tính toan ap luc dat

TÍNH TOÁN ÁP LỰC ĐẤT
Biên soạn: ĐẶNG ĐÌNH MINH
Trong thi công đào đất, khi tạo mái dốc thành hố đào, gia cường chống sụt lở cho
vách thành hố đào, đào đất thi công tường chắn đất hoặc tường tầng hầm nhà cao tầng…
chúng ta đều phải tính toán áp lực đất của thành hố đào.
Tính toán áp lực đất có hai phương pháp tính toán chủ yếu:
Phương pháp tính toán của W.J.M Rankine.
Phương pháp tính toán của C.A. Coulomb.
Phương pháp tính của Coulomb giản đơn, phạm vi sử dụng tương đối rộng rãi.
Phương pháp tính của Rankine cũng giản đơn, dễ ứng dụng, nói chung người thi
công lập biện pháp sử dụng tương đối nhiều.
I. Tính toán áp lực đất theo phương pháp Rankine:
1. Tính áp lực đất chủ động:
Đất giáp lưng tường
thẳng đứng, đất trên đỉnh tường
ngang phẳng, bỏ qua lực ma sát
giữa đất và mặt đứng của tường
chắn, cường độ áp lực đất chủ
động Pa được tính như công thức
dưới đây.
Đối với đất không dính:
aa
HKHtgP
γ
ϕ
γ
=−= )
2
45(
02
Đối với đất dính:

aaa
a
KcHKP
ctgHtgP
2
)
2
45(2)
2
45(
002
−=
−−−=
γ
ϕϕ
γ
Trong đó:
γ: khối lượng riêng của đất sau tường chắn KN/m
3
. nếu thấp hơn mức nước ngầm thì
đó chính là dung trọng nổi .
H: chiều sâu mặt đất đắp cần tính (m).
ϕ: góc ma sát trong của đất đắp – xác đònh theo kết quả thí nghiệm. Nếu không có
kết quả thí nghiệm có thể tham khảo của bảng dưới.
K
a
: hệ số áp lực đất chủ động; K
a
=tg
2

(45
0
-ϕ/2). Trò số K
a
có thể thm khảo bảng hệ
số áp lực đất K
a
.K
p
trang kế tiếp. Nếu không có thông số ϕ để tra cứu K
a
và K
p
thì ta có
thể lấy giá trò K
a
như sau:
Đất không dính K
a
=0,4-0,5
Đất dính đất sét K
a
=0,5-0,6
c: lực dính kết của đất đắp (KN/m
2
)
- 1 -
Áùp lực đất dính
(b)
Tường chắn tính áp

lực chủ động
(a)
Áùp lực đất không
dính
(c)
H
γ.
H.K
a
H
/3
γ.
H.K
a
b
a
d
z
o
(H-z
o
)
/3
2c K
a
c
Hình 1:
Biểu đồ áp lực đất.
Góc ma sát trong của một số loại đất.
Loại đất Đất cát bột

Đất cát
mòn
Đất cát
vừa
Cát thô,
sỏi đá cuội
Đá dăm Đất dính
ϕ
0
góc ma
sát trong
15
0
-20
0
20
0
-30
0
25
0
-35
0
30
0
-40
0
40
0
-45

0
10
0
-30
0
Với chiều cao tường chắn là H, tổng áp lực đất chủ động của đất E
a
trên suốt chiều
cao của tường được tính theo công thức dưới đây:
- Với đất không dính:
aa
KHtgHE
2022
2
1
)
2
45(
2
1
γ
ϕ
γ
=−=
E
a
ở tại trọng tâm của hình tam giác. Như vậy, vò trí của E
a
ở cách chân tường khoảng cách
H/3.

- Với đất dính:
γ
γ
ϕ
ϕϕ
γ
2
2
2
0022
2
2
2
12
)
2
45(2)
2
45(
2
1 c
KcHKH
c
cHtgtgHE
aaa
+−=+−−−=
E
a
của đất dính ở tại trọng tâm của tam giác abc, cách chân tường chắn một khoảng
3

0
ZH −
Trong đó:
a
K
c
tg
c
Z
γ
ϕ
γ
2
)
2
45(
2
0
0
=
−
=
2. Tính áp lực bò động:
Đất giáp lưng tường chắn
thẳng đứng, đất trên đỉnh tường
ngang phẳng. Bỏ qua lực ma sát
giữa đất và mặt đứng của mặt
tường. Cường độ áp lực bò động P
p
đước tính theo công thức dưới đây.

