phương pháp dùng hàm biến thực để nghiên cứu các không gian nội suy

LỜI CẢM ƠN
Luận văn này của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
của PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lòng thành
kính nhất đến Thầy. Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà còn
thông cảm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình
làm luận văn.
Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên tôi
trong quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn vợ của tôi, người đã bên tôi, động viên và
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tâp và nghiên cứu.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô giáo trong viện Toán học
Việt Nam và các thầy, cô giáo trong khoa sau Đại học, khoa Toán trường Đại học
Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình em
học tập tại trường.
Bản luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em
rất mong được sự góp ý của các thầy cô và các đồng nghiệp để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010
Học viên
Bùi Văn Anh
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết các không gian nội suy được bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thống
bởi J.Peetre [6], J.L.Lions [5] và A.P.Calderon [2] và các chuyên gia khác từ những
năm 1960. Những định lý của Riesz - Thorin và Marcinkiewicz là những kết quả sơ
khai, nền tảng cho lý thuyết nội suy. Lý thuyết nội suy được ứng dụng trong nhiều
nhánh của Giải tích. Gần đây trong công trình của T.Tao, một bất đẳng thức nội
suy cũng đã được dùng bởi [4].
Trong luận văn này tôi sẽ giới thiệu phần cơ sở của lý thuyết nội suy. Tài liệu
tham khảo chính được sử dụng là quyển sách [3]. Trong quyển sách này nhiều định
lý không được chứng minh trọn vẹn, bởi vậy có nhiều chỗ chúng tôi phải chứng minh

chi tiết và chặt chẽ. Luận văn gồm ba chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày
các khái niêm và tính chất cơ bản của không gian Sobolev. Trong Chương 2, chúng
tôi trình bày các khái niệm và tính tính chất cơ bản của không gian nội suy. Chương
3 là chương quan trọng nhất của luận văn, trình bày phương pháp nội suy thực.
Chúng tôi trình bày phương pháp - K và phương pháp - J, Định lý tương đương của
hai phương pháp đó, những tính chất cơ bản của không gian
A
θ,q
, Định lý quan hệ,
Định lý đảo, một công thức cho phương pháp nội suy - K, Định lý compact và các
ứng dụng của phương pháp nội suy vào không gian Sobolev, không gian L
p
.
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC Trang
Lời cảm ơn 1
Lời nói đầu 2
Mục lục 3
Chương 1. Không gian Sobolev 4
1.1. Định nghĩa 4
1.2. Các tính chất 4
Chương 2. Những tính chất cơ bản
của không gian nội suy 8
2.1.Phạm trù và hàm tử 8
2.2. Không gian vectơ định chuẩn 8
2.3. Cặp không gian 10
2.4. Định nghĩa không gian nội suy 12
2.5. Định lý Aronszajn-Gagliardo 14
2.6. Một điều cần thiết cho không gian nội suy 17

2.7. Định lý đối ngẫu 18
Chương 3. Phương pháp nội suy thực 21
3.1. Phương pháp - K 21
3.2. Phương pháp - J 26
3.3. Định lý tương đương 30
3.4. Những tính chất cơ bản của không gian A
θ,q
32
3.5.Định lý đảo 36
3.6. Một công thức cho phương pháp nội suy - K 41
3.7.Định lý đối ngẫu 45
3.8. Định lý compact 47
3.9. Một số ứng dụng 49
Kết luận 54
Tài liệu tham khảo 55
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 1. KHÔNG GIAN SOBOLEV
1.1 Định nghĩa.
1.1.1. Chuẩn Sobolev. Chúng ta định nghĩa một hàm ||.||
m,p
, ở đây m là một số
nguyên dương và 1 ≤ p ≤ ∞, như sau
||u||
m,p
=


0≤|α|≤m
||D

α
u||
p
p

1
p
nếu 1 ≤ p < ∞ (1)
||u||
m,∞
= max
0≤|α|≤m
||D
α
u||
∞
(2)
với mọi hàm u mà vế phải có nghĩa, ||.||
p
là chuẩn trên L
p
(Ω). Trong một số trường
hợp tránh nhầm lẫn ta sử dụng ||u||
m,p,Ω
thay cho ||u||
m,p
.
1.1.2 Không gian Sobolev. Với mọi số nguyên dương m và 1 ≤ p ≤ ∞ chúng ta
xét ba không gian sau
(a) H

m,p
(Ω) ≡ làm đầy {u ∈ C
m
(Ω) : ||u||
m,p
< ∞}, với chuẩn ||u||
m,p
,
(b) W
m,p
(Ω) ≡ {u ∈ L
p
(Ω) : D
α
u ∈ L
p
(Ω) với 0 ≤ |α| ≤ m}, ở đây D
α
u là đạo hàm
suy rộng,
(c) W
m,p
0
(Ω) là bao đóng của không gian C
∞
0
(Ω) trong không gian W
m,p
(Ω).
Hiển nhiên W

0,p
(Ω) = L
p
(Ω), và nếu 1 ≤ p < ∞ thì W
0,p
0
(Ω) = L
p
(Ω) bởi vì C
∞
0
(Ω)
trù mật trong L
p
(Ω). Với mọi m, chúng ta có dãy phép nhúng
W
m,p
0
(Ω) → W
m,p
(Ω) → L
p
(Ω).
1.2. Các tính chất.
1.2.1. Định lý. W
m,p
(Ω) là một không gian Banach.
Chứng minh. Cho u
n
là một dãy Cauchy trong không gian W

m,p
(Ω). Thì D
α
u
n
là một dãy Cauchy trong không gian L
p
(Ω) với 0 ≤ |α| ≤ m. Vì L
p
(Ω) là không
gian định chuẩn đầy đủ nên tồn tại hàm u và u
α
, 0 ≤ |α| ≤ m, sao cho u
n
→ u và
D
α
u
n
→ u
α
trong L
p
(Ω) khi n → ∞. Ta có L
p
(Ω) ⊂ L
1
loc
(Ω) vì vậy u
n

xác định một
dãy T
u
n
∈ D

(Ω). Với mọi φ ∈ D(Ω), theo bất đẳng thức H¨older ta có
|T
u
n
(φ) − T
u
(φ)| ≤

Ω
|u
n
(x) − u(x)||φ(x)|dx ≤ ||φ||
p

||u
n
− u||
p
,
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ở đây p

là số liên hợp của p. Do đó T

u
n
(φ) → T
u
(φ) với mọi φ ∈ D(Ω) khi n → ∞.
Tương tự, T
D
α
u
n
(φ) → T
u
α
(φ) với mọi φ ∈ D(Ω). Do đó
T
u
α
(φ) = lim
n→∞
T
D
α
u
n
(φ) = lim
n→∞
(−1)
|α|
T
u

n
D
α
(φ) với mọi φ ∈ D(Ω).
Do đó u
α
= D
α
u với 0 ≤ |α| ≤ m, u ∈ W
m,p
(Ω). Vì vậy lim
n→∞
||u
n
− u||
m,p
= 0,
suy ra W
m,p
(Ω) là không gian định chuẩn đầy đủ. 
1.2.2. Hệ quả. H
m,p
(Ω) ⊂ W
m,p
(Ω).
Chứng minh. Xét tập hợp S = {φ ∈ C
m
(Ω) : ||φ||
m,p
< ∞}, thì S là tập con của

W
m,p
(Ω). Vì W
m,p
(Ω) là đầy đủ, nên ánh xạ đồng nhất trên S có thể thác triển lên
một phép đẳng cự từ bao đóng của S trong W
m,p
(Ω) đến H
m,p
(Ω)(làm đầy của S).
Vì vậy ta có thể đồng nhất H
m,p
(Ω) với bao đóng đó. 
1.2.3. Định lý. Cho A là một tập con của R
n
và cho A là lớp các tập mở trong R
n
phủ A, nghĩa là, A ⊂

U∈A
U. Thì có một lớp Ψ của các hàm ψ ∈ C
∞
0
(R
n
) có những
tính chất dưới đây
(i) Với mọi ψ ∈ Ψ và với mọi x ∈ R
n
, 0 ≤ ψ(x) ≤ 1.

