PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ pot

PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN CỰC TRỊ
VD1:
Tìm GTNN của A =
2
1 4 4
x x
  +
2
4 12 9
x x
 

Giải:
A =
2
(1 2 )
x
 +
2
(2 3)
x 
=
1 2
x
 +
2 3
x




1 2 2 3
x x
  
= 2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 – 2x)(2x – 3)

0
Lập bảng xét dấu:

x
1
2


3
2


1 – 2x + 0 - -
2x - 3 - - 0 +
(1 – 2x)(2x – 3) - 0 + 0 -

Từ đó ta có (1 – 2x)(2x – 3)

0



1
2


x


3
2

Vậy GTNN của A bằng 2 với
1
2


x


3
2

VD2:
Tìm GTNN của hàm số
f(x) =
1
x

+
2 4
x

+

3 9
x

+
4 16
x

+
5 25
x 
Giải:
Ta có:
f(x) = (
1
x

+
2 4
x

+
3 9
x

+ 4
x

+
25 5
x

 ) + 3
4
x




( 1) (2 4) (3 9) (4 ) (25 5 )
x x x x x
         + 3
4
x


= 15 + 3
4
x



15
Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15
VD3:
Tìm GTNN của S = x
2
+ y
2
+ z
2
với P = ax + by + cz không đổi (với a

2
+ b
2
+ c
2

0).Giá trị đó đạt được khi nào?
Giải:
Theo bất đẳng thức Côsi – Bunhiacôpski ta có:
( x
2
+ y
2
+ z
2
) ( a
2
+ b
2
+ c
2
)

(ax + by + cz)
2
.
Do đó
S = x
2
+ y

2
+ z
2


222
c
b
a
P


.
S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu “ = ” tức là khi
c
z
b
y
a
x
 , hay nói cách
khác S
min
=
222
c
b
a
P



.
Khi x=
222
c
b
a
aP


; y =
222
c
b
a
bP


; z =
222
c
b
a
cP


.
VD4:
Tìm GTLN của:
a) A =

1
x

+
2
y

biết x + y = 4
b) B =
1
x
x

+
2
y
x


Giải:
Điều kiện x

1, y

2
Ta có
1
x

=

1.( 1)
x



2
y

=
1.( 1)
1 1 1 1
2 2
x
x x
x x x

  
  
2.( 2)
2
y


Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
1.( 1)
1 1 1 1
2 2
x
x x
x x x


  
  


2 2.( 2)
2 2 1 2
4
2 2 2 2 2
y y
y
y
y y
 
 
   

Max B =
1 2 2 2
2 4 4

 


1 1 2
2 2 4
x x
y y
  
 


 
  
 

VD5:
Tìm GTLN, GTNN của
A = 2x + 3y biết 2x
2
+ 3y
2


5
Giải:
Ta xét biểu thức A
2
= (2x + 3y)
2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có:
A
2
=
 
2
2. 2 3. 3
x y



2
1
2 3
x
 
 




 
2 2
2 2
2 3 2 3x y
   
 
   
   

= (2 + 3) (2x
2
+ 3y
2
)

5.5 = 25
A
2
= 25

1
2 3 5
x y
x y
x y


   

 



2 3
2 3
x y
x y
  

Do A
2


25 nên -5

A

5
MinA = -5
1

2 3 5
x y
x y
x y


    

  


MaxA = 5
1
2 3 5
x y
x y
x y


   

 


VD6:
Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x
xbxa ))((



.
Khi nào đạt giá trị đó?
Giải: Biểu thức có dạng:

xba
x
ab
x
xxbaab
x
xbxa




2
)())((

Đối với hai số dương
x
ab
và x, ta có bất đẳng thức Cô-si:
abx
x
ab
x
x
ab
22 

Khi đó:
2
)(2
))((
baabba
x
xbxa




Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là (
2
)ba  đạt được khi abx 
VD7:
Tìm giá trị lớn nhất của:
a) )53)(12()( xxxf



;
b) )1()1()(
3
xxxf  ;
c)
2
)(
2



x
x
xf ;
d)
32
2
)3(
)(


x
x
xf
.
Giải:
a) Do
2
)(
4
1
baab  , nên ta có:
40
1
4
1
.
4
1
.
5

2
)53(
2
5
5
4
1
.
5
2
)53)(
2
5
5(
5
2
)53)(12()(
2















 xxxxxxxf

Vậy f(x) lớn nhất là
40
1
khi
20
1
x .
b) )1()1()(
3
xxxf 
*) Nêú
x
< -1 hoặc x > 1 thì f(x)
0


*) Nếu -1 < x < 1 thì
3
1
.
2
3
4
11133
3
1

)1)(1)(1)(33(
3
1
)(
44















xxxx
xxxxxf

Vậy f(x) lớn nhất là
16
27
khi
2
1
x

c)
2
)(
2


x
x
xf Ta có: xxx 22222
22
 suy ra
22
1
2
2

x
x

Vậy f(x) lớn nhất là
22
1
khi
2x

d) f(x) =
32
2
)2( x
x

. Ta có:
27
1
)(27)2(311
232
3
22
 xfxxxx
.
Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là
27
1
, khi
1


x
.
VD8:
Tìm giá trị dương nhỏ nhất của

x
x
xf
32
)(
2

 .
Giải:

Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có:
62
3
.22
3
2)( 
x
x
x
xxf

Vậy f(x) dương bé nhất là 62 khi
2
6
x
VD9:
Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

444
),,( zyxzyxf  .
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có:



2
222444222
))(111( zyxzyx 





2222222222
)( zxyzxyxzyzyx 

Từ đó suy ra




2
444
3 zxyzxyzyx 

Suy ra
   
3
16
,,16,,3  zyxfzyxf

Vậy


zyxf ,, bé nhất bằng
3
16
, khi

3
2

 zyx

Bài tập đề nghị:
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của:
2 1
A x y
   
trong đó
5
x y
 

Bài 2. Tìm GTNN của:
2 2
1 2 5
A x x x
    

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của:
2
2 5
A x x
  

Bài 4. Tìm GTNN của:
A = x + y biết x , y là các số dương thoả mãn
1

a b
x y
 
(a và b là hằng số
dương)
Bài 5. Tìm GTLN của:
A x y
 
biết rằng
2 2
4 1
x y
 