Một số cơ sở của quá trình ngẫu nhiên

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

1


Lời nói đầu

Là bộ môn toán học nghiên cứu tìm ra các quy lật chi phối và đa ra các
phơng pháp tính toán xác suất của các hiện tợng, biến cố ngẫu nhiên, lý thuyết
xác suất giữ một vị trí quan trọng cả về phơng diện lý thuyết lẫn ứng dụng thực
tiễn. Nó là công cụ không thể thiếu trong việc nghiên cứu các vấn đề ngẫu nhiên
nh: Dự báo các hiện tợng ngẫu nhiên hay đánh giá những cơ may, nguy cơ rủi
ro,
Một trong những cơ sở để nghiên cứu và xây dựng lý thuyết các quá trình ngẫu
nhiên là một số kiến thức của giải tích theo quan điểm hiện đại.Tuy nhiên trong
chơng trình xác suất thống kê dành cho sinh viên toán hệ đại học s phạm, việc
nghiên cứu lý thuyết xác suất nhìn chung chủ yếu dựa trên quan điểm cổ điển của
xác suất, vấn đề đa cơ sở toán học hiện đại vào nghiên cứu bản chất và lý thuyết
các quá trình ngẫu nhiên cha có điều kiện đề cập toàn diện, sâu sắc và đầy đủ.
Chính vì vậy, việc nghiên cứu đề tài: Một số cơ sở của quá trình ngẫu nhiên
nhằm làm sáng tỏ các cơ sở lý thuyết xác suất, những khái niệm, quy luật đặc thù
của lý thuyết xác suất, chỉ rõ ý nghĩa thực tế của những khái niệm và quy luật này
một cách chặt chẽ, đầy đủ theo cơ sở toán học hiện đại là cần thiết và có ý nghĩa to
lớn trong việc khai thác sâu kiến thức toán học của sinh viên s phạm.
Tuy nhiên, trong khuân khổ luận văn tốt nghiệp em cũng chỉ hạn chế trong
phạm vi những cơ sở của giải tích ngẫu nhiên- nền tảng của lý thuyết các quá trình
dừng cũng nh tích phân và vi phân ngẫu nhiên.
Luận văn gồm ba chơng:
Chơng 1: Các khái niệm cơ bản.
Chơng 2: Một số quá trình ngẫu nhiên thờng gặp.
Chơng 3: Hội tụ, liên tục, đạo hàm, tích phân của các quá trình ngẫu

nhiên.

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

2

Mục lục
Trang
Lời nói đầu 1

Chơng1: Các khái niệm cơ bản
1.1. Các khái niệm 4
1.2. Quá trình Poisson 10
1.3. Quá trình Weiner 10
1.4. Quá trình Cauchy 11
Chơng 2: Một số quá trình ngẫu nhiên thờng gặp
2.1. Hàm ngẫu nhiên Gauss 11
2.2. Quá trình có gia số độc lập 12
2.3. Quá trình có gia số không tơng quan 12
2.4. Quá trình dừng 13
Chơng 3: Hội tụ, liên tục, đạo hàm, tích phân
của các quá trình ngẫu nhiên
3.1. Sự hội tụ 13
3.2. Liên tục 20
3.3. Đạo hàm 24
3.4. Tích phân 31
3.5. Một số bài tập 44

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

3


Chơng 1: các khái niệm cơ bản

1.1. Các khái niệm:
1.1.1. Đại số và

-đại số:
Đại số và

- đại số
Định nghĩa:
Giả sử

là một tập không rỗng, phần tử của nó đợc ký hiệu là

. Tập hợp gồm
mọi tập con của

đợc ký hiệu là
( )
P

. Một tập con C

( )
P

đợc gọi là một nửa
đại số nếu:
(i)


C
(ii)
,
A B

C
A B

C
(iii) Nếu A, B

C

,

A

B thì tồn tại các các tập con
1
, ,
n
A A

đôi một không giao
nhau,
k
A

C , i =1,, n sao cho:
1
\
n
k
k
B A A
=
=


Lớp A

P (

) đợc gọi là một đại số nếu
+)


A
+) A

A
\
A A

=
A
+) A, B

A
A B

A
Lớp F

P (

) đợc gọi là

- đại số nếu
+)



F
+) A

F
\
A A
=
F
+)
1 2
, ,

A A

F
1
n
k
k
A
=


F
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

4

Giả sử C

P (

). Một họ

- đại số F

P (

) bé nhất chứa C đợc gọi là

- đại số sinh bởi C và viết F =

( C ). Nó cũng là giao của tất cả các

- đại số
con của P (

) chứa C


-đại số Borel
Định nghĩa 1:(

- đại số các tập Borel trong
1
R
)
Giả sử
1
( , )
R
= = +
, K là lớp tất cả các khoảng [a,b], B
BB
B là

-đại số cực tiểu
chứa K đợc gọi là

- đại số các tập Borel .
Trong
1

R
mỗi phần tử của

B
BB
B đợc gọi là tập Borel.
Định nghĩa 2: (

- đại số các tập Borel trong
m
R
)
Giả sử
n
R
=
, K là lớp của hình hộp chữ nhật dạng
{ }
1
1
( , ) : ( , , ) : , 1,
m
i i m i i i
i
a b x x x x a x b i n
=
= = =

- đại số cực tiểu
m
B
chứa lớp K đợc gọi là

- đại số các tập Borel trong
m
R
,
phần tử của nó đợc gọi là tập Borel.
Bài tập 1:
Giả sử

={1, 2, 3, 4, 5, 6} và C . ={A, B} trong đó A={2, 3, 4}, B ={4, 6}
Hãy chỉ ra

( C ).
Lời giải:
Xét AB = {4},
A
B = {6},
AB
= {2, 3},
AB
= {1, 5}.
Khi đó:

