phương trình vi phân đại số chỉ số 1, 2 và phương trình liên hợp của nó

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (441.25 KB, 68 trang )

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THÁI SƠN
LUẬN VĂN THẠC SĨ
ĐỀ TÀI
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1, 2
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01
Người hướng dẫn: TS. Đào Thị Liên
Thái Nguyên - 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Chương 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1 VÀ PHƯƠNG
TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
1.3. Phân rã phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Các phép chiếu chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.5. Cách giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . . .14
1.6. Phương trình liên hợp của phương trình chỉ số 1 . . . . . . . . . . . . . . 17
1.7. Tính giải được duy nhất của phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . .18
1.8. Định nghĩa chỉ số cho phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9. Hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.10. Mối quan hệ giữa các hệ nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Chương 2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 2 VÀ PHƯƠNG
TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

2.2. Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình chỉ số 2 . . . . . . . . . . . . 50
2.4. Các phép chiếu chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.5. Ma trận cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2.6. Phương trình liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS
Đào Thị Liên. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và thành kính nhất đến
Cô. Cô không chỉ hướng dẫn tôi nghiên cứu khoa học mà Cô còn thông
cảm tạo mọi điều kiện động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn.
Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè tôi đã
hết sức quan tâm và giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và hoàn thành luận
văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo viện Toán học Việt Nam, các thầy cô giáo trong khoa sau Đại học và
khoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên đã dạy bảo
em tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường.
Bản luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu
sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng
nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010
Học viên
Phạm Thái Sơn
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
MỞ ĐẦU
Trong vài thập kỷ gần đây, một vấn đề thời sự đang được nhiều nhà toán

học quan tâm thuộc lĩnh vực phương trình vi phân, kể cả phương diện lý
thuyết cũng như áp dụng, đó là phương trình vi phân đại số. Phương trình
vi phân đại số được xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế kỹ
thuật và là sự mở rộng của phương trình vi phân thường.
Luận văn này tập hợp các kết quả về phương trình vi phân đại số chỉ
số 1, chỉ số 2 và phương trình liên hợp của chúng. Trong lý thuyết phương
trình vi phân thường, xét phương trình:
Ax

+ Bx = 0 (1)
với hệ số liên tục A,B: I ⊆ R −→ L(C
m
), A không suy biến, có một phương
trình liên hợp là
−(A
∗
y)

+ B
∗
y = 0 (2)
Để có được phương trình (2), ta thực hiện phép biến đổi phương trình (1) về
dạng x

+ A
−1
Bx = 0. Phương trình liên hợp của nó là −z

+ B
∗

A
−1∗
z = 0.
Cuối cùng ta đặt A
−1∗
z = y. Mỗi cặp nghiệm của phương trình gốc và
phương trình liên hợp có đồng nhất thức Lagrange
z
∗
(t)x(t) = z
∗
(t
0
)x(t
0
)
Hoặc ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất
dx
dt
= A(t)x (3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
với A ∈ C(I,L(C
m
,C
m
)), trong đó I = [t
0
,+∞). Phương trình dạng
dy
dt

= −A
∗
(t)y (4)
với A
∗
(t) = A
−T
(t) được gọi là phương trình vi phân liên hợp của phương
trình (3).
Trong trường hợp A suy biến ta có phương trình vi phân đại số. Khi
đó người ta đã đạt được nhiều kết quả quan trọng về sự tồn tại duy nhất
của nghiệm của phương trình liên hợp cũng như các mối quan hệ giữa các
nghiệm cơ bản, trong đó đặc biệt đáng chú ý là đồng nhất thức Lagrange.
Trong các bài báo [2] và [3], K.Balla đã chứng minh được rằng: mỗi
phương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chỉ số 1 với các hệ số
khả vi, tồn tại một phương trình vi phân đại số mà ta gọi là phương trình
vi phân đại số liên hợp của nó, sao cho với bất kỳ cặp nghiệm nào của
phương trình vi phân đại số gốc và phương trình vi phân đại số liên hợp
đều thỏa mãn một đồng nhất thức mà nó có thể xem như một tương tự hóa
của đồng nhất thức Lagrange.
Bài báo [1] của K.Balla và R.Marz đã phát triển tiếp các kết quả đã đạt
được của hai bài báo trên. Bằng cách giảm nhẹ tính khả vi của các hệ số,
các tác giả đã chỉ ra rằng phương trình liên hợp của phương trình vi phân
đại số chỉ số 1 giải được chỉ khi tính trơn xuất hiện trong định nghĩa - điều
kiện này yếu hơn tính khả vi của các hệ số. Đồng thời các tác giả cũng
chứng minh được một đồng nhất thức tương tự đồng nhất thức Lagrange,
với các phép chiếu khả vi tùy ý, kết quả được trình bày trong không gian
phức.
Thay cho một ma trận duy nhất xảy ra trong thiết lập tiêu chuẩn, thuật
ngữ đầu tiên của phương trình vi phân tuyến tính là sự xuất hiện của cặp

ma trận. Khi đó khái niệm chỉ số được đưa ra cho các hệ phương trình. Các
hệ số được giả thiết là liên tục và chỉ một vài không gian con có cùng số
chiều là phải khả vi liên tục. Cách giải của bài toán có chỉ số cao hơn được
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
chứng minh nhờ vào phương tr ình có chỉ số thấp hơn. Nghiệm đại diện
phải dựa trên nghiệm của một số phương trình vi phân thường chính qui
được xác định duy nhất bởi các dữ kiện của bài toán. Các giả thiết cho cách
giải phải thống nhất cả phương trình gốc và phương trình liên hợp của nó.
Cả hai phương trình có các chỉ số giống nhau và đồng thời triệt tiêu. Ma
trận nghiệm cơ bản thỏa mãn mối ràng buộc là tổng quát hóa đồng nhất
thức Lagrange.
Bản luận văn này được chia làm 2 chương:
Chương 1: Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình liên
hợp của nó.
Chương này trình bày các kiến thức cơ sở, khái niệm về phương trình vi
phân đại số chỉ số 1 và phương trình liên hợp của nó; chứng minh các tính
chất quan trọng của các phép chiếu chính tắc, chứng minh sự tồn tại duy
nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình liên hợp.
Chương 2: Phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và phương trình liên
hợp của nó.
Chương này nêu ra các khái niệm về phương trình vi phân đại số chỉ số
2 và phương trình liên hợp của nó; đưa ra cách giải của bài toán giá trị ban
đầu đối với phương trình vi phân đại số chỉ số 2; trình bày mối quan hệ
giữa các hệ nghiệm cơ bản của phương trình chỉ số 2 và phương trình liên
hợp của nó.
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức và kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những
hạn chế và thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến
phản biện của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.