Đối với đất không dính:
P
p
=γHtg
2
(45
0
+ϕ/2)=γHK
p
.
Đối với đất dính:
ppp
KcHKctgHtgP 2)
2
45(2)
2
45(
2
1
002
+=+++=
γ
ϕϕ
γ
K
p
là hệ số áp lực bò động. K
p
=tg
2

(45
0
+ϕ/2). Nếu biết ϕ ta có thể tìm giá trò K
p
bằng
phương pháp tra bảng.
Các ký hiệu khác giống như các kí hiệu đã nói phần trên.
- 2 -
(b)
Tường chắn tính áp
lực bò động
(a)
H
H
/3
γ.
H.K
p
Đất không dính
Đất dính
(c)
γ.
H.K
p
+2c K
p
2c K
p
Hình 2:
Áp lực đất bò động.

Bảng hệ số áp lực đất K
a
và K
p
ϕ
tg(45
0
-ϕ/2) tg
2
(45
0
-ϕ/2) (K
a
) tg(45
0
-ϕ/2)
tg
2
(45
0
-ϕ/2)
(Kp)
0
0
2
0
4
0
5
0

6
0
10
0
1.000
0.966
0.933
0.916
0.900
0.869
0.839
1.000
0.933
0.870
0.840
0.811
0.756
0.704
1.000
1.036
1.072
1.091
1.111
1.150
1.192
1.000
1.072
1.150
1.190
1.233

1.323
1.420
12
0
14
0
15
0
16
0
18
0
20
0
0.810
0.781
0.767
0.754
0.727
0.700
0.656
0.610
0.589
0.568
0.528
0.490
1.235
1.280
1.303
1.327

1.376
1.428
1.525
1.638
1.698
1.761
1.894
2.040
22
0
24
0
25
0
26
0
28
0
30
0
0.675
0.649
0.637
0.625
0.601
0.577
0.455
0.422
0.406
0.390

0.361
0.333
1.483
1.540
1.570
1.600
1.664
1.732
2.198
2.371
2.464
2.561
2.770
3.000
32
0
34
0
35
0
36
0
38
0
40
0
0.554
0.532
0.521
0.510

0.488
0.466
0.307
0.283
0.271
0.260
0.238
0.217
1.804
1.881
1.921
1.963
2.050
2.145
3.255
3.537
3.690
3.852
4.204
4.599
42
0
44
0
45
0
46
0
48
0

50
0
0.445
0.424
0.414
0.404
0.384
0.364
0.198
0.180
0.172
0.163
0.147
0.132
2.246
2.356
2.414
2.475
2.605
2.747
5.045
5.550
5.828
6.126
6.786
7.549
Tổng áp lực đất bò động E
p
suốt trên chiều cao H của tường chắn được tính theo các
công thức dưới đây.

- Với đất không dính:
pp
KHtgHE
2022
2
1
)
2
45(
2
1
γ
ϕ
γ
=+=
Vò trí của E
p
ở tại trọng tâm của tam giác tức là cách chân tường một khoảng cách H/3 tính
từ dưới lên.
- 3 -
- Với loại đất dính:
ppp
KcHHKcHtgtgHE 2)
2
45(2)
2
45(
2
1
0022

+=+++=
γ
ϕϕ
γ
Vò trí của E
p
là tại trọng tâm hình thang, cách chân tường tính từ dưới lên một khoảng cách
là:
cKH
cKH
H
p
p
4
6
3
+
+
×
γ
γ
Ví dụ tính toán:
Tường chắn đất cao 4,8m lưng tường thẳng đứng, trơn nhẵn, đất trên đầu tường
bằng phẳng. Đất đắp có dung trọng 18 KN/m
3
. Tìm áp lực đất chủ động và điểm tác dụng
áp lực của nó. Vẽ biểu đồ phân bố áp lực chủ động.
Bài giải:
Biết ϕ=20
0

, tra bảng ta có K
a
=0,49; Do đó cường độ áp lực
của đất tại chân tường sẽ là:
2
/2849,010249,08,418 mKNP
a
=××−××=
p lực đất chủ động sẽ là:
mKNE
E
a
a
/5,45
18
102
49,08,410249,08,418
2
1
2
2
=
×
+×××−×××=
Chiều sâu giới hạn Z
0
là:
mZ 59,1
49,018
102

0
=
×
×
=
Điểm tác dụng của E
a
cách chân tường một đoạn chiều cao
là:
m
ZH
07,1
3
59,18,4
3
0
=
−
=
−
Phân bố áp lực chủ động được thể hiện như biểu đồ bên
cạnh.
3. Tính áp lực đất trong các trường hợp đặc biệt:
a. Tính áp lực đất khi trên mặt đất đỉnh tường chắn có tải
trọng phân bố đều:
Phía trên mặt đất sau tường chắn có tải trọng phân bố
đều q thì tải trọng q được quy đổi ra trọng lượng đất tương
đương.Lớp đất dày tương đương quy đổi h đó là:
γ
q

h =
γ là dung trọng đất đắp sau tường chắn.
Khi tính toán, ta xem A’B là lưng tường chắn và tính
như trường hợp không có tải trọng trên mặt đất đỉnh tường.
Ví dụ như tính cho trường hợp đất không dính thì cường độ áp lực đất tại điểm A là:
aaA
hKhtgP
γ
ϕ
γ
=−= )
2
45(
02
- 4 -
H
=
4800
1070
28,3 KN/m
E
a
=
45,5 KN/m
z
o
=
1,59
2
γ . (

h+H).K
a
H
=
q/
γ
B
H
A
C
D
q
γ .
H.K
a
Hình 3:
Sơ đồ tính áp lực đất
tường chắn khi có tải trọng phân
bố đều q ở trên tường chắn
Cường độ áp lực đất tại điểm B là:
aaB
KhHtghHP )()
2
45()(
02
+=−+=
γ
ϕ
γ
p lực chủ động của đất được thể hiện bằng biểu đồ ABCD

aa
KH
H
htgH
H
hE
γ
ϕ
γ
)
2
()
2
45()
2
(
02
+=−+=
Điểm tác dụng của áp lực chủ động lên tường chắn chính là trọng tâm của hình
thang ABCD, cách chân tường một đoạn là:
Hh
HhH
+
+
×
2
3
3
Ví dụ tính toán:
Tường chắn đất cao 5,5m, lưng tường thẳng đứng trơn nhẵn; tại mặt trên đất đỉnh

tường có tải trọng phân bố đều q=12KN/m
2
.Dung trọng đất đắp sau tường γ=19KN/m
3
; góc
ma sát trong ϕ=34
0
; lực dính c=0. hãy tìm áp lực chủ động
E
a
và điểm tác dụng của nó.
Bài giải:
Đem tải trọng phân bố đều q chuyển đổi ra chiều dày
lớp đất tương đương h
h=12/19=0,632m
Cường độ áp lực đất ở đỉnh tường chắn:
202
/4,3)
2
34
45(632,019 mKNtgP
aA
=−×=
Cường độ áp lực đất tại chân tường chắn:
202
/94,32)
2
34
45()5,5632,0(19 mKNtgP
aB

=−+=
Tổng áp lực chủ động E
a
:
mKNE
a
/94,99
2
5,5)94,324,3(
=
×+
=
Vò trí điểm tác dụng của E
a
cách chân tường chắn một
khoảng cách theo chiều cao là:
m0,2
2
5,5632,03
3
5,5
=
+×
×
b. Tính áp lực đất khi trên mặt đất đỉnh tường có tải
trọng phân bố đều q và mặt đứng lưng tường chắn là mặt
nghiêng.
Tải trọng phân bố đều được quy đổi ra lớp đất
tương đương có chiều dày h:
γ

q
h =
Giả thiết mặt đất đắp và cạnh AB lưng tường kéo
dài gặp nhau ở A’. Khi tính toán, ta xem A’B như cạnh
- 5 -
H
=
5500
h
=
632
E
0
=
99,94 KN/m
32,94 KN/m
B
2000
3,4 KN/m
A
A'
q
=
12 KN/m
Hình 4:
Biểu đồ phân bố áp lực
đất chủ động khi có phụ tải
trên mặt đất đỉnh tường chắn
A
H

h'
A'
d
β
a
B
b
c
α
h
=
q/
γ
γ .
h.Ka
q
E
e
Hình 5:
Biểu đồ tính toán áp lực
đất khi mặt tường chắn nghiêng
và có tải trọng trên đỉnh tường.
của lưng tường và tính toán áp lực đất như trường hợp trên mặt đất không có tải trọng.
chiều cao tường tính toán lúc này là H+h’.
Xét tam giác A’AE ta có thể tìm ra h’:
)cos(
coscos
'
βα
αβ

−
= hh
Với trường hợp đất không dính, cường độ áp lực của đất tại điểm A mặt đất đỉnh tường
chắn là:
aaA
KhtghP ')
2
45('
02
γ
ϕ
γ
=−=
Cường độ áp lực đất tại điểm B (chân tường):
aaB
KhHtghHP )'()
2
45()'(
02
+=−+=
γ
ϕ
γ
Tổng áp lực chủ động là:
aa
KH
H
htgH
H
hE

