Phương pháp CIM đối với bài toán biên elliptic có bước nhảy gián đoạn qua mặt phân cách
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.63 MB, 80 trang )
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
ĐÀO THỊ THẮM
PHƯƠNG PHÁP CIM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN
ELLIPTIC CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN QUA
MẶT PHÂN CÁCH
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
Thái Nguyên – 2011
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG
ĐÀO THỊ THẮM
PHƯƠNG PHÁP CIM ĐỐI VỚI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC
CÓ BƯỚC NHẢY GIÁN ĐOẠN QUA MẶT PHÂN CÁCH
Chuyên ngành : Khoa học Máy tính
Mã số : 60 48 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ VINH QUANG
Thái Nguyên – năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn “ Phương pháp CIM đối với bài toán biên elliptic
có bước nhảy gián đoạn qua mặt phân cách” là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dướ i sự hướ ng dẫ n củ a TS . V Vinh Quang . Tôi xin chị u trá ch nhiệ m về lờ i cam
đoan củ a mình.
Các số liệu và thông tin sử dụng trong luận văn này là trung thực.
Tác giả
Đào Thị Thắm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
Chương 1 3
Các kiến thức cơ bản 3
1.1. Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng 3
1.1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 3
1.1.2. Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu. 4
1.1.3. Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính 5
1.2. Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng 8
1.2.1. Bài toán vi phân 8
1.2.2. Lưới sai phân 8
1.2.3. Hàm lưới 9
1.2.4. Đạo hàm lưới 9
1.2.5. Bài toán sai phân 10
1.2.6. Bài toán biên elliptic 10
Chương 2 28
Phương pháp CIM (Coupling Interface Method) 28
2.1. Giới thiệu về bài toán biên với mặt phân cách gián đoạn 28
2.2. Cơ sở các phương pháp CIM đối với phương trình elipptic 29
2.2.1. Trường hợp không gian một chiều 30
2.2.2. Trường hợp không gian hai chiều 38
2.3. Một số kết quả thực nghiệm với CIM2 45
Chương 3 49
Hướng tiếp cận phương pháp chia miền đối với bài toán biên gián đoạn qua
mặt phân cách 49
3.1. Cơ sở phương pháp chia miền 49
3.2. Bài toán biên với hệ số đạo hàm gián đoạn 52
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3.3. Bài toán biên gián đoạn qua mặt phân cách 54
3.4. Các kết quả thực nghiệm 56
KẾ T LUẬ N 65
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 66
PHỤ LỤC 68
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1
MỞ ĐẦU
Trong trường hợp tổng quát, việc tìm nghiệm đúng của lớp các bài toán biên
mà chủ yếu là phương trình elliptic cấp hai là không thực hiện được. Việc nghiên
cứu giải gần đúng các bài toán biên mà tiêu biểu là các bài toán được biểu diễn bằng
các phương trình cấp hai đã và đang là một lĩnh vực rất quan tâm của các nhà toán
học. Trong nhiều năm qua đã có nhiều công trình nghiên cứu về lĩnh vực này, mục
đích chính của các phương pháp là đưa bài toán vi phân về bài toán rời rạc trên một
điểm lưới. Tuy nhiên khi miền hình học là miền phức tạp, dữ liệu hoặc các hệ số
của phương trình là gián đoạn thì việc áp dụng một phương pháp số nào đó cho cả
miền gặp nhiều khó khăn.
Để giải quyết khó khăn trên, trong nhiều năm qua đã có nhiều công trình
nghiên cứu về lĩnh vực này. Các hướng nghiên cứu chủ yếu là đưa ra các phương
pháp sai phân đặc biệt xung quanh lân cận các điểm kỳ dị hoặc biên phân chia để
đưa bài toán đang xét về các hệ phương trình sai phân và việc tìm nghiệm bằng số
của bài toán chuyển về việc giải các hệ phương trình đại số bằng các phương pháp
đúng hoặc gần đúng. Một hướng thứ hai là sử dụng phương pháp chia miền chuyển
bài toán trên miền đang xét về hai bài toán không chứa các điểm kỳ dị, sau đó xuất
phát từ lời giải các bài toán trên hai miền ta thu được nghiệm của bài toán gốc.