( C ) =
{

,

, {4},{6},{2, 3},{1, 5},{4, 6},{2, 3, 4},{1, 4, 5},{2, 3, 6},
{1, 5, 6}, {1, 2, 3, 6}, {2, 3, 4, 6}, {1, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}}
Bài tập 2:
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

5

Giả sử C =
{
}
1 2
, , ,
n
A A A
là một phân hoạch của

( nghĩa là
i j
A A
=
với
i j

) và
1
n
i
i

A
=
=

. Chứng minh rằng họ F = {
/
i
i I
A I



{1, 2, , n}} là

- đại số sinh bởi
C.
Lời giải:
Nếu A =
k
j i
j I i I J
A A A


=

,
k
I I

,
1k
I I
=
với
1
k

, k = 1,,m thì
1
m
k i
k i J
B A
=
=

,
1
m
k
k
J I
=
=

.
Ngoài ra

F . Nh vậy F là đại số hữu hạn và do đó là

- đại số.

1.1.2. Hàm tập và độ đo.
Hàm tập :
Giả sử C là lớp các tập con của

. Hàm

xác định trên C và nhận giá trị số ( tức
là với mỗi A

C

(A) là số thực hữu hạn hoặc vô hạn ) đợc gọi là hàm tập với
giá trị số. Nếu ta chỉ làm việc với hàm tập giá trị số ta sẽ gọi

là hàm tập.
Nói rằng :

không âm và viết
0


. Nếu
( ) 0
A

, với
A

C .
Để tránh biểu thức không xác định

ta luôn quy ớc :

không nhận giá trị

.
Nói rằng :

hữu hạn, nếu
( )
A

là số thực hữu hạn với
A

C :
( ) ( , )
A

+
,
A

C .
Để tránh trờng hợp tầm thờng ta luôn giả thiết

A

C sao cho
( )
A

hữu hạn, tức
là

không đồng nhất bằng
+
. Để thuận tiện ta cho


C .
Khái niệm sau đây đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích phân nói chung và
đặc biệt trong lý thuyết xác suất nói riêng.
Định nghĩa 1:
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

6

Hàm tập

đợc gọi là cộng tính hữu hạn nếu
( ) ( ) ( )
A B A B

+ = +
, với A

C ,
B

C , .A B

=
và
A B
+
C .
Hàm tập

đợc gọi là

- cộng tính hoặc cộng tính đếm đợc, nếu:

1 1
( )
k k
k k
A A


= =

=

Với mọi dãy {
k
A
}

C sao cho
.
k j
A A

=
với
k j

và
1
k
k
A

=


C .
Ta dẫn ra vài tính chất đơn giản ( nhng thờng dùng) của hàm tập

cộng
tính hữu hạn.
a)

( ) 0

=

b)
1 1
( )
n n
k k
k k
A A

= =

=




c) Nếu
B A

và

(B) hữu hạn thì
( | ) ( ) ( )
A B A B

=
.

Định nghĩa 2 :
Ta nói rằng

liên tục tại

, nếu với mỗi dãy
n
A


,
n
A

C ta có:

lim ( ) 0
n
n
A


=

Độ đo
Các hàm tập xác định trên

- đại số đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong lý
thuyết tích phân và lý thuyết xác suất. Giả sử

( ,

A ) là không gian đo đợc nào
đó.
Định nghĩa:
Ta gọi hàm tập
à
là độ đo trên không gian đo đợc
( ,

A ) nếu:
+) Miền xác định của
à
là

- đại số A .
+)
à
không âm và

- cộng tính
Với
A

A ,
à
(A) đợc gọi là độ đo ( hay số đo ) của tập A.
Nói rằng
à
là độ đo hữu hạn nếu nó là hàm tập hữu hạn , tức là 0 ( )A

à
< +
,
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

7

A

A
Dễ thấy rằng
à
hữu hạn khi và chỉ khi ( )
à
< +
.
Nếu
( ) 1
à
=
thì ta gọi
à
là độ đo xác suất.
Bộ ba (

,A ,
à
) đợc gọi là không gian có độ đo (

là không gian, A là

- đại
số các tập con của

,
à
là độ đo xác định trên A .
Các tính chất cơ bản của độ đo
+)
à
(

) = 0
+) Nếu A, B

A , B

A, và ( )B
à
< +
thì
à
(A / B) =
à
(A)

à
(B)
+) Tính đơn điệu:
Nếu A, B

A ,, B

A thì :
à
(B)


à
(A)
+) Tính nửa

- cộng tính dới :
Nếu
k
A A

,
A

A ,
1
k
k
A A

=


thì

1
( ) ( )
k
k
A A
à à

=



Đặc biệt nếu thêm điều kiện
( ) 0
k
A
à
=
,
1, 2,
k
=
thì
( ) 0
A
à
=
.
+) Nếu
k
A

A ,
k j
A A
=
(
k j

), A

A và
1
k
k
A A

=


thì
1
( ) ( )
k
k
A A
à à

=

1.1.3. Hàm thực đo đợc.
Định nghĩa:
Cho không gian đo đợc (

,A). Theo định nghĩa tổng quát ánh xạ nhận giá trị thực
:f


đợc gọi là hàm thực đo dợc (theo nghĩa Borel) nếu nghịch ảnh của mỗi
tập Borel là tập đo đợc, tức là tập thuộc A.
Hơn nữa, nếu
=

thì mỗi
f
nh thế đợc gọi là hàm số Borel. Nh vậy, :f



là hàm số Borel khi và chỉ khi nghịch ảnh của mỗi tập Borel là tập Borel. Ta ký
hiệu
=
0 0
L L
(

, A) là tập tất cả các hàm (thực) đo đợc.

1.1.4. Phần tử ngẫu nhiên.
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

8

Định nghĩa:
Giả sử (

, A, P) là không gian xác suất cơ bản và (X, F) là không gian đo đợc.
Ta gọi ánh xạ đo đợc
:
X


( tức là
1


(F)

A) là phần tử ngẫu nhiên X- giá
trị ( hay nhận giá trị trong X). Đặc biệt, nếu
n
X
=

và F =
n
B
là

- đại số Borel
của
n

thì ta gọi

là véc tơ ngẫu nhiên n chiều và viết


thay cho

. Trong trờng
hợp
1
n
=
, ta viết

thay cho


và gọi

là đại lợng ngẫu nhiên.
1.1.5. Tơng đơng ngẫu nhiên.
Ta gọi hàm ngẫu nhiên là họ các đại lợng ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t
chạy trên tập T bất kỳ, ta sẽ viết tham số này hoặc dới dạng chỉ số hoặc trong dấu
ngoặc, chẳng hạn: Hàm ngẫu nhiên
t

X
,
t T

.
Bởi vì ta hiểu đại lợng ngẫu nhiên là ánh xạ đo đợc từ không gian xác suất
cơ bản
( , , )
T p

vào không gian đo đợc (X,B) nên hàm ngẫu nhiên
t
X
,
t T

, nếu
viết chi tiết hơn, sẽ là hàm của cặp
t T

,


đo đợc theo

với mỗi
t T

. thông
thờng hơn ta xét các hàm ngẫu nhiên bằng số, tức là (X, B) là đờng thẳng số

1
R

với

- đại số các tập Borel
1
B
(hay là mặt phẳng phức với

- đại số các tập Borel
tơng ứng).

Khi T là tập con của đờng thẳng thực, còn tham số t đợc coi nh là thời
gian, thì ta thờng dùng thuật ngữ quá trình ngẫu nhiên thay cho thuật ngữ hàm
ngẫu nhiên. Khi T gồm các số nguyên ta dùng thuật ngữ dãy ngẫu nhiên.
Về cơ bản ta sẽ nghiên cứu các quá trình ngẫu nhiên chứ không phải là các
hàm ngẫu nhiên trên tập T phức tạp hơn. Quá trình ngẫu nhiên đôi khi còn đợc gọi
là quá trình xác suất, đôi khi chúng ta còn gọi quá trình ngẫu nhiên là quá trình
cho đơn giản (vì ngoài quá trình ngẫu nhiên ta không xét quá trình nào khác)
Trong hàm
( )
t
X

, khi cố định
t T

ta sẽ nhận đợc một đại lợng ngẫu
nhiên. Gắn liền với khái niệm tơng đơng của các đại lợng ngẫu nhiên là định

nghĩa sau đây:
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

9


Các hàm ngẫu nhiên
t
X
và
t
Y
xác định trên cùng một tập T trên cùng một
không gian xác suất
( , , )
T p

và nhận giá trị trên cùng một không gian (X,B) đợc
gọi là tơng đơng ngẫu nhiên nếu chúng trùng nhau hầu chắc chắn với t cố định
bất kỳ: với mọi t, P
{
}
0
t t
X Y
=


Nếu
t

X
,
t T

, là quá trình ngẫu nhiên thì
1
( , , )
n
t t
X X
với mọi
1
,
n
t t T


là véc tơ ngẫu nhiên nhận giá trị trong
( , )
n n
X B
. Phân phối của nó
1
, ,
t t
n
X X


ta ký hiệu

là
1
, ,
t t
n


:
1
, ,
t t
n


(A)=P
(
)
{
}
1
, , ,
n
n
t t
X X A A B
=
Các phân phối này có tên gọi là các phân phối hữu hạn chiềucủa hàm ngẫu nhiên.
Ta định nghĩa covarian của các đại lợng ngẫu nhiên
, , ,
t s

X X t s T

, là một
số và đợc ký hiệu là cov (
,
t s
X X
):
cov (
,
t s
X X
) =
( )( )
t t s s
E X EX X EX

Khi đó: Hàm tơng quan K(t,s) ( hay cov (
( , )
X
K t s
hay
( , )
XX
K t s
) của các đại lợng
ngẫu nhiên
,
t s
X X

là:
( , ) cov( , )
t s
K t s X X
=

1.2.Quá trình Poisson.
Ta gọi quá trình Poisson với tham số a ( a > 0 ) là quá trình ngẫu nhiên
t
X
trên
T=[0,

] có các tính chất sau đây:
a :
0
X
=0.
b : Với mọi 0

0
t
<
1
t
<
2
t
<<
n

t
, các đại lợng ngẫu nhiên :
1
t
X
-
0
t
X
;
2
t
X
-
1
t
X
;;
n
t
X
-
1
n
t
X

độc lập.
c : Đại lợng ngẫu nhiên
t

X
-
s
X
, 0

s

t, có phân phối Poisson với tham số
a(t-s), nghĩa là :
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

10

P {
t
X
-
s
X
= i} =
( )
( ( )) .
!
i a t s
a t s e
i


i=0,1,2,

1.3. Quá trình Wiener ( chuyển động Brown ):
Ta gọi quá trình Wiener xuất phát từ 0 là quá trình ngẫu nhiên
t
X
, 0

t <

, có
các tính chất sau:
a :
0
X
=0.
b : Với mọi 0


0
t
<
1
t
<
2
t
<<
n
t
, các đại lợng ngẫu nhiên

1
t
X
-
0
t
X
,
2
t
X
-
1
t
X
,
n
t
X
-
1
n
t
X

độc lập .
c : Đại lợng ngẫu nhiên
t
X
-

s
X
, 0

s

t , có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán 0
và phơng sai t-s ( viết tắt là: với tham số (0 , t-s)).
Nếu thay yêu cầu
0
X
=0 bằng
0
X
= x thì ta nhận đợc định nghĩa quá trình
Wiener xuất phát từ x .
1.4. Quá trình Cauchy:
Ta gọi quá trình Cauchy xuất phát từ 0 là quá trình ngẫu nhiên
t
X
, 0

t


, thoả
mãn các điều kiện:
a :
0
X

=0
b : Với mọi 0


0
t
<
1
t
<
2
t
<<
n
t
, các đại lợng ngẫu nhiên

1
t
X
-
0
t
X
,
2
t
X
-
1

t
X
,,
n
t
X
-
1
n
t
X

độc lập.
c : Gia số
t h
X
+
-
t
X
có phân phối với mật độ :
f(x) =
1
2 2
h
h x


+
( Phân phối Cauchy)

