HSG TOÁN 12 THỪA THIÊN HUẾ 2011-2012

Đề thi chọn học sinh giỏi Tỉnh Thừa Thiên Huế
Vòng 1 khối chuyên, năm 2011-2012

Câu 1: Cho
0
2
1
2012
1
n
n
n
a
a
a
a









với n là số nguyên không âm. Chứng minh rằng khi thì 2012 – n
là số nguyên lớn nhất bé hơn hoặc bằng a
n
.
0 1007n
Câu 2: Tìm giá trị bé nhất của 22

y
x
S , trong đó x, y là các số thực không âm thay đổi có tổng
bằng 1.
Câu 3: Gọi D là tập hợp tất cả các cặp số có thứ tự (m,n), trong đó m, n là các số nguyên dương. Kí hiệu
F(m,n) là hàm số xác định trên D, lấy giá trị nguyên dương và thoả mãn đồng thời các điều kiện sau với
mọi số nguyên m, n :
 i) F(m,m) = m
 ii) F(m,n) = F(n,m)
 iii) (m+n)F(m,n) = nF(m,m+n).
a. Tính F(20,12).
b. Chứng minh rằng
(,)
mn
Fmn
là ước chung lớn nhất của m và n.
Câu 4: Cho hình hộp ABCD.EFGH. Tìm tập hợp các trọng tâm của những tứ diện có 4 đỉnh đều là đỉnh
của hình hộp.

Hết