Nội dung chính của luận văn là đặt vấn đề tìm hiểu phương pháp sai phân
đặc biệt được gọi là phương pháp CIM (Coupling interface method) giải phương
trình elliptic cấp hai trong trường hợp miền đang xét tồn tại mặt phân cách tại đó
xảy ra gián đoạn của hàm và đạo hàm và đồng thời nghiên cứu phương pháp chia
miền giải bài toán trên, tiến hành tính toán thử nghiệm và so sánh giữa phương pháp
chia miền và phương pháp CIM.
Luận văn cấu trúc gồm 3 chương:
Chương 1: Đưa ra các kiến thức cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, cơ sở
phương pháp lưới, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải hệ phương trình lưới
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 2
và giới thiệu thư viện chương trình giải phương trình elliptic với hệ số hằng số trong
miền chữ nhật.
Chương 2: Trình bày cơ sở phương pháp CIM bao gồm: phương pháp CIM1, CIM2
trong không gian một chiều và không gian hai chiều xây dựng phương pháp sai
phân đặc biệt đối với bài toán biên có mặt gián đoạn, các thuật toán cơ bản về các
phương pháp tương ứng, các kết quả thực nghiệm đối với các bài toán cụ thể.
Chương 3: Trình bày cơ sở phương pháp chia miền, xây dựng các sơ đồ lặp giải bài
toán biên elliptic tồn tại mặt gián đoạn theo hướng hiệu chỉnh giá trị hàm trên biên,
xây dựng các chương trình thực nghiệm trong các bài toán cụ thể và bài toán tổng
quát. So sánh phương pháp chia miền với phương pháp CIM.
Phần cuối của luận văn là các chương trình thực nghiệm được viết trên ngôn
ngữ Matlab version7.0.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo hướng dẫn TS. V
Vinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo Viện Công nghệ thông tin,
Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông – Đại học Thái Nguyên đã
tham gia giảng dạy, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều song nội dung bản luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các
Thầy Cô và các bạn để luận văn thêm hoàn thiện.
Tác giả
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 3
Chương 1
Các kiến thức cơ bản
Trong Chương này luận văn trình bày các kiến thức cơ bản bao gồm: các
khái niệm cơ bản về phương trình đạo hàm riêng, phương pháp lưới giải phương
trình đạo hàm riêng, thuật toán thu gọn khối lượng tính toán giải hệ phương trình
vectơ ba điểm và đặc biệt là giới thiệu thư viện RC2009 giải số bài toán biên elliptic
với hệ số hằng. Các kiến thức cơ bản được tham khảo trong các tài liệu [1, 2, 3, 8,
10].
1.1. Các khái niệm về phương trình đạo hàm riêng
1.1.1. Khái niệm phương trình đạo hàm riêng
Phương trình đạo hàm riêng là một lĩnh vực quan trọng của toán học. Có rất
nhiều mô hình trong tự nhiên được mô tả bởi một phương trình hay một hệ phương
trình vi phân nói chung và phương trình đạo hàm riêng nói riêng.
Với hàm số một biến = () ta có khái niệm đạo hàm
():
= lim
0
+
()
khái niệm phương trình vi phân
=
,
và khái niệm bài toán Cauchy: Tìm
hàm số = () xác định tại [
0
, ] sao cho:
=
,
,
0
< ,
0
=
,
là hàm số cho trước.
0
, , là những số cho trước.
Với hàm số nhiều biến số ta cng gặp những khái niệm và bài toán tương tự.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 4
Xét bài toán hai biến số = (, ), ta có đạo hàm riêng cấp 1 đối với biến
:
= lim
0
+ ,
(, )
đạo hàm riêng cấp 1 đối với biến y:
= lim
0
, +
(, )
và các đạo hàm riêng cấp 2:
2
2
=
,
2
2
=
2
=
,
2
=
Nếu các đạo hàm riêng
2
và
2
là các hàm liên tục thì chúng bằng
nhau.
