phương pháp điều khiển tối ưu để giảm tác động các loại hóa chất độc hại dùng trong trồng trọt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN





LÊ THỊ MINH TÂN




PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỂ GIẢM
TÁC ĐỘNG CÁC LOẠI HÓA CHẤT ĐỘC HẠI
DÙNG TRONG TRỒNG TRỌT

Chuyên nghành: Khoa học máy tính
M· sè: 60.48.01





LUẬN VĂN THẠC SĨ: KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. LÊ HUY THẬP


Thái Nguyên - 2010







Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nêu trong Luận văn là trung
thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Trừ
các phần tham khảo đã được nêu rõ trong Luận văn.


Tác giả



Lê Thị Minh Tân


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc của mình
tới thầy Lê Huy Thập – Tiến sỹ, Nghiên cứu viên chính Viện Công nghệ
thông tin, người đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Em xin bày tỏ sự biết ơn của mình tới các thầy, cô trong Viện Công
nghệ thông tin và Khoa Công nghệ thông tin – Đại học Thái Nguyên đã tận
tình truyền đạt kiến thức, phương pháp khoa học và kinh nghiệm cho em
trong suốt những năm học vừa qua.
Em cũng xin cảm ơn người thân, bạn bè, đồng nghiệp, những người đã
nhiệt tình ủng hộ, giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian tiến hành nghiên
cứu và thực hiện luận văn.
Trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, hạn chế, em rất mong
nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn để có thể sửa chữa,
hoàn thiện trong thời gian tới.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


i
MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iii
DANH MỤC CÁC BẢNG iii
MỞ ĐẦU 1
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục tiêu nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 1

3. Phạm vi nghiên cứu và ứng dụng 1
4. Ý nghĩa khoa học 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2
6. Cấu trúc của luận văn 2
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ TỐI ƢU 3
1.1. Giới thiệu về bài toán tối ƣu 3
1.2. Giới thiệu một số dạng bài toán tối ƣu 3
1.2.1. Bài toán vận tải (BTVT) 5
1.2.1.1. Phát biểu bài toán 5
1.2.1.2. Sự tồn tại nghiệm tối ƣu 7
1.2.1.3. Tiêu chuẩn nhận biết phƣơng án cực biên 7
1.2.2. Bài toán cái túi 10
1.2.2.1. Phát biểu bài toán 10
1.2.2.2. Thuật toán giải bài toán cái túi 10
1.2.3. Ứng dụng vào nghành nông nghiệp 11
1.2.4. Bài toán quy hoạch phi tuyến và nghiệm tối ƣu của nó 13
1.2.4.1. Phát biểu bài toán 13
1.2.4.2. Nghiệm tối ƣu 15
CHƢƠNG 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU 19

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


ii
2.1. Giới thiệu khái quát phƣơng pháp giải bài toán điều khiển tối ƣu bằng
phƣơng pháp nhân tử Lagrange 19
2.1.1. Giới thiệu 19
2.1.2. Bài toán thiết kế hệ thống nối đất chống st trong các công trnh
xây dƣ̣ ng 20
2.1.3. Bài toán xây dựng mạng cấp và phân phối nƣớc tối ƣu 22

2.2. Giới thiệu khái quát phƣơng pháp quy hoạch động Belman 25
2.2.1. Phƣơng pháp phƣơng trnh truy toán và các nguyên tắc cơ bản của
quy hoạch động 25
2.2.1.1. Bài toán phân phối một chiều và phƣơng pháp phƣơng trnh
truy toán 25
2.2.1.2. Các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động 27
2.2.2. Quá trnh nhiều giai đoạn và phƣơng trnh hàm 28
2.2.2.1. Quá trnh nhiều giai đoạn 28
2.2.2.2. Xây dựng phƣơng trnh hàm 30
2.2.3. Sơ đồ tính 31
CHƢƠNG 3. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU ĐỂ GIẢM TÁC ĐỘNG
CỦA CÁC LOẠI HÓA CHẤT ĐỘC HẠI DÙNG TRONG TRỒNG TRỌT 32
3.1. Các lý luận và giả thiết để xây dựng bài toán 32
3.2. Phát biểu bài toán điều khiển tối ƣu 33
3.2.1. Các ký hiệu và dẫn luận 33
3.2.2. Phát biểu bài toán điều khiển tối ƣu 40
3.3. Giải bài toán điều khiển tối ƣu 41
3.4. Phân tích mối quan hệ giữa các tham số 43
CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM 50
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


iii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

Từ viết tắt
Diễn giải

QHTT
Quy hoạch tuyến tính
BTVT
Bài toán vận tải
QHTS
Quy hoạch tham số
QHĐ
Quy hoạch động
QHPT
Quy hoạch phi tuyến
QHRR
Quy hoạch rời rạc
QHN
Quy hoạch nguyên
QHĐMT
Quy hoạch đa mục tiêu

DANH MỤC CÁC BẢNG

Số hiệu bảng
Tên bảng
Trang
3.1
Loại, số lƣợng và chỉ số độc hại của thuốc trừ sâu
34
3.2
Loại, số lƣợng và đặc tính phá hoại của các loại
sâu bệnh
36
3.3

Số lƣợng sâu bệnh đƣợc thống kê theo năm
36
3.4
Số lƣợng sâu bệnh đƣợc thống kê theo năm đã
đƣợc xử lý
37


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Đã có một số mô hnh nói về quan hệ giữa phát triển kinh tế và môi
trƣờng nhƣ: [2], [6], [7],… đƣợc in vào các năm 1973, 1991,…. Nhƣng tất cả
các công trnh đã công bố trên chƣa đề cập đến tác động của thiên dịch vào
môi trƣờng.
Dựa vào các kết quả nghiên cứu mô hnh, chúng ta có thể kịp thời đƣa
ra giải pháp cải tạo công nghệ trồng trọt, công nghệ sản xuất và chiến lƣợc sử
dụng thuốc trừ sâu và các loại hoá chất độc hại khác đồng thời với việc bảo
vệ, phát triển số lƣợng, chất lƣợng thiên dịch nhằm để giảm lƣợng tồn dƣ
thuốc trừ sâu, tránh thảm họa tràn ngập các chất thải hoá học trong môi
trƣờng sống nhƣ nƣớc ngầm, sông ngòi, kênh rạch và không khí,…do đó tôi
tiến hành nghiên cứu đề tài: “Phƣơng pháp điều khiển tối ƣu để giảm tác
động các loại hóa chất độc hại dùng trong trồng trọt” nhằm bƣớc đầu
nghiên cứu hƣớng giải quyết các vấn đề nói trên.
2. Mục tiêu nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài
Luận văn đƣa ra mô hnh đánh giá dƣ lƣợng thuốc trừ sâu dựa trên các

chỉ tiêu nhƣ: sự phát triển dân số, nhu cầu lƣơng thực, sự phát triển của thiên
dịch, cải tiến công nghệ sản xuất để tm ra chiến lƣợc giảm tối đa sử dụng
thuốc trừ sâu tức là giảm tối đa tác hại vào môi trƣờng sống.
3. Phạm vi nghiên cứu và ứng dụng
Dùng phƣơng pháp thống kê (đặc biệt là phƣơng pháp bnh phƣơng b
nhất) để tm các tham số là các tốc độ tăng trƣởng dân số và thiên dịch và hệ
số phân hủy của các loại hóa chất.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


2
Trên cơ sở các tham số thu đƣợc, chúng ta nghiên cứu bài toán điều
khiển tối ƣu. Sử dụng phƣơng pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán điều
khiển tối ƣu đã đặt ra. Từ đó tìm ra phƣơng pháp cải tiến công nghệ và phát
triển thiên dịch để đạt đƣợc mục tiêu của bài toán.
4. Ý nghĩa khoa học
Kết hợp giữa phƣơng pháp thống kê và bài toán điều khiển tối ƣu với
các kiến thức trồng trọt, môi trƣờng, thiên dịch,… để đƣa ra một mô hnh điều
khiển mới phục vụ cho công tác nghiên cứu môi trƣờng.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng phƣơng pháp thống kê để tm ra các tham số nhƣ: hệ số tăng
trƣởng của dân số, tăng trƣởng của thiên dịch, tốc độ phân hủy của chất
thải,…
- Sử dụng hai phƣơng pháp quy hoạch động và phƣơng pháp giải tích
để giải bài toán điều khiển tối ƣu.
6. Cấu trúc của luận văn
MỞ ĐẦU
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU.
CHƢƠNG 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU.

CHƢƠNG 3. BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƢU ĐỂ GIẢM TÁC
ĐỘNG CỦA CÁC LOẠI HÓA CHẤT ĐỘC HẠI DÙNG TRONG
TRỒNG TRỌT.
CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM.
KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN.
TÀI LIỆU THAM KHẢO.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


3
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ TỐI ƢU

1.1. Giới thiệu về bài toán tối ƣu
Bài toán tối ƣu hóa tổng quát đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm:
f(x)

max (min) (1.1)
Với các điều kiện:
g
i
(x)(
,
=,

) b
i
, i =
m,1

(1.2)
x

X

R
n
(1.3)
Bài toán (1.1) † (1.3) đƣợc gọi là một quy hoạch, hàm f(x) đƣợc gọi là
hàm mục tiêu, các hàm g
i
(x), i =
m,1
đƣợc gọi là các hàm ràng buộc, mỗi
đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong hệ (1.2) đƣợc gọi là một ràng buộc. Tập
hợp:
D =
 
mibxgXx
ii
,1,),,)(( 

đƣợc gọi là miền ràng buộc (hay miền chấp nhận đƣợc). Mỗi điểm x = (x
1
,
x
2
, , x
n
)


D đƣợc gọi là một phƣơng án (hay một lời giải chấp nhận đƣợc).
Một phƣơng án x
*


D đạt cực đại (hay cực tiểu) của hàm mục tiêu, cụ thể là:
f(x
*
)

f(x),

x

D (đối với bài toán max)
f(x
*
)

f(x),

x

D (đối với bài toán min)
đƣợc gọi là phƣơng án tối ƣu (lời giải tối ƣu). Khi đó giá trị f(x
*
) đƣợc gọi là
giá trị tối ƣu của bài toán.
1.2. Giới thiệu một số dạng bài toán tối ƣu

