Chương I: Chuỗi số - Dãy hàm

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
3
Ch-ơng I:
chuỗi số - dãy hàm - chuỗi hàm

Chuỗi số
Tiết: 1 - 4 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức: Các tính chất, các điều kiện hội tụ của chuỗi số.
- Kỹ năng: Thực hành giải đ-ợc bài tập.
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Các định nghĩa


- Cho dãy số
12
, , , ,
n
a a a
Tổng vô hạn
12

1

nn
n
a a a a




(*)
đ-ợc gọi là một chuỗi số.
Trong (*),
n
a
đ-ợc gọi là số hạng thứ
n
và
12

nn
S a a a
gọi là tổng
riêng thứ
n
của chuỗi. Dãy

n
S
gọi là dãy các tổng riêng của (*)
- Nếu

lim
n
n
SS


thì ta viết
1
n
n
aS




và gọi
S
là tổng của chuỗi.
- Nếu
lim
n
n
SS


là một số hữu hạn thì chuỗi gọi là hội tụ.
- Nếu
lim
n
n

S


hoặc không tồn tại thì chuỗi gọi là phân kỳ.
- Tổng của chuỗi nếu có là duy nhất do giới hạn của dãy

n
S
nếu có là duy
nhất.
- Ví dụ 1: Chuỗi
1
n
n
a




+/. Nếu
1a
thì

2
1

1
n
n
n

aa
S a a a
a




+/. Nếu
1a
thì
1 1 1
n
Sn

Khi
1a
thì
lim 0
n
n
a


do đó
lim
1
n
n
a
S

a



Vậy chuỗi hội tụ và có
1
1
n
n
a
a
a






Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
4
Khi
1a
thì
lim
n
n
S

nên chuỗi phân kỳ và có
1
n
n
a





Khi
1a
thì không tồn tại
lim
n
n
S

nên chuỗi phân kỳ.
- Ví dụ 2:
a/. Chuỗi
1
21
n
n
n

là phân kỳ vì
1
lim
2 1 2
n
n
n




b/. Chuỗi
1
1
n
n



có
1
lim 0
n
n


nh-ng
11
lim 1
2

n
n





phân kỳ nên chuỗi
phân kỳ.
- Chuỗi
1
n
n
a



gọi là chuỗi d-ơng nếu
0
n
an

- Chuỗi có dạng

1
1
4321


n

n
aaaaa
trong đó
0
n
a
hoặc
0
n
a
với mọi
n
gọi là chuỗi đan dấu.
- Chuỗi


1n
n
a
với
n
a
có dấu bất kỳ đ-ợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi


1n
n
a
hội tụ.
- Giả sử

n
s
là dãy các tổng riêng của chuỗi d-ơng
1
n
n
a



Khi đó
1
0
n n n
s s a


do đó

n
s
là dãy tăng.

2
Các định lý, tính chất


- Định lý 1: Chuỗi (*) hội tụ khi và chỉ khi
12

0; : ,
n n n p
M n M p N a a a




Hệ quả 1: (Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ) Nếu chuỗi (*) hội tụ thì
lim 0
n
n
a



Hệ quả 2: Chuỗi (*) và chuỗi nhận đ-ợc từ (*) bằng cách thay đổi hoặc bỏ
đi một số hữu hạn là cùng hội hoặc cùng phân kỳ.
- Định lý 2: Nếu chuỗi
1
n
n
a



,
1
n
n
b

cùng hội tụ và có tổng lần l-ợt là
S
và
T
thì các chuỗi

1
nn
n
ab




;
1
n
n
a




cùng hội tụ và

1
nn

n
a b S T





;
1
n
n
aS






- Định lý 3: Chuỗi d-ơng hội tụ khi và chỉ khi tổng riêng của nó bị chặn.
- Định lý 4: Nếu tồn tại số
0c
và
0
n
sao cho
0
nn
ta có
.
nn

a cb
thì
chuỗi (b) hội tụ kéo theo chuỗi (a) hội tụ; chuỗi (a) phân kỳ kéo theo chuỗi
(b) phân kỳ.
- Định lý 5: Giả sử
lim
n
n
n
a
k
b


Khi đó, nếu
0 k
thì chuỗi (b) hội tụ
kéo theo chuỗi (a) hội tụ; Nếu
0 k
thì chuỗi (b) phân kỳ kéo theo
chuỗi (a) phân kỳ.
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
5
- Định lý 6: ( Dấu hiệu Cauchy )
Cho chuỗi d-ơng (a):
1
n
n
a

Nếu
lim
n
n
n
ac


thì chuỗi (a) hội tụ với
1c
,
phân kỳ với
1c

- Định lý 7: ( Dấu hiệu D'Alembert ) Cho chuỗi d-ơng (a):
1
n
n
a



Nếu tồn
tại
1
lim
n

n
n
a
D
a



thì chuỗi (a) hội tụ với
1D
; phân kỳ với
1D

- Định lý 8: ( Dấu hiệu tích phân ) Cho

xf
là một hàm d-ơng, giảm trên


;1
Đặt

nfa
n

khi đó chuỗi


1n
n

a
và tích phân suy rộng



1
dxxf

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
- Định lý 9: ( Dấu hiệu Leibnitz ) Cho chuỗi đan dấu

0;1
1
1





n
n
n
n
aa

Khi đó nếu
naa
nn

1

và
0lim
n
a
thì chuỗi hội tụ.
- Định lý 10: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.
- Định lý 11: Nếu chuỗi


1n
n
a
hội tụ và có tổng là
s
thì chuỗi



212121
112111


kkk
nnnnnnn
aaaaaaaaa
(*)
cũng hội tụ và có tổng là
s

* Chú ý:

Nếu có một chuỗi có dạng (*) hội tụ thì chuỗi xuất phát ch-a chắc hội tụ.
- Định lý 12: Nếu chuỗi (a):


1n
n
a
hội tụ tuyệt đối thì chuỗi (b):


1n
n
b
nhận
đ-ợc bằng cách đổi chỗ tuỳ ý các số hạng của chuỗi (a) cũng hội tụ tuyệt
đối và có tổng bằng tổng của chuỗi (a).
* Chú ý: Định lý 12 chỉ đúng với các chuỗi hội tụ tuyệt đối. Một chuỗi bán
hội tụ cũng có thể đổi chỗ các số hạng để nó trở thành hội tụ đến một tổng
s
tuỳ ý.
- Định lý 13: ( Định lý Riemann ) Giả sử


1n
n
a
là chuỗi bán hội tụ. Khi đó:
a/. Với
Rs
tuỳ ý, tồn tại một cách đổi chỗ

các số hạng của chuỗi sao
cho

sa
n
n



1


b/. Tồn tại một phép đổi chỗ

các số hạng sao cho chuỗi





1n
n
a



3
Một số ví dụ

- Ví dụ 1: Chuỗi
2
1
1
n
n



Với
n
ta có:
22
11
1
2
n
s
n



1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 2
1.2 2.3 1 . 2 2 3 1n n n n n

Vì dãy tổng riêng bị chặn nên chuỗi hội tụ theo Định lý 3.
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
6
- Ví dụ 2: Chuỗi
1
21
32
n
n
n
n








hội tụ theo dấu hiệu Cauchy vì
2 1 2
lim lim 1
3 2 3
n
n
nn
n

a
n





- Ví dụ 3: Chứng minh rằng chuỗi


2
ln
1
n
nn
phân kỳ. Hàm số

1
ln
fx
xx




; 2,x
là d-ơng, giảm và

2
2
lnlnlim
ln
x
xx
dx
nên chuỗi đã
cho phân kỳ.
- Ví dụ 4: Chuỗi


1
!
n
n
n
n
Ta có
1
1
1
1
1
lim
1
limlim
1

e
n
n
n
a
a
n
n
n
n

Do đó chuỗi đã cho hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert.

- Ví dụ 5: Chuỗi






1
ln
1
n
n
nn
có hàm

xxxf ln
với

1
' 1 0fx
x


1x
Do đó

nnnnn ln1ln1

Mặt khác

n
n
nnn
ln
1ln
khi
n
thì
0
ln

n
n

Tức là

nn ln
Vậy dãy
0
ln
1

nnn
và chuỗi đã cho hội tụ
theo dấu hiệu Leibnitz.
- Ví dụ 6: Chuỗi


1
2
cos
n
n
n
Ta có
22
1
cos
nn
n

, chuỗi


1
2
1
n

n
hội tụ nên
chuỗi


1
2
cos
n
n
n
hội tụ. Vậy


1
2
cos
n
n
n
là hội tụ tuyệt đối.

4
Bài tập áp dụng


- Bài 1: Xuất phát từ định nghĩa, chứng minh sự hội tụ của các chuỗi
a/.

1
1212
1
n
nn
b/.





1
3
1
n
nn

Giải:
a/. Với

Zk
ta có

12
1
12
1
2
1
1212
1
kkkk
Ta viết lần l-ợt
đẳng thức trên với
nk , ,2,1
nh- sau:

12
1
12
1
2
1
1212
1

5
1
3
1
2

1
5.1
1
3
1
1
2
1
3.1
1
nnnn

Từ đó có
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
7

1
12
1
1
2
1
1212
1
k
n
nkk
S
và
2
1
12
1
1
2
1
limlim








n

S
n

Vậy chuỗi





1
1212
1
n
nn
hội tụ.
b/. Xét dãy tổng riêng

n
k
n
nnnkk
S
1
3
1
2
11
3
1
3
1
2
1
1
3
1
3
1
và

18
11
lim
n
S

Vậy chuỗi





1
3
1
n
nn
hội tụ.


- Bài 2: Chứng minh chuỗi




1
1
2
n
n

ntg

hội tụ theo dấu hiệu D'Alembert.
Giải: Đặt
1
2


n
n
ntga

có

2
1
2
2
1
limlim
1
2
1






n

n
n
n
ntg
tgn
a
a



Vậy chuỗi đã cho hội tụ.


- Bài 3: Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau đây
a/.





1
11
1
n
nn
b/.


1
2

sin
n
n


Giải:
a/. Chuỗi hội tụ vì

2
3
1
11
1
n
nn
a
n




b/. Vì
0
2
1
2
s in
lim

n
n
và chuỗi


1
1
n
phân kỳ nên


1
2
sin
n
n

phân kỳ


- Bài 4: Tính tổng


1
2
3
2
cos
n
n

n


Giải:
Từ hệ thức
3
sin1
3
2
cos
2

nn

ta tính đ-ợc
1
3
2


n
cox
với
kn 3
và
2
1
3
2

n
cox
với
kn 3
Vậy







1
23
1
13
1
3
1
kkkn
aaaa
7
2
2
2
1
2
2
1

2
1
1
23
1
13
1
3











kkk


4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm


Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
8
dãy hàm - chuỗi hàm

Tiết: 5 - 8 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Sự hội tụ và hội tụ đều của dãy hàm

a
Các khái niệm cơ bản


- Nếu với mọi
Nn
đặt t-ơng ứng với một hàm

xu
n
xác định trên tập
X

thì ta gọi

; ; ;;
21
xuxuxu
n
( gọi tắt

xu
n
) là một dãy hàm xác
định trên tập
X
và

xu
n
đ-ợc gọi là số hạng thứ
n
của dãy.
- Điểm
Xx
0
gọi là điểm hội tụ của dãy hàm nếu dãy số

0
xu
n
hội tụ.
- Tập
0

X
gồm tất cả các điểm hội tụ của dãy hàm gọi là miền hội tụ của dãy
hàm đó.
- Với mỗi
0
Xx
đặt

xuxu
n
lim
khi đó ta đ-ợc một hàm

xu
xác
định trên
0
X
khi đó ta nói

1
xu
n
hội tụ đến

xu
trên
0
X

- Điểm
Xx
1
tại đó dãy

1
xu
n
phân kỳ gọi là điểm phân kỳ của dãy
hàm.
- Ví dụ: Dãy hàm
; ; ;;;1
2 n
xxx
Ta có
0lim
n
x
khi
1x
và
1lim
n
x

khi
1x
Do đó miền hội tụ của dãy là

1;1
và giới hạn của dãy là








11
1;10
x
x
xu

- Dãy hàm

xu
n
hội tụ đến hàm

xu
trên tập
X
nếu
,,0 Xx

,x
NN
sao cho
Nn
ta có


xuxu
n

* Chú ý:
+/.
N
phụ thuộc vào cả
x
và


+/.

xu
n
hội tụ đến

xu
theo nghĩa trên gọi là hội tụ th-ờng hay còn gọi là
hội tụ theo điểm trên tập
X

- Dãy hàm

xu
n
gọi là hội tụ đều đến hàm

xu
trên tập
X
nếu
,0




NN
sao cho
Nn
và
Xx
đều có


xuxu
n

* Chú ý: Một dãy hàm hội tụ đều thì hội tụ th-ờng, điều ng-ợc lại ch-a chắc
đã đúng.
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:

9
- Nếu

xu
n
hội tụ th-ờng đến

xu
trên tập
X
Ký hiệu:

xuxu
n

trên
X

- Nếu

xu
n
hội tụ đều đến

xu
trên tập
X
Ký hiệu:

n

u x u x
trên
X

- Ví dụ:
a/. Dãy
sin x
n



Ta có
sin
lim 0
x
x
xR
n


Do đó
sin
0
x
n

trên
R

1

0; ; ;N n N x R



Ta có:
sin 1
0
x
nn



Do đó ta có:
sin
0
x
n

trên
R

b/. Dãy

n
x
Đặt



0 0;1

11
x
ux
x








thì ta có

n
n
u x x u x

trên

0;1
Với
0
1
2


thì mọi số tự nhiên
n
có

1
0;1
2
n
n
x
để cho

2
0
11
2
2
n n n
u x u x





Nghĩa là không tồn tại số
N
để

; 0;1n N x
đều có

1
2

n
u x u x

Tức là

n
ux
không hội tụ đều đến

ux

* Trong ví dụ này ta thấy

n
ux
liên tục trên

0;1
tuy nhiên giới hạn của
nó không liên tục trên

0;1


b
Các định lý


Cho
X

là một tập tuỳ ý trong
R
th-ờng là

;ab
hoặc

;ab

- Định lý 1: (Tính liên tục của dãy hàm) Nếu các hàm số

n
ux
liên tục
trên
X
và

n
u x u x
trên
X
thì hàm

ux
liên tục trên
X
.
- Định lý 2: (Tính khả tích của dãy hàm) Cho dãy

xu
n
các hàm liên tục
trên

;ab
;

n
u x u x
trên

;ab

Khi đó

ux
khả tích trên

;ab
và

lim
bb
n
x
aa
u x dx u x dx

- Định lý 3: (Tính khả vi của dãy hàm) Cho dãy

xu
n
các hàm có đạo
hàm liên tục trên

;ab
; dãy các đạo hàm


,
n
ux
hội tụ đều trên

;ab
.
Khi đó nếu

n
u x u x
trên

;ab
thì

ux

có đạo hàm và

,
'
n
u x u x
trên

;ab
.

2
Sự hội tụ đều của chuỗi hàm

a
Một số khái niệm


- Cho dãy hàm

xu
n
xác định trên tập
X
Khi đó ta gọi tổng vô hạn
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
10

12

1

nn
n
u x u x u x u x




(*) là một chuỗi hàm xác định trên
X

- Hàm

n
ux
gọi là số hạng thứ
n
của chuỗi.
- Hàm

12

nn
S x u x u x u x
gọi là tổng riêng thứ
n
của chuỗi
hàm.
- Điểm

xX
gọi là điểm hội tụ hay phân kỳ của chuỗi (*) nếu dãy tổng
riêng


n
Sx
của nó hội tụ hay phân kỳ.
- Nếu
0
X
là miền hội tụ của dãy


n
Sx
thì ta cũng gọi
0
X
là miền hội tụ
của chuỗi (*)
- Nếu

n
S x u x
trên
0
X
thì ta viết

0
1
n
n
u x u x x X




và

ux
gọi là tổng của chuỗi.
- Ví dụ: Chuỗi
1
1
n
n
x




Ta có

1
1
n
n
S x x x

Nếu
1x
thì

1
1
1
n
n
x
Sx
x





Nếu
1x
thì
lim 0
n
n
x


nên

1
1
1
1;1
1
n
n
xx
x








b
Một số định lý


- Chuỗi (*) gọi là hội tụ đều trên
X
nếu dãy các tổng riêng của nó hội tụ
đều trên
X

- Nếu các

k
ux
liên tục, có đạo hàm, khả tích trên
X
thì các tổng riêng

n
Sx
cũng có các tính chất đó.
- Định lý 1':
Cho
XR
mà thông th-ờng

;X a b
hoặc

;ab
. Nếu chuỗi

1
n
n
ux




các hàm liên tục trên
X

, hội tụ đều và có tổng

ux
thì hàm

ux
liên tục.

- Định lý 2':
Cho chuỗi

1
n
n
ux



các hàm liên tục trên

;ab
. Nếu chuỗi là hội tụ đều và
có tổng bằng

ux
thì

ux
cũng khả tích

1
bb
nn
n
aa
u x dx u x dx






- Định lý 3': Cho chuỗi

1
n
n
ux



các hàm có đạo hàm

,
n
ux
liên tục trên

;ab
. Nếu chuỗi

1
n
n
ux



hội tụ có tổng là

ux
, chuỗi

,
1
n
n
ux



hội tụ
đều trên

;ab
thì

ux
có đạo hàm trên

;ab
và

,,
1
nn
n
u x u x





Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
11
- Chuỗi hàm

1
n
n
ux



gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi

1
n
n

ux



hội tụ.
* Chú ý: Một chuỗi hội tụ tuyệt đối thì hội tụ, ng-ợc lại ch-a chắc đúng.
- Định lý 4: (Weierstrass) Nếu

;
nn
u x C n x X
; chuỗi số
1
n
n
C



hội tụ, thì chuỗi

1
n
n
ux



hội tụ tuyệt đối và đều trên
X

.
- Ví dụ: Hàm số

3
1
sin
n
x
fx
n





Ta có
33
sin 1x
nn

và
3
1
1
n
n



hội tụ, do đó theo định lý 4, chuỗi

3
1
sin
n
x
n



hội
tụ tuyệt đối và đều trên
R
. Vì mọi hàm
3
sin x
n
liên tục trên
R
nên theo định
lý 1',

fx
là một hàm liên tục trên
R


3
Bài tập

- Bài 1: Xét sự hội tụ đều của dãy hàm

2nn
n
f x x x
trên

0;1

Giải:
*


n
fx
hội tụ về
0f
trên

0;1

* Chọn
0
1
4


và
1
; 1,2,

2
n
n
xn

0
1
;
4
n n n n n
f x f x f x n



Suy ra


n
fx
không hội tụ đều trên

0;1
.


- Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
1
n
n

n
x
x




(1)
Giải:
*
1
1
n
n
n
x
xa
x


không tiến đến
0
nên (1) phân kỳ
*
1
1
1
1 . 1
1
n

n
n
n
a
x
x x x
ax





Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối nên
(1) hội tụ với
1x
, tức miền hội tụ của (1) là

1;1



- Bài 3: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
2
n
n
n
x
x tg

(2)
Giải:
* Với mỗi
0
xR
Ta xét
0
0
1
2
n
n
n
x
x tg



có
0
1
1
1
00
0
0
1
1

2
2
2
n
n
n
n
n
n
x
tg
a
xx
x
a
x tg






khi
n
Vậy chuỗi hội tụ với
00
1
12
2
xx

*
0
2x
Chuỗi phân kỳ.
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
12
Vậy (2) có miền hội tụ là

2;2



- Bài 4: Cho dãy hàm số

1 1,2,
n
n
f x nx x n
Chứng minh
rằng:

11
00
lim lim
nn
nn
f x dx f x dx

Giải: Ta thấy



0
n
f x f
trên

0;1
Mặt khác

1 1 1
0 0 0
1 1
12
n
n
n
nn
f x dx nx x dx n t t dt
nn

(đpcm)

4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
13
Chuỗi luỹ thừa - bài tập

Tiết: 9 - 12 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức:
- Kỹ năng:
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Định nghĩa - Bán kính hội tụ


- Chuỗi hàm có dạng
0
n
n

n
ax



(*) trong đó
0 1 2
, , , a a a
là các hằng số, hay
tổng quát hơn

0
0
n
n
n
a x x




(**) trong đó
0 0 1 2
, , , , x a a a
là hằng số đ-ợc
gọi là chuỗi luỹ thừa.
- Chuỗi (**) có thể đ-a về chuỗi (*) bằng cách đặt
0
X x x
vì vậy ta chỉ

xét chuỗi (*).
- Định lý 5: (Abel) Nếu chuỗi (*) hội tụ tại
0
0x
thì nó hội tụ tuyệt đối tại
mọi
x
mà
0
xx

- Đặt

supRx
với
0
n
n
n
ax



hội tụ. Số
R
gọi là bán kính của chuỗi (*)
0R
thì chuỗi chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất
0x

R
thì chuỗi hội tụ tại mọi
xR
.
- Định nghĩa: Số
R
là án kính hội tụ của chuỗi nếu mọi
x
mà
xR
thì
chuỗi hội tụ,
xR
thì chuỗi phân kỳ.
- Định lý 6: Cho chuỗi luỹ thừa
0
n
n
n
ax



nếu
1
lim
n
n
n
a

a




hoặc
lim
n
n
n
a



thì bán kính hội tụ của chuỗi là
1

( Nếu
0


thì
R

và nếu


thì
0R
)

- Ví dụ:
+/. Chuỗi
0
!
n
n
x
n



Ta có
1
1
0
1
n
n
a
an



nên bán kính hội tụ là
R
tức
là chuỗi hội tụ tại mọi
xR

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008

Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
14
+/. Chuỗi
1
nn
n
nx



Ta có
n
n
an
nên
0R
tức là chuỗi chỉ hội tụ
tại một điểm duy nhất
0x

+/. Chuỗi
2
0
1
n
n
n
x
n
x

Ta có
11
1
n
n
n
a
ne





do đó bán kính hội tụ
của chuỗi là
Re

Tại
xe
ta có:
2
1
1

1
n
n
n
n
xe
n
n
n









không dần đến
0
nên miền hội tụ
của chuỗi là

;ee


2
Sự hội tụ đều của chuỗi luỹ thừa

- Định lý 7: Nếu chuỗi luỹ thừa (*) có bán kính hội tụ là
0R
thì
''
,0R R R
chuỗi (*) hội tụ tuyệt đối và đều trên

;RR

- Định lý 8: Cho chuỗi luỹ thừa
0
n
n
n
ax



có bán kính hội tụ là
R
Khi đó:
i/. Hàm

0
n
n
n
f x a x

liên tục trên

;RR

ii/.

1
00
00
1
xx
nn
n
n
nn
a
f t dt a t dt x
n







với

;x R R

iii/.

'1
1
n
n
n
f x na x





với

;x R R

- Hệ quả:
Nếu chuỗi

0
n
n
n
f x a x

có bán kính hội tụ
R
thì

fx
có đạo hàm mọi
cấp trên khoảng

;RR
và


1 1
k
nk
n
nk
f x n n n k a x






- Định lý 9: Giả sử chuỗi

0
n
n
n

f x a x




có bán kính hội tụ
R
và chuỗi
số
0
n
n
n
aR



hội tụ. Khi đó ta có

0
lim
n
n
xR
n
f x a R

- Ví dụ:
+/. Tính tổng

2 3 4

1 2 3 4
x x x x
fx
Vì chuỗi có bán kính bằng 1 nên
nếu
1x
thì

'2
1
1
1
f x x x
x



Từ đó

ln 1
1
dx
f x x C

x




Với
00xC
Vậy

1;1x


ln 1f x x

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
15
Chuỗi hội tụ tại
1x
nên

1
1 1 1
lim ln 1 1 1
2 3 4
x
fx

Vậy ta có:

1
1
1
ln2
n
n
n







+/.

2
1 2 3 f x x x
Chuỗi có bán kính hội tụ
1R
Với
1x
ta có:

1
11
00
1

xx
nn
nn
x
f t dt nt dt x
x








Từ đó



'
2
1
1;1
1
1
x
f x x
x
x

3
Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa


- Hàm

fx
gọi là khai triển đ-ợc thành chuỗi luỹ thừa trên khoảng

;RR

nếu có chuỗi luỹ thừa
0
n
n
n
ax



sao cho

0
n

n
n
f x a x






;x R R

- Định lý 10: Nếu

fx
khai triển đ-ợc thành chuỗi luỹ thừa

;RR
thì

fx
có đạo hàm mọi cấp trên

;RR
và


0!
k
k
f k a

0,1,2, k

- Cho

fx
có đạo hàm mọi cấp trên một khoảng

;RR
Khi đó chuỗi


0
!
n
n
n
f
S x x
n




gọi là khai triển Taylor của hàm

fx
trong lân cận của
0
( Khai triển Taylor trong lân cận của

0
còn gọi là khai triển Macloranh )

- Khai triển Taylor của

fx
trong lân cận của điểm bất kỳ có dạng



0
!
n
n
n
fa
xa
n





- Ví dụ: Hàm

1
1
f x x
x

Trong đó

2
1
0
00
x
ex
x
x











Ta có


00
k

với
0,1,2, k
và


1
1!
1
1
k
k
k
x
x








Do đó


0 ! 0 !
k
f k k
Từ đó khai triển Taylor của

fx
là:



00
0
1
!1
n
nn
nn
f
S x x x
nx







1;1 \ 0S x f x x

- Định lý 11:
Nếu tồn tại số d-ơng
C
sao cho

0,1,2, ; ;
n
f x C n x R R

thì ta có




0
0
;
!
n
n
n
f
f x x x R R
n





- Ví dụ: Theo khai triển Taylor ta có
Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
16
+/.

3 5 2 1
sin 1
1! 3! 5! 2 1 !
n
n
x x x x
x
n




+/.


2 4 2
1 1
2! 4! 2 !
n
n
x x x
cosx
n


+/.
2
1
2! !

n
x
xx
ex
n



4
Bài tập


- Bài 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!
n
n
n
nx
n




Giải: Ta có


1!
1
lim lim

1
1!
n
n
n
nn
nn
n
ne
nn









Re

Vậy chuỗi đã cho hội tụ trên miền có
Re



- Bài 2: Tính tổng
46

3.4 5.6

xx
x

Giải:
Ta cần tính

4 6 3 5
'
1
3.4 5.6 3 5
x x x x
S x x S x



22
'' 2 4 6 ' ''
22
'
2

11
; 0 1 1
1
xx
S x x x x S x S x dx dx
xx
dx
x x arctgx C S C
x

2
'
1
2
x
S x S x dx x arctgx dx x arctgxdx




2
2
1
ln 1
22
x
S x x xarctgx x


4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
17
bài tập

Tiết: 13 - 14 Ngày soạn: Ngày dạy:
I/. Mục tiêu:
- Kiến thức: Sinh viên vận dụng đ-ợc lý thuyết vào giải bài tập.
- Kỹ năng: Thành thạo.
- Thái độ: Nghiêm túc.
II/. Tiến trình
1. Kiểm tra sỹ số:
2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài:
3. Bài mới
Hoạt động

Nội dung

1
Bài 1: Chứng tỏ dãy hàm

1
n
fx
nx

hội tụ đều trên mọi


,

,

0


nh-ng không hội tụ đều trên

0,



Giải:
Ta có


1
nn
f x x f x
nx


hội tụ đều trên


,


đến

0fx
Do đó hội tụ điểm trên

0,

Ta chọn

0
0
2
2
1
1
1
1
1
.
n n n n
n
f x f x f x n
x
n
n
n

Vậy


n
fx
không hội tụ đều đến hàm

0fx


2
Bài 2: Xét tính liên tục đều của tổng chuỗi hàm
1
1
n
x
n

Giải
Với mọi

sao cho
01


có
1 1 1
1
nn
n
nn
x
n n n






Suy ra
1
1
n
x
n

hội tụ
tuyệt đối và đều trên

;


. Vì

bất kỳ có thể gần 1 nên tổng chuỗi hàm
đã cho liên tục trên

1;1


3
Bài 3: Tính tổng của chuỗi luỹ thừa
23
1.2 2.3 3.4 x x x



Giải

23
1.2 2.3 3.4 S x x x x

23
1.2 2.3 3.4 F x S x dx xdx x dx x dx


Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008
Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:
18

2 3 4 2 2
0
0
2
2 3 1 2 3
C
x x x C x x x
x










2
0

22
2 2 3
00
1
22
'
0 0 0
11
2
22
1 2 3
1 2 3 2 3
1
11
1
Fx
C
xx
xx
Fx
CC
dx x x dx x x x C
x x x
Fx
C C C
xx
CC
x x x x x x
x

2
2
1
x
Fx
x


Mặt khác có



'
2

'
23
2
11
x
xx
S x F
xx








4. Bài tập về nhà
5. Rút kinh nghiệm


Tiết 15 - Kiểm tra Học trình 1 - In đề trực tiếp cho SV - L-u Máy tính