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

11
Chơng 2 : Một số quá trình ngẫu nhiên thờng gặp

Trong lý thuyết quá trình ngẫu nhiên , ngời ta phân ra thành các lớp hàm
ngẫu nhiên khác nhau, các lớp này nói chung giao nhau.
2.1. Hàm ngẫu nhiên Gauss :
Hàm ngẫu nhiên
t
X
, t

T , nhận các giá trị trong (X, B ) =(
1
R
,
1
B
) hay (
n
R
,
n
B
)
đợc gọi là Gauss, nếu tất cả các phân phối hữu hạn chiều của nó là chuẩn Gauss,

Tức là véctơ ngẫu nhiên (
1
t
X
,
n
t
X
) có phân phối chuẩn , nghĩa là hàm mật độ có
dạng :

f (
1
t
x
,,
n
t
x
) =
2
1
(2 ) . det
n
A

.
1 ,
1
2

xA x
e


trong đó x = (
1
x
,,
n
x
)

A là ma trận đối xứng , xác định dơng với bất kỳ
1
t
,,
n
t

T
2.2. Quá trình có gia số độc lập:
Ta nói rằng quá trình ngẫu nhiên giá trị số ( hay véctơ)
t
X
, t

T

1
R

là quá trình
có gia số độc lập , nếu các gia số của nó tại các đoạn rời nhau không phụ thuộc vào
nhau, tức là
0 1

n
t t t

, với
i
t

T, các đại lợng ngẫu nhiên

1 0 1 1
2
, , ,
n n
t t t t t t
X X X X X X

độc lập.

2.3. Quá trình có gia số không tơng quan :
Quá trình ngẫu nhiên
t
X
, E
2
/ /

t
X
< +

thì nó cũng là quá trình có gia số không
tơng quan nếu các gia số của nó tại các đoạn rời nhau không tơng quan, tức là :
Với
0 1 2 3
t t t t

, ta có:

1 0 3 2
cov( , ) 0
t t t t
X X X X
=

Chỉ cần đòi hỏi tính không tơng quan của
1 0
t t
X X
và
2 1
t t
X X
với bất kỳ
1 2
o
t t t

.
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

12
Thật vậy, trong trờng hợp này với:
0 1 2 3
t t t t

:

cov
X
(
1 0 3 2
,
t t t t
X X X X
) =
cov
(
1 0 3 1
,
t t t t
X X X X
)
1 0 2 1
cov( , )
t t t t
X X X X

= 0

Nếu
t
X
là quá trình có gia số độc lập ,
2
/ /
t
E X
<
thì nó cũng là quá trình có gia số
không tơng quan.
2.4. Quá trình dừng:
Ta nói rằng, quá trình ngẫu nhiên
t
X
, t
T

1
R
là dừng nếu mọi số thực h, các
phân phối hữu hạn chiều của nó không thay đổi khi dịch chuyển một đoạn bằng h:
1 1, ,
, ,
n n
t h t h t t

+ +

= nếu
1 1
, , , , ,
n n
t t t h t h T
+ +

Dùng làm tập T các giá trị của tham số thời gian ngời ta thờng lấy
1
R
,
hay
(0, )
R
+
=
hay
1
Z
- tập tất cả các số nguyên hay
{
}
0,1, 2,
Z
+
= hay tập các số tự
nhiên
{
}
1,2,3,

.
Trờng hợp
1
T Z

- tập tất cả các số nguyên hay
Z
+
, hay tập hợp các số tự nhiên thì
ngời ta gọi
t
X
là dãy dừng.
Lu ý : Đôi khi ngời ta gọi quá trình dừng là quá trình dừng theo nghĩa hẹp.


Chơng 3: Hội tụ, liên tục, đạo hàm, tích phân của các
quá Trình ngẫu nhiên .

3.1. Sự hội tụ:
3.1.1. Định nghĩa1: Đối với các đại lợng ngẫu nhiên nhận giá trị trong không
gian mêtric
( )
F
F B B
=
, sự hội tụ theo xác xuất đợc định nghĩa nh sau:

( )
( )

P
n
X X n

hay lim( )
n
n
P X X

=
nếu:
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

13

{
}
,
lim ( ) 0
n
n
P X X


=
hay
{
}
lim ( , ) 1
n

n
P X X


< =
với
0

>
.
3.1.2. Định nghĩa 2( Sự hội tụ yếu của dãy độ đo): Dãy các độ đo
n
à
trên

-đại
số
F
B
của các tập hợp con Borel Trong không gian metric F hội tụ yếu tới độ đo
à
trên
t
B
nếu với mọi hàm liên tục bị chặn f trên F:

( ) ( ) ( ) ( )
n
F F
f x dx f x dx

à à



3.1.3. Định nghĩa 3: Ta nói đại lợng ngẫu nhiên
n
X
hội tụ hầu chắc chắn về
X
khi
n

, nếu:

{
}
: lim ( ) ( ) 1
n
n
P X X


= =

Hay
{
}
: lim ( ) ( ) 0
n
n

P X X


=

Ký hiệu
,
a s
n
X X
khi
n


3.1.4. Định nghĩa 4: Giả sử
2
0
, ; , ;
t
X X L t t T T
là không gian metric. Dãy
t
X
đợc
gọi là hội tụ theo trung bình bậc
1
p