Một trong những phƣơng pháp hiển nhiên nhất để giải bài toán đặt ra là
phƣơng pháp điểm diện: tính giá trị hàm mục tiêu f(x) trên tất cả các phƣơng
án, sau đó so sánh các giá trị tính đƣợc để tm ra giá trị tối ƣu và phƣơng án
tối ƣu của bài toán. Tuy nhiên, cách giải quyết này khó có thể thực hiện đƣợc,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


4
ngay cả khi kích thƣớc của bài toán (số biến n và số ràng buộc m) là không
lớn, bởi v tập D thông thƣờng gồm một số rất lớn các phần tử, trong nhiều
trƣờng hợp còn là không đếm đƣợc.
V vậy, phải có những nghiên cứu trƣớc về mặt lý thuyết để có thể tách
ra từ bài toán tổng quát những lớp bài toán “dễ giải”. Các nghiên cứu lý
thuyết đó thƣờng là:
- Nghiên cứu các tính chất của các thành phần bài toán (hàm mục tiêu,
các hàm ràng buộc, các biến số, các hệ số,…);
- Các điều kiện tồn tại lời giải chấp nhận đƣợc;
- Các điều kiện cần và đủ của cực trị;
- Tính chất của các đối tƣợng nghiên cứu.
Các tính chất của các thành phần của bài toán và đối tƣợng nghiên cứu
giúp ta phân loại các bài toán. Một bài toán tối ƣu (quy hoạch toán học) đƣợc
gọi là:
- Quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục tiêu f(x) và tất cả các
hàm ràng buộc g
i
(x), i =
m,1
là tuyến tính. Một trƣờng hợp riêng quan trọng
của QHTT là bài toán vận tải (BTVT);

- Quy hoạch tham số (QHTS) nếu các hệ số trong biểu thức của hàm
mục tiêu và của các ràng buộc phụ thuộc vào tham số;
- Quy hoạch động (QHĐ) nếu các đối tƣợng xt là các quá trnh có
nhiều giai đoạn nói chung, hay các quá trnh phát triển theo thời gian nói
riêng;
- Quy hoạch phi tuyến (QHPT) nếu f(x) hoặc có ít nhất một trong các
hàm g
i
(x) là phi tuyến hoặc cả 2 trƣờng hợp đó cùng xảy ra;
- Quy hoạch rời rạc (QHRR) nếu miền ràng buộc D là tập rời rạc.
Trong trƣờng hợp riêng khi các biến chỉ nhận giá trị nguyên ta có quy hoạch
nguyên (QHN);

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


5
- Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) nếu trên cùng một miền ràng buộc
ta xt các hàm mục tiêu khác nhau.
1.2.1. Bài toán vận tải (BTVT)
1.2.1.1. Phát biểu bài toán
Có m địa điểm A
1
, A
2
, , A
m
cùng sản xuất một loại hàng hóa với các
lƣợng hàng tƣơng ứng là a
1

, a
2
,… , a
m
.
Có n nơi tiêu thụ loại hàng đó B
1
, B
2
, , B
n
với các yêu cầu tƣơng
ứng là b
1
, b
2
, , b
n
.
Để đơn giản ta sẽ gọi
A
i
là điểm phát i, i =
m,1

B
j
là điểm thu j, j =
n,1

Hàng có thể chở từ một điểm phát bất kỳ (i) đến một điểm thu bất kỳ (j).
Ký hiệu: c
ij
– chi phí chuyên chở một đơn vị hàng từ điểm phát (i) đến
điểm thu (j);
x
ij
– lƣợng hàng chuyên chở từ i đến j.
Bài toán đặt ra là: Xác định những đại lƣợng x
ij
cho mọi con đƣờng (i, j) sao
cho tổng chi phí chuyên chở là nhỏ nhất với giả thiết là:



m
i 1
a
i
=


n
j 1
b
j

tức là lƣợng hàng phát ra đúng bằng lƣợng hàng yêu cầu ở các điểm thu (điều
kiện cân bằng thu phát).
Dạng toán học của bài toán vận tải là:





m
i
n
j
ijij
xc
1 1

min (1.4)


n
j
ij
x
1
= a
i
, i =
m,1
(1.5)


m
i
ij

x
1
= b
j
, j =
n,1
(1.6)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


6
x
ij

0, i =
m,1
, j =
n,1
(1.7)
a
i
, b
j
>0;


m
i
i

a
1
=


n
j
j
b
1

Giả sử ta cộng các phƣơng trnh từ (m + 1) tới (m + n) rồi trừ đi tổng
các phƣơng trnh từ (2) tới (m) th ta đƣợc phƣơng trnh (1). Do đó số các
phƣơng trnh cực đại của hệ (1.5) + (1.6) không quá m + n -1.
x
11
+ x
12
+ + x
1n
= a
1
(1)
x
21
+ x
22
+ + x
2n
= a

2
(2)
(*)
x
m1
+ x
m2
+ + x
mn
= a
m
(m)
x
11
+ x
21
+ + x
m1
= b
1
(m+1)
x
12
+ x
22
+… + x
2m
= b
2
(m+2)

………
x
1n
+ x
2n
+……. + x
mn
= b
n
(m+n)
Ký hiệu ma trận của hệ (*) là A.
X = (x
11,
x
12
, , x
ij
, , x
mn
) - vectơ cột mn thành phần
C = (c
11,
c
12
, , c
ij
, , c
mn
) - vectơ hàng mn thành phần
P

0
= (a
1
, a
2
, , a
m
, b
1
, b
2
, , b
n
) – vectơ cột vế phải
Ta có thể đƣa bài toán vận tải về dạng:
Min <c,x> (1.8)
AX = P
0
(1.9)
X

0 (1.10)
Ta gọi P
ij
là cột của ma trận A ứng với biến x
ij
. Dễ thấy vectơ này có 2 thành
phần bằng 1 tại dòng thứ i và dòng thứ m + j còn các thành phần khác bằng 0.
Định nghĩa: Vectơ X thỏa (1.9), (1.10) gọi là một phƣơng án của BTVT.
Một phƣơng án đạt cực tiểu (1.8) gọi là phƣơng án tối ƣu.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


7
Một phƣơng án X gọi là phƣơng án cơ sở nếu các vectơ cột P
ij
của ma trận A
ứng với các x
ij
> 0 là độc lập tuyến tính.
1.2.1.2. Sự tồn tại nghiệm tối ƣu
Định lý 1.1: Bài toán vận tải luôn có phƣơng án tối ƣu.
Chứng minh :
1) Trƣớc hết ta chứng minh bài toán vận tải luôn có phƣơng án.
2) Sau đó chứng minh rằng miền ràng buộc giới nội.
a) Đặt S =


m
i
i
a
1
=


n
j
j

b
1
> 0
Ta thấy x
ij
=
S
ba
ji
, i =
m,1
, j =
n,1
lập thành 1 phƣơng án, v rằng x
ij


0


n
j
ij
x
1
=


n
j

ji
S
ba
1
= a
i
, i =
m,1




m
i
ij
x
1
=


m
i
ji
S
ba
1
= b
j
, j =
n,1

b) V các hệ số trong (1.5), (1.6) và các đại lƣợng trong a
i
, b
j
không âm và
hữu hạn nên mọi x
ij
đều bị chặn trên. Thực vậy, x
ij
không thể lớn hơn các số
tƣơng ứng a
i
hay b
j
.
V vậy miền ràng buộc là khác rỗng và giới nội (ta có đa diện lồi). Đa
diện này có một số hữu hạn đỉnh v vậy theo thuật toán đơn hnh, xuất phát từ
một phƣơng án cực biên, sau một số hữu hạn bƣớc ta phải đi tới phƣơng án
cực biên tối ƣu.
1.2.1.3. Tiêu chuẩn nhận biết phƣơng án cực biên
Lập 1 bảng T gồm m hàng và n cột. Tại các ô (i, j) ta ghi các số c
ij

tƣơng ứng cho trƣớc (ghi vào góc ô) và các ƣớc lƣợng x
ij
của phƣơng án X.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

8

b
j

a
i

b
1


b
j


b
n
a
1

a
i


x
ij

c
ij









a
m






Một ô (i, j) mà x

ij
> 0 gọi là ô sử dụng.
Tập hợp các ô sau đây gọi là một dây chuyền trong T:
(i
1
, j
1
), (i
1
, j
2
), (i
2
, j
2
), , (i
s
, j
s
), (i
s
, j
s+1
) (1.11)
(đi theo hàng trƣớc)
Hoặc:
(i
1
, j
1

), (i
2
, j
1
), (i
2
, j
2
), , (i
s
, j
s
), (i
s+1
, j
s
) (1.12)
(đi theo cột trƣớc)
Mỗi cặp các ô liền nhau trong dây chuyền đƣợc xếp trong 1 hàng hoặc trong 1
cột.
Dây chuyền đƣợc gọi là kín hay là 1 chu trnh nếu:
j
s+1
= j
1

Hoặc:
i
s+1
= i

1

Gọi G là tập hợp các ô sử dụng:
G =
 
0),( 
ij
xji

1 nmG


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


9
Một phƣơng án X của BTVT đã cho đƣợc gọi là không thoái hóa nếu
G
=
m+n-1. Ngƣợc lại gọi là thoái hóa nếu
G
< m+n-1.
Nếu một tập hợp con thực sự của G lập thành chu trnh th ta có một chu trnh
con của G.
Định lý 1.2: Hệ thống vector P
ij
của BTVT là độc lập tuyến tính khi và chỉ
khi các ô tƣơng ứng với các vector của hệ thống không tạo thành chu trnh.
Chứng minh.
Cần: Ký hiệu P

ij
=
 
GjiP
ij
),(
. Giả sử P
ij
là hệ độc lập tuyến tính, ta phải
chứng minh G không lập thành chu trnh.
Bằng phản chứng, nếu có một chu trnh tạo nên bởi các ô tƣơng ứng với một
số vector của hệ P
ij
th nó có dạng:
(i
1
, j
1
), (i
1
, j
2
), (i
2
, j
2
), , (i
s
, j
s