γ
ϕ
γ
)
2
'()
2
45()
2
'(
02
+=−+=
Vò trí điểm tác dụng của lực E
a
là trọng tâm của hình thang abcd.
Ví dụ tính toán:
Tường chắn cao 5,5m, lưng tường giáp mặt đất nhẵn, nghiêng một góc α=10
0
. Mặt
đất trên đỉnh tường đắp dốc với góc β=30
0
. Tải trọng phân bố đều q=12 KN/m
2
. Dung
trọng đất đắp ở lưng tường γ=19KN/m
2
, góc ma sát trong của đất ϕ=34
0
; lực dính c=0. hãy
tìm Ea (áp lực chủ động của tường chắn) và điểm tác dụng của E

a
.
Bài giải:
Quy đổi tải trọng phân bố đều: h=12/19=0,632m
Căn cứ vào h và các góc α, β, ta tính h’:
574,0
)3010cos(
10cos30cos
632.0'
00
00
=
−
×=h
(m)
Cường độ áp lực đất trên mặt đất đỉnh tường là:
202
/08,3)
2
34
45(574,019 mKNtgP
aA
=−×=
Cường độ áp lực đất ở chân tường là:
202
/63,32)
2
34
45()5,5574,0(19 mKNtgP
aB

=−+=
Tổng áp lực chủ động:
E
a
=1/2(3,08+32,63)x5,5=98,2KN/m
Điểm tác dụng của áp lực chủ động E
a
là:
m2
63,3208,23
63,3208,32
3
5,5
≈
+
+×
×
c. Tính áp lực đất trường hợp khi trên mặt đất đỉnh tường có tải trọng phân bố cục bộ:
Có hai trường hợp phân bố tải trọng.
- 6 -
* Trường hợp 1: Cách đỉnh tường một đoạn l có tải trọng phân bố đều liên tục q (KN/m
2
)
tác dụng (như hình a thể hiện). Tính toán áp lực chủ động, điểm tải trọng tác dụng bắt đầu
từ O kéo xuống đến C (OC tạo với đường ngang một góc (
2
45
0
ϕ
+

). Từ C trở lên đỉnh
tường xem như không chòu tác dụng của tải trọng, áp lực chủ động vùng này chỉ đơn thuần
do đất sau lưng tường (từ đỉnh đến điểm C) gây ra.
Biểu đồ phân bố áp lực đất được thể hiện như hình (a): Aba. Từ điểm C trở xuống,
ta xét thêm tác dụng của tải trọng trên mặt đất đỉnh tường chắn. p lực chủ động do tải
trọng này gây ra được thể hiện ở hình (a) là acde.
Tổng áp lực chủ động tác dụng lên đỉnh tường chính là diện tích của ABcde.
Phương pháp tính toán cũng như các ví dụ trước.
* Trường hợp 2: Cách
đỉnh tường một đoạn l bắt
đầu có tải trọng phân bố
đều tác dụng lên mặt đất
với chiều dài tải trọng l
1
(như hình b). Tính toán
lực chủ động, điểm tải
trọng trên mặt đất bắt
đầu tác dụng từ C đến D
(từ O và O’ ta kẻ hai
đường xiên tạo với OO’
một góc (45
0
+ϕ/2) và sẽ
gặp AB ở hai điểm C và
D). từ C trở lên xem như
không có tải trọng trên
mặt đất tác dụng xuống tường chắn và từ D đến A cũng không có tải trọng trên mặt đất tác
dụng xuống tường chắn.
Diện tích hình ABcefda chính là tổng áp lực chủ động tác dụng lên lưng tường chắn.
d. Tính toán áp lực đất tường chắn có nhiều lớp:

Trường hợp sau lưng tường chắn đắp bằng nhiều lớp đất khác nhau thì khi tính áp
lực đất, trước hết ta tính áp lực đất lớp 1.
Biểu đồ áp lực đất lớp 1 chính là tam
giác abc.
Khi ta tính áp lực đất do lớp 2 gây ra,
ta đem đất lớp 1 quy đổi ra lớp 2 với chiều
cao tương ứng để tính lớp 1 là h’
1
.

2
1
11
'
γ
γ
hh =
Sau đó lấy chiều cao (h’
1
+h
2
) làm
chiều cao tính toán của tường chắn và ta tiếp
tục tính toán như đối với trường hợp đất đắp
đồng chất. Tính toán tầng nào thì nên dùng
- 7 -
q
KN/m2
q
KN/m2

Cách một đoạn l có một đoạn
tải trọng phân bố đều l
1
tác
dụng lên mặt đất đỉnh tường.
Cách một đoạn l bắt đầu có
tải trọng phân bố đều tác
dụng trên mặt đất đỉnh tường.
8
45 +
ϕ
/2
A
(a)
a e
C
d
c
B
o
l
45 +
ϕ
/2
45 +
ϕ
/2
(b)
A
a

g
C
f
d
c e
l
B
o
o'
l
1
Hình 6:
Tính áp lực đất khi có tải trọng ở đỉnh tường.
D
a
h'
1
h
2
f
e
h
1
γ
1
.
h
1
.Ka1
b

d
c
Lớp 2
ϕ
2

γ
2
Lớp 1
ϕ
1

γ
1
γ
2
.(
h'
1
+h
2
).K
a
2
Hình 7:
Biểu đồ áp lực đất
sau tường có nhiều lớp.
các thông số của tầng ấy (góc ma sát trong, lực chính) nhưng điều này chỉ thực hiện khi ta
tính lớp đất thứ 2 – như hình bdef.
Ví dụ như hình vẽ có hai lớp đất này, nếu là đất không dính, áp lực chủ động của đất sẽ là:

21
)'2(
2
1
2
1
)
2
45()'2(
2
1
)
2
45(
2
1
)
2
45()''(
2
1
)
2
45(
2
1
1222
2
11
2

02
2122
1
022
11
2
02
2221212
1
022
11
aaa
a
a
KhhhKhE
tghhht ghE
tghhhhtghE
++=
−++−=
−+++−=
γγ
ϕ
γ
ϕ
γ
ϕ
γγγ
ϕ
γ
Ví dụ tính toán:

Tường chắn cao 4,7m, lưng tường thẳng đứng, trơn nhẵn, đất trên đỉnh tường phẳng,
đất đắp sau đỉnh tường gồm 2 lớp. Chiều dày và tính cơ lý của đất được thể hiện như hình
vẽ. Hãy tìm áp lực chủ động E
a
, vẽ biểu đồ phân bố áp lực đất.
Bài giải:
Cường độ áp lực đất lớp 1:
2
02
1
02
111
/49,11
)
2
32
45(2,217)
2
45(
mKN
tgtghP
a
=
−×=−=
ϕ
γ
Cường độ áp lực đất lớp 2:
Quy đổi chiều dày lớp 1:
mhh 97,1
19

17
2,2'
2
1
11
===
γ
γ
Cường độ áp lực đất trên lớp đất 2 và trên mặt, gồm hai loại
'
2
a
P
và
2
a
P
:
)
2
45(2)
2
45(
2
0
2
2
02'
1
'

12
ϕϕ
γ
−−−= tgctghP
a
2'
2'
2
0
2
2
02
11
'
/17,607,1524,21
)
2
16
45(102)
2
16
45(2,217
)
2
45(2)
2
45(
2
2
2

mKNP
tgtgP
tgctghP
a
a
a
=−=
−×−−×=
−−−=
ϕϕ
γ
- 8 -
Lớp 1:

γ
1
=
17 KN/m
ϕ
1
=
32 C
1
=
0
6,17 KN/m
33,14 KN/m
2500
c
H

=
4700
b
2200
Lớp 2:

γ
2
=
19 KN/m
ϕ
2
=
16 ;
C
2
=
10 KN/m
11,49 KN/m
a
Hình 8:
Biểu đồ áp lực đất đắp theo lớp.

22
2
2
0
2
2
02

2211
2
0
2
2
02
2
'
12
/14,33/07,1521,48
)
2
16
45(102)
2
16
45()5,2192,217(
)
2
45(2)
2
45()(
)
2
45(2)
2
45().(
2
2
2

2
mKNmKNP
tgtgP
tgctghhP
tgctghhP
a
a
a
a
=−=
−×−−×+×=
−−−+=
−−−+=
ϕϕ
γγ
ϕϕ
γ
p lực chủ động E
a
là: E
a
=1/2x11,49x2,2+1/2(6,16+33,14)x2,5=61,76 KN/m
2
e. Tính toán áp lực đất khi có nước ngầm:
Khi dưới lớp đất đắp sau tường có nước ngầm thì áp lực hông tác dụng lên mặt
đứng của tường bao gồm áp lực đất và áp lực nước. Khi tính toán ta giả thiết rằng góc ma
sát trong của đất ϕ và góc ma sát giữa tường và đất δ ở trên mức nước ngầm và dưới mức
nước ngầm là như nhau. Nếu lưng tường trơn nhẵn và không thoát nước được thì góc ma
sát ở lưng tường δ=0. Dung trọng đất trên mức nước ngầm là dung trọng đất thiên nhiên.
Dung trọng đất dưới mức nước ngầm là dung trọng

nổi.
Ví dụ như laọi đất không dính, diện tích abdec
chính là áp lực của đất trên mực nước ngầm gây ra.
Diện tích cef chính là áp lực của đất dưới nước ngầm
gây ra còn cfg chính là áp lực do nước ngầm gây ra.
Tổng áp lực tác dụng lên lưng tường chính là
diện tích abdefgca. Như vậy, tổng áp lực chủ động là:

awaa
K
h
K
h
hhE
2
)'(
2
)2(
2
21
21
γγ
γ
+++=
Trong đó:
h
1
và h
2
là khoảng cách từ mực nước ngầm lên

đến đỉnh tường và từ mực nước ngầm đến chân tường.
γ’: Dung trọng nổi: γ’=γ-1
γ
w
: Trọng lượng riêng của nước.
γ và K
a
: như các phần trước.
Ví dụ tính toán:
Tường chắn đất cao 6m: Đất đắp sau tường là đất không dính. Mặt đất đỉnh tường
phẳng. Dung trọng đất thiên nhiên γ=18KN/m
3
. Góc ma sát trong ϕ=30
0
, cách mặt đất đỉnh
tường 2m có nước ngầm. Dung trọng đất đắp bão hòa γ
sat
=19KN/m
3
. Hãy tìm tổng áp lực
chủ động tác dụng lên tường (áp lực đất và áp lực nước) và vò trí điểm tác dụng của áp lực
chủ động.
Bài giải:
Ta có h
1
=2m và h
2
=6-2=4m; γ
w
=10KN/m

3
; γ’=19-10=9 KN/m
3
.
Góc ma sát trong của đất không đổi. Hệ số áp lực đất chủ động K
a
trên mức nước ngầm
đều giống nhau: K
a
=tg
2
(45
0
-30/2)=0,333
Theo công thức tính tổng áp lực chủ động tác dụng lên tường:
- 9 -
H
γ
'
.
h
2
.K
a
γ
w
.
h
2
f

e
d
γ .
h
1
.K
a
g
b
γ .
h
1
.K
a
c
a
h
1
h
2
Hình 9:
Tính toán áp lực đất
có mức nước ngầm.
awaa
K
h
K
h
hhE
2

)'(
2
)2(
2
21
21
γγ
γ
+++=
Ta có:
2
2
/56,110333,0
2
4
)109(333,0
2
218
)422( mKNE
a
=×++×
×
×+=
Nếu gọi y là khoảng cách từ tổng áp lực chủ động đến chân tường thì ta có:
my
y
98,1
3
4
2

333,04
)109(
2
333,04218
)
3
2
4(
2
333,0218
56,110
222
=
×
×
++
×××
++
××
=
f. Tính áp lực đất trên mặt nghiêng của tường chắn:
Mặt tường nghiêng có hai dạng: lưng nghiêng ra
ngoài và lưng nghiêng ngả vào trong. Người ta thường
dùng theo phương pháp tính gần đúng dưới để tính toán.
* Lưng tường nghiêng ra ngoài:
Gióng đường thẳng đứng từ A, gặp đường ngang
trên cùng ở C. Ta xem AC như lưng tường trơn nhẵn, ta
có áp lực đất trên mặt AC là.
a
KHtgHE

202
1
2
1
)
2
45(
2
1
γ
ϕ
γ
=−=
Các ký hiệu vẫn như các vò trí trước.
Trọng lượng của khối đất ABC (G):
G=Diện tích ∆ABCxγ
p lực chủ động tác động lên lưng tường chắn E
a
:
Vectơ E
a
= Vectơ E
1
+VectơG (như hình
vẽ).
Điểm tác dụng của E
a
: Tính từ dưới chân lên một
khoảng H/3.
* Lưng tường nghiêng ngả vào trong:

Ta gióng đường thẳng đứng từ A lên gặp
đường nằm ngang ở C. Ta xem AC như lưng tường
trơn nhẵn và áp lực đất tác dụng lên mặt AC là:

a
KHtgHE
202
1
2
1
)
2
45(
2
1
γ
ϕ
γ
=−=
G=(Diện tích∆ABC)x γ↑
Trong đó:
γ là dung trọng của đất (không liên quan gì
đến dung trọng của khối tường chắn).
p lực chủ động E
a
tác dụng lên
tường chắn chính là tổng hợp của hai vectơ
E
1
và G.

Điểm tác dụng ở tại điểm cách chân
tường chắn một khoảng H/3.
- 10 -
G
H
B
A
H
/3
E
1
E
a
C
Hình 10:

Áp lực đất tác dụng lên mặt
nghiêng (ra ngoài).
A
Ea
G
E1
C
B
H
/3
Hình 11:

Tính toán áp lực đất cho tường
chắn nghiêng vào trong.

(c)
Phân bố áp lực
chủ động
(b)
(a)
Các lực tác dụng lên
∆
ABC
Tam giác lực
β
ϕ
E
a
δ
B
Ο
E
R
H
α
G
A
Ο
−
ϕ
b
R
γ.
H.K
a

E
ϕ
c
G
a
H
O

-

ϕ
Hình 12:
Biểu đồ áp lực đất theo phương pháp Coulomb.
Với tường chắn kiểu treo, phương pháp tính toán áp lực chủ động cũng như trường
hợp tính cho tường chắn có lưng nghiêng.
II. Tính áp lực đất theo phương pháp Coulomb:
1. Tính áp lực chủ động:
Như hình vẽ: lưng tường nghiêng. Đất trên đỉnh tường dốc. Giữa lưng tường và đất
có lực ma sát. Giả thiết đất đắp sau tường là đất không dính và mặt trượt phá hoại của đất
BC là một mặt phẳng.
Khối đất hình nêm ABC có mặt trượt xuống ở vào trạng thái cân bằng cực hạn chủ
động thì áp lực chủ động E
a
có thể tính theo công thức:
aa
KHHE
2
2
2
2

2
2
1
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos
2
1
γ
βαδα
βϕδϕ
δαα
αϕ
γ
=






−+
−+
++
−
=
Trong đó:
γ: Dung trong đất sau lưng tường chắn KN/m
3

.
H: Chiều cao tường chắn.
ϕ: Góc ma sát trong của đất.
α: Góc nghiêng lưng tường (nghiêng ra lấy dấu +; nghiêng ngả vào lấy dấu -).
β: Góc nghiêng của mặt đất trên đỉnh tường.
δ: Góc ma sát giữa vật liệu đắp và lưng tường. Dựa vào mức độ thô nhám và điều
kiện thoát nước để xác đònh.
Lưng tường trơn phẳng, thoát nước kém: δ=(0-1/3)ϕ
Lưng tường nhám, thoát nước tốt: δ= (1/3÷1/2)ϕ
Lưng tường rất thô nhám, thoát nước tốt: δ=(1/2-2/3)ϕ
Lưng tường và đất đắp không thể trơn trượt thì: δ=(2/3-1)ϕ
K
a
: Hệ số áp lực chủ động Coulomb.
aa
KHK
2
2
2
2
2
1
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos
γ
βαδα
βϕδϕ
δαα

αϕ
=






−+
−+
++
−
=
Nếu β=0 mà biết ϕ, α, δ thì có thể tra bảng để tìm Ka. Khi α=0, đất trượt trên lưng
tường (δ=0); β=0 thì công thức tính áp lực chủ động Ea nói trên sẽ trở thành:
)
2
45(
2
1
022
ϕ
γ
−= tgHE
a
Như vậy, trong điều kiện như đã nói trên thì công thức của Rankine giống công
thức của Coulomb.
Nếu muốn tìm cường độ áp lực chủ động P
a
tại một điểm cách đỉnh tường chắn là z

thì ta có công thức tính P
a
như sau:
aa
zz
E
a
zKKz
d
d
d
d
P
a
.).
2
1
(
2
γγ
===
Từ công thức trên, ta nhận thấy cường độ áp lực chủ động theo chiều cao của tường
chắn được thể hiện phân bố theo hình tam giác (hình (c)). Điểm tác dụng của áp lực chủ
động cách chân tường một khoảng H/3.
Ví dụ tính toán:
- 11 -
Tường chắn cao 4m, lưng tường nghiêng ra ngoài α=10
0
, β=0. Dung trọng đất đắp
γ=18KN/m

2
, ϕ=30, c=0, góc ma sát giữa đất và tường δ=2/3ϕ=20
0
. Hãy tìm áp lực chủ
động E
a
và điểm tác dụng.
Bài giải:
Ta có δ=20
0
; α=10
0
; ϕ=30
0
, tra bảng K
a
(của Coulumb) ta có K
a
=0,377.
Theo công thức tính E
a
:
mKNKHE
aa
/3,54377,0418
2
1
2
1
22

=×××==
γ
Điểm tác dụng của áp lực đất chủ động:
H/3=1/3x4=1,33m (cách chân tường tính từ dưới lên: 1,33m).
Bảng hệ số K
a
áp lực đất chủ động
β
=0 (Theo Coulomb)
δ ϕ
α
15
0
20
0
25
0
30
0
35
0
40
0
45
0
50
0
0
0
0

0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.589
0.652
0.736
0.540
0.497
0.490
0.560
0.648
0.433
0.380
0.406
0.478
0.569
0.344
0.287
0.333
0.407
0.498
0.270
0.212
0.271

0.343
0.434
0.209
0.153
0.217
0.288
0.375
0.158
0.106
0.172
0.238
0.322
0.117
0.070
0.132
0.194
0.274
0.083
0.043
5
0
0
0
10
0
20
0
-10
0
-20

0
0.556
0.622
0.709
0.503
0.457
0.465
0.536
0.627
0.406
0.352
0.387
0.460
0.553
0.334
0.267
0.319
0.393
0.485
0.256
0.199
0.260
0.333
0.424
0.199
0.144
0.210
0.280
0.368
0.151

0.101
0.166
0.233
0.318
0.112
0.067
0.129
0.191
0.271
0.080
0.041
10
0
0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.533
0.603
0.695
0.477
0.427
0.447
0.520

0.615
0.385
0.330
0.373
0.448
0.543
0.309
0.252
0.309
0.326
0.419
0.191
0.137
0.253
0.326
0.419
0.191
0.137
0.204
0.275
0.365
0.146
0.096
0.163
0.230
0.316
0.109
0.064
0.127
0.189

0.271
0.078
0.039
15
0
0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.518
0.592
0.690
0.458
0.405
0.434
0.511
0.611
0.371
0.314
0.363
0.441
0.540
0.298
0.240

0.301
0.378
0.476
0.237
0.180
0.248
0.323
0.419
0.186
0.132
0.201
0.273
0.366
0.142
0.093
0.160
0.228
0.317
0.106
0.062
0.125
0.189
0.273
0.076
0.038
20
0
0
0
10

0
20
0
-10
0
-20
0
0.357
0.438
0.543
0.291
0.231
0.297
0.377
0.497
0.232
0.174
0.245
0.322
0.422
0.182
0.128
0.199
0.273
0.370
0.140
0.090
0.160
0.229
0.321

0.105
0.061
0.125
0.190
0.277
0.076
0.038
25
0
0
0
10
0
20
0
-10
0
-20
0
0.296
0.379
0.488
0.228
0.170
0.245
0.325
0.430
0.180
0.125
0.199

0.276
0.377
0.139
0.089
0.160
0.232
0.329
0.104
0.060
0.126
0.193
0.284
0.075
0.037
- 12 -
2. Tính áp lực bò động:
Với những điều kiện giống như trên, khi tường chắn chòu áp lực của ngoại lực,
chuyển lên đất đắp khiến cho lớp đất đắp sau tường bò phá nứt theo mặt BC, khối đất ABC
trượt lên trên ở trạng thái cân bằng cực hạn (như hình bên). Trọng lượng bản thân G của
khối đất ABC, phản lực R và tác dụng
của E sẽ cân bằng. p lực đất bò động
là.
pp
KHHE
2
2
2
2
2
2

1
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos
2
1
γ
βαδα
βϕδϕ
δαα
αϕ
γ
=






−−
++
−+
+
=
Trong đó K
p
là hệ số áp lực bò động Coulomb:
2
2

2
)cos()cos(
)sin()sin(
1)cos(cos
)(cos






−−
++
++
−
=
βαδα
βϕδϕ
δαα
αϕ
p
K
Nếu α=0; δ=0 (trơn nhẵn); β=0 thì E
p
sẽ là:
)
2
45(
2
1

022
ϕ
γ
+= tgHE
p
Như vậy, trong trường hợp này, công thức Coulomb và công thức Rakine tương
đồng như nhau.
Cường độ áp lực bò động có thể tính theo công thức sau:
pp
p
p
ZKKZ
dz
d
dz
dE
P
γγ
=== )
2
1
(
2
Biều đồ phân bố cường độ áp lực bò động được thể hiện như hình (c).
Vò trí điểm tác dụng của áp lực bò động tại lưng tường, cách chân tường một khoảng H/3.
- 13 -
(c)
γ.
H.Kp
A

β
R
Ep
(a)
B
δ
Ο
ϕ
α
H
G
(b)
R
G
ϕ
+
Ο
H
z
C
Ep
Hình 13:
Tính toán áp lực bò động.
Phân bố áp lực bò động
Biểu đồ lực tác dụng của khôí ABC.
(b)
(c)
(a)
Tam giác lực