Phương trình:
,
2
2
+
,
2
+
,
2
2
+
,
+
,
+
,
= (, )
là phương trình đạo hàm riêng cấp 2.
1.1.2. Một số phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu.
1. Phương trình Laplace do Laplace đưa ra vào năm 1780
=
= 0,
=1
2. Phương trình Helmholtz được Helmholtz nghiên cứu vào năm 1860
=
3. Phương trình chuyển dịch tuyến tính
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5
+
= 0
=1
4. Phương trình Liouville được nghiên cứu vào khoảng năm 1851
(
)
= 0
=1
5. Phương trình truyền nhiệt được Fourier công bố vào năm 1810 – 1822
=
6. Phương trình Schrodinger (1926)
+ = 0
7. Phương trình truyền sóng được D’Alembert đưa ra năm 1752
= 0
và dạng tổng quát của nó là:
+
= 0
=1
=1
1.1.3. Phân loại phương trình cấp hai tuyến tính
Giả sử = (, ) là hàm số của hai biến độc lập , . Kí hiệu:
=
;
=
;
=
2
2
;
=
2
2
;
=
=
2
;
Xét phương trình đạo hàm riêng cấp 2 á tuyến:
+ 2
+
= (1.1)
Với , , , là những hàm số phụ thuộc , ,
,
.
Giả sử phương trình trên có nghiệm là = (, ) đủ trơn. Xét là một
đường cong nào đó của mặt phẳng (, ) nằm trong miền xác định của hàm (, )
và có phương trình = (), hay
,
= 0. Ta có:
=
+
;
=
+
Vậy ta có hệ:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 6
+ 2
+
= (, , ,
,
)
+
=
+
=
hay ở dạng ma trận:
2
0
0
=
(
)
Hệ này luôn có nghiệm vì ta đã giả sử phương trình (1.1) có nghiệm
= (, ) đủ trơn.
Xét ma trận của hệ:
=
2
0
0
Nếu () 0 trên thì hệ trên có nghiệm duy nhất trên , nghĩa là trên
các đạo hàm cấp hai của được xác định một cách duy nhất theo vế phải.
Nếu
= 0 trên thì hệ trên vẫn có nghiệm duy nhất trên vì ta đã
xuất phát từ giả thiết phương trình (1.1) có nghiệm , nhưng nghiệm đó không duy
nhất nữa, nghĩa là trên các đạo hàm cấp hai của xác định một cách không duy
nhất theo vế phải. Trong trường hợp này ta gọi là một “đường đặc trưng” của
phương trình đạo hàm riêng (1.1).
Như vậy đường đặc trưng xác định bởi điều kiện
= 0, điều kiện này
viết như sau:
= ( )
2
2+ ()
2
= 0 (1.2)
hay:
(
)
2
2
+ = 0 (1.3)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 7
Trong đó
là hệ số góc của tiếp tuyến của đường đặc trưng, người ta gọi
là phương đặc trưng tại điểm (, ). Vậy phương trình (1.3) xác định phương
đặc trưng, nó là phương trình vi phân của đường đặc trưng.
Phương trình
1.3
là một phương trình bậc hai ối với
Xét =
2
Nếu
2
> 0 tại (, ) miền nào đó thì phương trình (1.3) có hai
nghiệm thực khác nhau tại (, ) :
=
±
2
+
Khi đó tại mỗi ( , ) có hai phương đặc trưng thực khác nhau, ta nói
phương trình (1.1) thuộc loại hypebol trong .
Nếu
2
= 0 tại (, ) miền nào đó thì phương trình (1.3) có hai
nghiệm thực trùng nhau tại (, ) :
=
Khi đó tại mỗi (, ) có hai phương đặc trưng thực trùng nhau, ta nói
phương trình (1.1) thuộc loại parabol trong .