(ii) Nếu K  A, mọi hàm ψ ∈ Ψ đều triệt tiêu trên K.
(iii) Với mọi ψ ∈ Ψ tồn tại U ∈ A sao cho supp(ψ) ⊂ U.
(iv) Với mọi x ∈ A, ta có

ψ∈Ψ
ψ(x) = 1.
Ta gọi Ψ là một C
∞
-phân hoạch đơn vị của A theo phủ mở A.
Chứng minh. Trước hết giả sử A là compact. Khi đó có một lớp hữu hạn các
tập hợp trong A sao cho nó phủ A, tức là A ⊂

N
j=1
U
j
. Ta có thể xây dựng
được các tập compact K
j
, j = 1, 2, , N mà K
j
⊂ U
j
, j = 1, 2, , N sao cho
A ⊂

N
j=1
K
j

. Với mỗi j ta tìm được một hàm không âm φ
j
∈ C
∞
0
(U
j
) sao cho
φ
j
(x) > 0, ∀x ∈ K
j
. Một hàm φ trong C
∞
(R
n
) được xây dựng sao cho φ(x) > 0 trên
R
n
và φ(x) =

N
j=1
φ
j
(x), ∀x ∈ A. Ta thấy Ψ = {ψ
j
: ψ
j
(x) =

φ
j
(x)
φ(x)
, 1 ≤ j ≤ N}
thoả mãn những tính chất của định lý.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Nếu A là một tập mở bất kì, thì A =

∞
j=1
A
j
, ở đây
A
j
= {x ∈ A : |x| ≤ j, dist(x, ∂A) ≥
1
j
} là tập compact.
Đặt A
0
= A
−1
= ∅, với mỗi j ≥ 1 chọn
A
j
= {U ∩ (A
j+1

∩ A
c
j−2
)
0
: U ∈ A},
ở đậy kí hiệu A
0
là phần trong của tập A. Hiển nhiên A
j
là một phủ của A
j
và vì vậy có một C
∞
- phân hoạch đơn vị Ψ
j
của A
j
theo phủ mở A
j
. Tổng
σ(x) =

∞
j=1

φ∈ψ
j
φ(x) chỉ gồm hữu hạn những số hạng khác không với mỗi x ∈ A.
Khi đó Ψ = {ψ : ψ(x) =

φ(x)
σ(x)
, với φ ∈ Ψ
j
nếu x ∈ A, ψ(x) = 0, x /∈ A} có những tính
chất của định lý.
Cuối cùng, nếu A bất kì, thì A ⊂ B, với B là hợp tất cả các tập U ∈ A, B là
tập mở. Với mọi phân hoạch đơn vị của B thì cũng là phân hoạch đơn vị của A. 
1.2.4. Bổ đề. Cho J
ε
được định nghĩa trong 2.28[1], 1 ≤ p < ∞ và u ∈ W
m,p
(Ω).
Nếu Ω

là một tập con compact đóng trong Ω, thì lim
ε→0+
J
ε
∗ u = u trong W
m,p
(Ω

).
Chứng minh. Cho ε < dist(Ω

, ∂Ω), và ˜u là sự mở rộng của u bên ngoài Ω. Nếu
φ ∈ D(Ω

), thì


Ω

J
ε
∗ u(x)D
α
φ(x)dx =

R
n

R
n
˜u(x − y)J
ε
(y)D
α
φ(x)dxdy
= (−1)
|α|

R
n

Ω

D
α
x

u(x − y)J
ε
(y)φ(x)dxdy
= (−1)
|α|

Ω

J
ε
∗ D
α
u(x)φ(x)dx.
Vì vậy D
α
J
ε
∗ u = J
ε
∗ D
α
u là đạo hàm suy rộng trong Ω

. Từ D
α
u ∈ L
p
(Ω) với
0 ≤ |α| ≤ m và Định lý 2.29(c)[1] ta có
lim

ε→0+
||D
α
J
ε
∗ u − D
α
u||
p,Ω

= lim
ε→0+
||J
ε
∗ D
α
u − D
α
u||
p,Ω

= 0.
Vì vậy lim
ε→0+
||J
ε
u − u||
m,p,Ω

= 0. 

1.2.5. Định lý. Nếu 1 ≤ p < ∞, thì
H
m,p
(Ω) = W
m,p
(Ω).
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Theo Hệ quả 1.4 ta chỉ cần chứng minh W
m,p
(Ω) ⊂ H
m,p
(Ω), tức là
phải chứng minh {φ ∈ C
m
(Ω) : ||φ||
m,p
< ∞} trù mật trong W
m,p
(Ω). Thật vậy nếu
u ∈ W
m,p
(Ω) và ε > 0, thì luôn tồn tại φ ∈ C
∞
(Ω) sao cho ||φ − u||
m,p
< ε, do đó
C
∞
(Ω) trù mật trong W

m,p
(Ω). Với k = 1, 2 xét
Ω
k
= {x ∈ Ω : |x| < k và dist(x, ∂Ω) > 1/k},
và cho Ω
0
= Ω
−1
= ∅. Thì
A = {U
k
: U
k
= Ω
k+1
∩ (Ω
k−1
)
c
, k = 1, 2, }
là một lớp các tập con mở của Ω mà phủ Ω. Cho Ψ là một C
∞
- là một phân hoạch
đơn vị của Ω theo phủ mở A. Cho ψ
k
là tổng của hữu hạn của các hàm ψ ∈ Ψ mà
giá của chúng chứa ttrong U
k
. Thì ψ

k
∈ C
∞
0
(U
k
) và

∞
k=1
ψ
k
(x) = 1 trên Ω.
Nếu 0 < ε <
1
(k+1)(k+2)
, thì J
ε
∗ (ψ
k
u) có giá trong V
k
= Ω
k+2
∩ (Ω
k−2
)
c
 Ω. Vì
ψ

k
u ∈ W
m,p
(Ω) nên chúng ta có thể chọn ε
k
thoả mãn 0 < ε
k
<
1
(k+1)(k+2)
, sao cho
||J
ε
k
∗ (ψ
k
u) − ψ
k
u||
m,p,Ω
= ||J
ε
k
∗ (ψ
k
u) − ψ
k
u||
m,p,V
k

<
ε
2
k
.
Đặt φ =

∞
k=1
J
ε
k
∗ (ψ
k
u). Trên một tập bất kỳ Ω

 Ω chỉ có hữu hạn số hạng của
tổng đó khác không. Vì vậy φ ∈ C
∞
(Ω).
Với mọi x ∈ Ω
k
, ta có
u(x) =
k+2

j=1
ψ
j
(x)u(x), và φ(x) =

k+2

j=1
J
ε
j
∗ ψ
j
u(x).
Vì vậy
||u − φ||
m,p,Ω
k
≤
k+2

j=1
||J
ε
j
∗ (ψ
j
u) − ψ
j
u||
m,p,Ω
< ε.
Theo Định lý 1.48[1] về sự hội tụ đều thì ||u − φ||
m,p,Ω
< ε. 

7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 2. NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA
KHÔNG GIAN NỘI SUY
Trong chương này chúng ta đưa ra một số định nghĩa và kí hiệu cơ bản. Chúng
ta thảo luận một vài kết quả tổng quát của không gian nội suy. Một điều quan trọng
là định lý Aronszajn-Gagliardo.
2.1. Phạm trù và hàm tử.
Một phạm trù C cấu tạo từ các vật A, B, C, và các cấu xạ R, S, T, Giữa các
vật và các cấu xạ có quan hệ được định nghĩa, T : A → B và S : B → C thì có một
cấu xạ ST là tích của S và T, sao cho ST : A → C thoả mãn luật kết hợp sau
(1) T (SR) = (T S)R.
Hơn nữa, với mọi vật A trong C, có một cấu xạ I = I
A
, sao cho với mọi cấu xạ
T : A → A ta có
(2) T I = IT = T.
Trong phần này chúng ta thường làm việc với phạm trù các không gian vectơ
tôpô. Cấu xạ là các ánh xạ liên tục, ST là ánh xạ tích, I là ánh xạ đồng nhất. Với
phạm trù các không gian vectơ tôpô chúng là các toán tử tuyến tính liên tục.
Cho C
1
và C là hai phạm trù. Hàm tử F từ C
1
vào C, nghĩa là, mọi vật A trong
C
1
và F (A) trong C, mọi cấu xạ T trong C
1
tương ứng với cấu xạ F (T) trong C. Nếu

T : A → B thì F (T) : F (A) → F (B) và
(3) F (ST ) = F (S)F (T),
(4) F (I
A
) = I
F (A)
.
2.2. Không gian vectơ định chuẩn.
Trong phần này chúng ta xét phạm trù các không gian vectơ tôpô.
Cho A là một không gian vectơ thực hoặc phức. Thì A được gọi là một không gian
vectơ định chuẩn nếu có một hàm(một chuẩn) ||.||
A
xác định trên A sao cho
(1) ||a||
A
≥ 0 và ||a||
A
= 0 nếu a = 0,
(2) ||λa||
A
= |λ|||a||
A
, λ là một hằng số,
(3) ||a + b||
A
≤ ||a||
A
+ ||b||
A
.

8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Nếu A là một không gian vectơ định chuẩn thì có một tôpô trên A. Một lân cận
của phần tử a là tập hợp tất cả các phần tử b thuộc A sao cho ||b − a||
A
< ε với
hằng số ε > 0.
Cho A và B là hai không gian vectơ định chuẩn. Một ánh xạ T từ A vào B
gọi là một toán tử tuyến tính bị chặn nếu với mọi a, b ∈ A và mọi λ ∈ K ta có
T (λa) = λT (a), T (a + b) = T (a) + T(b) và
||T ||
A,B
= sup
a=0
||T a||
B
||a||
A
.
Hiển nhiên toán tử tuyến tính bị chặn là liên tục và ta cũng dễ dàng chứng minh
được không gian tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ từ A vào B là một không
gian vectơ định chuẩn với chuẩn ||.||
A,B
.
Chúng ta xét phạm trù N tất cả các không gian vectơ định chuẩn. Các vật trong
N là các không gian vectơ định chuẩn và các cấu xạ là các toán tử tuyến tính bị
chặn. Hiển nhiên N là phạm trù con của phạm trù các không gian vectơ tôpô.
2.2.1. Bổ đề. Giả sử A là một không gian vectơ định chuẩn. Thì A là đầy đủ nếu và
chỉ nếu


∞
k=1
||a
n
||
A
< ∞ kéo theo có một phần tử a ∈ A sao cho ||a−

N
n=1
a
n
||
A
→ 0
khi N → ∞.
Chứng minh. Giả sử A là đầy đủ và

||a
n
||
A
hội tụ. Xét dãy b
ν
=

ν
n=1
a
n

thì (b
ν
) là một dãy Cauchy trong A, do A đầy đủ nên (b
ν
) hội tụ về a ∈ A, suy ra

∞
n=1
a
n
= a ∈ A.
Ngược lại, giả sử (a
ν
) là một dãy Cauchy trong A. Khi đó với mỗi n ∈ N, tồn tại k
n
sao cho với mọi l, m ≥ k
n
ta đều có ||a
l
− a
m
||
A
<
1
2
n
, như vậy ta được dãy (a
νj
) sao

cho ||a
l
− a
m
||
A
<
1
2
j
suy ra

∞
j=1
||a
νj
− a
νj−1
||
A
<

∞
j=1
1
2
j

∞
j=1

||a
νj
− a
νj−1
||
A
hội tụ, theo giả thiết thì

∞
j=1
a
νj
− a
νj−1
thuộc A, suy ra dãy
S
νj
=
j

k=1
a
νk
− a
νk−1
= a
νj
− a
ν0
hội tụ,

suy ra a
νj
hội tụ. 
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2.3. Cặp không gian.
Cho A
0
và A
1
là hai không gian vectơ tôpô. Ta nói A
0
và A
1
là cặp so sánh được
nếu có một không gian vectơ tôpô Hausdorff A sao cho A
0
và A
1
là không gian con
của A. Thì có các tổng A
0
+ A
1
và giao A
0
∩ A
1
. Tổng xét tất cả các phần tử a ∈ A
sao cho có thể viết dưới dạng a = a

0
+ a
1
với a
0
∈ A
0
và a
1
∈ A
1
.
2.3.1. Bổ đề. Giả sử A
0
và A
1
là một cặp không gian vectơ định chuẩn so sánh
được. Thì A
0
∩ A
1
là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn được định nghĩa
như sau
(1) ||a||
A
0
∩A
1
= max(||a||
A

0
, ||a||
A
1
).
Hơn nữa, A
0
+ A
1
cũng là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn,
(2) ||a||
A
0
+A
1
= inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A
0
+ ||a
1
||
A
1

).
Nếu A
0
và A
1
là đầy đủ thì A
0
∩ A
1
và A
0
+ A
1
cũng là các không gian đầy đủ.
Chứng minh.
*) Chứng minh A
0
∩ A
1
là không gian vectơ định chuẩn.
Với mọi a ∈ A
0
∩A
1
, ta có ||a||
A
0
∩A
1
≥ 0 và ||a||

A
0
∩A
1
= 0 ⇔ ||a||
A
0
= 0 và ||a||
A
1
= 0
⇔ a = 0.
Với mọi a ∈ A
0
∩ A
1
, λ ∈ K, ta có
||λa||
A
0
= |λ|||a||
A
0
và ||λa||
A
1
= |λ|||a||
A
1
, suy ra

||λa||
A
0
∩A
1
= max(|λ|||a||
A
0
|λ|||a||
A
1
) = |λ|||a||
A
0
∩A
1
.
Với mọi a, b ∈ A
0
∩ A
1
, ta có
||a + b||
A
0
≤ ||a||
A
0
+ ||b||
A

0
và ||a + b||
A
1
≤ ||a||
A
1
+ ||b||
A
1
.
Từ đó suy ra
||a + b||
A
0
∩A
1
≤ max(||a||
A
0
+ ||b||
A
0
, ||a||
A
1
+ ||b||
A
1
) ≤ ||a||

A
0
∩A
1
+ ||b||
A
0
∩A
1
.
Vậy A
0
∩ A
1
là không gian vectơ định chuẩn.
*)Chứng minh A
0
+ A
1
là không gian vectơ định chuẩn.
Hiển nhiên ||a||
A
0
+A
1
≥ 0 với mọi a ∈ A
0
+ A
1
.

10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Với mọi λ ∈ K, a ∈ A
0
+ A
1
ta có
||λa||
A
0
+A
1
= inf
a=a
0
+a
1
(||λa
0
|| + ||λa
1
||)
= |λ| inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
|| + ||a

1
||)
= |λ|||a||
A
0
+A
1
.
Với mọi a, b ∈ A
0
+ A
1
, a = a
0
+ a
1
, b = b
0
+ b
1
,ta có
||a
0
+ b
0
||
A
0
+ ||a
1

+ b
1
||
A
1
≤ ||a
0
||
A
0
+ ||a
1
||
A
1
+ ||b
0
||
A
0
+ ||b
1
||
A
1
nên
||a + b||
A
0
+A

1
≤ ||a||
A
0
+A
1
+ ||b||
A
0
+A
1
.
*)Bây giờ ta sử dụng Bổ đề 2.3.1 để chứng minh A
0
+ A
1
là đầy đủ.
Giả sử

∞
n=1
||a
n
||
A
0
+A
1
< +∞, ta viết a
n

= a
0
n
+ a
1
n
sao cho
||a
0
n
||
A
0
+ ||a
1
n
||
A
1
≤ 2||a||
A
0
+A
1
.
Vì chuỗi

∞
n=1
||a

n
||
A
0
+A
1
hội tụ nên hai chuỗi

∞
n=1
||a
0
n
||
A
0
và

∞
n=1
||a
1
n
||
A
1
cũng
hội tụ, vì A
0
và A

1
là không gian đầy đủ nên chuỗi

∞
n=1
a
0
n
hội tụ trong A
0
và chuỗi

∞
n=1
a
1
n
hội tụ trong A
1
. Đặt a
0
=

∞
n=1
a
0
n
và a
1

=

∞
n=1
a
1
n
và a = a
0
+ a
1
thì
a ∈ A
0
+ A
1
và ||a −

N
n=1
a
n
||
A
0
+A
1
≤ ||a
0
−


N
n=1
a
0
n
||
A
0
+ ||a
1
−

N
n=1
a
1
n
||
A
1
→ 0
khi N → +∞.
Như vậy chuỗi

∞
n=1
a
n
hội tụ trong A

0
+ A
1
, suy ra A
0
+ A
1
là không gian định
chuẩn đầy đủ.
*)Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được A
0
∩ A
1
là không gian định chuẩn đầy
đủ. 
Cho C là phạm trù con của của phạm trù các không gian tuyến tính định chuẩn
N , chúng ta giả sử ánh xạ T : A → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ không gian
tuyến tính định chuẩn A vào không gian tuyến tính định chuẩn B. Gọi C
1
là phạm
trù các cặp so sánh được
A = (A
0
, A
1
) nghĩa là A
0
và A
1
là so sánh được và A

0
+ A
1
và A
0
∩ A
1
là các không gian trong C
1
, cấu xạ T : (A
0
, A
1
) → (B
0
, B
1
) trong C
1
là
toán tử tuyến tính bị chặn từ A
0
+ A
1
vào B
0
+ B
1
sao cho
T

A
0
: A
0
→ B
0
và T
A
1
: A
1
→ B
1
là các ánh xạ trong C.
Ở đây, T
A
có nghĩa là hạn chế của T trên không gian con A.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Với a = a
0
+ a
1
, ta có
||T a||
B
0
+B
1
= ||T a

0
+ Ta
1
||
B
0
+B
1
≤ ||Ta
0
||
B
0
+ ||T a
1
||
B
1
≤ ||T||
A
0
,B
0
||a
0
||
A
0
+ ||T ||
A

1
,B
1
||a
1
||
A
1
(Kí hiệu ||T ||
A,B
là chuẩn của toán tử T : A → B.)
Chúng ta có kết quả sau
(3) ||T ||
A
0
+A
1
,B
0
+B
1
≤ max(||T||
A
0
,B
0
, ||T ||
A
1
,B

1
),
(4) ||T ||
A
0
∩A
1
,B
0
∩B
1
≤ max(||T||
A
0
,B
0
, ||T ||
A
1
,B
1
).
Chúng ta định nghĩa hai hàm cơ sở

(tổng) và (giao) từ C
1
vào C.
Chúng ta viết

(T ) = (T ) = T và

(5) (A) = A
0
∩ A
1
,
(6)

(A) = A
0
+ A
1
.
Ví dụ 1. Pham trù C = B các không gian Banach và coi C
1
là tất cả các cặp
so sánh được (A
0
, A
1
). Theo Mệnh đề 2.3.1 chúng ta có, nếu A
0
và A
1
là cặp so sánh
được thì A
0
+ A
1
và A
0

∩ A
1
cũng là các không gian Banach.
Ví dụ 2. Phạm trù C tất cả các không gian L
1,w
định nghĩa bởi chuẩn
||f||
L
1,w
=

|f(x)|w(x)dx
ở đây w(x) > 0. Ta có L
1,w
0
∩ L
1,w
1
= L
1,w

, với w

(x) = max(w
0
(x), w
1
(x)) và
L
1,w

0
+ L
1,w
1
= L
1,w

, trong đó w

(x) = min(w
0
(x), w
1
(x)), chúng ta coi C
1
là tất cả
các cặp (L
1,w
0
, L
1,w
1
).
2.4. Định nghĩa không gian nội suy.
Trong phần này C có nghĩa là phạm trù con của N sao cho C là đóng đối với toán
tử tổng

và giao . Chúng ta coi C
1
là phạm trù tất cả các cặp so sánh được A

của không gian C.
2.4.1. Định nghĩa. Cho A = (A
0
, A
1
) là một cặp trong C
1
. Khi đó, một không
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
gian A sẽ được gọi là một không gian trung gian giữa A
0
và A
1
nếu
(1) (A) ⊂ A ⊂

(A).
Với bao hàm liên tục. Không gian A được gọi là không gian nội suy giữa A
0
và A
1
(hay đối với cặp A) nếu thêm điều kiện
(2) T : A → A kéo theo T : A → A.
Tông quát, cho A và B là hai cặp trong C
1
. Ta nói rằng hai không gian A và B
là không gian nội suy với cặp A và B nếu A và B là các không gian trung gian đối
với A và B và
(3) T : A → B kéo theo T : A → B.

Chú ý rằng (3) có nghĩa là, nếu T : A
0
→ B
0
và T : A
1
→ B
1
thì T : A → B.
Ví dụ. Định lý Riesz-Thorin nói rằng L
p
là không gian nội suy giữa L
p
0
và L
p
1
nếu
p
0
< p < p
1
.
Nhận xét.
+) (A) và (A) là các không gian nội suy đối với cặp A và B.
+)

(A) và

(A) là các không gian nội suy đối với cặp A và B.

Thật vậy, chỉ cần chọn A = (A) (hoặc A =

(A)) và B = (B)(hoặc B =

(B)).
Ta nói A và B là các không gian nội suy chính xác nếu điều kiện sau xảy ra
(4) ||T ||
A,B
≤ max(||T||
A
0
,B
0
, ||T ||
A
1
,B
1
).
A và B là các không gian nội suy đều nếu điều kiện sau xảy ra
(5) ||T ||
A,B
≤ C max(||T ||
A
0
,B
0
, ||T ||
A
1

,B
1
).
Không gian nội suy A và B của số mũ θ, (0 ≤ θ ≤ 1) nếu
(6) ||T ||
A,B
≤ C||T ||
1−θ
A
0
,B
0
||T ||
θ
A
1
,B
1
.
Nếu C = 1 thì ta nói rằng A và B là các không gian nội suy chính xác của số mũ θ.
Định lý Riesz-Thorin nói rằng L
p
là không gian nội suy giữa L
p
0
và L
p
1
mà chính
xác của số mũ θ nếu

1
p
=
1 − θ
p
0
+
θ
p
1
với 0 < θ < 1.
2.4.2. Định lý. Xét phạm trù B. Giả sử A và B là các không gian nội suy đối với
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
cặp A và B. Khi đó A và B là các không gian nội suy đều.
Chứng minh. Xét tập hợp tất cả các ánh xạ T trong C
1
sao cho T : A → B.
Vì vậy T là toán tử tuyến tính bị chặn từ A vào B. Biểu thị này được trang bị chuẩn
max(||T ||
A,B
, ||T ||
A
0
,B
0
, ||T ||
A
1
,B

1
) bởi L
1
, và tương đương với chuẩn max(||T ||
A
0
,B
0
, ||T ||
A
1
,B
1
)
bởi L
2
. Dễ dàng kiểm tra L
1
và L
2
là các không gian Banach.(Sử dụng tính chất
không gian trung gian.) Ánh xạ đồng nhất i : L
1
→ L
2
hiển nhiên là song ánh tuyến
tính bị chặn. Theo Định lý Banach i
−1
: L
2

→ L
1
cũng bị chặn. Điều này có nghĩa là
||T ||
A,B
≤ max(||T||
A,B
, ||T ||
A
0
,B
0
, ||T ||
A
1
,B
1
) ≤ C max(||T||
A
0
,B
0
, ||T ||
A
1
,B
1
).
Với C độc lập với T, nghĩa là A và B là các không gian nội suy đều. 
2.4.3. Định nghĩa. Một hàm tử nội suy (hoặc một phương pháp nội suy) trên

C có nghĩa là một hàm tử F : C
1
→ C thoả mãn nếu A và B là cặp trong C
1
, thì
F (A) và F (B) là không gian nội suy đối với cặp A và B. Hơn nữa chúng ta có
F (T ) = T với mọi T : A −→ B.
Ta nói F là hàm tử nội suy đều(tương tự chính xác) nếu F (A) và F (B) là không
gian nội suy đều(tương tự chính xác) đối với cặp A và B.
Ta nói F là hàm tử nội suy chính xác của số mũ θ nếu F (A) và F (B) là không gian
nội suy chính xác của số mũ θ.
Theo Định lý 2.4.2 mọi hàm tử nội suy F trên B là đều, có nghĩa là ||T ||
F (A),F (B)
≤
C max(||T ||
A
0
,B
0
, ||T ||
A
1
,B
1
) với C là hằng số và nó phụ thuộc vào cặp A và B.
Thật vậy, vì F là hàm tử nội suy nên F(A) và F (B) là không gian nội suy, và do ta
xét trên pham trù các không gian Banach nên F (A) và F (B) nội suy đều, suy ra F
là hàm tử nội suy đều.
Nếu C không phụ thuộc vào cặp A và B ta nói rằng F là hàm tử nội suy bị chặn.
Chú ý. C = 1 thì F là hàm tử nội suy chính xác.

2.5. Định lý Aronszajn-Gagliardo.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2.5.1. Định lý( Aronszajn-Gagliardo). Xét phạm trù B của tất cả các không
gian Banach. Cho A là một không gian nội suy với cặp A. Khi đó tồn tại một hàm
tử nội suy đều F
0
trên B thoả mãn F
0
(A) = A.
Chú ý rằng F
0
(A) = A có nghĩa là F
0
(A) và A có phần tử như nhau và chuẩn trên
chúng tương đương.
Chứng minh. Trước hết cho X = (X
0
, X
1
) là một cặp trong B
1
.
Nếu T : A → X chúng ta có
||T ||
A,X
= max(||T ||
A
0
,X

0
, ||T ||
A
1
,X
1
)
thì X = F
0
(X) được viết bởi x ∈

(X) có cách biểu diễn x =

j
T
j
a
j
, trong đó
T
j
: A −→ X, a
j
∈ A.
Đặt N
X
(x) =

j
||T

j
||
A,X
||a
j
||
A
. Ta có N
X
(x) là một chuẩn trên X.
*)Trước hết ta chứng minh X là không gian trung gian đối với cặp X.
Để chứng minh (X) ⊂ X, chúng ta xét ϕ là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn
trên

(A) sao cho ϕ(a
1
) = 1 với a
1
∈ A cố định.
Cho x ∈ (X) cố định, đặt T
1
a = ϕ(a)x (1), khi đó
||T
1
a||
X
j
= ||ϕ(a)x||
X
j

= |ϕ(a)|||x||
X
j
≤ C||a||

(A)
||x||
X
j
.
(do ϕ bị chặn trên

(A) nên ||ϕ|| ≤ C và |ϕ(a)| ≤ ||ϕ||.||a||

(A)
)
Ta có ||T
1
||
A
j
,X
j
≤ C.||x||
X
j
, suy ra ||T
1
||
A,X

= max(||T
1
||
A
j
,X
j
)
≤ C max(||x||
X
j
) = C.||x||
(X)
suy ra ||T
1
||
A,X
≤ C.||x||
(X)
.
Đặt T
j
= 0 và a
j
= 0 nếu j > 1, từ (1) suy ra, T
1
a
1
= x, chúng ta có
x =


j
T
j
a
j
và ||x||
X
≤

j
||T
j
||
A,X
.||a
j
||
A
≤ C.||x||
(X)
.||a
1
||
A
.
Từ đó kéo theo (X) ⊂ X.
*)Ta chứng minh X ⊂

(X).

Ta có A ⊂

(A), nếu x =

j
T
j
a
j
là biểu diễn của x ∈ X thì
||x||

(X)
≤

j
||T
j
||
A,X
||a
j
||

(A)
≤ C.

j
||T
j

||
A,X
||a
j
||
A
,
suy ra||x||

(X)
≤ C.N
X
(x), suy ra x ∈

(X).
Sử dụng Mệnh đề 2.2.1, giả sử

∞
ν=0
||x
(ν)
||
X
hội tụ thì chuỗi

∞
ν=0
||x
(ν)
||


(X)
cũng
hội tụ, vì X ⊂

(X), suy ra chuỗi

∞
ν=0
x
(ν)
= x ∈

(X), (vì

(X) là đầy đủ).
Cho x
(ν)
=

j
T
(ν)
j
a
(ν)
j
là biểu diễn thoả mãn

j

||T
(ν)
j
||
A,X
.||a
(ν)
j
||
A
< ||x
(ν)
||
X
+2
−ν
,
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
với ν = 0, 1, 2, thì x =

ν

j
T
ν
j
.a
ν
j

∈ X, bởi vì chuỗi

ν

j
||T
ν
j
||
A,X
.||a
ν
j
||
A
hội
tụ.
Cuối cùng, với sự biểu diễn đó chúng ta có
||x −

n
ν=0
x
(ν)
||
X
≤

∞
ν=n+1


∞
j=0
||T
(ν)||
A,X
j
||a
ν
j
||
A
≤

∞
ν=n+1
(||x
(ν)
||
X
+ 2
−ν
) →
0(n → ∞). Như vậy x =

∞
ν=0
x
(ν)
∈ X, suy ra X là không gian định chuẩn đầy đủ.

Tiếp theo ta chứng minh F
0
là hàm nội suy chính xác.
Giả sử S : X → Y . Nếu X = (X
0
, X
1
) và Y = (Y
0
, Y
1
), ta đặt
M
j
= ||S||
X
j
,Y
j
, j = 0, 1.
Ta cần chứng minh ||S||
Y
≤ max(||S||
X
0
,Y
0
, ||S||
X
1

,Y
1
) = max(M
0
, M
1
).
Đặt X = F (X) và Y = F(Y ) và giả sử rằng x ∈ X. Nếu x =

j
T
j
a
j
là một biểu
diễn của x, thì Sx =

j
ST
j
a
j
là một biểu diễn của Sx.
Ta có ||ST
j
||
A,Y
≤ ||S||
X
j

,Y
j
||T
j
||
A,X
≤ max(M
0
, M
1
)||T
j
||
A,X
do đó

j
||ST
j
||
A,Y
||a
j
||
A
≤ max(M
0
, M
1
)||T

j
||
A,X
||a
j
||
A
với mọi a
j
∈ A,
suy ra ||Sx||
Y
≤ max(M
0
, M
1
)||x||
X
, suy ra ||S||
Y
≤ max(M
0
, M
1
).
Vậy F
0
là một hàm tử nội suy chính xác.
*) Chứng minh F
0

(A) = A.
Nếu a ∈ F
0
(A) có biểu diễn a =

j
T
j
a
j
, ở đây T
j
: A → A thì ||T
j
a
j
||
A
≤
C.||T
j
||
A,A
.||a
j
||
A
. Vì vậy A là một không gian nội suy với cặp A và A là đóng phù
hợp với Định lý 2.4.2 và ||a||
A

≤

j
||T
j
a
j
||
A
≤ C.

j
||T
j
||
A,A
.||a
j
||
A
= C.N
A
(a)
điều này chứng tỏ F
0
(A) ⊂ A.
Với a ∈ A, ta viết a =

j
T

j
a
j
, T
j
= 0 và a
j
= 0 với j > 1 và T
1
= I, a
1
= a, thì
||a||
F
0
(A)
≤

j
||T
j
||
A,A
.||a
j
||
A
= ||a||
A
, suy ra A ⊂ F

0
(A). 
2.5.2. Hệ quả. Xét phạm trù B. Cho A là một không gian nội suy với cặp A
và cho F
0
là một hàm tử nội suy được xây dựng trong chứng minh của Định lý 2.5.1.
Thì F
0
(X) ⊂ G(X) với bất kì hàm tử nội suy G thoả mãn G(A) = A.
Chứng minh. Nếu x =

j
T
j
a
j
là một biểu diễn của x ∈ X = F
0
(X) thì
T
j
: A → X. Đặt Y = G(X), vì A và Y là các không gian nội suy đều với cặp
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A và X nên ta có ||T
j
a
j
||
Y

≤ C.||T
j
||
A,X
.||a
j
||
A
, ở đây
||T
j
||
A,X
= max(||T
j
||
A
0
,X
0
, ||T
j
||
A
1
,X
1
).
Do đó ||x||
Y

≤ C.

j
||T
j
||
A,X
.||a
j
||
A
theo định nghĩa của không gian X thì X ⊂ Y,
suy ra F
0
(X) ⊂ G(X). 
2.6. Một điều cần thiết cho không gian nội suy.
Trong phần này chúng ta xét phạm trù C = N của tất cả các không gian tuyến
tính định chuẩn. C
1
là phạm trù tất cả các cặp so sánh được của C.
Với t > 0 cố định, đặt
K(t, a) = K(t, a, A) = inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A

0
+ t||a
1
||
A
1
), a ∈

(A)
J(t, a) = J(t, a, A) = max(||a||
A
0
, t||a||
A
1
), a ∈ (A).
Ta chứng minh K(t, a) và J(t, a) là các chuẩn tương ứng trên

(A) và (A).
*) Chứng minh K(t, a) là chuẩn trên

(A).
Với mọi a ∈

(A) có biểu diễn a = a
0
+ a
1
, a
0

∈ A
0
, a
1
∈ A
1
thì do ||a
0
||
A
0
≥ 0 và
||a
1
||
A
1
≥ 0 nên K(t, a) ≥ 0, ngoài ra K(t, a) = 0 khi ||a
0
||
A
0
= ||a
1
||
A
1
= 0 tức tà
a = 0.
Với mọi λ ∈ K và mọi a = a

0
+ a
1
, a
0
∈

(A), ta có
K(t, λa) = inf
a=a
0
+a
1
(||λa
0
||
A
0
+ t||λa
1
||
A
1
)
= |λ| inf
a=a
0
+a
1
(||a

0
||
A
0
+ t||a
1
||
A
1
)
= |λ|K(t, a).
Với mọi a = a
0
+ a
1
, b = b
0
+ b
1
, ∈

(A),
do ||a
0
+ b
0
|| + t||a
1
+ b
1

|| ≤ ||a
0
|| + t||a
1
|| + ||b
0
|| + t||b
1
|| nên
K(t, a + b) = inf(||a
0
+ b
0
||
A
0
+ t||a
1
+ b
1
||
A
1
)
≤ inf
a=a
0
+a
1
(||a

0
||
A
0
+ t||a
1
||
A
1
) + inf
b=b
0
+b
1
(||b
0
||
A
0
+ t||b
1
||
A
1
)
= K(t, a) + K(t, b).
Vậy K(t, a) là một chuẩn trên

(A).
*) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được J(t, a) là chuẩn trên (A).

17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
2.6.1. Định lý. Cho A và B là các không gian nội suy đều với cặp A và B. Khi đó
nếu
J(t, b) ≤ K(t, a) với mọi t ∈ K, a ∈ A
thì
b ∈ B, ||b||
B
≤ C.||a||
A
.
Hơn nữa nếu A và B là các không gian nội suy chính xác thì C = 1.
Chứng minh. Cho a ∈ A, b ∈ B và t ∈ K. Xét toán tử tuyến tính T(x) = f(x)b, ở
đây f là một phiếm hàm tuyến tính trên

(A) với f(a) = 1 và |f(x)| ≤
K(t,x)
K(t,a)
(Sự
tồn tại của f là do Định lý Hanh-Banach).
Nếu x ∈ A
i
, chúng ta có
t
i
||T x||
i
≤ |f(x)|.t
i
||b||

i
≤
K(t, x)
K(t, a)
t
i
||b||
i
.
Vì J(t, b) = max(||b||
B
0
, t||b||
B
1
) ≥ t
i
.||b||
B
i
suy ra,
t
i
.||b||
B
i
K(t,a)
≤
J(t,b)
K(t,a)

≤ 1.
Vì A và B là các không gian nội suy đều, nên ||T x||
B
≤ C.||x||
A
, với mọi x ∈ A.
Đặt x = a, ta có ||b||
B
≤ C.||a||
A
vì T a = b.
Cuối cùng nếu A và B là không gian nội suy chính xác thì đương nhiên C = 1. 
2.7. Định lý đối ngẫu.
Giả sử B là phạm trù các không gian Banach.
2.7.1. Định lý. Giả sử (A) là trù mật trong cả hai A
0
và A
1
thì
(A)

=

(A

) và

(A)

= (A


).
Ở đây A

= (A

0
, A

1
) và A

là đối ngẫu của A.
Hơn nữa,
||a

||

(A

)
= sup
a∈(A)
| < a

, a > |
||a||
(A)
và
||a


||
(A

)
= sup
a∈

(A)
| < a

, a > |
||a||

(A)
.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Chứng minh.
*) Ta chứng minh
||a

||

(A

)
= sup
a∈(A)
| < a


, a > |
||a||
(A)
.
Với a

∈

(A

) và a

= a

0
+ a

1
, a

0
∈ A

0
, a

1
∈ A


1
và a ∈ (A) thì
| < a

, a > | ≤ | < a

0
, a > | + | < a

1
, a > | ≤ ||a

0
||
A

0
||a||
A
0
+ ||a

1
||
A

1
||a||
A
1

≤ (||a

0
||
A

0
+ ||a

1
||
A

1
) max(||a||
A
0
, ||a||
A
1
)
= (||a

0
||
A

0
+ ||a


1
||
A

1
)||a||
(A)
.
Suy ra
|<a

,a>|
||a||
(A)
≤ ||a

0
||
A

0
+ ||a

1
||
A

1
, với mọi a


= a

0
+ a

1
∈

(A

).
Suy ra
|<a

,a>|
||a||
(A)
≤ ||a

||

(A

)
.
Vậy a

∈ (A

) và ||a


||
(A)

≤ ||a

||

(A

)
. (*)
Ngược lại, lấy l ∈ (A)

nghĩa là |l(a)| ≤ ||l||
(A)

||a||
(A)
, a ∈ (A).
Thì toán tử tuyến tính
λ : (a
0
, a
1
) → l(
a
0
+ a
1

2
) trên E = {(a
0
, a
1
) ∈ A
0

A
1
: a
0
= a
1
}
là liên tục với chuẩn max(||a
0
||
A
0
, ||a
1
||
A
1
) trên A
0

A
1

, E là không gian con của
A
0

A
1
. Theo Định lý Hanh-Banach có (a

0
; a

1
) ∈ A

0

A

1
sao cho
||a

0
||

A
+ ||a

1
|


A
1
≤ ||l||
(A)

và
λ(a
0
, a
1
) =< a

0
, a
0
> + < a

1
, a
1
>, (a
0
, a
1
) ∈ E.
Vì vây, đặt a
0
= a
1

= a, chúng ta được
l(a) = λ(a
0
, a
1
) =< a

0
, a > + < a

1
, a >=< a

0
+ a

1
, a >, a ∈ (A).
Do tính trù mật nên a

0
và a

1
xác định bởi giá trị trên (A). Đặt l = a

0
+ a

1

, ta có
||l||

(A

)
≤ ||l||
(A)
. (**)
Từ (*) và (**) ta suy ra
||a

||

(A

)
= sup
a∈(A)
| < a

, a > |
||a||
(A)
.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được
||a


||
(A

)
= sup
a∈

(A)
| < a

, a > |
||a||

(A)
.
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY THỰC
3.1. Phương pháp K.
Trong phần này chúng ta xét phạm trù N tất cả các không gian véctơ định
chuẩn. Chúng ta sẽ xây dựng họ các hàm tử nội suy K
θ,p
trên N . Chúng ta biết

là một hàm tử nội suy trên N . Chuẩn trên

(A) là inf
a=a
0
+a

1
(||a
0
||
A
0
+ ||a
1
||
A
1
),
nếu A = (A
0
, A
1
).
Bây giờ chúng ta cần thay thế chuẩn trên A
1
bởi một chuẩn tương đương. Ta có thể
thay thế ||a
1
||
A
1
bởi (t.||a
1
||
A
1

), ở đây t là một số dương cố định. Điều này có nghĩa
rằng
K(t, a) = K(t, a, A) = inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A
0
+ t.||a
1
||
A
1
)
là một chuẩn tương đương trên

(A) với mọi hằng số dương t > 0. Hơn nữa ta có
bổ đề dưới đây.
3.1.1.Bổ đề. Với a ∈

(A), K(t, a) không âm, tăng và là hàm lõm của t. Đặc
biệt
(1) K(t, a) ≤ max(1,
t
s
), K(s, a).

Chứng minh.
+) Ta có K(t, a) = inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A
0
+ t||a
1
||
A
1
) ≥ 0.
+) Với 0 < t
1
< t
2
thì ||a
0
||
A
0
+ t
1
||a
1

||
A
1
≤ ||a
0
||
A
0
+ t
2
||a
1
||
A
1
.
Suy ra K(t
1
, a) ≤ K(t
2
, a), suy ra K(t, a) tăng theo t > 0.
+) Với t
1
, t
2
> 0 và λ ∈ (0, 1) ta có
K(λt
1
+ (1 − λ)t
2

, a) = inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A
0
+ (λt
1
+ (1 − λ)t
2
)||a
1
||
A
1
)
= inf(λ||a
1
||
A
0
+ λt
1
||a
1
||

A
1
+ (1 − λ)||a
0
||
A
0
+ (1 − λ)t
2
||a
1
||
A
1
)
≤ λ(||a
0
||
A
0
+ t
1
||a
1
||
A
1
) + (1 − λ)(||a
0
||

A
0
+ t
2
||a
1
||
A
1
).
Do bắt đẳng thức trên đúng với mọi sự phân tích của a, nên
K(λt
1
+ (1 − λ)t
2
, a) ≤ λK(t
1
, a) + (1 − λ)K(t
2
, a).
Suy ra K(t, a) là hàm lõm đối với t.
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
*)Chứng minh K(t, a) ≤ max(1,
t
s
)K(s, a). (*)
Nếu t ≤ s, suy ra
t
s

≤ 1, suy ra max(1,
t
s
)K(s, a) = 1.K(s, a).
và do K(t, a) tăng, nên K(t, a) ≤ K(s, a), suy ra (*) đúng.
Nếu t > s thì
max(1,
t
s
)K(s, a) =
t
s
.K(s, a)
=
t
s
inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A
1
+ s||a
1
||
A

1
)
= inf
a=a
0
+a
1
(
t
s
||a
0
||
A
0
+ t||a
1
||
A
1
)
≥ inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A

0
+ t.||a
1
||
A
1
) = K(t, a).
Vậy (*) đã được chứng minh.
Hơn nữa, từ (1) ta có K(t, a) là một chuẩn tương đương trên

(A) với mỗi t > 0.
Thật vậy, ta có ||a||

(A)
= inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A
0
+ ||a
1
||
A
1
) = K(1, a).

Nên với t > 0 thì K(t, a) ≤ max(1, t)K(1, a) = max(1, t)||a||

(A)
.
Và K(1, a) ≤ max(1,
1
t
)K(t, a) ⇔ ||a||

(A)
≤ max(1,
1
t
)K(t, a).
Từ đó suy ra K(t, a) và K(1, a) = ||a||

(A)
là tương đương trên

(A).
Ví dụ. Hàm t → K(t, a), a ∈

(A) có một nội suy hình học như sau. Xét tập hợp
Γ(a) = {x = (x
0
, x
1
) ∈ R
2
|∃a

0
+ a
1
= a, a
i
∈ A
i
, i = 0, 1; ||a
i
||
A
i
≤ x
i
}.
Dễ dàng kiểm tra được Γ(a) là một tập lồi trên R
2
và
(2) K(t, a) = inf
x∈Γ(a)
(x
0
+ tx
1
) = inf
x∈∂Γ(a)
(x
0
+ tx
1

).
Thật vậy, lấy x = (x
0
, x
1
), y = (y
0
, y
1
) ∈ Γ(a) và λ ∈ (0; 1). Ta có
λx + (1 − λ)y = (λx
0
+ (1 − λ)y
0
, λx
1
+ (1 − λ)y
1
).
Theo giả thiết ∃a
0
+ a
1
= a, b
0
+ b
1
= a, với a
i
, b

i
∈ A
i
, i = 0, 1 sao cho
||a
i
||
A
i
≤ x
i
, ||b
i
||
A
i
≤ y
i
suy ra
||λa
0
+ (1 − λ)b
0
||
A
0
≤ λ||a
0
||
A

0
+ (1 − λ)||b
0
||
A
0
≤ λx
0
+ (1 − λ)y
0
và
||λa
0
+ (1 − λ)b
0
||
A
0
≤ λ||a
0
||
A
0
+ (1 − λ)||b
0
||
A
0
≤ λx
0

+ (1 − λ)y
0
.
Suy ra tồn tại c
0
= λa
0
+ (1 − λ)b
0
∈ A và c
1
= λa
1
+ (1 − λ)b
1
∈ A sao cho
||c
0
|| ≤ λx
0
+ (1 − λ)y
0
, ||c
1
|| ≤ λx
1
+ (1 − λ)y
1
, suy ra λx + (1 − λ)y ∈ Γ(a).
22

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Vậy Γ(a) là tập lồi trong R
2
, từ đây ta cũng có
K(t, a) = inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A
0
+ t||a
1
||
A
1
)
= inf
x∈Γ(a)
(x
0
+ tx
1
)
= inf
x∈∂Γ(a)
(x

0
+ tx
1
).
Bây giờ xét Φ
θ,q
là một hàm được định nghĩa
(3) Φ
θ,q
(ϕ(t)) = (

∞
0
(t
−θ
.ϕ(t))
q
dt
t
)
1
q
, 1 ≤ q ≤ ∞,
ở đây ϕ là một hàm không âm, và chúng ta xét thêm điều kiện
(4) Φ
θ,q
(K(t, a)) < ∞.
Theo Bổ đề 3.1.1 chúng ta thấy rằng điều kiện là có nghĩa trong trường hợp 0 <
θ < 1, 1 ≤ q ≤ ∞ và 0 ≤ θ ≤ 1, q = ∞. Với những giá tri này của θ và q, chúng ta
xét A

θ,q;K
= K
θ,q
(A) là không gian tất cả các phần tử a ∈

(A) sao cho (4) xảy ra.
Chúng ta đặt
(5) ||a||
θ,q;K
= Φ
θ,q
(K(t, a)).
Trong định lý dưới đây được hiểu là, nếu T : A → B thì K
θ,q
(T ) = T.
3.1.2. Định lý. K
θ,q
là một hàm tử nội suy chính xác với số mũ θ trên phạm trù
N . Hơn nữa, chúng ta có
(6) K(s, a; A) ≤ γ
θ,q
.s
θ
||a||
θ,q;K
.
Chứng minh. Từ K(t, a; A) là một chuẩn trên

(A) và Φ
θ,q

có tất cả ba tính
chất của chuẩn, dễ thấy rằng K
θ,q
(A) là một không gian vectơ định chuẩn. Để chứng
minh (6) ta sử dụng công thức (1) của Bổ đề 3.1.1 mà ta có thể viết dưới dạng
min(1,
t
s
)K(s, a) ≤ K(t, a).
Áp dụng Φ
θ,q
cho bất đẳng thức này, chúng ta có
Φ
θ,q
(min(1,
t
s
)K(s, a)) ≤ Φ
θ,q
(K(t, a)) = ||a||
θ,q;K
hay Φ
θ,q
(min(1,
t
s
))K(s, a) ≤ ||a||
θ,q;K
.
23

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Bây giờ chúng ta chú ý rằng, với s > 0 thì
Φ
θ,q
(ϕ(
t
s
)) =


∞
0

t
−θ
ϕ(
t
s
)

q
d(t/s)
t/s

1
q
= s
−θ



∞
0

(
t
s
)
−θ
ϕ(
t
s
)

q
d(t/s)
(t/s)

1/q
= s
−θ
.Φ
θ,q
(ϕ(t)).
Đặc biệt, Φ
θ,q
(min(1,
t
s
)) = s
−θ

.Φ
θ,q
(min(1, t)).
Ta có Φ
θ,q
(min(1, t)) =
1
q
1
q

θ.(1−θ)

1
q
.
Thật vậy,
Φ
θ,q
(min(1, t)) =


∞
0

t
−θ
min(1, t)
q
dt

t


1
q
=


1
0

t
−θ
min(1, t)
q
dt
t

+

∞
1

t
−θ
min(1, t)
q
dt
t



1
q
=



1
0
(t
−θq+q−1
dt

+


∞
1
(t
−θq−1
dt


1
q
=

t
−θq+q
−θq + q




1
0
+
t
−θq
−θq



∞
1

1
q
=


1
q − θq
− 0

+

0 +
1
θq



1
q
=
1
q
1
q
1
θ
1
q
(1 − θ)
1
q
.
Như vậy, Φ
θ,q
(min(1,
t
s
)) = s
−θ
1
q
1
q
(1−θ
1
q

)
.
Do đó bất đẳng thức Φ
θ,q
(min(1,
t
s
))K(s, a) ≤ ||a||
θ,q,K
⇔ s
−θ
1
p
1
q
(1−θ)
1
q
K(s, a) ≤ ||a||
θ,q;K
⇔ K(s, a) ≤ p
1
q
(1 − θ)
1
q
s
θ
||a||
θ,q;K

.
Tức là (6) được chứng minh(với γ
θ,q
= p
1
q
(1 − θ)
1
q
).
Trong (6) với s = 1 thì K(1, a) ≤ γ
θ,q
||a||
θ,q;K
,
tức là ||a||

(A)
≤ γ
θ,q
||a||
θ,q;K
, suy ra K
θ,q
(A) ⊂

(A). (*)
Bao hàm thức (A) ⊂ K
θ,q
(A) là hiển nhiên, vì từ K(t, a) ≤ min(1, t)||a||

(A)
.
24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Suy ra
||a||
θ,q;K
= Φ
θ,q
(K(t, a))
= Φ
θ,q
(min(1, t)||a||
(A)
)
= ||a||
(A)
Φ
θ,a
(min(1, t))
= ||a||
(A)
Γ
θ,q
.
Suy ra (A) ⊂ K
θ,q
(A). (**)
Từ (*) và (**) suy ra K
θ,q

(A) là không gian trung gian giữa (A) và

(A).
+) Còn lại ta chứng minh K
θ,q
(A) là một hàm tử nội suy với số mũ θ.
Giả sử rằng T = A → B, với A = (A
0
, A
1
), B = (B
0
, B
1
).
Đặt M
j
= ||T ||
A
i
,B
j
, j = 0, 1. Thì
K(t, T a, B) = inf
a=a
0
+a
1
(||T a
0

||
B
0
+ t||T a
1
||
B
1
)
≤ inf
a=a
0
+a
1
(M
0
||a
0
||
A
0
+ tM
1
||a
1
||
A
1
)
= M

0
inf
a=a
0
+a
1
(||a
0
||
A
0
+
tM
1
M
0
||a
1
||
A
1
).
Suy ra K(t, T a; B) ≤ M
0
K(
tM
1
M
0
, a; A).

Nhưng từ (7) với s =
M
0
M
1
, chúng ta được Φ
θ,q

ϕ(
tM
1
M
0
)

=

M
0
M
1

θ
Φ
θ,q
(ϕ(t)),
suy ra Φ
θ,q

K(t, T a; B)


≤ M
0
.Φ
θ,q

K(
t
s
, a; A)) = M
0
.

M
0
M
1

−θ
Φ
θ,q

K(t, a; A)), suy ra
||T a||
K
θ,q(B)
≤ M
1−θ
0
M

θ
1
||a||
K
θ,q(A)
.
Điều đó chứng tỏ rằng K
θ,q
là một hàm tử nội suy chính xác với số mũ θ. 
Chú ý. Tính chất nội suy xảy ra với mọi toán tử T :

(A) →

(B) sao cho (8) xảy
ra. Đặc biệt tính chất nội suy xảy ra với mọi toán tử T sao cho T (a
0
+ a
1
) = b
0
+ b
1
,
ở đây ||b
j
||
B
j
≤ M
j

||a
j
||
A
j
, j = 0, 1.
Có một vài cách có ích khác nhau của phương pháp nội suy K
θ,q
. Trong mục này
chúng ta chỉ nói đến phương pháp K
θ,q
rời rạc, chúng ta sẽ thay thế tính liên tục
của biến t bởi biến ν. Quan hệ giữa t và ν là t = 2
ν
. Sự rời rạc này sẽ mở ra một
phương pháp tốt hơn.
Ta định nghĩa không gian λ
θ,q
của tất cả các dãy (α
ν
)
∞
−∞
sao cho
||α
ν
||
λ
θ,q
=


∞

−∞
(2
−νθ
.|α
ν
|)
q

1
q
< ∞.
25
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên