Bài giảng: PP tọa độ trong không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.35 MB, 32 trang )
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian 2
A. Tóm tắt lý thuyết 2
B. Bài tập 4
Chủ đề 2. Tích có hướng 6
A. Tóm tắt lý thuyết 6
B. Bài tập 7
Chủ đề 3. Phương trình mặt phẳng 8
1. Tóm tắt lý thuyết 8
2. Các ví dụ 12
3. Bài tập 13
Chủ đề 4. Phương trình đường thẳng 16
A. Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ 16
B. Bài tập 21
Bài tập tổng hợp về mặt phẳng và đường thẳng 23
Tổng kết về khoảng cách và góc 26
Chủ đề 5. Phương trìõnh mặt cầu 29
A. Phương trình mặt cầu 29
B. Bài tập về mặt cầu 29
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
2
Chủ đề 1. Hệ tọa độ trong không gian
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Đònh nghóa: Hệ trục tọa độ
Oxyz
là một hệ thống gồm ba trục tọa
độ đơi một vng góc
Ox
,
Oy
,
Oz
.
Gọi
i
,
j
,
k
lần lượt là ba véc-tơ
đơn vị trên ba trục
Ox
,
Oy
,
Oz
.
Ta có
i j k 1
,
i.j j.k k.i 0
.
⃗
i
x
O
y
z
⃗
j
⃗
k
2. Tọa độ của một véc-tơ, một điểm
Tọa độ của một véc-tơ:
u x;y;z u xi yj zk
.
Để xác định tọa độ của véc-tơ
u
ta
làm như sau:
+) Lấy điểm
A
sao cho
OA u
.
+) Lấy
H
,
P
là hình chiếu của
A
lên
Oxy
,
Oz
;
M
,
N
là hình chiếu
của
H
lên
Ox
,
Oy
.
+) Ta có:
u OM;ON;OP
.
H
Tính chất: Cho các véc-tơ
1 1 1 1
u x ;y ;z
,
2 2 2 2
u x ;y ;z
và số
k
tùy ý, ta có
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
3
☞
1 2
u u
1 2
1 2
1 2
x x
y y
z z
.
☞
1 2 1 2 1 2 1 2
u u x x ;y y ;z z
.
☞
1 1 1 1
ku kx ;ky ;kz
.
☞ Giả sử
2
u 0
, ta có:
1 2
u / /u
1 2
m R :u mu
1 2
1 2
1 2
x mx
m R : y my
z mz
.
Tọa độ của một điểm: Tọa độ của điểm
M
là tọa độ của véc-tơ
OM
M x;y;z
OM xi yj zk
.
Tọa độ của véc-tơ
AB
:
A A A
A x y; ;
z
,
B
B
B
B x y; ;
z
B A B A B A
;AB x x y ;
y z z
.
Ta có:
☞
M
là trung điểm của
AB
x x
A B
M
2
y y
A B
M
2
z z
A B
M
2
x
y
z
.
☞
G
là trọng tâm tam giác
ABC
x x x
A B C
G
3
y y y
A B BC
G
3
z z z
A B C
G
3
x
y
z
.
☞
G
là trọng tâm tứ diện
ABCD
x x x x
A B C D
G
4
y y y y
A B C D
G
4
z z z z
A B C D
G
4
x
y
z
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
4
3. Tích vô hướng của hai véc-tơ: Cho các véc-tơ
1 1 1 1
u x ;y ;z
,
2 2 2 2
u x ;y ;z
, ta có
☞
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
u .u u . u cos u ,u x x y y z z
.
☞
2
2 2 2
1 1 1 1 1
u u x y z
.
Hệ quả:
A A A
A x y; ;
z
,
B
B
B
B x y; ;
z
2 2
B A B A B A
2
AB x x y y z z
☞
u .u x x y y z z
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2 2 2 2 2 2
u .u
1 2
x y z . x y z
1 1 1 2 2 2
cos u ,u
(
1
u 0
,
2
u 0
).
☞
1 2
u u
1 2
u .u 0
1 2 1 2 1 2
x x y y z z 0
.
B. Bài tập
Bài 1. Cho
A 2;3; 1
. Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của
A
lên các mặt phẳng tọa
độ và các trục tọa độ.
Bài 2. Cho
M 1;2;3
. Tìm tọa độ của điểm
M'
lần lượt đối xứng với
M
qua
1) Gốc tọa độ.
2) Mặt phẳng
Oxy
,
Oyz
,
Ozx
.
3) Trục tọa độ
Ox
,
Oy
,
Oz
.
Bài 3. Cho các véc-tơ
a 1;2;3
,
b 0;1; 1
,
c 1; 2;4
. Tìm tọa độ các véc-tơ
u
,
v
biết rằng
1)
u 2a 3b 4c
.
2)
2
3
u 4a b 5c
.
Bài 4. Cho các bộ điểm
1)
A 2;3;1
,
B 4; 3; 1
,
C 3;0;0
.