Tôi xin chân thành cảm ơn!
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chương 1
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ
CHỈ SỐ 1 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN
HỢP CỦA NÓ
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
1.1.1 Định nghĩa. Phương trình
A(t)x

(t)+B(t)x(t) = q(t) (1.1.1)
trong đó
+ A,B ∈ C(I,L(C
m
,C
m
)), detA(t) = 0, ∀t ∈ I.
+ x = colon(x
1
,. ,x
m
), q(t) = colon(q
1
(t), ,q
m
(t)),
được gọi là phương trình vi phân đại số tuyến tính.
Phương trình vi phân đại số tuyến tính được gọi là có dạng chuẩn nếu
nó có dạng như (1.1.1).

1.1.2 Định nghĩa. Ma trận hàm Q ∈ C(I, L(C
m
,C
m
)) được gọi là phép
chiếu nếu
Q
2
= Q, ∀t ∈ I
Kí hiệu P = I − Q với I là ma trận đơn vị cấp m, khi đó P cũng là một
phép chiếu, PQ = 0.
Nếu Q là phép chiếu thì imQ ⊕ kerQ = C
m
.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.1.3 Định nghĩa. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận hằng A nếu
nó là số bé nhất thỏa mãn kerA
k
= kerA
k+1
. Kí hiệu chỉ số của ma trận A
là ind(A), thế thì
ind(A) = min

k : kerA
k
= k erA
k+1


.
1.1.4 Định nghĩa. Cặp ma trận hằng
{
A,B
}
được gọi là chính quy nếu
det(zA + B) không đồng thời triệt tiêu với mọi z, tức là tồn tại z
0
∈ C sao
cho det(z
0
A + B) = 0.
1.1.5 Định nghĩa. Nếu cặp
{
A,B
}
chính quy và det(cA + B) = 0 với mọi
c ∈ C thì ind

(cA + B)
−1
A

được gọi là chỉ số của cặp
{
A,B
}
. Như vậy
ind
{

A,B
}
= ind

(cA + B)
−1
A

với c ∈ C.
1.2. Phương trình vi phân đại số chỉ số 1.
1.2.1 Định nghĩa. Phương trình
A(Px)

+ (B −AP

)x = q (1.2.1)
trong đó A,B : I −→ L(C
m
,C
m
), f : I −→ C
m
là những ma trận hàm thỏa
mãn các giả thiết sau:
(T
1
) dimimA(t) = r < m,∀t ∈ I.
(T
2
) Cặp ma trận (A(t), B(t)) là chính quy chỉ số 1 với ∀t ∈ I.

(T
3
) Tồn tại một phép chiếu Q ∈ C
1
(I,L (C
m
,C
m
)) lên kerA,
được gọi là phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 chuyển được
(index-1 tractable).
1.2.2 Ví dụ. Xét phương trình
A(Px)

+ (B −AP

)x = q (1.2.2)
trong đó
A(t) =

1 t
1 t

; B(t) =

0 1
1 0

; q =


t
t + 1

7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
m = 2, Q là phép chiếu bất kỳ lên kerA, P = I − Q.
Ta có
(T
1
) dimimA(t) = 1 < 2, ∀t.
(T
2
)
{
A(t),B(t)
}
là chính quy, vì tồn tại 0 ∈ C thỏa mãn
det(0A(t) + B(t)) = −1 = 0, ∀t.
Khi đó,
kerA(t) =

x ∈ C
2
: A(t)x = 0

=

(−tx
2
,x

2
)
T
: x
2
∈ C

,
imA(t) =

z ∈ C
2
: z = A(t)x

=

(z
1
,z
1
)
T
: z
1
∈ C

.
Giả sử x ∈ S(t) ∩ kerA(t),S(t) =
{
z ∈ C

m
: B(t)z ∈ imA(t)
}
, ∀t ∈ I
⇒ x ∈ kerA(t) : Bx ∈ imA(t), ∀t ∈ I
⇔ x = (−tx
2
,x
2
)
T
và x = (z
1
,z
1
)
T
⇔ −tx
2
= x
2
, ∀t ∈ I
⇔ x
2
= 0 ⇔ x = 0
⇒ S(t)⊕kerA(t) = C
2
⇔ ind(A(t),B(t)) = 1 ∀t ∈ I.
(T
3

) Tồn tại
Q =

−t −t(t + 1)
−1 1 −t

∈ C
1
(I,L (C
2
,C
2
))
là phép chiếu lên kerA.
Thậy vậy, rõ ràng Q ∈ C
1
(I,L (C
2
,C
2
)) và ∀x ∈ kerA : x = (−tz, z)
T
thì
Qx =

−t −t(t + 1)
−1 1 −t

−tz
z


=

−tz
z

= x, ∀t ∈ I.
Vậy (1.2.2) là phương tr ình vi phân đại số chỉ số 1.
1.2.3 Định nghĩa. Giả sử A,B ∈ C(I,L(C
m
,C
m
)), q ∈ C(I,C
m
). Một hàm
x ∈ C
1
A
(I,C
m
) được gọi là một nghiệm của phương trình (1.2.1) nếu nó
biến (1.2.1) thành đồng nhất thức.
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.3. Phân rã phương trình.
i. Xét phương trình (1.2.1) A(Px)

+ (B −AP

)x = q.

Đặt B
0
= B −AP

,A
1
= A +B
0
Q. Theo [8] Định lý 13 phụ lục A ta có A
1
khả nghịch. Nhân hai vế của (1.2.1) lần lượt với PA
−1
1
và QA
−1
1
ta được



L
s
Px = PA
−1
1
q
Q
s
x = QA
−1

1
q
(1.3.1)
với
L
s
z = z

+ (PA
−1
1
B
0
− P

)z, Q
s
z = Qz +QA
−1
1
BPz. (1.3.2)
Khi đó ta nói, phương trình (1.2.1) đã được phân rã thành hai phương
trình của hệ (1.3.1) trong đó phương trình thứ nhất là một phương trình vi
phân thường, phương trình thứ hai là một phương trình đại số.
ii. Ta có L
s
z = z

