d
Giải
Trạng thái: 1s
2
2p3d
Phân lớp p có l = 1, phân lớp d có l = 2.
Vì có e ở hai phân lớp chưa được lấp đầy 2p và 3d nên ta có Smax = 1/2+1/2 =1,
Lmax = 1+2 = 3.
⇒ Jmax = 3+1 = 4.
⇒
3

F
4
.
Bài 6
Tìm bước sóng cực tiểu trong phổ liên tục của tia Rơnghen nếu ống Rơnghen làm
việc dưới hiệu điện thế U = 30kV. Phổ liên tục do bức xạ hãm lên đối âm cực.
Giải

18
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
Vì hυ = hc/λ = K
i
– K
f
nên bước sóng cực tiểu tương ứng với K
f
= 0, hay photon
phát có năng lượng bằng năng lượng của e trước khi va chạm, năng lượng của
photon đó bằng eU. Từ đó ta có:

pm41,41
10.30.10.6,1
10.3.10.626,6
eU
hc
eU
hc
319
834

min
min
===λ⇒=
λ
−
−

Bài 7.
Dùng định luật Moseley tính:
a. Bước sóng K
α
của Al (Z=13) và Co (Z=27).
b. Hiệu năng lượng liên kết của các electron K và L của Vanadi (Z=23).
Giải
a. Hệ thức Moseley:

)ZZ(A
0
2/1
−=υ
với dãy K thì Z
0
= 1, nên ta có:
+ Bước sóng K
α
của Al (Z=13):

0
27
8

2
0
K
A43,8
))113.(10.97,4(
10.3
))ZZ(A(
cc
=
−
=
−
=
υ
=λ
α

+ Bước sóng K
α
của Co (Z=27):

0
27
8
2
0
K
A79,1
))127.(10.97,4(
10.3

))ZZ(A(
cc
=
−
=
−
=
υ
=λ
α

b. Từ hệ thức Moseley ta có:
+ Tần số của K
α
là:

Hz10.1955,1))123(10.97,4())ZZ(A(
18272
0K
=
−
=−=υ
α

+ Tần số của L
α
là:

Hz10.1145,1))4,723(10.14,2())ZZ(A(
17272

0K
=
−
=−=υ
α

⇒ Hiệu năng lượng liên kết của các electron K và L của Vanadi(Z=23):

keV5,4)10.2165,210.1955,1.(10.626,6hE
171834
=
−
=υΔ=Δ
−

4.10. Bài tập và câu hỏi
1. Một electron trong nguyên tử hidro ở trạng thái n = 4, l = 3.
A/ Độ lớn của vectơ momen động lượng bằng bao nhiêu ?
B/ Có bao nhiêu thành phần của vectơ momen động lượng trên trục Z ?
C/ Giá trị của các góc hợp bởi truc Z và vectơ momen động lượng bằng bao
nhiêu?

19
Bài giảng VL Nguyên tử, chương 4
Nguyễn Minh Thủy, ĐHSPHN
2. Nguyên tử hiđro ở trạng thái ứng với l = 3. Tính các giá trị của momen
động lượng quĩ đạo và của momen từ quĩ đạo, Tính các giá trị cho phép của LZ
và μ
Z
.

3.
Xác định độ lớn cần thiết của vectơ cảm ứng từ B để quan sát được hiệu
ứng Zeeman bình thường trong trường hợp phổ kế sử dụng có thể tách vạch
5000 Å khỏi vạch lân cận với độ sai khác bước sóng là 0,5 Å
4.
Trong một thí nghiệm Stern-Gerlach, các nguyên tử bạc truyền qua một từ
trường không đồng nhất với độ biến thiên60 T/m trên một đoạn đường 0,1 m.
Tìm vận tốc của các nguyên tử bạc khi độ tách của hai vết nguyên tử bạc trên
màn là0,15 mm. Biết khối lượng của nguyên tử bạc là 1,79.10
-25
kg.
5. (5.90)Hãy xác định trong những sự dịch chuyển dưới đây, những sự dịch chuyển
nào bị cấm bởi các quy tắc lựa chọn:
2/1
2
2/3
2
PD →
; ; ; .
2/1
2
1
3
SP →
2
3
3
3
PF →
2/5

4
2/7
4
DF →
6. (5.91)Xác định độ bội suy biến tổng cộng của trạng thái 3D của nguyên tử Liti.
Đại lượng này có ý nghĩa vật lý gì?
7. (5.92)Tìm độ bội suy biến của các trạng thái 2P, 3D, và 4F với các giá trị cực đại
có thể có được của momen cơ toàn phần.
8. (5.93)Viết kí hiệu phổ của số hạng có độ bội suy biến bằng bảy, còn các số
lượng tử L và S liên hệ với nhau bởi hệ thức L=3S.
9. (5.94)Trong nguyên tử của nguyên tố nào có các lớp vỏ K, L và M, và lớp con 4s
bị chiếm hết và lớp con 4p bị chiếm một nửa?
10.(5.95)Dùng quy tắc Hund, tìm số hạng cơ bản của một nguyên tử có một lớp con
không bị chiếm hết có chứa:
a)Ba electron .
p
b)Bốn electron
p
.
11.(5.96)Dùng quy tắc Hund, tìm momen cơ toàn phần của một nguyên tử ở trạng
thái cơ bản, nếu lớp con của nó không bị chiếm hết, chứa:
a)Ba electron .
d
b)Bốn electron
d
.
12.(5.97)Dùng quy tắc Hund, tìm số các electron trong một lớp con duy nhất không
bị chiếm hết của một nguyên tử, nếu biết rằng chúng là:
a)Các electron và số hạng cơ bản của nguyên tử là 3F2;
d

b)Các electron và số hạng cơ bản của nguyên tử là 2P3/2.
p
13. (5.98)Dùng quy tắc Hund, tìm momen từ của trạng thái cơ bản của một nguyên
tử có lớp con không kín; lớp này bị chiếm đúng một nửa bởi năm electron.

20