quan hệ số khuyết cho đường cong chỉnh hình kết hợp với các siêu mặt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
P
n
(C)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2
q

j=1
δ
f
(H
j
)  n + 1,
f : C −→ P
n
(C)
H
1
, . . . , H
q
P
n
(C)
f : C −→ P
n
(C) D = {D
1
, . . . , D
q
}

d P
n
(C)
q

j=1
δ
f
(D
j
) 
n + 1
d
.
q

j=1
δ
f
(D
j
)  n + 1.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f : C −→ P
n
(C)
f : C −→ X X
P
n
(C)

f : C −→ P
n
(C)
f : C −→ X X k k ≤ n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f(z) D ⊂ C
z
0
∈ D k f
h(z) z
0
f
f(z) = (z − z
0
)
k
.h(z),
f(z
0
) = f

(z
0
) = = f
(k−1)
(z
0
) = 0 f
(k)

(z
0
) = 0
f(z) D f(z)
D f
f =
f
1
f
2
f
1
, f
2
z
0
k
f(z) z
0
k f
1
(z) z
0
k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f(z) z
0
k f
2
(z)

f z
0
ord
z
0
f
k
f(z)
(z − z
0
)
k
z
0
f(z) ≡ 0
{|z| ≤ R} 0 < R < +∞ a
µ
µ = 1, , M f b
ν
ν = 1, , N
f
z = re
iθ
(0 ≤ r < R), f(z) = 0, +∞
log |f(z)| =
1
2π
2π

0

log |f(Re
iϕ
)|
R
2
− r
2
R
2
− 2Rr cos(ϕ − θ) + r
2
dϕ
+
M

µ=1
log



R(z − a
µ
)
R
2
− a
µ
z




−
N

ν=1
log



R(z − b
ν
)
R
2
− b
ν
z



.
f(z) D
R
= {z ∈ C : |z| < R}
0 < R ≤ ∞ r < R x
log
+
x = max{0, log x}
m
f

(r, ∞) =
1
2π
2π

0
log
+
|f(re
iϕ
)|dϕ
f
m
f
(r, a) = m
1
f−a
(r, ∞) =
1
2π
2π

0
log
+



1
f(re

iϕ
) − a



dϕ,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
m
f
(r, a) f a ∈ C.
n
f
(r, ∞) n
f
(r, ∞)
f D
r
= {|z| ≤ r}
n
f
(r, a) = n
1
f−a
(r, ∞),
n
f
(r, a) = n
1
f−a
(r, ∞).

N
f
(r, ∞) = n
f
(0, ∞) log r +
r

0

n
f
(t, ∞) − n
f
(0, ∞)

dt
t
f
N
f
(r, ∞) = n
f
(0, ∞) log r +
r

0

n
f
(t, ∞) − n

f
(0, ∞)

dt
t
f
N
f
(r, a) = N
1
f−a
(r, ∞),
N
f
(r, a) = N
1
f−a
(r, ∞).
N
f
(r, 0) = (ord
+
0
f) log r +

z∈D
r
,z=0
(ord
+

z
f) log



r
z



.
T
f
(r) = m
f
(r, ∞) + N
f
(r, ∞)
f
T
f
(r, a) = T
1
f−a
(r, ∞)
T
f
(r, a) f a ∈ C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f ∼ a m

f
(r, a)
m
f
(r, a) f a N
f
(r, a)
f a T
f
(r)
T
f
(r, a) ≥ N
f
(r, a) + O(1),
O(1) r −→ ∞
T
f
(r) = T
f
(r, a) + log |f(0)|.
a
1
, , a
p
log
+




p

µ=1
a
µ



≤
p

µ=1
log
+
|a
µ
|
log
+



p

µ=1
a
µ




≤
p

µ=1
log
+
|a
µ
| + log p.
f
1
(z), , f
p
(z)
f(z) =
p

µ=1
f
µ
(z),
g(z) =
p

µ=1
f
µ
(z).
p
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

m
f
(r, ∞) ≤
p

µ=1
m
f
µ
(r, ∞) + log p.
m
g
(r, ∞) ≤
p

µ=1
m
f
µ
(r, ∞).
N
f
(r, ∞) ≤
p

µ=1
N
f
µ
(r, ∞).

