Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng

Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
1

MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài
Ma trận ñược ứng dụng rộng rãi trong Toán học tính toán, Vật lý, Kinh tế
và nhiều ngành khoa học khác. Trong ðại số tuyến tính, ma trận là công cụ ñể
nghiên cứu ánh xạ tuyến tính. Chính vì vậy, ma trận và ánh xạ tuyến tính có liên
hệ chặt chẽ với nhau. Khi cho hai cơ sở của hai không gian vectơ thì một ánh xạ
tuyến tính giữa hai không gian ấy cho ta một ma trận, ngược lại một ma trận xác
ñịnh một ánh xạ tuyến tính duy nhất.
Các giá trị riêng và vectơ riêng của một ánh xạ tuyến tính ñược xác ñịnh
thông qua ma trận, do ñó những không gian con bất biến ứng với những giá trị
riêng cũng ñược xác ñịnh. Các giá trị riêng và vectơ riêng của ánh xạ tuyến tính
là công cụ ñể ñưa ma trận về dạng ñơn giản hơn ñó là ma trận chéo. Giá trị riêng
và chéo hóa ma trận ñược khám phá ra năm 1926 bởi Augustin Luois Cauchy
trong quá trình ông tìm ra công thức ñơn giản hơn cho ñường bậc 2. Cauchy ñã
chứng minh ñịnh lý phổ dụng cho các ma trận tự liên hợp, ví dụ như mỗi ma trận
ñối xứng ñều chéo hóa ñược.
Khi cho ma trận của một tự ñồng cấu với một cơ sở nào ñó, ta muốn tìm
cơ sở mà ñối với ma trận của tự ñồng cấu ñã cho ở dạng “ñẹp nhất” – dạng chéo
thì khi ñó ta nói rằng ma trận ñã cho chéo hóa ñược. Nếu ma trận A chéo hóa
ñược thì việc nghiên cứu các tính chất (bảo toàn quan hệ ñồng dạng) của ma trận
A dẫn ñến việc nghiên cứu các tính chất ñó trên ma trận chéo và như vậy vấn ñề
sẽ trở nên ñơn giản hơn nhiều.
Ma trận chéo là một ma trận vuông mà các phần tử bằng không ngoại trừ
các phần tử trên ñường chéo chính. Việc ñưa một ma trận về ma trận chéo gọi là
chéo hóa ma trận. Ma trận chéo có ứng dụng rất quan trọng trong việc tính các
lũy thừa của ma trận vuông, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính ñồng thời cấp 1
với hệ số không ñổi, xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi và
một số ứng dụng khác. Thông qua ma trận chéo mà việc giải nhiều bài toán trở

nên ñơn giản hơn.
Như vậy, qua quá trình học tập và nghiên cứu, xuất phát từ nhu cầu bản
thân, nhu cầu thực tế của nhiều sinh viên, tôi ñã chọn ñề tài: “Tính chéo hóa
của ma trận và một số ứng dụng”.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
2

Thông qua việc nghiên cứu nội dung này, tôi ñã có thêm ñiều kiện ñể
củng cố các kiến thức ñã học, ñồng thời bổ sung nhiều ñiều bổ ích, rèn luyện
khả năng nghiên cứu, làm việc khoa học.
2. Mục tiêu nghiên cứu
- Mục tiêu khoa học công nghệ: ðưa ra ñiều kiện ñể một ma trận có thể chéo
hóa một ma trận và các bước ñể chéo hóa một ma trận, ứng dụng của ma trận
chéo.
- Sản phẩm khoa học công nghệ: ðề tài là tài liệu tham khảo cho các sinh viên
ngành toán trường ðại học Hùng Vương.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu véctơ riêng, giá trị riêng, ma trận chéo, tính chéo hóa của ma trận.
- Nghiên cứu một số ứng dụng của ma trận chéo thông qua các bài toán cụ thể.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: ðọc giáo trình, tài liệu liên quan ñến véctơ
riêng, giá trị riêng, tính chéo hóa ñược và ứng dụng của nó.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình, rút
ra ñược kinh nghiệm ñể giải các bài toán chéo hóa ma trận.
5. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu
- ðối tượng nghiên cứu: Ma trận.
- Phạm vi nghiên cứu: Tính chéo hóa của ma trận và tập trung chủ yếu trên
trường số thực và trường số phức.
6. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở ñầu, phần phụ lục, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung

của khóa luận bao gồm có 3 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.1. Ma trận của một ánh xạ tuyến tính.
1.2. Ma trận nghịch ñảo.
1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận ñồng dạng
1.4. Vectơ riêng - Giá trị riêng
Chương 2. Tính chéo hóa của ma trận
2.1. Tính chéo hóa của ma trận
2.2. Chéo hóa ñồng thời
2.3. ða thức các tự ñồng cấu, ña thức ma trận
2.4. Một số ví dụ
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
3

Chương 3. Một số ứng dụng của ma trận chéo
3.1. Tính các lũy thừa của một ma trận vuông
3.2. Xác ñịnh các dãy truy hồi tuyến tính với hệ số không ñổi
3.3. Giải một số phương trình ma trận
3.4. ðưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
4

DANH MỤC KÝ HIỆU
~
A B
: Ma trận A ñồng dạng với ma trận B.
( )
n
D K
: Tập hợp các ma trận chéo cấp n trên trường K.

( )
n
GL K
: Tập hợp các ma trận vuông cấp n khả nghịch trên trường K.
( )
L V
: Tập hợp các tự ñồng cấu của không gian vectơ V.
( )
n
M K
: Tập hợp các ma trận vuông cấp n, có các phần tử thuộc trường K.
χ
A
: ða thức ñặc trưng của ma trận vuông A.
χ
f
: ða thức ñặc trưng của ñồng cấu f.
( )
K
Sp f
: Phổ của tự ñồng cấu f hay tập hợp các giá trị riêng của ñồng cấu f.
( )
K
Sp A
: Phổ của ma trận A hay tập hợp các giá trị riêng của A.
1
( , , )
m
L e e
: Không gian vectơ sinh bởi hệ các vectơ

1
( , , )
m
e e
.
KGCR(
0
,
λ
f
): Không gian con riêng của tự ñồng cấu f liên kết với giá trị riêng
0
λ
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
5

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số khái niệm về ma trận của ánh xạ tuyến tính,
ma trận nghịch ñảo, ma trận ñồng dạng Ngoài ra các khái niệm về vectơ riêng,
giá trị riêng và cách tìm vectơ riêng, giá trị riêng cũng ñược nêu ra. ðây là
những kiến thức trọng tâm ñể chuẩn bị cho phần nội dung chính ở chương sau.
1.1. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
ðịnh nghĩa 1.1. Giả sử
V
và
W

là
K
- không gian vectơ với cơ sở lần lượt là
(
)
{
}
1 2
ε ε ,ε , ,ε
n
=
  
,
(
)
{
}
1 2
ξ ξ ,ξ , ,ξ
m
=
  
,
:
f V W
→
là một ánh xạ tuyến mà
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 1

(
ε ) ξ ξ ξ
(
ε ) ξ ξ ξ

(
ε ) ξ ξ ξ
m m
m m
n n n mn m
f a a a
f a a a
f a a a
= + + +
= + + +
= + + +
  

  

  

(1)
Ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2

n
n
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
=
 
 
 

ñược gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính
f
ñối với cơ sở
(
ε)
và
(
ξ)
.
Có thể viết gọn các ñẳng thức (1) như sau:
1
(
ε ) ξ ,
m

j ij i
i
f a
=
=
∑


với mọi
{
}
1,2, ,
j n
∈
.
Chú ý: Vì
(
ξ
)
là cơ sở của
W

nên các thành phần
ij
a
ñược xác ñịnh duy nhất, do
ñó ma trận
A

ñược xác ñịnh duy nhất.

Giả sử
1 :
V
V V
→
là ñồng cấu ñồng nhất của không gian vectơ
V
và
(
)
{
}
1 2
ε ε ,ε , ,ε
n
=
  

là m
ột cơ sở bất kì trong
V
. Khi ñó:
1 1 2
2 1 2
1 2
1 (
ε ) ε 0ε 0ε
1 (
ε ) 0ε ε 0ε

1 (
ε ) 0ε 0ε ε
V n
V n
V n n
= + + +
= + + +
= + + +
   
   
   

Do
ñó ma trận của
1
V
ñối với
(
ε)
là:
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
6

1 0 0
0 1 0

0 0 1
I
 

 
 
=
 
 
 

I
ñược gọi là ma trận ñơn vị.
Ma trận
(
)
ij
I a
=
ñược gọi là ma trận ñơn vị nếu:
1,
0,
ij
khi i j
a
khi i j
=

=

≠


Nếu

V
và
W

là hai
K
-không gian vectơ
dim ,dim
V n W m
= =
thì ñồng
cấu 0 có ma trận ñối với mọi cơ sở của
V
và
W

là ma trận
O
kiểu
( , )
m n
dưới
ñây :
0 0 0
0 0 0

0 0 0
O
 
 

 
=
 
 
 

O
ñược gọi là ma trận không, tức là ma trận mà mọi thành phần ñều
bằng 0.
Kí hiệu tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ
K
-không gian vectơ
V
ñến
K

- không gian vectơ
W

là
( , ).
K
Hom V W

Sau ñây là mệnh ñề nêu lên mối liên hệ giữa
( , )
K
Hom V W
với
( , )

( )
m n
M K

Mệnh ñề 1.1. Giả sử
V
và
W

là hai
K
-không gian vectơ và
(
)
{
}
1 2
ε ε ,ε , ,ε
n
=
  
,
(
)
{
}
1 2
ξ ξ ,ξ , ,ξ
m
=

  

lần lượt là cơ sở cố ñịnh của
V
và
W
.
Khi ñó:
a, Mỗi ma trận kiểu
( , )
m n
xác ñịnh duy nhất một ánh xạ tuyến tính
:
f V W
→

b, Có một song ánh
( , )
φ
: ( , ) ( ).
K m n
Hom V W M K
→

1.2. Ma trận nghịch ñảo
ðịnh nghĩa 1.2. Ma trận
( )
n
A M K
∈

ñược gọi là khả nghịch nếu tồn tại một ma
trận
( )
n
B M K
∈
sao cho
AB I BA
= =
.
B
ñược gọi là ma trận nghịch ñảo của
A
. Kí hiệu:
1
B A
−
=

ðịnh lí 1.2. Ma trận vuông
A
có ngh
ị
ch
ñả
o khi và ch
ỉ
khi
0.
A

≠

Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
7

1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở mới. Ma trận ñồng dạng
Giả sử
V
là không gian vectơ
n
chiều trên trường
K
, trong ñó
{
}
1 2
α ,α , ,α
n
(1) và
{
}
1 2
α ,α , ,α (1)
n
′ ′ ′ ′
là cơ sở.
W
là không gian vectơ
m
chiều trên trường

K
, trong ñó chọn cơ sở
{
}
1 2
β ,β , ,β
m
(2) và
(
)
1 2
β ,β , ,β (2 )
m
′ ′ ′ ′

G
ọi A, B là ma trận của
f
ñối với cặp cơ sở (1), (2) và
(1),(2 )
′ ′
.
S, T là ma tr
ận chuyển cơ sở từ (1) sang
(1)
′
và (2) sang
(2 )
′
.

•
Tìm quan hệ giữa A, B, S, T.
Ta có
ij
( )
m n
A a
×
=
,
ij
( )
m n
B b
×
=

ij
( )
n
S s
=
, S không suy biến.
ij
( )
m
T t
=
, T không suy biến.
Theo gi

ả thiết
1
(
α ) β , 1, , .(3)
m
j ij i
i
f a j n
=
= =
∑


1
(
α ) β , 1, , . (4)
m
j ij i
i
f b j n
=
′ ′
= =
∑


1
α α , 1, , . (5)
n
j ij i

i
s j n
=
′
= =
∑


1
β β , 1, , . (6)
m
j ij i
i
t j m
=
′
= =
∑

T
ừ (5) ta có :
1 1 1 1 1 1
(
α ) α (α ) β β (*)
n n n m n m
j ij i ij i ij ki k ki ij k
i i i k i k
f f s s f s a a s
= = = = = =
     

′
= = = =
     
     
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

Mặt khác thay (6) vào (4):
1 1 1 1
(
α ) β β (**)
m m m m
j ij hi h hi ij h
i h i h
f b t t b
= = = =
   
′
= =
   
   
∑ ∑ ∑ ∑

Vì 1 vectơ biểu thị qua cơ sở là duy nhất
Từ (*) và (**) ta ñược
ij ij
1 1
n m
ki hi
i i
a s t b

= =
=
∑ ∑
, (
1, , ; 1, , ; 1, ,
k m j n h m
= = =
).
Viết dưới dạng ma trận ta có:
1
AS AS
TB B T
−
= ⇔ =
.
ðịnh lí 1.3. Giả sử
: W
f V
→
là ánh xạ tuyến tính có ma trận là A ñối với cơ sơ
(1) trong
V
và cơ sở (2) trong
W
, ngoài ra trong
V
có cơ sở
(1 )
′
và trong

W

Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
8

có cơ sở
(2 )
′
, với ma trận chuyển cơ sở là S, T. Khi ñó ma trận của
f
ñối với
cơ sở
(1 )
′
,
(2 )
′
là

1
B T AS
−
=
.

ðịnh nghĩa 1.3. Hai ma trận
A
và
B
ñược gọi là ñồng dạng nếu có một ma trận

T
sao cho
1
B T AT
−
=
. Kí hiệu
~
A B
.

Hệ quả 1.4. Hai ma trận ñồng dạng khi và chỉ khi chúng là hai ma trận của
cùng một tự ñồng cấu.
1.4. Vectơ riêng - Giá trị riêng
ðịnh nghĩa 1.4. Giả sử
V
là một không gian vectơ,
:
f V V
→
là một tự ñồng
cấu. Vectơ
α 0
≠


của
V
ñược gọi là một vectơ riêng của
f

nếu tồn tại một số
k K
∈
sao cho
(
α) α
f k
=
 
.
Số
k
ñược gọi là giá trị riêng của
f
ứng với vectơ riêng
α

.
Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của
f
là phổ của
f
, và kí hiệu
( )
K
Sp f
.
Nếu
A
là một ma trận của tự ñồng cấu

f
thì giá trị riêng của
f
cũng
ñược gọi là giá trị riêng của ma trận
A
.
Ta gọi tập hợp các giá trị riêng của
A
là phổ của
A
, kí hiệu
( )
K
Sp A

(hay
( )
Sp A
).
ðịnh nghĩa 1.5. Giả sử
:
f V V
→
là một tự ñồng cấu của không gian vectơ
V
. Không gian con
W
của
V

ñược gọi là một không gian con bất biến ñối với
f
nếu với mọi
α
W
∈

ta ñều có
(α)
f W
∈

.
Mệnh ñề 1.5. Giả sử
V
là một không gian vectơ, tập hợp gồm các vectơ
0

và
các vectơ riêng ứng với giá trị riêng
k
của tự ñồng cấu
:
f V V
→
là một
không gian con bất biến của
V
và ñược gọi là không gian riêng ứng với giá trị
riêng

k
.
ðịnh lí 1.6. Nếu
1 2
α , α , ,α
p
  
là những vectơ riêng tương ứng với các giá trị
riêng ñôi một phân biệt
1 2
, , ,
p
k k k
c
ủ
a t
ự

ñồ
ng c
ấ
u
f
thì chúng l
ậ
p thành m
ộ
t
h
ệ

vect
ơ

ñộ
c l
ậ
p tuy
ế
n tính.
Nhận xét: Giả sử
dim
V n
=
, B là một cơ sở của V,
( )
f L V
∈
và
( )
B
A M f
=
là
ma trận của
f
ñối với cơ sở B. Khi ñó:
i,
λ
K
∈

là một giá trị riêng của
f
khi và chỉ khi
λ
là một giá trị riêng của A.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
9

ii,
α {0}
V
∈ −
là một vectơ riêng của
f
khi và chỉ khi ma trận cột tọa ñộ của
α

ñối với cơ sở B tức là
(
α)
B
M
là một vectơ riêng của A.
iii, Các vectơ riêng của
f
ứng với giá trị riêng
λ
cùng với vectơ 0 lập nên không
gian vectơ con là
(

λ )
v
Ker f Id
−
.
ðịnh nghĩa 1.6.

Giả sử ma trận của tự ñồng cấu
:
f V V
→
ñối với cơ sở
(
)
ε

là
11 12 1
21 22 2
1 2




n
n
n n nn
a a a
a a a
A

a a a
 
 
 
=
 
 
 

k
ñược gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại
1 2
, , ,
n
x x x
không ñồng thời
bằng 0 sao cho

1 1
n n
x x
A k
x x
   
   
=
   
   
   
⋮ ⋮

hay
1
0
( )
0
n
x
A kI
x
 
 
 
 
− =
 
 
 
 
 
 
⋮ ⋮

Nói cách khác
ij
1
n
j i
j
a x kx
=

=
∑
với mọi
{
}
1,2, ,
i n
∈
.
hay
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2





n n
n n
n n nn n n
a x a x a x kx
a x a x a x kx
a x a x a x kx
+ + + =


+ + + =





+ + + =

(1)

11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) 0
( ) 0


( ) 0
n n
n n
n n nn n
a k x a x a x
a x a k x a x
a x a x a k x
− + + + =


+ − + + =

⇔



+ + + − =


(2)
α

là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng k khi và chỉ khi tọa ñộ
1 2
( , , , )
n
x x x

của nó là nghiệm của hệ phương trình (2).
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
10

ðịnh nghĩa 1.7. Giả sử
A
là một ma trận của tự ñồng cấu
f
. Ma trận
11 12 1
21 22 2
1 2




n
n
n n nn
a k a a

a a k a
A kI
a a a k
−
 
 
−
 
− =
 
 
−
 
ñược gọi là ma trận ñặc trưng, còn ña
thức
( 1)
n n
A kI k A
− = − + +

ñược gọi là ña thức ñặc trưng của tự ñồng cấu
f
.
Kí hiệu:
χ
A
là ña thức ñặc trưng của
A
.
CÁCH TÌM VECTƠ RIÊNG

Tìm nghiệm của ña thức ñặc trưng, tức là nghiệm của phương trình

11 12 1
21 22 2
1 2


0(*)


n
n
n n nn
a k a a
a a k a
D
a a a k
−
−
= =
−

ñó là các giá trị riêng.
Thay mỗi giá trị riêng tìm ñược vào vị trí của
k
trong hệ
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) 0

( ) 0


( ) 0
n n
n n
n n nn n
a k x a x a x
a x a k x a x
a x a x a k x
− + + + =


+ − + + =




+ + + − =

(**)
rồi giải hệ này. Mỗi nghiệm riêng của hệ là tọa ñộ của một vectơ riêng ứng với
giá trị riêng ấy. Không gian nghiệm của hệ (**) xác ñịnh không gian riêng ứng
với giá trị riêng vừa chọn.
Ví dụ 1.1. Cho phép biến ñổi tuyến tính
3 3
:f →
ℝ ℝ
có ma trận ñối với cơ sở
chính tắc là

1 2 2
1 0 3
1 3 0
A
−
 
 
=
 
 
 

Tìm các giá trị riêng của
f
và ứng với mỗi giá trị riêng tìm một vectơ
riêng. Tìm các không gian con bất biến của
f
.
Giải. Giải phương trình
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
11

1 2 2
1 3 0
1 3
k
k
k
− −
− =

−
hay
2
( 3)( 4 3) 0
k k k
+ − + =

Ta ñược
1 2 3
3, 1, 3.
k k k
= − = =

Với
1
3
k
= −
, hệ phương trình (**) là hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
(1 ( 3)) 2 2 0
(0 ( 3)) 3 0
3 (0 ( 3)) 0
x x x
x x x
x x x
− − + − =



+ − − + =


+ + − − =

hay
1 2 3
1 2 3
4 2 2 0
3 3 0
x x x
x x x
+ − =


+ + =


Giải hệ này ñược nghiệm tổng quát là
6 7
( , , )
5 5
c c c
−
.
Cho
5
c
=

ta ñược một nghiệm riêng
1
α (6, 7,5)
= −

.
Không gian bất biến gồm tất cả các vectơ có dạng
6 7
( , , )
5 5
c c c
−
hay
(6, 7,5)
5
c
−
. ðó là không gian sinh bởi
1
α

.
Với
2
1
k
=
, giải hệ
2 3
1 2 3

1 2 3
2 2 0
3 0
3 0
x x
x x x
x x x
− =


− + =


+ − =


ta ñược nghiệm tổng quát
(
)
2 , ,
c c c
−
.
Cho
1
c
=
, ñược một nghiệm riêng
2
α

( 2,1,1)
= −

.
Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng
2
( 2,1,1)
α
c c
− =

.
Vậy không gian bất biến này sinh bởi
2
α

.
Với
3
3
k
=
, giải hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2 0
3 3 0
3 3 0
x x x

x x x
x x x
− + − =


− + =


+ − =


ta ñược nghiệm tổng quát:
(
)
0, ,
c c
.
Cho
1
c
=
, ñược một vectơ riêng ứng với
3
3
k
=
là
3
α
(0,1,1)

=

.
Không gian bất biến tương ứng gồm các vectơ có dạng
3
(0, , ) (0,1,1)
α
c c c c
= =

. Vậy không gian bất biến này sinh bởi
3
α

.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
12

Vì ba vectơ riêng
1
α

,
2
α

,
3
α


tương ứng với ba giá trị riêng phân biệt nên
theo ñịnh lí 3 chương 1, chúng ñộc lập tuyến tính. Vì
3
dim 3
=
ℝ
nên chúng tạo
thành một cơ sở của
3
ℝ
.
Ví dụ 1.2. Cho một tự ñồng cấu
3 3
:f →
ℝ ℝ
có ma trận ñối với cơ sở chính tắc
là
1 4 8
4 7 4
8 4 1
B
− −
 
 
= − −
 
 
− −
 

Tìm các giá trị riêng và với mỗi không gian con riêng tìm một cơ sở.

Giải. Giải phương trình
1 4 8
4 7 4 0
8 4 1
k
k
k
− − −
− − − =
− − −
hay
2
( 9) ( 9) 0
k k
− + =

ta ñược:
1 2 3
9, 9.
k k k
= − = =

Với
1
9
k
= −
, giải hệ

1 2 3
1 2 3
1 2 3
10 4 8 0
4 16 4 0
8 4 10 0
x x x
x x x
x x x
− − =


− + − =


− − + =


Ta
ñược nghiệm tổng quát :
(
)
2 , ,2
c c c
. Vì hạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n c

ủ
a h
ệ

ph
ươ
ng trình b
ằ
ng 2 nên không gian riêng
1
W
t
ươ
ng
ứ
ng (t
ứ
c là không gian
nghi
ệ
m) có
3
1
dim dim 2 1
W
= − =
ℝ
. Do
ñ
ó m

ộ
t vect
ơ
riêng b
ấ
t kì là m
ộ
t c
ơ
s
ở
,
ch
ẳ
ng h
ạ
n, v
ớ
i
1
c
=
,
α
(2,1,2)
=

là m
ộ
t c

ơ
s
ở
.
V
ớ
i
2 3
9
k k
= =
, gi
ả
i h
ệ

1 2 3
1 2 3
1 2 3
8 4 8 0
4 2 4 0
8 4 8 0
x x x
x x x
x x x
− − − =


− − − =



− − − =

hay
1 2 3
2 2 0
x x x
+ + =

Ta
ñượ
c nghi
ệ
m t
ổ
ng quát:
(
)
1 1 3 3
, 2 2 ,
c c c c
− −
. H
ạ
ng c
ủ
a ma tr
ậ
n c
ủ

a h
ệ

ph
ươ
ng trình này b
ằ
ng 1 nên không gian riêng t
ươ
ng
ứ
ng
2
W
(không gian
nghi
ệ
m) có
3
2
dim dim 1 2
W
= − =
ℝ
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
13

Một cơ sở của nó là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình.
Với

1 3
1, 0
c c
= =
ta có nghiệm riêng
(
)
1
β 1, 2,0
= −

, với
1 3
0, 1
c c
= =
ta có
nghiệm riêng
(
)
2
β 0, 2,1
= −

. Hệ vectơ
{
}
1 2
β ,β
 

là m
ột cơ sở của
2
W
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
14

Chương 2
TÍNH CHÉO HÓA CỦA MA TRẬN

Chương này trình bày nội dung chính của ñề tài. Phần mở ñầu là một số
khái niệm về ma trận ñường chéo, ma trận chéo hóa ñược. Tiếp theo ñó là ñiều
kiện chéo hóa một ma trận và các bước cơ bản ñể chéo hóa một ma trận. Ngoài
ra, chéo hóa các ma trận ñối xứng và chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoán
các ma trận ñối xứng cũng ñược ñề cập ñến ở ñây. Cuối cùng là phần trình bày
về ña thức của tự ñồng cấu, ña thức của ma trận ñể nêu lên ñiều kiện cần và ñủ
ñể một ma trận chéo hóa ñược. Sau khi trình bày một vấn ñề thường có một vài
ví dụ minh họa cụ thể cho vấn ñề ñó.
2.1. Tính chéo hóa của ma trận
ðịnh nghĩa 2.1. Một ma trận vuông
( )
ij
A a
=
thuộ
c
( )
n
M K

g
ọ
i là
ma trận
ñường chéo
khi và ch
ỉ
khi
11
22
0 0
0 0

0 0
nn
a
a
A
a
 
 
 
=
 
 
 
,
(( ) 0, )
ij
a khi i j

= ≠
.
T
ậ
p h
ợ
p các ma tr
ậ
n
ñườ
ng chéo c
ấ
p
n
v
ớ
i h
ệ
t
ử
trong
K
là
( )
n
D K
.
ðịnh nghĩa 2.2. Một ma trận vuông ñược gọi là chéo hóa ñược nếu nó ñồng
dạng với một ma trận chéo.
Ví dụ 2.1. Ma trận

8 5
10 7
A
−
 
=
 
−
 

chéo hóa ñược. Thật vậy, với
1 1
2 1
T
−
 
=
 
−
 
và
2 0
0 3
B
−
 
=
 
 
ta có:

1
1 1
2 1
T
−
− −
 
=
 
− −
 
. Ta có
1
B T AT
−
=
nên
~
A B
.
2.1.1. ðiều kiện ñể một ma trận chéo hóa ñược
ðịnh lí 2.1. Một ma trận vuông chéo hóa ñược khi và chỉ khi nó là ma trận của
một tự ñồng cấu có một hệ vectơ riêng là cơ sở của không gian.
Chứng minh
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
15

Coi
A
như ma trận của một tự ñồng cấu

:
f V V
→
ñối với cơ sở
(
ε)
.
A là ma trận vuông chéo hóa ñược khi và chỉ khi có một ma trận
T
sao
cho
1
1
1
0 0
0 0

0 0
n
k
k
T AT B
k
−
 
 
 
= =
 
 

 

ðiều này xảy ra khi và chỉ khi
B
là ma trận của
f
ñối với một cơ sở
(
ε )
′

mà
(
ε ) ε
j j j
f k
′ ′
=
, với mọi
{
}
1,2, ,
j n
∈
, nghĩa là (
ε )
′
là một cơ sở gồm những
vectơ riêng.
Hệ quả 2.2. Nếu

A
là ma trận vuông cấp
n
mà ña thức ñặc trưng
A kI
−
có
n

nghiệm phân biệt thì
A
chéo hóa ñược.
ðịnh lí 2.3. Giả sử
A
là một ma trận vuông cấp
n
;
1 2
, , ,
p
k k k
là các nghi
ệ
m
c
ủ
a
ñ
a th
ứ

c
ñặ
c tr
ư
ng
A kI
−
,
i
m
là b
ộ
i s
ố
c
ủ
a nghi
ệ
m
i
k
, v
ớ
i
1 2
{1,2, , },
p
i p m m m n
∈ + + + =
, t

ứ
c là:
1 2
1 2
det( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
p
m
m mn
p
A kI k k k k k k
− = − − − −

và h
ạ
ng
( )
i i
A k I n m
− = −
. Khi
ñ
ó
A
chéo hóa
ñượ
c
.
Chứng minh
Giả sử
A

là một ma trận của một tự ñồng cấu
:
n n
f →
ℝ ℝ
ñối với cơ sở
chính tắc. Gọi
i
W
là không gian con riêng ứng với giá trị riêng
i
k
. Vì hạng
( )
i i
A k I n m
− = −
nên
1
dim ( )
i i
W n n m m
= − − =
.
Với mỗi
{1,2, , }
i p
∈
, ta chọn một cơ sở
{

}
1 2
ξ ,ξ , ,ξ
i
i i im
  
của
i
W
. Hệ
vectơ
{
}
2
11 12 1 21 22 2 1 2
ξ ,ξ , ,ξ ,ξ ,ξ , ,ξ , ,ξ ,ξ , ,ξ
i p
m m p p pm
        
(1).
ñộc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử
1 2 2
11 11 1 1 21 21 2 2 1 1 2 2
ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 0
i p p
m m m m p p p p pm pm
r r r r r r r
+ + + + + + + + + + =
      
. (2)

ðặt
1 1 2 2
α ξ ξ

ξ
i i
i i i i i im im
r r r= + + +
  

, với mọi
{1,2, , }
i p
∈
, (2) trở thành:
1 1
α α

α
0
p
+ + + =

  
(3)
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
16

Vì
α

i i
W
∈

nên nó là vectơ riêng ứng với giá trị riêng
i
k
. Nhưng các
i
k
là
những giá trị riêng ñôi một phân biệt của
f
.Ta có hệ vectơ
1 2
{
α , α , ,α }
p
  
ñộc
lập tuyến tính. Từ (3) suy ra
1 1 2 2
α ξ ξ ξ 0
i i
i i i i i im im
r r r
= + + + =
  



.
Theo cách chọn, hệ
{
}
\
1 2
ξ ,ξ , ,ξ
i
i i im
  
ñộc lập tuyến tính. Do ñó các hệ
0
ij
r
=
, với mỗi
{1,2, , }
i p
∈
và
{1,2, , }
j
j m
∈
. Vì
dim
n
n
=
ℝ

và hệ (1) gồm
n
vectơ riêng ñộc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của
n
ℝ
. Vậy
A
chéo hóa
ñược.
Ví dụ 2.2. Cho ma trận vuông cấp 2 thực hay phức
a b
A
c d
 
=
 
 

Tìm ñiều kiện cần và ñủ về các phần tử
, , ,
a b c d
ñể ma trận
A
chéo hóa ñược?
Giải. ða thức ñặc trưng của ma trận
A

2
2
( )

a k b
A kI k a d k ac bd
c d k
−
− = = − + + −
−

(
)
(
)
2
4
a d ad bc
∆ = + − −

Trường hợp 1.
A
là ma trận thực
+ Nếu
0
∆ >
thì
A
có 2 giá trị riêng phân biệt nên
A
chéo hóa ñược
+ Nếu
0
∆ =

thì
A
có một giá trị riêng duy nhất
0
k
. ðể
A
chéo hóa ñược thì
A

phải có 2 giá trị riêng ñộc lập tuyến tính
(
)
(
)
1 1 2 2 1 2
α , ; α ,
x x y y
= =
 

1 2
1 2
0
x x
y y
 
≠
 
 

. Khi ñó ta có
(
)
( )
(
)
( )
0 1 2 1 0 2
0 1 2 1 0 2
0 0
;
0 0
a k x bx cx d k x
a k y by cy d k y
 
− + = + − =
 
 
− + = + − =
 
 

Hai h
ệ
ph
ươ
ng trình trên có
1 2
1 2
0

x x
y y
≠
nên
0
0
a k b
− = =
và
0
0
c d k
= − =
, hay
0 0
;
0 0
a k d k
b c
= =
 
 
= =
 

Suy ra
a d
=
và
0

b c
= =
.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
17

Từ những ñiều trên ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận thực
A
chéo hóa
ñược là hoặc
0
∆ >
hoặc
a d
=
và
0
b c
= =
.
Trường hợp 2.
A
là ma trận phức
Tương tự như trường hợp thực ta suy ra ñiều kiện cần và ñủ ñể ma trận phức
A

chéo hóa ñược là hoặc
0
∆ ≠
hoặc

a d
=
và
0
b c
= =
.
Ví dụ 2.3. Chứng minh rằng ma trận vuông
A
giao hoán ñược với tất cả các ma
trận vuông cùng cấp thì chéo hóa ñược.
Giải. Gọi
B
là ma trận vuông cấp
n
:
1
2
ij
α 0 0
0 α 0
( ) ,
α α

0 0 α
i j
n
B b
 
 

 
= = ≠
 
 
 
với mọi
i j
≠

và
ij
( )
A a
=
. Ta có
ij
( )
AB c
=
,
ij
( )
BA d
=
. Khi ñó
1
. .
α
n
ij ik kj ij jj ij j

k
c a b a b a
=
= = =
∑

1
.
α
n
ij ik kj ii ij i ij
k
d b a b a a
=
= = =
∑

Vì
AB BA
=
nên ta có với mọi
i j
≠
thì
.
α α (α α ) 0 0
ij j i ij ij i j ij
a a a a
= ⇔ − = ⇔ =

V
ậy ma trận
A
có dạng chéo.
2.1.2. Các bước chéo hóa ma trận.
Bước 1. Tìm các giá trị riêng của ma trận
A
(Tức là nghiệm của phương
trình ñặc trưng)
Bước 2. ðối với mỗi giá trị riêng, ta tìm cơ sở (gồm toàn vectơ riêng) của
không gian con riêng tương ứng bằng cách giải hệ phương trình
( ) 0
A kI x
− =
.
Bước 3. Lấy tất cả các cơ sở tìm ñược ở bước 2, nếu ñủ làm cơ sở của
E
,
thì chéo hóa ñược và ma trận dạng chéo gồm các giá trị riêng.
Lưu ý: Trong trường hợp
K
=
ℝ
, ta có thể trình bày cụ thể hơn như sau:
Bước 1. Tính các ña thức ñặc trưng và tìm nghiệm của nó.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
18

Nếu ña thức có một nhân tử là tam thức bậc hai vô nghiệm thì kết luận
không chéo hóa ñược và dừng lại, ngược lại thực hiện bước 2.

Bước 2. Phân tích ña thức ñặc trưng thành dạng
1 2
1 2
det( ) ( 1) ( ) ( ) ( )
p
m
m mn
p
A kI k k k k k k− = − − − −

Bước 3. Lần lượt với mỗi
λ
i
, ta tìm ñược một cơ sở của không gian riêng
ứng với giá trị riêng này bằng cách giải hệ phương trình:
( ) 0
i
A k I x
− =

và chú ý rằng, số chiều của không gian con riêng là
( )
i i
s n rank A k I
= − −
, nếu
thấy
i i
s m
<

thì kết luận ngay không chéo hóa ñược.
Bước 4. Lấy cơ sở tìm ñược ở bước 3, lập ma trận
S
và
1
S AS
−
là ma trận
có dạng ñường chéo.
Ví dụ 2.4. Cho ma trận
1 2 2
1 0 3
1 3 0
A
−
 
 
=
 
 
 


a) Chéo hóa ma trận.
b) Giả sử ma trận chéo vừa tìm ñược là
B
. Hãy tìm ma trận
T
ñể
1

B T AT
−
=
.
Giải. Ở ví dụ 1.1 mục 1.4, ta ñã thấy, nếu coi
A
như ma trận của tự ñồng cấu
f

của
3
ℝ
ñối với cơ sở chính tắc thì
f
có ba giá trị riêng phân biệt là
1 2 3
3, 1, 3.
k k k
= − = =
Các vectơ riêng tương ứng là :
1
α (6, 7,5)
= −

,
2
α ( 2,1,1)
= −

,

3
α (0,1,1)
=

lập thành một cơ sở của
3
ℝ
. Do ñó, ta có
3 0 0
~ 0 1 0
0 0 3
A B
−
 
 
=
 
 
 

Gọi
T
là ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc của
3
ℝ
sang cơ sở
{
}
1 2 3
α ,α ,α

  
.
Vì
1 1 2 3
2 1 2 3
3 2 3
α 6ε 7ε 5ε
α 2ε ε ε
α ε ε
= − +
= − + +
= +
   
   
  

nên ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc sang cơ sở
{
}
1 2 3
α ,α ,α
  
là
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
19

6 2 0
7 1 1
5 1 1
T

−
 
 
= −
 
 
 

Vậy
1
B T AT
−
=
.
Ví dụ 2.5. Chéo hóa ma trận
1 1 1
1 1 1
1 1 1
A
−
 
 
= −
 
 
−
 

Giải. ða thức ñặc trưng của
A

2
3
1 1 1
det( ) 1 1 1 (1 )( 2)
1 1 1
k
A kI k k k
k
− −
− = − − = − +
− −

ða thức ñặc trưng có nghiệm
1 2
1, 2
k k
= = −
(kép).
Với
1
1
k
=
, giải hệ
1 2 3
1 3 1 3
1 2 3
1 2 1 2
1 2 3

2 0
0
2 0
0
2 0
x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
− + + =

− + = =
 

− + = ⇔ ⇔
  
− = =
 

+ − =


Nghiệm tổng quát
( , , )
a a a
,
a
∈
ℝ

,không gian riêng
1
W
tương ứng gồm
các vectơ có dạng
( , , )
a a a
hay
1
W
sinh bởi vectơ
1
α
(1,1,1)
=

.
Với
2
2
k
= −
, giải hệ
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
0
0 0
0
x x x

x x x x x x
x x x
+ + =


+ + = ⇔ + + =


+ + =


Nghiệm tổng quát
( , , )
a b a b
− −
,
,
a b
∈
ℝ
,không gian riêng
1
W
tương ứng
gồm các vectơ có dạng
( , , )
a b a b
− −
hay
1

W
sinh bởi vectơ
1 2
α ( 1,1, 0),α ( 1, 0, 1)
= − = −
 

Ma trận chuyển cơ sở
1 1 1
1 1 0
1 0 1
T
− −
 
 
=
 
 
 
và
1
1 0 0
0 2 0
0 0 2
T AT
−
 
 
= −
 

 
−
 

Bây giờ ta xét trường hợp ña thức ñặc trưng của ma trận
A
có nghiệm
bội. Chẳng hạn:
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
20

1 2 5
0 2 4
1 0 1
A
 
 
=
 
 
 
.
ða thức ñặc trưng
3 2 2
1 2 5
0 2 4 4 ( 4)
1 0 1
k
A kI k k k k k
k

−
− = − = − + = − −
−

phương trình
2
( 4) 0
k k
− − =
có nghiệm ñơn
1
4
k
=
, nghiệm kép
2 3
0
k k
= =
.
Với
1
4
k
=
, không gian riêng
1
W
tương ứng gồm các vectơ có dạng
(3 ,2 , )

c c c
hay
1
W
sinh bởi vectơ
(3,2,1)
. Do ñó
1
dim 1
W
=
.
Với
2 3
0
k k
= =
, không gian riêng
2
W
tương ứng gồm các vectơ có dạng
( ,2 , )
c c c
−
hay
(1, 2, 1)
c
−
, tức là
2

W
sinh bởi vectơ
(1, 2, 1)
−
và
2
dim 1
W
=
.
Vì
A
chỉ có hai giá trị riêng
0; 4
k k
= =
nên nếu
A
chéo hóa ñược thì
A

ñồng dạng với ma trận có dạng

0 0 0
0 0 0
0 0 4
B
 
 
=

 
 
 
hoặc
0 0 0
0 4 0
0 0 4
C
 
 
=
 
 
 

Nếu
A
ñồng dạng với
B
thì
3
ℝ
có một cơ sở
{
}
1 2 3
ξ ,ξ ,ξ
  
sao cho
1 2

(
ξ ) 0 (ξ )
f f= =
 

. Suy ra
1 2
ξ ,ξ
 
thuộc không gian riêng
2
W
. Nhưng hai vectơ
này ñộc lập tuyến tính. Trái với nhận xét trên rằng
2
dim 1
W
=
.
Nếu
A
ñồng dạng với
C
thì xét tương tự như
A
ñồng dạng với
B
. Vậy
A
không chéo hóa ñược.

Tóm lại, nếu số bội của nghiệm riêng lớn hơn số chiều của không gian
riêng tương ứng thì ma trận không chéo hóa ñược.
2.1.3. Vấn ñề chéo hóa ma trận ñối xứng
ðịnh nghĩa 2.3. Một ma trận vuông
A
thuộc
( )
n
M K
ñược gọi là ma trận ñối
xứng (ma trận phản ñối xứng) khi và chỉ khi
( )
t t
A A A A
= = −
. T
ậ
p h
ợ
p các
ma tr
ậ
n
ñố
i x
ứ
ng (ma tr
ậ
n ph
ả

n
ñố
i x
ứ
ng) c
ấ
p
n
v
ớ
i h
ệ
t
ử
trong
K
ñượ
c kí hi
ệ
u
là
( ) ( ( ))
n n
S K A K
.
ðịnh nghĩa 2.4.
M
ộ
t t
ự

ñồ
ng c
ấ
u
f
c
ủ
a không gian véc t
ơ

Ơ
-c
ơ
-lít
E

ñượ
c g
ọ
i
là
trực giao
khi và ch
ỉ
khi
f
b
ả
o toàn tích vô h

ướ
ng, t
ứ
c là
2
( , ) , ( ). ( ) .
x y E f x f y x y
∀ ∈ =

Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
21

ðịnh nghĩa 2.5. Ma trận
P
thuộc
( )
n
M
ℝ
ñược gọi là trực giao khi và chỉ khi
tự ñồng cấu của
n
ℝ
, biểu diễn bởi
P
trong cơ sở chính tắc của
n
ℝ
, là một tự
ñồng cấu trực giao của

n
ℝ
ñược trang bị tích vô hướng thông thường.
Ta kí hiệu
( )
n
O
ℝ
là tập các ma trận trực giao của
( )
n
M
ℝ
.
ðịnh lí 2.4.
1). Giả sử
E
là một không gian véc tơ Ơ-cơ-lít , f là một tự ñồng cấu ñối
xứng của E. Tồn tại một cơ sở trực chuẩn của E trong ñó ma trận của f là ma
trận chéo.
2) Với mọi ma trận
( )
n
S S
∈
ℝ
, luôn tồn tại
( )
n
P O

∈
ℝ
và
( )
n
D D
∈
ℝ
sao
cho
1
S PDP
−
=
.
Chứng minh. Rõ ràng 2) là dạng ma trận của 1). Ta ñi chứng minh quy nạo theo
n
, với
dim( )
n E
=
.
Tính chất là hiển nhiên với
1
n
=
. Ta giả sử tính chất ñó ñúng với một số
nguyên
*
n

∈
ℕ
và giả sử
E
là một không gian véc tơ Ơ-cơ-lít có số chiều là
1
n
+
,
f
là tự ñồng cấu ñối xứng của
E
,
B
là một cơ sở trực chuẩn của
E
,
( )
B
A Mat f
=
. Phân tích
A
theo khối
α
t
C
A
C B
 

=
 
 
, trong ñó
,1
α , ( ), ( )
n n
C M B S
∈ ∈ ∈
ℝ ℝ ℝ

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại
( )
n
P O
∈
ℝ
,
( )
n
D D
∈
ℝ
sao cho
1
B PDP
−
=
.
Kí hiệu

1 0
0
U
P
 
=
 
 
, rõ ràng
U
là trực giao và
1
1
1 0
0
U
P
−
−
 
=
 
 
. Ta có
1
1
α
t
C P
U AU

P C D
−
−
 
=
 
 

Ta kí hiệu
1
G P C
−
=
và
1
α
t
G
A U AU
G D
−
 
= =
 
 
′
′′
′
.
1). Ta ñi chứng minh

A
′
′′
′
có ít nhất một giá trị riêng và một véc tơ riêng.
Giả sử
1,1
λ , ( )
n
V M
+
∈ ∈
ℝ ℝ
. Phân tích
V
theo khối:
x
V
X
 
=
 
 
với
x
∈
ℝ

và
1,1

( )
n
X M
+
∈
ℝ
, ta có
α α λ
λ λ
λ
t t
x x
G x G X x
AV V
X X
G D xG DX X
  
+ =
   
= ⇔ = ⇔

 
   
+ =
   
  
′
′′
′

Giả sử
λ ( )
Sp D
∉
ℝ
, vậy thì
λ
n
D I
−
khả nghịch và do vậy
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
22

( )
( )
1
1
λ
λ
α λ λ
n
t
n
X x D I G
AV V
x xG D I G x
−
−


= − −

= ⇔

− − =


′
′′
′

Kí hiệu
1
n
g
G
g
 
 
=
 
 
 
⋮
,
(
)
1
, ,
n

D diag d d
=
ta có
( )
2
1
1
λ λ α λ α
λ
n
t
i
n
i
i
g
G D I G
d
−
=
− + = ⇔ + =
−
∑

N
ế
u
0
G
=

thì rõ ràng ta có th
ể
ch
ọ
n
λ α, 1, 0
x X
= = =
.
Gi
ả
s
ử

0
G
≠
, ta có th
ể
gi
ả
thi
ế
t
1

n
d d
≥ ≥
.