), (i
s
, j
s+1
) với j
s+1
= j
1

Khi đó rõ ràng:
P
i1j1
- P
i1j2
+ P
i2j1
P
isjs
- P
isj1
= 0
Tức là hệ P
ij
phụ thuộc mâu thuẫn với giả thiết.
Đủ: Giả sử G không lập thành chu trnh. Ta phải chứng minh hệ P
ij
là độc lập
tuyến tính.
Bằng phản chứng giả sử P
ij

là phụ thuộc tuyến tính. Mỗi vector P
ij
có dạng:
(
nmjmmmi 

, ,, ,,, ,, ,,
121
)
Với thành phần
jm


1
= 1, còn các tọa độ khác bằng 0.
Nếu hệ P
ij
phụ thuộc tuyến tính, tức là có một tổ hợp tuyến tính của các vector
P
ij
= 0. Điều đó chứng tỏ rằng các ô (i, j) tƣơng ứng với hệ thống p
ij
lập thành
chu trình.
Điều này trái với giả thiết. Vậy hệ P
ij
là độc lập tuyến tính.
Hệ quả: Vector X là phƣơng án cực biên khi và chỉ khi tập các ô sử dụng
tƣơng ứng không lập thành chu trnh.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


10
Chứng minh. Thật vậy, coi BTVT là một QHTT th X là phƣơng án cực biên
khi và chỉ khi các vector P
ij
ứng với x
ij
> 0 là độc lập tuyến tính. Theo định lý
1.2 th điều đó xảy ra khi và chỉ khi tập các ô sử dụng tƣơng ứng không lập
thành chu trình.
1.2.2. Bài toán cái túi
1.2.2.1. Phát biểu bài toán
Một ngƣời du lịch muốn đem theo một cái túi nặng không quá b kg, có
n loại đồ vật mà anh ta dự định đem theo. Mỗi đồ vật loại j có khối lƣợng a
j

kg và giá trị c
j
, ngƣời du lịch muốn chất vào túi các đồ vật sao cho tổng giá trị
đồ vật đem theo là lớn nhất.
Ký hiệu: x
j
là số loại đồ vật j sẽ chất vào trong túi. Ta có bài toán sau:




n

j
jj
xc
1
max
(1.13)















njnguyênx
njx
bxa
j
j
n
j
jj
,1,

,1,0
1
(1.15)
1.2.2.2. Thuật toán giải bài toán cái túi
Ta sẽ xây dựng thuật toán giải bài toán cái túi dựa trên phƣơng pháp
quy hoạch động.
Đối với mỗi số nguyên k và số

(k =
n,1
;
b,0

) ta định nghĩa hàm
số:
F
k
(

) = max








n
j

jj
n
j
j
xaxc
11


0
j
x
nguyên
kj ,1



(1.17)
Chú ý rằng khi k = n và

= b ta có bài toán xuất phát. Ở đây F
k
(

) là
giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu khi các đồ vật đƣợc chọn từ k loại đầu tiên
và trọng lƣợng cái túi là

.
(1.14)
(1.16)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


11
Ký hiệu Z
+
là tập các số nguyên không âm
S
k
=












k
a

, ,1,0

Trong đó ký hiệu







k
a

là phần nguyên của
k
a

.
Theo phƣơng trnh truy toán ta có thể viết lại công thức (1.17) dƣới dạng:
F
k
(

)= max





















1
1
1
1
,1,,max
k
j
k
j
jkkjjjjkk
kjZxxaxaxcxc


= max
 
)(
1 kkkkk
xaFxc 


(1.18)

Đặt F
0
(

) = 0,
b,0

(1.19)
Khi k = 1 từ (1.18) và (1.19) ta có:
F
1
(k) = max

















1

111
, 1,0


xxc
= c
1






1


,
b,0


(1.20)
Tiếp tục quá trnh ta sẽ tính đƣợc F
k
(

), k = 1,
b,0

.
1.2.3. Ứng dụng vào nghành nông nghiệp

Một loạt những bài toán thực tế nông nghiệp đƣợc đƣa đến mô hnh
quy hoạch toán học, chẳng hạn đó là những bài toán về phân bổ hợp lý diện
tích trồng trọt, về việc hợp lý hóa vỗ bo gia súc, về chuyên môn hóa sản xuất
nông nghiệp, về sơ đồ làm việc của các máy nông nghiệp
ë đây chúng ta đƣa ra 2 bài toán: bài toán kiện toàn cấu trúc hợp lý
nghành chăn nuôi và bài toán xác định cơ cấu gieo trồng cây lƣơng thực.
Bài toán 1: Kiện toàn cấu trúc nghành chăn nuôi.
Khả năng của chăn nuôi bị ràng buộc chủ yếu vào thức ăn. Trong
những lý luận dƣới đây giả thiết rằng khẩu phần hợp lý để vỗ bo những loại
gia súc khác nhau đã đƣợc xác định.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


12
Việc mô hnh hóa bài toán đòi hỏi những ký hiệu sau:
x
j
- số đầu súc vật loại j (j = 1, 2, , n);
p
j
- sản lƣợng nhận đƣợc từ một đầu súc vật loại j;
b
kj
- khẩu phần thức ăn loại k đòi hỏi cho một đầu súc vật loại j (k = 1,
2, ,s);
b
k
- dự trữ thức ăn loại k.

Bài toán dẫn đến việc tm các đại lƣợng x
j
làm cực đại dạng tuyến tính.
F(x) =



n
j
jj
xp
1
max

Với các ràng buộc:









njx
skbxb
j
n
j
kjkj

, ,2,1,0
, 2,1,
1

Bài toán 2: Cơ cấu gieo trồng cây lƣơng thực.
Trong những trƣờng hợp khi mà những yêu cầu về lƣơng thực cho
ngƣời và về sản phẩm chăn nuôi đã cố định trƣớc xuất hiện bài toán chuyên
môn hóa gieo trồng cây lƣơng thực. Cần phải xác định diện tích đƣợc dùng
cho những loại cây lƣơng thực riêng sao cho với chi phí nhỏ nhất cũng thỏa
mãn khẩu phần cần thiết của việc cung cấp lƣơng thực. Ở đây thƣờng kể đến
những ràng buộc về dự trữ lao động, về trạm máy ko, về nhiên liệu, phân
bón, về thủy nông và những yếu tố khác bảo đảm lƣơng thực.
Ta đƣa vào những ký hiệu sau:
x
j
- lƣợng hecta ruộng dành cho cây lƣơng thực loại j, j = 1, 2, ,n;
d
j
- diện tích trồng trọt cực đại mà do những điều kiện tự nhiên (chất
đất, khí hậu) có thể dành cho loại cây thứ j;
d
j
- diện tích trồng trọt tối thiểu dùng cho cây lƣơng thực thứ j theo yêu
cầu cơ cấu lƣơng thực;

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


13
a

ij
- sản lƣợng thức ăn loại i trên một hecta trồng trọt loại cây thứ j, j =
1, 2, ,m;
a
i
- nhu cầu thức ăn loại i cần thiết để hoàn thành kế hoạch về tất cả sản
phẩm lƣơng thực;
b
kj
- khẩu phần tiêu hao, những yếu tố sản xuất loại k để khai thác 1
hecta ruộng dành cho loại cây lƣơng thực thứ j, k = 1, 2, ,s;
b
k
- dự trữ những yếu tố sản xuất loại k;
c
j
- giá thành lƣơng thực loại j từ một hecta trồng trọt;
x
j
- diện tích chung dành cho các loại cây lƣơng thực.
Bài toán xác định cơ cấu tối ƣu trồng cây lƣơng thực nhƣ vậy sẽ quy về
xác định những đại lƣợng x
j
(j = 1, 2, ,n) sao cho dạng tuyến tính sau đạt
cực tiểu:
F(x) =
min
1




n
j
jj
xc

1.2.4. Bài toán quy hoạch phi tuyến và nghiệm tối ƣu của nó
1.2.4.1. Phát biểu bài toán
Bài toán QHPT tổng quát có thể diễn tả dƣới dạng:
Min f(x); x

R
n
(1.27)






pjxh
mixg
j
i
, ,2,1;0)(
, ,2,1;0)(

Trong đó ít nhất 1 trong các hàm f(x), {g
i
(x)}, {h

j
(x)} là phi tuyến.
Trong 1 số trƣờng hợp, các ràng buộc đẳng thức, còn bất đẳng thức

có thể
chuyển về bất đẳng thức

bằng cách nhân 2 vế với (-1).
Nếu bài toán chỉ có dạng (1.27) th ta có bài toán QHPT không ràng
buộc. Có những khi ta gặp bài toán dạng nhƣ sau:
Min f(x) ; x

M (1.30)
M = {x

D
pjmixhxg
ji
, ,2,1;, ,2,1;0)(;0)( 
} (1.31)
(1.28)
(1.29)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


14
Trong đó D là tập lồi trong R
n
.

Nếu các hàm f(x), {g
i
(x)}, {h
j
(x)} là những hàm lồi th ta có quy hoạch
lồi, là một trƣờng hợp riêng quan trọng của phi tuyến. Nếu hàm f(x) là một
dạng toàn phƣơng, còn các ràng buộc là tuyến tính th ta có quy hoạch toàn
phƣơng lại là 1 trƣờng hợp riêng của quy hoạch lồi.
Nhiều khi ngƣời ta biến đổi bài toán có ràng buộc về bài toán không có
ràng buộc bằng cách dùng một hàm bổ trợ. Hàm bổ trợ này biểu diễn qua các
hàm số của bài toán và bản thân nó trở thành hàm mục tiêu có các cực tiểu
không điều kiện trong một miền nào đấy. Ngƣời ta thay đổi dần thông số, và
chính bằng cách đó làm tăng ảnh hƣởng của các ràng buộc lên hàm bổ trợ và
nhƣ vậy, ngƣời ta xây dựng đƣợc 1 dãy bài toán không có ràng buộc mà
nghiệm của chúng hội tụ đến nghiệm của bài toán xuất phát. Để đơn giản ta
nêu ra tƣ tƣởng cơ bản một cách hnh thức. Xt bài toán:
Min f(x); x

R
n

(1.32)
G
i
(x)

0; i = 1, 2, ,m (1.33)
Hàm bổ trợ điển hnh không có ràng buộc có thể viết dƣới dạng:

 

)(, tx


 



m
i
ii
xgGtxf
1
)()()(


Trong đó: t = thông số;
 
)(t
i

là các hệ số trọng.
G(y) là hàm đơn điệu theo y mà trong ý nghĩa nào đó khá tốt khi y = 0.
Thƣờng G(y) đƣợc chọn sao cho:
G(y) > 0 với y < 0
G(y) = 0 với y

0
Hoặc: G(y)+

khi y0

Php chọn đầu tiên thƣờng liên quan đến các thủ tục, trong đó các ràng
buộc chỉ thỏa mãn đối với nghiệm tối ƣu tm đƣợc, nghĩa là tận cùng các quá

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


15
trnh. Trong một cách chọn khác đòi hỏi ràng buộc đƣợc hoàn thành trong tiến
trnh của các quá trnh.
Trong một số trƣờng hợp phƣơng pháp trên đƣợc diễn tả nhƣ sau:
Chọn dãy {t(k)} sao cho t
k


0 và t
k


khi k

. Tính điểm cực tiểu
x
k
của hàm
 
)(,
k
tx

đối với k = 1, 2, , trong các điều kiện tƣơng ứng x

k
đó
tồn tại và là điểm tối thiểu không điều kiện của hàm
 
)(,
k
tx

. Về nguyên tắc
nhận đƣợc:
*lim xx
k
k


trong đó x* là nghiệm của bài toán (1.32) & (1.33).
Phƣơng pháp các nhân tử Lagrange, áp dụng cho bài toán ràng buộc
đẳng thức:
min f(x) (1.34)
h
j
(x) = 0, j = 1, 2, ,m (1.35)
Đây là phƣơng pháp biến đổi bài toán (1.34), (1.35) về bài toán không
có ràng buộc. Dễ thấy rằng php biến đổi đó thực hiện một cách khá đơn giản
bằng cách đặt
)(t
j

=
j


(hằng số) và G(y) = y trong
 
)(, tx

. Nhƣ vậy phƣơng
pháp các nhân tử Lagrange cổ điển là một ví dụ cổ điển của phƣơng pháp hàm
bổ trợ không ràng buộc.
1.2.4.2. Nghiệm tối ƣu
Để cho gọn ta viết bài toán dƣới dạng:
Min {f(x)
x
M}
Một điểm x* thỏa mãn:
f(x*)

f(x),
x
M
gọi là một nghiệm tối ƣu toàn cục của bài toán.
Một điểm x‟ mà đối với nó tồn tại một lân cận W sao cho:
f(x‟)

f(x),
x
W
gọi là nghiệm tối ƣu cục bộ (địa phƣơng).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

16
Khi bài toán là quy hoạch lồi, nghĩa là hàm mục tiêu và các hàm ràng
buộc đều là các hàm lồi th cực tiểu địa phƣơng cũng là cực tiểu toàn cục.
Điều đó không còn đúng trong trƣờng hợp tổng quát. Một bài toán gọi là đa
cực trị khi nó có nhiều điểm cực tiểu địa phƣơng với các giá trị khác nhau của
hàm mục tiêu.
Khác với các bài toán tuyến tính và các bài toán quy hoạch lồi, trong
các bài toán QHPT tổng quát, miền ràng buộc có thể không lồi, có thể vô hạn
đỉnh, hàm mục tiêu có thể đạt cực trị không những ở trên biên mà cả ở trong
miền ràng buộc và hơn nữa có thể có một số cực trị địa phƣơng. Các nguyên
nhân đó cắt nghĩa cho việc không tồn tại các phƣơng pháp chung cho php
giải bất kỳ bài toán QHPT nào.
Nhƣng mặt khác QHPT lại mở rộng rất nhiều khả năng đặt các bài toán
kỹ thuật và kinh tế thực tiễn. Tiêu chuẩn trong các bài toán kế hoạch hóa tối
ƣu thƣờng là làm cực đại lợi nhuận, cực tiểu giá thành, cực tiểu chi phí cơ bản
và các biến biểu thị khối lƣợng sản xuất các loại sản phẩm khác nhau. Trong
số các ràng buộc có đƣa vào hàm sản xuất đặc trƣng cho mối liên hệ giữa sản
phẩm và chi phí nhân lực, vật liệu mà khối lƣợng của chúng chỉ có hạn. Để
giải quyết những bài toán nhƣ vậy bằng các phƣơng pháp của QHTT thông
thƣờng ta phải giả thiết bằng lợi nhuận, giá thành, chi phí cơ bản cho một đơn
vị sản phẩm, cũng nhƣ chi phí riêng mỗi loại tài nguyên đƣợc xt là các hằng
số, không phụ thuộc vào khối lƣợng sản xuất. Giả thiết nhƣ vậy trong nhiều
trƣờng hợp là đơn giản quá mức. Trong thực tế giá thành và do đó (với giá
không đổi) tiền lãi một đơn vị sản phẩm không nhƣ nhau với khối lƣợng sản
xuất khác nhau. Tăng sản lƣợng sản phẩm thƣờng cho php giảm giá thành
của nó. Chi phí cơ bản riêng trong chừng mực nhất định cũng phụ thuộc vào
khả năng sản xuất. Đƣa những phụ thuộc nhƣ vậy vào bài toán kế hoạch hóa
tối ƣu sẽ là cho hàm mục tiêu của nó trở nên phi tuyến. Với quy mô sản xuất

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


17
khác nhau, các chi phí về lao động, về tài sản cố định, vật liệu, nhiên liệu,
điện năng tính cho một đơn vị sản phẩm không phải bao giờ cũng là hằng số.
Điều đó cũng nói lên sự cần thiết phải đƣa các hệ thức phi tuyến vào hệ ràng
buộc của bài toán kinh tế đƣợc giải nhƣ vậy, ngay việc phân tích tổng quát
nhất vấn đề kế hoạch hóa tối ƣu cũng xác nhận ý nghĩa thực tiễn của các
phƣơng pháp QHPT.
Có nhiều phƣơng pháp giải QHPT nên ta cần phân loại chúng. Có thể
chia ra 5 nhóm giải sau (để dễ lập luận ta giả sử xt bài toán min f(x)).
1. Các phƣơng pháp Gradien: Trong trƣờng hợp bài toán không có ràng
buộc phƣơng pháp Gradien đã đƣợc nhà toán học Pháp là Côsi nêu ra. Đối với
trƣờng hợp chung thực chất của phƣơng pháp nhƣ sau: Ta đã biết rằng
Gradien của hàm mục tiêu f(x) tại phƣơng án x bất kỳ là vectơ nằm trong
hƣớng tăng cục bộ của f(x). Vậy phải chuyển động theo hƣớng ngƣợc với
hƣớng Gradien của f(x), nghĩa là theo hƣớng giảm nhanh nhất. Trên hƣớng đó
ta cứ đi, chừng nào hàm mục tiêu chƣa tăng. Sau khi tm đƣợc điểm mới ta lại
tm hƣớng mới.
2. Phƣơng pháp hƣớng chấp nhận đƣợc: Thực chất của phƣơng pháp là
với mỗi điểm x thuộc miền ràng buộc có thể tồn tại một tập hƣớng chấp nhận
đƣợc. Chọn một trong các hƣớng chấp nhận đƣợc mà theo đó hàm mục tiêu
giảm và không bao giờ đi ra khỏi miền ràng buộc.
3. Phƣơng pháp hàm phạt: Thực chất của phƣơng pháp này là: biến đổi
bài toán phi tuyến có ràng buộc thành 1 dãy các bài toán không có ràng buộc.
Cụ thể là thay hàm f(x) bằng cách thêm vào những hàm trọng số (toàn bộ
phần thêm gọi là hàm phạt) sao cho tại những điểm x mà trong 1 chừng mực
nào đó còn thỏa mãn các ràng buộc th giá trị của hàm phạt khá b và sao cho:
f(x) f(x)* khi xx*

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


18
Khi dùng các phƣơng pháp hàm phạt do giữ vững mối điều hòa giữa
các ràng buộc và các hàm trọng số đó mà ta có thể đạt đƣợc hiệu quả tối ƣu
lớn nhất.
4. Phƣơng pháp tổ hợp và tm kiếm ngẫu nhiên:
Hoặc nêu ra tất cả các phƣơng án, hoặc tm tiêu chuẩn bỏ bớt 1 số
phƣơng án mà chắc chắn chúng không cho nghiệm. Thay việc giải bài toán
phi tuyến bằng quá trnh ngẫu nhiên theo kiểu xích Markov và dùng phƣơng
pháp Monter - Carlo (phƣơng pháp thống kê).
5. Phƣơng pháp cực tiểu hóa hàm lõm:
- Phƣơng pháp cắt và phƣơng pháp chia nón,
- Phƣơng pháp xấp xỉ ngoài.
6. Quy hoạch lồi đảo
Xt trƣờng hợp miền ràng buộc D bị khot: x

D\int C (C lồi)
7. Phƣơng pháp chuyển bài toán về quy hoạch D.C
Cơ sở của phƣơng pháp này là xt các hàm liên tục f(x): MR có thể
biểu diễn thành hiệu của 2 hàm lồi trên M, gọi là các hàm D.C.
Một quy hoạch D.C là một bài toán cực trị có dạng:
Min {f(x): x

D ; g
i
(x)
mi ,1;0 

}
Trong đó D là tập lồi đóng trong R
n
và f, g
i
(i =
m,1
) là các hàm D.C.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên


19
CHƢƠNG 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN
TỐI ƢU

2.1. Giới thiệu khái quát phƣơng pháp giải bài toán điều khiển tối ƣu
bằng phƣơng pháp nhân tử Lagrange
2.1.1. Giới thiệu
Nếu trong các ràng buộc của QHPT không có ràng buộc bất đẳng thức
và các điều kiện không âm hay rời rạc của các biến, m < n; các hàm liên tục
và có đạo hàm ít nhất là cấp 2 th bài toán có dạng:
f(x)

min (max) (2.1)
g
i
= b
i
, i =

m,1
(2.2)
và ta có thể giải bằng phƣơng pháp các nhân tử Lagrange.
Bước 1. Lập hàm Lagrange:
L(x
1
, x
2
,… , x
n
,
1

,
2

,… ,
m

) = f(x
1
, x
2
,… , x
n
) +


m
i 1

1

[b
1
- g
1
(x
1
, x
2
,… ,
x
n
)]; (2.3)
Bước 2. Tm tất cả các điểm dừng của L từ hệ phƣơng trnh:
j
x
L


=
j
x
f


-
i
m
i

j
x
g





1
1
= 0 (j =
n,1
) (2.4)
i
L



= b
1
– g
1
(x
1
, x
2
,… , x
n
) = 0 (i =
m,1

)
Bước 3. Từ trong các điểm dừng của L (lấy không các tọa độ
1

,… ,
m

)
chọn các điểm trong đó hàm f có các cực trị có điều kiện với các ràng buộc
(2.2).