+ (PA
−1

1
B
0
− P

)z với z ∈ C
1
(I,C
m
) là hoàn toàn xác
định và bài toán giá trị ban đầu



L
s
z = g g ∈ C(I, C
m
)
z(t
0
) = z
0
t
0
∈ I, z
0
∈ C
m
(1.3.3)

có nghiệm duy nhất trong C
1
(I,C
m
). Hơn nữa, nghiệm z ∈ imP(t) nếu
z
0
∈ imP(t
0
) và g(t) ∈ imP(t). Thật vậy, do phương trình (1.2.1) không
phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P nên L
s
cũng không phụ thuộc vào
cách chọn phép chiếu P. Với g ∈ imP(t),∃h : I → C
m
sao cho g = Ph.
Xét q = A
1
h ⇒ h = A
−1
1
q ⇒ g = PA
−1
1
q. Ta có bài toán giá trị ban
đầu



L

s
z = PA
−1
1
q
z(t
0
) = z
0
có nghiệm duy nhất z ∈ C
1
(I,C
m
). Lại theo phương
trình thứ nhất của hệ (1.3.1), bài toán giá trị ban đầu



L
s
Px = PA
−1
1
q
Px(t
0
) = z
0
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

có nghiệm duy nhất Px ∈ C
1
(I,C
m
). Do tính duy nhất nghiệm của bài toán
giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân thường ta được z = Px ∈ imP.
iii.
Q
s
= Q + QA
−1
1
BP = QA
−1
1
BP = QA
−1
1
[A
1
+ BP]
= QA
−1
1
[A + BQ −AP

Q + BP]
= QA
−1
1

A(I − P

Q) + QA
−1
1
B
= QA
−1
1
B( vì P = A
−1
1
)
⇒ Q
s
= QA
−1
1
B (1.3.4)
Q
s
là phép chiếu chính tắc lên kerA dọc S(t) =
{
z ∈ C
m
: B(t)z ∈ imA(t)
}
.
1.4. Các phép chiếu chính tắc.
Đặt




P
∗s
= A
∗−1
1
P
∗
A
∗
1
= A
∗−1
1
A
∗
Q
∗s
= I − P
∗s
= A
∗−1
1
Q
∗
A
∗
1

(1.4.1)
Ta có P
2
∗s
= P
∗s
⇒ P
∗s
là một phép chiếu.
1.4.1 Bổ đề. Các phép chiếu P
∗s
,Q
∗s
là hoàn toàn độc lập với cách chọn
phép chiếu P ∈ C
1
(I,L (C
m
,C
m
)). Hơn nữa,
dimimP
∗s
= r, dimimQ
∗s
= m − r.
Chứng minh. Ký hiệu
˜
P là phép chiếu trực giao lên imA
∗

dọc theo kerA
(chiếu trực giao). Ta có
˜
P xác định và
˜
P = A
+
A ([8] Định lý 5 phụ lục A).
Do P ∈ C
1
(I,L (C
m
,C
m
)) và
˜
P = P
+
P nên
˜
P ∈ C
1
(I,L (C
m
,C
m
)). Ta chỉ
cần chứng minh P
∗s
=

˜
P
∗s
với
˜
P
∗s
được định nghĩa tương tự như P
∗s
. Kí
hiệu
˜
A
1
= A + (B − A
˜
P

)
˜
Q, R = A
∗
− A
∗
1
˜
A
∗−1
1
A

∗
. Ta có
˜
P
∗
=
˜
P,
˜
Q
∗
=
˜
Q,
˜
PQ = P
˜
Q = 0
⇒ P
˜
P = P,
˜
PP =
˜
P, Q
˜
Q =
˜
Q,
˜

QQ = Q,
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
AP

= A(P
2
)

= AP

(I − Q) +APP

= 2AP

= 2AP

− AP

Q
⇒ AP

= AP

Q.
Từ đó
P
∗
R = P
∗

[A
∗
− A
∗
1
˜
A
∗−1
1
A
∗
= A
∗
− A
∗
˜
A
∗−1
1
A
∗
= A
∗
−
˜
P
∗
A
∗
= 0

Q
∗
R = Q
∗
[A
∗
− A
∗
1
˜
A
∗−1
1
A
∗
= −Q
∗
[A
∗
+ Q
∗
B
∗
0
]
˜
A
∗−1
1
A

∗
= −Q
∗
[B
∗
− P
∗

A
∗
]
˜
A
∗−1
1
A
∗
= [−Q
∗
B
∗
+ (AP

)
∗
]
˜
A
∗−1
1

A
∗
= [−Q
∗
B
∗
− Q
∗

A
∗
]
˜
A
∗−1
1
A
∗
= [−(
˜
QQ)
∗
B
∗
− (
˜
QQ)
∗

A

∗
]
˜
A
∗−1
1
A
∗
= −Q
∗
(
˜
Q
∗
B
∗
+
˜
Q
∗

A
∗
)
˜
A
∗−1
1
A
∗

= −Q
∗
[A
∗
+ (
˜
Q
∗
B
∗
−
˜
Q
∗
˜
P

A
∗
)]
˜
A
∗−1
1
A
∗
= −Q
∗
(A + B
0

˜
Q)
∗
˜
A
∗−1
1
A
∗
= −Q
∗
˜
A
∗
1
˜
A
∗−1
1
A
∗
= 0
⇒ R = P
∗
R + Q
∗
R = 0 ⇔ A
∗
= A
∗

1
˜
A
∗−1
1
A
∗
⇔ A
∗−1
1
A
∗
=
˜
A
∗−1
1
A
∗
⇔ P
∗s
=
˜
P
∗s
Vậy P
∗s
(do đó Q
∗s
) không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P. Hơn

nữa, dimimP
∗s
= dimimA
∗−1
1
A
∗
= dimimA
∗
= r,
dimimQ
∗s
= dimkerP
∗s
= m − r.
Đặt A
∗1
= A
∗
− B
∗
0
Q
∗
= A
∗
− B
∗
Q
∗

, trong đó Q
∗
là phép chiếu lên
kerA
∗
,P
∗
= I = Q
∗
,
˜
P
∗
là phép chiếu trực giao lên imA dọc kerA
∗
khi đó
˜
P
∗
= AA
+
. Ta có ind
{
A
∗
(t),B
∗
(t)
}
= ind

{
A(t),B(t)
}
. Dễ thấy
ind
{
A
∗
(t),−B
∗
(t)
}
= 1 và A
∗1
(t) khả nghịch ∀t ∈ I nên giả thiết (T
2
) được
thỏa mãn. Ta có
A
∗1
Q
∗
= −B
∗
Q
∗
⇒ Q
∗
∗
B = −Q

∗
∗
A
∗
∗1
.
Hơn nữa
QA
−1
1
= −A
∗−1
∗1
Q
∗
∗
(1.4.2)
Thật vậy, nhân trái từng vế (1.4.2) với A
∗
∗1
và nhân phải từng vế (1.4.2)
với A
1
ta được
A
∗
∗1
QA
−1
1

A
1
= A
∗
∗1
Q = −Q
∗
∗
BQ,
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
−A
∗
∗1
A
∗−1
∗1
Q
∗
∗
A
1
= −Q
∗
∗
(A + BQ −AP

Q) = −Q
∗
∗

BQ.
Từ đó
Q
s
= QA
−1
1
B = −A
∗−1
∗1
Q
∗
∗
B = A
∗−1
∗1
Q
∗
∗
A
∗
∗1
,P
s
= I − Q
s
= A
∗−1
∗1
P

∗
∗
A
∗
∗1
(1.4.3)
Rõ ràng Q
s
= QA
−1
1
B không phụ thuộc cách chọn phép chiếu Q
∗
, nhưng
Q
s
= A
∗−1
∗1
Q
∗
∗
A
∗
∗1
lại không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu Q. Để
khẳng định điều đó ta có bổ đề sau.
1.4.2 Bổ đề. Giả sử dimimP
∗
= r, các phép chiếu P

s
,Q
s
như trong (1.4.3)
là hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu Q hoặc
Q
∗
. Hơn nữa, dimimP
s
= r, dimimQ
s
= m − r.
Chứng minh.
Theo chứng minh trên, rõ ràng Q
s
(P
s
) là hoàn toàn xác định không phụ
thuộc vào cách chọn phép chiếu Q hoặc Q
∗
.
dimimP
s
= dimimA
∗−1
∗1
P
∗
∗
A

∗
∗1
= dimimP
∗
∗
= r
(do dimimA
∗−1
∗1
= dimimA
∗
∗1
= m) ⇒ dimimQ
s
= m − r.
1.4.3 Chú ý.
Q
s
= QA
−1
1
B = A
∗−1
∗1
Q
∗
∗
A
∗
∗1

, P
s
= A
∗−1
∗1
P
∗
∗
A
∗
∗1
= A
∗−1
∗1
(A
∗1
P
∗
)
∗
= A
∗−1
∗1
A.
Nói chung Q
∗
= Q
∗
, P
∗

= P
∗
,
˜
P
∗
=
˜
P
∗
(vì Q và Q
∗
đều là các phép chiếu
tùy ý). Đặc biệt ta có
˜
P
∗
= AA
+
;
˜
P
∗
=
˜
P = A
+
A ⇒
˜
P

∗
=
˜
P
∗
⇔ imA = imA
∗
.
Rõ ràng nếu A là ma trận tự liên hợp thì
˜
P
∗
=
˜
P
∗
.
1.4.4 Hệ quả. kerA = imQ
s
, kerA
∗
= imQ
∗s
.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Do Q
s
là phép chiếu chính tắc lên kerA nên imQ
s

⊂ kerA.
Lại do dimimQ
s
= m − r = dimkerA (theo Bổ đề 1.4.2) ⇒ imQ
s
= kerA.
Từ công thức (1.4.2) QA
−1
1
= −A
∗−1
∗1
Q
∗
∗
suy ra
A
∗−1
1
Q
∗
= −Q
∗
A
−1
∗1
⊂ imQ
∗
= k erA
∗

⇒ Q
∗s
= A
∗−1
1
Q
∗
A
∗
1
⊂ k erA
∗
.
Từ Bổ đề 1.4.1⇒ dimimQ
∗s
= m − r = dimkerA
∗
.
Vậy imQ
∗s
= k erA
∗
.
Đặt
A
r
(P) = PA
−1
1
, A

∗r
(P
∗
) = (P
∗
A
−1
∗1
)
∗
(1.4.4)
Ta có A
r
(P),A
∗r
(P
∗
) là nghịch đảo phản xạ của A. Thật vậy,
A
r
(P)AA
r
(P) = PA
−1
1
APA
−1
1
= PA
−1

1
= A
r
(P)
AA
r
(P)A = APA
−1
1
A = A
A
∗r
(P
∗
)AA
∗∗
(P
∗
) = (P
∗
A
−1
∗1
)
∗
A(P
∗
A
−1
∗1

)
∗
= (P
∗
A
−1
∗1
A
∗
P
∗
A
−1
∗1
)
∗
= (P
∗
A
−1
∗1
)
∗
= A
∗r
(P
∗
)
AA
∗r

(P
∗
)A = A(P
∗
A
−1
∗1
)
∗
A = (A
∗
P
∗
A
−1
∗1
A
∗
)
∗
= A.
Theo định nghĩa, với mỗi nghịch đảo phản xạ tổng quát A
−
của A, các
tích AA
−
và A
−
A đều là những phép chiếu. Trong trường hợp này:
+ A

−
= A
r
(P) ⇒ AA
r
(P) = APA
−1
1
= AA
−1
1
= (A
∗−1
1
A
∗
)
∗
= P
∗
∗s
= A
r
(P)A = PA
−1
1
A = P.
+ A
−
= A

∗r
(P
∗
) ⇒ AA
∗r
(P
∗
) = A(P
∗
A
−1
∗1
)
∗
= (P
∗
A
−1
∗1
A
∗
)
∗
= P
∗
∗
A
∗r
(P
∗

)A = (P
∗
A
−1
∗1
)
∗
A = (A
∗
P
∗
A
∗−1
∗1
)
∗
= A
∗−1
∗1
A = P
s
.
Vậy ta có
P
∗s
= A
∗
r
(P)A
∗

; P
s
= A
∗r
(P
∗
)A. (1.4.5)
Theo Bổ đề 1.4.1 và Bổ đề 1.4.2, cả P
s
và P
∗s
đều không phụ thuộc vào
phép chiếu P, P
∗
trong khi đó công thức (1.4.5) cho ta thấy sự phụ thuộc
của chúng vào P và P
∗
.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.5. Cách giải phương trình vi phân đại số gốc chỉ số 1.
Ta viết lại phương trình (1.2.1) chỉ số 1 dưới dạng
(AP + (B −AP

)Q
0
  
G
1
)


P
−
(Px)

+ Q
0
x

+ (B −AP

)P
0
x = q.
Nghịch đảo của G
1
là tồn tại và gộp với G
−1
1
dẫn đến
P
−
(Px)

+ Q
0
x + G
−1
1
(B − AP


)P
0
x = G
−1
1
q. (1.5.1)
Nhân P
0
và Q
0
lần lượt vào hai vế của phương trình (1.5.1) ta được
R(Px)

+ PG
−1
1
(B − AP

)P
0
x = PG
−1
1
q, (1.5.2)
Q
0
x + Q
0
G

−1
1
(B − AP

)P
0
x = Q
0
G
−1
1
q. (1.5.3)
Vì vậy, một nghiệm x ∈ C
1
P
(nếu nó tồn tại ) có thể có dạng
x = P
0
x + Q
0
x = P
−
Px + Q
0
x = (I −Q
0
G
−1
1
(B − AP


))P
−
Px + Q
0
G
−1
1
q,
trong đó Px thỏa mãn phương trình vi phân thường
(Px)

− R

Px + PG
−1
1
(B − AP

)P
−1
Px = PG
−1
1
q. (1.5.4)
Phương trình sau là phương trình tương đương với phương trình (1.5.2) khi
RP = P. Nhân 2 vế phương trình
u

− R


u + PG
−1
1
(B − AP

)P
−
u = PG
−1
1
u (1.5.5)
với (I − R) ta được
((I − R)u)

− (I − R)

(I − R)u = 0.
Do đó, mỗi nghiệm u của phương trình (1.5.5) thỏa mãn u = Ru nếu
u(
˜
t) = R(
˜
t)u(
˜
t) đúng tại một số điểm
˜
t ∈ I. Nói cách khác, imR = imP có
dạng là một không gian con bất biến của phương trình (1.5.5).
14

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.5.1 Định nghĩa. Phương trình (1.5.5) được gọi là phương trình vi phân
thường chính qui của phương trình (1.2.1) chỉ số 1.
Để tiện cho các định lý sau ta gọi nó là chỉ số 1, tức là N
0
∩S
0
=
{
0
}
, là
tương đương với N
0
⊕ S
0
= C
m
. Điều này cho phép ta xét một phép chiếu
đặc biệt P
0
c
lên S
0
dọc theo N
0
. Nếu P
0
là tùy ý, cố định phép chiếu dọc
theo N

0
, ta được
P
0
c
= I − Q
0
G
−1
1
(B − AP

) (1.5.6)
rõ ràng P
0
c
là liên tục.
1.5.2 Định lý. Cho phương trình (1.2.1) là chỉ số 1 chuyển được.
i) Với mỗi q ∈ C(I,C
m
), d ∈ imP(t
0
), t
0
∈ I, bài toán giá trị ban đầu
A(Px)

+ (B −AP

)x = q, P(t

0
)x(t
0
) = d (1.5.7)
có nghiệm duy nhất trong C
1
P
.
ii) (1.2.1) có nhiễu chỉ số 1 ( has perturbation index-1).
iii) Có đúng một nghiệm của phương trình thuần nhất qua mỗi điểm
(t
0
,x
0
), t
0
∈ I, x
0
∈ S
0
(t
0
).
Chứng minh.
i) Đầu tiên ta tìm nghiệm xác định duy nhất u ∈ C
1
của phương trình
vi phân thường chính qui với điều kiện ban đầu u(t
0
) = d, rồi ta xây dựng

hàm
x = P
0
c
P
−
u + Q
0
G
−1
1
q ∈ C (1.5.8)
Có Px = PP
0
c
P
−
u = PP
−
u = Ru = u ∈ C
1
và P(t
0
)x(t
0
) = u(t
0
) = d. Khi
đó (1.5.2) - (1.5.3) sẽ biểu diễn x thỏa mãn phương trình vi phân đại số.
Giả sử rằng ˜x ∈C

1
P
cũng là một nghiệm của bài toán (1.5.7) khác nghiệm
x được xây dựng ở trên. Khi đó, ˆx = ˜x − x thỏa mãn (1.5.7) với q = 0 và
d = 0. Từ phương trình (1.5.4) ta được P ˆx = 0. Do đó P
0
ˆx = P
−
P ˆx = 0.
Phương trình (1.5.3) trở thành
Q
0
ˆx = 0 tức là ˜x = x + ˆx = x + P
0
ˆx + Q
0
ˆx = 0, điều này trái với giả thiết
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ii) Cho I là một khoảng compact. Ta so sánh nghiệm x
q
của phương
trình (1.5.7) và nghiệm x ∈ C
1
P
của phương trình thuần nhất có chung điều
kiện ban đầu. Cho các nghiệm tương ứng u
q
và u của phương trình vi phân
thường chính qui. Bất đẳng thức

u
q
− u ≤ K
1
PG
−1
1
q
∞
,
là đúng với K
1
là một hằng số. Vì vậy
x
q
− x
∞
= P
0c
P
−
(u
q
− u) +Q
0
G
−1
1
q
∞

≤ K
2
q
∞
,
đúng với K
2
là một hằng số.
iii) x
0
∈ S (t
0
) nghĩa là x
0
= P
0
c
(t
0
)x
0
= P
0
c
(t
0
)P
−
(t
0

)P(t
0
)x
0
. Nghiệm
của phương trình thuần nhất với điều kiện ban đầu P(t
0
)x(t
0
) = P(t
0
)x
0
là
x = P
0
c
P
−
u, do đó
x(t
0
) = P
0
c
(t
0
)P
−
(t

0
)u(t
0
) = P
0
c
(t
0
)P
−
(t
0
)P(t
0
)x
0
= x
0
và định lý được chứng minh.
1.5.3 Chú ý.
Điều kiện ban đầu P(t
0
)x(t
0
) = d ∈ imP(t
0
) có thể thay bởi
P(t
0
)x(t

0
) = P(t
0
)x
0
, x
0
∈ C
m
. (1.5.9)
Sự lựa chọn này có lợi là x
0
vẫn thuộc C
m
. Đặc biệt, phương trình biến
phân cho X = x

x
0
∈ C
1
P
(I,L (C
m
)) có dạng
A(PX)

+ (B −AP

)X = 0, P(t

0
)(X(t
0
) − I) = 0.
Bài toán ma trận này sẽ được giải trong mục kế tiếp. Tuy nhiên, khi
điều kiện ban đầu (1.5.9) được thiết lập ta có thể đưa vào phép biến đổi,
nói chung x(t
0
) = x
0
. Sự trùng hợp ngẫu nhiên x(t
0
) = x
0
xảy ra nếu x
0
là
thích hợp nghĩa là nếu Q
0
c
x
0
= Q
0
G
−1
1
q(t
0
).

16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
1.6. Phương trình liên hợp của phương trình chỉ số 1.
1.6.1 Định nghĩa. Phương trình
(A
∗
φ)

− B
∗
φ = s (1.6.1)
với A,B : I → L(C
m
,C
m
), s : I −→ C
m
thỏa mãn 3 giả thiết (T
1
), (T
2
), (T
3
)
được gọi là phương trình liên hợp của phương trình vi phân đại số(1.2.1)
chỉ số 1.
Không gian hàm C
1
∗A
(I,C

m
) =

φ ∈ C(I, C
m
) : A
∗
φ ∈ C
1
(I,C
m
)

là
hoàn toàn xác định và không phụ thuộc vào P, P
∗
với
A,B ∈ C
1
(I,L (C
m
,C
m
)), s ∈ C(I,C
m
).
1.6.2 Ví dụ. Xét phương trình (1.2.2) A(Px)

+ (B −AP


)x = q trong đó
A =

1 t
t 1

; B =

1 0
0 1

; q =

t
t + 1

và P = I − Q trong đó Q là phép chiếu bất kỳ lên kerA. Theo 1.2.2 ta có
(1.2.2) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1. Khi đó phương trình
(A
∗
φ)

− B
∗
φ = s (1.6.2)
với A
∗
=

1 t

t 1

; B
∗
=

1 0
0 1

; s : I → C
m
liên tục bất kỳ, là phương
trình liên hợp của phương trình (1.2.2).
1.6.3 Định nghĩa. Một hàm φ ∈ C
1
∗A
(I,C
m
) được gọi là một nghiệm của
(1.5.1) nếu nó biến (1.5.1) thành đồng nhất thức.
1.6.4 Chú ý.
+ Trường hợp đặc biệt A = I, ta xét các phương trình thuần nhất có
dạng Lx = 0 ⇔ x

= −Bx, L
∗
φ = 0 ⇔ φ

= B
∗

φ. Khi đó ta trở lại khái
niệm phương trình liên hợp đối với phương trình vi phân thường.
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
+ Nếu A khả vi thì L
∗
có thể được viết dưới dạng
L
∗
φ = (A
∗
φ)

− B
∗
φ = A
∗
φ

− (B
∗
− A
∗
)φ.
Ta có ind
{
A(t),B(t)
}
= ind
{

A
∗
(t),B
∗
(t)
}
, và nếu ind
{
A(t),B(t)
}
= 1
thì
ind

A
∗
(t),B
∗
(t)−A
∗

(t)

= ind
{
A(t),B(t)
}
= 1.
Khi đó phương trình liên hợp có chỉ số 1 nếu phương trình ban đầu cũng
có chỉ số 1.

1.6.5 Chú ý. Từ công thức QA
−1
1
= −A
∗−1
∗1
Q
∗
∗
ta suy ra
A
∗−1
1
Q
∗
= −Q
∗
A
−1
∗1
.
Từ đó nhân hai vế của phương trình (1.6.1) với Q
∗
A
−1
∗1
ta được
Q
∗
A

−1
∗1
(A
∗
φ)

− Q
∗
A
−1
∗1
B
∗
φ = Q
∗
A
−1
∗1
s
⇔ −A
∗−1
1
Q
∗
(A
∗
φ)

+ A
∗−1

1
Q
∗
B
∗
φ = Q
∗
A
−1
∗1
s
⇔ A
∗−1
1
[Q
∗

(A
∗
φ)] + A
∗−1
1
Q
∗
B
∗
φ = Q
∗
A
−1

∗1
s
⇔ A
∗−1
1
[Q
∗

A
∗
+ Q
∗
B
∗
]φ = Q
∗
A
−1
∗1
s
⇔ A
∗−1
1
[Q
∗
B
∗
+ Q
∗
Q

∗

A
∗
]φ = Q
∗
A
−1
∗1
s
⇔ A
∗−1
1
Q
∗
[B
∗
− P
∗

A
∗
]φ = Q
∗
A
−1
∗1
s
⇔ A
∗−1

1
Q
∗
[A
∗
+ Q
∗
B
∗
0
]φ = Q
∗
A
−1
∗1
s
⇔ A
∗−1
1
Q
∗
A
∗
1
φ = Q
∗
A
−1
∗1
s

⇔ Q
∗s
φ = Q
∗
A
−1
∗1
s. (1.6.3)
1.7. Tính giải được duy nhất của phương trình liên hợp.
Ta đã biết bài toán giá trị ban đầu



A(Px)

+ (B −AP

)x = q
P(t
0
)x(t
0
) = Px
0
với giả thiết A,B ∈ C(I,L(C
m
,C
m
)), q ∈ C(I, C
m

) có nghiệm duy nhất
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
x ∈ C
1
A
(I,C
m
). Bây giờ ta xét vấn đề trên đối với phương trình vi phân đại
số liên hợp (1.6.1).
1.7.1 Bổ đề. Phương trình
L
∗
φ = s (1.7.1)
với s ∈ imP
∗
luôn có nghiệm φ ∈ imP
∗s
.
Chứng minh.
Ta xét toán tử liên hợp L
∗
s
của L
s
được xác định như sau
L
∗
s
ω = ω


− (B
∗
0
A
∗−1
1
P
∗
− P
∗

)ω (1.7.2)
với ω ∈ C
1
(I,C
m
). Bài toán giá trị ban đầu



L
∗
s
ω = h
ω(t
0
) = ω
0
(1.7.3)

với h ∈ C(I, C
m
), t
0
∈ I, ω
0
∈ C
m
có nghiệm duy nhất trong C
1
(I,C
m
).
Gọi ω là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.6.3). Khi đó ta có
P
∗
ω ∈ C
1
(I,C
m
) và
(P
∗
ω)

− (P
∗

+ P
∗

B
∗
0
A
∗−1
1
)P
∗
ω = P
∗
h. (1.7.4)
Thật vậy, do ω ∈ C
1
(I,C
m
) và P ∈ C
1
(I,L (C
m
,C
m
)) nên
P
∗
ω ∈ C
1
(I,C
m
). Từ L
∗

s
ω = h, nhân trái hai vế với P
∗
ta được
P
∗
ω

− P
∗
(B
∗
0
A
∗−1
1
P
∗
− P
∗

)ω = P
∗
h
⇔ (P
∗
ω)

− P
∗

B
∗
0
A
∗−1
1
P
∗
ω − P
∗

ω + P
∗
P
∗

ω = P
∗
h
⇔ (P
∗
ω)

− P
∗
B
∗
0
A
∗−1

1
P
∗
ω − P
∗

P
∗
ω = P
∗
h.
Đặt u = A
+∗
P
∗
ω (A
+
là nghịch đảo Moore-Penrose của A), khi đó ta có
u ∈ C(I, C
m
) và A
∗
u ∈ C
1
(I,C
m
).
Thật vậy, A
∗
u = A

∗
A
+∗
P
∗
ω = (A
+
A)
∗
P
∗
ω = P
∗
ω ∈ C
1
(I,C
m
)
nên
A
∗
u = P
∗
ω và u ∈ C
1
∗A
(I,C
m
). (1.7.5)
19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Ta có
P
∗
A
∗
1
= A
∗
, A
∗
= A
∗
A
∗−1
1
A
∗
, Q
∗
B
∗
0
= Q
∗
A
∗
1
và P
∗s

= A
∗−1
1
A
∗
.
Theo giả thiết s ∈ imP
∗
⇒ ∃h ∈ C(I, C
m
) : s = P
∗
h (do s ∈ C(I,C
m
)). Từ
(1.7.4) và (1.7.5) ta suy ra
P
∗
h = (A
∗
u)

− (P
∗

+ P
∗
B
∗
0

A
∗−1
1
)A
∗
u
= (A
∗
u)

− (P
∗

A
∗
+ B
∗
0
A
∗−1
1
A
∗
)u
= (A
∗
A
∗−1
1
A

∗
u)

− (P
∗

A
∗
A
∗−1
1
A
∗
+ B
∗
0
A
∗−1
1
A
∗
− Q
∗
A
∗
1
A
∗−1
1
A

∗
)u
= (A
∗
A
∗−1
1
A
∗
u)

− (B
0
+ P
∗

A
∗
)
∗
A
∗−1
1
A
∗
u
= (A
∗
A
∗−1

1
A
∗
u)

− B
∗
(A
∗−1
1
A
∗
u)
= (A
∗
(P
∗s
u))

− B
∗
(P
∗s
u)
⇔ L
∗
(P
∗s
u) = P
∗

h.
⇒ Phương trình L
∗
φ = s = P
∗
h có nghiệm φ = P
∗s
u.
Vậy phương trình L
∗
φ = P
∗
h luôn luôn có nghiệm φ = P
∗s
u, trong đó
u = A
+∗
P
∗
ω,ω là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.7.3).
1.7.2 Chú ý. Ta có
P
∗s
u = A
∗
r
(P)ω. (1.7.6)
Thật vậy,
P
∗s

u = P
∗s
A
+∗
P
∗
ω = A
∗
r
(P)A
∗
A
+∗
P
∗
ω = A
∗
r
(P)(P
˜
P)
∗
ω = A
∗
r
(P)ω.
1.7.3 Bổ đề.
imP
∗
= imP

∗
s
. (1.7.7)
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh imA
∗
A
−1
∗1
= imP
∗
. Thật vậy ∀x ∈ imA
∗
A
−1
∗1
,
∃y ∈ C
m
: A
∗
A
−1
∗1
y = x. Xét z = A
∗
1
A
−1
∗1

y ∈ C
m
ta có
P
∗
z = P
∗
A
∗
1
A
−1
∗1
y = A
∗
A
∗−1
1
A
∗
1
A
−1
∗1
y = A
∗
A
−1
∗1
y = x ⇔ y ∈ imP

∗
.
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
∀x ∈ imP
∗
,∃y ∈ C
m
: P
∗
y = x. Xét z = A
∗1
A
∗−1
1
y ∈ C
m
ta có
A
∗
A
−1
∗1
z = A
∗
A
−1
∗1
A
∗1

A
∗−1
1
y = A
∗
A
∗−1
1
y = P
∗
y = x ⇒ x ∈ imA
∗
A
−1
∗1
.
Từ đó ta có imP
∗s
= im(A
∗−1
∗1
A)
∗
= imA
∗
A
−1
∗1
= imP
∗

.
1.7.4 Định lý. Với các giả thiết (T
1
),(T
2
),(T
3
), với φ
0
∈ C
m
và s ∈ C(I,C
m
)
bất kỳ, bài toán giá trị ban đầu



L
∗
φ = s
A
∗
(t
0
)[φ(t
0
) − φ
0
] = 0

(1.7.8)
có nghiệm φ ∈ C
1
∗A
(I,C
m
) sao cho A
∗
(t
0
)(φ(t
0
) − φ
0
) = 0.
Chứng minh.
Giả sử ω là nghiệm của phương trình vi phân thường L
∗
s
ω = P
∗
s
s với
giá trị ban đầu ω(t
0
) = A
∗
1
(t
0

)φ
0
. Theo Bổ đề 1.7.3 thì ∃h ∈ C(I,C
m
) :
P
∗
s
s = P
∗
h. Lại do P
s
P = P
s
nên có thể lấy h = P
∗
s
s. Theo Bổ đề 1.7.1 ta có
phương trình L
∗
φ = P
∗
s
s = P
∗
h có nghiệm φ
1
= P
∗s
A

+∗
P
∗
ω, hơn nữa φ
1
thỏa mãn φ
1
(t
0
) = P
∗s
(t
0
)φ
0
. Thật vậy,
φ
1
(t
0
) = P
∗s
(t
0
)A
+∗
(t
0
)P
∗

(t
0
)ω(t
0
) = P
∗s
(t
0
)A
+∗
(t
0
)P
∗
(t
0
)A
∗
1
(t
0
)φ
0
= P
∗s
(t
0
)A
+∗
(t

0
)A
∗
(t
0
)φ
0
= P
∗s
(t
0
)
˜
P
∗
(t
0
)φ
0
= A
∗−1
1
(t
0
)A
∗
(t
0
)
˜

P
∗
(t
0
)φ
0
= A
∗−1
1
(t
0
)A
∗
(t
0
)φ
0
= P
∗s
(t
0
)φ
0
.
Xét φ = φ
1
− Q
∗s
A
∗−1

1
s ∈ C(I,C
m
). Khi đó ta có A
∗
φ = A
∗
φ
1
∈ C
1
(I,C
m
)
⇒ φ ∈ C
1
∗A
(I,C
m
) và
L
∗
φ = L
∗
φ
1
− L
∗
(Q
∗s

A
∗−1
1
s)
= P
∗
s
s − (A
∗
Q
∗s
A
∗−1
1
s)

+ B
∗
Q
∗s
A
∗−1
1
s
= P
∗
s
s − (A
∗
A

∗−1
1
Q
∗
A
∗
1
A
∗−1
1
s)