Nếu
2
< 0 tại (, ) miền nào đó thì phương trình (1.3) không
có nghiệm thực nào mà chỉ có hai nghiệm phức liên hợp tại (, ) :
=
±
2
+
Khi đó tại mỗi (, ) không có phương đặc trưng thực nào mà chỉ có hai
phương đặc trưng ảo liên hợp, ta nói phương trình (1.1) thuộc loại elip trong .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 8
Ví dụ:
Phương trình Laplace: =
2
2
+
2
2
= 0
và phương trình Poisson: =
2
2
+
2
2
= (, )
có = = 1, = 0, do đó
2
= 0 1.1 < 0 tại mọi (, ), nên là
các phương trình elip trong cả hai mặt phẳng (, ).
1.2. Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng
Phương pháp lưới (hay còn gọi là phương pháp sai phân) là phương pháp
được áp dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật. Nội dung chính của
nó là đưa bài toán vi phân đang xét về việc giải hệ phương trình sai phân (tức là hệ
thức hoặc các hệ thức liên hệ các giá trị của các hàm số tại các điểm khác nhau)
bằng các phương pháp đại số.
1.2.1. Bài toán vi phân
Cho hai số và với < . Tìm hàm = () xác định tại < <
thỏa mãn:
=
+ =
với < < (1.4)
= ,
= (1.5)
trong đó =
, =
, () là những hàm số cho trước đủ trơn thỏa mãn:
0 <
0
1
,
0
,
1
= , () 0 (1.6)
, là những số cho trước.
Giả sử bài toán (1.4) – (1.5) có nghiệm duy nhất đủ trơn trên [, ]
Đây chính là bài toán biên của phương trình elip một chiều.
1.2.2. Lưới sai phân
Xét bài toán
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 9
= , ,
= ,
(1.7)
trong đó = {(, )
2
, , }, chọn 2 số nguyên > 1 và
> 1, đặt = ()/ gọi là bước lưới theo , =
/ gọi là bước
lưới theo . Đặt
= + ,
= + , = 0. ., = 0. . . Mỗi điểm (
,
)
gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (, ). Tập tất cả các nút trong ký hiệu là
. Nút
ở trên biên gọi là nút biên; tập tất cả các nút biên ký hiệu là
, tập
=
gọi là một lưới sai phân trên
.
1.2.3. Hàm lưới
Những hàm số xác định tại các nút của lưới
được gọi là hàm lưới. Giá trị
của hàm lưới tại nút
viết là
.
Một hàm số () xác định tại mọi [, ] sẽ tạo ra hàm lưới có giá trị
tại nút
là
= (
).
1.2.4. Đạo hàm lưới
Xét hàm lưới .
Đạo hàm lưới tiến cấp một của v, ký hiệu là
, có giá trị tại nút
là:
=
+1
Đạo hàm lưới lùi cấp một của , ký hiệu là
, có giá trị tại nút
là:
=
1
Khi bé thì đạo hàm lưới “xấp xỉ” được đạo hàm thường.
Đạo hàm lưới cấp hai
:
=
+1
=
+1
1
/=
+1
2
+
1
2
Nếu là một hàm lưới nữa thì:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 10
=
+1
+1
=
+1
+1
(
+1
+
)
+
1
2
1.2.5. Bài toán sai phân
Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng (
) tại các nút
.
Gọi các giá trị gần đúng đó là
. Để tìm
ta thay bài toán (1.4) – (1.5) bởi bài
toán sai phân:
+
=
0
= ,
=
Trong :
=
2
,
=
,
=
1.2.6. Bài toán biên elliptic
Xét bài toán biên:
1
2
1
2
+
2
2
2
2
+
=
,
=
,
(1.8)
trong đó: là miền hình chữ nhật có kích thước hai cạnh là
1
và
2
, là toán tử
điều kiện biên, () và () là các hàm số cho trước.
Xét trường hợp tổng quát, với điều kiện biên =
là điều kiện biên
Dirichlet hoặc Neumann trên các phần biên khác nhau trong đó tồn tại ít nhất một
điều kiện biên Dirichlet trên một cạnh để đảm bảo bài toán có nghiệm duy nhất.
Trong luận văn sẽ sử dụng phương pháp sai phân để nghiên cứu việc giải số bài
toán elliptic cấp hai đã cho ở trên.
Đưa vào không gian lưới
=
=
,
, = 0,
, = 0,
với =
1
, =
2
Khi đó bài toán vi phân đang xét luôn được đưa về các hệ phương trình véctơ
ba điểm có dạng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 11
1
+
+1
, = 1, 1
,
0
=
0
,
=
(1.9)
trong trường hợp bài toán biên Dirichlet và có dạng
0
2
1
=
0
1
+
+1
, = 1, 1
,
2
1
+
=
(1.10)
trong trường hợp bài toán Neumann, trong đó là ma trận ba đường chéo trội,
là
các vé c tơ nghiệm, các vé c tơ
chứa các giá trị hàm vế phải và giá trị hàm hoặc
đạo hàm trên biên.
Như vậy, để giải được bài toán (1.8) bằng phương pháp số, điều quan trọng
nhất là ta phải xác định được thuật toán nhanh giải các hệ phương trình vé c tơ ba
điểm (1.9), (1.10) là các hệ phương trình đại số tuyến tính. Có nhiều phương pháp
khác nhau để giải được các hệ trên. Tuy nhiên do tính chất đặc biệt của hệ, trong
luận văn tác giả giới thiệu phương pháp thu gọn khối lượng tính toán của Samarskij-
Nicolaev đề xuất [4] với độ phức tạp tính toán ( ) và các kết quả xây
dựng thư viện chương trình tìm nghiệm bằng số của bài toán elliptic với các điều
kiện biên khác nhau được thiết kế trên môi trường Matlab.
1.2.6.1. Phương pháp thu gọn khối lượng tính toán
a. Bài toán biên thứ nhất: xét phương trình (1.9)
Ý tưởng của phương pháp: Thực hiện khử liên tiếp các ẩn
(với các lẻ),
tiếp theo từ các phương trình còn lại khử các
với là bội của 2, bội của 4,…
Mỗi bước khử sẽ giảm được một nửa số ẩn. Như vậy, nếu = 2
thì sau
một số lần khử sẽ chỉ còn lại một phương trình chứa vé c tơ ẩn
/2
mà từ đó
/2
có
thể tính được qua
0
và
.
Sau khi đã có được
0
,
/2
và
thì quá trình ngược lại là tìm các
với j là
bội của /4, bội của /8,…
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 12
Cụ thể như sau:
Giả sử = 2
, > 0. Ký hiệu
(0)
= ,
(0)
=
, = 0, 1
Khi đó (1.9) được viết dưới dạng:
1
+
(0)
+1
=
, = 0, 1
0
=
0
=
Bước khử thứ nhất:
Từ các phương trình của (1.9), khử các
với lẻ. Muốn vậy ta viết 3
phương trình liên tiếp trong (1.9).
2
+
(0)
1
=
1
(0)
;
1
+
0
+1
=
0
;
+
(0)
+1
+2
=
+1
(0)
.
Nhân hai vế của phương trình thứ 2 với
0
, sau đó cộng cả 3 phương trình
lại ta được:
2
+
1
+2
=
1
1
; = 2,4, , 2
0
=
0
=
(1.11)
trong đó
(1)
= (
(0)
)
2
2;
(1)
=
1
(0)
+
(0)
(0)
+
+1
(0)
; = 2,4, , 2
Hệ (1.11) chỉ chứa các
với j chẵn, số véc tơ ẩn
là
2
1. Nếu giải được hệ này
thì các
với lẻ sẽ tìm được từ phương trình:
(0)
=
(0)
+
1
+
+1
, = 1, 3, , 1 (1.12)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 13
Bước khử thứ hai:
Tiến hành khử các
của hệ (1.11) với là bội của 2 nhưng không là bội của
4. Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp của (1.11).