đến
X

nếu:

0
lim 0
p
t
t t
E X X

=
.
Khi p = 2 ta đợc sự hội tụ theo bình phơng trung bình và ký hiệu:

0
lim
t
t t
X X

=
.
3.1.5: Mệnh đề: Từ sự hội tụ theo bình phơng trung bình suy ra sự hội tụ theo xác
suất.Từ sự hội tụ hầu chắc chắn suy ra sự hội tụ theo xác suất. Từ sự hội tụ theo xác
suất suy ra sự hội tụ yếu của các phân phối tơng ứng.
Chứng minh:
a, Hội tụ theo bình phơng trung bình

hội tụ theo xác suất.
Giả sử đại lợng ngẵu nhiên
n

X
hội tụ theo bình phơng trung bình về
X
khi
n

.
Khi đó:
2
lim 0
n
n
E X X

=

Theo bất đẳng thức Tsebusep, ta có:
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

14

{ }
2
2
n
n
E X X
P X X

0

>

Do
2
2
0
n
n
E X X





{
}
0
n
P X X




0

>

Vậy
( )P
n
X X



b, Hội tụ hầu chắc chắn

hội tụ theo xác suất.
Giả sử đại lợng ngẫu nhiên
n
X
hội tụ hầu chắc chắn về
X
khi
n


{
}
sup 0
k
k n
P X X

0

>

( )
{
}
0
k
k n
P X X





0

>

Mà
( )
{
}
{ } { }
0
k k k
k n
P X X P X X P X X

khi
n


Vậy
( )
P
n
X X


c, Giả sử
( )
P
n
X X

, chúng ta có giá trị trong
F
.
Khi đó, với mọi hàm số liên tục bị chặn
f
xác định trên
F
:

( )
( ) ( )
P
n
f X f X


Dựa vào lý thuyết tích phân ta có:
( ) ( ) ( )
n
F F
f x d Ef x f x d
à à
= =


Trong đó:
1
.
n n
P X
à

=


1
.
P X

à

=

Vậy :
w
n
à à


3.1.6: Định lý 1: Giả sử
2
t
E X
<
,
t

. để tồn tại
lim
t
X
khi
0
t t

(hay khi
t

)

điều kiện cần và đủ là tồn tại gới hạn hữu hạn
.
t s
EX X
khi
0
,
t s t

(hay
,
t s

)

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

15
Chú ý: Có thể thay điều kiện này bằng điều kiện tồn tại các giới hạn hữu hạn của
t
EX
khi
0
t t

và của hàm tơng quan
( , )
K t s
khi
0

,
t s t

.
Chứng minh:
Tồn tại
lim
t
X

giới hạn hữu hạn của
.
t s
EX X
khi
0
,
t s t

.
Điều kiện cần: Giả sử tồn tại
lim
t
X



2
L
0

t
X X

khi
0
t t



(
)
(
)
,
,
t s o o
X X X X


khi
0
,
t s t

(do tính chất liên tục của tích vô hớng )
0 0
. .
t s
EX X EX X

khi
0
,
t s t


Vậy tồn tại
.
t s
EX X

Ngợc lại : Giả sử
.
t s
EX X m

khi
0
,
t s t

.
Xét
2
( ).( )
t s t s t s
E X X E X X X X
=

( )( )
t s t s
E X X X X
=


. . . . 0
t t s s t s t s
EX X EX X EX X E X X
= +
khi
0
,
t s t

.

Dãy
t
X
là dãy cơ bản theo nghĩa bình phơng trung bình.
t
X

hội tụ theo nghĩa bình phơng trung bình .
Vậy tồn tại
0
lim
t
t t

X

.
Tồn tại
0
lim
t
t t
X


Tồn tại các giới hạn hữu hạn của
t
EX
và
( , )
K t s
khi
0
,
t s t

.
Điều kiện cần: Giả sử tồn tại
0
lim
t
t t
X

t
X
là dãy cơ bản theo nghĩa bình phơng
trung bình
2
0
t s
E X X


khi
0
,
t s t

.
Xét
2
0
t s t s t s
EX EX E X X E X X


khi
0
,
t s t

(theo Bunhiacopxki).
t

EX
là dãy cơ bản.

Tồn tại giới hạn hữu hạn của
t
EX
khi
0
t t


Xét
( , )
K t s
( ).( )
t t s s
E X EX X EX
=


. . . .
t s s t t s t s
EX X EX EX EX EX EX EX
= +

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

16

. .

t s t s
EX X EX E X
=

Theo chứng minh trên tồn tại
0
0
lim
t t t
t t
EX EX m


khi
0
t t


Theo giả thiết tồn tại
0
lim
t
t t
EX


tồn tại
0
,
lim .

t s
t s t
EX X

(chứng minh trên).

.
t s
EX X m


khi
0
,
t s t


Do đó
2
( , )
t
K t s m m

khi
0
,
t s t


Vậy tồn tại

0
,
lim ( , )
t s t
K t s

.
Ngợc lại :
Từ
( , )
K t s
. .
t s t s
EX X EX E X
=


. ( , ) .
t s t s
EX X K t s EX EX

= +

Do
( , )
K t s k

khi
0
,

t s t



t t
EX m

khi
0
t t


Nên
2
.
t s t
EX X k m
+
khi
0
,
t s t



Tồn tại
0
,
lim .
t s

t s t
EX X


Tồn tại
0
lim
t
t t
X

.
Vậy định lý đợc chứng minh.
3.1.7. Định lý 2 (Điều kiện Cauchy): Chuỗi
1
n
n
X

=

gồm các đại lợng ngẫu nhiên
không tơng quan hội tụ theo bình phơng trung bình khi và chỉ khi các chuỗi
1
n
n
EX

