Bài soạn PP tọa độ trong không gian

Tóm Tắt Lý Thuyết
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 1
2 2
3 3
1 1 2
1. ( , , )
2.
3. , , a , , , b , ,
4. k.a , ,
5. a
6. a
7. a. .
= − − −
= = − + − + −
± = ± ± ± = =
=
= + +
=


= ⇔ =



=

= +
uuur
uuur
r r r r
r
r
r r
r r
B A B A B A
B A B A B A
AB x x y y z z
AB AB x x y y z z
a b a b a b a b a a a b b b
ka ka ka
a a a
a b
b a b
a b
b a b a
2 3 3
31 2
1 2 3
1 1 2 2 3 3
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
. .
8. a .
9. a . 0 . . . 0

10. [a, ] , ,
+
⇔ = ⇔ = =
⊥ ⇔ = ⇔ + + =
 
=
 ÷
 
r r r r
r r r r
r r
b a b
aa a
cp b a k b
b b b
b a b a b a b a b
a a a a
a a
b
b b b b
b b
* Cách tính: (Che cột thứ 1, che cột thứ 2 ra kết quả nhớ đổi dấu, che cột thứ 3)
11. M là trung điểm AB

, ,
2 2 2
+ + +
 
 ÷
 

A B A B A B
x x y y z z
M
12. G là trọng tâm tam giác ABC

, , ,
3 3 3
+ + + + + +
 
 ÷
 
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
13. Véctơ đơn vị : (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)= = =
r r r
i j k
14.
( ,0,0) ; (0, ,0) ; (0,0, )∈ ∈ ∈M x Ox N y Oy K z Oz
15.
( , ,0) ; (0, , ) ; ( ,0, )∈ ∈ ∈M x y Oxy N y z Oyz K x z Oxz
16.
1
[ , ]
2
∆
=
uuur uuur
ABC
S AB AC

17.
1
[ , ].
6
=
uuur uuur uuur
ABCD
V AB AC AD
18.
/ / / /
/
.
[ , ].=
uuuur
uuur uuur
ABCD A B C D
V AB AD AA
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
1
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG
GIAN
Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
• A,B,C là ba đỉnh tam giác ⇔

→→
AC,AB
khơng cùng phương.

• S

∆
ABC
=
2
1
→→
AC],[AB
⇒
Đường cao AH =
2.
∆ABC
S
BC
• S
hbh
=
→→
AC],[AB
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
• ABCD là hình bình hành
⇔

=
uuur uuur
AB DC

Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
• + Viết phương trình (BCD)
,
qua B

n BC BD
n BC
vtpt
n BD


 

⇒ =
⊥
 
 


⊥



r uuur uuur
r uuur
r uuur
+ Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) và cm
( )A BCD∉
• V
ABCD
=
1
6
[AB,AC].AD
→ → →

Đường cao AH của tứ diện ABCD :
1
.
3
=
BCD
V S AH

⇒

3
=
BCD
V
AH
S
• Thể tích hình hộp :
/ / / /
/
.
; .
 
=
 
uuuur
uuur uuur
ABCD A B C D
V AB AD AA
Dạng4: Tìm hình chiếu của điểm M
1. H là hình chiếu của M trên mp( α )

 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vng góc (α) : ta có
( )
α
=
uur r
d
a n
 H = d
∩
(α)
+ Gọi H (theo t)

∈
d

+ H
∈
(α)
⇒
t = ?
⇒
tọa độ H
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
 d có vtcp
?=
uur
d
a
 Gọi H (theo t)

∈
d

 Tính
MH
uuuur
 Ta có
. 0 ?
d d
MH a MH a t⊥ ⇔ = ⇒ = ⇒
uuuur uur uuuur uur
tọa độ H
Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp( α )
 Tìm hình chiếu H của M trên mp(α) (dạng 4.1)
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
2
 M
/
đối xứng với M qua (α)
⇔
H là trung điểm của MM
/

/
/
/
2

2
2

= −

⇒ = −


= −

H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z
2. Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
 Tìm hình chiếu H của M trên d ( dạng 4.2)
 M
/
đối xứng với M qua d
⇔
H là trung điểm của MM
/

/
/
/
2
2
2

= −

⇒ = −


= −

H M
M
H M
M
H M
M
x x x
y y y
z z z
MẶT PHẲNG
Tóm Tắt Lý Thuyết
1). Vectơ pháp tuyến của mpα :
n
r
≠
0

r
là véctơ pháp tuyến của (α) khi giá của
n
r
vng góc với mp(α).
2). Cho hai véc-tơ khơng cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong mp(α)

uur
a
= (a
1
; a
2
; a
3
) ,

uur
b
= (b
1
; b
2
; b
3
). Khi đó:
,
 
=
 

uur uur uur
n a b
là véc-tơ pháp tuyến của mp(α)
3). Phương trình mp(α) qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)
A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0
(α) : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có vtpt
n

= (A; B; C)
4).Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là
1+ + =
x y z
a b c
* Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ điểm đi qua
và 1 véctơ pháp tuyến.

5). Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
(Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7). Vị trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :
°
α β
⇔ ≠
1 1 1 2 2 2
( ) ( ) : : : :cắt A B C A B C
°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) // ( )
α β
⇔ = = ≠
A B C D
A B C D
°
1 1 1 1
2 2 2 2
( ) ( )
α β
≡ ⇔ = = =
A B C D
A B C D
°
1 2 1 2 1 2

( ) ( ) 0
α β
⊥ ⇔ + + =A A B B C C
9). Khoảng cách từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (α) : Ax + By + Cz + D = 0

o o o
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
α
+ + +
=
+ +
d(M, )
10).Góc giữa hai mặt phẳng :
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
3

1 2
1 2
.
) )
.
α β

=
r r
r r
n n
n n
cos(( ,( )
Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Tìm tọa độ
→
AB
,
→
AC

° (ABC):


 

⇒ =
⊥
 
 


⊥




r uuur uuur
r uuur
r uuur
,
qua A
n AB AC
n AB
vtpt
n AC
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
°
( ) :
α



→


=
r
n
quaM trung điểm AB
vtpt AB
Dạng 3: Mặt phẳng (
α
) qua M và
⊥
d (hoặc AB)
°

( ) :
....( )
α
α


→

⊥


=
uuur
r
ABn
quaM
Vì d nên vtpt a
d
Dạng 4: Mp(
α
) qua M và // (
β
): Ax + By + Cz + D = 0
°
( ) :
) )
( ) ( )
α
α β
α β




=


r r
qua M
Vì ( // ( nên vtpt n n
Dạng 5: Mp(
α
) chứa d và song song d
/
° Lấy điểm M trên d
° Tìm tọa độ
/
,
uur uuur
d
d
a a
° Vtpt của (
α
) :
/
,
 
=
 
r uur uuur

d
d
n a a
Dạng 6 : Mp(
α
) qua M, N và
⊥
(
β
) :
°
( ) :
[ , ]
α
β


→

=


r r
MN
qua M (hay N)
vtptn n
Dạng 7: Mp(
α
) chứa d và đi qua A
° Lấy điểm M trên d

°
( ) :
[ , ]
α


→

=


uuur
r
a
d
qua A
vtptn AM

ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
4
Tóm Tắt Lý Thuyết
1).Phương trình tham số của đường thẳng d qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp
a

r
= (a
1
;a
2
;a
3
)
: (
= +


= + ∈


= +

¡
o 1
o 2
o 3
x x a t
d y y a t t )
z z a t
2).Phương trình chính tắc của d :
0
:
− −
= =
2 3

o o
1
z-z
x x y y
d
a a a

3).Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d
’
: Ta thực hiện hai bước
+ Tìm quan hệ giữa 2 vtcp
d
a
r
,
/
d
a
uur
+ Tìm điểm chung của d , d
’
bằng cách xét hệ:





0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3

x + a t = x' + a' t'
y + a t = y' + a' t' (I)
z + a t = z' + a' t'
Quan hệ giữa
d
a
r
,
/
d
a
uur
Hệ (I) Vị trí giữa d , d
’
Cùng phương
Vơ số nghiệm
≡
'
d d
Vơ nghiệm
'
//d d
Khơng cùng phương
Có nghiệm d cắt d
’
Vơ nghiệm d , d
’
chéo nhau
4).Khoảng cách :
a). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng

∆
:
+ Viết phương trình mp(α ) chứa A và
⊥
∆.
+ Tìm giao điểm H của ∆ và (α ).
+ Tính d(A,∆) = AH
b). Khoảng cách giữa đường thẳng
∆
và (
α
) với
α
∆ //( )
:
+ Lấy M trên ∆
+
α α
∆ =( ,( )) ( ,( ))d d M
c). Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
∆
,
∆
’
:
+ Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa ∆
’
và //∆
+ Lấy M trên ∆.
+

α
∆ ∆ =
'
( , ) ( ,( ))d d M
5).Góc : d có vtcp
d
a
r
; d’ có vtcp
/
d
a
uur
; (α ) có vtpt
n


a). Góc giữa 2 đường thẳng : Gọi
ϕ
là góc giữa d và d
’
/
/
.
(0 90 )
.
ϕ ϕ
= ≤ ≤
o o
uuur

r
uuur
r
d
d
d
d
a a
a a
cos
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
5
b). Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Gọi
ϕ
là góc giữa d và (α )

.
.
ϕ
=
r r
r r
d
d
a n
a n
sin

(0 90 )
ϕ

≤ ≤
o o
Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: : Đường thẳng d đi qua A,B

( )
:



=


uur uuur
d
quaA hayB
d
Vtcp a AB
Dạng 2: Đường thẳng d qua A và song song
∆
:



∆ =

∆

r r
A

d
qua
Vì d // nên vtcp a a
d
Dạng 3: Đường thẳng d qua A và vng góc mp(
α
)
( )
:
α
α



⊥ =


r r
A
d
qua
Vì d ( ) nên vtcp a n
d
Dạng4: Viết phương trình d’là hình chiếu của d lên (
α
) :
* Loại 1: Chiếu lên mp tọa độ (Oxy), (Oxz), (Ozx).
+ Lấy 2 điểm M, N trên d.
+ Tìm hình chiếu vng góc M
’

, N
’
của 2 điểm M, N lên mp tọa độ đó.
+
'
'
' '
:



=


uuuuuur
r
M
d
M N
'
qua
vtcp a
d
* Loại 2: Chiếu lên mặt phẳng ( α) bất kỳ
+ Viết pt mp(β) chứa d và vng góc mp(α)

( )
( )
( )
( )

: [ ; ]
β
β
α
β
α
β



⊥
⇒ =
 


⊥



r uur
r uur uur
r uur
d
d
qua A
n a
n a n
vtpt
n n

+ d
’
là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β): d
/
= (α) ∩ (β)
° Lấy điểm M trên d
’
( điểm M trên d
’
có tọa độ là nghiệm của hệ
α
β



( )
( )
)
“Nhớ: Cho 1 thành phần bằng 0, tìm 2 thành phần còn lại
⇒ (?;?;?)M
”
°
'
( ) ( )
:
;
α β




 
=

 

uuur uuur
r
M
d
n n
'
qua
vtcp a
d

Dạng 5: Đường thẳng d qua A và vng góc (d
1
),(d
2
)
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
6
2
:



=



r r r
A
d
d d
1
qua
vtcp a [ a , a ]
Dạng 6: Phương trình ∆ vng góc chung của d
1
và d
2
:
• Gọi ∆ là đường vng góc chung của d
1
và d
2
.
• Đưa phương trình của 2 đường thẳng d
1
và d
2
về dạng tham số.
• Tìm
1 2
,
uuur uuur
d d
a a
lần lượt là VTCP của d
1

và d
2.
• Gọi M( theo t )
1
d∈
, N( theo t
’
)
2
d∈
. Tính
MN
uuuur
= ?
• Ta có:
1 1
2 2
. 0
. 0
 
⊥ =
 
⇔
 
⊥ =
 
 
uuuur uur uuuur uur
uuuur uuur uuuur uuur
d d

d d
MN a MN a
MN a MN a
• Giài hệ tìm
'
?
?
t
t
=


=


⇒
tọa độ M,
uuuur
MN

•
:


∆

=


uuuur

r
M
MN
qua
vtcp a
Dạng 7: Phương trình đường thẳng d qua A và d cắt cả d
1
,d
2
:
d = (
α
)
∩
(
β
) với mp(α) = (A,d
1
) ; mp(β) = (A,d
2
)
Dạng 8: Phương trình đường thẳng d //
∆
và cắt d
1
,d
2
:
d = (
α

)
∩
(
β
) với mp(α) chứa d
1
// ∆ ; mp(β) chứa d
2
// ∆
Dạng 9: Phương trình đường thẳng d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
:
d = AB với mp(α) qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩( α)
Dạng 10: Phương trình đường thẳng d
⊥
(P) cắt d
1
, d
2
:
d = (
α

)
∩
(
β
) với mp(α) chứa d
1
,⊥(P) ; mp(β) chứa d
2
, ⊥ (P)
MẶT CẦU
Tóm Tắt Lý Thuyết
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R
( ) ( ) ( )
2
− + − + − = r
2 2 2
(S) : x a y b z c (1)
*
+ + − − − + =
2 2 2
(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0
(2) (
+ + − >
2 2 2
với a b c d 0
)
Ta có: Tâm I(a ; b ; c) và
2 2 2
= + + −r a b c d
2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

Cho
( ) ( ) ( )
2
− + − + − = r
2 2 2
(S) : x a y b z c
và ( α) : Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,(α)) : khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mp(α).
 d > r : (S) ∩ (α) =
∅
 d = r : (α) tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, (α): tiếp diện)
*Tìm tiếp điểm H (là hình chiếu vng góc của tâm I trên mp(
α
) )
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
7
+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vng góc mp(α) : ta có
( )
α
=
uur r
d
a n
+ H = d
∩
(α)
 Gọi H (theo t)

∈
d

 H
∈
(α)
⇒
t = ?
⇒
tọa độ H
 d < r : (α) cắt (S) theo đường tròn (C):
( ) ( ) ( )
2
( )
α

− + − + − =


+ + + =


r
2 2 2
(S) : x a y b z c
: Ax By Cz D 0

*Tìm bán kính R và tâm H của đường tròn giao tuyến:
+ Bán kính
2 2
( ,( ))
α

= −R r Id
+ Tìm tâm H ( là hình chiếu vng góc của tâm I trên mp(α) )
3. Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu

:
= +


= +


= +

o 1
o 2
o 3
x x a t
d y y a t
z z a t
(1) và
( ) ( ) ( )
2
− + − + − = r
2 2 2
(S) : x a y b z c
(2)
+ Thay ptts (1) vào phương trình mặt cầu (2)
⇒
giải tìm t =?
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm M(?;?;?)

Các Dạng Toán Thường Gặp
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A

( ) ( ) ( )
2
− + − + − = r
2 2 2
(S) : x a y b z c (1)
+ Tâm I
+
IA
uur
=?
⇒
bán kính r = IA=
2 2 2
h t c+ +
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
+ Tâm I là trung điểm AB
+
AB
uuur
=?
⇒
bán kính r =
2
AB
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp(α)
Dạng 5: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

+ + − − − + =
2 2 2
(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0

+ Thay tọa độ A, B, C, D vào ptmc (S) ta được hệ phương trình 4 pt 4 ẩn.
+ Giải hệ pt trên tìm a, b, c, d =? rồi thay vào ptmc và kết luận.
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
. .
( ) :
2 2 2
α



+ + +

= =


+ +

B y C z D
S
I I
A B C
tâm I
A.x
I
bk r d(I,( ))
 Dạng 4: Mặt cầu tâm I và tiếp xúc (∆):

( ):


= ∆

S
tâm I
bk r d(I, )
8

Dạng 6:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I
∈
(α)

+ + − − − + =
2 2 2
(S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0

+ Thay tọa độ A, B, C vào ptmc (S) ta được 3 pt.
+ I(a,b,c)∈ (α) ta được 1 pt .
+ Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d =?
Dạng 7: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A
Tiếp diện (
α
) của mc(S) tại A : (
α
) qua A,
→
=
r

vtpt n IA
Dạng 8: Mặt phẳng( α ) tiếp xúc (S) và ⊥ ∆
+ Viết pt mp(α) vng góc ∆ :
( , , )
∆
= =
r uur
n a A B C
+ Mp(α) : Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D từ pt d(I , α ) = r
Dạng 9: Mặt phẳng (α) tiếp xúc (S) và // 2 đt d
1
,d
2
:
+ Tìm
1 2
,
uuur uuur
d d
a a
lần lượt là VTCP của d
1
và d
2.

+ Vtpt của (α):
1 2
[ , ]=
r uuur uuur

d d
n a a
=(A;B;C)
+ Khi đó:
α
+ + + =D( ) : Ax By Cz 0
+ Tìm D từ pt d(I , α ) = r
Bài Tập p Dụng
Bài 1 : Cho A(-1;2;3), B(2;-4;3), C(4;5;6)
a)Viết phương trình mp đi qua A và nhận vectơ (1; 1;5)−
r
n làm vectơ pháp tuyến
b)Viết phương trình mp đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm
trong mp đó là
(1;2; 1), (2; 1;3)− −
r
r
a b
c)Viết phương trình mp qua C và vng góc với đường thẳng AB
d)Viết phương trình mp trung trực của đoạn AC
e)Viết phương trình mp (ABC)
Bài 2 :Cho A(-1;2;1), B(1;-4;3), C(-4;-1;-2)
a)Viết phương trình mp đi qua I(2;1;1) và song song với mp (ABC)
b)Viết phương trình mp qua A và song song với mp (P):2x- y- 3z- 2 = 0
c)Viết ptmp qua hai điểm A ,B và vng góc với mp (Q):2x- y+2z- 2 = 0
d)Viết ptmp qua A, song song với Oy và vng góc với mp (R):3x – y-3z-1=0
e)Viết phương trình mp qua C song song với mp Oyz
f).Viết phương trình mp(P) qua các điểm là hình chiếu của điểm M(2;-3;4) lên các
trục toạ độ
Bài 3 :Tìm phương trình tham số của đường thẳng

a) Qua A(3;-1;2) và song song với đường thẳng
1 2
3
= −


= +


= −

x t
y t
z t
b) Qua A và song song với hai mặt phẳng x+2 z -4= 0 ; x+ y - z + 3= 0
Trường THPT Gò Công Đông Biên soạn: Trần Duy Thái
9