N
g
(r, ∞) ≤
p

µ=1
N
f
µ
(r, ∞).
T
f
(r, ∞) ≤
p

µ=1
T
f
µ
(r, ∞) + log p.
T
g
(r, ∞) ≤
p

µ=1
T
f
µ
(r, ∞).

f ≡ 0
{|z| ≤ R} 0 < R ≤ ∞ a 0 ≤ r < R
(i) T
f
(r) = m
f
(r, 0)+ N
f
(r, 0)+ log |c
f
|.
(ii) a ∈ C
|T
f
(r) − m
f
(r, a) − N
f
(r, a)| ≤ | log |c
1
f−a
|| + log
+
|a| + log 2,
c
f
0 f
0 c
1
f−a

0
1
f − a
0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
T
f
(r, a) = T
f
(r) + O(1),
O(1) r −→ ∞
f(z) = a
f(z) a
a a a
f r > 0
N
ram,f
(r) = N
f

(r, 0) + 2N
f
(r, ∞) − N
f

(r, ∞)
f
f(z) C
a
1

, , a
q
, q ≥ 2 ε > 0
(q − 1)T
f
(r) + N
ram,f
(r) ≤
q

ν=1
N
f
(r, a
ν
) + N
f
(r, ∞) + log T
f
(r)
+ (1 + ε) log
+
log T
f
(r) + O(1)
r ≥ r
0
E ⊂ (0, +∞)
f(z) C a ∈ C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

δ
f
(a) = lim inf
r−→+∞
m
f
(r, a)
T
f
(r)
= 1 − lim sup
r−→+∞
N
f
(r, a)
T
f
(r)
f a
θ
f
(a) = lim inf
r−→+∞
N
f
(r, a) − N
f
(r, a)
T
f

(r)
f a
Θ
f
(a) = 1 − lim sup
r−→+∞
N
f
(r, a)
T
f
(r)
f a
f a ∈ C
0 ≤ δ
f
(a) ≤ Θ
f
(a) ≤ 1.
f C
a Θ
f
(a) > 0

a∈C∪{∞}
{δ
f
(a) + θ
f
(a)} ≤


a∈C∪{∞}
Θ
f
(a) ≤ 2.
δ
f
(a) + θ
f
(a) ≤ Θ
f
(a)
a
µ
, µ = 1, , q {r
n
} r
n
−→ ∞
n −→ ∞
log T
f
(r
n
) + (1 + ε) log
+
log T
f
(r
n

) + O(1) = o(T
f
(r
n
)).
q ≥ 2 n
(q − 1)T
f
(r
n
) + o(T
f
(r
n
)) ≤
q

ν=1
N
f
(r
n
, a
ν
) + N
f
(r
n
, ∞) − N
ram,f

(r
n
).
N
ram,f
(r) = N
f

(r
n
, 0) + 2N
f
(r
n
, ∞) − N
f

(r
n
, ∞).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(q − 1)T
f
(r
n
) + o(T
f
(r
n
))

≤
q

ν=1
N
f
(r
n
, a
ν
) − N
f

(r
n
, 0) + N
f

(r
n
, ∞) − N
f
(r
n
, ∞).
• N
f

(r
n

, ∞) − N
f
(r
n
, ∞)
f k b
ν
1 ≤ ν ≤ p
f(z) =
c
−k
(z − b
ν
)
k
+
f

(z) =
c

−k−1
(z − b
ν
)
k+1
+
b
ν
k + 1 f


log
r
n
|b
ν
|
k N
f
(r
n
, ∞) log
r
n
|b
ν
|
k + 1
N
f

(r
n
, ∞) log
r
n
|b
ν
|
N

f

(r
n
, ∞) − N
f
(r
n
, ∞)
N
f

(r
n
, ∞) − N
f
(r
n
, ∞) = N
f
(r
n
, ∞).
(q − 1)T
f
(r
n
) + o(T
f
(r

n
)) ≤
q

ν=1
N
f
(r
n
, a
ν
) + N
f
(r
n
, ∞) − N
f

(r
n
, 0).
•
q

ν=1
N
f
(r
n
, a

ν
) − N
f

(r
n
, 0).
b k f(z) = a
ν
1 ≤ ν ≤ q,
log
r
n
|b|
k
q

ν=1
N
f
(r
n
, a
ν
)
b k −1 f

(z) = 0 log
r
n

|b|
k − 1 N
f

(r
n
, 0)
q

ν=1
N
f
(r
n
, a
ν
) − N
f

(r
n
, 0) =
q

ν=1
N
f
(r
n
, a

ν
) − N
0,f

(r
n
, 0),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
N
0,f

(r
n
, 0) log
r
n
|z
0
|
z
0
f

(z) = 0 f(z) = a
ν
ν = 1, , q N
0,f

(r
n

, 0) ≥ 0
(q − 1)T
f
(r
n
) × o(T
f
(r
n
)) ≤
q

ν=1
N
f
(r
n
, a
ν
) + N
f
(r
n
, ∞).
T
f
(r
n
)
q


ν=1
N
f
(r
n
, a
ν
)
T
f
(r
n
)
+
N
f
(r
n
, ∞)
T
f
(r
n
)
≥ q − 1 +
o(T
f
(r
n

))
T
f
(r
n
)
.
r
n
−→ ∞
lim sup
r
n
−→+∞
q

ν=1
N
f
(r
n
, a
ν
)
T
f
(r
n
)
+ lim sup

r
n
−→+∞
N
f
(r
n
, ∞)
T
f
(r
n
)
≥ q − 1.
q

ν=1
lim sup
r
n
−→+∞
N
f
(r
n
, a
ν
)
T
f

(r
n
)
+ lim sup
r
n
−→+∞
N
f
(r
n
, ∞)
T
f
(r
n
)
≥ q − 1,
q

ν=1

1 − Θ
f
(a
ν
)

+


1 − Θ
f
(∞)

≥ q − 1.
q
q

ν=1
Θ
f
(a
ν
) + Θ
f
(∞) ≤ 2.
A = {a ∈ C : Θ
f
(a) > 0},
A
n
= {a ∈ C : Θ
f
(a) >
1
n
}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A = ∪
∞

n=1
A
n
A
n
2n A

a∈C∪{∞}
Θ
f
(a) ≤ 2.

f f(z) = a
N
f
(r, a) = 0 m
f
(r, a) = T
f
(r) + O(1) δ
f
(a) = 1
f f Θ
f
(∞) = 1

a∈C
Θ
f
(a) ≤ 1

f(z)
C f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f = (f
0
: : f
n
) : C −→ P
n
(C)
z −→ (f
0
(z) : : f
n
(z))
f
j
, j = 0, , n C
C P
n
(C)
P
n
(C) f
j
, j = 0, , n, f
f = (f
0
: : f
n

) : C −→ P
n
(C)
f
0
, , f
n
C (f
0
, , f
n
) : C −→ C
n+1
\ {0}
f
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f : C −→ P
n
(C)
f
P
n
(C) f
f
P
n
(C)
f (f
0
, , f

n
)
D d P
n
(C) Q
n + 1 d C
T
f
(r) =
1
2π
2π

0
log f(re
iθ
)dθ
f
f(z) = max{|f
0
(z)|, , |f
n
(z)|}.
m
f
(r, D) = m
f
(r, Q) =
1
2π

2π

0
log
f(re
iθ
)
d
|Q(f)(re
iθ
)|
dθ
f D
T
f
(r), m
f
(r, D)
f
n
f
(0, D) = ord
Q◦f
(0),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
n
f
(r, D) =

z∈C,|z|<r

ord
Q◦f
(z),
n
f
(0, D) = min{1, ord
Q◦f
(0)},
n
f
(r, D) =

z∈C,|z|<r
min{1, ord
Q◦f
(z)}.
N
f
(r, D) = N
f
(r, Q) =
r

0
n
f
(t, D) − n
f
(0, D)
t

dt + n
f
(0, D) log r
N
f
(r, D) = N
f
(r, Q) =
r

0
n
f
(t, D) − n
f
(0, D)
t
dt + n
f
(0, D) log r
f
D
f : C −→ P
n
(C)
D d P
n
(C)
f(C) ⊂ D r
m

f
(r, D) + N
f
(r, D) = dT
f
(r) + O(1),
O(1) r
δ
f
(D) = δ
f
(Q) = 1 − lim sup
r−→+∞
N
f
(r, Q)
dT
f
(r)
f D
f D
0 ≤ δ
f
(D) ≤ 1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(z
0
: : z
n
) P

n
(C)
X k, 1 ≤ k ≤ n q
D
1
, , D
q
P
n
(C) j = 1, , q D
j
Q
j
C[z
0
, , z
n
]
D
1
, , D
q
P
n
(C)
X q ≥ k + 1
k + 1 D
j
1
, , D

j
k+1
{x ∈ X|Q
j
1
(x) = = Q
j
k+1
(x) = 0} = ∅.
k = n D
1
, , D
q
P
n
(C)
Q
j
, j = 1, , q
P
n
(C) n + 1
H
j
, j = 1, , q P
n
(C)
q > n n + 1
P
n

(C)
φ
1
, , φ
m
C[z
0
, , z
n
]
P
n
(C) n − m
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
{φ
1
, , φ
m
} i = 1, , m φ
i
C[z
0
, , z
n
]
(φ
1
, , φ
i−1
)

.
N V
N
N C[z
0
, , z
n
]
φ
1
, , φ
n
C[z
0
, , z
n
]
P
n
(C) 0
N ≥
n

i=1
deg φ
i
dim
V
N
(φ

1
, , φ
n
) ∩ V
N
= deg φ
1
deg φ
n
.
(i
1
, , i
m
) m
m
N
m
(j
1
, , j
m
), (i
1
, , i
m
) m
N
m
(j

1
, , j
m
) > (i
1
, , i
m
)
b ∈ {1, , m} j
l
= i
l
l < b
j
b
> i
b
N
m
m (i) = (i
1
, , i
m
)
σ(i) =
m

j=1
i
j

R φ
1
, , φ
m
R q, q
1
, , q
h
∈ R
φ
i
1
1
φ
i
m
m
q =
h

r=1
φ
j
1
(r)
1
φ
j
m
(r)

m
q
r
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
(j
1
(r), , j
m
(r)) > (i
1
, , i
m
) r =
1, , h q ∈ I
m
m = 1 φ
1
R
q = φ
j
1
(1)−i
1
1
q
1
+ + φ
j
1

(h)−i
1
1
q
h
∈ I = (φ
1
).
m > 1 m−1 1, , h
s 0 ≤ s ≤ h j
1
(r) > i
1
, r = 1, , s
j
1
(r) = i
1
, r = s + 1, , h (j
1
(r), , j
m
(r)) > (i
1
, , i
m
)
j
1
(r) < i

1
φ
1
R
φ
i
2
2
φ
i
m
m
q =
s

r=1
φ
j
1
(r)−i
1
1
φ
j
m
(r)
m
q
r
+

h

r=s+1
φ
j
2
(r)
2
φ
j
m
(r)
m
q
r
= φ
1
.σ +
h

r=s+1
φ
j
2
(r)
2
φ
j
m
(r)

m
q
r
,
σ ∈ R R

= R/(φ
1
)
φ
i
2
2
φ
i
m
m
q =
h

r=s+1
φ
j
2
(r)
2
φ
j
m
(r)

m
q
r
,
(j
2
(r), , j
m
(r)) > (i
2
, , i
m
), r = s + 1, , m
{φ
2
, , φ
m
}
R

m − 1 {φ
2
, , φ
m
} R

q ∈ I

= (φ
2

, , φ
m
),
q =
m

i=2
a
i
φ
i
a
i
∈ R

.
q =
m

i=2
a
i
φ
i
+ a
1
φ
1
∈ I.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


γ
1
, , γ
n
∈ C[z
0
, , z
n
] d
P
n
(C)
V
N
, N ≥ nd γ
1
, , γ
n
I
N,d
= {(i) = (i
1
, , i
n
) ∈ N
n
|σ(i) ≤
N
d

}
(i) ∈ I
N,d
W
(i)
= W
N,(i)
W
(i)
=

(e)∈I
N,d
,(e)≥(i)
γ
e
1
1
γ
e
n
n
V
N−dσ(e)
.
W
(0,0, ,0)
= V
N
W

(i

)
⊂ W
(i)
(i

) > (i)
{W
(i)
, (i) ∈ I
N,d
} V
N
(i

) ≥ (i)
I
N,d
W
(i)
W
(i

)
∼
=
V
N−dσ(i)
(γ

1
, , γ
n
) ∩ V
N−dσ(i)
.
φ : V
N−dσ(i)
−→
W
(i)
W
(i

)
q −→ φ(q),
φ(q) γ
e
1
1
γ
e
n
n
q W
(i)
W
(i

)

W
(i)
W
(i)
W
(i

)
a + W
(i

)
a =

(e)≥(i)
a
e
a
e
∈ γ
e
1
1
γ
e
n
n
V
N−dσ(e)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

(e) ≥ (i) a
e
∈ γ
i
1
1
γ
i
n
n
V
N−dσ(i)
a ∈ γ
i
1
1
γ
i
n
n
V
N−dσ(i)
b ∈ V
N−dσ(i)
: φ(b) = a φ
Ker φ = (γ
1
, , γ
n
) ∩ V

N−dσ(i)
q ∈ Ker φ
γ
i
1
1
γ
i
n
n
q ∈ W
(i

)
=

(e)∈I
N,d
,(e)≥(i

)
γ
e
1
1
γ
e
n
n
V

N−dσ(e)
,
γ
i
1
1
γ
i
n
n
q ∈

(e)∈I
N,d
,(e)≥(i

)
γ
e
1
1
γ
e
n
n
q
(e)
=

(e)∈I

N,d
,(e)>(i)
γ
e
1
1
γ
e
n
n
q
(e)
,
q
(e)
∈ V
N−dσ(e)
q
γ
1
, , γ
n
q ∈ (γ
1
, , γ
n
) ∩ V
N−dσ(i)
.
q ∈ (γ

1
, , γ
n
) ∩ V
N−dσ(i)
q =

n
j=1
α
j
γ
j
α
j
, j = 1, , n deg α
j
= deg q − d
α
j
∈ V
N−d(σ(i)+1)
γ
i
1
1
γ
i
n
n

q =
n

j=1
γ
i
1
1
γ
i
j
+1
j
γ
i
n
n
α
j
.
γ
i
1
1
γ
i
n
n
q W
(i


)
q ∈ W
(i

)
q ∈ Ker φ 

(i)
W
(i)
/W
(i

)
N
0
γ
1
, , γ
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
dσ(i) < N − N
0

(i)
= dim
W
(i)
W

(i

)
= d
n
.
(i) dim
W
(i)
W
(i

)
dim V
N
0
deg γ
1
= = deg γ
n
= d
N − dσ(i) ≥ nd dσ(i) < N − N
0
N
0
γ
1
, , γ
n
dim

W
(i)
W
(i

)
= dim
V
N−dσ(i)
(γ
1
, , γ
n
) ∩ V
N−dσ(i)
= d
n
.
(i) dim
W
(i)
W
(i

)
dim V
N
0

f = (f

0
: : f
n
) : C −→ P
n
(C)
H
1
, , H
q
P
n
(C) L
j
, 1 ≤ j ≤ q
H
j
ε > 0
2π

0
max
K
log

j∈K
f(re
iθ
)L
j


|L
j
(f)(re
iθ
)|
dθ
2π
≤ (n + 1 + ε)T
f
(r),
r E
K
{1, , q} L
j
, j ∈ K
L
j
 L
j
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
P
n
(C)
f = (f
0
: : f
n
) : C −→ P
n

(C)
D
j
, j = 1, , q
d
j
P
n
(C) ε > 0
q

j=1
d
−1
j
m
f
(r, D
j
) ≤ (n + 1 + ε)T
f
(r),
r ∈ (0, +∞)
(f
0
, , f
n
) f Q
j
, j =

1, , q, d
j
C[z
0
, , z
n
]
D
j
d
1
= = d
q
= d
d d
j
Q
d/d
j
j
, j = 1, , q
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên