Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
1

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
Chủ đề 1. Véctơ và tọa độ trong mặt phẳng
Bài 1. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
u (x,y)


,
u (x ,y )
  


. Chứng minh rằng
u

,
u


cùng
phương khi và chỉ khi
xy x y 0
 
 
.
Bài 2. Trên mặt phẳng toạ độ, cho

A(1,2)
,
B(3,4)
,
C(5,6)
. Chứng minh
A
,
B
,
C
thẳng
hàng.
Bài 3. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
A(1, 1)

,
B(2,4)
. Tìm giao điểm của đường thẳng
AB
với
các trục toạ độ.
Bài 4. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
a (1,2)


,
b ( 2,3)
 


,
c ( 3,7)
 

. Hãy biểu diễn
c

qua
a

,
b

.
Bài 5. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
A( 1,1)

,
B(1,2)
,
C(4,0)
. Tìm toạ độ điểm
M
sao cho
(a)
AM 2BC 3AC
 
  
.
(b)

AM 2BM 3CM 0
  
  

.
(c)
ABCM
là hình bình hành. Tìm toạ độ giao điểm các đường chéo.
Bài 6. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
A( 2,5)

,
B(2,4)
. Hãy tìm toạ độ giao điểm của đường
trung trực của
AB
với các trục toạ độ.
Bài 7. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
A( 3,6)

,
B(1, 2)

,
C(6,3)
. Tìm toạ độ tâm đường tròn
ngoại tiếp
ABC

.

Bài 8. Trên mặt phẳng toạ độ, cho các điểm
A( 1,1)

,
B(3,2)
,
1
C( , 1)
2
 
.
(a) Tính chu vi
ABC

.
(b) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC

.
Bài 9. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
ABC

với
A(2,4)
,
B(2,1)
,
C(6,1)
.
(a) Tính độ dài đường phân giác trong góc

A
.
(b) Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp
ABC

.
Bài 10. Trên mặt phẳng tọa độ cho các điểm
A( 3,4)

,
B( 4,0)

. Tìm tọa độ điểm
C
sao
cho gốc toạ độ
O(0,0)
là trọng tâm tam giác.
Bài 11. Trên mặt phẳng toạ độ, cho các điểm A(-3, 4), B(-4, 0). Tìm toạ độ điểm
C
sao
cho trọng tâm
ABC

nằm trên trục tung và cách trục hồng một đoạn có độ dài bằng
1
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
2

Bài 12. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
ABC

. Biết
A(1,2)
,
M(0,1)
là trung điểm của
AB
,
N(3, 1)

là trung điểm của
AC
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 13. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
ABC

. Biết
A(1,2)
,
M(0,1)
là trung điểm của
AB
,
P(3,1)
là trung điểm của

BC
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 14. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
ABC

. Biết
M( 1,2)

,
N( 3, 2)
 
,
P(5,0)
lần lượt
là toạ độ trung điểm các cạnh
AB
,
BC
,
CA
của tam giác. Hãy xác định toạ độ các đỉnh của
tam giác.
Bài 15. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
ABC

. Biết
A( 3, 4)
 
và các trung tuyến đi qua
B

,
C
lần lượt là
Ox
,
Oy
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 16. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
ABC

. Biết
A(1,3)
và các trung trực ứng với các
cạnh
AB
,
AC
lần lượt là
Ox
,
Oy
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 17. Trên mặt phẳng toạ độ, cho
ABC

. Biết
A(2,5)
và các trung trực ứng với các
cạnh
AB

,
BC
lần lượt là
Ox
,
Oy
. Hãy xác định toạ độ các đỉnh còn lại của tam giác.
Bài 18. Trên mặt phẳng toạ độ cho
A(1,2)
,
B(3,4)
. Tìm trên trục hồnh điểm
M
sao
cho
(a)
(MA MB)

nhỏ nhất.
(b)
| MA MB |

lớn nhất.
Bài 19. Cho
A(2,4)
. Tìm
B Ox

,
C Oy


sao cho chu vi
ABC

đạt giá trị nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất nói trên bằng bao nhiêu?
Bài 20. Chứng minh với mọi
x
,
y
,
z
,
t
ta có:
2 2 2 2 2 2
x y z t (x z) (y t) .
      
Bài 21. Tìm trên trục hồnh điểm
P
sao cho tổng khoảng cách từ
P
đến
A(1,2)
và
B(3,4)
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 22. Cho
1 1 1
M (x ,y )

,
2 2 2
M (x ,y )
,
3 3 3
M (x ,y )
lần lượt là trung điểm các cạnh
BC
,
CA
,
AB
của
ABC

. Hãy xác định tọa độ của
A
,
B
,
C
theo tọa độ của
1
M
,
2
M
,
3
M

.


Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
3

Chủ đề 2. Phương trình tổng qt của đường thẳng
I. Tóm tắt lý thuyết
* Phương trình tổng qt
:ax by c 0
   
, (
2 2
a b 0
 
).

nhận
n(a,b)

làm vectơ pháp tuyến (Hình 1).

Hình 1
* Các dạng đặc biệt của phương trình tổng qt
+)
:ax c 0
  

, (
a 0

).

song song hoặc trùng với
Oy
(Hình 2).
+)
:by c 0
  
, (
b 0

).

song song hoặc trùng với
Ox
(Hình 3).
+)
:ax by 0
  
, (
2 2
a b 0
 
).

đi qua gốc tọa độ (Hình 4).

Hình 2

Hình 3

Hình 4
+) Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:
x y
: 1
a b
  
.

qua
A(a,0)
và
B(0,b)
(
ab 0

)
(Hình 5).
+) Phương trình đường thẳng theo hệ số góc:
: y kx m
  
, (
k
được gọi là hệ số góc của

).
Nếu

k 0

đặt
M Ox
  
, gọi
Mt
là nửa đường thẳng

ở phía trên
Ox
. Khi đó

k tanxMt

(Hình 6).
x


O





y


x

O





y


n(a,b)





x


O





y


Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
4


Hình 5

Hình 6

II. Các bài tốn cơ bản
Bài tốn 1 Viết phương trình đường thẳng biết vectơ pháp tuyến và một điểm thuộc đường
thẳng
0 0
0 0
n(a,b)
qua M(x ,y )
:a(x x ) b(y y ) 0



    






 .
Bài tốn 2 Viết phương trình đường thẳng biết vectơ chỉ phương và một điểm thuộc đường
thẳng

0 0
0 0
u(a,b)
qua M(x ,y )
:b(x x ) a(y y ) 0
/ /



     




 .
Bài tốn 3 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và song song với một đường
thẳng
0 0
0 0
qua M(x ,y )
:a(x x ) b(y y ) 0
/ / ':ax by c 0


     

    

. (
M

 
)
Bài tốn 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vng góc với một đường
thẳng
0 0
0 0
qua M(x ,y )
:b(x x ) a(y y ) 0
':ax by c 0


     

    


.
Bài tốn 5 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc cho trước
Phương trình đường thẳng

qua
0 0
M(x ,y )
và có hệ số góc
k
là:
0 0
y k(x x ) y
  
.

Bài tốn 6 Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Quy về Bài tốn 2: đường thẳng đi qua hai điểm
A
và
B
chính là đường thẳng đi qua
A
và
nhận vectơ
AB

làm vectơ chỉ phương.
x


O





y

M


t


k tanxMt



x


O


y


A(a,0)

B(0,b)




Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
5

Bài tốn 7 Viết phương trình đường trung trực của một đoạn thẳng
Quy về Bài tốn 1: trung trực của đoạn thẳng
AB
chính là đường thẳng đi qua trung điểm
I
của

đoạn thẳng này và nhận
AB

làm vectơ pháp tuyến.
Bài tốn 8 Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo với
Ox
góc cho trước

đi qua
0 0
M(x ,y )
và tạo với
Ox
góc

(
o o
0 90
  
)
0 0
: y k(x x ) y
|k | tan
   



 

.

Bài tốn 9 Tìm hình chiếu vng góc của một điểm lên một đường thẳng
Giả sử cần tìm hình chiếu
H
của điểm
M
lên đường thẳng

, ta làm như sau
* Lập phương trình đường thẳng
'

qua
M
, vng góc với

(Bài tốn 4).
*
H
là hình chiếu vng góc của
M
lên

H '
    
.
Bài tốn 10 Tìm điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng
Giả sử cần tìm điểm
M'
đối xứng với điểm
M

qua đường thẳng

, ta làm như sau
* Lập phương trình đường thẳng
'

qua
M
, vng góc với

(Bài tốn 4).
* Tìm giao điểm
I
của

và
'

.
*
M'
đối xứng với
M
qua
'




M'

đối xứng với
M
qua
I
.
III. Bài tập
* Các bài tốn lập phương trình đường thẳng đơn giản
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng

trong các trường hợp sau
(a)

qua
M(2, 1)

và nhận
n(3, 1)


làm vectơ pháp tuyến.
(b)

qua
1
M ,3
2
 

 
 

và nhận
u(2,0)

làm vectơ chỉ phương.
(c)

qua
M(1,4)
và song song với đường thẳng
':x 2x 12 0
   
.
(d)

qua
3
M 1,
4
 

 
 
và vng góc với đường thẳng
': x 3x 12 0
    
.
(e)

qua
M(1,4)

và có hệ số góc bằng
5
.
(f)

đi qua hai điểm
A(2,4)
và
B(2, 1)

.
(g)

đi qua hai điểm
A(3,0)
và
B(0, 1)

.
(h)

là trung trực của đoạn thẳng với hai đầu mút
A( 1,7)

và
B(2, 4)

.
(i)


qua
2
M 3,
3
 
 
 
và tạo với
Ox
góc
o
30
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
6

Bài 2. Tìm tọa độ điểm
A
trong các trường hợp sau
(a)
A
là giao điểm của các đường thẳng
: 3x 4y 3 0
   
và
':10x 4y 10 0
   

.
(b)
A
là giao điểm của các đường thẳng
: x 2y 5 0
   
và
':4x 5y 14 0
   
.
(c)
A
là hình chiếu vng góc của
B(3, 1)

lên đường thẳng
: x 3y 4 0
   

(d)
A
đối xứng với
B( 1,2)

qua đường thẳng
: x 2y 0
  
.
* Các bài tốn về tam giác
Bài 3. Cho tam giác

ABC
với
A(1,2)
,
B( 1, 2)
 
,
C(3, 3)

. Hãy lập phương trình các cạnh và
các đường cao của tam giác.
ĐS:
AB : 2x y 0
 
,
BC: x 4y 9 0
  
,
CA : 5x 2y 9 0
  
. Gọi
A
d
,
B
d
,
C
d
lần lượt là các

đường cao qua
A
,
B
,
C
, ta có
A
d :4x y 2 0
  
,
B
d :2x 5y 8 0
  
,
C
d :x 2y 3 0
  
.
Bài 4. Viết phương trình các cạnh của
ABC

biết trung điểm của các cạnh là
M(2,1)
,
N(5,3)
,
P(3, 4)

.

Bài 5. Viết phương trình các đường trung trực của
ABC

biết trung điểm các cạnh là
M( 1, 1)
 
,
N(1,9)
,
P(9,1)
.
Bài 6. Tìm tọa độ đỉnh
A
của tam giác cân
ABC
biết
B( 3; 2)
 
,
C(5;2)
và
A
nằm trên
đường thẳng
d : x 2y 7 0
  
.
ĐS:
A( 1;4)


.
Bài 7. Viết phương trình các cạnh của
ABC

biết
B( 4, 5)
 
và phương trình hai đường cao:
1
(d ):5x 3y 4 0
  
và
2
(d ):3x 8y 13 0
  
.
Bài 8. Cho
ABC

có
(AB):5x 3y 2 0
  
và các đường cao đi qua
A
,
B
có phương trình
lần lượt là
1
(d ):4x 3y 1 0

  
và
2
(d ):7x 2y 22 0
  
. Lập phương trình hai cạnh còn lại và
đường cao còn lại của tam giác.
Bài 9. [ĐHD04] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
cho tam giác
ABC
có các đỉnh


A 1;0
 ,
B (4;0)
,


C 0;m
với
m 0

. tìm toạ độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
theo
m

.
xác định
m
để tam giác
GAB
vng tại
G
.
Bài 10. [ĐHB03] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vng góc
Oxy
cho tam giác
ABC
có
AB AC

,

BAC 90


. Biết


M 1; 1

là trung điểm cạnh
BC
và
2
G ;0

3
 
 
 
là trọng tâm tam
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
7

giác
ABC
. Tìm tọa độ các đỉnh
A
,
B
,
C
.
ĐS:
A(0,2)
.
Bài 11. [CĐ09Chuẩn] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có



C 1;2
,
đường trung tuyến kẻ từ
A
và đường cao kẻ từ
B
lần lượt có phương trình
l5x y-9 0
 
và
x 3y-5 0
 
. Tìm toạ độ các đỉnh
A
và
B
.
Bài 12. Viết phương trình các cạnh của
ABC

biết
C(4, 1)

, đường cao và trung tuyến kẻ từ
cùng một đỉnh có phương trình lần lượt là
1
d :2x 3y 12 0
  
và
2

d : 2x 3y 0
 
.
ĐS: Giả sử
1 2
d d A
 
.
AB : 9x 11y 5 0
  
,
BC: 3x 2y 10 0
  
,
CA : 3x 7y 5 0
  
.
Bài 13. Viết phương trình các cạnh của
ABC

biết
A(1,3)
và hai trung tuyến có phương trình
là
1
d :x 2y 1 0
  
và
2
d : y 1 0

 
.
ĐS: Giả sử
1
d
là trung tuyến qua
B
,
2
d
là trung tuyến qua
C
.
AB : x y 2 0
  
,
BC: x 4y 1 0
  
,
CA : x 2y 7 0
  
.
Bài 14. Cho
ABC

có
M( 1,1)

là trung điểm của một cạnh, hai cạnh còn lại có phương trình
là

x y 2 0
  
,
2x 6y 3 0
  
. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.
Bài 15. Cho
ABC

có phương trình hai cạnh là
5x 2y 6 0
  
và
4x 7y 21 0
  
. Viết
phương trình cạnh còn lại của tam giác biết gốc tọa độ chính là trực tâm của tam giác.
ĐS: Giả sử
AB : 5x 2y 6 0
  
,
BC:4x 7y 21 0
  
.
CA : y 7 0
 
.
Bài 16. Cho
ABC


với
A(2, 1)

và hai phân giác trong của các góc
B
và
C
lần lượt là
B
(d ): x 2y 1 0
  
và
C
(d ):x y 3 0
  
. Lập phương trình các cạnh của tam giác.
Bài 17. [ĐHD09] Cho
ABC

có
M(2,0)
là trung điểm cạnh
AB
. Đường trung tuyến và đường
cao đi qua
A
có phương trình lần lượt là
7x 2y 3 0
  
và

6x y 4 0
  
. Viết phương trình
đường thẳng
AC
.
Bài 18. [ĐHA02] Trong mặt phẳng tọa độ Đềcac vng góc
Oxy
, xét tam giác
ABC
vng tại
A
, phương trình đường thẳng
BC
là
3x y 3 0
  
, các đỉnh
A
và
B
thuộc trục hồnh và
bán kính đường tròn nội tiếp bằng
2
. tìm tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
.
ĐS:

2 3 1 3 3
G ,
3 3
 
 
 
 
 
hoặc
5 2 3 3 3
G ,
3 3
 
 
 
 
 
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
8

Bài 19. [ĐHB07] Cho


A 2;2
và
1

d :x y – 2 0
 
,
2
d : x y – 8 0
 
. Tìm toạ độ các điểm
B

và
C
lần lượt thuộc
1
d
và
2
d
sao cho tam giác
ABC
vng cân tại
A
.
Bài 20. [ĐHB08] Hãy xác định tọa độ đỉnh
C
của tam giác
ABC
biết rằng hình chiếu vng
góc của
C
trên đường thằng

AB
là


H 1; 1
 
, đường phân giác trong của góc
A
có phương
trình
x – y 2 0
 
và đường cao kẻ từ
B
có phương trình
4x 3y –1 0
 
.
Bài 21. [ĐHA10NC] Cho tam giác
ABC
cân tại
A
có đỉnh
A(6;6)
, đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh
AB
và
AC
có phương trình

x y 4 0
  
. Tìm tọa độ các đỉnh
B
và
C
,
E(1; 3)

nằm trên đường cao đi qua đỉnh
C
của tam giác đã cho.
ĐS:
B(0; 4)

,
C( 4;0)

hoặc
B( 6;2)

,
C(2; 6)

.
Bài 22. [ĐHD10Chuẩn] Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có đỉnh



A 3; 7

,
trực tâm là


H 3; 1

, tâm đường tṛòn ngoại tiếp là


I 2;0
 . Xác định toạ độ đỉnh
C
, biết
C

có hồnh độ dương.
ĐS:


C 2 65;3
 
.
* Các bài tốn về hình thang
Bài 23. Cho hình thang
ABCD
(

AB / /CD
). Biết
A(2,2)
,
B(4,1)
,
C( 3,1)

. Tìm tọa độ đỉnh
D

của hình thang biết rằng
CD 3AB

.
ĐS:
D( 9,4)

.
Bài 24. Cho hình thang
ABCD
(
AB / /CD
). Biết đường thẳng
AB
cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng
5
3
,

AD : x 2
 
,
C
nằm trên trục hồnh,
B
có tung độ bằng hai lần hồnh độ và
đường trung bình của hình thang có phương trình
d : x 3y 1 0
  
. Hãy tìm tọa độ các đỉnh của
hình thang.
ĐS:
A( 2,1)

,
B(1,2)
,
C(7,0)
,
D( 2, 3)
 
.
Bài 25. Cho hình thang
ABCD
(
AB / /CD
). Biết
A(-1,1)
,

BC: x 4y 9 0
  
, đường trung
bình của hình thang có phương trình
1
d : y x
2
 và
DC 2AB

. Hãy lập phương trình các cạnh
và xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thang.
ĐS:
B(1,2)
,
C(5,1)
,
D( 1, 2)
 
.
AB : x 2y 3 0
  
,
CD: x 2y 3 0
  
,
DA : x 1 0
 
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
9

Bài 26. Cho hình thang cân
ABCD
(
AB / /CD
). Biết
1
M( 3, )
2
 là trung điểm của
AB
,
AD: y 3x 12
 
và đường trung bình của hình thang có phương trình
d : 2x 4y 3 0
  
. Hãy
lập phương trình các cạnh còn lại và xác định tọa độ các đỉnh của hình thang.
ĐS:
A(-4,0)
,
B(-2,1)
,
C(1,0)
,

D(-5,-3)
.
* Các bài tốn về hình bình hành
Bài 27. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của hình bình hành
ABCD
biết rằng
hai đường chéo của hình hành này cắt nhau tại gốc tọa độ và các đỉnh
A
,
B
,
C
,
D
lần lượt
thuộc các đường thẳng
1
d :y 3x 5
 
,
2
d : x y 1 0
  
,
3
d : 2x 3y 7 0
  
,
4
d : x 2y 1 0

  
.
ĐS:
A(-2,1)
,
B(-1,0)
,
C(-2,-1)
,
D(1,0)
.
* Các bài tốn về hình chữ nhật
Bài 28. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phương trình các cạnh của hình chữ nhật
ABCD
biết rằng
hai đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại
3 3
I ,
2 2

 
 
 
, các đường thẳng chứa các cạnh
AB
,
BC
,
CD
lần lượt đi đi qua các điểm

M( 2,3)

,
4
N ,3
3
 
 
 
,
P( 2,1)

.
ĐS:
A( 5,2)

,
B(1,4)
,
C(2,1)
,
D( 4, 1)
 
,
AB : x 3y 11 0
  
,
BC: 3x y 7 0
  
,

CD: x 3y 1 0
  
,
DA : 3x y 13 0
  
.
Bài 29. [ĐHA09Chuẩn] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho hình chữ nhật
ABCD
có
tâm


I 6;2
là giao điểm của hai đường chéo
AC
và
BD
. Điểm


M 1;5
thuộc đường thẳng
AB
và trung điểm
E
của
CD
thuộc đường thẳng

: x y 5 0
   
. Viết phương trình đường
thẳng
AB
.
ĐS:
AB : x 4y 19 0
  
.
Bài 30. [ĐHB02] Trong mặt phẳng tọa độ Đêcac vng góc
Oxy
cho hình chữ nhật
ABCD
có
tâm
1
I ;0
2
 
 
 
, phương trình đường thẳng
AB
là
x – 2y 2 0
 
và
AB 2AD


. Tìm tọa độ các
đỉnh
A
,
B
,
C
,
D
biết rằng
A
có hồnh độ âm.
ĐS:
A( 2,0)

,
B(2,2)
,
C(3,0)
,
D( 1, 2)
 
.
* Các bài tốn về hình vng
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
10

Bài 31. Cho hình vng
ABCD
có
I(1, 2)

là giao điểm của hai đường chéo.
A
và
C
lần lượt
nằm trên các đường thẳng
1
d :x y 3 0
  
và
2
d : x 2y 5 0
  
. Biết thêm rằng
B
có hồnh
độ dương. Hãy xác định tọa độ các đỉnh và viết phương trình các cạnh của hình vng.
ĐS:
A(7, 4)

,
B(3,4)
,
C( 5,0)


,
D(-1,-8)
,
AB : 2x y 10 0
  
,
BC: x 2y 5 0
  
,
CD: 2x y 10 0
  
,
DA : x 2y 15 0
  
.
Bài 32. Cho hình vng
ABCD
có
1 1
I ,
2 2
 
 
 
 
là giao điểm của hai đường chéo. Điểm
5
M 1,
4
 

 
 
thuộc đường thẳng
AB
,
5
N 1,
2

 

 
 
là trung điểm của
CD
. Biết thêm rằng
A
có
hồnh độ âm, hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vng.
ĐS:
A(-2,2)
,
B(2,1)
,
C(1,-4)
,
D(-3,-2)
.
Bài 33. Cho hình vng
ABCD

có
A( 4,1)

và đường chéo
BD
có phương trình
y 5x 8
 
.
Hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vng.
ĐS:
A(-4,1)
,
B(-1,3)
,
C(1,0)
,
D(-2,-2)
hoặc
A(-4,1)
,
B(-2, 2)

,
C(1,0)
,
D(-1,3)
.
Bài 34. [ĐHA05] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy

cho
2
đường thẳng
1
d :x – y 0

và
2
d : 2x y –1 0
 
. Tìm toạ độ các đỉnh hình vng
ABCD
biết rằng đỉnh
A
thuộc
1
d
,
C

thuộc
2
d
và các đỉnh
B
,
D
thuộc trục hồnh.

Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
11

Chủ đề 3. Phương trình tham số của đường thẳng
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Phương trình tham số của đường thẳng
* Bài tốn: Lập phương trình của đường thẳng

, biết
0 0
qua M(x ,y )
/ /u(a,b)








 , (
2 2
a b 0
 
).
Lời giải:
0
0 0
0
x x at
M(x,y) M M / /u t : M M t.u t :
y y bt
 

         

 

  



.
Hệ

0
2 2

0
x x at
,(
y y bt
a b 0)
 


 



(0.1)
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng

, với tham số
t
.
* Chú ý 1 (về ý nghĩa của phương trình tham số):
+) Thay mỗi
t


vào phương trình tham số (0.1), ta được một điểm M(x,y)
 
.
+) Điểm M(x,y)
 
thì có một số
t

sao cho
x
,
y
thỏa mãn hệ.
* Chú ý 2: một đường thẳng ln có vơ số phương trình tham số.
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Nếu
a 0

,
b 0

, từ (0.1), khử tham số
t
, ta được

0 0
x x y y
a b
 
 . (0.2)
Phương trình (0.2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng qua
0 0 0
M (x ,y )
và nhận
u(a,b)

là một vectơ chỉ phương.
Trong trường hợp

a 0

hoặc
b 0

thì đường thẳng khơng có phương trình chính tắc.
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Lập phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng
qt của đường thẳng

trong các trường hợp sau:
(a)

qua
M(1,6)
và nhận
u(2, 1)


làm vectơ chỉ phương.
(b)

qua
M(4,2)
và nhận
1
u ,0
2
 


 
 

làm vectơ chỉ phương.
(c)

qua
3
M ,1
4
 
 
 
và nhận
n(2,1)

làm vectơ pháp tuyến.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
12

(d)

qua
A( 1,2)

và
B(1,4)

.
Giải.
(a)
* Phương trình tham số:
x 1 2t
:
y 1 6t
 



  

, trong đó
t
là tham số.
* Từ phương trình tham số của

, khử tham số
t
, ta được
x 1 y 1 x 1 y 1
2 6 1 3
   
   .
Suy ra phương trình chính tắc
x 1 y 1
:
1 3
 

  .
* Ta có
x 1 y 1
3(x 1) y 1 3x y 4 0
1 3
 
        
.
Suy ra phương trình tổng qt
: 3x y 4 0
   
.
(b)
* Phương trình tham số:
1
x 4 t
:
2
y 2

 






, trong đó
t
là tham số.

*

khơng có phương trình chính tắc.
* Ta có
y 2 y 2 0
   
. Suy ra phương trình tổng qt:
: y 2 0
  
.
(c)
* Ta thấy
n(1, 2)



(do
n
u



). Từ đó suy ra phương trình tham số
3
x t
:
4
y 1 2t

 





 

, trong đó
t
là tham số.
* Từ phương trình tham số của

, khử tham số
t
, ta được phương trình chính tắc
3
4
x
y 1
:
1 1


 

.
* Ta có:
3
4
x
y 1 4x 3 y 1

(4x 3) 4(y 1) 4x 4y 7 0
1 1 4 1

  
           
 
. Suy ra
phương trình tổng qt
:4x 4y 7 0
   
.
(d)
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
13

* Ta có
qua A( 1,2)
/ /AB(2,4)/ /(1,2)
 









phương trình tham số
x 1 t
:
y 2 2t
  



 

, trong đó
t
là tham số.
* Từ phương trình tham số của

, khử tham số
t
, ta được phương trình tham số
x 1 y 2
:
1 2
 
  .
* Ta có
x 1 y 2
2x y 4 0
1 2
 
    
. Từ đó suy ra phương trình tổng qt

: 2x y 4 0
   
.
Ví dụ 2. Lập phương trình tham số của đường thẳng

trong các trường hợp sau:
(a)
: x 1 0
  
.
(b)
: 3x 2y 6 0
   
.
(c)
1
x
y 5
2
:
3 5


  .
Giải.
(a)
x 1
: ,
y t







trong đó
t
là tham số.
(b)
1
x t
3
:
1
y 3 t
2







 


, trong đó
t
là tham số.
(c)

1
x 3t
:
2
y 5 5t

  




  

, trong đó
t
là tham số.
Ví dụ 3. Cho
3
x t
:
4
y 3 3t

  




 


, trong đó
t
là tham số.
(a) Xác định các điểm nằm trên

tương ứng với giá trị
1
,
2
,
3
của tham số.
(b) Trong các điểm
3
A ,3
4
 

 
 
,
21
B 1,
4
 

 
 
,
C(2,3)

, điểm nào thuộc

?
Giải.
(a) Thay các giá trị
1
,
2
,
3
của tham số
t
vào phương trình tham số của

, ta có các điểm
tương ứng là
7
M ,6
4
 

 
 
,
11
N ,9
4
 

 

 
,
15
M ,12
4
 

 
 
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
14

(b) Ta có
3 3
t
t 0 M
4 4
3 3 3t

   

    


 


.
11 3
t
t 2 N
4 4
9 3 3t

   

    


 

.
3 11
2 t t
t P
4 4
3 3 3t t 0
 
    
 
     
 
 
  
 
.

Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
15

Chủ đề 4. Khoảng cách và góc
I. Tóm tắt lý thuyết
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

M M
2 2
|ax by c|
:ax by c 0 d(M, )
a b
 
      

.
2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Giả sử
:ax by c 0
   
. Khi đó:
+)
M
và
N
nằm khác phía đối với


M M N N
(ax by c)(ax by c) 0
     
.
+)
M
và
N
nằm cùng phía đối với


M M N N
(ax by c)(ax by c) 0
     
.
3. Hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho
1 1 1 1
2 2 2 2
:a x b y c 0
:a x b y c 0
   


   

.
Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi
1

và
2

có dạng
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c
a b a b
   

 
 
.
4. Góc giữa hai đường thẳng
1 1 1 1
1 2 1 2
1 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
:a x b y c 0
|a a b b |
cos( , )
:a x b y c 0
a b . a b
   


   

   

 
.
II. Bài tập
* Các bài tập về khoảng cách
Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm
M
tới đường thẳng
d

trong các trường hợp sau
(a)
M(1,1)
,
d : x y 2 0
  
.
(b)
M(2,1)
,
x 1 y 1
d :
1 1
 


.
(c)
M(1,5)
,
x 2t
d :
y 4 t



 

,
t

là tham số.
ĐS: (a)
2
. (b)
3 2
2
. (c)
1
5
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
16

Bài 2. Cho tam giác
ABC
. Biết
A( 2,0)

,
B(4, 2)

,
S( ABC) 10
 
và
C
nằm trên đường

thẳng
d : y x

.
ĐS:
C(2,2)
C( 3, 3)


 

.
Bài 3. Biết diện tích
ABC

là
3
S
2

,
A(2, 3)

,
B(3, 2)

và trọng tâm
G
của tam giác thuộc
đường thẳng có phương trình

(d) : 3x y 8 0
  
. Tìm tọa độ đỉnh
C
.
Bài 4. [ĐHA06] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
cho các đường thẳng
1
d :x y 3 0
  
,
2
d : x y 4 0
  
,
3
d : x 2y 0
 
. Tìm tọa độ điểm
M
nằm trên đường thẳng
3
d
sao cho
khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
1
d

bằng hai lần khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
2
d
.
Bài 5. [ĐHB09NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
cân tại
A
có
đỉnh
A( 1;4)

và các đỉnh
B
,
C
thuộc đường thẳng
x y 4 0
  
. Xác định toạ độ các điểm
B

và
C
, biết diện tích tam giác
ABC

.bằng
18
.
Bài 6. [CĐ09NC] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho các đường thẳng
1
:x 2y 3 0
   
và
2
:x y 1 0
   
. Tìm toạ độ điểm
M
thuộc đường thẳng
1

sao cho
khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
2

bằng
1
2
.
Bài 7. [ĐHB04] Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy

cho hai điểm


A 1;1
,


B 4; 3

. Tìm điểm
C

thuộc đường thằng
x – 2y –1 0

sao cho khoảng cách từ
C
đến
AB
bằng
6
.
Bài 8. [ĐHD10NC] Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, cho điểm


A 0;2
và


là đường thẳng đi
qua
O
. Gọi
H
là hình chiếu vng góc của
A
trên

. Viết phương trình đường thẳng

, biết
khoảng cách từ
H
đến trục hồnh bằng
AH
.
ĐS:


: 5 1 x 2 5 2 y 0
    
hoặc


: 5 1 x 2 5 2 y 0
    
.
Bài 9. Cho
1 1

2 2
:ax by c 0
:ax by c 0
   


   

, (
2 2
a b 0
 
). Chứng minh
1 2
1 2
2 2
|c c |
d( , )
a b

  

.
Bài 10. Cho
d : 3x 2y 4 0
  
. Viết phương trình đường thẳng
d'
trong các trường hợp sau
(a)

d(d,d') 2

.
(b)
d(d,d') 3

.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
17

* Các bài tập về đường phân giác
Bài 11. Viết phương trình hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng
1
d
và
2
d

trong các trường hợp sau
(a)
1
d :x 2y 1 0
  
,
2
d : x 3y 3 0
  

.
(b)
x 2t
d :
y 4 t



 

,
t
là tham số,
2
d : x y 7 0
  
.
(c)
1
x 3t
d :
y 4 t



 

,
t
là tham số;

2
x u
d :
y 3u





,
u
là tham số.
ĐS: (a)
1
2
:( 2 1)x (2 2 3)y 2 3 0
:( 2 1)x (2 2 3)y 2 3 0

      


      

. (b)
1
2
: 2y 11 0
: 2x 3 0
  



  

. (c)
1
2
: x 2y 6 0
: 2x y 6 0
   


   

.
Bài 12. Viết phương trình các đường phân giác trong của
ABC

biết rằng các cạnh của nó nằm
trên các đường thẳng có phương trình
3x 4y 0
 
,
4x 3y 0
 
và
5x 12y 101 0
  
.
Bài 13. Cho
A(1,2)

,
B(3, 4)

và
C( 1, 2)
 
. Hãy lập phương trình các đường phân giác trong và
xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của
ABC

.
Bài 14. Cho
1
: 3x y 1 0
   
và
2
x 2 t
:
y t
 





, (
t
là tham số). Hãy lập phương trình phân
giác góc nhọn tạo bởi

1

và
2

.
Bài 15. Lập phương trình đường thẳng qua
P(2, 1)

sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường
thẳng
1
d :2x y 5 0
  
và
2
d : 3x 6y 1 0
  
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
1
d
và
2
d
.
ĐS:
d : 5x y 11 0
d : x 5y 3 0
  



  

.
Bài 16. [ĐHB10Chuẩn] Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
vng tại
A
, có đỉnh


C 4; 1
 , phân giác trong góc
A
có phương trình
x y – 5 0
 
. Viết phương trình đường thẳng
BC
, biết diện tích tam giác
ABC
bằng
24
và đỉnh
A
có hồnh độ dương.
* Các bài tập về góc
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
18

Bài 17. Cho
1 1 1
d :y k x b
 
và
2 2 2
d : y k x b
 
. Biết
1 2
k .k 1
 
. Chứng minh rằng
1 2
1 2
1 2
k k
tan(d ,d )
1 k .k



.
Bài 18. Cho
P(2,5)

và
Q(5,1)
. Lập phương trình đường thẳng qua
P
sao cho khoảng các từ
Q

tới đường thẳng đó bằng
3
.
ĐS:
d : x 2 0
d : 7x 24y 134 0
 


  

.
Bài 19. Tính góc giữa
1
d
và
2
d
trong các trường hợp sau:
(a)
1
x 2t
d :

y 4 t



 

,
t
là tham số;
2
x 2u
d :
y 2u





,
u
là tham số.
(b)
1
x 2t
d :
y 4 t



 


,
t
là tham số;
2
d : x y 7 0
  
.
(c)
1
d :x 2y 1 0
  
,
2
d : x 4y 3 0
  
.
(d)
1
d :mx y 2 0
  
;
2
d : x my m 1 0
   
.
ĐS: (a)
1 2
3
cos(d ,d )

10
 . (b)
1 2
1
cos(d ,d )
10
 . (c)
1 2
9
cos(d ,d )
85
 . (d)
1 2
2
2m
cos(d ,d )
m 1


.
Bài 20. Viết phương trình đường thẳng

trong các trường hợp sau:
(a)

qua
M(1,1)
và tạo với
x 2t
d :

y 4 t



 

(
t
là tham số) một góc
o
30
.
(b)

qua
M(1,1)
và tạo với
d : x y 2 0
  
một góc
o
45
.
ĐS: (a)
: x (8 75)y 7 75 0
: x (8 75)y 7 75 0

     

     



. (b)
: x 1 0
: y 1 0
  


  

.





Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
19

Chủ đề 5. Đường tròn
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Phương trình đường tròn
* Phương trình tổng quát: Phương trình
2 2
x y 2ax 2by c 0
 
 

(
2 2
a b c 0
  
) là
phương trình tổng qt của đường tròn tâm


I a;b
, bán kính
2 2
R a b c
  
.
* Phương trình chính tắc: Phương trình
   
2 2
2
x a y b R
    (
R 0

)
là phương trình chính tắc đường tròn tâm
I(a;b)
, bán kính
R
.
II. Vò trí tương đối giữa điểm, đường thẳng, đường tròn
* Vò trí tương đối giữa điểm và đường

tròn:
Xét đường tròn


C
có tâm
I
, bán kính
R
và điểm
M
. Đặt
d IM

. Ta có

d R


I
nằm ngồi


C

d R





I C

d R


I
nằm trong


C

* Vò trí tương đối giữa đường thẳng và
đường tròn:
Xét đường tròn


C
có tâm
I
, bán kính
R
và đường thẳng

. Đặt gọi
d
là
khoảng cách từ
I
đến


. Ta có
d R



khơng có điểm chung với


C

d R



tiếp xúc với


C

d R



cắt


C
tại
2
điểm phân biệt

* Vò trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến chung:
Xét hai đường tròn


1
C
có tâm
1
I
, bán kính
1
R
;


2
C
có tâm
2
I
, bán kính
2
R
. Đặt
1 2
d I I
 . Ta có
d

Vị trí tương đối Số tiếp tuyến chung

1 2
d R R
 


1
C
,


2
C
nằm ngồi nhau
4

1 2
d R R
 


1
C
,


2
C
tiếp xúc ngồi nhau ngồi nhau
3

1 2 1 2
| R R | d R R
   


1
C
,


2
C
cắt nhau tại hai điểm phân biệt
2

1 2
d | R R |
 


1
C
,


2
C
tiếp xúc trong nhau
1

1 2
d | R R |
 


1
C
,


2
C
lồng nhau
0


Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
20

III. Tiếp tuyến của đường tròn
* Xét đường tròn


C
có tâm
I

, bán kính
R
và đường thẳng

.

tiếp xúc với


C




d I; R
 
.
* Tiếp tuyến với đường tròn


C
tâm
I
tại điểm


M C
 là đường thẳng qua
M
, vng

góc với
IM
(nhận
IM

là véctơ pháp tuyến). Cụ thể:
 
 
 
2 2 2
0 0
C :(x a) (y b) R
M x y C;

   






PTTT với


C
tại
M
là
0 0 0 0
:(x a)(x x ) (y b) )

(y y 0
      
.

























Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
21

B. Bài tập
I. Phương trình đường tròn
(Các bài 1-10) Lập phương trình đường tròn


C
biết
Bài 1.


C
có tâm


I 1;3
, bán kính
R 4

.
Bài 2.


C
có tâm



I 2;3
,




A 1; 2 C
  .
Bài 3.


C
đi qua các điểm


A 1;2
,
B( 2, 3)
 
và tâm
I
thuộc đường thẳng
d : x 3y 1 0
  
.
Bài 4.


C
đi qua các điểm



A 1;4
,


B 4;0
 và


C 2; 2
 
.
Bài 5.


C
Có đường kính là đoạn thẳng
AB
với


A 3;4
,


B 2;7
.
Bài 6.



C
có tâm


I 1;2
, tiếp xúc với đường thẳng
d : 3x 4y 1 0
  
.
Bài 7.


C
có tâm


I 2;3
, cắt đường thẳng
d : 3x 4y 1 0
  
theo một dây cung có độ dài
bằng
2
.
Bài 8.


C
đi qua



A 2; 1

và tiếp xúc với các trục tọa độ.
Bài 9.


C
là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng
5y x 2
 
,
y x 2
 
và
y 8 x
 
.
Bài 10.


C
nội tiếp tam giác
OAB

với


A 4;0

,


B 0;3
.
Bài 11. [ĐHB04] Cho
A(0,2)
,
B( 3, 1)
 
. Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn
ngoại tiếp
OAB

.
Bài 12. [ĐHA07] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho tam giác
ABC
có


A 0;2
,


B 2; 2
 
và



C 4; 2

. Gọi
H
là chân đường cao kẻ từ
B
;
M
và
N
lần lượt là trung điểm
của các cạnh
AB
và
BC
. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm
H
,
M
,
N
.
ĐS:
2 2
x y x y 2 0
    
.
Bài 13. Cho
ABC


có
AB : x y 2 0
  
,
AC: 2x 6y 3 0
  
và
M( 1,1)

là trung điểm
cạnh
BC
. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
ABC

.
ĐS:
2 2
65
x y x 3y 0
8
    
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
22

Bài 14. [ĐHB09Chuẩn] Cho
2 2
4
(C):(x 2) y
5
  
và hai đường thẳng
1
:x – y 0
 
,
2
:x – 7y 0
 
. Xác định toạ độ tâm
K
và tính bán kính của đường tròn
(C')
biết
(C')
tiếp
xúc với các đường thẳng
1

,
2

và tâm
K
thuộc

(C)
.
ĐS:
2 2
8 4 8
(C'): x y
5 5 25
   
   
   
   

Bài 15. [ĐHB05] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
cho hai điểm


A 2;0
và


B 6;4
. Viết
phương trình đường tròn
(C)
tiếp xúc với trục hồnh tại điểm
A
và khoảng cách từ tâm
của
(C)

đến điểm
B
bằng
5
.
ĐS:
   
2 2
(C): x 2 y 7 49
   
hoặc
   
2 2
(C): x 2 y 1 1
   
.
II. Vò trí tương đối giữa điểm, đường thẳng và đường tròn
Bài 16. Xét vị trí tương đối giữa điểm
M
và đường tròn
(C)

(a)
M(1,2)
,
2 2
(C) : x y 2x 4y 4 0
    
,
(b)

M(0, 1)

,
2 2
(C) : x y 2x 4y 4 0
    
,
(c)
M(1,2)
,
2 2
(C) : x y 2x 4y 20 0
    
.
Bài 17. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng
( )

và đường tròn
(C)

(a)
( ): 3x 4y 5 0
   
,
2 2
(C) : x y 4x 6y 12 0
    

(b)
( ): 3x 4y 23 0

   
,
2 2
(C) : x y 4x 6y 12 0
    

(c)
( ): 3x 4y 20 0
   
,
2 2
(C) : x y 4x 6y 12 0
    

Bài 18. Xét vị trí tương đối của các đường tròn
1
(C )
,
2
(C
)

(a)
2 2
1
(C ): x y 4x 6y 3 0
    
,
2 2
2

143
(C ): x y 12x 0
4
   
,
(b)
2 2
1
(C ): x y 4x 6y 3 0
    
,
2 2
2
(C ): x y 12x 35 0
   
,
(c)
2 2
1
(C ): x y 4x 6y 4 0
    
,
2 2
2
(C ): x y 12x 27 0
   
.
III. Tiếp tuyến của đường tròn
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
23

Bài 19. Cho
2 2
(C) : (x 1) (y 2) 16
   
.Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ
A( 1,6)


đến
(C)
.
ĐS:
y 6 0
 
,
4x 3y 22 0
  
.
Bài 20. Cho
2 2
(C) : 5x 5y 10x 4 0
   
.Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ
A(2,3)

đến

(C)
.
ĐS:
x 2y 4 0
  
,
2x y 1 0
  
.
Bài 21. Cho
2 2
(C) : x y 2x 8y 8 0
    
.Viết phương trình các tiếp tuyến của
(C)
biết:
(a) Tiếp tuyến đi qua
A(4;0)
.
(b) Tiếp tuyến đi qua
A( 4, 6)
 
.
ĐS: (a)
3x 4y 12 0
  
. (b)
3x 4y 12 0
  
,

x 4 0
 
.
Bài 22. Cho
2 2
(C) : x y 2x 6y 9 0
    
.Viết phương trình các tiếp tuyến của
(C)
biết:
(a) Tiếp tuyến song song với
: x y 0
  
.
(b) Tiếp tuyến vng góc với
: 3x 4y 0
  
.
(c) Tiếp tuyến tạo với
: 2x y 0
  
góc
45

.
ĐS: (a)
x y 2 2 0
   
,
x y 2 2 0

   
. (b)
4x 3y 18 0
  
,
4x 3y 8 0
  
. (c)
x 3y 8 10 0
   
,
x 3y 8 10 0
   
,
3x y 6 10 0
   
,
3x y 6 10 0
   
.
Bài 23. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn
1
(C )
,
2
(C )

(a)
2 2
1

(C ): x y 4x 3 0
   
,
2 2
2
(C ): x y 8x 12 0
   
.
(b)
2 2
1
(C ):(x 1) (y 1) 1
   
,
2 2
2
(C ):(x 2) (y 1) 4
   
.
ĐS: (a)
x 3y 0
 
,
x 3y 0
 
,
x 35y 8 0
  
,
x 35y 8 0

  
. (b)
x 0

,
3x 4y 12 0
  
.
Bài 24. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với
Ox
và đi qua điểm
(0,1)
. Tìm quỹ
tích tâm đường tròn đó.
ĐS: Quỹ tích là
2
(P): x 2y 1 0
  
.
Bài 25. Cho
A(3,1)
,
B(0,7)
,
C(5,2)
.
(a) Chứng minh rằng
ABC

vng và tính diện tích tam giác.

Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
24

(b) Giả sử điểm
M
chạy trên đường tròn ngoại tiếp
ABC

. Chứng minh rằng khi đó trọng tâm
G
của
MBC

chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó.
ĐS: (a)
15
S( ABC)
2
  . (b)
G
chạy trên đường tròn
2 2
5 7 25
x y
2 2 18
   
   

   
   
.
Bài 26. Cho
1
(C )
có tâm
A(1,0)
, bán kính
1
R 4

và
2
(C )
có tâm
B( 1,0)

, bán kính
2
R 2

. Tìm quỹ tích tâm
I
của đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.
Bài 27. Cho họ đường tròn
2 2
a
(C ):x y (a 2)x 2ay 1 0
     

.
(a) Tìm quỹ tích tâm của họ đường tròn
a
C
.
(b) Chứng tỏ khi
a
thay đổi,
a
(C )
ln đi qua hai điểm cố định. Tìm hai điểm đó.
(c) Viết phương trình tiếp tuyến của
2
(C )

kẻ từ
Q(3,0)
.
Bài 28. [ĐHD03] Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
Oxy
, cho đường tròn
     
2 2
C : x –1 y – 2 4
 
và đường thẳng
d : x – y –1 0

. Viết phương trình đường tròn
(C')

đối xứng với đường tròn
(C)
qua đường thẳng
d
. Tìm tọa độ các giao điểm của
(C)
và
(C')
.
Bài 29. [ĐHA04]Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai điểm


A 0;2
và


B 3, 1
 
. Tìm tọa
độ trực tâm và tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
OAB
.
Bài 30. [ĐHB06] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho đường tròn
 
2 2
C : x y – 2x – 6y 6 0

  
và điểm


M 3;1
 . Gọi
1
T
và
2
T
là các tiếp điểm của các tiếp
tuyến kẻ từ
M
đến
(C)
. Viết phương trình đường thẳng
1 2
T T
.
Bài 31. [ĐHD06] Cho
2 2
(C) : x y 2x 2y 1 0
    
và
(d) : x y 3 0
  
. Tìm điểm
M

nằm trên
(d)
sao cho đường tròn tâm
M
có bán kính gấp đơi bán kính của
(C)
tiếp xúc ngồi
với
(C)
.
Bài 32. [ĐHD07] Cho
2 2
(C) : (x 1) (y 2) 9
   
và
d : 3x 4y m 0
  
. Tìm
m
để trên
d
có duy nhất một điểm
P
sao cho từ
P
kẻ được đúng hai tiếp tuyến
PA
,
PB
tới

(C)
(
A
,
B

là các tiếp điểm) sao cho
PAB

đều.
Bài giảng ôn thi vào Đại học - Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng


ThS. Phạm Hồng Phong – Gv luyện thi đại học (Hà Nội). DĐ:0983070744
25

Bài 33. [ĐHA09] Cho
2 2
(C) : x y 4x 4y 6 0
    
và đường thẳng
: x my 2m 3 0
    
,
với
m
là tham số thực. Gọi
I
là tâm của đường tròn
(C)

. TÌm
m
để

cắt
(C)
tại hai điểm
phân biệt
A
và
B
sao cho diện tích tam giác
IAB
đạt giá trị lớn nhất.
ĐS:
m 0

hoặc
8
m
15
 .
Bài 34. [ĐHB09] Cho
2 2
1
4
(C ):(x 2) y
5
  
và

1
( ): x y 0
  
,
2
( ):x 7y 0
  
. Giả sử
2
(C )
là đường tròn có tâm nằm trên
1
(C )
và tiếp xúc với các đường thẳng
1
( )

,
2
( )

. Viết
phương trình
2
C
.
Bài 35. [ĐHD09] Cho
2 2
(C) : (x 1) y 1
  

. Gọi
I
là tâm của
(C)
. Tìm tọa độ điểm
M
thuộc
(C)
sao cho

o
IMO 30

.
Bài 36. [ĐHA10] Trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
, cho hai đường thẳng
1
d : 3x y 0
 
và
2
d : 3x y 0
 
. Gọi
(T)
là đường tròn tiếp xúc với
1
d
tại

A
, cắt
2
d
tại hai điểm
B
và
C
sao
cho tam giác
ABC
vng tại
B
. Viết phương trình của
(T)
, biết tam giác
ABC
có diện tích
bằng
3
2
và điểm
A
có hồnh độ dương.