2)
M 1;2; 3
,
N 3;6;5
,
P 2;4;3
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
5
Hỏi trong các bộ điểm nói trên, bộ điểm nào thẳng hàng, bộ điểm nào tạo thành một tam
giác?
Bài 5. Cho các điểm
A 1;3; 4
,
B 5;0;5
,
C 1;2; 1
,
D 1; 1;2
.
1) Chứng tỏ rẳng ba điểm
A
,
B
,
C
thẳng hàng; ba điểm
A
,
B
,
D
khơng thẳng
hàng.
2) Chứng minh góc
ADB
tù.
Bài 6. Cho tam giác
ABC
với
A 1; 1;1
,
B 0;1;2
,
C 1;0;1
.
1) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác.
2) Tìm tọa độ điểm
D
sao cho
ABCD
là hình bình hành.
Bài 7. Cho tam giác
ABC
với
A 11;8;4
,
B 1; 7; 1
,
C 9; 2;4
. Hãy chứng tỏ
tam giác vng và tính diện tích của nó.
Bài 8. Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D'
có
A 4;1; 2
,
C 3; 2;17
,
B' 4;5;10
,
D' 7; 2;11
. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 9. Cho hình hộp
ABCD.A'B'C'D'
có
A 1;0; 1
,
B 2; 1; 2
,
D 1;1; 1
,
OC' 4i 5j 5k
. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài 10.
1) Trên trục
Oy
, tìm điểm
M
cách đều hai điểm
A 3;1;0
,
B 2;4;1
.
2) Trên mặt phẳng
Oxz
, tìm tọa độ điểm
N
cách đều ba điểm
A 1;1;1
,
B 1;1;0
,
C 3;1; 1
.
Bài 11. Cho tứ diện
ABCD
với
A 1; 1;1
,
B 3;1; 2
,
C 1;2;4
,
D 5; 6;9
. Tìm tọa
đột trọng tâm
G
của tứ diện.
Bài 12. Cho tứ diện
ABCD
với
A 1;0;0
,
B 0;1;0
,
C 0;0;1
,
D 2;1; 1
.
1) Tính góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện.
2) Gọi
M
,
N
lần lượt là trung điểm của
AB
,
CD
. Tìm tọa độ trung điểm
G
của
MN
.
Bài 13. Cho tứ diện
ABCD
với
A 3;0;0
,
B 0;3 3;0
,
C 3;0;0
,
D 0; 3;3
.
Chứng minh tứ diện có các cặp cạnh đối diện vng góc với nhau.
Bài 14. Cho tam giác
ABC
với
A 1;1;1
,
B 5;1; 2
,
C 7;9;1
. Biết phân giác trong
góc
A
cắt
BC
tại
D
. Tìm tọa độ điểm
D
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
6
Bài 15. Cho tam giác
ABC
với
A 1;2; 1
,
B 2; 1;3
,
C 4;7;5
. Tính độ dài đường
phân giác trong góc
B
.
Chủ đề 2. Tích có hướng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Đònh nghóa: cho
u x;y;z
,
v x';y';z'
tích có hướng của
u
và
v
là:
y z z x x y
u, v ; ; yz' y'z;zx' z'x;xy' x'y
y z z x x y
.
2. Tính chất
1) Tích có hướng vng góc với các véc-tơ thành phần:
u, v u
,
u, v v
.
2) Độ dài của tích có hướng:
u, v u . v .sin u,v
.
3. Ứng dụng 1: kiểm tra điều kiện cùng phương và đồng phẳng
1) Điều kiện cùng phương của hai véc-tơ:
u / /v u,v 0
.
Hệ quả: bốn điểm
A
,
B
,
C
,
D
đồng phẳng
AB,AC .AD 0
.
2) Điều kiện đồng phẳng của ba véc-tơ:
u
,
v
,
w
đồng phẳng
u,v .w 0
.
Chú ý: biểu thức
u,v .w
được gọi là tích hồn tạp của ba véc-tơ
u
,
v
,
w
.
4. Ứng dụng 2: tính diện tích, thể tích
1) Diện tích hình bình hành
ABCD
: AB, AS
D
.
2) Diện tích hình tam giác
ABC
:
1
S AB, AC
2
.
3) Thể tích khối hộp
ABCD.A'B'C'D'
:
V AB, AD .AA'
.
4) Thể tích khối tứ diện
ABCD
:
1
V AC, AB .AD
6
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
7
B. Bài tập
Bài 1. Cho
a 2;3;1
,
b 5;7;0
,
c 3; 2;4
. Chứng minh
a
,
b
,
c
khơng đồng phẳng.
Hãy biểu diễn
d 4;12;3
qua
a
,
b
,
c
.
Bài 2. Cho
A 1;2; 3
,
B(2;4;7)
,
C 0;2; 4
.
1) Tìm ràng buộc giữa
x
,
y
,
z
để
M x;y;z mp ABC
.
2) Xác định tọa độ điểm
D
sao cho
ABCD
là hình bình hành. Hãy tính diện tích của hình
bình hành đó.
3) Gọi
n
và véc-tơ vng góc với
mp ABC
và có độ dài bằng
1
. Hãy xác định tọa độ của
n
.
Bài 3. Cho tứ diện
A
,
B
,
C
,
D
với
A 2;3;1
,
B 1;1; 2
,
C 2;1;0
,
D 0; 1;2
.
1) Tính
ABCD
V .
2) Tính độ dài đường cao
AH
của tứ diện.
3) Xác định tọa độ của
H
.
Đáp số:
1)
7
3
.
2)
14
2
.
3)
2;3;1
.
Bài 4. Cho
A 0;1;1
,
B 1;0;2
,
C 1;1;0
,
D 2;1; 2
.
1) Chứng minh
A
,
B
,
C
,
D
khơng đồng phẳng.
2) Tính độ dài đường cao kẻ từ
A
của tam giác
ABC
và bán kính đường tròn nội tiếp của
tam giác đó.
3) Tính góc
CBD
và góc giữa các đường thẳng
AB
và
CD
.
4) Tính thể tích của tứ diện
ABCD
và độ dài đường cao kẻ từ
D
của tứ diện.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
8
Chủ đề 3. Phương trình mặt phẳng
1. Tóm tắt lý thuyết
a. Véc-tơ chỉ pháp tuyến và véc-tơ
chỉ phương của mặt phẳng
Véc-tơ
n 0
được gọi là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng
P
nếu
n
có giá vng
góc với
P
. Ký hiệu
n P
hoặc
P n
.
Chú ý:
☞ Mọi véc-tơ khác
0
, cùng phương với một véc-tơ pháp tuyến của một mặt
phẳng đều là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy:
1
2
2 1
n P
n 0
n / /n
2
n P
.
☞ Hai véc-tơ pháp tuyến của cùng một mặt phẳng ln cùng phương với nhau:
1
2
n P
n P
1 2
n / /n
.
Véc-tơ
u 0
được gọi là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng
P
nếu
u
có giá song
song hoặc nằm trên
P
. Ký hiệu
u / / P
hoặc
P / /u
.
Chú ý:
☞ Mọi véc-tơ khác
0
, cùng phương với một véc-tơ chỉ phương của một mặt
phẳng đều là véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng ấy:
1
2
2 1
u / / P
u 0
u / /u
2
u / / P
.
☞ Hai véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng chưa chắc cùng phương với
nhau.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
9
Quan hệ giữa véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng
☞ Véc-tơ pháp tuyến và véc-tơ chỉ phương của cùng một mặt phẳng vng góc
với nhau
n P
u / / P
n u
.
☞ Véc-tơ khác
0
, vng góc với véc-tơ pháp tuyến của một mặt phẳng là véc-tơ
chỉ phương của mặt phẳng ấy.
n P
u 0
u n
u / / P
.
☞ Véc-tơ khác
0
, vng góc với véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng khơng
chắc là là véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng ấy. Tuy nhiên, một véc-tơ khác
0
, vng
góc với hai véc-tơ chỉ phương khơng cùng phương của một mặt phẳng thì là véc-tơ
pháp tuyến của mặt phẳng ấy:
1
2
1
2
n 0
u / / P
u / / P
n u
n u
n P
.
Từ đây suy ra: tích có hướng của hai véc-tơ chỉ phương của một mặt phẳng là véc-tơ
pháp tuyến của mặt phẳng ấy:
1
2
u / / P
u / / P
1 2
u ,u P
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
10
b. Phương trình tổng quát của mặt
phẳng
Xét bài toán: lập phương trình mặt phẳng
P
đi qua điểm
0 0 0 0
M x ;y ;z
, nhận véc-tơ
n A;B;C
làm véc-tơ chỉ phương.
Lời giải: Xét điểm
M x;y;z
. Ta có
0 0 0 0
M M x x ;y y ;z z
.
M P
0
n M M
0
n.M M
0 0 0
A x x B y y C z z 0
.
Vậy
0 0 0
P :A x x B y y C z z 0
hay
P :Ax By Cz D 0
(
0 0 0
D Ax By Cz
).
Kết luận:
☞ Mỗi mặt phẳng trong khơng gian đều có phương trình dạng:
Ax By Cz D 0
(phương trình tổng qt của mặt phẳng),
trong đó
A
,
B
,
C
là các hằng số khơng đồng thời bằng
0
.
☞ Ngược lại, người ta chứng minh được: mỗi phương trình
Ax By Cz D 0
với
A
,
B
,
C
là các hằng số khơng đồng thời bằng
0
là phương trình của một mặt
phẳng.
c. Một số dạng đặc biệt của phương
trình mặt phẳng
☞ Phương trình mặt phẳng vng góc với các trục tọa độ
P Ox
phương trình của
P
có dạng
By Cz D 0
(
2 2
B C 0
).
P Oy
phương trình của
P
có dạng
Ax Cz D 0
(
2 2
A C 0
).
P Oz
phương trình của
P
có dạng
Ax By D 0
(
2 2
A B 0
).
☞ Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ
P
đi qua gốc tọa độ
phương trình của
P
có dạng
Ax By Cz 0
(
2 2 2
A B C 0
).
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
11
☞ Phương trình dạng mặt chắn
P
đi qua
A a;0;0
,
B 0;b;0
,
C 0;0;c
(
a
,
b
,
c 0
)
y
x z
a b c
P : 1
(phương trình dạng mặt chắn)
d. Vò trí tương đối giữa hai mặt
phẳng
Cho hai mặt phẳng
: Ax By Cz D 0
và
' : A'x B'y C'z D' 0
.
☞ Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi hai bộ số
A;B;C
,
A';B';C'
khơng tỷ lệ, tức là khơng tồn tại
t
sao cho
A tA'
B tB'
C tC'
.
☞ Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi hai bộ số
A;B;C
,
A';B';C'
tỷ lệ và hai bộ số
A;B;C;D
,
A';B';C';D'
khơng tỷ lệ, tức là tồn tại
t
sao cho
A tA'
B tB'
C tC'
D tD'
.
☞ Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi hai bộ số
A;B;C;D
,
A';B';C';D'
tỷ lệ, tức là tồn tại
t
sao cho
A tA'
B tB'
C tC'
D tD'
.
e. Khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng
* Cho điểm
0 0 0
A x y ;
z
; và mặt phẳng
P :Ax By Cz D 0
. Ta có
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d A, P
A B C
.
* Hệ quả: cho hai mặt phẳng
P : Ax By Cz D 0
và
Q :Ax By Cz D' 0
. Ta
có
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
12
2 2 2
| D D'|
d P , Q
A B C
.
2. Các ví dụ
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng
P
biết rằng
1)
P
đi qua
A 2;0; 4
và nhận
n 2; 3;6
là véc-tơ pháp tuyến
(
2x 3x 6z 20 0
).
2)
P
đi qua
A 2;2;3
và vng góc với đường thẳng
BC
, trong đó
B 2;10; 7
,
C 5;9; 12
.
3)
P
đi qua
A 1;4;6
và vng góc với trục
Oz
.
4)
P
đi qua
M 2;5;7
và song song với
Q : 3x 2y z 1 0
.
5)
P
đi qua
A 4;2;5
và nhận
1
u 7;4;1
và
1
u 1;4; 4
là các véc-tơ chỉ phương.
6)
P
đi qua
A 4;2;5
,
B 3; 3;2
và nhận
u 4; 1;9
là véc-tơ chỉ phương.
7)
P
đi qua
1
2
A 4; 2;
,
B 2; 1;0
và song song với
Ox
.
8)
P
đi qua
A 2;4;6
,
B 1; 1;9
và vng góc với
Q : 2x z 0
.
9)
P
qua ba điểm
A 1;2;3
,
B 1;2; 3
,
C 0 ; 2;1
.
10)
P
là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng
AB
với
A 3;1; 4
,
B 3;0; 5
.
11)
P
qua
A 0;6; 5
và giao tuyến với của hai mặt phẳng
Q : 3x 2y z 0
và
R : x y z – 2 0
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
13
12)
P
đi qua
A 4;9;11
và chứa
Ox
.
3. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng
P
biết rằng
1)
P
đi qua
M 2; 1;2
, song song với
Oy
và vng góc với mặt phẳng
Q : 2x y 3z 4 0
.
2)
P
đi qua
M 3; 1; 5
, vng góc với hai mặt phẳng
Q : 3x 2y 2z 7 0
và
R :5x 4y 3z 1 0
.
3)
P
đi qua hai điểm
M 2;1;3
,
N 1; 2;1
và vng góc với mặt phẳng
Q : 2x y z 7 0
.
4)
P
đi qua
M 1;0;1
,
N 5;2;3
và vng góc với đường thẳng
AB
biết rằng
A 2;0; 1
và
B 3;3;4
.
5)
P
đi qua
M 2;1; 1
và giao tuyến của hai mặt phẳng
Q : x y z 4 0
,
R : 3x y z 1 0
.
6)
P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: x y z 3 0
,
: 3x y 5z 1 0
và song song với mặt phẳng
: x y 2z 3 0
.
7)
P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
: 3x y z 2 0
,
: x 4y 5 0
và vng góc với mặt phẳng
: 2x z 7 0
.
Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng
P
biết rằng
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
14
1)
P
đi qua
M 1;2;3
và song song với mặt phẳng
Q : 2x 5y 4z 2 0
. Tính
khoảng cách giữa hai mặt phẳng
P
,
Q
.
2)
P
có khoảng cách đến
Q : 3x 4y z 5 0
bằng
3
.
3)
P
đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng
Q : 2x y 0
,
R : x y 2z 3 0
và có
khoảng cách đến điểm
M 0; 2;3
bằng
5
.
Bài 2. Cho
P :2x 3y z 0
và
M 2;4;6
.
1) Tìm tọa độ hình chiếu
H
của
M
lên
P
.
2) Tìm tọa độ
M'
đối xứng với
M
qua
P
.
Đáp số: 1)
13
4 47
7 7 7
H ; ;
. 2)
6 52
2
7 7 7
M' ; ;
.
Bài 3. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng sau đây
1)
P :3x 2y z 0
và
Q : 3x 2y z 0
.
2)
P :3x 2y z 0
và
Q : 3x 2y z 3 0
.
3)
3
1
2 2
P : x y z 0
và
Q : 3x 2x z 0
.
4)
P :3x y 4 0
và
3
1
2 2
Q : x y 2 0
.
5)
P :3x y 4 0
và
3
1
2 2
Q : x y 0
.
6)
P :3x y 4 0
và
Q : y 1
.
Bài 4. Xác định giá trị của
m
và
n
để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song
1)
P :2x ny 2z 3 0
và
Q :mx 2y 4z 7 0
.
2)
P :2x y mz 2 0
và
Q : x ny 2z 8 0
.
Bài 5. Cho
P :2x my 3z 6 m 0
và
Q : m 3 x 2y 5m 1 z 10 0
. Với
giá trị nào của
m
thì
1) Hai mặt phẳng đó song song.
2) Hai mặt phẳng đó trùng nhau.
3) Hai mặt phẳng đó cắt nhau.
4) Hai mặt phẳng đó vng góc.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
15
Bài 6. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng
P
và
Q
trong các trường hợp
sau
1)
P :2x y 4z 5 0
,
Q : 3x 5y z 1 0
.
2)
P :2x y 2z 1 0
,
Q :6x 3y 2z 2 0
.
3)
P :x 2y z 1 0
,
Q : x 2y z 5 0
.
Đáp số: 1)
Bài 7. Tìm điểm
M Oz
trong các trường hợp sau
1)
M
cách đều điểm
A 2;3;4
và mặt phẳng
P :2x 3y z 17 0
.
2)
M
cách đều hai mặt phẳng
P :x y z 1 0
và
Q : x y z 5 0
.
Bài 8. Cho tứ diện
OABC
có ba cạnh
OA
,
OB
,
OC
đơi một vng góc,
OA a
,
OB b
,
OC c
. Tính độ dài đường cao kẻ từ
O
của tứ diện.
Đáp số:
abc
2 2 2 2 2 2
b c c a a b
.
Bài 9. Cho hình lập phương
ABCD.A'B'C'D'
cạnh
a
. Trên các cạnh
AA'
,
BC
,
C'D'
lần lượt lấy các điểm
M
,
N
,
P
sao cho
AM CN D'P t
, với
0 t a
. Chứng minh hai
mặt phẳng
MNP
và
ACD'
song song và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.
Đáp số:
t 3
3
.
Bài 10. Cho tứ diện
OABC
có ba cạnh
OA
,
OB
,
OC
đơi một vng góc. Gọi
,
,
là góc giữa các mặt
OBC
,
OCA
,
OAB
với mặt
ABC
. Bằng phương pháp tọa độ
hãy chứng minh:
1) Tam giác
ABC
nhọn.
2)
2 2 2
cos cos cos 1
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
16
Chủ đề 4. Phương trình đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết và các ví dụ
1. Phương trình đường thẳng
Cho đường thẳng
d
đi qua điểm
0 0 0 0
M x y
;
z
; và có véctơ chỉ phương
u a;b;c
. Ta có
Phương trình tham số của
d
là
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
(
t
là tham số của phương trình).
Phương trình chính tắc của
d
(khi
abc 0
) là
x x y y z z
0 0 0
a b c
.
Đặc biệt: phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm
A A A
A x ;y ;z
,
B B B
B x ;y ;z
(
A B
x x
,
A B
y y
,
A B
z z
) là
A A A
y
x x
y z z
B
y y z z
x
B
x
A A B A
.
Ví dụ 1. Viết phương trình tham số đường thẳng
d
trong các trường hợp sau
1)
d
đi qua điểm
M 2; 3;4
và nhận
1
2
u 1; ;0
là véc-tơ chỉ phương.
2)
d
đi qua hai điểm
A 4;0;5
,
B 3;5;7
.
3)
d
đi qua điểm
M 3;7;9
và song song với đường thẳng
y 3
x 1 z 1
2 4 2
d':
.
4)
d
đi qua điểm
M 2;0;1
và song song với trục
Ox
.
5)
d
đi qua điểm
2
3
M ;0; 1
và vng góc với mặt phẳng tọa độ
xOy
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
17
6)
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
P :x y 2 0
,
Q : 2x 3y z 7 0
.
7)
d
đi qua điểm
M 2;1;2
và song song với cả hai mặt phẳng
P :x 4y z 0
,
Q : 5x 6y 7z 7 0
.
Giải
1) Phương trình tham số của
d
là
t
2
x 2 t
y 3
z 4
.
2) Phương trình chính chắc của
d
là
x 4 y 5
1
z
5 2
.
Phương trình tham số của
d
là
x 4 t
y 5t
z 5 2t
.
3) Thay tọa độ
M
vào phương trình
d'
ta có
3 1 7 3 9 1
2 4 2
1
.
1
sai
M d'
tồn
tại đường thẳng
d
qua
M
, song song với
d'
.
4)
d'
nhận
u 2;4; 2
làm véc-tơ chỉ phương.
u 2;4; 2 / /u' 1;2; 1
u'
là một véc-tơ
chỉ phương của
d'
u'
là một véc-tơ chỉ phương của
d
phương trình tham số của
d
là
x 3 t
y 7 2t
z 9 t
.
5)
d / /Ox
d
nhận véc-tơ
i 1;0;0
làm véc-tơ chỉ phương
phương trình tham số của
d
là
x 2 t
y 0
z 1
.
6)
d xOy
d
cùng phương với trục
Oz
d
nhận véc-tơ
k 0;0;1
làm véc-tơ chỉ
phương
phương trình tham số của
d
là
2
3
x
y 0
z 1 t
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
18
7) Thay
x 1
vào phương trình của
P
và
Q
ta được hệ
y 1
3y z 5
y 1
z 2
. Từ đây
suy ra
M 1;1;2 d 1
.
P
P n 1;1;0
,
Q
Q n 2;3;1
.
d P Q
d
nhận
P Q
n ,n 1; 1;1
làm véc-tơ
chỉ phương
2
.
1
,
2
phương trình tham số của
d
là
x 1 t
y 1 t
z 2 t
.
8) Dễ thấy
M P
,
M Q
nên tồn tại mặt phẳng đi qua
M
, song song với cả
P
và
Q
.
P
P n 1;4; 1
,
Q
Q n 5;6;7
.
d P Q
d
nhận
P Q
n ,n 34; 12; 14
làm
véc-tơ chỉ phương.
P Q
n ,n / / 17; 6; 7
17; 6; 7
cũng là một véc-tơ chỉ phương của
d
phương trình tham số của
d
là
x 2 17t
y 1 6t
z 2 7t
.
Nhận xét: Ở câu 1, vì
1
2
u' 2;1;0 / /u 1; ;0
nên
u'
cũng là một véc-tơ chỉ phương của
d
phương trình tham số của
d
là
x 2 2t
y 3 t
z 4
.
Ví dụ 2. Cho
x 2 5t
d : y 2 t
z 3
. Tìm điểm
M
biết rằng
1)
M d
,
M
có hồnh độ bằng
1
.
2)
M d
,
M
có hồnh độ bằng tung độ.
3)
M d
,
MA u 1;2;3
. Ở đây,
A 3;4;7
.
4)
M
đối xứng với
N 0;2; 5
qua
d
.
5)
M d
,
M
cách đều hai mặt phẳng tọa độ
xOy
và
yOz
.
Giải
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
19
1)
M d
tọa độ
M
có dạng
M 2 5t;2 t;3
.
M
có hồnh độ bằng
1
2 5t 1
3
5
t
7
5
M 1; ;3
.
2)
M d
tọa độ
M
có dạng
M 2 5t;2 t;3
.
M
có hồnh độ bằng tung độ
2 5t 2 t
2
3
t
4 4
3 3
M ; ;3
.
3)
M d
tọa độ
M
có dạng
M 2 5t;2 t;3
. Ta có
MA 5 5t;2 t;4
.
MA u
MA.u 0
1 5 5t 2 2 t 3.4 0
21 3t 0
t 7
M 33; 5;3
.
4) Gọi
I
là trung điểm của
MN
.
M
đối xứng với
N
qua
d
d
I d 1
NI u 5; 1;0 2
.
1
tọa độ
I
có dạng
I 2 5t;2 t;3
.
Ta có
NI 2 5t;t; 8
. Do đó
2
5 2 5t 1.t 0. 8 0
10 26t 0
5
13
t
25
1
13 13
I ; ;3
.
Suy ra
2
M I N
13
24
M I N
13
M I N
x 2x x
x 2x x
x 2x x 8
2 24
13 13
M ; ; 8
.
5)
M d
tọa độ
M
có dạng
M 2 5t;2 t;3
.
d M, xOy 3
,
d M, yOz 2 5t
.
Do đó
M
cách đều hai mặt phẳng tọa độ
xOy
và
yOz
d M, xOy d M, yOz
3 2 5t
3 2 5t
3 2 5t
1
5
t 1
t
11
5
M 3;1;3
M 3; ;3
.
2. Vò trí tương đối giữa hai dường thẳng
Xét đường thẳng
d
đi qua
0
M
, nhận
u
là một véc-tơ chỉ phương và đường thẳng
d'
đi qua
0
M'
, nhận
u'
là một véc-tơ chỉ phương. Ta có các tiêu chuẩn sau đây để xét vị trí tương đối
giữa
d
và
d'
.
☞
d
và
d'
trùng nhau
u
,
u'
và
0 0
M M'
đơi một cùng phương.
0 0
u,u' u,M M' 0
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
20
☞
d / /d'
và cùng phương
và không cùng phương
0 0
u u'
u M M'
0 0
u,u' 0
u,M M' 0
.
☞
d
và
d'
cắt nhau
và không cùng phương
và đồng phẳng
0 0
u u'
u, u' M M'
0 0
u,u' 0
u,u' .M M' 0
.
☞
d
và
d'
chéo nhau
u
và
u'
khơng đồng phẳng
0 0
u,u' .M M' 0
.
Ví dụ 3. Biện luận theo
m
vị trí tương đối của hai đường thẳng
m
x 1 mt
d : y m 2t
z 1 m 3t
,
m
x m 2t'
d' : y mt'
z 1 m t'
.
Giải
Ta có
m
d
đi qua
0
M 1;m;1 m
,
/ / u m;2; 3
và
m
d
đi qua
0
M' m;0;1 m
,
/ / u' 2;m;1
.
Ta thấy
2
0 0
u,u' 3m 2; m 6;m 4
M M' m 1; m;0
2
0 0
u,u' .M M' 4m 7m 2
.
2
4m 7m 2 0
1
4
m 2
m
.
Vậy
*
0 0
u,u' .M M' 0
1
4
m 2
m
:
m
d
và
m
d
chéo nhau.
*
m 2
:
u 2;2; 3
,
u' 2;2;1
u
và
u'
khơng cùng phương
m
d
và
m
d
cắt nhau.
*
1
4
m
:
1
4
u ;2; 3
,
1
4
u' 2; ;1
u
và
u'
khơng cùng phương
m
d
và
m
d
cắt
nhau.
3. Một số bài toán tính khoảng cách liên quan đến đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Khoảng cách từ điểm
M
đến đường thẳng
d
đi qua điểm
0
M
và nhận
u
làm véc-tơ chỉ
phương được tính bởi cơng thức
M M,u
0
u
d M;d
.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
21
Cho hai đường thẳng chéo nhau
d
và
d'
. Biết
d
đi qua
M
và nhận
u
làm véc-tơ chỉ
phương,
d'
đi qua
M'
và nhận
u'
làm véc-tơ chỉ phương. Khoảng cách giữa
d
và
d'
được
tính bởi cơng thức
u,u' .MM'
u,u'
d d,d'
.
B. Bài tập
Bài 1. Viết phương trình tham số đường thẳng
d
trong các trường hợp sau
1)
d
đi qua điểm
M 3;5;1
và nhận
6
5
u 1; ;7
là véc-tơ chỉ phương.
2)
d
đi qua hai điểm
A 3;4;9
,
B 14;2;0
.
3)
d
đi qua điểm
M 9;12;8
và song song với đường thẳng
y 4
x z 1
5 2 1
d':
.
4)
d
đi qua điểm
M 2;13;5
và song song với trục
Oz
.
5)
d
đi qua điểm
2
7
M ; 2;2
và vng góc với mặt phẳng tọa độ
yOz
.
6)
d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
P :3x 2y 5z 1 0
,
Q : x 3y z 2
.
d
đi qua điểm
M 1;2;1
và song song với cả hai mặt phẳng
2
P : x y z 0
3
,
3
7
Q : x y 0
.
Bài 2. Cho
5
2
2
3
x 1 t
d : y t
z 1 t
. Tìm điểm
M
biết rằng
1)
M d
,
M
có hồnh độ bằng
3
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
22
2)
M d
,
M
có hồnh độ bằng hai lần tung độ.
3)
M d
,
3
4
MA u 1; 2;
. Ở đây,
A 1;2;4
.
4)
M
đối xứng với
N 1;2;6
qua
d
.
5)
M d
,
M
cách đều hai mặt phẳng tọa độ
xOy
và
yOz
.
Bài 3. Viết phương trình mặt phẳng
P
biết
1)
P
đi qua điểm
M 2;5; 7
và song song với các đường thẳng
x 4t
d : y 1 t
z 3 2t
,
1
x
y 1
2
2 2
d': z
.
2)
P
đi qua điểm
M 2;7;1
và chứa đường thẳng
y 2
x 1 z 7
3 4 5
d :
.
Bài 4. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng
d
và
d'
trong các trường hợp sau
1)
z 3
x 1
2 4
d : y 7
,
y 1
x 3
z 2
6 2 1
d':
.
2)
x t
d : y 3 4t
z 3 3t
,
d'
là giao tuyến của hai mặt phẳng
P :x y z 0
,
Q :2x y 2z 0
.
Bài 5.
1) Tính khoảng cách từ
M 2;3;1
đến
y 1
x 2 z 1
1 2 2
:
.
2) Tính khoảng cách từ
N 2;3; 1
đến đường thẳng
đi qua điểm
3
1
2 2
M ;0;
và nhận
u 4;2; 1
làm véc-tơ chỉ phương.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
23
Bài tập tổng hợp về mặt phẳng và đường thẳng
Bài 1. Cho các cặp đường thẳng sau
1)
1
x 2 2t
d : y 1 t
z 1
và
2
x 1
d : y 1 t'
z 3 t'
.
2)
1
x 2z 1 0
d :
y 2z 2 0
và
2
x 2t
d : y 5 3t
z 4
.
3)
1
x t
d : y 0
z 6 t
và
2
x 0
d : y 2 2t
z 8 3t
.
4)
1
2x 2z 2 0
d :
y 3 0
,
2
x 2 t
d : y 1 t
z 2t
.
5)
y 2
z 3
x 1
1
1 2 3
d :
,
2
x 2y z 0
d :
2x y 3z 5 0
.
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
24
Với mỗi cặp đường thẳng nói trên, hãy
a) Chứng minh rằng
1
d
và
2
d
chéo nhau.
b) Tính góc và khoảng cách giữa
1
d
và
2
d
.
c) Viết phương trình mặt phẳng
P
chứa
1
d
và song song với
2
d
.
d) Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường vng góc chung của
1
d
và
2
d
.
e) Lập phương trình mặt phẳng
Q
song song và cách đều
1
d
và
2
d
.
f) Viết phương trình đường thẳng
d
đi qua
A 1; 2;1
và cắt cả
1
d
và
2
d
Bài 2. Cho
1)
y 1
x z 2
1 2 1
d :
và
P :x 3y 2z 2 0
.
2)
y 1
x 2 z 1
2 3 5
d :
và
P :2x y z 8 0
.
3)
y 3
z 3
x 1
1 2 1
d :
và
P :2x y 2z 9 0
.
4)
x 3
2
d : y 1 z 3
và
P :x 2y z 5 0
.
5)
3x y 4z 27 0
d :
6x 3y z 7 0
và
P :2x 5y z 17 0
.
6)
2x y z 1 0
d :
x 2y z 3 0
và
P :x y z 10 0
.
7)
y 1
z 3
x 1
1 2 2
d :
và
P :2x 2y z 3 0
.
8)
y 1
x 3 z 3
2 1 1
d :
và
P :x 2y z 5 0
.
Trong mỗi trường hợp trên, hãy
Bài giảng ôn thi vào Đại học: Phương pháp tọa độ trong không gian
ThS. Phạm Hồng Phong. DĐ:0983070744
25
a) Tìm tọa độ giao điểm
A
của
d
với
P
.
b) Tính góc giữa
d
và
P
.
c) Tìm tọa độ điểm
I
thuộc
d
sao cho khoảng cách từ
I
đến
P
bằng
2
.
d) Gọi
B
là điểm trên
d
có hồnh độ bằng
4
. Tính khoảng cách từ
B
đến
P
.
e) Viết phương trình mặt phẳng
Q
chứa
d
và vng góc với
P
.
f) Viết phương trình hình chiếu vng góc
d'
của
d
lên
P
.
g) Viết phương trình dạng chính tắc của đường thẳng
qua điểm
M 2;4;4
, song song với
mặt phẳng
P
và cắt đường thẳng
d
.
h) Viết phương trình đường thẳng
nằm trong
P
, biết
đi qua
A
và vng góc với
d
.
Bài 3. Cho
A 1; 2;0
,
B 2;1; 1
và
C 0;0;1
.
1) Tính độ dài đường cao
CH
của tam giác
ABC
và tính diện tích tam giác đó.
2) Tính thể tích tứ diện
OABC
(
O
là gốc tọa độ).
Bài 4. Cho hình lập phương
ABCD.A'B'C'D'
với
A 0;0;0
,
B 1;0;0
,
D 0;1;0
,
A' 0;0;1
. Gọi
M
và
N
lần lượt là trung điểm của
AB
và
CD
. Tính khoảng cách và góc
giữa hai đường thẳng
A'C
và
MN
.
Bài 5. Cho các điểm
A 1;0;0
,
B 0;2;0
,
C 0;0;3
.
1) Viết phương trình tổng qt của mặt phẳng
ABC
.
2) Gọi
d
là đường thẳng qua
C
và vng góc với mặt phẳng
ABC
. Tìm tọa độ giao điểm
của đường thẳng
d
với mặt phẳng
Oxy
.
Bài 6. Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi,
AC
cắt
BD
tại gốc tọa độ
O
. Biết
A(2;0;0)
,
B(0;1;0)
,
S(0;0;2 2)
. Gọi
M
là trung điểm của cạnh
SC
.
1) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SA
,
BM
.
2) Giả sử mặt phẳng
ABM
cắt đường thẳng
SD
tại điểm
N
. Tính thể tích khối chóp
S.ABMN
.