4
+
1
2
=
2
1
2
+
1
+2
=
1
+
1
+2
+4
=
+2
1
= 4, 8, , 4
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với
1
vào bên trái rồi cộng cả 3
phương trình ta thu được:
4
+
2
+4
=
2
, = 4, 8, , 4
0
=
0
=
(1.13)
trong đó:
2
=
1
2
2
2
=
2
1
+
1
1
+
+2
1
, = 4, 8, , 4
hệ (1.13) chỉ chứa
4
1 véc tơ ẩn
, trong đó j là bội của 4. Nếu giải được hệ này
thì các
với j là bội của 2 nhưng không là bội của 4 sẽ tìm được từ phương trình:
1
=
2
+
+2
+
1
, = 2, 6, 10, , 2. (1.14)
Tiếp tục quá trình khử này. Kết quả là sau bước khử thứ l ta nhận được hệ
gồm
2
1 ẩn
, trong đó là bội của 2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 14
ố ở â ọ ệ ạ ọ á ê ://.
. .
2
+
1
+2
=
1
,= 2
,2.2
,3.2
,,2
0
=
0
=
(1.15)
và nhóm các phương trình
1
=
1
+
2
1
+
+2
1
, = 2
1
, 3. 2
1
, 5. 2
1
, ,
2
1
, = , 1, , 1 (1.16)
trong đó các ma trận
và các vé c tơ v ế phải
được tính theo các công thức
truy toán
=
1
2
2;
=
2
1
1
+
1
1
+
+2
1
1
, =
2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
, = 1, 2, 3, (1.17)
Từ (1.15) suy ra rằng sau 1 bước khử ( = 1) ta thu được hệ chỉ gồm một
phương trình đối với biến
2
1
=
/2
là:
1
=
1
+
2
1
+
+2
1
=
1
+
0
+
;
0
=
0
,
=
(1.18)
với vế phải đã biết. Vì vậy từ (1.18) ta có thể tìm được
/2
, kết hợp với (1.15) ta
thấy rằng tất cả các ẩn được tìm liên tiếp từ các phương trình
1
=
1
+
2
1
+
+2
1
,
0
=
0
,
=
, =
2
1
, 3. 2
1
, 5. 2
1
, ,2
1
, = , 1, , 1 (1.19)
Việc tính các
theo công thức truy toán (1.17) có thể dẫn đến việc tích
ly sai số nếu như chuẩn của ma trận
1
lớn hơn 1. Ngoài ra các ma trận
nói chung là các ma trận đầy đủ. Điều này dẫn đến việc tăng khối lượng tính toán
khi tính các
theo (1.17). Để khắc phục những khó khăn trên, thay cho
ta sẽ
tính các vé c tơ
và
liên hệ với
theo công thức sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 15
=
+
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
, = 0, 1, 2, 3, ,1
(1.20)
trong đó ta chọn
(0)
= 0 và
(0)
=
, = 1, 2, , 1.
Để tìm mối quan hệ giữa
và
ta thay (1.20) vào (1.17) ta được:
()
+
()
=
+1
1
+
2
1
1
+
1
1
+
+2
1
1
+
2
1
1
+
+2
1
1
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
, = 0, 1, 2, ,1 (1.21)
Ta sẽ chọn
()
và
()
thỏa mãn
()
= 2
()
+
2
1
1
+
+2
1
1
(1.22)
Khi đó, kết hợp với công thức
+ 2=
+1
2
ta có:
()
=
(1)
+
2
1
1
+
1
1
+
+2
1
1
(1.23)
Đặt
(1)
=
()
+
(1)
từ (1.23) suy ra
(1)
phải thỏa mãn
1
(1)
=
(1)
+
2
1
1
+
+2
1
1
(1.24)
Kết hợp (1.20) và (1.24) ta có thuật toán xác định các vé c tơ
và
1
(1)
=
(1)
+
2
1
1
+
+2
1
1
,
(0)
=
,
(0)
= 0,
()
=
(1)
+
(1)
;
()
= 2
()
+
2
1
1
+
+2
1
1
; (1.25)
= 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
, = 0, 1, 2, , 1
Đặt
(1)
=
(1)
, thay công thức (1.20) vào (1.19) ta thấy
có thể tính
được từ các công thức sau:
1
(1)
=
(1)
+
2
1
+
+2
1
,
=
(1)
+
1
0
=
0
,
=
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
, = , 1, ,1 (1.26)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16
trong đó:
1
=
,1
,
2
1
=1
,1
= 2cos
(21)
2
Tóm lại, qua các bước phân tích trên ta có thuật toán thu gọn khối lượng tính toán
giải bài toán biên thứ nhất như sau:
1. Quá trình xuôi
Cho các giá trị ban đầu
0
= 0,
0
=
, = 1, 2, , 1
Với = 1 giải phương trình
(1)
=
(0)
và tính
(1)
= 2
(1)
+
1
(0)
+
+1
(0)
, = 2, 4, 6, , 2.