=

,
1
n
n
DX

=

hội tụ.
Chứng minh:
Đặt
1 2

n n
Y X X X
= + + +

Xét
( , ) cov( , )
YY n m
K n m Y Y
=

Với n > m ta có:

cov( , ) cov( , )
n m n m m m
Y Y Y Y Y Y
= +

cov( , ) cov( , )
n m m m m
Y Y Y Y Y
= +

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

17

1
cov( , )
m n m m
X X Y DY
+
= + + +


0
m
DY
= +
(do các
i
X
không tơng quan)

1

m m

DY DX DX
= = + +

Với n < m ta có:

cov( , ) cov( , )
n m n m n n
Y Y Y Y Y Y
= +


cov( , )
n m n n
Y Y Y DY
= +


1
0
n n
DY DX DX
= + = + +

Nh vậy tổng quát ta có :
1 2 ^
( , )
YY m n
K n m DX DX DX
= + + +

Lại có:
1
n
n
X

=

hội tụ theo bình phơng trung bình



=






1
hội tụ
Hàm tong quan hội tụ
n
n
E X



=

=









1
1
hội tụ
hội tụ
n
n
n
n
EX
DX

Định lý đã đợc chứng minh .

3.1.8. Định lý 3: Để tồn tại giới hạn của
t
X
theo nghĩa hội tụ theo xác suất khi
0
t t

( hay khi
t

), điều kiện cần và đủ là tồn tại giới hạn khi
0
,
t s t

( hay khi
,
t s

) của phân phối hai chiều
,
t s
X X

theo nghĩa hội tụ yếu.
Chứng minh:
Điều kiện cần: Giả sử
( )
P
t
X X

khi
0
t t

. Khi đó vectơ ngẫu nhiên

( )
( , ) ( , )
P
t s
X X X X

khi
0
,
t s t

. Nhng từ hội tụ theo xác suất rút ra hội tụ yếu
của phân phối , nghĩa là
, ,
t s
X X X X


.
Điều kiện đủ: Giả sử tồn tại giới hạn của phân phối hai chiều
,
t s
X X

khi
0
,
t s t

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

18
Trên
2
R
ta xét :
{
}
( , ) :
D x y x y


= <


{
}
( , ) :
D x y x y
= =

Xét hàm f liên tục, bị chặn và không âm:

2 1
:
f R R

=



1 nếu(x,y)
( , )
0 nếu(x,y)
D
f x y
D

Ta có:
{
}
t s
t s
X X
P X X EI


=
(Tính chất của kỳ vọng)
=
2
( , )
( , ) ( , ) ( , )
t s
X X D t s

R
EI Ef X X f x y d x y






Trong đó

là phân phối giới hạn hai chiều.
Vì
,
t s
X X

tập trung trên đờng phân giác của góc toạ độ thứ nhất và thứ ba. Do đó,
phân phối giới hạn cũng tập trung trên tập hợp này .
Mặt khác
( , )
f x y
lại triệt tiêu trên đờng phân giác của góc toạ độ thứ nhất và thứ
ba.
Do đó
2
( , ) ( , ) 0
R
f x y d x y

=

{
}
0
t s
P X X


khi
0
,
t s t




Dãy
t
X
cơ bản theo nghĩa xác suất.
Vậy
t
X
hội tụ theo nghĩa xác suất. Định lý đợc chứng minh.

Ví dụ: Giả sử
1

, , ,
n
X X
là các đại lợng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với
0
i
EX
=
;
2
0
i
DX

= >
. Biết rằng tồn tại phân phối giới hạn đối với
1
( ) /
n n
Y X X n

= + +
(phân phối chuẩn tiêu chuẩn). Tồn tại hay không
lim( )
n
n
P Y

.
Giải: Giả sử tồn tại

lim( )
n
n
P Y


Tồn tại giới hạn của phân phối hai chiều
,
n m
Y Y



phân phối giới hạn phải là duy nhất.
Ta xét véc tơ ngẫu nhiên
2
( , )
n n
Y Y
.
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

19

2 1 2
cov( , ) cov( , ( . ) / 2
n n n n n n
Y Y Y n Y X X n

+

= + + +


1 2
.
cov , cov ,
2 2
n n n
n n
n Y X X
Y Y
n n


+

+ +

= +







1
cov( , ) 0
2
n n

Y Y
= +
(Vì các đại lợng ngẫu nhiên
i
X
độc lập).

1 1
2
2
1 1 1 1
. . ( ) ( )
.
2 2 . 2
n n n
DY D X X DX DX
n
n


= = + + = + +

2
2
1 1
. .
. 2 2
n
n

= =

Véc tơ ngẫu nhiên
2
( , )
n n
Y Y
có ma trận tơng quan
1
1
2
1
1
2






cố định.


Phân phối giới hạn cũng phải có ma trận tơng quan là
1
1
2
1
1

2







Nh vậy: Phân phối giới hạn là phân phối chuẩn không suy biến vì nó không tập
trung trên một đờng nào cả.
Lại xét véc tơ ngẫu nhiên
(
)
,
n n
Y Y


cov( , ) 1
n n
Y Y
=


Véc tơ ngẫu nhiên
(
)
,
n n
Y Y

có ma trận tơng quan là
1 1
1 1



cố định


Phân phối giới hạn cũng phải có ma trận tơng quan là
1 1
1 1




Nh vậy: Phân phối giới hạn là phân phối chuẩn suy biến vì nó tập trung trên một
đờng.
Do đó, phân phối giới hạn của hai véctơ ngẫu nhiên
2
( , )
n n
Y Y
và
(
)
,
n n
Y Y
là khác nhau.

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

20
Vậy phân phối giới hạn không duy nhất.
Điều đó có nghĩa là không tồn tại
lim( )
n
n
P Y


3.2. Liên tục:
3.2.1. Định nghĩa và ví dụ:
Định nghĩa1: Hàm ngẫu nhiên ,
t
X t T

đợc gọi là liên tục ngẫu nhiên
tại điểm
0
t T

, nếu
0
( )P
t t
X X

khi
0

t t


Tính liên tục ngẫu nhiên của hàm ngẫu nhiên rõ ràng là loại tính chất đợc xác
định đơn trị bởi các phân phối hai chiều của nó .
Những quá trình đã đợc nêu ở trên ( quá trình Poisson, Wiener, Cauchy ) đều
là liên tục ngẫu nhiên , mặc dù thể hiện của chúng có thể gián đoạn. Điều đó xảy ra
là vì: Các gián đoạn trên mỗi thể hiện là các gián đoạn tại các điểm của nó, và xác
suất để gián đoạn xảy ra tại điểm t đã cho bằng 0.
Định nghĩa 2: Hàm ngẫu nhiên ,
t
X t T

đợc gọi là liên tục trung bình cấp
1
p

tại điểm
0
t T

nếu
0
t
t
X X
theo nghĩa hội tụ theo trung bình cấp p khi
0
t t

,
nghĩa là:
0
0
p
t t
E X X

khi
0
t t


Ví dụ: Giả sử ,
t
X t T

là quá trình ngẫu nhiên sao cho tất cả
t
X
độc lập với
nhau và có cùng mật độ phân phối f. Quá trình này không liên tục ngẫu nhiên tại
bất cứ điểm nào.
Thật vậy :
Lấy
0
t T

bất kỳ .
Với mọi

0
t t

, ta có:
{
}
0
( ). ( )
t t
x y
P X X f x f y dxdy



=

(tính chất của hàm mật độ )
Khi
0


ta đợc:
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) 1
x y x y
f x f y dxdy f x f y dxdy f x f y dxdy

+ +

= =

(tính chất hàm mật
độ).
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

21
Điều này có nghĩa
0

>
khá bé, ta có:

{
}
0
1
t t
P X X

>

0
,0 1
t t

< <
tuỳ ý nhng cố định.
Do đó, sự hội tụ theo xác xuất không xảy ra.
Vậy
t
X

không liên tục ngẫu nhiên tại bất kỳ điểm nào.
3.2.2. Một vài tính chất:
Mệnh đề 1: Nếu hàm ngẫu nhiên
t
X
liên tục ngẫu nhiên trên tập compact
A T


thì nó liên tục ngẫu nhiên đều trên tập này, tức là:
0

>
và
0

>
tồn tại
0

>
sao
cho
{
}
0
t t
P X X

<

với
,
t s A

nào đó,
( , )
t s

<
.
Chứng minh:
Giả sử với mọi giả thiết nh trên nhng hàm ngẫu nhiên
t
X
không phải là
liên tục ngẫu nhiên đều. Nghĩa là:
Tồn tại
0

>
và
0

>
sao cho với
0

>
, ta có:
{

}
0
t t
P X X


(1)
với
,
t s A

nào đó,
( , )
t s

<

Từ đó, đối với mỗi
n N

, tồn tại ,
n n
s t A

sao cho (1) xảy ra với
0 0
,
t t s s
= =
và

1
( , )
s n
t t
n

<

Do A compact nên tồn tại dãy con
{
}
{ }
k
n n
t t

hội tụ đến
0
t A

.

Xét
0 0
( , ) ( , ) ( , ) 0
k k k k
n n n n
s t s t t t

+

nên
0
k
n
s t



Theo giả thiết, ta có:

0
( )
n
k
P
t t
X X



0
( )
n
k
P
s t
X X


Do đó:

( )
0
n n
k k
P
t s
X X


Từ đó tồn tại
0
k
sao cho
0
k k

ta có:
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

22

{
}
n n
k k
t s
P X X

<
điều này mâu thuẫn với (1)

Vậy
t
X
liên tục ngẫu nhiên đều.

Mệnh đề 2: Nếu hàm ngẫu nhiên
t
X
liên tục trung bình cấp
1
p

trên tập compact
A thì nó liên tục trung bình cấp
1
p

đều trên tập này.
Chứng minh:
Không gian
p
L
gồm các biến ngẫu nhiên khả tích bậc
1
p

là không gian giả
định chuẩn ( do đó giả metric). Nên ta có thể sử dụng kết quả tơng ứng của giải
tích thông thờng. Điều phải chứng minh.

Mệnh đề 3: Nếu hàm ngẫu nhiên
t
X
liên tục trung bình cấp
1
p

trên tập
compact A thì tồn tại hằng sốC
< +
sao cho:
p
t
E X C


t A


Chứng minh:

p
L
- không gian giả metric. Hàm
p
t
t X L


liên tục trên tập compact A nên

bị chặn, nghĩa là:

sup
t
p
A
X M


Trong đó: M > 0 là hằng số,
(
)
1
p
p
t
p
X E X=


p
p
t
E X M C

< =

t A

Vậy tồn tại
C
< +
để
p
t
E X C
<


Mệnh đề 4: Để hàm ngẫu nhiên
t
X
liên tục ngẫu nhiên trên tập T điều kiện cần
và đủ là phân phối
,
t s
X X

liên tục yếu theo cặp (t,s) trên tập T x T.
Chứng minh:

t
X
liên tục ngẫu nhiên trên T
0
( )P
t t
X X

khi
0 0
,
t t t T

bất kỳ
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

23

0 0
( )
, ,
t t t t
P
X X X X


theo nghĩa hội tụ yếu khi
0
,
t s t



,
t t
X X

liên tục yếu tại
0 0
( , )
t t
bất kỳ.
Vậy
,
t t
X X

liên tục yếu theo cặp (t,s).

Mệnh đề 5: Để hàm ngẫu nhiên
t
X
liên tục bình phơng trung bình trên tập T cần
và đủ là hàm
t s
EX X
liên tục theo (t, s) trên T xT hay là
t
EX
liên tục theo t còn
hàm tơng quan K(t, s) liên tục theo cặp các biến số.
Chứng minh:

t
X
liên tục bình phơng trung bình
0

t t
X X

theo nghĩa bình phơng
trung bình khi
0 0
,
t t t T

bất kỳ.

t s
EX X

hội tụ khi
0
,
t s t


t s
EX X

liên tục theo (t,s).
Hơn nữa:
0
t t
X X

theo nghĩa bình phơng trung bình khi

0
t t

(
0
t T

bất kỳ)

t
EX

hội tụ khi
0
t t

và K(t, s) hội tụ khi
0
,
t s t


t
EX

liên tục theo t và
hàm tơng quan K(t, s) liên tục theo cặp các biến số.
Mệnh đề đợc chứng minh.
3.3. Đạo hàm
Định nghĩa

Đạo hàm của quá trình ngẫu nhiên X
t
đợc

định nghĩa nh là giới hạn của
(
)
/
t h t
X X h
+

khi h 0 theo nghĩa hội tụ tơng ứng.
Dễ thấy từ tính khả vi theo trung bình (theo xác suất) rút ra tính liên tục
tơng ứng.
Quá trình Wiener không khả vi ngay theo nghĩa hội tụ theo xác suất. Thật
vậy:
Giả sử nó khả vi tại điểm t nào đó. Khi đó: theo định nghĩa sẽ tồn tại giới hạn
yếu của phân phối
(
)
/
t h t
X X h
+

khi h 0.
Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

24

Mặt khác:
(
)
/
t h t
X X h
+

có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán 0 và phơng sai
1
h

.
Do đó,
(
)
/
t h t
X X h
+

sẽ dần đến

và
+
khi h 0.
Quá trình Poisson khả vi theo xác suất nhng không khả vi theo trung bình
với bất kỳ cấp
1
p

nào. Thật vậy:
Giả sử X
t
là quá trình Poisson với tham số a.
Do X
t+h
X
t
có phân phối Poisson, và nhận giá trị nguyên không âm nên:

}
{
t h t
t h t
X X
P X X h
h

+
+



< = <




Với

0

>
và chọn h > 0 đủ nhỏ sao cho:
1
h

<
ta có:

}
{
{
}
0
( ) .
0 1
0!
ah
t h t t h t
ah e
P X X h P X X


+ +
< = = =
khi h 0

( )
0

p
t h t
X X
h
+



Giả sử tồn tại giới hạn của
(
)
/
t h t
X X h
+

theo nghĩa trung bình thì giới hạn đó
phải bằng 0 hầu chắc chắn.
Nghĩa là:
( )
/ 0
p
t h t
E X X h
+

khi h 0
Do X
t+h
X

t
có phân phối Poisson với tham số ah nên ta có:

( ) ( )
( )
1
. .
.
! 1 !
k k
ah ah
t h t
k o k
ah e ah e
E X X k
k k


+
= =
= =



Đặt k 1 = m
Ta có:

( ) ( )
1
0

.
. . . . .
! !
m m
ah
ah ah ah
t h t
m o m
ah e ah
E X X k e ah ah e e ah
m m
+



+
= =
= = = =


Vì:
(
)
(
)
1/ 1/
q p
q p
E X E X

1
p q
>


( )
(
)
( )
1/
/ /
p
p
t h t t h t
E X X h E X X h a
+ +
=

Luận văn tốt nghiệp Phạm Thị Thu Hơng- K2 SP Toán

25

( )
/ 0
p
p
t h t
E X X h a
+

/
khi h 0

( )
/ 0
p
t h t
E X X h
+

/
khi
0
h


Vậy X
t
không khả vi theo trung bình
1
p


Điều này chứng tỏ việc xây dựng giải tích ngẫu nhiên dựa trên khái niệm
khả vi theo xác suất không có ý nghĩa lớn. Để có thể phát triển lí thuyết xa hơn,
cần phải có điều kiện: Hàm số đợc xác định một cách đơn trị bởi đạo hàm của nó
(sai khác một hằng số), tơng tự nh đạo ánh trong giải tích.
Mệnh đề: Giả sử f(t) là hàm xác định trên
[
]

,
a b
và nhận giá trị trong không gian
Banach F. Nếu với tất cả t

[
]
,
a b
tồn tại đạo hàm của hàm này.
,
( ) ( )
( ) lim
h o
f t h f t
f t
h

+
=
theo nghĩa hội tụ theo chuẩn trong không gian này và
'( ) 0
f t
=
trên đoạn
[
]
,
a b
thì

( ) ( )
f t f a

với t

[
]
,
a b
.
Chứng minh:
Theo định lý số gia giới nội:

[
]
, , ,
t s a b t s
<
ta có:

[
]
,
( ) ( ) sup ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ,
s t
f t f s f f s f t f t f a t a b



= = =

Điều phải chứng minh.
Mệnh đề: Để quá trình ngẫu nhiên X
t
, t

[
]
,
a b
khả vi liên tục theo bình phơng trên
khoảng (a, b) cần và đủ là hàm
t s
EX X
có đạo hàm hỗn hợp cấp hai liên tục theo t
và s trên tập (a, b) x (a, b).
(Hay là EX
t
khả vi liên tục theo t và tồn tại đạo hàm hỗn hợp liên tục
(
)
2
, /
K t s t s

của hàm tơng quan).
Chứng minh:
Điều kiện đủ: Giả sử H(t, s) =
t s
EX X

có đạo hàm hỗn hợp đến cấp hai liên
tục. Với
(
)
,
t a b

tuỳ ý nhng cố định.