+ N
ế
u
1
0
g
≠
thì ánh x
ạ

( )
2
1
1
φ : , , λ λ
λ
n
i
i
i
g
d
d
=
+ ∞ → +
−
∑
ℝ ֏
liên t
ụ

c trên
(
)
1
,d
+ ∞
và
1
2
λ
1
lim λ
λ
n
i
d
i
i
g
d
+
→
=
 
+ = −∞
 
−
 
∑
,

2
λ
1
lim λ
λ
n
i
i
i
g
d
→+∞
=
 
+ = +∞
 
−
 
∑
nên theo
ñị
nh
lí giá tr
ị
trung gian, t
ồ
n t
ạ
i
(

)
0 1
λ
,d
∈ + ∞
sao cho
(
)
0
φ λ α
=
.
+ N
ế
u
1
0
g
=
thì l
ậ
p lu
ậ
n này v
ẫ
n
ñượ
c áp d
ụ
ng

ñượ
c b
ằ
ng vi
ệ
c thay th
ế

1
d
b
ằ
ng
r
d
, trong
ñ
ó
{
}
{
}
min 1, , ; 0
i
r i n g
= ∈ ≠
.
Ta
ñ
ã ch

ứ
ng minh r
ằ
ng
f
có ít nh
ấ
t m
ộ
t giá tr
ị
riêng và m
ộ
t véc t
ơ
riêng
th
ự
c.
2). Ta kí hi
ệ
u
0
x
là m
ộ
t véc t
ơ
riêng c
ủ

a
f
. Trong m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n c
ủ
a
E

b
ắ
t
ñầ
u b
ở
i
0
0
x
x
, ma tr
ậ

n c
ủ
a
f
có d
ạ
ng
0
λ 0
0
S
 
 
 
, trong
ñ
ó
0
λ , ( )
n
S S
∈ ∈
ℝ ℝ
.
Theo gi
ả
thi
ế
t quy n
ạ

p, t
ồ
n t
ạ
i
1
( )
n
P O
∈
ℝ
,
1
( )
n
D D
∈
ℝ
sao cho
1
1 1 1
S PD P
−
=
. Kí
hi
ệ
u
2
1

1 0
0
P
P
 
=
 
 
và
0
2
1
λ 0
0
D
D
 
=
 
 
thì ta th
ấ
y
2 1
( )
n
P O
+
∈
ℝ

,
2 1
( )
n
D D
+
∈
ℝ
và
0
1
2 2 2
λ 0
0
P D P
S
−
 
=
 
 
.
ð
i
ề
u này ch
ứ
ng t
ỏ
t

ồ
n t
ạ
i m
ộ
t c
ơ
s
ở
tr
ự
c chu
ẩ
n c
ủ
a
E
sao
cho ma tr
ậ
n c
ủ
a
f
là ma tr
ậ
n chéo.
□

ðị
nh lí trên
ñ
ây kh
ẳ
ng
ñị
nh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i ma tr
ậ
n
ñố
i x
ứ
ng th
ự
c
( )
n
S S
∈
ℝ

thì luôn chéo hóa
ñượ

c, t
ứ
c là luôn t
ồ
n t
ạ
i
( )
n
P O
∈
ℝ
và
( )
n
D D
∈
ℝ

sao cho
1
S PDP
−
=
.
Còn ma tr
ậ
n
ñố
i x

ứ
ng trên tr
ườ
ng s
ố
ph
ứ
c thì sao? Câu tr
ả

l
ờ
i là không. Ví d
ụ
sau
ñ
ây s
ẽ
làm sáng t
ỏ

ñ
i
ề
u
ñ
ó.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
23

Ví dụ 2.6. Cho
( )
2
0
2
i
A S
i
 
= ∈
 
 
ℂ
. Ta sẽ chứng minh rằng ma trận
A
không
chéo hóa ñược. Thật vậy ta có
( )
2
2
1
2
k i
A kI k
i k
−
− = = −
−

Giả sử ma trận

A
chéo hóa ñược, khi ñó tồn tại
2
( )
P O
∈
ℂ
sao cho
1 1
1 0 1 0
0 1 0 1
A P P PP
− −
   
= = =
   
   
. ðiều này mâu thuẫn.
2.2. Chéo hóa ñồng thời
ðịnh lí 2.5
.
Cho
*
n
∈
ℕ
,
E
là một
K

- không gian véc tơ hữu hạn chiều với số
chiều
n
,
I
là một tập khác rỗng.
( )
i i I
f
∈
là một họ các ñồng cấu chéo hóa ñược
của
E
và giao hoán từng ñôi, nghĩa là:
2
( , ) ,
i j j i
i j I f f f f
∀ ∈ =
 

Tồn tại một cơ sở của
E
trong ñó các ma trận của
i
f
ñều là chéo, ta nói
rằng các
i
f

chéo hóa ñược ñồng thời. ðặc biệt, nếu hai ma trận chéo hóa ñược
mà giao hoán thì chúng chéo hóa ñồng thời ñược.
Chứng minh. Với
1
n
=
, tính chất này ñược suy ra từ phần 2.1. Giả sử nó ñúng
với mọi
{1, ,n}
p
∈
và giả
E
là một
K
- KGVT hữu hạn chiều với số chiều
1
n
+
,
I
là một tập khác rỗng,
( )
i i I
f
∈
là một họ các ñồng cấu chéo hóa ñược của
E
và giao hoán từng ñôi một.
Dễ dàng khảo sát trong từng trường hợp tất cả

i
f
là các phép vị tự.
Giả sử tồn tại
o
i I
∈
sao cho
0
i
f
không phải là một phép vị tự.
Kí hiệu
{
}
0
1
λ , ,λ ( )
r K i
Sp f
=
và
0
( ,
λ )
k i k
E KGCR f
=
với
1

k r
≤ ≤
. Vì
0
i
f

không phải là một phép vị tự và
0
i
f
chéo hóa ñược, ta có:
2
r
≥
, vậy
{
}
1, , ,1 dim( )
k
k r E n
∈ ≤ ≤
.
Cho
i I
∈
,
{1, ,r}
k
∈

, chứng minh rằng
k
E
ổn ñịnh ñối với
i
f
. Giả sử
k
x E
∈
, ta có:
0 0 0
( ( )) ( )( ) ( )( ) (
λ ) λ ( )
i i i i i i i k k i
f f x f f x f f x f x f x
= = = =
 
,
Vậy
( )
i k
f x E
∈
.
Kí hiệu
,
i k
f
là tự ñồng cấu cảm sinh bởi

i
f
trên
k
E
, với
i I
∈
và
{1, ,r}
k
∈
.
Cho
{1, ,r}
k
∈
:
• Với m ỗi
i I
∈
,
i
f
chéo hóa ñược nên
,
i k
f
chéo hóa ñược.
Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt

24

• Các
,
( )( )
i k
f i I
∈

ñ
ôi m
ộ
t giao hoán vì các
i
f

ñ
ôi m
ộ
t giao hoán.
V
ậ
y ta có th
ể
áp d
ụ
ng gi
ả
thi
ế

t quy n
ạ
p cho h
ọ
, ( )
( )
i k i I
f
∈
. T
ồ
n t
ạ
i c
ơ
s
ở

k
B
thu
ộ
c
k
E
sao cho :
, dim( )
, ( ) ( )
k k
B i k E

i I Mat f D K
∀ ∈ ∈
.
Khi
ñ
ó
1

r
B B B
= ∪ ∪
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c
ủ
a
E
và
,1
( 1)
,
( ) 0
, ( ) ( )
0 ( )
r
k

r
B i
B i n
B i r
Mat f
i I Mat f D K
Mat f
+
 
 
∀ ∈ = ∈
 
 
 
⋱
.
Chéo hóa ñồng thời của một họ giao hoán các ma trận ñối xứng
ðịnh lí 2.6. Cho một tập không rỗng
I
,
(
)
i
i I
S
∈
là một họ phần tử giao hoán
từng ñôi một của
( )
n

S
ℝ
. Khi ñó tồn tại
( )
n
P O
∈
ℝ
sao cho
1
, ( )
i n
i I P S P D
−
∀ ∈ ∈
ℝ

Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo
n
.
Với
1
n
=
, ñịnh lí 2.4 ñã chỉ ra.
Giả sử tính chất trên ñúng với mọi
p
thuộc
*
ℕ

sao cho
p n
<
và
I
là một
tập hợp không rỗng,
(
)
i
i I
S
∈
là một họ phần tử thuộc
( )
n
S
ℝ
ñôi một giao hoán.
Trường hợp
α
i n
S I
=
, với
α
∀ ∈
ℝ
và
i I

∀ ∈
là tầm thường. Giả sử tồn tại
0
i I
∈
sao cho
0
α
i n
S I
≠
,
α
∀ ∈
ℝ
. Theo ñịnh lí 2.4, tồn tại
( )
n
P O
∈
ℝ
và
( )
n
D D
∈
ℝ
sao cho
0
1

i
S PDP
−
= . Vì
0
α
i n
S I
≠
nên các phần tử trên ñường chéo
chính của
D
không bằng nhau. Vậy ta có thể giả thiết
0
λ 0
0
r
I
D
D
 
=
 
 
′
′′
′
, trong ñó
0
λ

∈
ℝ
,
{
}
1, , 1
r n
∈ −
,
(
)
n r
D D
−
∈
ℝ
′
′′
′
v
ớ
i các ph
ầ
n t
ử
chéo khác
0
λ
. V
ớ

i m
ỗ
i
i I
∈
, phân tích
1
i
P S P
−
theo kh
ố
i:
1
i i
i
t
i i
A B
P S P
B C
−
 
=
 
 
, trong
ñ
ó
(

)
i r
A S
∈
ℝ
,
(
)
,
i r n r
B M
−
∈
ℝ
,
(
)
i n r
C S
−
∈
ℝ
.
Vì
(
)
i
i I
S
∈

ñ
ôi m
ộ
t giao hoán,
ñặ
c bi
ệ
t
0 0
,
i i i i
i I S S S S
∀ ∈ =
nên th
ự
c hi
ệ
n phép
nhân theo kh
ố
i ta suy ra
0
,
λ
i i
i I B B D
∀ ∈ =
′
′′
′

, t
ứ
c là
(
)
0
,
λ 0
i n r
i I B D I
−
∀ ∈ − =
′
′′
′
.
Nh
ư
ng
0
λ
n r
D I
−
−
′
′′
′
là khả nghịch nên
, 0

i
i I B
∀ ∈ =
. Vậy ta chứng minh
i j j i
i j j i
A A A A
C C C C
=


=

với mọi
,
i j I
∈

Tính chéo hóa của ma trận và một số ứng dụng Phạm Thị Nguyệt
25

Như vậy ta có thể áp dụng giả thiết quy nạp với hai họ
(
)
i
i I
A
∈
và
(

)
i
i I
C
∈
. Tồn tại
(
)
1 r
P O
∈
ℝ
và
(
)
2 n r
P O
−
∈
ℝ
sao cho với
i I
∀ ∈
thì
(
)
( )
1
1 1
1

2 2
i r
i n r
P A P D
P C P D
−
−
−

∈


∈


ℝ
ℝ

Kí hiệu
1
2
0
0
P
Q P
P
 
=
 
 

, khi ñó ta có
(
)
n
Q O
∈
ℝ
và
1
, ( )
i n
i I Q S Q D
−
∀ ∈ ∈
ℝ
.
2.3. ða thức của tự ñồng cấu, ña thức của ma trận
ðịnh nghĩa 2.6. Giả sử
[
]
0 1

N
N
P a a X a X K X
= + + + ∈
.
Với
f
∈

L
)
(
E
, ta kí hiệu
N
N
fafaeafP
+
+
+
=
)(
10
, và
)
(
f
P

ñượ
c
g
ọ
i là
ñ
a th
ứ
c c
ủ

a t
ự

ñồ
ng c
ấ
u.
V
ớ
i
( )
n
A M K
∈
,
*
( )
n ∈
ℕ
, ta kí hi
ệ
u
N
Nn
AaAaIaAP
+
+
+
=
)(

10
,
)
(
A
P

ñượ
c g
ọ
i là
ñ
a th
ứ
c c
ủ
a ma tr
ậ
n.
ðịnh nghĩa 2.7.

Gi
ả
s
ử

∈
f
L
)

(
E
,
[
]
XKP
∈
. Ta nói r
ằ
ng
P
tri
ệ
t tiêu
f
(hay
P
là
ñ
a th
ứ
c
tri
ệ
t tiêu c
ủ
a
f
) khi và ch
ỉ

khi
0
)
(
=
f
P
.
Gi
ả
s
ử

( )
n
A M K
∈
,
[
]
XKP
∈
.Ta nói r
ằ
ng
P
tri
ệ
t tiêu
A

(hay
P
là
ñ
a
th
ứ
c tri
ệ
t tiêu c
ủ
a
A
) khi và ch
ỉ
khi
0
)
(
=
A
P
.
ðịnh lí 2.7.
1) Giả sử
E
là K – không gian vectơ hữu hạn chiều,
( )
f L E
∈

. ðể
f
chéo
hóa ñược thì ñiều kiện cần và ñủ là tồn tại
[
]
P K X
∈
tách ñượ
c trên K
và có nghi
ệ
m
ñơ
n sao cho
( ) 0
P f
=
.
2)

Gi
ả
s
ử

*
n
∈
ℕ

,
( )
n
A M K
∈
.
ðể

A
chéo hóa
ñượ
c,
ñ
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n và
ñủ
là
t
ồ
n t
ạ
i
[
]
XKP

∈
tách
ñượ
c trên
K
và có các nghi
ệ
m
ñơ
n sao cho
0
)
(
=
A
P
.
Ta có thể viết tắt "tách ñược và có các nghiệm ñơn" là: tách ñơn.
Chứng minh
1) a, Giả sử
f
chéo hóa ñược.