Với = 2, 3, , 1 xác định các vé c tơ
(0)
=
(1)
+
2
1
(1)
+
+2
1
(1)
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
.
Sau đó với mỗi
= 1, 2, , 2
1
và = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
.
giải phương trình
,1
()
=
(1)
. Khi đó:
()
=
(1)
+
(2
1
)
,
()
= 2
()
+
2
1
(1)
+
+2
1
(1)
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
.
2. Quá trình ngược
Cho các giá trị ban đầu
0
=
0
,
=
Với = , 1, , 2 tính
(0)
=
(1)
+
2
1
+
+2
1
,
= 2
1
, 2. 2
1
, 3. 2
1
, , 2
1
Sau đó với mỗi:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 17
= 1, 2, , 2
1
và = 2
1
, 3. 2
1
, , 2
1
Giải phương trình
,1
()
=
(1)
Khi đó
=
(1)
+
2
1
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
Với = 1, giải phương trình
=
(0)
+
1
+
+1
, = 1, 3, 5, ,
1
b. Bài toán biên thứ hai
Xét bài toán biên thứ hai
0
2
1
=
0
, = 0,
1
+
+
+1
=
, 1 1, (1.27)
2
1
+
=
, = , trong đó = 2
, > 0.
Ký hiệu
(0)
= ,
(0)
=
, = 1, 2, 1. Bằng phương pháp khử liên tiếp như
đã trình bày ở bài toán biên thứ nhất, sau (1) phép khử sẽ dẫn đến các phương
trình
()
0
2
=
0
()
, 2
0
+
()
=
()
(1)
=
(1)
+
2
1
+
+2
1
,
= 2
1
, 3. 2
1
, 5. 2
1
, , 2
1
, = , 1, , 1.
trong đó
0
()
=
(1)
0
(1)
+ 2
2
1
(1)
,
()
=
2
1
(1)
+
(1)
+
+2
1
(1)
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
()
= 2
2
1
(1)
+
(1)
(1)
,
()
= [
(1)
]
2
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18
Thay cho việc tính
()
, ta tính các vé c tơ
()
,
()
liên kết qua công thức:
()
=
()
()
+
()
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
, = 0, 1, ,
trong đó
()
,
()
được tìm từ các công thức
(1)
(1)
=
(1)
+
2
1
(1)
+
+2
1
(1)
,
(0)
=
,
(0)
= 0,
()
=
(1)
+
(1)
,
()
= 2
()
+
2
1
(1)
+
+2
1
(1)
,
= 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
, = 0, 1, , 1
Khi = 0, các vé c tơ liên kết được xác định từ các hệ phương trình đệ quy
(1)
0
(1)
=
0
(1)
+ 2
2
1
(1)
,
0
(0)
=
0
,
0
(0)
= 0,
0
()
=
0
(1)
+
0
(1)
,
0
()
= 2
0
()
+ 2
2
1
(1)
, = 0, 1, ,
và
(1)
(1)
=
(1)
+ 2
2
1
(1)
,
(0)
=
,
(0)
= 0,
()
=
(1)
+
(1)
,
()
= 2
()
+ 2
2
1
(1)
, = 0, 1, ,
Các véc tơ nghiệm
, 0 < < được xác định bởi các phương trình
(1)
(1)
=
(1)
+
2
1
+
+2
1
,
=
(1)
+
(1)
,
= 2
1
, 3. 2
1
, 5. 2
1
, , 2
1
, = , 1, , 1.
0
,
được xác định bởi các phương trình
()
()
=
()
+ 2
0
()
,
=
()
+
()
0
=
0
()
+
()
,
()
=
()
2
Trong các phương trình trên, các ma trận được xác định
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19
,1
= 2cos
(21)
2
,
(1)
=
,1
,
2
1
=1
,1
= 2cos
2
1
,
()
=
,1
,
=1
Tóm lại ta có thuật toán sau đây giải bài toán biên thứ hai
1. Quá trình xuôi
Xác định các giá trị ban đầu
0
= 0,
0
=
, = 1, 2, ,
Với = 1, 2, , 1 xác định các vé c tơ
(0)
=
(1)
+
2
1
(1)
+
+2
1
(1)
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
Sau đó với mỗi: = 1, 2, , 2
1
và = 2
1
, 3. 2
1
, 5. 2
1
, , 2
1
Giải phương trình:
,1
()
=
(1)
. Khi đó
()
=
(1)
+
2
1
,
()
= 2
()
+
2
1
(1)
+
+2
1
(1)
= 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
Với = 1, 2, ,1 xác định các vé c tơ
0
(0)
=
0
(1)
+ 2
2
1
(1)
,
()
= 2
(0)
+
(1)
+ 2
2
1
(1)
,
Sau đó với mỗi = 1, 2, , 2
1
giải phương trình
,1
0
()
=
(1)
,
,1
()
=
(1)
khi đó:
0
()
=
0
(1)
+
0
(1)
,
0
()
= 2
0
()
+ 2
2
1
(1)
,
()
=
(1)
+
(2
1
)
,
()
= 2
()
+ 2
2
1
(1)
2. Quá trình ngược: Xác định các vé c tơ nghiệm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20
Xác định
0
,
.
Xác định vé c tơ
(0)
=
()
+ 2
0
()
. Với = 1, 2, ,, giải hệ
,
()
=
(1)
. Khi đó,
=
()
+
()
=
0
()
+
()
Xác định
, = 1, 2, , 1
Với = , 1, , 2, 1 xác định các vé c tơ
(0)
=
(1)
+
2
1
+
+2
1
, = 2
, 2. 2
, 3. 2
, , 2
và với
= 1, 2, , 2
1
giải phương trình
,1
(0)
=
(1)
. Khi đó:
=
(1)
+
(1)
.
Nhận xét
Do tính chất của các ma trận
,1
và
,1
, việc giải các hệ phương trình
đại số trong thuật toán thứ nhất và thứ hai đều được thực hiện bằng thuật toán đệ
quy và đưa về giải các hệ phương trình đại số theo phương pháp truy đuổi ba đường
chéo.
Có thể chứng minh rằng khối lượng tính toán trong mỗi thuật toán là
(log).
Đối với thuật toán thứ hai, trong trường hợp đã biết
0
hoặc
thì không cần
xác định các vé c tơ
0
()
,
0
()
hoặc
()
,
()
.
1.2.6.2. Giới thiệu thư viện RC2009
Để giải số bài toán biên elliptic (1.8), các tác giả sử dụng phương pháp sai
phân xây dựng lược đồ sai phân cho các bài toán biên, chuyển bài toán vi phân
(1.8) về các bài toán sai phân tương ứng với các hệ phương trình vé c tơ ba đi ểm.
Sau đó áp dụng phương pháp thu gọn khối lượng tính toán giải các hệ phương trình
đại số. Các kết quả đã được công bố trong công trình [3].
a. Bài toán biên Dirichlet
Xét bài toán