+ B
∗
A
∗−1
1
Q
∗
A
∗
1
A
∗−1
1
s
= P
∗
s
s + B

∗
A
∗−1
1
Q
∗
s = P
∗
s
s + Q
s
∗
s = s.
A
∗
(t
0
)[φ(t
0
) − φ
0
] = A
∗
(t
0
)[(φ
1
− Q
∗s
A

∗−1
1
s)(t
0
) − φ
0
]
= A
∗
(t
0
)[P
∗s
(t
0
)φ
0
− φ
0
− (Q
∗s
A
∗−1
1
s)(t
0
)
= A
∗
(t

0
)[−Q
∗s
(t
0
)φ
0
− Q
∗s
(t
0
)A
∗−1
1
(t
0
)s(t
0
)] = 0.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Vậy φ là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.7.8), φ ∈ C
1
∗A
(I,C
m
).
1.7.5 Định lý. Với các giả thiết (T
1
,(T

2
),(T
3
)), với φ
0
∈ C
m
bất kỳ và s ∈
C(I,C
m
) thì nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.7.8) là duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử φ
1
,φ
2
là hai nghiệm bất kỳ của bài toán giá trị ban đầu (1.7.8).
Khi đó ta có



L
∗
(φ
1
− φ
2
) = 0 (∗)
A
∗

(t
0
)(φ
1
− φ
2
)(t
0
) = 0 (∗∗)
(∗) ⇔ [A
∗
(φ
1
− φ
2
)]

− B
∗
(φ
1
− φ
2
) = 0. Nhân hai vế với Q
∗
ta được
Q
∗
[A
∗

(φ
1
− φ
2
)]

− Q
∗
B
∗
(φ
1
− φ
2
) = 0
⇔ −Q
∗

A
∗
(φ
1
− φ
2
) − Q
∗
B
∗
(φ
1

− φ
2
) = 0
⇔ −[Q
∗

(P
∗
A
∗
) + Q
∗
B
∗
](φ
1
− φ
2
) = 0
⇔ −[−Q
∗
P
∗

A
∗
+ Q
∗
B
∗

](φ
1
− φ
2
) = 0
⇔ −[(B − AP

)Q]
∗
(φ
1
− φ
2
) = 0
⇔ −Q
∗
[A + B
0
Q]
∗
(φ
1
− φ
2
) = 0
⇔ Q
∗
A
∗
1

(φ
1
− φ
2
) = 0
⇒ A
∗
(φ
1
− φ
2
) = (A
∗
+ Q
∗
A
∗
1
)(φ
1
− φ
2
) = (P
∗
A
∗
1
+ Q
∗
A

∗
1
)(φ
1
− φ
2
)
⇒ A
∗
(φ
1
− φ
2
) = A
∗
1
(φ
1
− φ
2
).
Đặt ψ = A
∗
1
(φ
1
− φ
2
) = A
∗

(φ
1
− φ
2
) ∈ C
1
(I,C
m
)
⇒ (φ
1
− φ
2
) = A
∗−1
1
ψ.
Ta có



L
∗
(φ
1
− φ
2
) = 0
A
∗

(t
0
)(φ
1
− φ
2
)(t
0
) = 0
⇔



ψ

− B
∗
A
∗−1
1
ψ = 0
ψ(t
0
) = 0
(1.7.9)
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Do ψ

− B

∗
A
∗−1
1
ψ = 0 là phương trình vi phân thường thuần nhất với giá
trị ban đầu bằng 0 nên có nghiệm duy nhất
ψ = 0 ⇒ φ
1
− φ
2
= A
∗−1
1
= 0 ⇒ φ
1
= φ
2
.
Từ Định lý 1.7.4 và 1.7.5 ta thấy các giả thiết (T1)-(T3) là điều kiện đủ
để bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình liên hợp (1.6.8) có nghiệm
duy nhất.
1.7.6 Ví dụ. Xét phương trình
(A
∗
φ)

− B
∗
φ = 0 (1.7.10)
trong đó A =




1 0 0
1 0 1
0 0 1



; B =



1 1 0
1 2 1
1 0 1



; m = 3;
và điều kiện ban đầu
A
∗
(0)[φ(0) − φ
0
] = 0 (1.7.11)
với φ
0
= (2,−1,0)
T

. Ta có (1.7.10) là phương trình liên hợp của phương
trình vi phân đại số chỉ số 1 Ax

+ Bx = 0. Thật vậy,
(T 1)rankA = 2 < 3.
(T 2) Giả sử Q =



a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3




là phép chiếu lên k erA dọc S (chiếu chính
tắc).
kerA =

u = (x
1
,x
2
,x
3
)
T
: Au = 0

=

(0,x
2
,0)
T
: x
2
∈ C

,
imA =

(x
1
,x

1
+ x
3
,x
3
)
T
: x
1
,x
3
∈ C

⇒ S =

v ∈ C
3
: Bv ∈ imA

=

(x
1
,x
1
+ x
3
,x
3
)

T
: x
1
,x
3
∈ C

.
Ta có
Qu = u với ∀u ∈ kerA ⇒



a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c

3






0
x
2
0



=



0
x
2
0



∀x
2
∈ C
m
.

⇒ b
1
= b
3
= 0,b
2
= 1.
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Qv = v với ∀v ∈ S ⇒



a
1
0 c
1
a
2
1 c
2
a
3
0 c
3







x
1
x
2
x
3



=



x
1
x
2
x
3



∀x
1
,x
3
∈ C
m
⇒ a

1
= a
3
= 0,a
2
= −1,c
1
= c
2
= c
3
= 0.
⇒ Q =



0 0 0
−1 1 0
0 0 0



; P = I −Q =



1 0 0
1 0 0
0 0 1




; B
0
= B
A
1
= A + B
0
Q = A + BQ =



0 1 0
1 −2 1
0 0 1



,detA
1
= 0 nên A
1
khả nghịch.
Suy ra
{
A,B
}
chính qui chỉ số 1. Hơn nữa
A

−1
1
=



2 −1 1
1 0 0
0 0 1



; PA
−1
1
B
0
=



2 0 0
2 0 0
1 0 1



; B
∗
0

A
∗−1
1
P
∗
=



2 2 1
0 0 0
0 0 1



P
∗s
= A
∗−1
1
A
∗
=



2 1 0
−1 0 0
1 0 1







1 1 0
0 0 0
0 1 1



=



2 2 0
−1 −1 0
1 2 1



.
(T3) Hiển nhiên Q ∈ C
1
(I,L (C
m
,C
m
)) nên (T3) thỏa mãn.
Gọi ω là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu