VỀ MỘT SỐ NỘI DUNG CỦA HÌNH HỌC ƠCLIT n CHIỀU TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1








Bùi Thị Thu Hiền



Về một số nội dung của hình học ơclit
n

chiều trong chơng trình toán
trung học phổ thông











Khoá luận tốt nghiệp: Đại học S phạm Toán.

2

Mục lục
Trang
Lời nói đầu 4

Chơng1. PHẳNG, ĐƠN HìNH, HộP, KHOảNG CáCH 6
1.1. Phẳng 6
1.1.1. Một số khái niệm mở đầu 6
1.1.2. Định nghĩa phẳng 8
1.1.3. Vị trí tơng đối của các phẳng 8
1.1.4. Định nghĩa sự trực giao các phẳng 9
1.1.5. Phơng trình tham số của m- phẳng 12
1.1.6. Phơng trình tổng quát của m- phẳng 13
1.2. Khoảng cách 13
1.2.1. Định thức Gram 13
1.2.2. Khoảng cách giữa 2 điểm 14

1.2. 3. Khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng 15
1.2.4. Khoảng cách giữa hai phẳng 19
1.2.5. Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng 24
1.3. Hộp 26
1.3.1. Tâm tỉ cự 26
1.3.2. Tập lồi 27
1.3.3. Hộp 28
1.4. Đơn hình 29
Chơng 2. một số phép biến hình 32
2.1. ánh xạ afin 32
2.1.1. các định nghĩa 32
2.1.2. Tính chất
33

3

2.1.3. Các định lí cơ bản 34
2.1.4. Biểu thức toạ độ 34
2.1.2.
Phép chiếu song song trong
n

A
,
n

E
35
2.2. Biến đổi afin 37
2.2.1. định nghĩa 5 37

2.2.2. Các định lí 37
2.2.3. Phép tịnh tiến 38
2.2.4. Phép vị tự 38
2.2.5. Phép thấu xạ afin 39
2.2.6. Phép thấu xạ trợt afin 40
2.2.7. Biến đổi đối hợp 40
2. 3. ánh xạ đẳng cự 40
2.3.1. Các định nghĩa 40
2.3.2. Phép đối xứng qua m- phẳng 41
2.3.3. Phép quay quanh n- 2 phẳng 42
2. 3.4. Dạng chính tắc của biến đổi đẳng cự 43
2.4. ánh xạ đồng dạng 45
2.4.1.
các định nghĩa 45
2.4.2. Các định lí 45
2.4.3. Dạng chính tắc của biến đổi đồng dạng 46
Chơng 3. Một số bài tập 48





4

Lời nói đầu
Chơng trình hình học cao cấp của các trờng Đại học S phạm của những
năm gần đây chủ yếu gồm ba loại không gian hình học n chiều: Không gian afin,
không gian Ơclit và không gian xạ ảnh. Do tính chất trừu tợng và tổng quát của
không gian đó nên việc học tập của sinh viên có nhiều khó khăn nhất là khi mới bắt
đầu. Việc để hiểu và vận dụng đợc những kiến thức đợc trang bị ở trong trờng

Đại học vào công tác giảng dạy sau khi ra trờng là một trong những yêu cầu và là
nhiệm vụ của ngời sinh viên khi đang ngồi trên ghế trờng Đại học. Đây là một
trong những yêu cầu có tính nguyên tắc của việc học đi đôi với hành mà không phải
sinh viên nào cũng có thể làm đợc và làm tốt nó. Ngoài việc đợc học những kiến
thức do giáo viên cung cấp, bản thân mỗi sinh viên cần phải tự tìm hiểu, tự nghiên
cứu để thấy đợc mối liên hệ giữa kiến thức ở bậc học Đại học và những kiến thức
đợc giảng dạy sau này ở bậc phổ thông.
Đề tài Về một số nội dung của hình học Ơclit n chiều trong chơng trình
Toán THPT sẽ giúp chúng ta một phần nhỏ trong việc giải quyết khó khăn khi
tìm mối liên hệ giữa kiến thức ở bậc học Đại học và những kiến thức đợc giảng
dạy sau này ở bậc phổ thông.
Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài bao gồm 3
chơng:
Chơng 1. Phẳng, đơn hình, hộp, khoảng cách.
Chơng 2. Một số phép biến hình.
Chơng 3. Một số bài tập.
Chơng 1 và chơng 2 trình bày các nội dung lí thuyết của hình học Ơclit n chiều
và sự đặc biệt của nó trong chơng trình Toán THPT. ở chơng 3, các bài tập áp
dụng trong không gian Ơclit n chiều và các kết quả của nó ở phổ thông.

5

Lần đầu tiên đợc làm quen với việc nghiên cứu khoa học, kinh nghiệm bản thân
cha có nên nội dung đề tài vẫn còn những thiếu sót, tôi rất mong nhận đợc sự
đóng góp của các thầy cô giáo, bạn bè để đề tài đựơc hoàn chỉnh hơn.

6

Chơng1. PHẳNG, ĐƠN HìNH, HộP, KHOảNG CáCH

1.1. Phẳng
1.1.1. Một số khái niệm mở đầu
Định nghĩa 1 (Không gian afin).
Cho không gian vectơ trên trờng
K
, tập
A
mà các phần tử của nó đợc gọi là
điểm và ánh xạ:
:
A
ì

A

V
, ký hiệu (M, N) =

MN

, M, N
A

Bộ ba (
A
, ,
V
) đợc gọi là không gian afin trên trờng
K
nếu hai tiên đề sau
đợc thoả mãn:
(i) Với mọi M

A
và với mọi vectơ
u


V
có duy nhất điểm N
A
sao cho
MN

=
u

(ii) Với mọi bộ ba điểm M, N, P


A
ta có
MN

+
NP

=
MP


Không gian afin (
A
, ,
V
) còn gọi là không gian afin
A
liên kết với không gian
vectơ
V
trên trờng
K
hoặc
A
là
K
- không gian afin. Không gian vectơ

V
liên kết
với không gian afin
A
thờng kí hiệu là

A
. Không gian afin
A
đợc gọi là n chiều
và viết

A
n
nếu dim

A
= n.
Đặc biệt nếu
A
là tập hợp các điểm,
V
là tập hợp các vectơ trong mặt phẳng và
trong không gian thông thờng, ta có mặt phẳng afin và không gian afin thông
thờng đang sử dụng ở trờng phổ thông.
Định nghĩa 2 (Không gian vectơ Ơclit).
Không gian vectơ trên đó đợc trang bị một tích vô hớng đợc gọi là không gian
vectơ Ơclit.
Định nghĩa 3 (Không gian Ơclit).
Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn

chiều.

7

Không gian Ơclit sẽ gọi là n chiều nếu không gian vectơ Ơclit liên kết với nó có
chiều bằng n. Không gian Ơclit n chiều thờng kí hiệu là
n
E
, còn không gian vectơ
Ơclit liên kết với nó kí hiệu là
n

E
.
Đặc biệt với n = 2 ta có không gian Ơclit
E
2
(mặt phẳng Ơclit).
Với n = 3 ta có không gian Ơclit
E
3
thông thờng ta đã nghiên cứu ở phổ thông.
Nhận xét:
- Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều với cấu trúc afin chính tắc là một
không gian Ơclit, chẳng hạn nh
n
R

- Các không gian afin thực n chiều đều có thể trở thành không gian Ơclit n chiều
bằng cách trang bị một tích vô hớng cho không gian vectơ liên kết với không gian

afin đã cho.
Định nghĩa 4 (Mục tiêu trực chuẩn, hệ toạ độ trực chuẩn).
Mục tiêu afin (O;
1
e

,
2
e

, ,
n
e

) của không gian Ơclit n chiều
E
n

đợc gọi là
mục tiêu trực chuẩn (hay hệ toạ độ Đềcác vuông góc) nếu cơ sở ={
1
e

,
2
e

, ,
n
e

}
của
n

E

là cơ sở trực chuẩn, tức là:
i
e

.
j
e

=
ịj
,
, 1,
i j n
=
.
Toạ độ của điểm đối với mục tiêu trực chuẩn gọi là toạ độ trực chuẩn.
- Đặc biệt: + n = 2: Xét hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy gồm 2 trục Ox, Oy
vuông góc với nhau với 2 vectơ đơn vị
i

,
j

lần lợt trên 2 trục đó
Ta có :
2
i


=
2
j = 1 và
i

.
j
= 0

OM

= x.
i

+ y.
j

(Khi đó cặp số (x, y) là toạ độ của điểm M đối với mục tiêu
trực chuẩn (O;
i

,
j

)
+ n = 3

xét hệ toạ độ Đềcac vuông góc Oxyz mà mục tiêu trực chuẩn là
(O;
i

,
j
,
k
) có:
2
i

=
2
j

=
2
k


= 1

i

.
j

= 0,

j
.
k

= 0,

8


i

.
k

= 0,

OM

= x.
i

+ y.
j

+ z.
k

Bộ (x, y ,z) là toạ độ của điểm M trong mục tiêu (O;
i

,
j

,
k

)
1.1.2. Định nghĩa phẳng
Cho không gian afin
A
liên kết với không gian vectơ

A
n
, một điểm I thuộc
A
và
một không gian véctơ con


của

A
. Khi đó tập hợp:

=
{
}
/



M IMA
,
đợc gọi là cái phẳng (gọi tắt là phẳng) đi qua I và có phơng


. Nếu dim


= m
thì

đợc gọi là m- phẳng hay phẳng m chiều.
Đặc biệt:
0- phẳng là một điểm;
1- phẳng gọi là đờng thẳng;
2- phẳng gọi là mặt phẳng;
n- phẳng của không gian afin n chiều
n
A
chính là
n
A
;

(n-1)- phẳng của
n
A
gọi là siêu phẳng.
Đặc biệt trong mặt phẳng
E
2
, thì siêu phẳng chính là đờng thẳng, còn trong
không gian
E
3
thì siêu phẳng chính là mặt phẳng.
1.1.3. Vị trí tơng đối của các phẳng
Định nghĩa 5
Trong không gian afin
A
n
cho p - phẳng và q - phẳng (p q) lần lợt có
phơng là


và



- Các phẳng và gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung.
- Cái phẳng
gọi là song song với cái phẳng nếu

là không gian con của


.
- Các phẳng
và gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song


9

song với nhau .
- Giao


đợc hiểu theo nghĩa của lí thuyết tập hợp gọi là giao của hai cái
phẳng

và

.
- Tổng

+

là giao của tất cả các phẳng chứa

và

và nó đợc gọi là tổng
của hai cái phẳng

và

(còn gọi là phẳng tổng).
Định lí 1. Giao của hai cái phẳng

và

hoặc là một tập rỗng hoặc là một cái
phẳng có phơng






.
Hệ quả 1. Nếu phẳng

song song với phẳng

thì hoặc chúng không có điểm
chung hoặc

nằm trong

.
Hệ quả 2. Qua một điểm I đã cho, có một m- phẳng duy nhất song song với một m-
phẳng

cho trớc.
Đặc biệt:
+ Trong chơng trình hình học ở trờng phổ thông hai đờng thẳng (mặt phẳng)
trùng nhau vẫn xem là song song với nhau (theo định nghĩa trên). Tuy nhiên có
đờng thẳng song song với mặt phẳng nhng không có mặt phẳng song song với
đờng thẳng .
+ Qua một điểm đã cho có duy nhất một đờng thẳng (mặt phẳng) song song
với một đờng thẳng (mặt phẳng) cho trớc.
1.1.4. Định nghĩa sự trực giao các phẳng
Định nghĩa 6. Cho W
1
,W
2
là 2 không gian của không gian của vectơ Ơclit
V
.
(i) W
1
đợc gọi là trực giao với W
2
( kí hiệu W
1

W
2
)

với mọi
x

W
1
, với
mọi
y



W
2
:
x

.
y
= 0 (
x




y

)
(ii) W
1
gọi là bù trực giao với W
2

W
1

W
2
và

W
1

W
2
=
V
.
Đặc biệt trong không gian Ơclit
E
n
cho các phẳng

có phơng


và phẳng


có phơng

.

10

- Hai phẳng

và

đợc gọi là trực giao với nhau nếu 2 không gian vectơ


và



là trực giao nhau.
- Phẳng

gọi là bù trực giao với phẳng






bù trực giao với


.
Khi n = 2:

+ Trong
E
2
hai đờng thẳng vuông góc là trực giao với nhau và cũng là bù trực
giao với nhau.
Khi n =3
+ Trong
E
3
(hệ toạ độ Oxyz): Hai mặt phẳng vuông góc với nhau không phải là
hai mặt phẳng trực giao với nhau. Nhng đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng là
bù trực giao với nhau.
Nh vậy trong chơng trình Toán THPT sự trực giao của các phẳng trong
E
2
,
E
3

chính là quan hệ vuông góc giữa đờng thẳng với đờng thẳng, đờng thẳng với
mặt phẳng trong không gian.
Định lí 2: Hai phẳng trực giao với nhau có không quá một điểm chung. Hai phẳng
bù trực giao với nhau có một điểm chung duy nhất.
Đặc biệt
- Trong
E
2
hai đờng thẳng là bù trực giao với nhau nên có một điểm chung duy
nhất.
- Trong

E
3
: Nh đã xét ở trên một đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng là bù
trực giao nhau và từ đó chúng giao nhau tại một điểm chung duy nhất
Nhng 2 đờng thẳng vuông góc với nhau chỉ là trực giao với nhau nên chúng có
thể không có điểm chung, hoặc có một điểm chung duy nhất.
Định lí 3. Nếu

trực giao với

và

bù trực giao với

thì

và

là hai cái phẳng
song song.
Hệ quả 3. Hai phẳng cùng bù trực giao với phẳng thứ ba thì song song với nhau và
có cùng số chiều.
Hệ quả 4. Qua một điểm đã cho có duy nhất một phẳng bù trực giao với một phẳng

11

đã cho.
Đặc biệt
Khi n = 2 :
+ Qua một điểm O cho trớc có một và chỉ một đờng thẳng vuông góc với

đờng thẳng a cho trớc.
+ Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì
chúng song song với nhau . b

a b
c b






a // c a
c
Khi n = 3: b
+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông
góc với một đờng thẳng thì song song với nhau. :
(P)

d
(Q)

d (P) // (Q)
(P)

(Q)
+ Qua một điểm O cho trớc, có một và
chỉ một đờng thẳng vuông góc với một mặt
phẳng cho trớc.

+ Hai đờng thẳng phân biệt cùng
vuông góc với một mặt phẳng thì song song
với nhau
a

(P)
b

(P) a // b
a

b

12

+ Qua một điểm O cho trớc, có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với
một đờng thẳng a cho trớc
Đó là các kết quả đã biết ở trờng phổ thông.
1.1.5. Phơng trình tham số của m- phẳng
Trong không gian afin n chiều
A
n
với mục tiêu đã chọn (O;

), cho m- phẳng


đi qua điểm I(
1
b

, ,
n
b
) và có phơng


. Chọn một cơ sở của


là


1
, ,


m
và gọi
toạ độ của chúng đối với cơ sở

= (
1


, ,
n


) là
i

= (a
1i
, a
2i
, , a
ni
), i = 1, 2, , m.
Khi đó hệ phơng trình :
x
i
=
1
m
j=

a
ij
t
j
+ b
i
, i = 1, 2, , n
gọi là phơng trình tham số của m- phẳng

với m tham số t
1
, t
2

, , t
m
Đặc biệt khi n = 2 thì phơng trình tham số của đờng thẳng

đi qua A(x
0
; y
0
) có
phơng
u

= (a; b)

0

là:

0
0
x x at
y y bt
= +


= +

(t là tham số);
Khi n = 3, thì phơng trình tham số của đờng thẳng

đi qua A(x
0
; y
0
; z
0
) có
phơng
u

= (a; b; c)

0

là:

0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

(t là tham số);
Khi n = 3 thì phơng trình tham số của mặt phẳng

đi qua A(x
0
; y
0
; z
0
) có phơng


= L(
u

1
,
u

2
) với
u

1
= (a
1
; b
1
; c
1

)

0

,
u

2
= (a
2
; b
2
; c
2
)

0

là cơ sở của

là:

0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
= + +


= + +

= + +

x x at a t
y y bt b t
z z ct c t
(t
1
, t
2
là các tham số)

13

Đó là các kết quả ta đã biết ở trờng phổ thông.
1.1.6. Phơng trình tổng quát của m- phẳng
Trong không gian afin n chiều
A
n
(n

1) với mục tiêu đã chọn (O;

), mỗi m -
phẳng

đều đợc xem là giao của n- m siêu phẳng nào đó. Vì vậy hệ gồm n- m
phơng trình tuyến tính của n ẩn số x
1
, x

2
, , x
n
với ma trận A= (a
ij
) có hạng bằng
n- m , dới đây đợc gọi là phơng trình tổng quát của m- phẳng

:
1
n
j=

a
ij
x
j
+ b
i
= 0, i=1, 2, , n - m

11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
,1 1 ,2 2 ,
0
0

0
n n
n n

n m n m n m n n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b

+ + + + =


+ + + + =




+ + + + =



11 1
,
,1
n
n m n
n m
a a
A
a a

=




Đặc biệt phơng trình tổng quát của siêu phẳng là: a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ + a
n
x
n
+ b = 0.
Đặc biệt: Khi n = 2, thì phơng trình tổng quát của đờng thẳng là:
ax+ by+ c = 0.
Khi n = 3 thì phơng trình tổng quát của đờng thẳng là:

1 1 1 1
2 2 2 2
0
0

+ + + =


+ + + =

a x b y c z d
a x b y c z d

Phơng trình tổng quát của mặt phẳng là: ax+ by+ cz+ d = 0.
Đó là các kết quả ta đã biết ở trờng phổ thông.
1.2. Khoảng cách
1.2.1. Định thức Gram
Định nghĩa 7. Trong
n

E
cho hệ m vectơ
1
u

,
2
u

, ,
m
u

. Ta gọi là định thức Gram
của hệ m vectơ là định thức sau và kí hiệu là:

14


1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
1 2
. . .
. . .
( , , , )

. . .
m
m
m
m m m m
u u u u u u
u u u u u u
Gr u u u
u u u u u u
=





Với m = 1, thì Gr(
1
u

) =
1 1
.
u u

=
2
1
u

. Vậy
1
u

=
1
( )
Gr u

.
Đó chính là độ dài của đoạn thẳng P
0
P
1
với
0 1
1
P P u
=

.
Với m = 2, thì
Gr(
1
u

,
2
u

) =
=
1
1
1
2
.
.
u u
u u



1 2
2 2
.
.
u u
u u

=
2 2
2
1 1 2
2
. ( . )
u u u u


=
2 2
1 2
.
u u

2
1 2
1
[ - cos ( u ,u )]


=
2 2
1 2
.
u u

sin

2
(
1
u

,
2
u

).
Đó chính là bình phơng diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ
1
u

,
2
u

.
Định lí 4: Định thức Gram của một hệ m vectơ là một số không âm. Nó bằng
không khi và chỉ khi hệ vectơ đó là phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét: Cũng từ đó ngời ta định nghĩa thể tích của m- hộp H(P
0
, P
1
, P
m
) đợc
xác định bởi m+1 điểm độc lập P
0

, P
1
, P
m
là một số, kí hiệu V(H), đợc xác định
là: V(H)=
1 2
( , , , )
m
Gr u u u

.
1.2.2. Khoảng cách giữa 2 điểm
Định nghĩa 8
Trong không Ơclit n chiều
E
n
, khoảng cách giữa 2 điểm M và N đợc định nghĩa
là một số, kí hiệu là d(M, N) đợc xác định bởi
d(M, N)=
MN

=
2
MN

.
Định lí 5. Trong
E
n

cho mục tiêu trực chuẩn (O;

). Giả sử toạ độ trực chuẩn của

15

M(x
1
; x
2
, ;

x
n
) và của N(y
1
; y
2
, ; y
n
) thì d(M, N) =
2
1
( )
n
i i
i
y x
=

.
Đặc biệt: n = 2, ta có M(x
1
; x
2
), N(y
1
; y
2
) thì d(M, N) =
2 2
2 2 1 1
( ) ( )
y x y x
+
.
n = 3, ta có M(x
1
, x
2
,

x
3
), N(y
1
, y
2
, y

3
) thì
d(M, N) =
2 2 2
3 3 2 2 1 1
( ) ( ) ( )
+ +
y x y x y x
.
Đó là các công thức ta đã gặp ở trờng phổ thông.
1.2. 3. Khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng
Định nghĩa 9 (Đờng vuông góc chung).
Đờng thẳng

gọi là đờng vuông góc chung của hai phẳng

và

nếu

trực
giao với cả
và

và

cắt cả

và

.
Định lí 6.
Nếu

là đờng vuông góc chung của và

, và giao điểm của

với và


là I và J thì: d(,

)= d(I, J).
Hệ quả 5.
Nếu điểm I không thuộc phẳng thì qua I có đờng duy nhất vuông góc và
cắt
, giao điểm J của đờng thẳng đó với phẳng gọi là hình chiếu vuông góc
của I trên . Khi đó d(I, )= d(I, J).
Hệ quả 6.
Nếu phẳng

song song với phẳng

và phơng


của phẳng

là không gian

vectơ con của phơng


của phẳng

thì với I thuộc

, đờng thẳng đi qua I và
trực giao với

, sẽ là đờng vuông góc chung của

và

. Vậy d(

,

)= d(I,

)
với bất kì I



.

Định lý và khái niệm. Trong không gian Ơclít n chiều
E
n

, cho điểm A và m-
phẳng P. Thế thì tồn tại duy nhất một điểm H thuộc m- phẳng P, sao cho với mọi
điểm M của P ta có: d(A, H)

d(A, M).

16

Khi đó khoảng cách d(A, H) đợc gọi là khoảng cách từ điểm A tới m- phẳng P, ký
hiệu d(A, P) và điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng
A


P H M

Khoảng cách từ điểm A đến m-phẳng P
d(A, P)= d(A, H)

d(A, M)
Định lý 7. Trong không gian Ơclít n chiều
E
n
, cho điểm A và m- phẳng P đi qua
điểm S và có phơng
P
= L(
1
u

,

2
u


m
u
). Khi đó khoảng cách từ A đến m- phẳng P
đợc tính theo công thức
[d(A, P)]
2
=
1 2
1 2
( , , )
( , )
m
m
Gr u u u SA
Gr u u u


(1)
Đặc biệt
Với n =2, goi
1 2
,
e e

là một cơ sở trực chuẩn của
E

2

Trờng hợp 1.

m = 0, khi đó m- phẳng P chính là điểm S(
x
1
; y
1
), điểm A(
x
0
; y
0
).Vậy ta có công
thức tính khoảng cách giữa hai điểm: d(A, P) = d(A, S) =
2 2
1 0 1 0
( ) ( )
x x y y
+ .
Trờng hợp 2.

m = 1, khi đó m- phẳng P là đờng thẳng với phơng trình tổng quát


:
ax+by +c = 0
đi qua điểm S(
x

1
, y
1
), có phơng
u
= (
b; -a
), còn điểm A(
x
0
; y
0
).
Khi đó ta có: d(A, P) = d(A,

) =
( , )
( )
Gr u SA
Gr u


. Bởi vậy:
+ Nếu
u
,
SA
là phụ thuộc tuyến tính, tức A

thì
( , )
Gr u SA

= 0 do đó d(A, P) = 0

17

+ Nếu
u
,
SA
là độc lập tuyến tính A



thì ta có Gr(
u
) =
22
ba +
và do toạ độ
của
u
= (
b; -a
) và
SA

= (
x
0
- x
1
; y
0
-y
1
) nên
( , )
Gr u SA

=

b
a

2
0 1
0 1


x x
y y
= [
b(y
0
- y
1

) +a(x
0
- x
1
)]
2
= (ax
0
+ by
0
+ c)
2

(vì ax
1
+ by
1
+ c
= 0).
Suy ra d(A,

) =
0 0
2 2
+ +
+
ax by c
a b
chính là khoảng cách từ một điểm đến một đờng
thẳng trong mặt phẳng ta đã học ở phổ thông.

1
u


S
1
u
H


Với n = 3, gọi
1 2
,
e e

,
3

e
là một cơ sở trực chuẩn của
E
3

Trờng hợp 3:
m = 0, khi đó m- phẳng P chính là điểm S(
x
1
; y

1
; z
1
), còn A(
x
0
; y
0
; z
0
). Vậy ta có
công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:
d(A, P) = d(A, S) =
2 2 2
1 0 1 0 1 0
( ) ( ) ( )
+ +
x x y y z z
.
Trờng hợp 4:
m = 1, khi đó m- phẳng P chính là đờng thẳng

có phơng
u
= (
a, b, c
) đi qua
điểm S(
x
1

; y
1
; z
1
). Vậy với A(
x
0
; y
0
; z
0
) ta có: [d(A,

)]
2
=
1
1
( , )
( )


Gr u SA
Gr u
=
2
1
2
1
[ , ]

u SA
u
.
Vậy:
+ Nếu
1

u
,
SA
là phụ thuộc tuyến tính (tức điểm A thuộc phẳng P) thì:
[
1

u
,
SA
] =
0

, do đó khoảng cách d(A,

) = 0 .
+ Nếu
1

u
,

SA
là độc lập tuyến tính (tức điểm A nằm ngoài phẳng P) thì ta có công

18

thức:

2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
( , )
y y z z z z x x x x y y
b c c a a b
d A
a b c

+ +
=
+ +

Trờng hợp 5
:
m = 2, khi đó m - phẳng P trong
E
3
là mặt phẳng với phơng trình tổng quát

:
ax+ by+ cz+ d = 0
, còn điểm A(

x
0
, y
0
, z
0
). Khi đó ta có công thức:
[d(A, P)]
2
=
1 2
1
2
( , , )
( , )
Gr u u SA
Gr u u


=
2
1
2
2
2
2
[ , ].
[ , ]
u u SA
u u

hay d(A, P) =
0 0 0
2 2 2
ax by cz d
a b c
+ + +
+ +

Thật vậy đặt S(
x
1
; y
1
; z
1
) và gọi
1

u
= (
a
1
; b
1
; c
1
),

2

u
=(
a
2
; b
2
; c
2
) là phơng của
phẳng P. Khi đó có thể chọn (
a; b; c)
= [
1

u
,
2

u
].
Suy ra

SA
= (
x
0
- x
1

; y
0
- y
1
; z
0
- z
1
) và định thức Gram:
Gr(
1

u
,
2

u
,

SA
) =
1
2
0 1

a
a
x x

1

2
0 1

b
b
y y

2
1
2
0 1

c
c
z z
=
=
1
2
a
a




1
2
b
b
(

z
0
- z
1
)-
1
2
a
a

1
2
c
c
(
y
0
- y
1
)+
1
2
b
b

2
1
0 1
2
( )

c
x x
c





Bởi vậy:
+ Nếu A

P thì 3 vectơ
1
u

,
2
u

,
SA

là đồng phẳng tức là phụ thuộc tuyến tính .Do
đó ta có định thức Gr(
1
u

,
2
u

,
SA

) = 0. Vậy d(A, P) = 0.

19

+ Nếu A

P thì 3 vectơ
1
u

,
2

u
,
SA

là không đồng phẳng tức là độc lập tuyến
tính. Vậy ta có Gr(
1
u

,
2
u

,
SA

) =
a(x
0
- x
1
)+ b(y
0
- y
1
)+ c(z
0
- z
1
) = ax
0
+ by
0
+ cz
0
+ d
,
vì
ax
1
+ by
1
+ cz

1
+ d = 0.

Ngoài ra
2 2 2
1 2
[ , ]
u u a b c
= + +

, nên d(A, P) =
0 0 0
2 2 2
ax by cz d
a b c
+ + +
+ +
.
Đó chính là khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong chơng trình Toán
ở phổ thông.
1.2.4. Khoảng cách giữa hai phẳng
Định nghĩa 10
. Khoảng cách giữa hai cái phẳng

và

trong không gian Ơclit
E
n
, kí hiệu d(

,

) là số: d(

,

)=




M
N
inf
d(M, N).
Định lý và khái niệm
.
Trong không gian Ơclít n chiều
E
n
, cho p- phẳng P song song với q- phẳng Q.Với
điểm A tuỳ ý của p- phẳng P, thì d(A, Q) là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí
của điểm A trong p- phẳng P. Hằng số đó gọi là khoảng cách giữa hai cái phẳng
song song P và Q, ký hiệu d(P, Q).
Định lý 8
. Trong không gian Ơclít n chiều
E
n
, cho m- phẳng P có phơng

p

và m-
phẳng Q có phơng
q

. Nếu m- phẳng P và Q không có điểm chung thì chúng có
đờng vuông góc chung và đờng vuông góc chung đó là duy nhất khi và chỉ khi:

P


Q
=
{
}
0

A M

H N

Khoảng cách giữa phẳng P song song với phẳngQ
d(P, Q)= d(A, Q)

d(M, N).

20

Định lí 9
.
Trong không gian Ơclít n chiều
E
n
, cho p- phẳng P đi qua điểm A và q- phẳng Q
đi qua điểm B. Gọi
1
u
,
2
u
, ,
m
u

là hệ vectơ cơ sở của không gian vectơ tổng
P Q
+

. Khi đó khoảng cách giữa hai phẳng P và Q đợc tính theo công thức:
[d(P, Q)]
2
=
m
m
Gr u u u AB
Gr u u u
1 2
1 2

( , , )
( , )


(2)
Với n = 2 gọi
1

e
,
2

e
là một cơ sở trực chuẩn của

E
2
Trờng hợp 1:

Với p = 0 phẳng P là điểm A(
x
1
; y
1
), q = 0 phẳng Q là điểm B(
x
2
; y
2
) thì ta có công

thức tính khoảng cách giữa hai điểm đã học ở phổ thông:
d(P, Q) = d(A, B) =
2 2
2 1 2 1
( ) ( )
+
x x y y
.
Trờng hợp 2:

Với p = 0 phẳng P là điểm A, q = 1 phẳng Q là đờng thẳng, thì ta có công thức
tính khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng nh trờng hợp 2 của công thức
tính khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng đã xét ở trên.
Trờng hợp 3
:
Với p = 1 phẳng P là đờng thẳng đi qua A với phơng
1

u
, q = 1 phẳng Q là đờng
thẳng qua B với phơng
2

u
. Khi đó ta có:
- Nếu
1

u
,

2

u
là phụ thuộc tuyến tính (tức hai đờng thẳng P, Q là song song hoặc
trùng nhau) thì không gian vectơ
+

P Q
có phơng
1

u
(hoặc
2

u
) do đó:
+ Nếu P

Q thì
1

u
,

AB
là phụ thuộc tuyến tính, và vì vậy Gr(
1

u

,

AB
) = 0 suy ra
d(P, Q) = 0.
+ Nếu P

Q, thì đặt A(
x
0
; y
0
), B(
x
1
; y
1
), P:
ax+ by+ c


= 0
, Q:
ax+ by+ c = 0
.
Khi đó P // Q thì khoảng cách giữa hai cái phẳng song song P, Q là khoảng cách từ
một điểm thuộc đờng thẳng này tới đờng thẳng kia mà ta đã gặp ở phổ thông. Ta

21

thấy lại công thức d(P, Q) = d(A, Q) =
0 0
2 2
ax by c
a b
+ +
+
= d(B, P) =
1 1
2 2
'
ax by c
a b
+ +
+

- Nếu
1

u
,
2

u
là độc lập tuyến tính (tức hai đờng thẳng P, Q là cắt nhau và phơng
của không gian vectơ

P
+

Q
chính là vectơ
1

u
,
2

u
thì
1

u
,
2

u
,
AB

phụ thuộc tuyến
tính, do đó Gr(
1

u
,
2

u
,

AB

) = 0. Từ đó suy ra d(P, Q) = 0.
Với n = 3 gọi
1

e
,
2

e
,
3

e
là một cơ sở trực chuẩn của
E
3


Trờng hợp 4:

Với p = 0 phẳng P là một điểm , còn phẳng Q cũng là điểm B thì ta có:
d(P, Q) = d(A, B) =
2 2 2
( ) ( ) ( )
+ +
B A B A B A
x x y y z z
. Đó là công thức tính

khoảng cách giữa hai điểm trong không gian mà ta đã gặp ở phổ thông.
Trờng hợp 5
.
Với p = 0 phẳng P là một điểm A, q = 1 phẳng Q là một đờng thẳng

đi qua B
có phơng

u
= (
a; b; c
), ta thấy lại trờng hợp 4 của công thức (1) đó chính là
khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng trong không gian mà ta đã gặp ở
phổ thông. d(A,

) = 0 nếu

A
,
2 2 2
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 2 2
( , )
y y z z z z x x x x y y
b c c a a b
d A
a b c

+ +
=

+ +

nếu
A

.
Trờng hợp 6
:
Với phẳng P là một điểm A, còn phẳng Q là một mặt phẳng đi qua B có phơng
1
u

= (
a
1
; b
1
; c
1
),
2
u

= (
a
2
; b
2
; c
2

). Trờng hợp này ta thấy lại công thức tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt phẳng nh trong trờng hợp 5 của công thức (1). Đó
là các kết quả ta đã biết trong chơng trình Toán ở phổ thông.

22

Trờng hợp 7.

Với p = 1 phẳng P là đờng thẳng đi qua A có phơng
1
u

= (
a
1
; b
1
; c
1
), còn phẳng
Q cũng là đờng thẳng đi qua điểm B có phơng
2
u

= (
a
2
; b
2
; c

2
)
+ Nếu
1 2
,

u u
phụ thuộc tuyến tính thì không gian véctơ
+

P Q
, có cơ sở là
1

u
(khi
đó phẳng P song song hoặc trùng với phẳng Q). Vì vậy:
- Nếu
1

u
,

AB
độc lập tuyến tính (phẳng P song song với phẳng Q), thì d(P, Q)=
d(B, P)= d(A, Q) và ta lại thấy công thức trong trờng hợp 4 của công thức (1).
- Nếu
1

u

,

AB
phụ thuộc tuyến tính (phẳng P trùng với phẳng Q) thì d(P, Q)= 0.
+ Nếu
1 2
,

u u
độc lập tuyến tính thì không gian véctơ

P
+

Q
có cơ sở là véctơ
1 2
,

u u
.
Bởi vậy:
- Nếu
1
,

u

2
,

u

AB
là phụ thuộc tuyến tính thì Gr(
1
,

u

2
,

u

AB
) = 0 (phẳng P cắt
phẳng Q) do dó ta có d(P, Q) = 0.
- Nếu
1
,

u

2
,

u

AB

là độc lập tuyến tính (đờng thẳng P và đờng thẳng Q là
chéo nhau) thì ta có công thức:
1 2
1 2
1 2
1 2
, .
( , , )
( , )
( , )
,
u u AB
Gr u u AB
d P Q
Gr u u
u u


= =







(Đây là công thức tính khoảng cách hai đờng thẳng chéo nhau đã biết ở trờng
phổ thông)
Trờng hợp 8.

Với p = 1 phẳng P là đờng thẳng đi qua điểm A có phơng
1

u
= (
a
1
;b
1
;c
1
), còn
phẳng Q là mặt phẳng đi qua điểm B có phơng
1 1 1 1
( , , )
=

v p q r
,
2 2 2 2
( , , )
=

v p q r
.
Trong trờng hợp này có thể chọn véctơ pháp tuyến của mặt phẳng Q là
1 2
,

=

Q
n v v
= (
a, b, c
) và phơng trình của mặt phẳng Q:
ax+ by+ cz+ d = 0.


23

+ Nếu

u
,
1

v
,
2

v
là độc lập tuyến tính thì không gian
+

P Q

chính là

E
3
(đờng
thẳng P cắt mặt phẳng Q). Khi đó Gr(

u
,
1

v
,
2

v
,

AB
) = 0 và vì thế d(P, Q) = 0.
+ Nếu

u
,
1

v
,
2

v
là phụ thuộc tuyến tính thì do

1

v
,
2

v
là độc lập tuyến tính nên
+

P Q

có cơ sở là
1

v
,
2

v
(đờng thẳng P song song với mặt phẳng Q hoặc nằm
trong Q). Bởi vậy:
- Nếu
1

v
,
2

v

,

AB
là độc lập tuyến tính (đờng thẳng P song song với mặt phẳng
Q) thì ta có:
Gr(
1

v
,
2

v
,

AB
) = [
a(x
B
- x
A
)+ b(y
B
- y
A
)+ c(z
B
- z
A
)]

2
= [ax
A
+ by
A
+ cz
A
+ d]
2
và
Gr(
1

v
,
2

v
) =
a
2
+ b
2
+ c
2
. Trong trờng hợp này
d(P, Q) = d(A, Q) = d(B, P) =
2 2 2
A A A
ax by cz d

a b c
+ + +
+ +

(Đây chính là khoảng cách giữa đờng thẳng và mặt phẳng song song trong chơng
trình Toán trung học phổ thông)
- Nếu
1

v
,
2

v
,

AB
là phụ thuộc tuyến tính (đờng thẳng P nằm trong mặt phẳng
Q) thì ta có Gr(
1

v
,
2

v
,

AB
) = 0 và d(P, Q) = 0.

Trờng hợp 9
.
Phẳng P là mặt phẳng đi qua điểm A có phơng trình:
a
1
x+ b
1
y+ c
1
z+ d
1
= 0
với phơng
1
u

= (
p
1
; q
1
; r
1
),
2
u

= (
p
2

; q
2
; r
2
) và có
thể chọn
(
)
1 2 1 1 1
, ; ;
P
n u u a b c

= =


. Còn phẳng Q cũng là mặt phẳng đi qua điểm B
có phơng trình
2 2 2 2
0
+ + + =
a x b y c z d
với phơng
1 1 1 1
( ; ; )
v r s t
=

,
2 2 2 2

( ; ; )
v r s t
=

và có thể chọn
1 2 2 2 2
, ( ; ; ;)
Q
n v v a b c

= =


.
+ Nếu trong bốn véctơ
1
,

u
2
,

u

1

v
,
2

v
tồn tại ba véctơ độc lập tuyến tính thì
+

P Q

có cơ sở là hệ ba véctơ đó (mặt phẳng P và mặt phẳng Q cắt nhau) tức là
P Q
+

=
3
E

.

24

Vì vậy định thức Gram của hệ ba véctơ đó là véctơ
AB

là bằng không.
Suy ra d(P, Q)=0.
+ Nếu hệ gồm ba véctơ bất kỳ trong bốn véctơ
1
,

u
2
,

u

1

v
,
2

v
là phụ thuộc tuyến
tính thì
+

P Q
có cơ sở là
1
,

u

2

u

hoặc
1

v
,

2

v
(mặt phẳng P song song hoặc trùng
với mặt phẳng Q). Bởi vậy:
- Nếu
1
,

u

2
,

u

AB
là độc lập tuyến tính (mặt phẳng P song song với mặt phẳng Q)
thì ta có:
d(P, Q) = d(A, Q) =
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
A A A
a x b y c z d
a b c
+ + +
+ +
=
1 1 1 1

2 2 2
1 1 1
B B B
a x b y c z d
a b c
+ + +
+ +
= d(B, P)
(Đây chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song đã học ở phổ thông)
- Nếu
1
,

u

2
,

u

AB
là phụ thuộc tuyến tính (mặt phẳng P trùng với mặt phẳng (Q)
thì ta có: Gr(
1
,

u

2
,

u

AB
) = 0, do đó d(P, Q) = 0.
1.2.5. Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng
Định lí 10.
Trong không gian Ơclít n chiều
E
n
, cho điểm A(
x
1
A
, x
2
A
, , x
n
A
) và siêu
phẳng P có phơng trình tổng quát:
a
1
x
1
+ a
2
x
2

+ + a
n
x
n
+ a
0
=0

0
1
0
=+

=
n
i
ii
axa

Khi đó khoảng cách từ điểm A đến siêu phẳng P đợc tính theo công thức:



N
A
i i 0
i=1
N
2
i

i=1
a x +a
d(A, P)=
a
(3).


Với n = 2 , gọi
1

e
,
2

e
là một cơ sở trực chuẩn của
E
2

Trờng hợp 1
:
Với n = 2 thì siêu phẳng trong
E
2

là đờng thẳng, do đó khoảng cách từ một điểm

25

đến một siêu phẳng trong

E
2

đó chính là khoảng cách từ một điểm A đến một
đờng thẳng

trong mặt phẳng

và ta thấy lại công thức đã nêu trong trờng hợp 2
của công thức (1), đó là:

Điểm

A(
x
0
; y
0
) và siêu phẳng

với phơng trình tổng
quát:

:
ax+by +c = 0
đi qua điểm S(
x
1
; y
1

),có phơng
u
= (
b, -a
). Khi đó ta có:
+ d(A, P) = 0 nếu A




+ d(A,

) =
0 0
2 2
ax by c
a b
+ +
+
nếu

A




(Đây chính là khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng trong mặt phẳng ta
đã học ở phổ thông).

1

u


S
1
u
H


Với n = 3 gọi
1

e
,
2

e
,
3

e
là một cơ sở trực chuẩn của
E

3

Trờng hợp 2
:
Với n = 3, thì siêu phẳng trong
E

3
là mặt phẳng do đó khoảng cách từ một điểm A
đến một siêu phẳng trong trờng hợp này chính là khoảng cách từ một điểm đến
một mặt phẳng (P) và ta thấy lại trờng hợp 5 của công thức (1) đó là:
Siêu phẳng P trong
E
3
với phơng trình tổng quát

: ax+ by+ cz+ d = 0
, còn điểm A(
x
0
; y
0
; z
0
). Khi đó ta có:
+ d(A, P) = 0, nếu A

P
+ d(A, P) =
0 0 0
2 2 2
ax by cz d
a b c
+ + +
+ +
nếu A

P.
Đó chính là khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong chơng trình Toán
ở phổ thông.
Nh vậy khoảng cách từ một điểm đến m- phẳng, khoảng cách giữa hai cái phẳng